过控第二章数学模型解析

根据压力关系:
假定q2与h 近似成线性正比关系，与阀门2处的液阻R2 成反比 关系，则
h q2 R2
阀门阻力，即流量增加 1m2/s时的液位升高量
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
综合上述两类关系：
d h q1 q2 A dt h q2 R2 dh h R2 q1 dt
灰箱方法-----解析法与实验辨识相结合的混合方法
解析法
解析法-------根据被控过程的内在机理，运用已知的静态和动态 物料平衡、能量平衡等关系，用数学推理的方法求取被控过程 的数学模型。
单位时间内进入被控过程的物料或能量,减去单位时 间内从被控过程流出的物料或能量,等于被控过程内 物料或能量的变化率。
被控过程不同，其过程特性也不相同。 一般可分为：
自衡特性 无自衡特性 振荡 非振荡 单容特性 多容特性
2.1 被控过程的特性
（1）自衡的非振荡过程
自衡：在原平衡状态出现干扰 时，无需外加任何控制作用，
被控过程能够自发地趋于新的 平衡状态。
自衡非振荡：阶跃输入信号作 用下，输出响应曲线能没有振 荡地从一个稳态趋向于另一个 稳态.
T0=R2A K0=R2
C=A
τ0与l有关
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
无时延自衡
Q1
有纯时延自衡
Q0
O
O
t
h
t
h
O
O t
0
t
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
推广2：考虑输出液体体积流量为Q2通过泵来调节
液位高度变化时，出口处静压力不会对泵产生影响，Q2不变。
解 根据动态物料平衡关系: q1 q2 A dh 定量泵导致: q2 0
Y ( s) b0 b1s bm s m s e 传递函数形式: G0 (s) n U ( s) 1 a1s an s
差分方程形式: an y(k n) a1 y(k 1) y(k ) bm u(k m d ) b1u(k 1 d ) e( K )
2.1 被控过程的特性
（1）自衡的非振荡过程
过程的静态增益 （或放大系数）
具有纯滞后的一阶惯性环节 Go ( s ) K e s 过程的时间常数
Ts 1
具有纯滞后的二阶非振荡环节 Go ( s)
K e-s (T1s 1)(T2 s 1)
具有纯滞后的高阶非振荡环节 G ( s) o
2 2 -2 s Go ( s) e 2 e -2 s (2s 1)(s 1) 2s 3s 1
clear all num=[2]; den=[2,3,1]; G=tf(num,den); set(G,'InputDelay',2); G [y0,t0]=step(G,0:0.01:20); plot(t0,y0);
clear all num=[1]; den=[1,0]; G=tf(num,den); set(G,'InputDelay',1); G [y0,t0]=step(G,0:0.01:5); plot(t0,y0);
Go ( s)
1 e-s s( s 1)
clear all num=[1]; den=[1,1,0]; G=tf(num,den); set(G,'InputDelay',1); G [y0,t0]=step(G,0:0.01:5); plot(t0,y0);
1 1 -s -s Go ( s) e e (2s 1) 2 4s 2 4s 1
clear all num=[1]; den=[4,4,1]; G=tf(num,den); set(G,'InputDelay',1); G [y0,t0]=step(G,0:0.01:20); plot(t0,y0);
冷水量对水位的直接影响 正向积分特性
反向特性 冷水量影响水中气泡量，使 水位发生变化 反向惯性特性
自衡特性传递函数的典型形式
一阶惯性环节
无自衡特性传递函数的典型形式
一阶环节
K G( s) (Ts 1)
K G( s) (T1s 1)(T2 s 1)
Ke s G( s) (Ts 1)
2.1 被控过程的特性
（2）无自衡的非振荡过程
无自衡：在原平衡状态出现干
扰时，当没有外加任何控制作 用时，被控过程不能重新到达 新的平衡状态
无自衡非振荡：阶跃输入信号 作用下，输出响应曲线会没有 振荡地从一个稳态一直上升或 下降，不能达到新的稳态
2.1 被控过程的特性
（2）无自衡的非振荡过程
过程的纯滞后时间
水箱截 面积
水箱内液体 容量变化率
单位时间内水箱内液体流入 量与流出量之差
表示为增量形式有:
d h q1 q2 A dt
q1 , q2 , h—偏离某平衡状态 q10 , q20 , h0 的增量
静态时： q1 q2
dh 0 dt
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
参数估计-----在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定 模型的参数。
混合法
（1）对被控过程中机理比较清楚的部分采用机理演绎
法推导其数学模型，对机理不清楚或不确定的部
分采用实验辨识法获得其数学模型。 （2）先通过机理分析确定模型的结构形式，再通过实 验数据来确定模型中各个参数的大小。
2.3 解析法建立过程数学模型—步骤
具有纯滞后的一阶积分环节 Go ( s ) 1 e s
Ts
具有纯滞后的二阶非振荡环节
1 Go ( s) e-s T1s(T2 s 1)
K -s 具有纯滞后的高阶非振荡环节 Go ( s) e T1s(Ts 1) n1
过程的时间常数
1 s Go ( s ) e s
经整理得到单容液位过程的微分方程增量表示
R2 A
(1)
拉氏变换，得到传递函数形式
H ( s) R2 G( s) Q1 ( s) R2 As 1
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
令：过程的时间常数 T=R2A=R2C 过程的放大系数 K=R2
过程的容量系数 C=A
则：
容量：贮存能力大小， 即引起单位被控量变化 时，被控过程贮存量变 化程度。
1 m b b z b z d m 脉冲传递函数: y(k ) 0 1 z u (k ) 1 n 1 a1 z an z
②非参量形式模型：曲线、表格等
2.2 被控过程的数学模型—方法 建模的基本方法
白箱方法-----解析法（机理演绎法）
黑箱方法-----实验辨识法（系统辨识与参数估计方法）
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
例2-1 某水箱系统如图所示。
输入液体体积流量Q1通过阀门1的开度来改变。 输出液体体积流量Q2通过阀门2的开度来改变。 液位高度h为被控量。 要求：试列写h与Q1之间的数学表达式。
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
解 根据动态物料平衡关系:
dh q1 q2 A dt
dt
整理后得到其增量化方程为：q1 A dh
dt H ( s) 1 得到其传递函数为： G(s) Q1 ( s) Ts
单容过程的微分方程和传递函数分别为
参照：
dh R2 A h R2 q1 dt
dh h R2 q0 (t - 0 ) dt K 0 0 s H ( s) R2 0 s G( s) e e Q1 (s) R2 As 1 T0 s 1 R2 A
第二章 被控过程特性及其数学模型
主要内容
• • • • 了解过程建模的基本概念； 掌握被控过程机理建模的方法与步骤； 熟悉被控过程的自衡和非自衡特性； 熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表 达式； • 重点掌握单容、多容对象的特点、被控过程基于阶 跃响应的建模步骤、作图方法和数据处理。
2.1 被控过程的特性
q1 (s) q2 (s) Ash(s)1 R2阀2的静压力关系
1 q2 ( s ) h( s ) R2
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
推广1：考虑输入液体体积流量为Q0 当进水阀1的开度产生变化后，需流经长度为l 的管道才能
进入水箱，使液位发生变化。
假设流经长度为l的管道所需时间为τ0，得出具有纯时延的
不足：需要有足够和可靠的验前知识，否则，推导的结果就可能出现失真。 优点：在过程控制系统没有建立之前就先推导出数学模型，对于系统事先设 计和方案论证十分有利。
实验辨识法
实验辨识法-------根据过程输入、输出的实验测试数据， 通过过程辨识和参数估计得出数学模型。 过程辨识-----根据测试数据确定模型结构（包括形式、方程 阶次及时滞等）。
2.2 被控过程的数学模型—概念
被控过程的数学模型
----过程的输入变量与输出变量之间的定量关系。
作用于过程的控制 作用和干扰作用
过程的被控变量
控制通道：控制作用到输出变量的信号联系。 干扰通道：干扰作用到输出变量的信号联系。
2.2 被控过程的数学模型—类型
① 参量形式模型 微分方程形式:
an y (n) (t ) a1 y' (t ) y(t ) bmu (m) (t ) b1u ' (t ) b0u(t )
K -s e (Ts 1) n
过程的纯滞后时间
1 Go ( s ) es 2s 1
clear all num=[1]; den=[2,1]; G=tf(num,den); set(G,'InputDelay',1); G [y0,t0]=step(G,0:0.01:10); plot(t0,y0);