函数的对称性

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函数的对称性与奇偶性

函数的对称性与奇偶性对于函数而言，它的对称性和奇偶性是一种重要的性质，可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。

在数学中，对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质，而奇偶性则是函数在自身的对称轴上的性质。

本文将重点讨论函数的对称性和奇偶性。

1. 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变。

常见的函数对称性包括中心对称和轴对称。

1.1 中心对称性中心对称性是指函数的图像以某个点为对称中心，对称轴上的任意两点关于对称中心对称。

形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有中心对称性。

例如，函数f(x) = x^2是一个具有中心对称性的函数。

我们可以将其图像想象成一个抛物线，以原点为对称中心，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的。

1.2 轴对称性轴对称性是指函数的图像以某条直线为对称轴，对称轴上的任意两点关于对称轴对称。

形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有轴对称性。

举个例子，函数f(x) = sin(x)是一个具有轴对称性的函数。

我们可以将其图像想象成一条波浪线，其对称轴为x轴，任意一点关于x轴的对称点的函数值是相等的。

2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身的对称轴上的性质。

奇函数和偶函数是两种常见的奇偶性。

2.1 奇函数奇函数是指函数在自身的原点上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。

奇函数的图像关于原点对称。

举个例子，函数f(x) = x^3是一个奇函数。

我们可以观察到，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于原点对称。

2.2 偶函数偶函数是指函数在自身的对称轴上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = f(x)。

偶函数的图像关于对称轴对称。

例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数。

我们可以观察到，任意一点关于y轴的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于y轴对称。

函数的对称性

函数的对称性
（内容需原创）
1. 函数的对称性是指一个函数的值在某一点或几个点取到最大值或最小值的性质。

2. 函数的对称性是一种比较容易发现的函数性质。

掌握函数的对称性有助于提升函数分解、求导和求解数学问题的能力。

3. 常见的函数对称性有：
(1) 奇函数的对称性：如果它以某一点经过或以其为中心对称，则称其为奇函数。

例如，三次多项式函数y=ax^3+bx^2+cx+d，它以x = 0 为中心，应用自变量的变换x→-x，函数变化f（x）→-f（x），可知y=ax^3+bx^2+cx+d也是一个奇函数。

(2)偶函数的对称性：如果以某一点经过左右对称，则称其为偶函数。

例如，二次多项式函数y=ax^2+bx+c，它以 x = 0 中心对称，若将自变量x变换x→-x，函数变化f(x)→f(x)，可知y=ax^2+bx+c也是一个偶函数。

(3) 关于y轴对称性：如果函数的每一对对称点，在y轴中对称，则称其为y轴对称性。

例如，三次多项式函数y= ax^3+bx^2+cx+d，它的每一对对称点（x1,y1）（x2,y2），在y轴中也是对称的，即（-x1,y1）（-x2,y2），因此y=ax^3+bx^2+cx+d也具有y轴对称性。

4. 位移与缩放函数作为其他对称性。

位移函数可以理解为在某一段函数上进行位移，缩放函数可以理解为改变某一段函数的显示大小。

5. 函数对称性可用已知特征函数作为依据来发现，其变换规律可以用三角函数，指数函数以及幂函数等来描述。

6. 对函数的对称性有所了解，能够从宏观和微观的角度更好的理解函数的定义及其变化规律，并有效的运用它们解决数学问题。

一个函数的对称性

一个函数的对称性（一）关于轴对称1、若f(x)=f(-x)恒成立，则函数f(x)的图像关于y 轴（直线x=0）对称2、若f(x)=f(2a-x)恒成立，则函数f(x)的图像关于直线x=a 对称3、若f(a+x)=f(b-x) 恒成立，则函数f(x)的图像关于直线x=2b a + 对称证明：在y=f(x)的图像上任取一点()y x 00,，则有)(00x y f =()y x 00,关于2b a x +=的对称点为()y x b a 00,-+∵f(a+x)=f(b-x) 恒成立 y x x x f b b f b a f 0000)())(()(==--=-+∴()y x b a 00,-+也是y=f(x)图像上的点∵()y x 00,是任意一点∴y=f(x)的图像关于2b a x +=对称特例：(1)a=0,b=0时，f(x)=f(-x), 则函数f(x)的图像关于直线x=0对称. (2) b=a时，f(a+x)=f(a-x), 则函数f(x)的图像关于直线x=a对称.注意：（1）以上结论可以直接用，（2）形式特征：x的系数互为相反数.（二）关于中心对称1、若f(-x)=-f(x)恒成立，则函数f(x)的图像关于原点（0，0）对称。

2、若f(a-x)=-f(a+x) 恒成立，则函数f(x)的图像关于点（a，0）对称。

3、若f(a-x)=c-f(b+x) 恒成立，则函数f(x)的图像关于点（2,2c b a +）对称。

证明：在y=f(x)的图像上任取一点()y x 00,，则有)(00x y f =()y x 00,关于⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,2c b a 的对称点为()y x c b a 00,--+∵f(a-x)=c-f(b+x) 恒成立， ∴ yx x x x c f c b b f c b a f b a f 00000)()())(()(-=-=-+-=--=-+ ∴()y x c b a 00,--+也在y=f(x)的图像上∴y=f(x)的图像关于⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,2c b a 对称特例：a=0,b=0,c=0, f(-x)=-f(x)恒成立，则函数f(x)的图像关于原点（0，0）对称。

函数周期性对称性

一、对称性：1、函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x).f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x).若写成：f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=(a+b)/2对称。

2、函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b.f(a+x)+f(a-x)=2b也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b.若写成：f(a+x)+f(b-x)=c，则函数f(x)关于点（2ba+，2c）对称。

3、函数y=f(x)关于y=b对称：假设函数关于y=b对称，即关于任意一个x值，都有两个y值与其对应，这显然不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y=b对称。

但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于y=b对称，比如圆。

4、两个函数的图像对称性（1）、y=f(x)与y=f(-x)关于x轴对称。

（2）、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。

（3）、y=f(x)与y=f(2a-x)关于x=a对称。

（4）、y=f(x)与y=2a-f(x)关于y=a对称。

（5）、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）对称。

（6）、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线2ba x +=对称。

二、函数的周期性1、（定义）若f(x+T)=f(x) (T不等于0)⇔f(x)是周期函数，T是它的一个周期。

说明：nT也是f(x)的周期。

2、（1）f(x+T)=f(x) ⇔y=f(x)的周期为T。

（2）f(x+a)=f(b+x) (a<b) ⇔y=f(x)的周期为T=b-a。

（3）f(x+a)=f(x-a) ⇔y=f(x)的周期分为：偶函数T=2a；奇函数T=4a。

（4）f(a+x)=-f(x) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。

（5）f(a+x)=c/f(x) (c为常数) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。

函数的对称性

函数的对称性函数的对称性是指函数的图形在一条对称轴上的对称表现，或者说任意函数的定义域内的变化模式有着一定的对称特征。

通俗地讲，当给定一个函数，可以通过将它的图形翻转沿着某条对称轴的方式去考察其对称性，而是否存在某种对称性则会取决于函数的形式及其参数，也就是说它们会决定函数的对称轴甚至其非对称情况。

对称性非常重要，因为它有助于记忆和理解函数。

举个例子来说，如果你有一个函数f，它的定义域内具有左右对称性，那么你可以通过在x=0处切割它们，为此可以将函数中的x称为对称轴，这样就可以很容易地推断出它的行为规律。

而此外，如果一个函数的定义域内没有对称的规律，它可能不是很容易理解。

人们可以用三种方式来表达函数的对称性：反比例、反射和旋转。

反比例方式指的是在定义域内以反比例多少的方式进行调整，即以相同的数字翻转，使得变化的规律完全一致，但是具体的数字却不同。

反射方式指的是把一个函数的所有点的x坐标的值取反，使表达式（f（-x））成为另一个函数（f（x））的对称图形。

而旋转方式则是指以y轴或者x轴中心点旋转，使每个点的坐标的值发生变化，从而形成对称的函数图形。

另外，函数的对称性还受把某个参数称为平移向量或旋转角度所影响。

对于平移向量来说，可以将函数内部的某些坐标（x，y）向左右或上下方移动，使其变得更加对称，形成相对简单的函数图形。

而旋转角度则是指以一个定义域内某个点为中心，使整个函数的图像旋转一定的角度，使函数的变化模式更加简单。

总而言之，函数的对称性是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解函数的表现规律，还可以帮助我们把函数的参数和变量更好地对应起来。

各种不同的变换会使函数的定义域内的变化模式发生改变，这同样也影响了函数的对称性，所以理解函数的对称性也是重要的，也是一个要注意的问题。

函数对称性

函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。

例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。

函数的对称性公式推导1.对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a原函数与反函数的对称轴是y＝x．而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R．f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0，还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．如f（x－3）＝x－3。

令t＝x－3，则f（t）＝t。

可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。

同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T ＝π．y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2上面的2个方程T＝π（T＝2π/W）而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T ＝π所以它的周期为T＝π而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3对称函数在对称函数中，函数的输出值不随输入变数的排列而改变。

函数的对称性

函数的对称性知识梳理一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。

前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。

⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c=- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c-。

二、抽象函数的对称性【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性，我们称其为互对称。

】1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ⇔)()(x a f x a f -=+ ⇔)2()(x a f x f -=⇔)2()(x a f x f +=-②)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-.（2）中心对称①)(x f y =的图象关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔b x a f x f 2)2()(=-+⇔b x a f x f 2)2()(=++-。

函数对称性5个结论的推导

函数对称性5个结论的推导1.奇函数的推导：奇函数是指函数关于原点对称。

设函数f(x)是奇函数，那么有f(x)=-f(-x)。

为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(-x)=-f(x)。

这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值也会发生变化，并保持相反的正负号。

例如，f(2)=-f(-2)，f(3)=-f(-3)等等。

因此，奇函数关于原点对称。

2.偶函数的推导：偶函数是指函数关于y轴对称。

设函数f(x)是偶函数，那么有f(x)=f(-x)。

为了推导这个结论，我们考虑将x代替为-x，得到f(-x)=f(x)。

这表明，当自变量的符号发生变化时，函数值保持不变。

例如，f(2)=f(-2)，f(3)=f(-3)等等。

因此，偶函数关于y轴对称。

3.半个周期对称的推导：半个周期对称是指函数的两个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。

设函数f(x)是半个周期对称，那么有f(x)=f(x+T/2)，其中T表示函数的周期。

为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，代入x=x+T/2得到f(x+T/2)=f(x+T/2+T)=f(x+T)=f(x)，即f(x)=f(x+T/2)。

这表明，函数在每个周期的半个周期上关于y轴对称。

4.四分之一周期对称的推导：四分之一周期对称是指函数的四个相邻的波峰或波谷关于y轴对称。

设函数f(x)是四分之一周期对称，那么有f(x)=f(x+T/4)，其中T表示函数的周期。

为了推导这个结论，我们考虑函数的周期性，即f(x+T)=f(x)，代入x=x+T/4得到f(x+T/4)=f(x+T/4+T)=f(x+T)=f(x)，即f(x)=f(x+T/4)。

这表明，函数在每个周期的四分之一周期上关于y轴对称。

5.中心对称的推导：中心对称是指函数关于一些点对称，该点称为中心。

设函数f(x)是中心对称，那么有f(x)=f(2a-x)，其中a表示中心点的横坐标。

为了推导这个结论，我们考虑将自变量x替换成2a-x，得到f(2a-x)=f(x)。

函数对称性梳理

函数对称性梳理函数的对称性是函数的一个重要性质，对称关系广泛存在于数学问题之中，利用对称性能更简捷地解决问题。

函数的对称包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性。

下面具体分析各个方面：一、函数自身的对称定理1.函数y=f(x)的图像关于点a(a ,b)对称的充要条件是：f(x)+f(2a－x)=2b推论：函数y= f(x)的图像关于原点的对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0定理2. 函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称（实际是偶函数）的充要条件是f(x)=f(－x)定理3. ①若函数y=f(x) 图像同时关于点a(a,c)和点b(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

②若函数y=f(x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a ≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

③若函数y=f(x)图像既关于点a(a,c)成中心对称又关于直线x=b 成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性定理4. 函数y=f(x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点a (a ,b)成中心对称。

定理5. ①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x= a成轴对称。

②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f(x)与x－a=f(y + a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。

推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y 成轴对称（实际是函数与反函数的问题）。

三、函数对称性应用举例例1 定义在r上的非常数函数满足：f(x+10)为偶函数，且f(5-x)=f(5+x)，则f(x)一定是（）a. 是偶函数，也是周期函数b. 是偶函数，但不是周期函数c. 是奇函数，也是周期函数d. 是奇函数，但不是周期函数例解：因为f(x+10)为偶函数，所以f(10+x)=f(10-x)。

函数的对称性与奇偶性的判断

函数的对称性与奇偶性的判断函数是数学中的一个重要概念，描述了一种输入和输出之间的关系。

在研究函数的性质时，对称性和奇偶性是两个常见的概念。

本文将就函数的对称性和奇偶性进行详细的介绍和判断方法。

一、对称性的概念和判断方法对称性是指函数在定义域内关于某个中心对称轴对称的性质。

对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。

常见的对称性有偶对称和奇对称两种。

1. 偶对称性：若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = f(-x)，即函数在关于y轴对称的情况下，称为偶对称函数。

判断函数是否具有偶对称性，可以通过以下步骤：(1) 将函数中所有的x换成-x；(2) 然后化简这个新的表达式；(3) 若化简后的表达式与原函数完全相同，则函数具有偶对称性。

例如，对于函数f(x) = x^2，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^2 = x^2。

与原函数表达式相同，因此该函数具有偶对称性。

2. 奇对称性：若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = -f(-x)，即函数在关于原点对称的情况下，称为奇对称函数。

判断函数是否具有奇对称性，可以通过以下步骤：(1) 将函数中所有的x换成-x；(2) 然后将新表达式中的符号取相反数；(3) 若化简后的表达式与原函数完全相反，则函数具有奇对称性。

例如，对于函数f(x) = x^3，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^3 = -x^3。

化简后的表达式与原函数的相反数相同，因此该函数具有奇对称性。

二、奇偶性的概念和判断方法奇偶性是指函数在定义域内的某个位置对应的函数值的正负关系。

奇函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意非零x，f(-x) = -f(x)。

偶函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意x，f(-x) = f(x)。

判断函数的奇偶性，可以通过以下步骤：1. 判断函数在原点的函数值是否为0，若为0，则函数具有奇偶性，否则需继续下一步判断。

2. 将函数中所有的x换成-x，然后比较新表达式与原函数的关系。

函数的性质对称性

函数的性质对称性集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]函数的性质对称性张磊函数的对称性是函数的重要性质之一,主要包括轴对称和中心对称两种.在解几中,许多问题中都隐含对称性,如角的平分线,线段的中垂线,光的反射等,要注意挖掘,充分利用对称性,中点坐标公式,斜率关系加以解决;在函数中,对称性与函数的奇偶性、周期性又有着内在的联系,解题时常常要进行相互转化,再加以解决.一对称性的有关结论1 y=f(x)关于x=a对称f(2ax) =f(x) f(2a+x) =f(-x)f(ax) =f(x+x) 内反外同轴对称对称f(ax) =f(bx)引申 y=f(x)关于x=a+b22 y=f(x)关于点(a,0)对称f(2ax) =-f(x)f(2a+x) =-f(-x)f(ax) =f(a+x) 内外都反点对称引申 y=f(x)关于点(a,b)对称 f(2ax) =2bf(x)二对称性与奇偶性关系奇函数的图像关于原点(0 ,0)对称;偶函数图像关于y轴对称.奇偶性实际是一种特殊的对称性.三对称性与周期性关系双对称周期性 (联系正余余弦函数对称性与周期性关系)1 {f (2a +x ) =f (−x )f (2b +x ) =f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |2 {f (2a +x )=−f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |3 {f (2a +x )=f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x )=− f (2b +x ) f(2a-2b+x)= -f(x) f(4a-4b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|4a −4b |四点关于线的对称点点(x 0 ,y 0)关于直线ax+by+c=0的对称点为(x 02a a 2+b 2(a x 0+by 0+c ) , y 02b a 2+b 2(a x 0+by 0+c ))。

函数对称性的总结

参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。

2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。

3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。

4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。

5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。

6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。

对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。

函数对称性知识点归纳总结

函数对称性知识点归纳总结函数对称性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数图像在某种变换下的性质和特点。

本文将针对函数对称性的相关知识进行归纳总结，包括函数关于x轴对称、y轴对称和原点对称的特点以及应用。

希望通过本文的介绍，读者能够全面了解函数对称性，并能够应用到实际问题中。

1. 函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指函数图像在x轴旋转180度后重合。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(x, -y)。

如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于x轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。

常见的函数关于x轴对称的例子有二次函数和正弦函数。

2. 函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指函数图像在y轴旋转180度后重合。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, y)。

如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于y轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。

常见的函数关于y轴对称的例子有二次函数和余弦函数。

3. 函数关于原点对称函数关于原点对称是指函数图像以原点为对称中心，旋转180度后重合。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, -y)。

如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于原点对称可以表示为f(x) = -f(-x)。

常见的函数关于原点对称的例子有奇次函数和正切函数。

除了以上三种常见的对称性，函数还可能具有其他特殊的对称性，比如关于直线y=x的对称性、关于直线y=-x的对称性等。

这些对称性在函数的研究和应用中都有重要的意义。

函数对称性的应用十分广泛。

其中一项重要的应用是利用对称性来求函数的零点。

如果函数关于x轴对称，也就是满足f(x) = f(-x)，那么我们可以通过找到函数图像上的一个零点，得到一个对称的零点。

这是因为如果f(x) = 0，则f(-x) = 0，对称点也是零点。

同样，对于关于y 轴对称或原点对称的函数，我们也可以利用对称性来求解零点。

函数的对称性

一、函数图象本身的对称性（自身对称）（一）、函数关于直线对称：1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。

2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。

3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。

（二）函数关于点的对称：定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是b x a f x f 2)2()(=-+推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.（三）周期性：1、如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。

2、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。

3、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

4、若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.5、若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.6、函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为A 、)()(x f T x f -=+B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）D 、其他情形（四）对称性周期性的关系1、若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。

函数对称性知识点梳理总结

函数对称性知识点梳理总结一、轴对称轴对称是最常见的一种函数对称性，它指的是函数图象关于某一条直线对称。

这条直线称为对称轴，通常用方程 x=a 来表示。

如果函数 f(x) 满足 f(a+x) = f(a-x)，那么 f(x) 关于 x=a 轴对称。

对于二元函数 f(x,y)，如果 f(a+x,y) = f(a-x,y)，那么 f(x,y) 关于直线 x=a 对称；如果 f(x,a+y) = f(x,a-y)，那么 f(x,y) 关于直线 y=a 对称。

轴对称性在几何学中有着广泛的应用，许多平面图形都具有轴对称性，比如圆形、椭圆形等。

函数的轴对称性也有很多实际的应用，比如在电路分析中，对称性可以帮助简化复杂的电路分析问题。

另外，在数学建模和图像处理领域，轴对称性也经常被用来简化问题求解。

二、中心对称中心对称是指函数图象关于某一点对称，这一点称为中心。

对于函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(a-x)，那么 f(x) 关于 x=a 点对称。

对于二元函数 f(x,y)，如果 f(a+x,b+y) = f(a-x,b-y)，那么 f(x,y) 关于点 (a,b) 对称。

中心对称性在几何学中也有很多重要应用，比如圆形就是一个非常常见的中心对称图形。

在实际应用中，中心对称性也经常被用来简化问题求解，比如在物理学和工程学中，很多问题都具有中心对称性，通过利用中心对称性可以大大简化问题求解的复杂度。

三、旋转对称旋转对称是指函数图象关于某一点旋转一定角度后，与原图象完全重合。

对于函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(x-a)，那么 f(x) 关于点 x=a 有旋转对称性。

对于二元函数 f(x,y)，如果f(a+x,a+y) = f(x-a,y-a)，那么 f(x,y) 关于点 (a,a) 有旋转对称性。

旋转对称性在几何学中有着重要的应用，很多图形都具有旋转对称性，比如正方形、菱形等。

在实际应用中，旋转对称性通常被用来简化问题求解，比如在工程学和建筑学领域，很多结构都具有旋转对称性，通过利用旋转对称性可以简化结构分析和设计的复杂性。

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性一函数的对称性1、奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称，反之亦然。

2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象关于直线对称。

3、三角函数xy sin =的图象关于直线对称，它也有对称中心是；xy cos =的图象的对称轴是，对称中心是。

4、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()x b f x a f-=+，则其图象关于直线对称。

5、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x都有()()b x a f x a f=-++，则其图象关于点对称。

6、曲线()x f y=关于直线a x =与b x =（a ＜b ）对称，则()x f y =是周期函数且周期为()a b -2（二）函数图象的互对称1、互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；反之，。

2、函数()x f y =与函数()x f b y -=2的图象关于直线对称。

3、函数()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线对称。

4、函数()x f y=与函数()x h f k y --=22的图象关于点对称。

二函数的周期性如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性的结论： 1、已知函数()x f y=对任意实数x,都有()()x f a x f-=+,则()x f y =是以为周期的函数；2、已知函数()x f y=对任意实数x,都有()x a f+=f(x )1,则()x f y=是以为周期的函数；3、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有()x a f+=-f(x )1-,则()x f y=是以为周期的函数.4、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f=++，则()x f y=是以为周期的函数5、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则是()x f y=的一个周期.6、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,则是f(x)的一个周期.7、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x), 则是f(x)的一个周期.(a≠b)例题应用 1、已知()1+x f 是偶函数，则函数()x f y 2=的图象的对称轴是（）A. 1-=xB. 1=x C . 21-=x D. 21=x 2、函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（）A .3≥aB. 3-≤aC. 5≤aD. 3-=a3、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=252sin πx y的图象的一条对称轴方程是（）A.2π-=x B.4π-=x C.8π=x D.45π=x4、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么 A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4) C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)5、函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值为（）A. 1B. 2-C. 2D. 1-6、如果直线3-=x与2=x 均为曲线()x f y =的对称轴且()01=f 则()11f 的值为。

函数的性质之---函数的对称性

函数图像的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。

1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:定理1: 函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有：①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。

②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。

③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。

定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++特殊的有：① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。

② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。

③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。

定理3：（性质）①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。

②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。

④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。

2.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。

函数的对称性与单调性

函数的对称性与单调性函数是数学中重要的概念之一，它描述了两个集合之间的对应关系。

在函数的研究中，对称性和单调性是两个重要的性质。

本文将探讨函数的对称性和单调性，介绍它们的概念、性质以及在数学中的应用。

一、对称性对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变或部分保持不变。

常见的对称性有轴对称和点对称两种。

1. 轴对称轴对称是指函数的图像相对于某一条直线对称。

当函数的图像在某条直线的两侧分布对称时，就具有轴对称性。

例如，函数y = f(x)在直线x = a处轴对称，当且仅当满足条件f(a + h) = f(a - h)。

轴对称的函数在图像上表现为左右对称，即左半部分的图像和右半部分的图像完全相同。

这种对称性在几何学和物理学中有广泛的应用。

例如，平面几何中的线对称图形，以及物理学中的对称体系都可以用轴对称函数来描述。

2. 点对称点对称是指函数的图像相对于某一点对称。

当函数的图像关于某一点对称时，就具有点对称性。

例如，函数y = f(x)在点(x0, y0)处点对称，当且仅当满足条件f(x0 + h) = y0 - f(x0 - h)。

点对称的函数在图像上表现为上下对称，即上半部分的图像和下半部分的图像关于某一点完全对称。

点对称性在数学中有广泛的应用，例如在代数学和几何学中，点对称函数常常用于构造对称性的问题。

二、单调性单调性是指函数的自变量的增加或减少所引起的函数值的增加或减少的趋势。

一个函数可以是递增的、递减的或具有不同区间内的单调性。

1. 递增函数递增函数是指函数的自变量增加时，函数值也随之增加。

设函数y = f(x)在区间I上可导，若对于任意的x1 < x2，都有f'(x1) ≤ f'(x2)，则函数f(x)在区间I上是递增的。

递增函数在图像上表现为从左到右逐渐上升的趋势。

数学中的许多实际问题，如增长速度、收益等都可以用递增函数来描述。

2. 递减函数递减函数是指函数的自变量增加时，函数值随之减少。

函数的对称性

函数的对称性
1）如果一函数关于轴x=T（T为常数）对称，则有f（x）=f（2T-x）或者f(x+T)=f(T-x)。

这个用解析几何来或者用代数来解释都很简单，也可以当作是证明。

一函数关于轴x=T（T为常数）对称，就是说作直线y=Y（Y为f(x)值域内任意常数），与f（x）相交两点A（a，Y）和B（b，Y），与x=T相交于C（T，Y），则C为AB的中点。

可得a=2T-b，或者a+T=T-x。

由直线y=Y在f(x)值域内的任意性，可知f（x）=f（2T-x）或者f(x+T)=f(T-x)。

一函数关于轴x=T（T为常数）对称，取任意一点P（x，f（x）），函数上必存在与其关于x=T的对称的点Q（q，f（q）），即点（T，f（x））为PQ的中点。

用中点公式可得q=2T-x，f(q)=f(x)，即f（x）=f（2T-x）。

由P点的任意性可知该式在定义区成立。

类似的取P（x+T，f（x+T）），同样道理可证明f(x+T)=f(T-x)。

2）若一函数f（x）关于点O（a，b）中心对称，则有f（x）+f（2a-x）=2b或者f（a+x）+f(a-x)=2b。

任取P（x，f（x）），则必定可以在f（x）上找到点Q（q，f（q））且O（a，b）为PQ的中点。

q+x=2a 且f（q）+f（x）=2b，用x表示q，可得f（x）+f（2a-x）=2b。

类似设这个人任意点为P（x+a，f（x+a）），同样方法可得f（a+x）+f(a-x)=2b。

解析几何的方法和代数的方法其实是同一个本质，只是两种不同的叙述方法，只要理解透彻定义，加上一点代数的技巧或解析几何的直观，这类问题是很容易理解和证明的。