《数学分析》10第三章-函数极限
数学分析之函数极限
lim f(x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM时
注 1.xl im f(x)A与 n l i m xna定 义 比 较
函数 定义域 自变量变化趋势 函数值变化趋势 定义
nli mxn a
y xn
数都可以充当这个角色.
3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0,对于坐标
平面上以 y =A为中心线, 宽为2 的窄带,可以找到
0, 使得曲线段
y
yf(x )x , U (x 0 , )
yA
yA
yA
落在窄带内.
O
x0 x 0 x0 x
注：f (x)在 x 0 处有无定义皆可.
lx im 11x2 0.
例5 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证 sinx0sinx
x
x
1 x
1 X
,
0,
取
X
1,
则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
定:义 如l果 im f(x)c,则直 yc线 是函 yf数 (x) x
的图形的. 水平渐近线
Chapt 3 函数极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、x趋于时的函数极限
设函数 f (x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
数学分析第三章函数极限
第三章 函数极限教学目的：1.使学生牢固地成立起函数极限的一样概念，把握函数极限的大体性质；2.明白得并运用海涅定理与柯西准那么判定某些函数极限的存在性；和，并能熟练运用；4.明白得无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准那么的应用。
教学时数：14学时§ 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生成立起函数极限的准确概念；会用函数极限的概念证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生慢慢成立起函数极限的δε-概念的清楚概念。
会应用函数极限的δε-概念证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的δε-概念及其应用。
一、 温习：数列极限的概念、性质等 二、 教学新课： （一）时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义,的直观意义.概念 ( 和 . )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1 验证例2 验证例3 验证证……（二）时函数的极限：由考虑时的极限引入.概念函数极限的“”概念.几何意义.用概念验证函数极限的大体思路.例4 验证例5验证例6 验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例7 验证例8 验证 ( 类似有（三）单侧极限:1．概念：单侧极限的概念及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9 验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10 证明: 极限不存在.例11 设函数在点的某邻域内单调. 假设存在, 那么有=§2 函数极限的性质（2学时）教学目的：使学生把握函数极限的大体性质。
教学要求：把握函数极限的大体性质：唯一性、局部保号性、不等式性质和有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
数学分析3.3函数极限存在的条件
第三章函数极限(下载后可解决看不到公式问题)3 函数极限存在的条件定理3.8(归结原则)：设f在U⁰(x0;δ’)内有定义。
存在的充要条件是：对任何包含于U⁰(x0;δ’)且以x0为极限的数列{x n}，极限都存在且相等. 证：若=A，∀ε>0，有正数δ1(≤δ’)，使当0<|x-x0|<δ1时，|f(x)-A|<ε. 设{x n}⊂U⁰(x0;δ’)且=x0，则对δ1，有N>0，使当n>N时，有0<|x n-x0|<δ1，从而有|f(x n)-A|<ε. ∴=A. 其必要性得证.若{x n}⊂U⁰(x0;δ’)且=x0，则对∀δ>0(≤δ’)，有N>0，使当n>N时，有0<|x n-x0|<δ，设=A，∀ε>0，存在正数δ2，使当0<|x n-x0|<δ2，有|-A|<δ2，∴=A，其充分条件得证.注：1、归结原则可简述为：=A 对任何x n→x0(n→∞)有=A.2、若有以x0为极限的数列{x n}，使不存在，或两个以x0为极限的数列{x’n}与{x”n}，使与都存在但不相等，则也不存在.例1：证明极限不存在.证：设x’n=, x”n=(n=1,2,…)，则x’n→0，x”n→0(n→∞)，=0→0，=1→1(n→∞)，由归结原则可知不存在.定理3.9：设函数f在点x0的某空心右邻域U⁰+(x0)有定义. =A的充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列{x n}⊂U⁰+(x0)，有=A.证：若=A，则对∀ε>0，存在正数δ，当x0<x<x0+δ时，有|f(x)-A|<ε. 设递减数列{x n}⊂U⁰+(x0)趋于x0，则对δ，存在N，当n>N时，有0<x n-x0<δ，即x0<x n<x0+δ，有|f(x n)-A|<ε，∴=A. 其必要性得证。
§3.2-函数极限的性质-数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件
lim()x xf x A→= *点击以上标题可直接前往对应内容定理3.2（唯一性）证 不妨设以及 A x f x x =→)(lim 0.)(lim 0B x f x x =→由极限的定义，对于任意的正数 ,1δ存在正数,||010时当δ<-<x x (1),2|)(|ε<-A x f ,||020时当δ<-<x x )(lim 0x f x x →存在, 则此极限唯一.若 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0,2δ,ε后退 前进 目录 退出(2) 式均成立，.|)(||)(|||ε<-+-≤-B x f x f A B A 由ε 的任意性，推得 A = B. 这就证明了极限是唯一的.12min{,},δδδ=令(1) 式与.2|)(|ε<-B x f (2)(1),2|)(|ε<-A x f 00||,x x δ<-<当时所以定理3.3（局部有界性）证 ,1=ε取.1|)(|<-A x f .1|||)(|+<A x f 由此得,)(lim 0A x f x x =→若上在)()(0x U x f,)(0x U则存在有界.这就证明了 在某个空心邻域 上有界.),(0δx U)(x f ,0>δ存在00x x δ<-<当时，注(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 (2) 有界函数不一定存在极限； 这上并不是有界的在但.)2,0(1,11lim )3(1xx x =→说明定理中 “局部” 这两个字是关键性的.比较；定理3.4（局部保号性）则对任何正数)(A r A r -<<或使得存在,)(,0x U.)0)((0)(<-<>>r x f r x f 或.|)(|ε<-A x f .)(r A x f >->ε由此证得 有对一切,)(0x U x∈有时，当δ<-<||00x x 证 不妨设 0.A >,)0(0)(lim 0<>=→或A x f x x 若 ,0>δ存在,r A -=ε取 (0,),r A ∈对于任何定理3.5（保不等式性）)(lim )(lim 0x g x f x x x x →→与设则内有且在某邻域,)()()(0x g x f x U ≤).(lim )(lim 0x g x f x x x x →→≤证 0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==设;)(ε->A x f 有时而当,||020δ<-<x x .)(ε+<B x g 分别存在正数 12,,δδ有 都存在，0,ε>则对于任意使当 010||x x δ<-<时, 满足时则当令,||0,},min{021δδδδ<-<=x x ,)()(εε+<≤<-B x g x f A所以证得是任意正数因为从而有,.2εε+<B A .B A ≤定理3.6（迫敛性）lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==设0x 且在的某个空心).()()(x g x h x f ≤≤.)(lim 0A x h x x =→那么证 因为 00lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==有时当,||00δ<-<x x (),A f x A εε-<<+().A g x A εε-<<+.)()()(εε+<≤≤<-A x g x h x f A 再由定理的条件，又得这就证明了 0)(x x h 在点的极限存在，并且就是 A .0,ε>所以对于任意,0>δ存在0()U x 邻域内有定理3.7（四则运算法则）;)(lim )(lim )]()([lim )1(0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±;)(lim )(lim )()(lim )2(000x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=g f g f ⋅±,在点 x 0 的极限也存在, 且都存在, ,0)(lim )3(0≠→x g x x 又若在点 x 0 的极限也存在,g f则.)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=并有,)(lim 0x f x x →若)(lim 0x g xx → 则§2 函数极限概的性质A x f x x =→)(lim 0范例这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这就可以知道这些定理是显然的.里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后, 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0的基本性质 §2 函数极限概的性质A x f xx =→)(lim 0范例arctan lim x x x→+∞πlim arctan ,2x x →+∞=因解为例1 .arctan limxxx ∞+→求002=⋅=π范例1lim 0,x x →∞=所以1=lim arctan lim x x x x →+∞→+∞⋅例 2 .1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 求有时又当,0<x 0>x 当,11lim )1(lim 00==-++→→x x x 由于,111x x x -≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<于是求得.11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 解 由取整函数的性质， .1111xx x ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-时, 有 ,111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x 因此由迫敛性得 ;11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x x 同理得 .11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→x x x例 3 求极限 π4lim(tan 1).x x x →-π4lim tan tan1,4x x π→==解 因为所以π4ππlim(tan 1)11 1.44x x x →-=⋅-=-例4 .)1(1lim 0>=→a a xx 求证特别又有.1111εε+<<<--NNa a ,1N=δ取,|0|0时当δ<-<x ,1111εε+<<<<--NxNa a a .1lim 0得证即=→xx a 证 ,11lim ,1lim ==∞→∞→n n nn aa 因为所以 ,,0N ∃>∀ε有时当,N n ≥,1111εε+<<<--nna a复习思考题1. lim (), lim (),x x x x f x a g x →→=设存在不存在试问02. lim (),lim (),x x u u g x u f u A →→==设这时是否必有lim (())?x x f g x A →=0lim ()()?x x f x g x →极限是否必定不存在。
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第三章
第三章第三章函数极限 一、填空题一、填空题 1．若[]2)(1ln lim20=+®x x f x ，则=®20)(lim xx f x _________ 2．=--+-®xxe e x x x x x 340sin 21sin lim _______________ 3．设xx x x f ÷øöçèæ+-=11)(，则=+¥®)1(lim x f x ____________ 4．已知ïîïíì>-=<+=2,12,02,1)(x x x x x x f ，1)(+=xe x g ，[]=®)(lim 0x gf x ________ 5．()x x x x ln cos arctan lim -+¥®=_________________ 6．[]=®x x x tan)sin(sin sin lim0_____________7．________24tan lim =÷øöçèæ+¥®n n x p8．________ln 1ln ln lim 20=÷øöçèæ+®x x x x9．)1ln(lim 2cos 0x x e e x x x x +-®=__________ 10．=×+-¥®x xx x x cos 1sin 21lim 22_________ 11．=÷øöçèæ-®x x xx tan 11lim 2_________ 12．310)(1lim e x x f x xx =úûùêëé++®，则úûùêëé+®20)(1lim x xf x =_______13．()=+++®)1ln(cos 11cos sin 3lim 20x x xx x x ___________二、选择填空二、选择填空1．=-®tt t cos 1lim( ) A.0 B.1C.2D.不存在不存在 2．函数x x x f 1cos 1)(=，在0=x 点的任何邻域内都是() A.有界的有界的 B.无界的无界的 C.单增单增 D.单减单减 3．已知()25lim 2=++-+¥®cyx ax x ，则必有() A.20,25-==b a B. 25==b a C.0,25=-=b aD.2,1==b a 4．设nn n x n x f ÷øöçèæ-+=+¥®2lim )1(，则=)(x f ( ) A.1-x eB.2+x eC.1+x eD.xe -5．若22lim222=--++®x x b ax x x ，则必有() A.8,2==b a B.5,2==b a C. 8,0-==b aD. 8,2-==b a 6．0)(6sin lim30=+®x x xf x x ，则=+®20)(6lim xx f x ( ) A. 0 B.6 C.36D.¥ 7．设对任意x 点有)()()(x g x p x ££j ，且[]0)()(lim =-¥®x x g x j ，则=¥®)(lim x f x () A.存在且一定为0B.存在且一定不为0C.一定不存在一定不存在D.不一定存在不一定存在 8．当0®x 时，变量x x 1sin12是( ) A.无穷小无穷小 B.无穷大无穷大C.有界，但不是无穷小有界，但不是无穷小D.无界的，但不是无穷大无界的，但不是无穷大9．=-+÷øöçèæ+¥®p 21sin 1])1(1[lim n nn n() A.peB.p 1eC.1D.p 2e 10.=--®xx x xx x tan )(arctan 1lim 220()A.0B.1C.21D.21-11.x x x g dt t x f xsin )(,tan )(sin 02-==ò,则当0®x 时，)(x f 是)(x g 的() A.高阶无穷小高阶无穷小 B.低阶无穷小低阶无穷小 C.同阶非等价无穷小同阶非等价无穷小 D.等价无穷小等价无穷小三、计算题三、计算题1.求下列极限：求下列极限：(1))x x cos x (sin 2lim 22x --p ®； (2)1x x 21x lim 220x ---®； (3)1x x 21x lim 221x ---®； (4)3230x x2x )x 31()1x (lim +-+-®；(5)1x 1x lim m n 1x --®，(n ，m 为自然数)；(6)2x 3x 21lim 4x --+®;(7))0a (,xa x a lim 20x >-+®；(8)x x cos x lim x -¥®； (9)4x xsin x lim 2x -¥® ；(10).)1x 5()5x 8()6x 3(lim 902070x --+¥® 2．设,0a ,b x b x b x b a x a x a x a )x (f 0n1n 1n 1n 0m 1m 1m 1m 0¹++++++++=---- 0b 0¹，m ≤n ，试求).x (f lim x ¥® 3．求下列极限(其中n 为自然数)：(1)2x x 11x xlim +®；(2)20x x 11x x lim ++®； (3)1x nx x x lim n 21x --+++® ；(4)x1x 1lim nx -+®;(5)úûùêëé®x 1lim 0x ;(6)[]x x1lim x +¥®. 4．求下列函数在0x =处的左右极限或极限。
安徽师范大学考研数学分析教案chap3函数极限
第三章 函数极限教学目标：1. 掌握各种情形下的函数极限的基本概念与性质。
2. 掌握极限存在性的判定及应用。
3. 熟练掌握求函数极限的基本方法；熟练掌握重要极限x x sin lim 0x →，x x )x11(lim +∞→及其应用。
4. 掌握无穷小(大)量及其阶的概念，并将它们运用到求极限中。
重点：函数极限的概念、性质及计算。
难点：Heine 定理与Cauchy 准则的应用。
教学内容：§3.1 函数极限概念 一、x 趋于∞时函数的极限定义1 设f 为定义在[a, +∞)上的函数，A 为定数。
若对ε∀＞0，∃正数M(≥a)，使得当x ＞M 时有A )x (f -＜ε，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =+∞→或f(x)→A(x →+∞).注1. A )x (f lim x =+∞→可看作数列极限a )n (f lim n =∞→的直接推广。
它们不同之处在于，这里所考虑的是所有大于M 的实数（连续），而不仅仅是正整数(跳跃性的)。
注2. A )x (f lim x =+∞→的几何意义。
注3. A )x (f lim x ≠+∞→0ε∃⇔＞0，对M ∀＞a ，'x ∃＞M 使得A )'x (f -≥0ε.例1. 证明：(1)0xxsin limx =+∞→；(2) 231x 21x 3limx =-++∞→；(3) 2x arctan lim x π=+∞→ 定义1' (i)设f 是定义在U （-∞）(即(-∞,b])上的函数，A 为定数. 若对ε∀＞0，∃正数M(-M ≤b)，使得当x ＜-M 时有A )x (f -＜ε,则称f 当x 趋于-∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =-∞→或f(x)→A(x →-∞).(ii)设f 是定义在U(∞)(即|x|≥a)上的函数，A 为定数. 若对ε∀＞0，∃正数M(≥a)，使得当|x|＞M 时有A )x (f -＜ε,则称f 当x 趋于∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =∞→或f(x)→A(x →∞).思考题：①用“ε-M ”语言叙述A )x (f lim x ≠-∞→及A )x (f lim x ≠∞→.②它们的几何意义？例2. 证明：(1) 21x 21x lim x -=--∞→；(2) 0a lim x x =-∞→(a ＞1)；(3) 2x arctan lim x π-=-∞→. 例3. 证明：(1) 0x1limx =∞→； (2) 1x11lim 2x =+∞→.命题 设f 为定义在U(∞)上的函数，则A )x (f lim x =∞→⇔A )x (f lim )x (f lim x x ==-∞→+∞→.注：x arctan lim x ∞→不存在.二、x 趋于x 0时函数的极限定义2(函数极限的δ-ε定义) 设函数f 在点x 0的某空心邻域U 0(x 0；δ')内有定义，A 为定数. 若对ε∀＞0，δ∃＞0(δ＜δ')，使得当0＜|x-x 0|＜δ时有A )x (f -＜ε,则称函数f 当x 趋于x 0时以A 为极限，记作A )x (f lim 0x x =→或f(x)→A(x →x 0).例4. 证明：(1) 6)4x 2(lim 1x =+→；(2) 42x 4x lim 22x =--→；(3) 1x sgn lim 0x =→.例5. 证明：(1) o x x x sin x sin lim 0=→；(2) o x x csox x cos lim 0=→.例6. 证明：321x x 21x lim221x =---→ 例7. 证明：(1) o x x x x lim=→；(2) 202x x x 1x 1lim 0-=-→(|x o |＜1).由ε-δ定义立得c c lim 0x x =→，0x x x x lim 0=→(c 为常数，x 0为定实数)注1. 定义2中的δ，相当于数列极限ε-N 定义中的N ，它依赖于ε，但也不是由ε所唯一确定. 一般，ε愈小，δ相应也小一些.注2. A )x (f lim 0x x =→研究的只是x →x 0这一过程中函数值f(x)的变化趋势，它与f(x)在点x 0是否有定义或取什么值无关. 因此，只需在x 0的空心邻域中考虑. 注3. 0＜|x-x 0|＜δ⇔x ∈U 0(x 0;δ); |f(x)-A|＜ε⇔f(x)∈U(A;ε).于是, A )x (f lim 0x x =→⇔ε∀＞0，δ∃＞0，当x ∈U 0(x 0; δ)时有f(x)∈U(A; ε).⇔ε∀＞0，δ∃＞0，使得f(U 0(x 0; δ))⊂U(A; ε). 注4. ε-δ定义的几何意义.定义3 设函数f 在0U +(x 0; δ')=(x 0, x 0+δ'）（或0U -(x 0; δ')=(x 0-δ', x 0）)内有定义，A 为定数. 若对ε∀＞0，δ∃＞0(δ＜δ'），使得当x 0＜x ＜x 0+δ(或x 0-δ＜x ＜x 0)时有|f(x)-A|＜ε,则称数A 为函数f 当x 趋于x +0(或x -0）时的右(左）极限，记作A )x (f lim 0x x =+→（A )x (f lim 0x x =-→）或 f(x)→A(x →x +0)（f(x)→A(x →x -0)）右极限与左极限统称为单侧极限。
数学分析之函数极限
2. 是不惟一的, 一旦求出了, 那么比它更小的正
数都可以充当这个角色.
3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0,对于坐标
平面上以 y =A为中心线, 宽为2 的窄带,可以找到
0, 使得曲线段
y
yf(x )x , U (x 0 , )
可以先限制 xx0 1, 因为此时有
x x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 x 0
12 x0 ,
所以 x 2 x 0 2 (1 2 x 0)x x 0,故只要
xx0
12 x0
.
证 0,取min1,12x0,当 0xx0
时, 有 x2x02 .
这就证明了
limx2
limf(x)A 或者 f(x ) A (x ) .
x
lim f(x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM时
注 1.xl im f(x)A与 n l i m xna定 义 比 较
函数 定义域 自变量变化趋势 函数值变化趋势 定义
一、x 趋于时的函数极限 二、x 趋于x0时的函数极限
三、单侧极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、x趋于时的函数极限
设函数 f (x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
f (x)当 x 趋于 时以A为
O
极限.
f (x)
《数学分析》第三章 函数极限教案
f (x) A (x x0 ) 。
下面我们举例说明如何应用 定义来验证这种类型的函数极限。请读者特
别注意以下各例中 的值是怎样确定的。
例 3 设 f (x) x 2 4 ，证明 lim f (x) 4 。
Байду номын сангаас
x2
x2
证 由于当
时， f (x) 4 x 2 4 4 x 2 4 x 2 , x2
证 任给 0 ，由于
arctan x ( ) 2
（2）
等价于 arctan x ，而此不等式的左半部分对任何 x 都成立，
2
2
所以只要考察其右半部分 x 的变化范围。为此，首先限制 ，则有 2
. 4.
x
tan(
)
tan(
)
2
2
故对任给的正数
，只须取 M
tan(
lim f (x) A lim f (x) A, lim f (x) A
x
x
x
例 1 证明 lim 1 0 。 x x
（1）
证
任给
0 ，取 M
1
，则当
x
M
时,有:
1 0 1 1
x
xM
所以 lim 1 0 。 x x
例 2 证明：1） lim arctan x ；
x
2
2） lim arctan x x
) ，则当 x
M
时,便有
2
2
（2）式成立。这就证明了 1）。类似地可证 2）。
注 由结论（1）可知，当 x 时 arctan x 不存在极限。(为什么？)
二． x 趋于 x0 时函数的极限
设 f (x) 为定义在 x0 某个空心邻域U 0 (x0 ) 内的函数。现在讨论当 x 趋于 x0 (x x0 ) 时，对应的函数值能否趋于某个定数 A 。
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第3章 函数极限与连续函数【圣才出品】
的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}成立
。
（2）Heine 定理的另一表述
，且
存在的充分必要条件是：对于任意满足条件
且
xn≠x0（n=1，2，3，…）的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}收敛。
5．单侧极限
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第 3 章 函数极限与连续函数
3.1 复习笔记
一、函数极限 1．函数极限的定义 设函数 y=f（x）在点 x0 的某个去心邻域中有定义，即存在 ρ>0，使
如果存在实数 A，对于任意给定的 ε>0，可以找到 δ>0，使得当
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则称当
时，
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是有界量，记为
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若又存在 ，当 在 的某个去心邻域中，成立
则称当
时，
与 是同阶无穷小量。
（3）若
，称当
时， 与 是等价无穷小量，记为
2．无穷大量的比较
设
是两个变量，当
时它们都是无穷大量，讨论 的极限情况。
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（3）函数极限
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存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的 ε>0，存
在 X>0，使得对一切 x′，x″>X，成立
二、连续函数 1．连续函数的定义 （1）在某点处连续 设函数 f（x）在点 x0 的某个邻域中有定义，并且成立
①若 f（x）>g（x）成立。
②推论
1-6章数学分析课件第3章函数极限3-1
f ( x ) → A ( x → x0 ).
x +1 2 1 例5 证明 lim . = x →1 x 1 2 2
分析 对于任意正数 ε ,要找到 δ > 0, 当 0 < | x 1 | < δ 时, 使
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x +1 2 1 = x 1 2 2
1 1 x+1+ 2 2 2
x 1
x→∞
f ( x ) 定义在 ∞ 的一个邻域内，则 的一个邻域内，
的充要条件是： lim f ( x ) = A 的充要条件是：
x→ ∞
lim f ( x ) = lim f ( x ) = A.
x→ +∞
例如
π π lim arctan x = , lim arctan x = , x → ∞ 2 x →+∞ 2
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1 = 0. 例4 求证 lim 2 x →∞ 1 + x
证 对于任意正数 ε , 可取 M =
1
ε
, 当 x > M 时, 有
1 1 0 < 2 <ε, 2 1+ x x
所以结论成立. 所以结论成立.不难得到: 从定义 、2 、3 不难得到 定理 3.1
x → x0
右极限与左极限统称为单侧极限, 为了方便起见， 右极限与左极限统称为单侧极限 为了方便起见， 有时记
f ( x0 + 0) = lim+ f ( x ) , f ( x0 0) = lim f ( x ).
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在上面例题中 需要注意以下几点： 在上面例题中, 需要注意以下几点： 题中 1. 对于 δ , 我们强调其存在性 换句话说 对于固定 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定 的 ε , 不同的方法会得出不同的δ , 不存在哪一个更 好的问题. 好的问题 那么比它更小的正 是不惟一的, 2. δ 是不惟一的 一旦求出了δ , 那么比它更小的正 数都可以充当这个角色. 都可以充当这个角色 是任意的,一旦给出 它就是确定的常数. 一旦给出,它就是确定的常数 3. 正数 ε 是任意的 一旦给出 它就是确定的常数
数学分析3.1函数极限概念
第三章 函数极限 1 函数极限概念一、x 趋于∞时的函数极限定义1：设f 为定义在[a,+∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限， 记作：lim x→+∞f (x )=A 或f(x)→A(x →+∞).定义1的几何意义如右上图：正数ε越小时，一般x=M 越大；f(x)的图象右边落在x=M 与y=A+ε和y=A-ε围成的带形区域里。
设f 为定义在U(-∞)或U(∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x<-M 或|x|>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于-∞或∞时以A 为极限，记作：lim x→−∞f (x )=A 或f(x)→A(x →-∞)；lim x→∞f (x )=A 或f(x)→A(x →∞).lim x→∞f (x )=A lim x→+∞f (x )=lim x→−∞f (x )=A.例1：证明limx→∞1x=0.证：任给ε>0，取M =1ε，则当|x|>M 时，有|1x −0|=1|x|<1M =ε，∴lim x→∞1x=0.例2：证明(1)lim x→−∞arctan x =−π2；(2)lim x→+∞arctan x =π2.证：(1)任给ε>0，要使|arctan x −(−π2)|<ε，即-ε−π2<arctan x<ε−π2， ∵arctan x ≥−π2>-ε−π2，∴只须使arctan x<ε−π2，即x<tan (ε−π2)= -tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x<-M 时， 便有|arctan x −(−π2)|<ε，∴lim x→−∞arctan x =−π2.(2)任给ε>0，要使|arctan x −π2|<ε，即π2−ε<arctan x<ε+π2， ∵arctan x ≤π2<ε+π2，∴只须使arctan x>π2−ε，即x>tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x>M 时， 便有|arctan x −π2|<ε，∴lim x→+∞arctan x =π2.注：∵lim x→−∞arctan x =−π2≠π2=lim x→+∞arctan x ，∴lim x→∞arctan x 不存在。
数学分析上册练习题及答案第三章函数极限
第三章函数极限1． 函数极限概念1． 按定义证明下列极限：（1）65lim 6x x x→+∞+=；（2）22lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=； （5）00lim cos cos x x x x →=.证明（1）任意给定0ε>，取5M ε=，则当x M >时有65556x x x Mε+-=<=.按函数极限定义有65lim6x x x→+∞+=.（2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--.若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3εδ=，则当02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22lim(610)2x x x →-+=.(3)由于22254111x x x --=--.若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ⎧⎪=⎨⎪⎩，则当x M >时有22225441111x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-.(4)0==若此时限制021x <-<，==<=0ε>，取2min{1,}4εδ=，当02x δ<-<022εε<≤⋅=，故由定义得2lim 0x -→=.（5）因为sin ,x x x R ≤∈，则0000000cos cos 2sinsin 2sin sin 222222x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤⋅=-.对任给的0ε>，只要取δε=，当00x x δ<-<时，就有00cos cos x x x x δε-≤-<=，所以按定义有00lim cos cos x x x x →=.2． 叙述0lim ()x x f x A →≠。
函数极限计算
函数极限计算一、课程目标知识目标：1. 理解函数极限的定义，掌握函数极限的基本性质；2. 学会运用数列极限的四则运算法则进行函数极限的计算；3. 掌握常见的极限公式，并能运用到实际计算中；4. 能够利用函数极限的性质和运算法则，解决一些简单的实际问题。
技能目标：1. 能够准确地识别并描述函数在某一点的极限情况；2. 熟练运用极限的四则运算法则，正确进行函数极限的计算；3. 学会利用函数极限的性质，分析函数在某一点的连续性；4. 能够运用所学知识，解决高中数学及相关学科中的问题。
情感态度价值观目标：1. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，提高对数学学科的兴趣；2. 培养学生的团队协作精神，学会在讨论与交流中共同解决问题；3. 培养学生面对困难时，勇于尝试、坚持不懈的品质；4. 培养学生对数学美的感知，激发对数学文化的探索热情。
课程性质：本课程为高中数学课程，主要针对高三年级学生，属于数学分析初步内容。
学生特点：高三学生已具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但对于函数极限这一抽象概念，可能存在理解上的困难。
教学要求：教师应注重概念的解释和实例的引导，使学生能够循序渐进地掌握函数极限的知识，同时关注学生的个体差异，提供针对性的指导。
通过本课程的学习，使学生能够达到上述课程目标，为后续高等数学学习打下坚实基础。
二、教学内容1. 函数极限的定义与性质- 函数极限的概念- 函数极限的左极限与右极限- 函数极限的性质2. 极限的四则运算法则- 极限的加减乘除法则- 复合函数的极限运算法则3. 常见极限公式的推导与运用- 无理数极限公式- 三角函数极限公式- 指数函数与对数函数极限公式4. 函数极限的计算方法- 等价无穷小替换法- 泰勒展开法- 分段函数的极限计算5. 函数极限与连续性的关系- 极限与连续性的定义- 利用极限判断函数的连续性6. 实际应用与例题解析- 利用函数极限解决实际问题- 典型例题解析教学内容安排与进度：第一课时：函数极限的定义与性质第二课时：极限的四则运算法则第三课时：常见极限公式的推导与运用第四课时：函数极限的计算方法第五课时：函数极限与连续性的关系第六课时：实际应用与例题解析教材章节关联：《数学分析》第三章：函数的极限与连续性内容涵盖：3.1 函数极限的概念与性质；3.2 极限的四则运算法则；3.3 常见函数的极限；3.4 函数的连续性与间断点。
数学分析目录
第一章集合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射与实函数3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及应用7．1微分中值定理7．2Taylor展开式及应用7．3LHospital法则及应用第八章导数的应用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类R［a，b］9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分与广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的应用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理应用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1Cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4Abel-Dirichlet 判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的Abel-Dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章Fourier级数15．1Fourier级数15．2Fourier级数的收敛性15．3Fourier级数的性质15．4用分项式逼近连续函数第十六章Euclid空间上的点集拓扑16．1Euclid空间上点集拓扑的基本概念16．2Euclid空间上点集拓扑的基本定理第十七章Euclid空间上映射的极限和连续17．1多元函数的极限和连续17．2Euclid空间上的映射17．3连续映射第十八章偏导数18．1偏导数和全微分18．2链式法则第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法19．1隐函数的求导法19．2隐函数存在定理第二十章偏导数的应用20．1偏导数在几何上的应用20．2方向导数和梯度20．3Taylor公式20．4极值20．5Logrange乘子法20．6向量值函数的全导数第二十一章重积分21．1矩形上的二重积分21．2有界集上的二重积分21．3二重积分的变量代换及曲面的面积21．4三重积分、n重积分的例子第二十二章广义重积分22．1无界集上的广义重积分22．2无界函数的重积分第二十三章曲线积分23．1第一类曲线积分23．2第二类曲线积分23．3Green公式23．4Green定理第二十四章曲面积分24．1第一类曲面积分24．2第二类曲面积分24．3Gauss公式24．4Stokes公式24．5场论初步第二十五章含参变量的积分25．1含参变量的常义积分25，2含参变量的广义积分25．3B函数和函数第二十六章Lebesgue积分26．1可测函数26．2若干预备定理26．3Lebesgue积分26．4（L）积分存在的充分必要条件26．5三大极限定理26．6可测集及其测度26．7Fubini定理练习及习题解答复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本，随着改革开放和对外交流的发展，现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。
数学分析函数极限
极限的数学符号表示
表示方法
lim f(x) = A 当 x→x0
符号表示的意义
表示当x趋向于x0时，f(x)趋向于A。
03
函数极限的性质
极限的四则运算性质
极限的加法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) + g(x)] = A + B。
数学分析函数极限
• 引言 • 函数极限的定义 • 函数极限的性质 • 函数极限存在的条件 • 无穷小量与无穷大量 • 函数极限的应用
01
引言
主题简介
01
函数极限是数学分析中的一个基 本概念，它描述了函数在某一点 附近的性质和行为。
02
极限的概念是微积分的基础，对 于理解连续函数、导数、积分等 概念至关重要。
极限的减法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) - g(x)] = A - B。
极限的乘法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) * g(x)] = A * B。
极限的除法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B（B≠0），则 lim(x→x0) [f(x) / g(x)] = A
/ B。
极限的唯一性
极限的唯一性定理
若lim(x→∞) f(x)存在，则lim(x→∞) f(x)只有一个值。
唯一性定理的意义
确保函数在无穷大处的行为是确定的，没有歧义。
利用函数极限求函数的值
函数极限解读
第三章 函数极限在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例.通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势.我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即:()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势.此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞.但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？为此，考虑下列函数:1,0;()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势,.由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.下面，我们就依次讨论这些极限.§1 函数极限的概念教学目标：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．教学要求：掌握当0x x →；∞→x ；∞+→x ；∞-→x ；+→0x x ；-→0x x 时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当0x x →时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限.一、x →+∞时函数的极限 (一) 引言设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质. 例如 1(),f x x x=无限增大时，()f x 无限地接近于0；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势.我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”.问题 如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下. (二) x →+∞时函数极限的定义定义1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数.若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限.记作lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.(三) 几点注记1、义1中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n.2、lim ()x f x A →+∞=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，()(;).f x U A ε∈3、lim ()x f x A →+∞=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中心线，以2ε为宽的带形区域.“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线()y f x =全部落在这个带形区域内.如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.4、现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若函数值()f x 能无限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作，l i m()x f x A →-∞=或()()f x A x →→-∞， l i m()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞. 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：lim ()x f x A →-∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<，lim ()x f x A →∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<.5、推论 设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==.(四) 利用lim ()x f x →+∞＝Ａ的定义验证极限等式举例例1 证明 1lim0x x→∞=. 例2 证明 1）lim 2x arctgx π→-∞=-；2）lim 2x arctgx π→+∞=.二、0x x →时函数的极限 (一) 引言上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ.本节假定f 为定义在点0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数，.现在讨论当00()x x x x →≠时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列.先看下面几个例子：例1 ()1(0)f x x =≠.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()1f x →）.例2 24()2x f x x -=-.（()f x 是定义在0(2)U 上的函数，当2x →时，()4f x →）.例3 1()f x x=.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()?f x →）. 由上述例子可见，对有些函数，当00()x x x x →≠时，对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当00()x x x x →≠时，()f x 的变化趋势.我们称上述的第一类函数()f x 为当0x x →时以Ａ为极限，记作0lim ()x x f x A →=.和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量x 越来越接近于0x 时，函数值()f x 越来越接近于一个定数Ａ”→只要x 充分接近0x ，函数值()f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接近0x 就可以了.即对0,0εδ∀>∃>，当00||x x δ<-<时，都有|()|f x A ε-<.此即0lim ()x x f x A →=.(二) 00()x x x x →≠时函数极限的εδ-定义定义2 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域()00;U x δ'内有定义，Ａ为定数，若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x 时以Ａ为极限（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0lim ()x x f x A →=或（0()()f x A x x →→.(三) 函数极限的εδ-定义的几点说明1、|()|f x A ε-<是结论，00||x x δ<-<是条件，即由00||x x δ<-<推出.2、ε是表示函数()f x 与Ａ的接近程度的.为了说明函数()f x 在0x x →的过程中，能够任意地接近于Ａ，ε必须是任意的.这即ε的第一个特性——任意性，即ε是变量；但ε一经给定之后，暂时就把ε看作是不变的了.以便通过ε寻找δ，使得当00||x x δ<-<时|()|f x A ε-<成立.这即ε的第二特性——暂时固定性.即在寻找δ的过程中ε是常量；另外，若ε是任意正数，则2,2εε均为任意正数，均可扮演ε的角色.也即ε的第三个特性——多值性；（|()|f x A ε-<|()|f x A ε⇔-≤）3、δ是表示x 与0x 的接近程度，它相当于数列极限的N ε-定义中的Ｎ.它的第一个特性是相应性.即对给定的0ε>，都有一个δ与之对应，所以δ是依赖于ε而适当选取的，为此记之为0(;)x δε；一般说来，ε越小，δ越小.但是，定义中是要求由00||x x δ<-<推出|()|f x A ε-<即可，故若δ满足此要求，则,23δδ等等比δ还小的正数均可满足要求，因此δ不是唯一的.这即δ的第二个特性——多值性.4、在定义中，只要求函数f 在0x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求f 在0x 处的函数值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑f 在点a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定“00||x x <-”.5、定义中的不等式00||x x δ<-<00(,)x U x δ⇔∈；|()|()(;)f x A f x U A εε-<⇔∈.从而定义2⇔0,0εδ∀>∃>，当00(,)x U x δ∈时，都有()(;)f x U A ε∈⇔0,0εδ∀>∃>，使得()00(,)(;)f U x U A δε⊂. 6、εδ-定义的几何意义.例1 设24()2x f x x -=-，证明：2lim ()4x f x →=.例2 设()1(0)f x x =≠，讨论0x →时()f x 的极限. 例3 证明 1）00lim sin sin x x x x →=；2）00lim cos cos x x x x →=.例4 证明 22112lim 213x x x x →-=--.例5 证明 0x x →=0(||1)x <.例6 证明 00lim ,lim x x x x C C x x →→==.例7 证明)0(11lim≠=→a ax ax .证明 注意到ax a x a x ⋅-=-11，要想它任意小，a x -可任意小，x 却不能任意小，当ax →时，它必须远离零点.当2a a x <-时，2aa x a x >--≥就远离零点了.0>∀ε, 取)2,2min(2εδaa =，则当δ<-<a x 0时, 有ε<-≤-2||211a a x a x .例8 证明 ax a x =→lim . 证明 先设0=a ，要证0lim 0=+→x x ，0>∀ε，要使ε<=x x , 取2εδ=，则当δ<<x 0时，有 εδ<<=x x ，即 0lim0=+→x x . 再设0>a ，0>∀ε, 要使ε<-a x ，注意到ax aax a x a x -≤+-=-1，只要ε<-a x a 1, 且0>x ，取)2,min(aa εδ=，则当δ<-<a x 0时，有ε<-a x ，即 ax ax =→lim .例9 验证.222lim 22=-+∞→x xx x证明 . 422 2 4 24 222 2423222x xx x x x x x x x x x =-+≤-+=--+>>例10 验证 .512372933lim 2233=+--+-→x x x x x x 证明 由,3≠x 512)3( )12()3( )3( 512372933 2223----+=-+--+-x x x x x x x x x =.12395125395 5121232---≤---=--+x x x x x x x x 为使 ,11635615595≤+-≤+-=-x x x 需有 ;13<-x 为使 ,1325562 12>--≥+-=-x x x 需有 .23<-x于是, 倘限制 130<-<x , 就有512372933 223-+--+-x x x x x 12395---≤x x x .3111311-=-≤x x . 三、单侧极限 (一) 引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如21,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩或函数在某些点仅在其一侧有定义，如2()0f x x ≥.这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论1()f x 在0x →时的极限.要在0x =的左右两侧分别讨论.即当0x >而趋于0时，应按21()f x x =来考察函数值的变化趋势；当0x <而趋于0时，应按1()f x x =来考察函数值的变化趋势；而对2()f x ，只能在点0x =的右侧，即0x >而趋于0时来考察.为此，引进“单侧极限”的概念. (二) 单侧极限的定义定义3 设函数f 在00(;)U x δ+'内有定义，Ａ为定数.若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00x x x δ<<+时有|()|f x A ε-<, 则称数Ａ为函数f 当x 趋于0x 时的右极限，记作lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→或0(0)f x A +=.类似可给出左极限定义（00(;)U x δ-，00x x x δ-<<，0lim ()x x f x A -→=或0()()f x A x x -→→或0(0)f x A -=）.注 右极限与左极限统称为单侧极限. (三) 例子例1 讨论函数1()f x 在0x =的左、右极限. 例2 讨论sgn x 在0x =的左、右极限.例3 1±处的单侧极限. (四) 函数极限0lim ()x x f x →与00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→的关系定理3.1 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==.证明 必要性:0>∀ε, 由Ax f x x =→)(lim 0, 0>∃δ, 使得当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，特别地当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，故A x f x x =+→)(lim 00.同理当δ<-<x x 00时，也有ε<-A x f )(, 故A x f x x =-→)(lim 00.充分性: 0>∀ε, 由Ax f x x =+→)(lim 00，01>∃δ, 使得当100δ<-<x x 时，有ε<-A x f )(,又由Ax f x x =-→)(lim 00, 02>∃δ, 使得当200δ<-<x x 时，有ε<-A x f )(. 令),min(21δδδ=, 当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，故A x f x x =→)(lim 0.注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：10lim ()0x f x →=.还可说明某些函数极限不存在，如由例2知0lim sgn x x →不存在.2）0(0)f x +，0(0)f x -，0()f x 可能毫无关系，如例2.§2 函数极限的性质教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算. 教学难点：函数极限性质证明及其应用. 教学方法：讲练结合.在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：1、lim ()x f x →+∞；2、lim ()x f x →-∞；3、lim ()x f x →∞；4、0lim ()x x f x →;5、0lim ()x x f x +→；6、0lim ()x x f x -→.它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以0lim ()x x f x →为代表来叙述并证明这些性质.至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可. 一、函数极限的性质性质1（唯一性） 如果)(lim x f ax →存在，则必定唯一.证法一 设)(lim x f ax →A =，B x f a x =→)(lim ,则,0,01>∃>∀δε当1||0δ<-<a x 时，ε<-|)(|A x f , (1),02>∃δ当2||0δ<-<a x 时，ε<-|)(|B x f . (2)取 {}2,1min δδδ=，则当δ<-<a x 0时（1）和（2）同时成立.因而有ε2)()())(())((<-+-≤---=-B x f A x f B x f A x f B A , (3)由ε的任意性，（3）式只有当=-B A 时，即B A =时才成立.证法二 反证,如)(lim x f a x →A =，Bx f a x =→)(lim 且B A >，取20BA -=ε，则0>∃δ，使当δ<-<a x 0时，0)(,)(εε<-<-B x f A x f ,即2)(200BA B x f A B A +=+<<-=+εε 矛盾.性质2（局部有界性） 若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域内有界.证明 取10=ε, 由 A x f x x =→)(lim 0, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 有1)(<-A x f ,即 1)()(+≤-+≤A A x f A x f ，说明)(x f 在);(00δx U 上有界，1+A 就是一个界.性质3（保序性） 设bx f ax =→)(lim ，cx g ax =→)(lim .1）若c b >，则00>∃δ，当00δ<-<a x 时有)()(x g x f >；2）若00>∃δ，当00δ<-<a x 时有)()(x g x f ≥，则c b ≥.（保不等式性）证明 1） 取20cb -=ε即得.2）反证，由1）即得.注 若在2）的条件中, 改“)()(x g x f ≤”为“)()(x g x f <”, 未必就有.B A < 以 0 ,1)( ,1)(02=≡+=x x g x x f 举例说明.推论（局部保号性） 如果bx f ax =→)(lim 且0≠b ，则00>∃δ使当00δ<-<a x 时)(x f 与b同号.性质4（迫敛性） 设0lim ()lim ()x x x x f x h x A →→==，且在某00(;)U x δ'内有()()()f x g x h x ≤≤，则0lim ()x x h x A →=.证明 0>∀ε, 由Ax f x x =→)(lim 0，01>∃δ，使得当100δ<-<x x 时，有ε<-A x f )(，即 εε+<<-A x f A )(.又由Ax h x x =→)(lim 0，02>∃δ，使得当200δ<-<x x 时 ，有ε<-A x h )(， 即εε+<<-A x h A )(.令),min(21δδδ=，则当δ<-<00x x 时，有εε+<≤≤<-A x h x g x f A )()()( 即 ε<-A x g )(，故 A x g x x =→)(lim 0.性质6（四则运算法则） 若0lim ()x x f x →和0lim ()x x g x →都存在，则函数,f g fg ±当0x x →时极限也存在，且 1）[]0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±；2）()0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅.又若0lim ()0x x g x →≠，则fg 当0x x →时极限也存在，且有 3）000lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x f x g x g x →→→=. 3）的证明只要证B x g x x 1)(1lim0=→，令020>=B ε，由B x g x x =→)(lim 0，01>∃δ使得当100δ<-<x x 时，有2)(BB x g <-， 即 22)()(B B B B x g B x g =-≥--≥. 0>∀ε, 仍然由B x g x x =→)(lim 0，02>∃δ, 使得当200δ<-<x x 时，有ε2)(2BB x g <-.取),min(21δδδ=，则当δ<-<00x x 时，有 εε=⋅<-≤-=-22)(2)()(1)(1222BB B x g B B x g Bx g B x g 即 B x g xx 1)(1lim 0=→.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：;cos cos lim ,sin sin lim ,lim ,lim 0000x x x x x x C C xx x x x x x x====→→→→ .2lim ,01limπ±==±∞→∞→arctgx x x x （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时, 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 求01lim x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例2 求4lim(1)x xtgx π→-.例3 求3113lim()11x x x →--++. 例4 .523735lim 233+++-∞→x x x x x 例5 .11lim 1071--→x x x [利用公式121(1)(1)n n n a a a a a ---=-++++].例6 .2122lim 221-+-+-→x x x x x 例7 .53132lim22++++∞→x x x x例8 .23)102sin(lim 254xx x x x --+∞→例9 .1111lim3-+-+→x x x§3 函数极限存在条件教学目标：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性. 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路. 教学重点：海涅定理及柯西准则. 教学难点：海涅定理及柯西准则 运用.教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用.在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”.我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务.本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的.首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）. 一、归结原则定理1（Heine 定理） 设f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔对任何含于00(;)U x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞都存在且相等.证明 必要性:在()0U x 中任取序列}{n x ，且0lim x x n n =∞→，要证A x f n n =∞→)(lim .0>∀ε，由Ax f x x =→)(lim 0，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(.对于0>δ，由0x x n →，N ∃，使得当N n >时，有δ<-<00x x n ，于是当N n >时，有ε<-A x f n )(，即Ax f n n =∞→)(lim .充分性:如果不然，即0x x →时，)(x f 不以A 为极限，则00>∃ε，0>∀δ，δδδ<-<∈∃0000)(x x x U x ，使得0)(εδ≥-A x f .令),2,1(1 ==n n δ，则n x x x U x n n 10,)(000<-<∈∃，使得0)(ε≥-A x f n .对于序列}{n x ，0x x n →，()0n x U x ∈，但0)(ε≥-A x f n ，显然与条件A x f n n =∞→)(lim 矛盾. 判断)(lim 0x f x x →不存在之方法：在()0U x 中找到两个序列}{nx '和}{n x ''都趋向于0x ，两个极限)(lim nn x f '∞→和)(lim n n x f ''∞→都存在，但不相等，这实际上是充要条件，充分性的证明用本节定理就行了，必要性的证明要到第七章讲完紧性以后才能证，我们目前也只用到它的充分性.注1 {}()n f x 是数列，lim ()n n f x →∞是数列的极限.所以这个定理把函数()f x 的极限归结为数列{}()n f x 的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质.注 2 从Heine 定理可以得到一个说明0lim ()x x f x →不存在的方法，即“若可找到一个数列{}n x ，0lim n n x x →∞=，使得lim ()n n f x →∞不存在；”或“找到两个都以0x 为极限的数列{}{},n n x x '''，使lim (),lim ()n n n n f x f x →∞→∞'''都存在但不相等，则0lim ()x x f x →不存在.例1 证明01lim sin x x→不存在.证明 令21→='nx n π0)2(121→+=''πn x n ，01sin ='n x , 当然趋于0， 11sin=''n x , 当然趋于1，故x 1sin当0→x 注3 对于00,,,x x x x x x +-→→→+∞→-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式.如当0x x +→时有：定理2 设函数f 在0x 的某空心邻域00()U x +内有定义，0lim ()x x f x A +→= ⇔对任何以0x 为极限的递减数列{}00()n x U x +⊂，有lim ()n n f x A →∞=.二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以0x x +→这种类型为例叙述如下:定理3 设f 为定义有00()U x +上的单调有界函数，则右极限0lim ()x x f x +→存在.注 定理3可更具体地叙述如下：f 为定义在00()U x +上的函数，若（1）f 在00()U x +上递增有下界，则0lim ()x x f x +→存在，且0()lim ()inf ()x x x U x f x f x ++→∈=；（2）f 在00()U x +上递减有上界，则0lim ()x x f x +→存在，且000()lim ()sup ()x x x U x f x f x ++→∈=.更一般的有：定理 设)(x f 在)(00x U -上定义，且)(x f 单调上升，则)(lim 00x f x x -→存在且等于 )(sup )(00x f x U x -∈.证明 令=A )(sup )(00x f x U x -∈, 当集合 )}(|)({00x U x x f -∈有上界时, +∞<A ，当它无上界时，+∞=A .1) +∞<A0>∀ε, 由上确界定义，∈'∃x )(00x U -, 使得ε->'A x f )(, 取00>'-=x x δ，则当δ<-<x x 00时，由函数单调上升得ε->'≥A x f x f )()(, 再由上确界定义εε->>+A x f A )(或 ε<-A x f )(, 即)(sup )(lim )(0000x f A x f x U x x x -∈-→==.2) +∞=A因集合无上界，对0>∀M ,∈'∃x )(00x U -, 使得M x f >')(.取 00>'-=x x δ，则当δ<-<x x 00时, 有M x f x f >'≥)()(, 即)(sup )(lim )(0000x f x f x U x x x -∈-→=+∞=.类似地我们有:)(x f 在)(00x U -定义，且)(x f 单调下降,则)(inf )(lim )(0000x f x f x U x x x -∈-→=, 以及关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表述和证明. 三、 函数极限的Cauchy 收敛准则定理４（Cauchy 准则） 设函数f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何00,(;)x x U x δ'''∈有|()()|f x f x ε'''-<.证明 )⇒ ( 利用极限的定义 )设bx f ax =→)(lim ，则 0>∀ε，0>∃δ（δδ'<）当δ<-<||0a x 时有2/|)(|ε<-b x f ,从而当δ<-'<||0a x ，δ<-''<||0a x 时有εεε=+<-''+-'≤''-'2/2/|)(||)(||)()(|b x f b x f x f x f)⇐( 利用Heine 归并原则 )设}{n a ),('δa U⊂且a a n n =∞→lim ，由假设，0>∀ε，0>∃δ（δδ'<），只要x '，x ''),(δa U∈ε<''-'⇒|)()(|x f x f ,对此δ，0n ∃，当0,n n m >时有 δ<-<||0a a m ，δ<-<||0a a n . 从而 ε<-|)()(|m n a f a f 由数列的Cauchy 收敛准则，)(lim n n a f ∞→存在设为b a f n n =∞→)(lim 设}{n b ),('δa U⊂为另一数列，且a b n n =∞→lim 则同上可得)(lim n n b f ∞→存在,设为c b f n n =∞→)(lim ,考虑数列},,,,,,{}{2211 n n n b a b a b a C =易见}{n C ),('δa U⊂且a C n n =∞→lim如上所证，)(lim n n C f ∞→存在，作为)}({n C f 的两个子列)}({n a f 、)}({n b f 必收敛于同一极限，即c b =.因此由归结原则得 bx f ax =→)(lim .注 按照Cauchy 准则，可以写出0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在0ε>，对任意(0)δ>，存在00,(;)x x U x δ'''∈使得|()()|f x f x ε'''-≥.例 用Cauchy 准则说明01lim sin x x→不存在.证明 取 .21,1πππ+=''='n x n x例5 设在 [) , ∞+a 上函数)(x f ↘. 则极限 )(lim x f x +∞→存在, )( x f ⇔在[) , ∞+a 上有界. ( 简证, 留为作业 ).综上所述：Heine 定理和Cauchy 准则是说明极限不存在的很方便的工具.§3.4 两个重要的极限教学目标：掌握两个重要极限，并能熟练应用.教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用. 教学重点：两个重要极限的证明及运用. 教学难点：两个重要极限的证明及运用.教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习. 一、 0sin lim1x xx→=的证明在单位圆盘}1|),{(22≤+=y x y x D 上，x 是圆心角AOB ∠，以弧度计，即它恰好等于AB , 而BC x =sin 是弦长B B '之半，它的几何意义是sin 2sin 1(0)2x x BB x x x BB '==→→'，即圆心角趋于0时，对应的弦长与弧长之比趋于1.证明 设20π<<x , AOB ∆面积<扇形AOB 面积<AOD ∆面积，即tgx x x 2121sin 21<<，sin cos <x xx 用偶函数性质，这不等式在2<<-x π时也成立.令 0→x , 1cos lim 0=→x x , 两边夹得出 1sin lim0=→x xx .推论 R ∈∀x ，x x ≤sin ，等号成立当且仅当0=x 证明20π<<x 时, 1|||sin |sin <=x x x x , 当2π≥x 显然成立，而0=x 时等号成立，且只有0=x 时等号成立. 二、 0sin lim1x xx→=的应用例1 求20cos 1limx xx -→.解2222222sin 1cos 1sin 2()2xx xxx x -==，令2x t =，则0→x 时0→t ；故有21)sin (21lim cos 1lim2020==-→→t t xx t x . 例2 求x xx -→ππsin lim.解 令x t -=π，则 t t x sin )sin(sin =-=π；且当π→x 时0t →，故 1sin lim sin lim0==-→→t tx x t x ππ.例3 求nx mxx sin sin lim0→（0,0≠≠x n ）.证明 当0≠m 时n m nx nx n mx mxm nx mx →⋅⋅=sin sin sin sin ；当0=m 时原式0=.注 利用归结原则，可求数列极限.如求1sin1limlim sin n n n n nn→∞→∞=，直接利用0sin lim 1x x x →=是不严格的；但已知0s i n li m 1x x x →=，故取,(1,2,)n x n nπ==，则0()n x n →→∞，从而由归结原则1sinlim ()lim 01n n n n f x n→∞→∞==. 三、证明1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()10lim 1e ααα→+=.证明 先证+∞→x 情况，当1>x 时，有][11111][11x x x +≤+≤++.xx x x x x )][11()11()1][11(+≤+≤++，eex x x x x x ↓↓+≤+≤+++1][][)][11()11()1][11(所以 ex x x =+∞→)11(lim .再证-∞→x 情况, 令+∞→-=y y x ,，e y y y x y y y y x x =-+⋅-+=-=+-+∞→-+∞→-∞→)111()111(lim )11(lim )11(lim 1 由极限与单侧极限关系定理，得 ex x x =+∞→)11(lim .推论 et tt =+→10)1(lim .证明 令x t 1=, 即得.四、应用例1 求xx x 10)21(lim +→.解 令x u 2=，则u x 21=；且当0→x 时0→u （0≠x 时0≠u ），因此，2202010])11[(lim )1(lim )21(lim e u u x u u uu x x =+=+=+→→→.例2 求xx x 10)1(lim -→.解 令u x -=，则当0→x 时0→u ，因此，e u u x u u uu xx 1])11[(lim )1(lim )1(lim 101010=+=+=--→-→→例3 求xx x x )3212(lim ++∞→.解xx xx x x x )2111(1)1221(1)3212(++=++=++x x x )2111(lim ++∞→ee x x x x =⋅=++⋅++=-+∞→1)2111()2111(lim 2121，故原式e 1=.也可利用以下结论：0)(lim >=→A x f a x ，Bx f a x =→)(lim ，则Bx g ax A x f =→)()(lim ，1322232])3221[()3221()3212(-+-+--→+-+=+-+=++e x x x x x xx x x .§3.5 无穷小量与无穷大量教学目标：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大． 教学要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念；能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“o ”与“O ”．教学重点：无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． 教学难点：熟练使用“o ”与“O ”进行运算．在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞=. 我们称之为无穷小数列.通过前面几节对函数极限的学习.我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形.例如：limsin 0,x x →= 20lim 0,x x →=，我们给这类函数一个名称——“无穷小量”.既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量. 一、无穷小量 (一) 定义定义1 设f 在某00()U x 内有定义.若0lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量.记作：0()(1)()f x x x =→.类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量.例 (1,2,),sin ,1cos k x k x x =-都是当0x →1x -→时的无穷小量；21sin ,x x x是x →∞时的无穷小量. (二) 无穷小量的性质1、先引进以下概念定义2（有界量） 若函数g 在某00()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作：0()(1)()g x O x x =→.例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞； 1sin x是当0x →时的有界量，即1sin(1)(0)O x x=→. 注 任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()(1)()f x x x =→，则()(1)()f x O x x=→. 区别 “有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>0，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤.这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界.2、性质性质1 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 性质2 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量.性质3 0lim ()()x x f x A f x A →=⇔-是当0x x →时的无穷小量⇔0lim(())0x x f x A →-=.例如：201lim sin0x x x→=，2300lim()0,lim sin 0x x x x x x →→±==.问题 两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：22222200000sin 2lim 0,lim ?,lim 1,lim 1,lim 2x x x x x x x x x x x x x xx →→→→→=====. 引申 同为无穷小量，20lim 0x x x→=，而20lim x x x →不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的.这个“级别”表现在收敛于0（或趋近于0）的速度有快不慢.就上述例子而言，这个“级别”的标志是x 的“指数”，当0x →时，x 的指数越大，它接近于0的速度越快.这样看来，当0x →时，2x 的收敛速度快于x 的收敛速度.所以其变化结果以2x 为主.此时称2x 是（当0x →时）x 的高阶无穷小量，或称0x →时， x 是2x 的低阶无穷小量.一般地，有下面定义：3、穷小量阶的比较（主要对0x x →叙述，对其它类似） 设当0x x →时，,f g 均为无穷小量.（1）若0()lim0()x x f x g x →=，则称0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，或称g 为f 的低阶无穷小量，记作0()(())()f x o g x x x =→. 即0()(())()f x o g x x x =→⇔0()lim0()x x f x g x →=. 例1 求0arctan limsin 4x xx→.解 ()arctan 0xx x →，()sin 440x x x →，故00arctan 1lim lim sin 444x x x x xx→→==.例2 22444000(tan sin )tan (1cos )12lim lim limsin sin 2x x x x x x x x x x x x x x →→→⋅--===. 例3323112arcsin )11ln(lim--+→x x x .解 1→x 时，31-x 0→，01232→-x ，)11ln(3-+x ∽31-x （1→x ），arcsin 3212-x ∽3212-x （1→x ），故原式3313231221121lim121lim=+=--=→→x x x x x例4 x e x xe x x x x 2)ln()ln(sin lim2220-+-+→.解 原式xx x x x e e x e e x 22220ln )ln(ln )ln(sin lim -+-+=→)1ln()sin 1ln(lim 2220x x x e x e x ++=→1sin lim 2220==→x xx e x e x.千万注意：不是因子不能用等价无穷小量替换.如2111lim 1n n n n →∞-+=，显然不能用11+n 替n 1最后给出一个很有用的表达式：()()()f x g x x a →即()lim1()x af xg x →=，即()()lim 0()x a f x g x g x →-=即))(()()(x g o x g x f =-或))(()()(x g o x g x f +=)(a x →，如)(si n x o x x +=，)(21cos 122x o x x +=-)0(→x .此时称)(x g 为α的主部.)1(111222x o x x x +=+注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代. (三) 小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质.无穷小量比较.两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量.但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较.例如021lim sinlim 0x x x x x x x →→==. 二、无穷大量(一) 问题 “无穷小量是以0为极限的函数”.能否仿此说“无穷大量是以∞为极限的函数”.答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数()f x 当0x x →时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“∞”不具有这种属性，它仅仅是一个记号.所以不能简单地讲“无穷大量是以∞为极限的函数”.但是，确实存在着这样的函数，当0x x →时，()f x 与()or ∞+∞-∞无限接近.例如：1）1()f x x =，当0x →时，1x 与∞越来越接近，而且只要x 与0充分接近，1x 就会无限增大；2）1()1f x x =-，当1x →时，也具有上述特性.在分析中把这类函数()f x 称为当0x x →时有非正常极限∞.其精确定义如下： (二) 非正常极限定义2（非正常极限） 设函数()f x 在某00()U x 内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在0δ>，当0000(;)(())x U x U x δ∈⊂时有|()|f x M >，则称函数()f x 当0x x →时有非正常极限∞，记作lim ()x x f x →=∞.注 1）若“|()|f x M >”换成“()f x M >”，则称()f x 当0x x →时有非正常极限+∞；若换成(),f x M <- 则称()f x 当0x x →时有非正常极限-∞，分别记作0lim (),lim ()x x x x f x f x →→=+∞=-∞.2) 关于函数f 在自变量x 的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列{}n a 当n →∞时的非正常极限的定义，都可类似地给出.例如：lim ()0x f x M →+∞=-∞⇔∀>，当x M >时，()f x M <-;lim 0n n a M →∞=+∞⇔∀>，0N ∃>，当n N >时，n a M >.(三) 无穷大量的定义定义3 对于自变量x 的某种趋向（或n →∞），所有以,or ∞+∞-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.例如：21x当0x →时是无穷大量；(1)xa a >当x →+∞时是无穷大量. 注 1）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;2）若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为00()U x 上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量.例如；()sin f x x x =在()U +∞上无界，但lim ()x f x →+∞≠∞;3）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念.(四) 利用非正常极限定义验证极限等式例3 证明 (1) ∞=→201limx x ，+∞=+→x x 1lim 0，-∞=-→x x 1lim 0; (2) ∞=-+→12lim 21x x x .证明 (1) 0>∀G ，要使G x >21，只要G x 1||<.因而取G 1=δ，则当0||x δ<<时都有G x x f >=21|)(|即∞=→201lim x x . 其余可类似证明. (2) 设21|1|<-x 即2321<<x ，0>∀M ，欲使M x x x x x x x >-=-⋅+≥-⋅++=-+|1|154|1|112/32|1|1|12||12|2成立，只须M x 54|1|<-,故取}54,21min{M =δ，当δ<-<|1|0x 时，有M x x >-+|12|2 即∞=-+→12lim 21x x x .例4 证明当1a >时，lim x x a →+∞=+∞.三、无穷小量与无穷大量的关系定理 （1）设f 在00()U x 内有定义且不等于0，若f 为当0x x →时的无穷小量，则1f为0x x →时的无穷大量；（2）若g 为0x x →时的无穷大量，则1g为0x x →时的无穷小量.。
【免费下载】34两个重要的极限
2、明 lim f (x) 不存在.如 lim sin 1 .
x
证明中用到归结原则，数列极限的 Cauchy 准则.
x
x
§3.4 两个重要的极限
一、 lim sin x 1 的证明 x0 x
在单位圆盘 D {(x, y) | x2 y 2 1} 上， x 是圆心角 AOB ，以弧度计，即它恰好等于 AAB ,
x 2
x 2
，则 x
(x 0) ，
.
x,
第三章 函数极限
显然成立，而 x 0 时等号成立，且
0时
D B x 0 CA
3
《数学分析》上册教案
证明 当 m 0 时
当 m 0 时原式 0 .
注
严格的；但已知 lim x0
lim
n
f
三、证明
(xn )
利用归结原则，可求数列极限.如求 lim
第三章 函数极限
2
《数学分析》上册教案
而 sin x BC 是弦长 BB 之半，它的几何意义是
即圆心角趋于 0 时，对应的弦长与弧长之比趋于 1.
证明
设
0 x
用偶函数性质，这不等式在 2
令
x 0,
2,
lim cos x 1
x0
sin x x
2sin x 2x
BB BAB
2、
lim
x
x
x sin x x2 4
例 lim sin x 1 . x0 x
二 、关于归结原则(Heine 定理)
(5x 1)90
0
.
1
2 3
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《数学分析》10第三章-函数极限第三章 函数极限引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。
二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。
通过数列极限的学习。
应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。
例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势。
我们知道，从函数角度看，数列{}na 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}na ，即 :()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势。
此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。
但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？为此，考虑下列函数:1,0;()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势, L由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。
但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。
而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。
下面，我们就依次讨论这些极限。
§1 函数极限的概念一、x →+∞时函数的极限１． 引言设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。
这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。
例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。
正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势。
我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”。
[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下.2. x →+∞时函数极限的定义定义１ 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数。
若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限。
记作lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞. ３． 几点注记（１） 定义１中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n 。
（２） lim ()x f x A →+∞=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，()(;).f x U A ε∈ （３） lim ()x f x A →+∞=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中心线，以2ε为宽的带形区域。
“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线()y f x =全部落在这个带形区域内。
如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。
（４） 现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若函数值()f x 能无限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作，lim ()x f x A →-∞=或()()f x A x →→-∞， lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞。
这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：lim ()x f x A →-∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<， lim ()x f x A →∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<。
（５）推论：设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==。
４．利用lim ()x f x →+∞＝Ａ的定义验证极限等式举例 例１ 证明 1lim 0x x →∞=.例２ 证明 １）lim 2x arctgx π→-∞=-；２）lim 2x arctgx π→+∞=. 二、0x x →时函数的极限１．引言上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ。
本节假定f 为定义在点0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数，。
现在讨论当00()x x x x →≠时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列。
先看下面几个例子：例１()1(0)f x x =≠.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()1f x →） 例２ 24()2x f x x -=-.（()f x 是定义在0(2)U 上的函数，当2x →时，()4f x →）例３ 1()f x x =.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()?f x →）由上述例子可见，对有些函数，当00()x xx x →≠时，对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质。
所以有必要来研究当00()x xx x →≠时，()f x 的变化趋势。
我们称上述的第一类函数()f x 为当0x x →时以Ａ为极限，记作0lim ()x x f x A →=。
和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。
不是严格的数学定义。
那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量x 越来越接近于0x 时，函数值()f x 越来越接近于一个定数Ａ”→只要x 充分接近0x ，函数值()f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接近0x 就可以了。
即对0,0εδ∀>∃>，当00||x x δ<-<时，都有|()|f x A ε-<。
此即0lim ()x x f x A →=。
２．00()x xx x →≠时函数极限的εδ-定义 定义２ 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域()00;U x δ'内有定义，Ａ为定数，若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x时以Ａ为极限（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0lim ()x x f x A →=或（0()()f x A x x →→. ３． 说明如何用εδ-定义来验证这种类型的函数极限 ４． 函数极限的εδ-定义的几点说明：（１）|()|f x A ε-<是结论，00||x x δ<-<是条件，即由00||x x δ<-<推出。
（２）ε是表示函数()f x 与Ａ的接近程度的。
为了说明函数()f x 在0x x →的过程中，能够任意地接近于Ａ，ε必须是任意的。
这即ε的第一个特性——任意性，即ε是变量；但ε一经给定之后，暂时就把ε看作是不变的了。
以便通过ε寻找δ，使得当00||x x δ<-<时|()|f x A ε-<成立。
这即ε的第二特性——暂时固定性。
即在寻找δ的过程中ε是常量；另外，若ε是任意正数，则2,2εεL均为任意正数，均可扮演ε的角色。
也即ε的第三个特性——多值性；（|()|f x A ε-<|()|f x A ε⇔-≤）(3) δ是表示x 与0x 的接近程度，它相当于数列极限的N ε-定义中的Ｎ。
它的第一个特性是相应性。
即对给定的0ε>，都有一个δ与之对应，所以δ是依赖于ε而适当选取的，为此记之为0(;)x δε；一般说来，ε越小，δ越小。
但是，定义中是要求由00||x x δ<-<推出|()|f x A ε-<即可，故若δ满足此要求，则,23δδ等等比δ还小的正数均可满足要求，因此δ不是唯一的。
这即δ的第二个特性——多值性。
（４）在定义中，只要求函数f 在0x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求f 在0x 处的函数值是否存在，或者取什么样的值。
这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关。
所以可以不考虑f 在点a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定“00||x x <-”。
（５）定义中的不等式00||x x δ<-<00(,)x U x δ⇔∈；|()|()(;)f x A f x U A εε-<⇔∈。
从而定义２⇔0,0εδ∀>∃>，当00(,)x U x δ∈时，都有()(;)f x U A ε∈⇔0,0εδ∀>∃>，使得()00(,)(;)f U x U A δε⊂。
（６）εδ-定义的几何意义。
例１． 设24()2x f x x -=-，证明2lim ()4x f x →=. 例２． 设()1(0)f x x =≠，讨论0x →时()f x 的极限。
例３． 证明 １）00lim sin sin x x x x →=；２）00lim cos cos x x x x →=.例４． 证明22112lim 213x x x x →-=--. 例５． 证明0lim x x →=0(||1)x <.例６． 证明 000lim ,lim x x x x C C x x →→==. 练习：１）证明311lim 31x x x →-=-; ２）证明65lim 6x x x →+∞+=. 三、单侧极限 １．引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如21,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩或函数在某些点仅在其一侧有定义，如2()0f x x =≥。