微积分习题讲解与答案

习题8.1

1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2

=+'-'xy y y y x (2) 02

=+'-y y x y x (3)0)(sin 42

=+''+'''y x y y x (4)θθ

2sin d d =+p p

解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性

2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x

x

y x y y x sin ,cos =

=+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) x

Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x x

e C e

C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)

(5) C y xy x y x y y x =+--='-2

2

,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2

xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x x

x x x x x

cos sin sin cos 2

=+-=右

(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)

1(22

2

=-++---=右

(3) 是，左=02=+-x

x

x

Ce Ce Ce =右 (4) 是，左=

0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x x

e C e C e C e C e

C e C λλλλλλλλλλλλλλ =右

(5) 是，左==-=---y x y

x y

x y x 222)

2(右

(6) 是，左=x xy y

x xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)

()(22)(2

2332

=

0)()

)(2()()(222

222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右

3.求下列微分方程的解

(1) 2d d =x y

; (2) x x

y cos d d 2

2=; (3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) y

x x y y )1()1(2

2++=' 解 (1) C x y x y +==⎰⎰2,d 2d

(2) 1

sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰

2

1

1

cos ,d )(sin d C

x C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰

(3)

⎰⎰=+-x y y y

d d 11

⎰⎰=+++-x y y y d d 12

)1(

解得

⎰⎰

⎰=++-x y y

y d d 12

d 即 C x y y +=++-|1|ln 2

(4)

⎰⎰+=+dx x x

dy y y )1(122

解得 2

12

2

)1ln()1ln(C x y ++=+

整理得 2

2

211C x y =++

4.已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于2

2x ，试求这条曲线的方程。 解 已知 2

2x y =' 解得 C x y +=

3

3

2 又知曲线过原点，得0=C 所求曲线方程为33

2x y =

习题8.2

1.用分离变量法求下列微分方程的解

(1) y x y 4=' (2) 0ln =-'y y y x (3) y

x y +='10

(4) 0d tan sec d tan sec 2

2=+y x y x y x

(5)

1|,0d 1d 10==+-+=x y y x

y x y x (6) 0|,02=='=+x y x y e y 解 (1)

x xd dy y

⎰⎰

=41 解得 22)(C x y +=

(2)

⎰

⎰=x

dx

y y dy ln 解得 Cx e y = (3)

⎰

⎰=-dx dy x

y 1010 解得 C x y +=--1010 即 C y x =+-1010 (4) ⎰⎰-=dx x

x

dy y y tan sec tan sec 22 解得 1|tan |ln |tan |ln C x y +-= 整理得 C y x =⋅tan tan (5)

⎰⎰+=+dx x x dy y y )1()1( 解得

C x x y y ++=+3

2323

1213121 由于 1|0==x y ，解得 6

5

=

C 则

6

5

312131213232++=+x x y y (6)

⎰

⎰=-dx e dy e x

y 2 解得 C e e x

y +=--22

1 由于 0|0==x y 则 2

3-=C 原方程解为 x y

e e

232-=-

2.求下列齐次方程的解 (1) x

y

y y x ln

=' (2) y x y x x y -+=d d (3) 022=---'x y y y x (4) x x xy y y x d )(d 222+-=