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复变函数考试大纲
《复变函数》课程考试大纲（Complex Variables Functions）课程编号：03110094课程类型：专业核心课所属教研室：数学与应用数学教研室总学时：45学分数： 3考核对象：09级数学与应用数学专业本科生执笔者：编写日期：一、课程性质与考试目的：《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业核心课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。
从数学理论角度看，它是数学的重要分支之一，内容丰富而完美。
在实用上，对力学、电学及理论物理等学科有着重要的应用。
复变函数方法是工程、科技的常用方法之一。
通过本课程的学习，一方面可以加深对《数学分析》中基础理论的理解，另一方面可以进一步锻炼学习者的能力，为他们下一步的学习奠定基础。
本课程主要研究解析函数，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射这七部分必讲内容，这七部分内容涵盖了复变函数中三大理论（积分理论、级数理论、几何理论）的所有内容。
通过考试，不仅要考查学生对于该课程的基本概念、基本性质、基本理论理解、掌握得是否准确、全面，而且要考查学生分析问题和解决问题的能力是否得到提高，运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等的能力是否得到发展，从而检查平时教学是否达到了教学要求，完成了教学大纲所提出的目标和任务。
二、考试内容及要求：第一章复数与复变函数【本章重点】复变函数的概念、极限与连续性1、考试内容：复数的概念，复变函数的极限和连续的概念；复数的乘幂与方根，复数方程；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
2、考核要求：（1）．了解：区域的概念，复变函数的极限和连续的概念，扩充复平面；（2）．理解：复变函数概念；（3）．掌握：复数的概念、表示方法及其运算；复数运算的几何意义与复数方程表示的几何图形；复数的乘幂与方根；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲
数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲课程编码()课程总学时：54 学分：3一、课程说明1．课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2．课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。
3．选用教材与参考书目选用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2003年。
参考书目：《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。
《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。
《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。
《解析函数的边界性质》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。
统计学专业复变函数大纲
《复变函数》教学大纲统计学（非师范类）专业用一、说明部分（一）课程性质、目的和教学任务本课程为统计学专业的专业限选课。
复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。
已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。
先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。
本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。
通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。
通过本门课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本概念、基本理论与方法，增强数学工作能力，为进一步学习其他课程并为将来从事教学、科研以及其他实际工作打好基础。
（二）课程的教学原则和方法本课程的教学原则：理论课与习题课并重的原则：单项训练与综合训练相互结合的原则：经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则：直觉想象和审慎推敲相互结合和转化的原则。
教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。
（三）课程的主要内容学时分配《复变函数》安排授课共54学时。
第一章复数及复变函数 8学时第二章复变函数 12学时第三章复变函数的积分 10学时第四章解析函数的幂级数表示 8学时第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点 8学时第六章留数理论及其应用 8学时二、正文部分第一章复数与复变函数（一）教学的目的和要求1.掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念；2.掌握区域和复数的各种表示方法及其运算；3.了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。
（二）教学重点复变函数及其极限与连续（三）教学难点无穷远点及无穷远点邻域（四）主要教学内容及学时分配1. 复数 2学时2. 复平面上点集 2学时3. 复变函数 2学时4. 复球面和无穷远点 2学时第二章解析函数（一）教学的目的和要求1.理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。
《复变函数》课程简介及教学大纲
《复变函数》课程简介及教学大纲课程代码：112000091课程名称：复变函数/Function of a Complex Variable课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射等内容。
一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。
本课程主要讲授复变函数的基本理论和方法。
通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。
二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射共六章。
第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。
2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。
3 复变函数、映射的概念及其复变函数的极限与连续性。
基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。
2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。
3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。
4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。
重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数及映射概念。
难点：用复数方法表示平面区域、曲线。
第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。
2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。
3 初等函数。
基本要求：1 理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。
复变函数教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一、课程说明1.课程基本情况课程名称：复变函数英文名称：Functions of Complex Variable课程编号：2411211开课专业：大学本科数学与应用数学专业开课学期：第4学期学分/周学时：3/3课程类型：专业主干课2.课程性质《复变函数》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修专业课，是数学分析的后续课程。
它在数学学科众多分支中都有着广泛的应用。
它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
3．本课程的教学目的和任务本课程要注意师范性。
在内容的选取上应突出基本理论和基本方法，把重点放在单复变函数的微分、积分、级数展开式和保形变换上。
使学生掌握复分析的基本理论和近代复分析的基本思想，加深对数学分析及中学有关内容的理解，并为学习后继课程奠定必要的数学基础。
在教学中，应注意基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，基本运算能力的训练严格要求。
基本论证方法思路清晰，论证严谨。
注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。
在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学生掌握主要方法。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求本课程是《数学分析》的提高、抽象和研究对象在复域内的进一步拓宽，它在数学学科众多分支（如概率论、微分几何、泛函分析、数学物理方程和拓扑学）中都有着广泛的应用，因此它也为这些后继课程奠定必要数学基础。
5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1. 钟玉泉. 复变函数论 (第三版). 北京：高等教育出版社，2003年.2. 范宜传、彭清泉. 复变函数习题集. 北京：人民教育出版社，1983年.2. 余家荣. 复变函数. 北京：人民教育出版社，1979年.3. 钟玉泉. 复变函数学习指导. 北京：高等教育出版社，1995年.4. 王玉玉, 王健波. 复变函数论（第三版）. 北京：中国时代经济出版社，2008年.三教学方法和教学手段说明以教师讲解为主的课堂教学方式四成绩考核办法本课程以教务处的相关文件规定进行考核。
复变函数教学大纲
《复变函数》教学大纲课程类别：专业基础课课程代码：LX2107总学时：72 学时学分：4学分适用专业：数学与应用数学本科专业先修课程：数学分析、解析几何一、课程地位、性质和任务复变函数论是数学专业的一门重要必修基础课，又是数学分析的后继课，它的理论与方法深刻渗入到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学的各个分支；同时，在物理的热力学、流体力学、弹性物理等和其它科学领域以及工程技术中都有广泛的应用。
通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本知识、基本理论和基本方法，了解复变函数在其它学科中的有关应用，进一步理解分析数学的思想和方法。
并通过该课程的系统性和严谨性，以锻炼学生思考问题和逻辑推理能力，提高应用知识解决问题的能力。
二、课程教学的基本要求通过本课程的学习，使学生熟练掌握复变函数的基本概念、基本理论、基本运算及基本方法。
进一步理解分析数学的思想和方法。
了解本学科数学发展的前沿。
同时，通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题，来提高分析问题解、决问题的能力。
三、教学内容与学时分配第一章复数及复平面（8学时）本章介绍了复数及复平面的相关概念，是复变函数论的基础。
需要理解复数的概念；熟悉复数的多种表示法、复数的代数运算；理解复数运算的几何意义；了解区域、曲线和复球面等概念；掌握用复数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。
重点是复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。
难点是用不等式表示区域。
第二章复变函数（10学时）本章介绍了复变函数概念及其极限与连续、复变函数的导数与解析函数的概念以及它的一些充要条件、初等函数及性质。
需要掌握复变函数概念、复变函数的极限与连续性；掌握解析函数的概念与柯西—黎曼条件；掌握复变函数的导数、初等解析函数的概念及性质；了解初等多值函数。
重点是解析函数的概念，函数解析的充要条件，初等函数的概念及其解析性。
复变函数教学大纲
《复变函数》教学大纲（课程编号：）一、教学目的和任务通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学、科研及其他实际工作打好基础。
通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。
研究复变数之间的相互依赖关系是复变函数这门课程的主要任务。
本课程要求学生理解复平面上的区域以及复变函数的极限与连续等概念，掌握解析函数的理论和方法。
二、本课程的基本要求复变函数论是统计学专业的一门专业必修课程，是数学分析的后续课程。
它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。
学完本课程后，应达到下列要求：1、明确复变函数课程的学习目的和基本要求。
2、掌握复变函数论的基本理论和方法。
3、加强学生逻辑思维能力、抽象思维能力的训练。
4、了解本课程中规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能够根据不同的要求，做出正确的解释、说明和论述。
5、初步具有独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
三、课程内容、重点和要求第一章复数与复变函数教学内容：复数,复平面上的点集,复变函数,复平面与复球面。
本章重点：复数的运算和各种表示法；复变函数以及映射的概念。
教学要求：理解复数的概念，掌握复数的表示方法；掌握复数的四则运算及乘幂与方根；了解复平面上点集的基本概念，理解区域与约当曲线的概念；理解复变函数的概念，掌握复变函数极限与连续性；了解复球面与无穷远点的概念。
第二章解析函数教学内容：解析函数的概念与柯西-黎曼方程，初等解析函数，初等多值函数。
本章重点：解析函数的概念；函数解析性的判别。
教学要求：理解解析函数的概念，掌握柯西－黎曼条件；理解初等解析函数：指数函数和三角函数的概念，了解双曲函数的概念；理解初等多值函数：根式函数和对数函数的概念，了解幂函数、指数函数和反函数的概念。
《复变函数》教学大纲
二、课程内容和学时分配 第一章
本章的主要教学内容是： （一）复数 1．复数域； 2．复平面；3．复数的模与辐角；4．复数的乘幂与方根； 5．共轭复数； 6．复数在几何上的应用举例。 （二）复平面上的点集 1．平面点集的几个基本概念； 2．区域与若尔当曲线。 （三）复变函数 1．复变函数的概念；2．复变函数的极限与连续性. (四) 复球面与无穷远点
复数与复变函数（8 学时）
1．复球面；2．扩充复平面上的几个概念。 本章的基本教学要求是：掌握复数的概念、各种表示方法及其运算。理解复数运算的几 何意义与复数方程表示的几何图形。掌握复数的乘幂与方根。了解扩充复平面的概念。理解 平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连 通域)。了解复变函数的定义，掌握复变函数的极限与连续性。
《复变函数》教学大纲
适用专业：数学与应用数学（师范） 课程类别：学位课，专业必修课 课程学时：68 学时（周 4 学时） 课程编号：50261102 课程学分：4 学分
一、课程说明
复变函数又称复分析， 是数学与应用数学专业的一门专业基础课， 也是数学分析的后续 课程。它的理论和方法，对于数学的其他分支和电学，流体力学，热力学以及一些工程技术 学科，有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生全面掌握复变函数的一些基本概念、基本 理论、基本方法，重视对数学思想方法的教学，培养学生应用这些概念与方法解决实际问题 的基本技能，积累数学知识，为学习有关专业课程做好准备，并为将来从事教学、科研以及 其它工程技术工作奠定基础。 本课程采用的教学方法是：以课堂讲授为主，辅之以习题课和讨论课。
第二章
本章的主要教学内容是：
解析函数（10 学时）
（一）解析函数的概念与柯西-黎曼方程 1．复变函数的导数与微分；2．解析函数及其简单性质；3．柯西黎。 （三）初等多值函数 1.根式函数；2．对数函数；3．一般幂函数与一般指数函数；4．具有多个有限支点的 情形；5．反三角函数与反双曲函数。 本章的基本教学要求是： 理解复变函数的导数与解析的概念， 掌握复变函数可导与解析 的充要条件， 掌握及熟练应用柯西——黎曼定理判断函数的可导性与解析性。 掌握初等函数 中的指数函数，三角函数的定义和性质；了解对数函数，幂函数与反三角函数等多值函数。
复变函数论复习提纲
复变函数论复习提纲复变函数论一、复数与复变函数一、要求（一）明确复数、区域、复平面、扩充复平面，逐段光滑曲线等概念。
（二）明确复变函数概念和几何意义，掌握一些简单函数的变换性质。
（三）掌握复变函数的极限和连续性的概念和基本性质。
（四）熟练掌握复数的有关计算，会作点集的图形。
二、考试内容（一）复数概念、复数的表示法及其代数运算、复数的模与幅角、共轭复数及其简单运算。
（二）平面点集基本概念，曲线（连续曲线、约当曲线、逐段光滑曲线）、区域（单连通区域、复连通区域）、复平面。
（三）复变函数的概念及其几何意义，复变函数的极限与连续性。
（四）无穷远点，扩充复平面。
二、解析函数一、要求（一）掌握导数、解析函数的概念。
（二）掌握C——R条件，并能熟练地判断复变函数的可导性和解析性。
（三）掌握复基本初等函数的定义和基本性质。
（四）掌握正整幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的变换性质，了解根式函数单值解析分支的取法。
二、考试内容（一）导数、解析函数、C——R条件。
（二）初等函数：正整幂函数与根式函数，指数函数与对数函数，三解函数与反三角函数，双曲函数，一般幂函数和一般指数函数。
三、复变函数的积分一、要求（一）明确复积分的概念及其基本性质。
（二）会证柯西积分定理和柯西积分公式；理解解析函数的无限可微性和莫勒拉定理。
（三）熟练地掌握复积分的计算方法。
（四）理解刘维尔定理，会证代数基本定理。
（五）掌握解析函数与调和函数的关系。
二、考试内容（一）复积分的概念、基本性质及其计算方法。
（二）柯西积分定理（在f'（z）连续的条件下，用格林公式证明）。
不定积分，复连通区域上的柯西积分定理。
（三）柯西积分公式，解析函数的无限可微性。
（四）柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理。
（五）莫勒拉定理。
（六）解析函数与调和函数的关系。
四、解析函数的幂级数表示法一、要求（一）明确收敛、绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、收敛半径、收敛圆、泰勒级数等概念。
复变函数复习考试提纲
• 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
y
y
z
r
.θ O
xx
• 复数辐角主值的取值范围：−π < θ0 ≤ π. 辐角主值的计算方法（采用在复平面作图的 办法确定辐角的取值）。
复变函数复习考试提纲
I 知识要点
第一章 复数及平面区域
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复 数的四则运算。
• 欧拉公式 由此可得 以及
eiθ = cos θ + i sin θ
cos θ
=
eiθ
+ e−iθ ,
sin θ = eiθ − e−iθ
2
2i
ei2kπ ≡ 1, k ∈ Z
• 留数基本定理 设 D 是由复围线 L 围成的区域，函数 f (z) 在 D¯ 上连续，f (z) 在 D
内除去有限个孤立奇点 z1, z2, . . . , zn 外处处解析，则
∮
∑n
f (z)dz = 2πi Res(f, zk)
L
k=1
如果积分路径内各孤立奇点的留数都能求出，则立即可求出 f (z) 的路径积分。
2
2i
第四章 复变函数的积分
• 由于复数是二元变量，关于复变函数的积分就成为平面曲线的曲线积分。
∫
∫
∫
∫
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)] d (x + iy) = [udx − vdy] + i [vdx + udy]
(完整版)《复变函数》教学大纲.docx
《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授 72 学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表章节教学内容教学时数第一章复数与复变函数共计 8§ 1复数2§ 2复平面上的点集2§ 3复球面与无穷远点2§ 4复变函数2第二章解析函数共计 12§ 1解析函数的概念与C—R条件4§ 2初等解析函数4§ 3初等多值函数4第三章复变函数的积分共计 10§ 1复积分的概念及其简单性质2§ 2柯西定理4§ 3柯西积分公式及推论4第四章解析函数的幂级数表示共计 8§ 1复级数的基本性质2§ 2幂级数2§ 3解析函数的幂级数表示2§ 4解析函数零点的孤立性及唯一性定理2第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点共计 8§ 1解析函数的罗朗展式2§ 2解析函数的孤立奇点2§ 3解析函数在无穷远点的性质2§ 4整函数与亚纯函数2第六章留数理论及其应用共计 14§ 1留数计算及基本定理4§ 2用留数基本定理计算实积分6§ 3辐角原理及应用4第七章保形变换共计 12§ 1解析函数的映照性质及最大模原理4§ 2线性变换及其应用4§ 3初等函数所构成的保形变换4以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
复变函数 知识框架
一、复数及其几何意义概念 代数形式，三角式与指数式
欧拉公式：e i cos i sin .
二、复数运算 代数形式与三角形式（指数式）的六种运算法则
复数运算的几何意义 三 . 复变函数及其反函数的定义（多值）与几何意义（映射） 四、极限与连续 复极限与复连续的定义，运算法则及其与实连续的关系
2. f z 解析 Im f z 是 Re f z 的共轭调和函数 .
3.
共轭调和函数对的三种求法
十三、复级数
1.
n 1
n
＝lim S n ,
n
lim Re an = Re a n 2. lim n n lim Im an = Im a n Re n Re S n1 n S . n 1 Im Im S n n1
f z ( u iv )(dx idy ) f z dz lim f z u iv C
n c 0 k 1 k k
z x iy
f z t z t dt t
2. Lnz ln z iArgz . 强调：多值性.
e iz e iz e iz e iz 3. sin z , cos z . 强调：无界性. 2i 2
4. z e bLnz . 强调：多值性.
b
例： 1 2 =？，i i =？
九、复积分概念，性质与计算
n 0
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n . n!
f ( z )在以z0为心的圆环域内解析 f ( z )
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《复变函数》教学大纲
统计学（非师范类）专业用
—、说明部分（一）课程性质、目的和教学任务
本课程为统计学专业的专业限选课。
复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。
已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，
同时，它在热力学, 流体力学和电学等方面也有很多的应用。
先
修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方
程。
本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。
通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。
通过本门课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本概念、基本理论与方法，增强数学工作能力，为进一步学习其他课程并为将来从事教学、科研以及其他实际工作打好基础。
（二）课程的教学原则和方法
本课程的教学原则：理论课与习题课并重的原则：单项训练与综合训练相互结合的原则：经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则：直觉想象和审慎推敵相互结合和转化的原则。
教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。
（三）课程的主要内容学时分配
《复变函数》安排授课共54学时。
第一章复数及复变函数8学时
第二章复变函数12学时
第三章复变函数的积分10学时
第四章解析函数的幕级数表示8学时
第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点8学时
第六章留数理论及其应用8学时
二、正文部分
第一章复数与复变函数
（一）教学的目的和要求
1.掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念;
2.掌握区域和复数的各种表示方法及其运算;
3.了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元
实函数的关系。
（二）教学重点
复变函数及其极限与连续
（三）教学难点
无穷远点及无穷远点邻域
（四）主要教学内容及学时分配
1.复数2学
时
2.复平面上点集2学
时
3.复变函数2学
时
4.复球面和无穷远点2学
时第二章解析函数
（一）教学的目的和要求
1.理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。
2.熟练掌握解析函数的C-R条件，能运用C-R条件判定函数的解析性。
3.熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式。
4•熟练掌握指数函数、無函数、三角函数的定义和基本性质
以及简单映射性质。
并会运用欧拉公式和复数的指数表示。
5.掌握各初等多值函数的定义和基本性质，了解其多值性。
（二）教学重点
柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式
（三）教学难点
计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分（四）主要教学内容及学时分配
1•解析函数的概念与C-R条件
2•初等解析函数
3.初等多值函数第三章复变函数的积分（一）教学的目的和要求4学时4学时4学时
1.掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义，基本性质和计算方法，及其与实函数积分的关系。
2.熟练掌握柯西积分定理，能证明柯西积分定理。
3.理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念。
4.熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式。
5•掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，并能应用它们做一些较简单的证明题，了解摩勒拉定理。
（二）教学重点
柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式
（三）教学难点
计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分
（四）主要教学内容及学时分配
1.复积分的概念性质2学时
2. Cauchy积分定理4学时
3. Cauchy积分公式及推论44学时
4.解析函数与调和函数的关系2学时
第四章解析函数的幕级数表示
（一）教学的目的和要求
1.理解复数项级数的基本概念，掌握一致收敛性的判别法。
2.掌握幕级数的基本性质和求收敛半径的公式，理解幕级数
在收敛圆内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性。
3•记住e z, In（l+z）, sinz, cosz和（l+z）a的幕级数展开式，并能熟练的运用。
4.掌握解析函数零点的孤立性定理和唯一的定理。
（二）教学重点
無级数的收敛圆及收敛半径的求法，将函数在一点展成幕级数的方法、解析函数的唯一性定理。
（三）教学难点
利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数。
（四）主要教学内容及学时分配
1.复级数的基本性质2学时
2.無级数2学时
3.解析函数的Taylor展式2学时
4.解析函数的零点，唯一性定理2学时
第五章解析函数的罗朗展式、孤立奇点
（一）教学的目的和要求
1•理解罗郎级数的概念，会求出一些简单的罗郎级数的收敛域，
2.能熟练的求出一些较简单函数的罗郎展开式，
3.掌握解析函数奇点的三种类型及其特征与性质，了解解析函数在无穷远点的性质，
4.了解整函数与亚纯函数的概念。
（二）教学重点
将函数展成罗朗级数的方法，判别孤立奇点的方法，解析函数在其孤立奇点去心邻域内的性质。
（三）教学难点
将函数在其孤立奇点去心邻域内展成罗朗级数
（四）主要教学内容及学时分配
1 .解析函数的罗朗展式2学时
2
.
解析函数的孤立奇点2学时
3 .解析函数的无穷远点的性质2学时
4
.
整函数、亚纯函数2学时第六章留数定理及应用
（-）教学的目的和要求
1•留数的定义及计算方式，在无穷远点的留数。
2.留数定理。
3•利用留数定理计算实积分。
4•辐角原理，儒歇定理。
（二）教学重点
留数基本定理
（三）教学难点
函数在无穷远点留数的计算
2学时 4学时 2
学时
（四）主要教学内容及学时分配
1. 留数
2. 用留数计算实积分
3. 辐角原理及应用
三、参考书目 教材：
钟玉全编，《复变函数论》，北京：高等教育出版社 主要参考书：
⑴［苏］N.普里瓦洛夫著，《复变函数论》，北京：科学出版 社。
［2］廣克平，李凤友编著，《函数论方法》，天津：天津师范
学院数学系。
⑶［美］那托西姆汉著，《多复变函数》，北京：科学出版社。
［4］ 路见可著，《解析函数边值问题》，上海：上海科技出版
社。
［5］ ［苏］N.普里瓦洛夫著，《解析函数的边界性质》，北
京： 科学出版社。
二零——年八月二十二日。