18版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)章末复习课学案新人教B版必修1

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高中数学第三章基本初等函数Ⅰ章末分层突破学案新人教B版必修1

第三章基本初等函数（Ⅰ）[自我校对]①分数指数幂②互为反函数③对数函数④解析式y ＝log a x (a >0，a ≠1) ⑤log a N ⑥解析式y ＝x α⑦越来越慢⑧越来越快爆炸式增长握各种变形．如N 1b＝a ，a b＝N ，log a N ＝b (其中N >0，a >0，a ≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．【精彩点拨】 (1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出； (2)利用指数幂的运算法则即可得出．【规范解答】(1)原式＝log 322×8329－3＝2－3＝－1.－1＋116＋18＋110＝14380.[再练一题] 1．计算：【解】 (1)原式＝－4－1＋12×(2)4＝－3.)时要借助于指数、对数函数的单调性．涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如y ＝af (x )和y ＝log a f (x )的函数，一般要先求f (x )的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如y ＝f (a x)和y ＝f (log a x )的函数，则要根据a x和log a x 的范围，利用函数y ＝f (x )的性质求解．(2)已知－3≤log 12x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值．【精彩点拨】(2)由f (x )＝log 2x 2·log 2x4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2，结合二次函数的性质即可求解．【规范解答】故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤132，12.(2)∵－3≤log 12x ≤－32，∴32≤log 2x ≤3，∴f (x )＝log 2x 2·log 2x 4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14. 当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝32时，f (x )min ＝－14.[再练一题]【导学号：60210098】【解】令k ＝2x(0≤x ≤2)，∴1≤k ≤4，则y ＝22x －1－3·2x＋5＝12k 2－3k ＋5.又y ＝12(k －3)2＋12，k ∈[1,4]，∴y ＝12(k －3)2＋12在k ∈[1,3]上是减函数，在k ∈[3,4]上是增函数，∴当k ＝3时，y min ＝12；当k ＝1时，y max ＝52.即函数的最大值为52，最小值为12.用函数的单调性进行转化，也可利用图象解决，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根．对于图象的判断与选择可利用图象的变换、也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用．当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)【精彩点拨】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可．【规范解答】当0＜x ≤12时，1＜4x ≤2，要使4x＜log a x ，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a a 2<log a x ，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>x 对0＜x ≤12时恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>12，解得22＜a ＜1，故选B. 【答案】 B [再练一题]3．若log a 2＜0(a ＞0，且a ≠1)，则函数f (x )＝ax ＋1的图象大致是( )【解析】由log a 2＜0(a ＞0，且a ≠1)，可得0＜a ＜1，函数f (x )＝a x ＋1＝a ·a x，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A. 【答案】 A(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．比较下列各组中两个值的大小： (1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8； (2)log 53，log 63，log 73.【精彩点拨】利用指数函数、对数函数、幂函数的性质进行比较．【规范解答】 (1)∵1.10.9>1.10＝1，log 1.10.9<log 1.11＝0,0＝log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7＝1，∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.(2)∵0<log35<log36<log37，∴log53>log63>log73.[再练一题]4．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．b＞c＞a D．c＞b＞a【解析】∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a.故选C.【答案】 CA．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c【解析】【答案】 D注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；(2)若g(x)＝log a[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．【精彩点拨】(1)结合f(3)<f(5)，与函数f(x)的奇偶性，分类讨论确定m的值及f(x)的解析式．(2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围．【规范解答】<m <32. ∵m ∈N ，∴m ＝0或1.综上，m ＝1，此时f (x )＝x 2.(2)由(1)知，当x ∈[2,3]时，g (x )＝log a (x 2－ax )．①当0<a <1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递减，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递减，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥3，u 3 ＝32－3a >0，无解；②当a >1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递增，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递增，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u 2 ＝22－2a >0，解得a <2.∴实数a 的取值范围为1<a <2. [再练一题]6．设a >0且a ≠1，若P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，试比较P 、Q 的大小．【解】当0<a <1时，有a 3<a 2，即a 3＋1<a 2＋1. 又当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q ；当a >1时，有a 3>a 2，即a 3＋1>a 2＋1.又当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q .综上可得P>Q.1．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )【解析】 ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x.又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.【答案】 D2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.【答案】 C3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )【导学号：97512060】A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年【解析】设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．【答案】 B4．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图象上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________. 【解析】 ∵点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x的图象上， ∴1＋a 3＝9，解得a ＝2，∴f (x )＝1＋2x∴f －1(x )＝log 2(x －1) 【答案】 log 2(x －1)5．已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【解析】 (1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得{x |0<x <1}．(2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解．当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，a ＝0或－14.(3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a ，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1即at 2＋(a ＋1)t －1≥0，对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立．因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。

2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.1 实数指数幂及其运算(一)学案新人教B版必修1

3．1.1 实数指数幂及其运算(一)学习目标 1.理解正整指数幂的含义，掌握正整指数幂的运算法则.2.了解根式与方根的概念.3.掌握根式的性质，并能进行简单的根式运算．知识点一整数指数思考1 n个相同因数a相乘的结果怎么表示？这个结果叫什么？思考2 零指数幂和负整指数幂是如何规定的？梳理整数指数幂的概念及性质(1)有关幂的概念a n＝a·a·…·a，a n叫做a的________，a叫做幂的________，n叫做幂的________，n∈N ＋，n个并规定a1＝a.(2)零指数幂与负整指数幂规定：a0＝____(a≠0)，a－n＝______(a≠0，n∈N＋)．(3)整数指数幂的运算法则a m·a n＝______.(a m)n＝______.a m＝______(m＞n，a≠0)．(ab)m＝______.a n知识点二n次方根、n次根式思考若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？梳理根式的概念(1)a的n次方根定义如果存在实数x，使得______，那么x叫做a的n次方根，其中a∈R，n>1，且n∈N＋. (2)a的n次方根的表示(3)根式当n a有意义的时候，______叫做根式，这里n叫做______，a叫做被开方数．知识点三根式的性质思考我们已经知道若x2＝3，则x＝±3，那么(3)2等于什么？32呢？－2呢？梳理一般地，有(1)n0＝____(n∈N＋，且n>1)．(2)(na)n＝____(n∈N＋，且n>1)．(3)na n＝a(n为大于1的奇数)．(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧aa(n为大于1的偶数)．类型一根式的意义例1 求使等式a－a2－＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围．反思与感悟对于n a，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要n a有意义，n a必不为负．跟踪训练1 若a2－2a＋1＝a－1，求a的取值范围．类型二利用根式的性质化简或求值例2 化简： (1)4－π4； (2)a －b 2(a >b )； (3)(a －1)2＋－a 2＋3－a 3.反思与感悟 n 为奇数时，⎝⎛⎭⎫n a n ＝n a n ＝a ，a 为任意实数；n 为偶数时，a ≥0，⎝⎛⎭⎫n a n 才有意义，且⎝⎛⎭⎫n a n ＝a ；而a 为任意实数n a n 均有意义，且n a n ＝|a |.跟踪训练2 求下列各式的值： (1)7－7； (2)4a －4(a ≤1)；(3)3a 3＋4－a 4.类型三有限制条件的根式的化简例3 设－3<x<3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．引申探究例3中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？反思与感悟n为偶数时，na n先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．跟踪训练3 已知x∈[1,2]，化简(4x－1)4＋6x2－4x＋3＝________.1．已知x5＝6，则x等于( )A. 6B.56 C．－56 D．±562．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )A.4m2 B.3m C.6m D.5－m3．(42)4运算的结果是( )A．2 B．－2 C．±2 D．不确定4.3－8的值是( )A．2 B．－2 C．±2 D．－85．化简－2x2(2x>1)的结果是( ) A．1－2x B．0C．2x－1 D．(1－2x)21．如果x n ＝a ，n 为奇数时，x ＝n a ，n 为偶数时，x ＝±n a (a >0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.2．掌握两个公式：(1)(n a )n ＝a ；(2)n 为奇数，n a n ＝a ，n 为偶数，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥0，－a ， a <0.。

2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2.2对数函数(二)学案新人教B版必修1

3.2.2 对数函数(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式．知识点一 y ＝log a f (x )型函数的单调区间思考我们知道y ＝2f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，那么y ＝log 2f (x )的单调区间与y ＝f (x )的单调区间相同吗？梳理一般地，形如函数f (x )＝log a g (x )的单调区间的求法：(1)先求g (x )＞0的解集(也就是函数的定义域)；(2)当底数a 大于1时， g (x )＞0限制之下g (x )的单调增区间是f (x )的单调增区间，g (x )＞0限制之下g (x )的单调减区间是f (x )的单调减区间；(3)当底数a 大于0且小于1时，g (x )＞0限制之下g (x )的单调区间与f (x )的单调区间正好相反．知识点二对数不等式的解法思考 log 2x ＜log 23等价于x ＜3吗？梳理对数不等式的常见类型当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ＞0可省略，g x ＞0，f x ＞g x ；当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ＞0，g x ＞0可省略，f x ＜g x .知识点三不同底的对数函数图象的相对位置思考 y ＝log 2x 与y ＝log 3x 同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？梳理一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴．类型一对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例1 求函数y ＝log 12(－x 2＋2x ＋1)的值域和单调区间．反思与感悟求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”．(－x2＋2x)．跟踪训练1 已知函数f(x)＝log12(1)求函数f(x)的值域；(2)求f(x)的单调性．命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例2 已知函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a的取值范围．12反思与感悟若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域．跟踪训练2 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,3]D ．[3，＋∞)类型二对数型复合函数的奇偶性例3 判断函数f (x )＝ln 2－x2＋x 的奇偶性．引申探究若已知f (x )＝ln a －xb ＋x为奇函数，则正数a ，b 应满足什么条件？反思与感悟(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．跟踪训练3 判断函数f(x)＝lg(1＋x2－x)的奇偶性．类型三对数不等式例4 已知函数f(x)＝log a(1－a x)(a＞0，且a≠1)．解关于x的不等式：log a(1－a x)＞f(1)．反思与感悟对数不等式解法要点 (1)化为同底log a f (x )＞log a g (x )；(2)根据a ＞1或0＜a ＜1去掉对数符号，注意不等号方向； (3)加上使对数式有意义的约束条件f (x )＞0且g (x )＞0.跟踪训练4 已知A ＝{x |log 2x <2}，B ＝{x |13<3x<3}，则A ∩B 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(0，2) C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 D ．(－1，2)1.如图所示，曲线是对数函数f (x )＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，110，则对应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，352．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x3．函数f (x )＝lg 1－x1＋x (x ∈R )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数4．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． 5．函数f (x )＝ln x 2的减区间为____________．1．与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响．2．在对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响：无论a取何值，对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝log a x(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a<1时函数单调递减，当a>1时函数单调递增．答案精析问题导学知识点一思考y＝log2f(x)与y＝f(x)的单调区间不一定相同，因为y＝log2f(x)的定义域与y＝f(x)定义域不一定相同．知识点二思考不等价．log2x＜log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0，∴log2x＜log23⇔0＜x＜3.知识点三思考可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．题型探究例1 解设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.∵y＝log12t为减函数，且0<t≤2，∵y＝log122＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞)．函数log12(－x2＋2x＋1)的定义域为满足－x2＋2x＋1>0的x的取值范围，由函数y＝－x2＋2x＋1的图象知，1－2<x<1＋ 2.∵t＝－x2＋2x＋1在(1－2，1)上递增，而在(1,1＋2)上递减，而y＝log12t为减函数．∴函数y＝log12(－x2＋2x＋1)的增区间为(1,1＋2)，减区间为(1－2，1)．跟踪训练1 解(1)由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，∴0<x<2.当0<x<2时，y＝－x2＋2x＝－(x2－2x)∈(0,1]，∴log12 (－x2＋2x)≥log121＝0.∴函数y＝log12(－x2＋2x)的值域为[0，＋∞)．(2)设u＝－x2＋2x(0<x<2)，v＝log12u，∵函数u＝－x2＋2x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，v＝log12u是减函数，∴由复合函数的单调性得到函数f (x )＝log 12(－x 2＋2x )在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数．例2 解令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴y ＝log 12g (x )是减函数，而已知复合函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0，x ∈(－∞，2)恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g 2＝22－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，2(2＋1)]．跟踪训练2 B例3 解由2－x 2＋x>0可得－2<x <2，所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．f (－x )＝ln2＋x 2－x ＝ln(2－x 2＋x)－1＝－ln 2－x2＋x ＝－f (x )，即f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )＝ln 2－x2＋x 是奇函数．引申探究解由a －xb ＋x>0得－b <x <a . ∵f (x )为奇函数，∴－(－b )＝a ，即a ＝b . 当a ＝b 时，f (x )＝lna －xa ＋x. f (－x )＋f (x )＝ln a ＋x a －x ＋ln a －xa ＋x＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋x a －x ·a －x a ＋x ＝ln 1＝0，∴有f (－x )＝－f (x )， ∴此时f (x )为奇函数．故f (x )为奇函数时，a ＝b .跟踪训练3 解由1＋x 2－x >0可得x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝lg(1＋x 2－x )＋lg(1＋x 2＋x )＝lg[(1＋x 2－x )(1＋x 2＋x )] ＝lg(1＋x 2－x 2)＝0. 所以f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )＝lg(1＋x 2－x )是奇函数．例4 解 ∵f (x )＝log a (1－a x )， ∴f (1)＝log a (1－a )． ∴1－a ＞0.∴0＜a ＜1.∴不等式可化为log a (1－a x)＞log a (1－a )．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a x＞0，1－a x＜1－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a x＜1，a x＞a ，∴0＜x ＜1.∴不等式的解集为(0,1)．跟踪训练4 A 当堂训练1．A 2.D 3.A 4.(0，6] 5.(－∞，0)。

18版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.2指数函数(一)学案新人教B版必修1

3．1.2 指数函数(一)学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域．知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？梳理一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③a x的系数必须为 1.④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．知识点二指数函数的图象和性质思考函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？梳理指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质类型一求指数函数的解析式例1 已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．反思与感悟根据指数函数的定义，a是一个常数，a x的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．要求指数函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．跟踪训练1 已知指数函数y＝(2b－3)a x经过点(1,2)，求a，b的值．类型二指数型函数的定义域、值域问题命题角度1 y ＝fa x 型例2 求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝3x1＋3x ；(2)y ＝4x －2x＋1.反思与感悟解此类题的要点是设a x＝t ，利用指数函数的性质求出t 的范围．从而把问题转化为y ＝f (t )的问题．跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域． (1)y ＝1－12x；(2)y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)．命题角度2 y ＝af x型例3 求函数y ＝ 32x －1－19的定义域、值域．反思与感悟 y ＝af (x )的定义域即f (x )的定义域，求y ＝af (x )的值域可先求f (x )的值域，再利用y ＝a t的单调性结合t ＝f (x )的范围求y ＝a t的范围．跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：(1)y ＝0.311x ；(2)y ＝类型三指数函数图象的应用命题角度1 指数函数整体图象例4 在如图所示的图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 的图象可能是( )反思与感悟函数y ＝a x的图象主要取决于0<a <1还是a >1.但前提是a >0且a ≠1. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(－1,5) B ．(－1,4) C ．(0,4)D ．(4,0)命题角度2 指数函数图象局部例5 若直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．反思与感悟指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．跟踪训练5 函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ．y ＝3x －1D ．y ＝(13)x2．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥123．函数y ＝32x －的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(0,1]D ．[－1,0)4.函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<05．函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为( )A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x且系数为1.2．指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．求函数y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；(2)求t＝f(x)的值域t∈M；(3)利用y＝a t的单调性求y＝a t在t∈M上的值域．答案精析问题导学知识点一思考 y ＝2x .它的底为常数，自变量为指数，而y ＝x 2恰好反过来．梳理函数y ＝a x(a >0，且a ≠1) R 知识点二思考函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．梳理(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数减函数题型探究例1 解设f (x )＝a x，将点(3，π)代入，得到f (3)＝π，即a 3＝π，解得a ＝13π，于是f (x )＝3πx .跟踪训练1 a ＝b ＝2.例2 解 (1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R,3x≠－1)． ∵y ＝＋3x－11＋3x ＝1－11＋3x ，又∵3x>0,1＋3x>1，∴0<11＋3x <1，∴－1<－11＋3x <0，∴0<1－11＋3x <1，∴值域为(0,1)．(2)定义域为R ，y ＝(2x )2－2x＋1 ＝(2x－12)2＋34，∵2x >0，∴2x＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34，同时y 可以取一切大于34的实数，∴值域为[34，＋∞)．跟踪训练2 解 (1)∵1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，解得x ≥0，∴原函数的定义域为[0，＋∞)．令t ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥0)，则0≤t <1，∴0≤ t <1，∴原函数的值域为[0,1)． (2)原函数的定义域为R .由y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)，得a x＝－y ＋1y －1. ∵a x >0，∴－y ＋1y －1>0，∴－1<y <1. ∴原函数的值域是(－1,1)．例3 解要使函数有意义，则x 应满足32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2. ∵y ＝3x在R 上是增函数， ∴2x －1≥－2，解得x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞时，32x －1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞. ∴32x －1－19∈[0，＋∞)． ∴原函数的值域为[0，＋∞)．跟踪训练3 解 (1)由x －1≠0得x ≠1，所以函数定义域为{x |x ≠1}．由1x －1≠0得y ≠1，所以函数值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)由5x －1≥0得x ≥15，所以函数定义域为{x |x ≥15}．由5x －1≥0得y ≥1，所以函数值域为{y |y ≥1}．例4 A跟踪训练4 A例5 解 y ＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x <0，2x－1，x ≥0，图象如下：由图可知，要使直线y ＝2a 与函数y ＝|2x－1|图象有两个公共点，需0<2a <1，即0<a <12.跟踪训练5 B 当堂训练1．D 2.C 3.C 4.D 5.A。

2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)疑难规律方法学案新人教B版必修1

第三章基本初等函数（Ⅰ）1 指数与指数运算疑点透析一、如何理解n 次方根的概念若一个数x 的n 次方等于a ，那么x 怎么用a 来表示呢？是x ＝na 吗？这个回答是不完整的．正确表示应如下：x ＝⎩⎪⎨⎪⎧na ，n 为奇数，±na ，n 为偶数，a ＞0，不存在，n 为偶数，a ＜0，0，a ＝0，主要性质有：①当n 为奇数时，na n＝a ； ②当n 为偶数时，nan ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0.二、如何理解分数指数幂的意义分数指数幂m na 不可以理解为m n 个a 相乘，它是根式的一种新的写法．规定mn a ＝n a m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)，m na-＝1m ma＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m ，n 的具体数而定．三、分数指数幂和整数指数幂有什么异同相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理指数幂，都可以利用有理指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为a r·a s＝ar ＋s；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r ·b r，式中a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ，对于这三条性质，不要求证明，但需记准．不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式．四、指数幂的运算在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．例1解原式1111912337133322()()()a a a a --⎡⎤⎡⎤=÷⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦91713973131066666662()() 1.a a aa aa -+---=÷===例2解原式＝14144323(3)⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦＝(3243＋)14＝314143⨯＝376＝363.例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.2 解读指数函数的四个难点在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握．难点之一：概念指数函数y ＝a x有三个特征：①指数：指数只能是自变量x ，而不能是x 的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1. 例1 给出五个函数：①y ＝2×6x ；②y ＝(－6)x ；③y ＝πx； ④y ＝x x；⑤y ＝22x ＋1.以上是指数函数的个数是________．分析根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考查，判断是否满足指数函数的定义．解析对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x 不是常数；对于⑤，指数是x 的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．答案 1 难点之二：讨论指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)，当a ＞1时，是增函数；当0＜a ＜1时，是减函数．例2 函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．分析遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a 进行分类讨论，再列出方程并求出a .解当a ＞1时，函数y ＝a x在[1,2]上的最大值是a 2，最小值是a ，依题意得a 2－a ＝a2，即a 2＝3a 2，所以a ＝32；当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 在[1,2]上的最大值是a ，最小值是a 2，依题意得a －a 2＝a 2，即a 2＝a 2，所以a ＝12.综上可知，a ＝32或a ＝12.难点之三：复合指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．例3 求函数y ＝(13)的单调递减区间．分析指数函数与指数型复合函数的区别在于，指数自变量是x 还是x 的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．解由－x 2＋x ＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．令u ＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94，则y ＝(13)u，当x ∈[－1，12]时，随x 的增大，u 增大，y 减小，故函数的递减区间为[－1，12]．难点之四：图象指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象特征是：当a ＞1时，在y 轴的右侧，a 越大，图象越往上排；在y 轴左侧，a 越大，图象越往下排．当0＜a ＜1时恰好相反．例4 利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．分析可在同一坐标系中作出y ＝0.7x及y ＝0.4x的图象，从图象中得出结果．解如图所示，作出y ＝0.7x 、y ＝0.4x及x ＝－0.3的图象，易知0.7－0.3＜0.4－0.3.评注图象应记忆准确，在第二象限中靠近y 轴的函数应是y ＝0.4x，而不是y ＝0.7x，这一点应注意．3 对数与对数运算学习讲解1．对数的定义一般地，如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．解读：(1)由对数定义可以知道，当a ＞0，且a ≠1时，a x＝N ⇔x ＝log a N ，也就是说指数式与对数式实际上是表示a 、N 之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，a log a N ＝N ，即a 的log a N 次方等于N ，对数恒等式也是化简或计算的重要公式．2．对数的性质(1)零和负数没有对数．由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以a x＝N (a ＞0，且a ≠1)中N 总是正数；(2)1的对数为0.由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以log a 1＝0；(3)底数的对数等于1.由于a 1＝a 对于任何非零实数都成立，所以log a a ＝1. 3．对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和； (2)log a M N＝log a M －log a N ，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； (3)log a M n＝n log a M ，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中．例1 将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式： (1)log 3127＝－3；(2)log 232＝5；(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.解 (1)3－3＝127；(2)25＝32；(3)log 6216＝3；(4)log 100.001＝－3，也可写成lg 0.001＝－3.评注本题考查了对数式与指数式的互化．解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数．例2 求下列各式的值： (1)3log 72－log 79＋2log 7322；(2)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解 (1)原式＝log 723－log 79＋log 7(322)2＝log 72332229＝log 71＝0；(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(lg 5＋2lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.评注利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性．4 换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助．一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a Nlog a b.证明设log b N ＝x ，则b x＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x＝log a N ，∴x log a b ＝log a N . ∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b .二、换底公式的应用举例 1．乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732； (2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109. (2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg dlg c＝log a d .评注此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决． 2．知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值．分析本题可选择以3为底进行求解．解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a2a .故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a2a 1＋3－a2a＝－a3＋a.评注这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决． 3．综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小．分析本题可选择以19及π为底进行解题．解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .5 精析对数函数一、对数函数的概念函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．由对数的定义容易知道对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)是指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数．在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记．若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数．二、对数函数的图象和性质1．对数函数性质的记忆与运用的注意事项(1)数形结合——利用图象记忆性质．x ＝1是“分水岭”； (2)函数的单调性决定于底数a 大于1还是大于0小于1；(3)指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (其中a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有密切的联系又有本质的区别．2．对数函数图象分布规律如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x ＝1的右边区域，在x 轴上方，对数函数的图象越靠近x 轴，底数越大，且底数均大于1；在x 轴下方，对数函数的图象越靠近x 轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间．图中的对数函数的底数a ，b ，c ，d 的大小关系是0＜a ＜b ＜1＜c ＜d .在具体解题时，还可利用特殊值法．例1 函数y ＝log (x －1)(4－x )的定义域是________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －1≠1，4－x ＞0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，x ＜4，所以函数的定义域是{x |1＜x ＜4，且x ≠2}．答案 {x |1＜x ＜4，且x ≠2}评注函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x 的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.例2 函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象如图所示，则a 、b 、c 、d 与正整数1的大小顺序是( )A ．1＜d ＜c ＜a ＜bB ．c ＜d ＜1＜a ＜bC ．c ＜d ＜1＜b ＜aD ．d ＜c ＜1＜a ＜b解析作出直线y ＝1，可知其与对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a 、b 、c 、d ，于是c ＜d ＜1＜a ＜b . 答案 B评注利用特殊值的方法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速的解决．6 对数函数中化难为易三策略对数函数是最重要的一类初等函数，解对数函数问题时常因方法不当或没有充分挖掘隐含条件而导致错误．这主要是因为对数函数的制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，因此在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面从三个方面谈谈对数函数学习中化难为易的求解策略，希望能对同学们的学习有所帮助．一、数形结合策略例1 若不等式2x－log a x ＜0在x ∈(0，12)时恒成立，求实数a 的取值范围．解要使不等式2x＜log a x 在x ∈(0，12)时恒成立，即函数y ＝log a x 的图象在(0，12)内恒在函数y ＝2x的图象上方，如图所示．而y ＝2x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，即需log a 12≥2，显然这里0＜a ＜1，则函数y ＝log a x 递减．又因为log a 12≥2＝log a a2，所以a2≥12，即a ≥(12).故所求a 的取值范围为1(1.2a a ⎧⎫⎪⎪≤<⎨⎬⎪⎪⎩⎭评注数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易．二、合理换元策略例2 设y ＝log 12[a 2x＋2(ab )x －b 2x＋1]，a ，b ∈(0，＋∞)，求使y 为负值的x 的取值范围．解 ∵0＜12＜1，y ＜0，∴由对数函数的性质知a 2x＋2(ab )x －b 2x＋1＞1，即a 2x ＋2(ab )x －b 2x＞0.① 把①式两边同时除以b 2x，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2x＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x－1＞0，② 令a b＝t ，则②式可化为t 2x ＋2t x－1＞0，解得t x＞2－1或t x＜－2－1(舍去)，再给两边取以t 为底的对数，但需分t ＞1，t ＝1,0＜t ＜1三种情况进行讨论．当t ＞1，即a ＞b ＞0时，x ＞log a b(2－1)；当t ＝1，即a ＝b ＞0时，x ∈R ；当0＜t ＜1，即0＜a ＜b 时，x ＜log a b(2－1)．评注对某些对数函数问题，巧妙地进行变量代换，可使问题转化为一次或二次函数等常规函数问题来解，往往能化难为易．三、分离参数策略例3 设f (x )＝lg1＋2x＋…＋n －x＋n xan，其中a ∈R ，n 是任意给定的自然数，且n ≥2，如果f (x )在(－∞，1]上有意义，求a 的取值范围．解由f (x )有意义，得1＋2x＋…＋(n －1)x＋n xa ＞0，x ∈(－∞，1]，n ≥2，把上式看作关于a 的不等式，解得a ＞－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n x ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n x ，令g (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n x ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n x ， ∵y ＝－(mn)x(m ＝1,2，…，n －1)在(－∞，1]上是增函数， ∴g (x )在(－∞，1]上也是增函数，故有g (x )≤g (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n＋…＋n －1n ＝－n －12，即[g (x )]max ＝－n －12，故a ＞1－n2， ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－n 2，＋∞.评注有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的思维习惯，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境．如果打破思维定势，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突显出来，常常能收到出人意料的效果．当一个题目中有多个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步减少参数，使问题获解．7 巧解指数、对数函数综合题指数函数y ＝a x和对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a ＞1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当0＜a ＜1时，它们在各自的定义域内都是减函数，因此在解决指、对函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题．一、共享底数对数式与指数式互化，其底数一致，即log a N ＝b ，a b＝N .利用它可以解决指、对数方程及互化等问题．例1 方程log 3(1－2·3x)＝2x ＋1的解x ＝________. 解析将对数式化为指数式，得32x ＋1＝1－2· 3x，即3·(3x )2＋2·3x －1＝0，得3x＝13，故x ＝－1.答案－1 二、亮出底数在有些指数、对数函数问题，特别是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决．例2 当a ＞1时，在同一坐标系中，能表示函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图象的是( )解析由a ＞1时，有0＜1a ＜1，则指数函数y ＝a －x＝(1a)x 在R 上是减函数，对数函数y ＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，故排除B 、C 、D. 答案 A 三、变换底数对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数．例3 若log a 2＜log b 2＜0，则( ) A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1解析化为同底，有1log 2a ＜1log 2b ＜0，从而log 2b ＜log 2a ＜0，即log 2b ＜log 2a ＜log 21. ∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数． ∴0＜b ＜a ＜1. 答案 B 四、讨论底数当底数不定时，常分0＜a ＜1与a ＞1两种情况进行讨论．例4 函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的差为5，则a ＝________. 解析由题意知，a ＞0，且a ≠1. ①当a ＞1时，有a 1－a 0＝5，即a ＝6；②当0＜a ＜1时，有a 0－a 1＝5，即a ＝－4(舍去)．综上知，a ＝6. 答案 6 五、消去底数有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化．例5 设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1.试比较log a (1－x )与log a (1＋x )的大小．解作商log a －xlog a＋x＝|log (1＋x )(1－x )|， ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1,1＜1＋x ＜2,0＜1－x 2＜1， ∴|log (1＋x )(1－x )|＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x＝log (1＋x )1＋x1－x 2＞log (1＋x )(1＋x )＝1.∴log a (1－x )＞log a (1＋x ).8 三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例1 若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，试求a 的取值范围．分析利用函数y ＝x －13的图象及单调性解题，注意根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去解分类讨论⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.评注考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．二、数形结合的思想例2 已知x 2>x 13，求x 的取值范围．解 x 2与x 13有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y ＝x α(其中α＝2，13)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x 的取值范围，如图所示，可得x 的取值范围是x <0或x >1.评注数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．三、转化的数学思想例3 指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f (－22)的大小．解因为f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1x ＋＝1＋(x ＋2)－2，所以其图象可由幂函数y ＝x －2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．所以f (x )在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x ＝－2又因为－2－(－π)＝π－2，－22－(－2)＝2－22，所以π－2<2－22，故－π距离对称轴更近，所以f (－π)>f (－22)．评注通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题．9 函数应用问题“讲”与“练”讲解一求函数模型例1 某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少85t (t ＞0)万件．请将税金收入表示为征收附加税的函数．解设每年销售量为x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税为y ＝250x ·t 100＝52tx .依题意，知x ＝40－85t ＞0，即t ＜25.故所求的函数关系式为y ＝52×⎝⎛⎭⎪⎫40－85t t ＝－4t 2＋100t (0＜t ＜25)．评注在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．练习1 将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少15个，求利润y 与每个商品涨价x 元之间的函数关系式．答案 y ＝－15x 2＋50x ＋15 000⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤1003讲解二函数模型的选用例2 某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q (万元)与上市时间t (天)的关系如下表所示：模拟函数可以选用二次函数Q ＝a (t －150)2＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)，或一次函数Q ＝kt ＋m (k ，m 为常数，且k ≠0)．已知种植成本Q ＝112.5万元时，上市时间t ＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．分析根据题目给定的两组Q ，t 的值，可分别求出模拟函数中的未知量a ，b ，k ，m . 解设f (t )＝a (t －150)2＋b (其中a ，b 为常数，a ≠0)，g (t )＝kt ＋m (k ≠0)．由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f＝150，f ＝100，⎩⎪⎨⎪⎧g ＝150，g ＝100.所以⎩⎪⎨⎪⎧a－2＋b ＝150，a －2＋b ＝100，⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋m ＝150，150k ＋m ＝100.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝100，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，m ＝175.所以f (t )＝1200(t －150)2＋100，g (t )＝－12t ＋175.因为f (200)＝1200(200－150)2＋100＝112.5，g (200)＝－12×200＋175＝75，所以选用f (t )＝1200(t －150)2＋100作为模拟函数较好．评注本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化．练习2 现有一组数据如下表所示：其中最能近似地表达这些数据规律的函数是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x－12D ．y ＝x 3－x ＋1答案 C讲解三转化为熟悉的函数模型例3 有A ，B 两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M (万元)和N (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式：M ＝12x ，N ＝3x2，今有4万元资金投入经营A ，B两种商品．为获得最大利润，应分别对A ，B 两种商品的资金投入多少万元？解设对A 种产品投资x 万元，则对B 种产品投资(4－x )万元．于是获得总利润y ＝12x ＋34－x2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，4－x ≥0，得0≤x ≤4.令t ＝4－x (0≤x ≤4)，则x ＝4－t 2(0≤t ≤2)．所以y ＝12(4－t 2)＋32t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋258(0≤t ≤2)．于是，当t ＝32时，y max ＝258(万元)．此时，x ＝4－t 2＝74＝1.75(万元)，4－x ＝2.25(万元)．故为了获得最大利润，对A 种商品的资金投入为1.75万元，对B 种商品的资金投入为2.25万元．练习3 某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元．已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？并求出最大利润．答案安排生产童装10天，生产西服20天，可获得最大利润，最大利润为124 000元．。

2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.1 实数指数幂及其运算学案新人教B版必修1

3．1.1 实数指数幂及其运算1．理解n次方根及根式的概念．(重点)2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点、难点)3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)[基础·初探]教材整理1 整数指数阅读教材P85～P86“第7行”以上部分，完成下列问题．1．a n＝.a n叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，并规定a1＝a.2．零指数幂与负整数指数幂规定：a0＝1(a≠0)，a－n＝1a(a≠0，n∈N＋)．3．整数指数幂的运算法则正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然成立．下列运算中，正确的是( )A．a2·a3＝a6B．(－a2)5＝(－a5)2C．(a－1)0＝0 D．(－a2)5＝－a10【解析】a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；当a＝1时，(a－1)0无意义；当a≠1时，(a－1)0＝－1.【答案】 D教材整理2 根式阅读教材P86～P87“第6行”以上内容，完成下列问题．1．a的n次方根的意义如果存在实数x，使得x n＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．求a的n次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算．2．根式的意义和性质当n a 有意义时，na 叫做根式，n 叫做根指数．根式的性质：(1)(na )n＝a (n >1，且n ∈N ＋)；(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，当n 为奇数时，|a |，当n 为偶数时.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n ∈N *时，(n－16)n都有意义．( )(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) (3)na n＝a .( )【解析】 (1)×.当n 是偶数时，(n－16)n没有意义． (2)×.负数没有偶次方根．(3)×.当n 为偶数，a <0时，na n＝－a . 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理3 实数指数幂阅读教材P 87“第7行”～P 88“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义：a mn ＝(n a )m ＝n a m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >0，m ，n ∈N ＋，且m n 为既约分数；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理指数幂的运算性质 (1)a αa β＝aα＋β(a >0，α，β∈Q )； (2)(a α)β＝aαβ(a >0，α，β∈Q )；(3)(ab )α＝a αb α(a >0，b >0，α∈Q )． 3．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－π2＝π－3.( )(2)分数指数幂a mn 可能理解为mn个a 相乘．( )(3)0的任何指数幂都等于0.( ) 【解析】 ∵－π2＝|3－π|＝π－3.∴(1)正确．由分数指数幂的意义知(2)、(3)均错．【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型]【导学号：60210072】(1)5－5；(2)4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π24； (3)x －y2；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)．【精彩点拨】根指数是奇数的，直接开出结果，根指数是偶数的，先判断被开方数的底数的符号，如不能唯一确定，可分类表示．【自主解答】 (1)5－5＝－2.(2)∵3－π<0，∴4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π24＝π－32.(3)x －y2＝|x －y |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －y ，x ≥y ，y －x ，x <y .(4)原式＝x －2－x ＋2＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴－4<x －1<2,0<x ＋3<6.当－4<x －1<0，即－3<x <1时，|x －1|－|x ＋3|＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2；当0≤x －1<2，即1≤x <3时，|x －1|－|x ＋3|＝x －1－(x ＋3)＝－4. ∴x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.1．正确区分na n与(na )n(1)(na )n已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性不同可知a 的范围； (2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性． 2．有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[再练一题]1．求值：3－22＋⎝⎛⎭⎫31－23＝________.【解析】3－22＋⎝⎛⎭⎫31－23＝2－2＋()1－2＝2－1＋1－2＝0.【答案】 0【精彩点拨】对于本题先把根式化为分数指数幂，再利用运算性质求解．【自主解答】1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．2．关于式子na m＝a m n 的两点说明：(1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m ↔分数指数的分子．3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但像(－a )12＝－a 中的a 则需要a ≤0. 特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．[再练一题]2．化简x ·3x 2x ·6x的结果是( )A.x B ．x C ．1 D ．x 2【解析】 .故选C.【答案】 C(1) ；(2)．【精彩点拨】【自主解答】 (1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2).利用指数幂的运算性质化简求值的方法1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[再练一题]3．计算：.【解析】【答案】 12[探究共研型]探究1 把⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 分别展开是什么？【提示】 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝a ＋1a ＋2，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝a 2＋1a 2＋2.探究2 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝⎛⎭⎪⎫a －1a2有什么关系？【提示】 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.已知a 12＋a -12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【精彩点拨】寻找要求值的式子与条件式a 12＋a -12＝4的联系，进而整体代入求值．【自主解答】 (1)将a 12＋a -12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14. (2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．[再练一题]4．已知a 12－a -12＝5，则a 12＋a -12＝________.【解析】因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122＝a ＋a －1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122＋4＝5＋4＝9，又因为a 12＋a -12>0，所以a 12＋a -12＝3. 【答案】 31．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1 D ．(－a 2)3＝a 6【解析】 a 2a 3＝a2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1；(－a 2)3＝－a 6，故选A. 【答案】 A2．下列各式中成立的一项是( )【解析】 A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；B 中等式左侧为正数，右侧为负数；C 中x ＝y ＝1时不成立；D 正确．【答案】 D3.【解析】 .【答案】 D4．如果x >y >0，则x y y xy y xx ＝________.【解析】 ∵x >y >0，∴x y y x y y x x ＝x y -x ·y y -x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y y -x. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y y -x5．化简下列各式(式中字母均为正数)： (1)b 3a a 6b 6； (2) (结果为分数指数幂)．【解】。

2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.2指数函数学案新人教B版必修1

3．1.2 指数函数1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)[基础·初探]教材整理1 指数函数的定义阅读教材P90～P91“第12行”以上内容，完成下列问题．指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－2x是指数函数．( )(2)函数y＝2x＋1是指数函数．( )(3)函数y＝(－2)x是指数函数．( )【解析】(1)×.因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．(2)×.因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．(3)×.因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2 指数函数的图象和性质阅读教材P91～P92，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) (2)当a >1时，对于任意x ∈R ，总有a x >1.( ) (3)函数f (x )＝2－x 在R 上是增函数．( )【解析】 (1)√.因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x 轴的上方．(2)×.当x ≤0时，a x≤1.(3)×.因为f (x )＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，所以函数f (x )＝2－x在R 上是减函数．【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型](1)下列一定是指数函数的是( ) A ．y ＝axB ．y ＝x a(a >0且a ≠1) C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1【精彩点拨】根据指数函数的定义判断、求解．【自主解答】 (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a(a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3. 【答案】 (1)C (2)C1．指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1；(4)指数函数不会是多项式，如y ＝a x＋1(a >0且a ≠1)不是指数函数． 2．求指数函数的解析式常用待定系数法．[再练一题]1．(1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________.(2)已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________.【导学号：60210075】【解析】 (1)由题意设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，则f (2)＝a 2＝9，又因为a >0，所以a ＝3，所以f (x )＝3x .(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．【答案】 (1)3x(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)【导学号：97512041】(1)y ＝1－3x；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |； (3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.【精彩点拨】函数式有意义―→原函数的定义域――→指数函数的值域原函数的值域【自主解答】 (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1. 所以1－3x∈[0,1)，即函数y ＝1－3x的值域为[0,1)．(3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x>0，所以4x＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)．1．求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x 型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f a x 型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．2．函数y ＝a f (x )的值域的求解方法如下： (1)换元，令t ＝f (x )； (2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； (3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(4)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[再练一题]2．求下列函数的定义域和值域．【解】 (1)函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠3}．令t ＝1x －3，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t ≠1，故函数的值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2，则t ＝－(x －1)2＋1≤1，[探究共研型]探究1 )＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？【提示】法一(平移法) ∵y＝a x过定点(0,1)，∴将函数y＝a x向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝a x－1＋2，此时函数y＝a x图象过定点(1,3)法二(解方程法)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象过定点(0,1)；在f(x)＝a x－1＋2中令x－1＝0，即x＝1，则f(x)＝3，所以函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(1,3)．探究2 指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象可能在第三或四象限吗？为什么？【提示】不可能．因为指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，这就决定了其图象只能在第一象限和第二象限．探究3 从左向右，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？【提示】当0<a<1时，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势；当a>1时，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势．指数函数的图象下凸．(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )(2)函数y＝a－|x|(0＜a＜1)的图象是( )【精彩点拨】 (1)分a ＞1和0＜a ＜1两种情况分类讨论，结合排除法解题；(2)根据函数的奇偶性，单调性和函数的最值，以及函数的凹凸性即可判断．【自主解答】 (1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增，又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x单调递减， A 中，从图象上看，y ＝a x的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图象上看，y ＝a x的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D. (2)y ＝a－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴a 1＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.【答案】 (1)D (2)A1．可用指数函数的图象过定点(0,1)，结合指数函数的性质如单调性、值域等处理指数函数的图象问题．2．要求指数型函数图象所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如图311所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .图311[再练一题]3．定义一种运算：g ⊙h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥h ，h g <h ，已知函数f (x )＝2x⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致图象是( )【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ，x，∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x，x，∴其图象为B ，故选B. 【答案】 B1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)xB ．2xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.⎝⎛⎭⎪⎫22x【解析】由题意，设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x.【答案】 A2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x－1的值域是( )【导学号：60210076】A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－89，8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，9 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9 【解析】 y ＝3－x－1，x ∈[－2,2)是减函数， ∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.【答案】 A3．已知f (x )＝a x＋b 的图象如图312所示，则f (3)等于( )图312A ．22－2 B.39－3 C ．33－3D ．33－3或－33－3【解析】由图象知，f (0)＝1＋b ＝－2，所以b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，所以a ＝3(负值舍去)，故f (x )＝3x2－3，f (3)＝33－3.【答案】 C 4．已知函数f (x )＝a2x －4＋n (a >0且a ≠1)的图象恒过定点P (m,2)，则m ＋n ＝________.【解析】令2x －4＝0，即x ＝2，f (x )＝1＋n .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，1＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴m ＋n ＝3.【答案】 35．已知f (x )＝9x －2×3x＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．【解】 (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13.(2)由f (x )＝9x－2×3x＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t≤9，故当t＝1时，函数f(x)有最小值为3，当t＝9时，函数f(x)有最大值为67.。

2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2.1 第2课时积、商、幂的对数学案新人教B版必修1

3.2.1 第2课时积、商、幂的对数学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一对数运算法则思考有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？梳理一般地，如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝________________；(2)log a M N＝________________；(3)log a M n ＝________(n ∈R )．知识点二自然对数1．定义：以无理数e ＝________为底的对数叫做自然对数．2．记法：log e N ＝________.知识点三换底公式思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表和自然对数表，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？思考2 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，再化为对数式可得到什么结论？梳理对数换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．特别地，log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．类型一具体数字的化简求值例1 计算：(1)log 345－log 35；(2)log 2(23×45)； (3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；(4)log 29·log 38.反思与感悟具体数的化简求值主要遵循两个原则(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．(2)不同底化为同底．跟踪训练1 计算：(1)2log 63＋log 64；(2)(lg 25－lg 14)÷10012－；(3)log 43·log 98；(4)log 2.56.25＋ln e －0.06413.类型二代数式的化简命题角度1 代数式恒等变换例2 化简log a x 2y3z.反思与感悟使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2 lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意log a(MN)≠log a M·log a N，log a(M±N)≠log a M±log a N.跟踪训练2 已知y>0，化简log ax yz.命题角度2 用代数式表示对数例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.反思与感悟此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.1．log 513＋log 53等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．log 51032．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3．log 29×log 34等于( )A.14B.12 C ．2 D ．44．lg 0.01＋log216的值是________．log2＋(－9.8)0＝________.5．log327＋lg 25＋lg 4＋771．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N)n，②log a(MN)＝log a M·log a N，③log a M±log a N＝log a(M±N)．答案精析问题导学知识点一思考有．例如，设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，∴MN ＝a m ·a n ＝a m ＋n ，∴log a (MN )＝m ＋n ＝log a M ＋log a N .得到的结论log a (MN )＝log a M ＋log a N ，可以当公式直接进行对数运算．梳理(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M知识点二(1)2.718 28… (2)ln N知识点三思考1 设法换为同底．思考2 把3x ＝5化为对数式为：log 35＝x ，又因为x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论．梳理1题型探究例1 解 (1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2log 33＝2.(2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213)＝13log 22＝13.(3)lg 10333232234lg()lg(3210)101212lg lg 1010⨯⨯÷==＝32lg 1210lg 1210＝32.(4)log 29·log 38＝log 2(32)·log 3(23)＝2log 23·3log 32。

18版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3幂函数学案新人教B版必修1

3．3 幂函数1．掌握幂函数的概念、图象和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(易混点)3．能利用幂函数的性质来解决实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 幂函数的概念阅读教材P 108前6自然段，完成下列问题．一般地，函数y ＝x α(α∈R )叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)【解析】 (1)√.函数y ＝符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x不是幂函数；【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的概念阅读教材P 108第7自然段至P 109“例1”以上部分，完成下列问题． 1．幂函数的图象图3312．幂函数的性质幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)【解析】设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12＝x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B. 【答案】 B[小组合作型](1)( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2, 2)，则f (9)＝________.【精彩点拨】 (1)由幂函数y ＝x α的定义，从“底数只有x ，且x α的系数必须为1，指数α只能是常数”这三个方面判断．(2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f (9)的值． (3)利用幂函数的概念可得到关于m 的关系式，解之即可．【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x －2是幂函数，所以选B. (2)由题意，令y ＝f (x )＝x α，由于图象过点(2，2)，得2＝2α，α＝12，∴y=f (x )=x 12,∴f (9)=3.数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，12m 2＋m <0，∴m ＝－1.【答案】 (1)B (2)3 (3)－11．只有形如y ＝x α(其中α为任意实数，x 为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．[再练一题]1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________. 【解析】设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α，【答案】 13已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )图332A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【自主解答】 (1)考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n >0时，对于y ＝x n，n 越大，y ＝x n增幅越快，n <0时看|n |的大小．根据幂函数y ＝x n的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.【答案】 B(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，所以m ＝1,2.＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.幂函数的性质如下：在区间，＋上都有定义，并且图象都通过点，若α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋上是增函数.当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上若α<0，则幂函数在区间0，＋上是减函数，在第一象限内为双曲线形，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴.[再练一题]2．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．【解】设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1.∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．[探究共研型]探究1 y ＝x α在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？【提示】当a >1时，函数y ＝a x 单调递增；当0<a <1时，函数y ＝a x单调递减．当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．探究2 23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【提示】 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.探究3 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【提示】 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x－0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.比较下列各组中幂值的大小．【精彩点拨】比较幂的大小关键要看是底数相同还是指数相同，若底数相同则利用指数函数的单调性，若指数相同，则利用幂函数的单调性，若底数和指数都不相同，则利用中间数比较大小．【自主解答】 (1)∵函数y ＝3x 是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7. (2)∵函数y ＝x 3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.又∵y ＝1.8x是增函数，且12>13，比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例中的[再练一题]3．比较下列各组数的大小．【解】1．给出四个说法：①当α＝0时，y＝xα的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y＝xα在第一象限为减函数，则α<0.其中，正确的说法个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；③④正确．【答案】 B2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )【解析】A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．【答案】 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.【答案】 A4．函数y ＝x 13的图象是( )【解析】显然代数表达式“－f (x )＝f (－x )”说明函数是奇函数．同时当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x .【答案】 B5．比较下列各组数的大小：【解】。

2018版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ习题课对数函数学案新人教B版必修1

第三章基本初等函数（Ⅰ）学习目标 1.巩固和深化对于对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．知识点一对数概念及其运算1．当a >0，且a ≠1时，由指数式对数式互化可得恒等式：⎭⎪⎬⎪⎫a b ＝N log a N ＝b ⇒a log a N ＝____. 2．对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质(1)0和负数没有对数，即N ____0；(2)log a 1＝____；(3)log a a ＝____.3．运算公式已知a >0，且a ≠1，M 、N >0.(1)log a M ＋log a N ＝____________；(2)log a M －log a N ＝____________；(3)log n a M m＝____log a M ；(4)log a M ＝log c M log c a ＝1log M a(c >0，且c ≠1)．知识点二对数函数及其图象、性质函数________________________叫做对数函数．(1)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为______；值域为____；(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过点______；(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递________；当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递________；(4)直线y ＝1与函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象交点为________．(5)y ＝log a x 与y ＝a x 的图象关于____对称． y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图象关于______对称．类型一对数式的化简与求值例1 (1)计算：log (2＋3)(2－3)；(2)已知2lgx －y 2＝lg x ＋lg y ，求log (3－22)x y .反思与感悟在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化．跟踪训练1 (1)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2＝________. (2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.类型二对数函数图象的应用例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |ln x |，0<x ≤e，2－ln x ，x >e ，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．反思与感悟函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．跟踪训练2 已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．类型三对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是(－1,1)，对于任意的x ，y ∈(－1,1)，有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，且当x ＜0时，f (x )＞0. (1)验证函数g (x )＝ln 1－x 1＋x，x ∈(－1,1)是否满足上述这些条件； (2)你发现这样的函数f (x )还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明．1．若log x 7y ＝z ，则( )A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x 2．当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2) 3．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[12，2] C ．[1,2] D ．[2，4] 4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 5．已知a 23＝49(a >0)，则log 23a ＝________.1．指数式a b＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积． 3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n ＝n m ·log a b ，log a b ＝1log b a在解题中的灵活应用．4．在运用性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N ＋，且n 为偶数)．5．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．6．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．答案精析知识梳理知识点一1．N2．(1)> (2)0 (3)13．(1)log a (MN ) (2)log a M N (3)m n知识点二y ＝log a x (a >0，且a ≠1) (1)(0，＋∞)R (2)(1,0) (3)增减 (4)(a,1) (5)y ＝x x 轴题型探究例1 解 (1)利用对数定义求值：设log (2＋3)(2－3)＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1. (2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y )2－6(xy )＋1＝0.∴xy ＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＞0，x ＞0，y ＞0，∴x y ＞1，∴x y ＝3＋22，∴log (3－22)x y ＝log (3－22)(3＋22)＝log (3－22)13－22＝－1.跟踪训练1 (1)－32(2)2 例2 解 f (x )的图象如图：设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ，不妨设a <b <c ，则直线y ＝m 与f (x )交点横坐标从左到右依次为a ，b ，c ，由图象易知0<a <1<b <e<c <e 2，∴f (a )＝|ln a |＝－ln a ，f (b )＝|ln b |＝ln b .∴－ln a ＝ln b ，ln a ＋ln b ＝0，ln ab ＝ln 1，∴ab ＝1. ∴abc ＝c ∈(e，e 2)．跟踪训练2 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，所以当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0＜a ＜1时，a ≤13≤a －1，得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．例3 解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a (－1＋21－x)，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求．跟踪训练3 解 (1)因为g (x )＋g (y )＝ln 1－x 1＋x ＋ln 1－y 1＋y＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1－y 1＋y ＝ln 1－x －y ＋xy 1＋x ＋y ＋xy ， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝ln 1－x ＋y 1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝ln 1－x －y ＋xy 1＋x ＋y ＋xy，所以g (x )＋g (y )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立．又当x ＜0时，1－x ＞1＋x ＞0，所以1－x 1＋x＞1，所以g (x )＝ln 1－x 1＋x＞0成立．综上g (x )＝ln 1－x 1＋x满足这些条件． (2)发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是奇函数．因为x ＝y ＝0代入条件，得f (0)＋f (0)＝f (0)，所以f (0)＝0.将y ＝－x 代入条件得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0⇒f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )在(－1,1)上是奇函数．又发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是减函数．因为f (x )－f (y )＝f (x )＋f (－y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当－1＜x ＜y ＜1时，x －y 1－xy ＜0，由条件知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ＞0，即f (x )－f (y )＞0⇒f (x )＞f (y )，所以函数f (x )在(－1,1)上是减函数．当堂训练1．B 2.B 3.D 4.B 5.3。

2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.2 指数函数(二)学案新人教B版必修1

3．1.2 指数函数(二) 学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．知识点一不同底指数函数图象的相对位置思考 y ＝2x 与y ＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？梳理一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．(2)指数函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x (a ＞0且a ≠1)的图象关于y 轴对称．知识点二比较幂的大小思考若x 1＜x 2，则a 1x 与a2x (a ＞0且a ≠1)的大小关系如何？梳理比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的________的变化规律来判断；(3)对于底数不同，指数也不同的两个幂的大小，则通过________来判断．知识点三解指数方程、不等式思考若a 1x ＜a2x ，则x 1，x 2的大小关系如何？梳理简单指数不等式的解法(1)形如af (x )＞ag (x )的不等式，可借助y ＝a x 的______求解； (2)形如af (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的________求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x ，y ＝b x 的图象求解．知识点四与指数函数复合的函数单调性思考 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？梳理形如y ＝af (x )(a >0，且a ≠1)的函数的性质 (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有________的定义域．(2)当a >1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有________的单调性；当0<a <1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性________．类型一解指数方程例1 解下列关于x 的方程：(1)81×32x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2； (2)22x ＋2＋3×2x －1＝0.反思与感悟 (1)a f (x )＝b 型通常化为同底来解．(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．跟踪训练1 解下列方程．(1)33x －2＝81； (2)5x ＝325；(3)52x －6×5x＋5＝0.类型二指数函数单调性的应用命题角度1 比较大小例2 比较下列各题中两个值的大小：(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3； (3)1.70.3,0.83.1.反思与感悟当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小．(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π，1.命题角度2 解指数不等式例3 解关于x 的不等式：a2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)．反思与感悟解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．跟踪训练3 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________．命题角度3 与指数函数复合的单调性问题例4 (1)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的单调区间； (2)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋17的单调区间．反思与感悟复合函数单调性问题归根结底是由x 1<x 2到f (x 1)与f (x 2)的大小，再到g (f (x 1))与g (f (x 2))的大小关系问题．跟踪训练4 求下列函数的单调区间．(1)y ＝a223x x ＋－； (2)y ＝10.2x －1.1．若a ＝0.512，b ＝0.513，c ＝0.514，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a 2．方程42x －1＝16的解是( )A ．x ＝－32B ．x ＝32C ．x ＝1D ．x ＝2 3．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221x －的单调递增区间为( ) A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)4．设0＜a ＜1，则关于x 的不等式22232223x x x x aa －＋＋－＞的解集为________． 5．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x>b x的不等式，可借助图象求解．3．(1)研究y＝a f(x)型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1.当a>1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相同．当0<a<1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相反．(2)研究y＝f(a x)型单调区间时，要注意a x属于f(u)的增区间还是减区间，其中u＝a x.答案精析问题导学知识点一思考经描点观察，在y 轴右侧，2x ＜3x ，即y ＝3x 图象在y ＝2x 上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x 在y ＝3x 图象上方．知识点二思考当a ＞1时，y ＝a x 在R 上为增函数，所以ax 1＜ax 2，当0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上为减函数，所以ax 1＞ax 2.梳理(1)单调 (2)图象 (3)中间值知识点三思考当f (x )在区间[m ，n ]上单调递增(减)时，若x 1，x 2∈[m ，n ]，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．所以，当0＜a ＜1时，ax 1＜ax 2⇔x 1＞x 2，当a ＞1时，ax 1＜ax 2⇔x 1＜x 2.此原理可用于解指数方程、不等式．梳理(1)单调性 (2)单调性知识点四思考由于y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的定义域与y ＝1x 的定义域相同，故研究y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究．若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1221x ，不等号方向的改变与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝1x 的单调性均有关．梳理(1)相同 (2)相同相反题型探究例1 解 (1)∵81×32x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2， ∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，∴2x ＋4＝－2(x ＋2)，∴x ＝－2.(2)∵22x ＋2＋3×2x －1＝0，∴4×(2x )2＋3×2x －1＝0.令t ＝2x (t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0，解得t ＝14或t ＝－1(舍去)． ∴2x ＝14，解得x ＝－2. 跟踪训练1 解 (1)∵81＝34，∴33x －2＝34， ∴3x －2＝4，解得x ＝2. (2)∵5x ＝325，∴23255x ＝， ∴x 2＝23，解得x ＝43. (3)令t ＝5x ，则t >0，原方程可化为t 2－6t ＋5＝0，解得t ＝5或t ＝1，即5x ＝5或5x ＝1，∴x ＝1或x ＝0.例2 解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数．∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图象位于y ＝1.5x 的图象的上方．而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二 ∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3，又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3＞1， ∴1.70.3＞1.50.3.(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.跟踪训练2 解 (1)∵0＜0.8＜1，∴y ＝0.8x 在R 上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2. (2)∵0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 在R 上是减函数．又∵－π＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞1. 例3 解 (1)当0<a <1时，∵a2x ＋1≤a x －5， ∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，∵a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}．跟踪训练3 (12，＋∞) 例4 解 (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的定义域为R . 在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋在(－∞，3]上是增函数．在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋在[3，＋∞)上是减函数． ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)． (2)设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又y ＝t 2－8t ＋17在(－∞，4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增．令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，得x ≥－2. ∴当－2≤x 1<x 2时，4≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121x >⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ，即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得减区间是(－∞，－2]．跟踪训练4 解 (1)设y ＝a u ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得u 在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数．当a >1时，y 关于u 为增函数；当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；当0<a <1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为(－1，＋∞)．(2)已知函数的定义域为{x |x ≠0}．设y＝1u－1，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数．而根据y＝1u－1的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减函数，∴原函数的增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．当堂训练1．B 2.B 3.A 4.(1，＋∞) 5.5±1211。

高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)章末复习提升学案新人教B版必修1

8
解
令
t ＝x2－ 3x＋ 3＝
3 x－
2
2＋
3 4，
3 当 x∈[1,3] 时， t ∈ 4， 3 .
1 ①若 a＞ 1 时，则 y ＝ min a ＝ 8，
1 解得 a＝ 16，与 a＞ 1 矛盾 .
②若 0＜ a＜ 1，则 ymin＝ a3＝1， 8
1
1
解得 a＝ 2，满足题意 . 综合①，②知， a＝ 2.
综上可知，当 a＞ 1 时， f (log a x) ＞ 0 的解集为 0， a ∪（ a，＋∞ ) ； a
当 0＜ a＜ 1 时， f (log ax) ＞ 0 的解集为 (0 ， a) ∪ a，＋∞ . a
跟踪演练 4
已知函数
y＝ ax2－3x＋ 3 在 x∈[1,3]
时有最小值
1 ，求 a 的值 .
∞ ) ，值域为 (0,1]. g( x) ＝ x2－ 4x＋ 4 的图象的交点个数为
()
A.0 B.1 C.2 D.3
3/6
x3
(2) 函数 y＝3x － 1的图象大致是 (
)
答案 (1)C (2)C
解析 (1) 作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解
.
g( x) ＝ x2－ 4x＋ 4 ＝ ( x － 2) 2 ，在同一平面直角坐标系内画出函数
第三章基本初等函数（Ⅰ）
1. 指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，
在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化
.
2. 指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数
a 的不同取值对函
数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知

2018版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3_1_2指数函数二学案新人教B版必修1

- 让每一个人同等地提高自我3．指数函数 ( 二)学习目标1. 掌握指数函数与其余函数复合所得的函数单一区间的求法及单一性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3. 会解简单的指数方程、不等式 .4. 认识与指数函数有关的函数奇偶性的判断方法．知识点一不一样底指数函数图象的相对地点思虑 y ＝ 2x 与 y ＝ 3x 都是增函数，都过点 (0,1) ，在同一坐标系内怎样确立它们两个的相对地点？梳理一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对地点与底数大小有以下关系：(1) 在 y 轴右边，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左边，图象从下到上相应的底数由大变小．即不论在y 轴的左边仍是右边，底数按逆时针方向变大．这一性质可经过令x＝1 时， y ＝ a 去理解，如图．x1 x(2) 指数函数 y ＝ a 与 y ＝ a ( a ＞ 0 且 a ≠1) 的图象对于 y 轴对称．知识点二比较幂的大小思虑若 x 1＜ 2，则a x 1 与a x 2( ＞ 0 且 ≠1) 的大小关系怎样？xa a梳理比较幂大小的方法- 让每一个人同等地提高自我(1) 对于同底数不一样指数的两个幂的大小，利用指数函数的________性来判断；(2) 对于底数不一样指数同样的两个幂的大小，利用指数函数的________的变化规律来判断；(3) 对于底数不一样，指数也不一样的两个幂的大小，则经过________来判断．知识点三解指数方程、不等式思虑若 a x1＜ a x2，则 x1， x2的大小关系怎样？梳理简单指数不等式的解法(1)f xg x x形如 a ( )＞ a ( )的不等式，可借助 y＝ a 的______求解；(2) 形如 a f ( x)＞b 的不等式，可将 b 化为以 a 为底数的指数幂的形式，再借助 y＝a x的________ 求解；(3) 形如 a x＞ b x 的不等式，可借助两函数y＝a x， y＝ b x的图象求解．知识点四与指数函数复合的函数单一性思虑 y＝1 1 1的定义域是什么关系？ y＝1 1 12x的定义域与 y＝2x 的单一性与y＝的单一性x x有什么关系？梳理形如 y＝ a f ( x )( a>0，且 a≠1)的函数的性质(1) 函数 y＝ a f ( x)与函数 y＝ f ( x)有________的定义域．(2) 当 a>1时，函数 y＝ a f ( x)与 y＝ f ( x)拥有________的单一性；当0<a<1 时，函数y＝a f ( x) 与函数 y＝f ( x)的单一性________．种类一解指数方程例 1 解以下对于x 的方程：2x1 x＋2(1)81 ×3＝9 ；(2)2 2x＋2＋3×2x－ 1＝ 0.反省与感悟(1) a f ( x)＝b型往常化为同底来解．(2)解指数方程经常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转变为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的弃取．追踪训练1解以下方程．(1)3 3x－2＝ 81；(2)5x＝325；(3)5 2x－6×5x＋ 5＝ 0.种类二指数函数单一性的应用命题角度 1比较大小例 2比较以下各题中两个值的大小：－2.5,－3；0.3, 0.3；0.3, 3.1.反省与感悟当两个数不可以利用同一函数的单一性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有 0 和± 1.追踪训练2比较以下各题中的两个值的大小．－0.1, 1 －π； (2) π， 1.命题角度 2解指数不等式例 3解对于x的不等式：a2x＋1≤ a x－5(a>0，且a≠1)．反省与感悟解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单一性化为惯例的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．追踪训练3已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．命题角度 3与指数函数复合的单一性问题1 x 2－6x＋17例 4 (1) 求函数y＝2 的单一区间；1 2x 1 x(2) 求函数y＝2 －8· 2 ＋ 17 的单一区间．反省与感悟复合函数单一性问题归根结底是由x1<x2到 f ( x1)与 f ( x2)的大小，再到 g( f ( x1))与 g( f ( x2))的大小关系问题．追踪训练 4 求以下函数的单一区间．2(1) y＝a x＋2x－3；1(2) y＝x－1.1 1 11．若a＝ 0.5 2 ， b＝3， c＝4，则 a、 b、 c 的大小关系是() A．a＞b＞c B．a＜b＜cC．＜＜b D．＜＜aa cbc 2．方程 42x－1＝ 16 的解是 ()3 3A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝ 1 D．x＝ 23．函数f ( x) ＝1x2－1的单一递加区间为 ( ) 2A． ( －∞， 0] B． [0 ，＋∞) C．( －1，＋∞ ) D． ( －∞，－ 1)4．设 0＜a＜ 1，则对于x的不等式a 2x2－3x＋2 2x2＋2x－3的解集为 ________．＞ a5．若指数函数y＝a x在[ － 1,1] 上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝ ________. 1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1) 比较形如m n的大小，可运用指数函数 yx的单一性．a 与 a ＝ a(2) 比较形如a m与 b n的大小，一般找一个“中间值c”，若 a m<c 且 c<b n，则 a m<b n；若 a m>c 且 c>b n，则 a m>b n.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如 a x>a y的不等式，可借助 y＝a x的单一性求解．假如 a 的值不确立，需分0<a<1和 a>1 两种状况进行议论．(2) 形如a x>b的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的形式，再借助y＝ a x的单一性求解．(3)形如 a x>b x的不等式，可借助图象求解．3． (1) 研究y＝a f ( x ) 型单一区间时，要注意a>1仍是0<a<1.当 a>1时， y＝ a f ( x)与 f ( x)单一性同样．当0<a<1 时，y＝a f ( x)与f ( x) 单一性相反．x x x (2) 研究y＝f ( a ) 型单一区间时，要注意 a 属于 f ( u)的增区间仍是减区间，此中u＝ a .- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点一思虑经描点察看，在 xxxx上方，经 (0,1) 点交错，位 y 轴右边， 2 ＜ 3 ，即 y ＝ 3 图象在 y ＝ 2 置在 y 轴左边反转， y ＝ 2x 在 y ＝3x 图象上方．知识点二思虑当 a ＞ 1 时， y ＝a x 在 R 上为增函数，因此 ax 1＜ ax 2，当 0＜ a ＜ 1 时， y ＝ a x 在 R 上为减函数，因此 ax 1＞ ax 2.梳理(1) 单一 (2) 图象 (3) 中间值知识点三思虑当 f ( x ) 在区间 [ m ， n ] 上单一递加 ( 减 ) 时，若 x 1， x 2∈[m ， n ] ，则 f ( x 1) ＜f ( x 2) ? x 1＜x 2( x 1 ＞x 2) ．因此，当 0＜ a ＜ 1 时， ax 1＜ ax 2? x 1＞ x 2，当 a ＞ 1 时， ax 1＜ ax 2? x 1＜ x 2.此原理可用于解指数方程、不等式．梳理(1) 单一性 (2) 单一性知识点四思虑xR ，故 y ＝1 11因为 y ＝ a ( a ＞ 0 且 a ≠1) 的定义域为2 x的定义域与y ＝的定义域同样，x1 1111 1 1x 1 ＜故研究 y ＝x的单一性，只要在 y ＝的定义域内研究．若设 0＜x 1＜ x 2，则＞，22xx 1 x 21111x 2 ，不等号方向的改变与x ， y ＝2 y ＝的单一性均有关．2 x梳理(1) 同样 (2) 同样相反题型研究2x1 x ＋ 2例 1 解(1) ∵81×3 ＝ 9 ，2x ＋4－ 2(x ＋2)，∴3＝ 3∴2x ＋ 4＝－ 2( x ＋ 2) ，∴x ＝－ 2.(2)∵22x＋2＋3×2x－ 1＝ 0，∴4×(2 x ) 2＋3×2x－ 1＝ 0.令 t ＝2x( t ＞0)，则方程可化为4t2＋ 3t－ 1＝ 0，1解得 t ＝4或 t ＝－1(舍去)．x 1∴2＝4，解得 x＝－2.追踪训练1解(1) ∵81＝ 34，∴33x－2＝34，∴3x－2＝4，解得 x＝2.x 2(2) ∵x＝33，5 25，∴52＝5x 2 4∴2＝3，解得 x＝3.(3)令 t ＝5x，则 t >0，原方程可化为 t 2－6t ＋5＝0，解得 t ＝5或 t ＝1，即5x＝5或5x＝1，∴x＝1或 x＝0.例 2解(1) ∵＞ 1，∴y＝x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵－ 2.5 ＞－ 3，∴ 1.7 －＞ 1.7 －3.(2) 方法一∵ ＞，∴在(0，＋∞ )上，y＝x的图象位于y＝x的图象的上方．而 0.3 ＞ 0，∴ 1.7 0.3＞ 1.5 0.3 .方法二∵＞ 0，且＝，又＞ 1,0.3 ＞ 0，∴1.5 ＞ 1，∴1.7 0.3＞ 1.5 0.3 .(3)∵1.7 0.3＞ 1.7 0＝1,0.8 3.1＜ 0.8 0＝1，∴1.7 0.3＞ 0.8 3.1 .追踪训练2解(1) ∵0＜ 0.8 ＜ 1，∴y＝ 0.8 x在 R上是减函数．∵－ 0.2 ＜－ 0.1 ，∴ 0.8 －＞0.8 －，即 0.8 －＜1.25 .(2)∵0＜1＜ 1，∴函数y＝1x在 R 上是减函数．ππ1－π 1 0又∵－π＜ 0，∴π＞π＝ 1，1 －π＞ 1. 即 π例 3 解 (1) 当 0< <1 时，∵a 2x ＋ 1 ≤ x －5，a a∴2x ＋1≥ x － 5，解得 x ≥－ 6.(2) 当 a >1 时，∵ a 2x ＋1≤ a x －5，∴2x ＋1≤ x － 5，解得 x ≤－ 6.综上所述，当 0<a <1 时，不等式的解集为 { x | x ≥－ 6} ；当 a >1 时，不等式的解集为 { x | x ≤－6} ．追踪训练 3 (1，＋∞)2例 4 解(1) y ＝ 1 x 2－6 x ＋17 的定义域为 R. 2在( －∞， 3] 上， y ＝ 2－ 6 ＋ 17 是减函数，xx∴ y ＝ 1 x 2 －6x ＋17在 ( －∞， 3] 上是增函数．2在[3 ，＋∞ ) 上， y ＝x 2－ 6x ＋ 17 是增函数，∴ y ＝ 1 x 2 －6x ＋17 在 [3 ，＋∞ ) 上是减函数．212∴ y ＝ 2 x－6x ＋17的增区间是 ( －∞， 3] ，减区间是 [3 ，＋∞ ) ．(2) 设 t ＝ 1 x，又 y ＝ t 2－8t ＋ 17 在( －∞， 4] 上单一递减，在 [4 ，＋∞ ) 上单一递加．2令 1 x≤4，得 x ≥－ 2. 2∴当－ 2≤ x <x1 x1 x 2时， 4≥21 > 2，12即 4≥ t >t ，∴ t2 8t ＋ 17<t 22 －－ 8t ＋ 17.1112212x1 x∴y ＝ 2 －8· 2 ＋ 17 的单一增区间是 [ － 2，＋∞ ) ．同理可得减区间是 ( －∞，－ 2] ．追踪训练 4 解(1) 设 y ＝ a u ，u ＝ x 2＋ 2x －3，由 u ＝ x 2＋2x － 3＝ ( x ＋ 1) 2－ 4，得 u 在 ( －∞，－ 1] 上为减函数，在 ( － 1，＋∞ ) 上为增函数．当 a >1 时， y 对于 u 为增函数；当 0<a <1 时， y 对于 u 为减函数，∴当 a >1 时，原函数的增区间为 ( － 1，＋∞ ) ，减区间为 ( －∞，－ 1] ；当 0<a <1 时，原函数的增区间为 ( －∞，－ 1] ，减区间为 ( － 1，＋∞ ) ．(2) 已知函数的定义域为 { x | x ≠0} ．2018版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3_1_2指数函数二学案新人教B 版必修1 11 / 11 - 让每一个人同等地提高自我设 y ＝ u －11， u ＝ x ，易知 u ＝ x 为减函数．1而依据 y ＝ u － 1的图象可知在区间 ( －∞， 1) 和 (1 ，＋∞ ) 上， y 是对于 u 的减函数，∴原函数的增区间为 ( －∞， 1) 和 (1 ，＋∞ ) ．当堂训练5±1 1． B 4.(1 ，＋∞) 5.211。

2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)章末复习课新人教B版必修1

上是增函数知，2

3 2
＞2－3＝213，
所以Q＜R＜P.
12345
解析答案
5.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝21x 图象的交点个数.
跟踪训练2 比较下列各组数的大小： (1)log0.22，log0.049；解 ∵log0.049＝lglg0.904＝lglg03.222 ＝22lglg03.2＝lglg03.2＝log0.23. 又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减， ∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.
本课结束
n am
②
m
an
＝
1
m
(a>0，m，n∈N＋，且n>1).
an
(2)根式的性质
①(n a)n＝a.
②当 n 为奇数时，n an ＝a；
当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
(3)指数幂的运算性质 ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R). ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R). ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R). (4)指数式与对数式的互化式 logaN＝b⇔ab＝N(a>0，且a≠1，N>0).
解答
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.
解函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)] ＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]. ∵－3<x<1，∴0<－(x＋1)2＋4≤4.

2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2.2 对数函数学案新人教B版必修1

3.2.2 对数函数1．理解对数函数的概念、图象及性质．(重点)2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)3．初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 对数函数的概念阅读教材P 102“对数函数”前两个自然段，完成下列问题．一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log x 12是对数函数．( )(2)函数y ＝2log 3x 是对数函数．( )(3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞)．( )【解析】 (1)×.对数函数中自变量x 在真数的位置上，且x >0，所以(1)错； (2)×.在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，所以(2)错；(3)×.由对数式y ＝log 3(x ＋1)的真数x ＋1>0可得x >－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 对数函数的图象和性质阅读教材P 103“表2”以下至P 103“例1”以上部分，完成下列问题．对数函数y ＝log a x 在底数a >1及0<a <1这两种情况下的图象和性质如下表所示：函数y ＝log(3a －1)x 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】由题意可得0<3a －1<1，解得13<a <23，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23[小组合作型](1)①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ； ⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________.【精彩点拨】 (1)根据对数函数的定义进行判断；(2)设出对数函数的解析式，利用条件求出其解析式，可得f (8)的值．【自主解答】 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0，且a ≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．(2)由题意设f (x )＝log a x ，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12，【答案】 (1)B (2)－31．判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)底数a >0且a ≠1；(2)自变量x 在真数的位置上，且x >0；(3)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，真数必须是x .2．对数函数的解析式的值中只有一个参数a ，故用待定系数法求对数函数的解析式时只需一个条件即可求出．[再练一题]1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4.【答案】 4(1)3(2)函数f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)的定义域为______．A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【精彩点拨】 (1)结合对数函数的定义2x －1>0.(2)(3)不仅要符合对数的定义，而且还要保证二次根式开方有意义，分母不为0等条件的限制．【自主解答】 (1)∵2x －1＞0，∴x ＞12，∴函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12.(2)函数式若有意义，需满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x >0，2－x ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，取交集可得：x ∈(－1,2)，故函数的定义域为(－1,2)．【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12 (2)(－1,2) (3)B求与对数函数有关的函数的定义域问题应遵循的原则为：要保证根式有意义；要保证分母不为0；要保证对数式有意义，即若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.[再练一题]2．函数f (x )＝3－x ＋lg(x ＋1)的定义域为( ) A ．[－1,3) B ．(－1,3) C ．(－1,3]D ．[－1,3]【解析】根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x ＋1>0，解得－1＜x ≤3，∴f (x )的定义域为(－1,3]．【答案】 C 3．函数y ＝log 3x －的定义域为( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【解析】要使函数y ＝log 3x －有意义，有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，log 3x －，解得x ≥1，所以函数f (x )的定义域是[1，＋∞)，故选A. 【答案】 A[探究共研型]探究1 a log a (2x －1)＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？【提示】对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)；在f(x)＝log a(2x－1)＋2中，令2x－1＝1，即x＝1，则f(x)＝2，所以函数f(x)＝log a(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(1,2)．探究2 从左向右，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？【提示】当0<a<1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势，此时其图象下凸；当a>1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势，此时其图象上凸．图321【提示】作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.(1)已知a＞0且a≠1，函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )(2)作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．【精彩点拨】(1)根据函数y＝a x与y＝log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线y＝x对称，从而对选项进行判断即得．(2)作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后对其进行适当变换，分步骤进行．【自主解答】(1)∵函数y＝a x与y＝log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y＝x 对称．再由函数y＝a x的图象过(0,1)，y＝log a x的图象过(1,0)，排除选项A、B，从C、D选项看，y＝log a x递减，即0＜a＜1，故C正确．【答案】 C(2)第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．(1) (2)第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．(3) (4)1．根据所给的函数解析式选择函数的对数函数的图象时，如果所给的函数的底数不确定，就要对其进行分类讨论，并结合排除法得出选项．2．函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．[再练一题]4．函数y＝a－x与y＝log a(－x)的图象可能是( )【解析】 ∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A 、D ；当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数，y ＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是增函数，∴C 满足条件，故选C.【答案】 C1．已知函数f (x )＝11－x 的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅【解析】由题意得M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，则M ∩N ＝{x |－1<x <1}．【答案】 C2．若f (x )是对数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝________. 【解析】设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，则f (2)＝【答案】A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)【解析】函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．【答案】 D4．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域是________.【导学号：97512051】【解析】 ∵3x ＋1>1，且y ＝log 2x 在(1，＋∞)上单调递增，∴log 2(3x＋1)>log 21＝0，故函数f (x )的值域是(0，＋∞)．【答案】 (0，＋∞)5．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值．【解】(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示：(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．故当0<a<2时，不存在满足f(a)>f(2)的a值．。