第六章 异方差与序列相关3
序列相关性
5.滞后效应 在经济中，因变量受到自身或另一解释变量的前几期值影响的现象称为 滞后效应。在一个消费支出对收入的时间序列回归中，人们常常发现当前时 期的消费支出除了依赖于其他变量外，还依赖于前期的消有效 因为，在有效性证明中利用了 E(NN’)=2I 即同方差性和互相独立性条件。而且，在大样本情况下，参数估计量 虽然具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。 2、变量的显著性检验失去意义 在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差正确估计基础之 上的，这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立。如果存 在序列相关，估计的参数方差 S ˆ ，出现偏误（偏大或偏小） ，t 检验就失去
~ e ~ e t t 1 t
，
~ e ~ ~ e t 1 t 1 2 et 2 t
3
， 。 。 。
醉客天涯之计量经济学
如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。 回归检验法的优点是： （1）能够确定序列相关的形式 （2）适用于任何类型序列相关性问题的检验。 3、杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法（最常用） （1）方法使用条件： ①解释变量 X 非随机； ②随机误差项 i 为一阶自回归形式： i=i-1+i ③回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量，即不应出现下列形式： Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i ④回归含有截距项 ⑤误差项被假定为正态分布 （2）D.W.统计量： 杜宾和瓦森针对原假设：H0: =0， 即不存在一阶自回归，构如下造统计量：
D.W .
~ (e
t 2
n
t
~ )2 e t 1
2 t
异方差检验与序列相关
ˆ t 2 = α0 +α1 xt1 +α2 xt2 + α3 xt12 +α4 xt22 + α5 xt1 xt2 + vt u ˆ t 2 对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行 OLS 回归。注意，上 即用 u
人均消费 支出 Y 3552.1 2050.9 1429.8 1221.6 1554.6 1786.3 1661.7 1604.5 4753.2 2374.7 3479.2 1412.4 2503.1 1720 1905 1375.6 1649.2 1990.3 2703.36 1550.62 1357.43 1475.16 1497.52 1098.39 1336.25 1123.71 1331.03 1127.37 1330.45 1388.79 1350.23 从事农业经营 的收入 X1 579.1 1314.6 928.8 609.8 1492.8 1254.3 1634.6 1684.1 652.5 1177.6 985.8 1013.1 1053 1027.8 1293 1083.8 1352 908.2 1242.9 1068.8 1386.7 883.2 919.3 764 889.4 589.6 614.8 621.6 803.8 859.6 1300.1 其他收入 X2 4446.4 2633.1 1674.8 1346.2 480.5 1303.6 547.6 596.2 5218.4 2607.2 3596.6 1006.9 2327.7 1203.8 1511.6 1014.1 1000.1 1391.3 2526.9 875.6 839.8 1088 1067.7 647.8 644.3 814.4 876 887 753.5 963.4 410.3
第六章 自相关性
接前页
3、降低预测精度
由于参数估计值方差虚假增大，致使预测区间的 可信程度降低，预测结果将失去实际意义。
6.3自相关性检验方法
从上述内容的介绍我们可以发现，自相关对模型产生的 不良后果是比较严重的，因此，必须采取相应措施加以 修正或克服。但在修正或克服之前，应该对模型误差项 序列是否存在自相关进行判断，即自相关检验。其方 法主要有：
6.2自相关产生的后果
1、参数估计值非有效（即不再具有最小方差性） 根据前面学过的内容，我们知道，只有在符合同 方差和非自相关性假定条件下，OLS估计结果才 具有最小方差性。当模型存在自相关，参数估计 值方差不是最小（即估计结果不是最优）。
2、模型的显著检验（T检验）失效
标准差增大，导致t统计量变小，进而低估了参数
第二步，对原数据进行广义差分变换，得：
yt*= yt- ρ Yt-1 , xt*= xt- ρ xt-1，再对模型 yt*=A+b1 xt*+ vt*进行回归，并根据回归结果得到原模型 参数估计值b0= A/ （1- ρ ^）和b1
总结说明
迭代法： 是采用一系列迭代，而每一次迭代都 能得到比前一次更好的一阶自回归 系数ρ ^ 杜宾两步法： 也是获得比较准确的一阶自回归系数ρ ^的方法
t
关来判断随机项的自相关。
1、按时间顺序绘制残差分布图：
1.1 正自相关：残差e随时间t的变化并不频繁改变符号，而是几个正的 后面有几个负的。
e
O t
正自相关
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1.2 负自相关：e随t变化依次改变正负符号
计量经济学第六章自相关
计量经济学第六章自相关自相关是计量经济学中一种重要的现象，它指的是一个变量与其自己在过去时间点上的相关性。
自相关在实证研究中十分常见，对经济学家来说，了解和掌握自相关性质是至关重要的。
1. 引言自相关作为计量经济学的一项基础概念，是经济学研究中不可或缺的一个重要方法。
自相关性的存在通常会引起回归结果的偏误，而忽略自相关性可能导致估计不准确的结果。
因此，探讨自相关性的性质和应对方法是计量经济学的重点之一。
2. 自相关的定义和表示自相关是指一个变量与其自身在过去时间点上的相关性。
假设我们有一个时间序列数据集，其中变量yt表示一个时间点上的观测值，t表示时间索引。
自相关系数可以通过计算观测值yt与其在过去某一时间点上的观测值yt-k（k为时间滞后期数）的相关性来得到。
数学上，自相关系数可以用公式表示为：ρ(k) = Cov(yt, yt-k) / (σ(yt) * σ(yt-k))其中，ρ(k)表示第k期的自相关系数，Cov表示协方差，σ表示标准差。
3. 自相关性的性质自相关性具有以下几个性质：3.1 一阶自相关性一阶自相关性是指变量值yt与前一期的观测值yt-1之间的相关性。
一阶自相关系数ρ(1)通常用来检验时间序列数据是否存在自相关性。
若ρ(1)大于零且显著，则表明存在正的一阶自相关性；若ρ(1)小于零且显著，则表明存在负的一阶自相关性。
3.2 高阶自相关性除了一阶自相关性，时间序列数据还可能存在高阶自相关性。
高阶自相关性是指变量值yt与过去第k期的观测值yt-k之间的相关性。
通过计算不同滞后期的自相关系数ρ(k)，可以了解数据在不同时间跨度上的自相关性情况。
3.3 异方差自相关性异方差自相关性是指时间序列数据中的方差不仅与自身相关，还与过去观测值的相关性有关。
异方差自相关性可能导致在回归分析中的标准误差失效，从而产生无效的回归结果。
因此，在处理存在异方差自相关性的数据时要采取合适的修正方法。
4. 自相关性的检验方法在实证研究中，经济学家通常使用多种方法来检验数据中的自相关性，常用的方法包括：4.1 Durbin-Watson检验Durbin-Watson检验是一种常用的检验自相关性的方法，其基本思想是通过检验误差项的相关性来判断自相关是否存在。
回归分析中的序列相关问题处理技巧
回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
然而，在实际应用中，由于数据存在序列相关性，回归分析的结果可能会产生偏误。
因此，如何处理序列相关问题成为回归分析中的关键技巧之一。
序列相关性是指时间序列数据中相邻观测值之间存在相关关系的情况。
在回归分析中，如果自变量或因变量存在序列相关性，就会导致回归系数估计值的偏误，从而影响模型的准确性和可靠性。
因此，处理序列相关问题对于回归分析的结果具有重要意义。
首先，我们需要了解序列相关性的特点和影响。
序列相关性通常表现为连续时间点的观测值之间存在一定的相关关系，例如自相关或滞后相关。
这种相关性会导致回归模型的残差项之间存在相关性，从而违反了回归分析的基本假设，影响了参数估计的准确性。
因此，处理序列相关问题是回归分析中必不可少的一环。
接下来，我们将讨论一些处理序列相关问题的常用技巧。
首先，可以通过时间序列数据的平稳化处理来消除序列相关性。
平稳化处理的方法包括差分、对数变换和季节性调整等，可以有效地降低数据的序列相关性，使其符合回归模型的基本假设。
其次，可以引入滞后变量或其他相关变量来控制序列相关性。
通过引入滞后自变量或滞后因变量，可以有效地消除序列相关性对回归模型的影响。
此外，还可以引入其他相关变量来控制序列相关性，从而提高回归模型的准确性和稳定性。
此外，还可以使用时间序列模型来处理序列相关问题。
时间序列模型是一种专门用于处理序列相关性的统计模型，包括自回归模型、移动平均模型和ARMA模型等。
通过建立时间序列模型，可以更准确地捕捉数据中的序列相关性，从而提高回归分析的准确性和可靠性。
最后，还可以通过异方差调整来处理序列相关问题。
异方差是指随着自变量或因变量的变化，数据的方差也在发生变化的情况。
通过对数据进行异方差调整，可以有效地消除序列相关性对回归分析的影响，从而提高模型的稳定性和可靠性。
综上所述，处理序列相关问题是回归分析中的重要技巧之一。
第6章 序列相关和异方差性
6.1.２异方差的检验
• ３．White Test
6.2序列相关性
• 当不同时刻的误差相关时，则误差项是 序列相关．不仅在时间序列，而且在截 面数据研究中也会发生． • 主要讨论一阶序列相关问题：一个时刻 的误差直接与下个时刻的误差相关． • 正相关与相关 • 影响：
6.１.2异方差的检验
• 异方差的非正式检验方式是对残差进行观察,看 看残差是否随观测值而变. • 1．Goldfeld-Guandt Test：假设考虑一元回归模 型． • 思想：对两个回归直线方程进行估计，看这两 个回归直线残差的方差是否相等． • 步骤： • 例６．２
6.1.２异方差的检验
*
Y X X 1 变换为： i 1 2 3 3i k ki i* X 2i X 2i X 2i X 2i 1 Var( ) Var( ) 2 Var( i ) C X 2i X 2i
* i
i
6.1.1异方差的修正
3.使用方差的一致估计 第10章进行详细讨论
第6章 序列相关和异方差性
• 6.1异方差性 • 6.2序列相关性
6.1异方差性
• 误差项同方差假设同现实不符. • 例如:企业的销售额,家庭的收入和支出. • 如果误差项服从异方差的分布,那么OLS估计将会给误差方差大的观测 值以较大的权重.所以,OLS估计量虽然是无偏和一致的,但是它们不再 是有效的. • OLS估计的无偏性可以通过一元回归模型证明. • 当存在异方差时,正确的方差公式
*
Yi
* ji
X ji
* i
* 变换后为：Yi * 1 2 X 1*i k X ki i*
异方差、序列相关性、多重共线性的比较
（2）对多个解释变量模型，采用综合统计检验法
2判明存在多重共线性的范围
（1）判定系数检验法：构造辅助回归模型(Auxiliary Regression)并计算相应的拟合优度
（2）排除变量法(Stepwise Backward Regression )
（3）逐步回归法（Stepwise forward Regression）
后果
（Consequences）
1.参数估计量非有效(但，是线性的、无偏的)
2.变量的显著性检验失去意义(t检验、F检验)
3.模型的预测失效(对Y的预测误差变大，降低预测精度)
与异方差性引起的后果相同：
1.参数估计量非有效
2.变量的显著性检验失去意义
3.模型的预测失效
1.完全共线性下参数估计量不存在
异方差、序列相关性、多重共线性的比较( )
异方差(Heteroskedasticity)
(截面数据：Cross Sectional Data)
序列相关性（SerialCorrelation）
(时间序列数据：Time Series Data)
多重共线性（Multicollinearity）
(时间序列数据：Time Series Data)
，(X’X)-1不存在
2.近似共线性下OLS估计量非有效（估计方差变大）
(1)参数估计量经济含义不合理(变现似乎反常的现象)
(2)变量的显著性检验失去意义(t变小，R2变大，F变大)
(3)模型的预测功能失效(方差变大使预测“区间”变大)
检验
(Test)
1.图示法(散点图)
2.帕克检验(ParkTest)
3.第三类方法：减小参数估计量的方差
第五讲-多重共线性、异方差、自相关
表 4.3.3 中国粮食生产与相关投入资料
农业化肥施 粮食播种面 受灾面积 农业机械总
用量 X 1
（万公斤）
积X 2
（千公顷）
X3
（公顷）
动力X 4
（万千瓦）
1659.8
114047 16209.3
18022
1739.8
11288பைடு நூலகம் 15264.0
19497
1775.8
108845 22705.3
20913
0.9752 1.53
t值
0.85
19.6 3.35 -3.57
Y=f(X1,X2,X3,X4) -13056 6.17 0.42 -0.17 -0.09
0.9775 1.80
t值
-0.97 9.61 3.57 -3.09 -1.55
Y=f(X1,X3,X4,X5) -12690 5.22 0.40 -0.20
含义：解释变量的样本向量近似线性相关。
多重共线性来源：
（1）解释变量x受到同一个因素的影响； 例如：政治事件对很多变量都产生影响，这些变量同时上升 或同时下降。
（2）解释变量x自己的当期和滞后期；
（3）错误设定。
二、多重共线性的后果
1、完全共线性下参数估计量不存在
Y X
的OLS估计量为： βˆ (XX) 1 XY
1、检验多重共线性是否存在
(1)对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法 求出X1与X2的简单相关系数r，若|r|接近1，则说
明两变量存在较强的多重共线性。
(2)对多个解释变量的模型，采用综合统计检验法
若 在OLS法下：R2与F值较大，但t检验值较小， 说明各解释变量对Y的联合线性作用显著，但各解 释变量间存在共线性而使得它们对Y的独立作用不 能分辨，故t检验不显著。
第六章 自相关(序列相关)
可以证明： 1－ 2 － 1 C＝ 0 2 1－ 0
2
0 0 1 0 0 － 0 0 0 － 1 0
1－ 2 Cy 以 1－ C左乘原模型，并定义y 1－ 2 CX， 1－ 2 C X
则变换后的扰动项 满足球型扰动项的假设， 故高斯－马尔可夫定理成立（因为这种变换是 GLS的一个特例）
1－ 2 － 1－ 2 Cy＝ 0 y 0
0 0 y1 1 0 0 y2 － 0 0 yn 0 － 1 0
第六章 自相关（序列相关）
一、自相关的后果 违反球型扰动项假定的另一情形是自相关。若存在 i j使得E i j X 0，即扰动项的协方差阵Var X 的非主对角线元素不全为0，则称存在“自相关” （autocorrelation）或“序列相关”（serial correlation）
其中， Var u t ，而1＝ ，
2 u 2
1 2 故一阶自相关系数 ＝ 2 ＝ 0
由课件第三章p21， 2＝ ， ， n-1＝ ，故
2 2 n-1 2
1 2 Var X ＝ n-1
1
1－ 2 y1＝ 1－ 2 1＋ 1－ 2 2 x12＋＋ 1－ 2 k x1k＋1 y 2－ y1＝1－ 1＋ 2 x 22－ x12 ＋＋ k x 2k－ x1k ＋ 2 y n－ y n-1＝1－ 1＋ 2 x n 2－ x n-1， ＋＋ k x nk－ x n-1，k 2 ＋ 2
因此辅助回归的解释变量e t-1， ，e t-p必与扰动项相 关，导致不一致的估计。这就是所谓的随机解释变 量问题，后面会介绍。若引入解释变量x t1， ，x tk 将使BG检验更加稳健 由于使用了滞后残差值e t-p，损失了p个样本值，故
异方差性和序列相关性对OLS估计结果有什么影响如何进行修正
异方差性和序列相关性对OLS估计结果有什么影响如何进行修正在经济学和统计学中，最小二乘法（OLS）是一种常用的回归分析方法。
然而，OLS方法在某些情况下可能会受到异方差性和序列相关性的影响，从而导致估计结果的偏差和无效性。
本文将讨论异方差性和序列相关性对OLS估计结果的影响，并介绍修正方法。
一、异方差性对OLS估计结果的影响异方差性指的是误差项方差在自变量的不同取值下存在差异。
当存在异方差性时，OLS估计量的标准误会被低估或高估，导致假设检验的结果出现错误。
具体影响主要包括：1. 系数估计的无偏性：异方差性可能导致OLS估计量的偏差，即估计结果的期望值不等于真实参数值。
2. 假设检验的错误：异方差性导致标准误的不准确估计，从而使得假设检验的结果可能出现错误，无法得出正确的统计结论。
3. 置信区间的宽度：异方差性可能使得OLS估计量的置信区间变得更宽，从而降低了估计结果的准确性。
二、序列相关性对OLS估计结果的影响序列相关性指的是误差项间存在相关性，即误差项之间不是独立同分布的。
当存在序列相关性时，OLS估计量的方差会增加，进而导致估计结果的显著性和效率下降。
具体影响主要包括：1. 系数估计的无效性：序列相关性可能导致OLS估计量的无效性，即估计结果的方差很大，不稳定，使得估计结果失去实际经济意义。
2. 假设检验的错误：序列相关性违背OLS的基本假设，使得OLS估计结果在统计意义上不可靠，从而导致假设检验的结果出现错误。
3. 预测精度的下降：序列相关性可能使得OLS估计结果在未来值的预测上失去准确性，对未来的经济决策产生不良影响。
三、修正方法针对异方差性和序列相关性对OLS估计结果的影响，有多种修正方法可供选择，其中较为常用的方法包括：1. 加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）：通过对残差项引入合适的权重来修正异方差性问题，使得OLS估计量更加准确有效。
2. 广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）：在存在序列相关性的情况下，通过考虑误差项之间的相关关系，以及对残差项引入权重来进行修正，提高OLS估计结果的有效性和准确性。
计量经济学-序列相关性
PART 03
序列相关性检验方法
杜宾-瓦特森检验
检验原理
通过计算残差序列的一阶自相关系数来检验序列相关性。
检验步骤
首先估计回归模型，计算残差；然后计算残差的自相关系数；最后 根据自相关系数和样本量确定临界值，判断序列相关性。
优缺点
简单易行，但仅适用于一阶自相关的情况，对于高阶自相关检验效 果较差。
将检验结果以表格或图形形式展示出 来，包括检验统计量、P值等。若存 在序列相关性，可采用差分法、 ARIMA模型等方法进行处理，并重新 进行参数估计和检验。
根据检验结果和处理结果，对模型的 适用性和可靠性进行评估。若模型存 在严重序列相关性问题，则需要重新 考虑模型设定和估计方法。
PART 06
总结与展望
检验步骤
在原始回归模型中添加滞后项作为解释变量；然后估计辅 助回归模型，得到回归系数的估计值；最后根据回归系数 的估计值构造统计量，进行假设检验。
优缺点
可以检验任意阶数的自相关，但需要注意滞后项的选择和 模型的设定。
PART 04
序列相关性处理方法
差分法
一阶差分法
通过计算相邻两个时期的数据差值来消除序列相 关性。
运用最小二乘法（OLS）或其他估计方法，对模型参数进行估计。在 EViews中，可通过"Quick"菜单选择"Estimate Equation"选项进行参数估 计。
序列相关性检验及处理结果展示
01
序列相关性检验
02
处理结果展示
03
结果解读
采用Durbin-Wu-Hausman检验、 Breusch-Godfrey检验等方法，检验 模型是否存在序列相关性。在EViews 中，可通过"View"菜单选择 "Residual Diagnostics"选项进行检 验。
异方差性和序列相关性在时间序列模型和面板数据模型中的处理方法有何不同
异方差性和序列相关性在时间序列模型和面板数据模型中的处理方法有何不同在时间序列模型和面板数据模型中，异方差性和序列相关性是常见的数据特征。
它们的存在对模型的准确性和鲁棒性有着重要影响，因此需要采取不同的处理方法进行应对。
本文将介绍异方差性和序列相关性在时间序列模型和面板数据模型中的处理方法的不同之处。
一、时间序列模型中的异方差性处理方法时间序列模型是对单一变量随时间变化的模型，如ARIMA模型、GARCH模型等。
在时间序列模型中，异方差性通常表现为随时间变化的方差，并且可能导致模型结果的不准确性。
1. 条件异方差模型最常见的处理异方差性方法之一是采用条件异方差模型，如ARCH模型、GARCH模型等。
这些模型可以通过引入变量来描述方差的变化，并且能够更准确地估计模型参数。
2. 转换变量另一种常见的方法是通过对变量进行转换来减小或消除异方差性。
常用的转换方法包括对数转换、差分变换等。
这些转换可以将异方差性转换为方差齐性，从而提高模型的准确性。
3. 加权最小二乘法加权最小二乘法是一种适应性加权的回归方法，可以通过加权因子对不同时间点的观测值进行不同程度的调整，从而降低异方差性对模型结果的影响。
二、面板数据模型中的序列相关性处理方法面板数据模型是对多个个体在不同时间点上观测到的数据进行建模，如固定效应模型、随机效应模型等。
在面板数据模型中，序列相关性可能存在于个体之间或个体内部，对模型估计和推断都具有重要影响。
1. 面板数据单位根检验面板数据单位根检验可以判断变量是否存在序列相关性。
常用的面板数据单位根检验方法有Levin-Lin-Chu(LLC)检验、Ng-Perron(NP)检验等。
如果变量存在单位根，说明存在序列相关性，需要进一步处理。
2. 区分组间和组内相关性面板数据模型中的序列相关性可以分为组间相关性和组内相关性。
对于组间相关性，可以采用固定效应模型进行估计；对于组内相关性，可以采用随机效应模型进行估计。
4.1 异方差和序列相关
Var(i ) 2
i 1,2,, n
Homoscedasticity
Var (i ) i2
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。
则可确定权数W为：
w 1 / exp[ 93.20 25.98 ln( X 2 ) 1.701(ln X 2 ) ]
2
第四章 放宽基本假定的模型
WLS ，定义权数W
w 1 / exp[ 93.20 25.98 ln( X 2 ) 1.701(ln X 2 ) 2 ]
第四章 放宽基本假定的模型
五、例题--中国农村居民人均消费函数 （自学）
第四章 放宽基本假定的模型
例4.1.4 中国农村居民人均消费支出主要由人 均纯收入来决定。 农村人均纯收入包括(1)从事农业经营的收入， (2)包括从事其他产业的经营性收入(3)工资性收 入、(4)财产收入(4)转移支付收入。 考察从事农业经营的收入(X1)和其他收入(X2) 对中国农村居民消费支出(Y)增长的影响:
i
Var (
1
X ji ff ((X ) i)
i ) E(
1 1 1 i )2 E ( i ) 2 2 f ( X i ji )) (X X iji)) ff (
加权后的模型满足同方差性，可用OLS法估计。
第四章 放宽基本假定的模型
2、可行的GLS（feasible GLS, FGLS)
2 ˆ ˆ ˆ1 X i1 ˆ k X ik ) ˆ ˆi fi exp( 0 2 i 2 2
Eviews统计第六章
自相关检验及修正的EViews操作
1.绘图检验自相关问题的EViews操作 进行了OLS回归后，选择EViews主窗口的Quick|Graph命令，输入残差序列名 （Resid），选择图形类型，最后单击确定键即得到残差图。绘制残差序列图也可以通 过Equation对象窗口的Resids按钮或View|Acutal,Fitted,Residual命令实现。 2.DW检验操作 通常OLS回归估计输出结果中包含着对模型的D.W.检验结果，无需单独进行操作。通 过查询DW临界值表可以判断模型自相关问题。DW统计量值越接近2，表明自相关程 度越弱。
异方差与加权最小二乘法 3.异方差的常用检验方法
观表现出变量之间的关系。利用时间序列 图、散点图以及残差序列对解释变量的散点图可以直观的 对模型否存在异方差进行初步判断。 （2）怀特检验 怀特检验通过OLS估计求得残差的估计值，然后利用残差 估计值的平方与解释变量及其交叉项辅助回归式，得到拟 合优度 ，从而构建统计量进行检验。 怀特检验的原假设为原回归模型不存在异方差，被择假设 为原回归模型存在异方差。
应用普通最小二乘法时要求模型的随机误差项必须满足：
（1）无偏性假定。即所有随机误差项的期望为0 （2）同方差性假定。即所有随机误差项的方差相等 （3）无序列相关性假定。即随机误差项之间无序列相关性 （4）解释变量与随机误差项相互独立。即解释变量X为非随机变量 （5）正态性假定。即随机误差项服从均值为0的正态分布。
5.异方差形式未知时的模型处理方法-White异方差一致协方差估计 当异方差形式未知时，无法使用加权最小二乘法（Weighted Least Square，WLS）消除异方差，此时需要采用White异方差一致协方差 估计。
异方差修正-WLS-GLS-序列相关原因
24
• 注意： 在实际操作中人们通常采用如下的经验方法：
不对原模型进行异方差性检验，而是直接选 择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样 本时。
如果确实存在异方差，则被有效地消除了； 如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等 价于普通最小二乘法。
25
七、案例分析
案例1 —我国城镇居民收入对通信交通支出的影响
6
六、异方差的修正 常见以下四种修正方法：
1.模型对数变换法
2.原模型变换法
3.加权最小二乘法
4.广义最小二乘法
7
1.模型对数变换法 在模型 Yi = 0 + 1Xi + i 中，变量Yi和Xi分别用 lnYi和 lnXi 取代，则对全对数模型： lnYi = 0 + 1lnXi + i 进行回归后，通常可降低异方差性的影响。 原因： ⑴对数变换能使测定变量值的尺度缩小。 ⑵经对数变换的模型，其残差表示为相对误差， 而相对误差往往具有较小的差异。 全对数模型中，1 可看作反映Y对X的弹性， 即Y相对于X的百分比变化，这在实际分析中有较 强的应用意义。
各项统计检验指标全面改善40一序列相关性概念二实际经济问题中的序列相关性三序列相关性的产生原因及后果四序列相关性的检验五案例41一序列相关性概念如果对于不同的样本点随机误差项之间不再是不相关的而是存在某种相关性则认为出现了序列相关性serialcorrelation
4. 怀特（White）检验
1980年提出。 怀特检验不需要排序，且适合任何形式的 异方差。
12
（2） ƒ(Xi)=Xi2, 则Var(µi)=σ2 Xi2。对原模型两端同 除 Xi 得
Yi 0 X i i 1 . Xi Xi Xi Xi 令 vi i / X i ，则 Var(vi)为同方差，因为
计量经济学重点内容
第一章导论计量经济学定义：计量经济学（Econometrics）是一门应用数学、统计学和经济理论来分析、估计和检验经济现象与理论的科学。
通过使用统计数据和经济模型，计量经济学试图量化经济关系，以更好地理解经济变量之间的相互作用。
研究的问题（相关关系）：计量经济学的目的是研究经济变量之间的关系，例如：1. 消费与收入的关系。
2. 教育与工资的关系。
3. 利率与投资的关系。
第二章 OLS (普通最小二乘法)：OLS 是一种用于估计线性回归模型中未知参数的方法。
它通过最小化误差平方和来找到回归线。
在一元线性回归中，我们通常使用普通最小二乘法（OLS）来估计模型参数。
对于模型 Y = α + βX + ε，我们可以使用以下公式来计算α和β：β= Σ( (X - mean(X)) (Y - mean(Y)) ) / Σ( (X - mean(X))^2 ) α̂ = mean(Y) - β̂ * mean(X)这里，mea n(X) 是 X 变量的平均值（即ΣX/n），mean(Y) 是 Y 变量的平均值（即ΣY/n）。
在这些公式中，mean 表示求平均值。
Σ 表示对所有数据点求和，n 是样本大小。
这里α_hat 是截距的估计值，β_hat 是斜率的估计值。
结论及推论：1. 在高斯马尔可夫假设下，OLS 估计量是最佳线性无偏估计量（BLUE）。
2. 当误差项的方差是常数时，OLS 估计量是有效的。
3. 如果模型是正确规范的，并且误差项是独立且同分布的，那么 OLS 估计量是一致的。
4. 如果误差项与解释变量相关，或者存在遗漏变量，那么 OLS 估计量可能是有偏的。
5. OLS 提供了估计的标准误差、t 统计量和其他统计量，这些可以用于进行假设检验和构建置信区间。
第三章一元回归：(1)总函、样函：总函数和样本函数是线性回归模型的两种表现形式。
总函数（总体函数）表示整体样本的关系，一般形式为Y = β0 + β1X + ε。
第六章 自相关(序列相关)
2 横截面数据中的自相关：一般来说截面数据不容
易出现自相关，但相邻的观测单位之间也可能存在 “溢出效应”（neighborhood effect）。例如，相邻 省份、国家之间的经济活动相互影响（通过贸易、 投资、劳动力流动等）；相邻地区的农业产量受到 类似的天气影响而相关；同一社区内的房屋价格存 在相关性；相邻地区的消费倾向有相关性
第六章 自相关（序列相关）
一 、 自 相 关 的 后 果 违 反 球 型 扰 动 项 假 定 的 另 一 情 形 是 自 相 关 。 若 存 在 i j使 得 E ， 即 扰 动 项 的 协 方 差 阵 V a r X i j X 0 的 非 主 对 角 线 元 素 不 全 为， 0 则 称 存 在 “ 自 相 关 ” （ a u to c o rre la tio n ） 或 “ 序 列 相 关 ” （ se ria lc o rre la tio n ）
3 设 定 误 差 m i s s p e c i f i c a t i o n ： 如 果 模 型 设 定 中 遗 漏 会 引 起 扰 动 项 的 自 相 关 。
了 某 个 自 相 关 的 解 释 变 量 ， 并 被 纳 入 到 扰 动 项 中 ， 则
三 、 自 相 关 的 检 验
大 样 本 下 是 等 价 的 ， 但 L ju n g － B o x Q统 计 量 的 小 样 本 性 质 更 好 。
自 相 关 阶 数 p 如 何 给 出 ？ 可 由 统 计 软 件 默 认 给 定 。 助 回 归 的 参 数 的 显 著 性 检 验 来 判 断 自 相 关 的 阶 数
也 可 以 从 1 阶 、 2 阶 逐 次 向 更 高 阶 检 验 ， 借 助 辅
为 何 要 引 入 解 释 变 量， x ，呢 x t 1 t k ？
异方差检验与序列相关
2010
异方差检验
一 GQ 检验和 White 检验 1、Goldfeld-Quandt 检验 H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。 构造 F 统计量。 1）把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观测值按解释变量的大小顺序 排列，略去 c 个处于中心位置的观测值（取 c ≈ n / 4，余下的 n- c 个观测值自然分成容量相等， (n- c) / 2，的两个子样本。 ） {x1, x2, …, xi-1, xi, xi+1, …, x T-1, xT }
首先：安装 lmtest 包，具体如下 install.packages ("lmtest")
2010
或者你可以本机 zip 文件安装（程序已经发给大家了） 。
gqtest(formula, point = 0.5, fraction = 0, alternative = c("greater", "two.sided", "less"), order.by = NULL, data = list())
在 H0 成立条件下，F ∼ F( n2 – k-1, n1 – k-1) 4） 判别规则如下， 若 F ≤ Fα ( n2 – k-1, n1 – k-1) , 接受 H0 （ut 具有同方差） 若 F > Fα ( n2 – k-1, n1 – k-1), 拒绝 H0 （递增型异方差） 注意： 1) 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。 2) 此法只适用于递增型异方差。 3) 对于截面样本，计算 F 统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。 2、White 检验 White 检验由 H. White 1980 年提出。White 检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误 差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 χ2 统计量进行异方差检验。White 检验的具 体步骤如下。以二元回归模型为例： yt = β0 +β1 xt1 +β2 xt2 + ut
伍德里奇《计量经济学导论》(第6版)复习笔记和课后习题详解-时间序列回归中的序列相关和异方差性
第12章时间序列回归中的序列相关和异方差性12.1复习笔记考点一：含序列相关误差时OLS 的性质★★★1．无偏性和一致性当时间序列回归的前3个高斯-马尔可夫假定成立时，OLS 的估计值是无偏的。
把严格外生性假定放松到E（u t ｜X t ）＝0，可以证明当数据是弱相关时，∧βj 仍然是一致的，但不一定是无偏的。
2．有效性和推断假定误差存在序列相关，即满足u t ＝ρu t－1＋e t ，t＝1，2，…，n，｜ρ｜＜1。
其中，e t 是均值为0方差为σe 2满足经典假定的误差。
对于简单回归模型：y t ＝β0＋β1x t ＋u t 。
假定x t 的样本均值为零，因此有：1111ˆn x t tt SST x u -==+∑ββ其中：21nx t t SST x ==∑∧β1的方差为：()()122221111ˆ/2/n n n t j xt t x x t t j t t j Var SST Var x u SST SST x x ---+===⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑∑βσσρ其中：σ2＝Var（u t ）。
根据∧β1的方差表达式可知，第一项为经典假定条件下的简单回归模型中参数的方差。
因此，当模型中的误差项存在序列相关时，OLS 估计的方差是有偏的，假设检验的统计量也会出现偏差。
3．拟合优度当时间序列回归模型中的误差存在序列相关时，通常的拟合优度指标R 2和调整R 2便会失效；但只要数据是平稳和弱相关的，拟合优度指标就仍然有效。
4．出现滞后因变量时的序列相关（1）在出现滞后因变量和序列相关的误差时，OLS 不一定是不一致的假设E（y t ｜y t－1）＝β0＋β1y t－1。
其中，｜β1｜＜1。
加上误差项把上式写为：y t ＝β0＋β1y t－1＋u t ，E（u t ｜y t－1）＝0。
模型满足零条件均值假定，因此OLS 估计量∧β0和∧β1是一致的。
误差{u t }可能序列相关。
虽然E（u t ｜y t－1）＝0保证了u t 与y t－1不相关，但u t－1＝y t －1－β0－β1y t－2，u t 和y t－2却可能相关。
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第三节 广义最小二乘法
Y X βε=+，1(,,)'n εεε="，()0E ε=
ε的方差协方差矩阵为：
211212212()()()(')()()()n n n n E E E E E E E εεεεεεεσεεεεε⎛⎞⎜⎟
==⎜⎟⎜⎟⎝⎠"##%#"Ω
其中Ω为n 的实对称矩阵。
n ×若n I Ω=，则满足古典假定。
2(')n E εεσ=I 若n I Ω≠，则不满足古典假定，我们称为非球型扰动。
特别的：
1）2112222220 0 0 0000 0 0 0 0 0 n n σωωσσσωσ⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜
⎟⎜⎟Ω==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎟⎜⎠⎝⎠⎝""""####%##%""为异方差的情形。
2）为一阶自回归形式的自相关情形。
12212
11T T T ρ
ρσσρρ−−−⎛⎞
⎜
⎟
Ω=⎜⎜⎟⎝⎠
"#
#
%#"⎟
一、广义最小二乘法
思想：对原模型进行适当的变换（从Ω出发）将扰动项的方差协方差矩阵化成2n I σ以满足古典假定。
做法：由于Ω对称且正定，则存在一个非奇异的n n ×矩阵，使得
，于是P 1'P P −Ω=1(')P P −Ω= 对模型进行变换：
Y X βε=+，用左乘方程两边得：P PY PX P βε=+
令，*Y PY =*X PX =，*P εε=则模型变为：**Y X *βε=+；
**22
1
2
(')[()'](')'(' (')'n
E E P P PE P P P P P P I εεεεεεσσσ−=====)P Ω
所以变换后模型的扰动项满足古典线性回归模型的假定。
用OLS 估计新方程得：
**1**11111ˆ(')'[()'()]()'()['(')]'(') [']'GLS X X X Y PX PX PX PY X P P X X P P Y X X X Y
β−−−−−−====ΩΩˆGLS
β为广义最小二乘估计量。
2**121ˆ()(')(')GLS
Var X X X X βσσ−−==Ω1−
二、异方差、自相关时模型的GLS 估计
1)I Ω=时，1ˆˆ(')'GLS OLS
X X X Y ββ−== 2）12 0 000 0 0 n ωωω⎛⎞⎜⎟⎜
⎟Ω=⎜⎟⎜⎟⎠⎝""###%"时，1222 0 000 (') 0 0 n E ωωεεσσω⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟=Ω=⎜⎟⎜⎟
⎠⎝
""###%" 1
211
1
1 0 000 0 0 n ωω−⎛⎞⎜⎟⎜⎟Ω=⎜
⎟⎜⎟⎟⎜⎠⎝""###%"
，变换矩阵为： 000 0 0 P ⎞
⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎜⎝""###%" 111'1ˆ[']'[][]GLS
i i i i i i i
i
X X X Y w X X w X Y β−−−−=ΩΩ=∑∑， 其中1
i i
w ω=
，即为WLS 估计。
若Ω已知，可以直接进行GLS （即为WLS ）估计。
若Ω未知，需要先估计权重1
i i
w ω=，有了Ω的估计ˆΩ
后，可以做GLS 估计。
3）时，模型存在一阶自相关，此时 1212
1
1T T T ρ
ρσρρ−−−⎛⎞
⎜
⎟
Ω=⎜⎜⎟⎝
⎠
"#
#
%#"⎟2122
1
00
01001
010010000
1ρρρρρρρρ−−⎛⎞
⎜⎟
−+−⎜⎟⎜⎟Ω=−+−⎜
⎟
⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
""""
""#""""000
变换矩阵为：
00001
00000
1
00
00001P ρρρ⎞⎟−⎜⎟⎜⎟=−⎜
⎟
⎜⎟
⎜⎟
−⎝⎠"""
"""#""""00 此时，2112
1
'(1),'1P P P P ρρ
−−=−ΩΩ=
−， PY PX P βε=+具体化为：
11
**212111,T T T
T Y Y X X Y X Y Y X X ρρρρ−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−⎜⎟⎜==⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝##
⎞
⎟⎟
⎟⎟⎟
⎠， 从前的广义差分变换相当于忽略了第一项。
GLS 估计：111ˆ[']'GLS
X X X Y β−−−=ΩΩ。
若Ω已知，我们可以直接对和Y X 进行变换，然后进行OLS 估计。
若Ω未知，我们则先要对Ω进行估计，估计的方法即为前面关于自相关修正中的说明。
说明：一般地，对于非球型扰动来说，Ω都是未知的。
若要进行GLS 我
们先得对Ω进行估计得到，再将ˆΩ
ˆΩ代入GLS 估计中去。
我们称这种做法为可行的广义最小二乘估计（FGLS 估计）：
111ˆˆˆ[']'FGLS X X X Y β−−−=ΩΩ
广义最小二乘估计量的有效性
ˆGLS
β是一个BLUE （best linear unbiased estimator ）估计量. **1**11111111111ˆ(')'[()'()]()'()['(')]'(') [']'[']'()[']'GLS X X X Y PX PX PX PY X P P X X P P Y X X X Y X X X X X X X ββεβ−−−−−−−−−−−−====ΩΩ=ΩΩ+=+ΩΩ111ˆ()[']'()GLS E X X X E ε
ββεβ−−−=+ΩΩ= 2**121ˆ()(')(')GLS
Var X X X X βσσ−−==Ω1−
存在非球形扰动时，
1ˆ(')'OLS X X X Y β−=，21ˆ()(')'(')OLS Var X X X X X X βσ1−−=Ω 可以证明ˆOLS β不如ˆGLS β有效。
证明： ˆˆ()()GLS OLS
Var Var ββ≤211111*********
[(')'(')'][(')'(')']'
(')'(')(')ˆˆ()()OLS
GLS
X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Var Var σσσβ
β−−−−−−−−−−−−ΩΩΩ−ΩΩ=Ω−Ω=−−0
因为，Ω对称且正定，所以ˆˆ()()OLS GLS
Var Var ββ−≥。