北师大版八年级下册数学《公式法》因式分解(第2)精品PPT教学课件
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北师大版八年级数学下册《公式法(第2课时)》精品课件
(2)(a+b)2-18(a+b)+81 =(a+b)2-2·(a+b)·9+92 =(a+b-9)2
课堂练习 变式3：因式分解
（1）-a3b3+2a2b3-ab3
解：原式=-ab3(a2-2a×1+12) =-ab3(a-1)2
（2）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2 解:原式=32-2×3×2(a-b)+[2(a-b)] 2
因式分解
一提 ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公
二套 三查
因式。 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。 对于
三项式，考虑应用完全平方公式 。 ③检查：特别看看多项式因式是否分解彻底。
作业布置
1、分解因式 （1）x2+12xy+36y2
(2)32a4+48a2b2+18b4
(3)-2xy-x2-y2
a² ＋2 a b＋b² =(a＋b)2
总结：正确找出a² ＋2 a b＋b² =(a＋b)2 式子中的a和b。
新知讲解 （2）（m+n）2-6（ m+n ）+9
解：原式= （m+n）2-2·（ m+n ）·3+32 =[（m+n）-3] 2 = （m+n-3）2
总结： a²＋2ab＋b² =(a＋b)2 式子中的a和b既可以是一个单项式的形 式，也可以是一个多项式的形式。
新知讲解 3.除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
完全平方公式
新知讲解
完全平方公式 : (a＋b)2 = a² ＋2ab＋ b² (a－b)2 = a² －2ab＋ b²
新版北师大版八年级数学下册因式分解PPT
分解因式的一般步骤：
一找
① 找公因式或首项负号
二提
②有公因式提公因式，首项为负提负号
三看项数 ③看是几项式 四用公式 ④对照公式分解因式 五回头
⑤看是否分解彻底
北师大版八年临泽县第三中学 张之旭
学习目标：
• 1.进一步掌握因式分解的概念和 方法，准确、熟练的对多项式进 行因式分解. • 2.灵活运用因式分解解决一些数 学问题.
分解因式要注意以下问题：
1.提取“-”号时，括号里的各项要变号.提公因式要 提 干净，不留遗漏. 2.多项式中的某一项被当作公因式提取后，括号内不 能漏项. 3.因式分解要分解彻底，到不能再分解为止，最后结果 一定是乘积的形式. 4.（a-b）与（b-a）的转换:奇次幂时添“-”号,偶次 幂时直接转换. 5.因式分解与整式乘法是互逆的，因式分解的结果是否
北师大版八年级下册数学《因式分解》因式分解精品PPT教学课件
C．3 a²x－6bx＋3x＝3x（a²－2b）； D． x y²＋ x²y＝ xy（x＋y）
2020/11/23
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随堂检测
3．（－2）²ºº¹＋（－2）²ºº²等于（ C ） A．－2²ºº¹ B．－2²ºº² C．2²ºº¹ D．－2 4. 已知多项式ax²+bx+c （a、b、c均为常数），分解因式的结果是（3x+1） （x-2） ，求a、b、c的值． 解：（3x+1）（x-2）
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5
合作探究
问题2：你能把a³-a化成几个整式的积的形式吗？ 解：a³-a =a（a²-1） =a（a+1）（a-1）.
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6
合作探究
探究点二 问题1：观察下面饼图写出相应的关系式.
am+bm+cm m（a+b+c）
x²+2x+1 （x+1）²
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A．2，3 B．－2，3 C．2，－3 D．－2，－3
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3
合作探究
探究点一 问题1：99³-99能被100整除吗？你是怎么想的？还能被哪些正整数整除？ 解：99³-99
=99 ²×99 －99 =99 ×980 =98 ×99 ×100 所以， 99³-99能被100整除.
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4.1 因式分解
八
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1
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
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2
前置学习
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
北师大版数学八年级下册《运用公式法》分解因式2
特 ①左边 两个数的平方差；只有两项
点 ②右边 两数的和与差的积
相同项 相反项
形象地表示为
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
回顾 & 思考☞
一、公式法
2、完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2
有三项
①左边
两个数的平方和
特 （完全平方式）
点
这两个数的积的两倍
②右边 两数的和与差的平方
可形象表示为
=xy(x2 -y2 )
=xy[(x+y)2 -4xy]
=xy(x+y)2 -4(xy)2
因为 x+y= 2 , xy 2 3
所以 原式=-2X( 2)2 4X (2)2 3
8 16 9
16 8
9
返回
[4(x 1) (x 2)].[4(x 1) (x 2)]
(4x 4 x 2)(4x 4 x 2)
(5x 2)(3x 6)
(3x 6)(5x 2)
3(x 2)(5x 2)
返回
3. 已知 x+y= 2 , xy 2,求x3 y 2x2 y2 xy3的值
解 原式=x3y(x2 -2xy+y2 )
1、做分解因式时，我们可以根据需 要，将一个多项式看作一个整体。
2、一定要注意，分解因式一定要分 到不能再分为止。
1.（x2-2）2-4 2.（p2+9）2-36p2
3.（b2+c2）2-4b2c2 （选做）
本节课你收获了什么？ 1、学习知识技能方面的收获。 2、小组合作方面的收获。
3、对本节课的学习， 你还有什么困惑？
例5 把下列各式分解因式
⑴ x(x+6)+9
北师版初中数学八年级下册精品教学课件 第四章 因式分解 3公式法 第2课时
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先 提公因式 ;
(2)如果多项式没有公因式,那么可以尝试运用 公式法
来分解;
(3)如果用上述方法还不能分解,那么可以尝试先整理,再运用提公因式法、
公式法等方法来分解;
(4)必须进行到每一个多项式都 不能再分解
为止.
总结口诀为:一提(提公因式),二套(套用公式),三查(查看分解是否彻底,分
D.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)
答案:B
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3.多项式x2-4x+4因式分解的结果是(
A.x(x-4)+4
B.(x+2)(x-2)
C.(x+2)2
D.(x-2)2
).
答案: D
4.填空:x2+10x+
=(x+
)2.
答案:25 5
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本
课
结
束
解结果是否正确).
返回首页
轻松尝试·应用
1.若多项式x2+(m-2)x+4能用完全平方公式进行因式分解,则m的值可以是
(
).
A.4
B.6
C.6或-2D.±4
答案:C
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2.下列因式分解正确的是(
).
A.a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9)
2
B.x
1
-x+4
=
1 2
- 2
C.x2-2x+4=(x-2)2
因式分解
3
公式法
第2课时
快乐预习·感知
1.完全平方公式:a2+2ab+b2= (a+b)2 ,a2-2ab+b2= (a-b)2
(2)如果多项式没有公因式,那么可以尝试运用 公式法
来分解;
(3)如果用上述方法还不能分解,那么可以尝试先整理,再运用提公因式法、
公式法等方法来分解;
(4)必须进行到每一个多项式都 不能再分解
为止.
总结口诀为:一提(提公因式),二套(套用公式),三查(查看分解是否彻底,分
D.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)
答案:B
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3.多项式x2-4x+4因式分解的结果是(
A.x(x-4)+4
B.(x+2)(x-2)
C.(x+2)2
D.(x-2)2
).
答案: D
4.填空:x2+10x+
=(x+
)2.
答案:25 5
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本
课
结
束
解结果是否正确).
返回首页
轻松尝试·应用
1.若多项式x2+(m-2)x+4能用完全平方公式进行因式分解,则m的值可以是
(
).
A.4
B.6
C.6或-2D.±4
答案:C
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2.下列因式分解正确的是(
).
A.a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9)
2
B.x
1
-x+4
=
1 2
- 2
C.x2-2x+4=(x-2)2
因式分解
3
公式法
第2课时
快乐预习·感知
1.完全平方公式:a2+2ab+b2= (a+b)2 ,a2-2ab+b2= (a-b)2
公式法第2课时课件北师大版八年级数学下册
a²±2ab+b² = (a±b)2 因式分解
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式 把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
活动2：把下列完全平方式因式分解：
（1）x2+14x+49；
（2）（m+n）2-6（m+n）+9.
解：（1）x2+14x+49； =x2+2×7x+72 =（x+7）2;
（2）（m+n）2-6（m+n）+9 =（m+n）2-2×3（m+n）+32 =（m+n-3）2.
练一练
1.下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4；（2）1+4a²；（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2；（5）x2+x+0.25.
（1）（5）是，（2）（3）（4）不是.
分析：（2）因为它只有两项；（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
第四章 因式分解
4.3 公式法 第2课时
1.会用完全平方公式进行因式分解 2.会灵活运用各种方法分解因式
任务一：会用完全平方公式进行因式分解
活 动 1 ： 能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的 面积吗？
a a² a
ab a ab a b² bbbb=
a²+2ab+b²
a
+
b
a+b
(a+b)2
任务二：会灵活运用各种方法分解因式
活动3：把下列各式因式分解： （1）3ax2+6axy+3ay2；
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式 把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
活动2：把下列完全平方式因式分解：
（1）x2+14x+49；
（2）（m+n）2-6（m+n）+9.
解：（1）x2+14x+49； =x2+2×7x+72 =（x+7）2;
（2）（m+n）2-6（m+n）+9 =（m+n）2-2×3（m+n）+32 =（m+n-3）2.
练一练
1.下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4；（2）1+4a²；（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2；（5）x2+x+0.25.
（1）（5）是，（2）（3）（4）不是.
分析：（2）因为它只有两项；（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
第四章 因式分解
4.3 公式法 第2课时
1.会用完全平方公式进行因式分解 2.会灵活运用各种方法分解因式
任务一：会用完全平方公式进行因式分解
活 动 1 ： 能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的 面积吗？
a a² a
ab a ab a b² bbbb=
a²+2ab+b²
a
+
b
a+b
(a+b)2
任务二：会灵活运用各种方法分解因式
活动3：把下列各式因式分解： （1）3ax2+6axy+3ay2；
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
北师大版八年级数学下册课件：4.3 公式法(2)
4.3 因式分解—— 公式法1 平方差公式
学习目标：
1、掌握平方差公式的特点 2、会熟练运用平方差公式分解因式
一、问题情景导入 分解因式
x2 25
你会做吗？
二、探究新知 1、（a+b)(a-b)=__a_2_-b_2____.
这个公式叫_平__方__差__公__式___。 从左边到右边的这个过程叫_整__式__乘__法____。
你会做了吗？
× X2+y2 × -x2-y2
-x2+y2 =y2-x2=(y+x)(y-x)
X2-y2 =(x+y)(x-y)
仔细填一填
19 y2 3y2
2 36
25
x2
6 x 2 5
3 9 t 2
4
3 t 2
2
例1 把下列多项式因式分解．
125 -16 x2
29a2 1 b2
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
D. -(2a+1) (2a-1)
2.用合适的方法计算:
149.6 2 50.42
4
请同学们归纳运用平方差公式分解因式的关键 步骤：
1）变形： 2 2 即两个数的平方差
2）套公式： a²- b²= (a+b)(a-b)
注意:变形时平方的底数为乘积时注意要加“（）”
把下列多项式因式分解
19y 2 4x2 21 25 x2
学习目标：
1、掌握平方差公式的特点 2、会熟练运用平方差公式分解因式
一、问题情景导入 分解因式
x2 25
你会做吗？
二、探究新知 1、（a+b)(a-b)=__a_2_-b_2____.
这个公式叫_平__方__差__公__式___。 从左边到右边的这个过程叫_整__式__乘__法____。
你会做了吗？
× X2+y2 × -x2-y2
-x2+y2 =y2-x2=(y+x)(y-x)
X2-y2 =(x+y)(x-y)
仔细填一填
19 y2 3y2
2 36
25
x2
6 x 2 5
3 9 t 2
4
3 t 2
2
例1 把下列多项式因式分解．
125 -16 x2
29a2 1 b2
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
D. -(2a+1) (2a-1)
2.用合适的方法计算:
149.6 2 50.42
4
请同学们归纳运用平方差公式分解因式的关键 步骤：
1）变形： 2 2 即两个数的平方差
2）套公式： a²- b²= (a+b)(a-b)
注意:变形时平方的底数为乘积时注意要加“（）”
把下列多项式因式分解
19y 2 4x2 21 25 x2
北师大版八年级数学下册4.3 第2课时 完全平方公式
• 2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
a2 2ab b2 a b2
• 3:完全平方公式特点： 含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
课外作业
1.练闯考P57(预习导学、课内精 炼1-10题)
2.课本P102-103（随堂练习第1、2 题，习题 4.5第1、2题，做到作业 本上）
（2）a2+2ab-b2 (a b)2
错。此多项式不是完全平方式
典例精析
例3 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3), 故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值 为___±__8___.
练习
把下列各式分解因式
① ax4 ax2
解:原式=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1)
② x4-16
解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)
（有公因式，先提公因式） （因式分解要彻底。）
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已 知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程 中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
课堂小结
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
a b2 a2 2ab b2
a2 2ab b2 a b2
• 3:完全平方公式特点： 含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
课外作业
1.练闯考P57(预习导学、课内精 炼1-10题)
2.课本P102-103（随堂练习第1、2 题，习题 4.5第1、2题，做到作业 本上）
（2）a2+2ab-b2 (a b)2
错。此多项式不是完全平方式
典例精析
例3 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3), 故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值 为___±__8___.
练习
把下列各式分解因式
① ax4 ax2
解:原式=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1)
② x4-16
解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)
（有公因式，先提公因式） （因式分解要彻底。）
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已 知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程 中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
课堂小结
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
a b2 a2 2ab b2
第2讲 因式分解(2)
4
（2）9x2－y2－4y－4；
（3）a2＋(b2－2b)a－b3＋b2；
（4）(a＋b)2(a－b)2－a4＋b4．
【答案】（1）(a－ b ＋x)(a― b ―x)（2）(3x＋y＋2)(3x－y－2)（3）(a－b)(a－b＋b2)
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）－2a2(a＋b)(a－b)
c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b．
2． 双字母型 双字母型与单字母型的分解方法是一样的，只是结构上的区别．
考点一 单字母型十字相乘法
例 1．分解因式． （1）x2＋3x＋2；
（2）x2＋x－20；
（3）6x－27＋x2；
（4）x2－2x－99．
【答案】（1）(x＋1)(x＋2)（2）(x＋5)(x－4)（3）(x＋9)(x－3)（4）(x－11)(x＋9)
（2）4x2－xy－5y2；
（3）－9xy＋2x2－5y2；
（4）a2b2－7ab3＋10b4．
【答案】（1）(x－6y)(x－8y)（2）(x＋y)(4x－5y) （3）(x－5y)(2x＋y)（4）b2(a－2b)(a－5b)
分组分解法
1． 分组分解法 很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，
（2）x2－15x＋36； （4）x2－5x－104．
【答案】（1）(x＋2)(x＋4)（2）(x－12)(x－3) （3）(x－12)(x＋6)（4）(x－13)(x＋8)
变 2．把下列各式因式分解． （1）－3x2－2－7x；
（3）3x2－2x－8；
（2）2x2－x－3； （4）－2m2－5m＋12．
就可以运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解．常见的分组方式有“2＋2”型，“3 ＋1”型，“3＋2”型等．
（2）9x2－y2－4y－4；
（3）a2＋(b2－2b)a－b3＋b2；
（4）(a＋b)2(a－b)2－a4＋b4．
【答案】（1）(a－ b ＋x)(a― b ―x)（2）(3x＋y＋2)(3x－y－2)（3）(a－b)(a－b＋b2)
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）－2a2(a＋b)(a－b)
c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b．
2． 双字母型 双字母型与单字母型的分解方法是一样的，只是结构上的区别．
考点一 单字母型十字相乘法
例 1．分解因式． （1）x2＋3x＋2；
（2）x2＋x－20；
（3）6x－27＋x2；
（4）x2－2x－99．
【答案】（1）(x＋1)(x＋2)（2）(x＋5)(x－4)（3）(x＋9)(x－3)（4）(x－11)(x＋9)
（2）4x2－xy－5y2；
（3）－9xy＋2x2－5y2；
（4）a2b2－7ab3＋10b4．
【答案】（1）(x－6y)(x－8y)（2）(x＋y)(4x－5y) （3）(x－5y)(2x＋y)（4）b2(a－2b)(a－5b)
分组分解法
1． 分组分解法 很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，
（2）x2－15x＋36； （4）x2－5x－104．
【答案】（1）(x＋2)(x＋4)（2）(x－12)(x－3) （3）(x－12)(x＋6)（4）(x－13)(x＋8)
变 2．把下列各式因式分解． （1）－3x2－2－7x；
（3）3x2－2x－8；
（2）2x2－x－3； （4）－2m2－5m＋12．
就可以运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解．常见的分组方式有“2＋2”型，“3 ＋1”型，“3＋2”型等．
北师大版八年级数学下册课件——公式法
北师大版八年级数学下 册课件——公式法
2020/8/20
回顾思考
1、计算 （1）(2x-y)2=__4_x_2-_4_x_y_+_y_2____ （2）(a+3b)2=_a_2_+_6_a_b_+_9_b_2____
2、因式分解 （1）4x2-4xy+y2=__(_2_x_-y_)_2_______ （2）a2+6ab+9b2=_(_a_+_3_b_)_2 _______
（1）形如________________形式的多项式可以 用完全平方公式分解因式。
（2）因式分解通常先考虑__提_取__公__因__式__法___方法。 再考虑_运__用__公__式__法___方法。 （3）因式分解要___彻__底____
课后作业
• 完成课后习题4.5中1、2题 • 拓展作业：
4、已知x+2y=5,求x2+4y2+4xy+5的值
5、已知a,b,c是△ABC的三边长，当 b2+2ab=c2+2ac时，试判断△ABC的形状 。
自主小结
• 从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌 握了哪些方法？
• 你认为分解因式中的平方差公式以及完全 平方公式与乘法公式有什么关系？
由分解因式与整式乘法的关系可以看出， 如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把 某些多项式分解因式，这种分解因式的方法 叫做运用公式法．
两个连续奇数的平方差能被8整除吗？ 为什么？
是
不是 是
（6
是
）
范例学习
例1.把下列完全平方式分解因式:
例2.把下列各式分解因式:
练习. 把下列各式分解因式：
联系拓广
2020/8/20
回顾思考
1、计算 （1）(2x-y)2=__4_x_2-_4_x_y_+_y_2____ （2）(a+3b)2=_a_2_+_6_a_b_+_9_b_2____
2、因式分解 （1）4x2-4xy+y2=__(_2_x_-y_)_2_______ （2）a2+6ab+9b2=_(_a_+_3_b_)_2 _______
（1）形如________________形式的多项式可以 用完全平方公式分解因式。
（2）因式分解通常先考虑__提_取__公__因__式__法___方法。 再考虑_运__用__公__式__法___方法。 （3）因式分解要___彻__底____
课后作业
• 完成课后习题4.5中1、2题 • 拓展作业：
4、已知x+2y=5,求x2+4y2+4xy+5的值
5、已知a,b,c是△ABC的三边长，当 b2+2ab=c2+2ac时，试判断△ABC的形状 。
自主小结
• 从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌 握了哪些方法？
• 你认为分解因式中的平方差公式以及完全 平方公式与乘法公式有什么关系？
由分解因式与整式乘法的关系可以看出， 如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把 某些多项式分解因式，这种分解因式的方法 叫做运用公式法．
两个连续奇数的平方差能被8整除吗？ 为什么？
是
不是 是
（6
是
）
范例学习
例1.把下列完全平方式分解因式:
例2.把下列各式分解因式:
练习. 把下列各式分解因式：
联系拓广
4.3 公式法 课件 (共30张PPT)数学北师大版八年级下册
乘积项的符号可以是“+”，也可以是“－”，而两个
平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，
也就不能用完全平方公式进行因式分解 . 3. 用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，
要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式 .
感悟新知
知2－练
例2 已知 9a2+ka+16 是一个完全平方式， 则 k 的值 是___±__2_4__ .
感悟新知
2. 运用平方差公式分解因式的步骤
知1－讲
一判： 判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加
法的交换律把负平方项放在后面 .
二定： 确定公式中的 a 和 b，除 a 和 b 是单独一个数或
字母外，其余都必须用括号括起来，表示一个整体 .
三套： 套用平方差公式进行分解 .
四整理： 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式 .
第四章 因式分解
4.3 公式法
学习目标
1 课时讲解 用平方差公式分解因式
用完全平方公式分解因式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 用平方差公式分解因式
知1－讲
1. 平方差公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 . 即： a2－b2=(a+b)( a－b) .
知2－练
感悟新知
(3)
1 16
a2－
1 2
ab+b2；
解：
1 16
a2－
1 2
ab+b2
=(14
a)2－2×
1 4
a·b+b2
=(14 a－b) 2；
知2－练
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4.3
第2课时
八
2020/11/24
1
学习目标 1 掌握完完全平方式、全完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式. 2 逆用乘法公式的过程中发展逆向思维的意识和能力.
2020/11/24
2
前置学习
1. 下列各式是完全平方式的是（ A ）
A．x²-x+
1 4
B．1 + x²
C．x+xy+1
2. 对照完全平方公式a²±2ab＋b²=（a±b）²填表：
2020/11/24
15
课堂小结
1.要想运用完全平方公式分解因式，必须紧扣完全平方公式的特点.
（1）左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方. 这两个项的符
（1）x ²＋14x＋49；
（2）（m＋n）²－6（m+n）＋9
解：(1) x ²＋14x＋49
=x ²+2×7x+7 ²
=(x+7) ²
(2)（m＋n）²－6（m+n）＋9
=[(m+n)-3] ²
=(m+n-3) ²
2020/11/24
5
合作探究
探究点二
问题1： 因式分解下列各式
（1）3ax²+6axy+3ay²； （2）－x²－4y²+4xy.
首项系数是负数时，应先提出“－”号或整个负数. 因式分解的一般步骤： （1）“提”，先看多项式各项，有就提出来； （2）“套”，尝试用乘法公式来分解； （3）“查”，因式分解必须进行到不能再分解为止.
2020/11/24
7
合作探究
问题2：已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a ²+b ²+c ²=ab+ac+bc，是说明 ∆ABC是等边三角形.
解：∵a²+b²+c²=ab+bc+ac, ∴a²+b²+c²-ab-bc-ac=0 等式两边同乘以2，得 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0 （a²-2ab＋b²）＋（b²-2bc＋c²）＋（c²-2ac＋a²）=0 ∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0， a=b=c 即∆ABC为等边三角形
3．多项式mx²－m和多项式x²－2x＋1的公因式是( D )
A．x－1
B．x＋1
C．x²－1
D．(x－1) ²
4．对(x－1) ²－2(x－1)＋1因式分解的结果是( A )
A．(x－1)(x－2)
B．x²
C．(x＋1) ²
D．(x－2) ²
2020/11/24
14
随堂检测
5. 把下列各式因式分解 (1)16x ²－(x ²＋4) ²； 解：原式＝(4x＋x ²＋4)(4x－x ²－4) ＝－(x＋2) ²(x－2) ². (2)(x ²－2xy＋y ²)＋(－2x＋2y)＋1. 解：原式＝(x－y) ²－2(x－y)＋1 ＝(x－y－1) ².
a²+2ab+b²=(a+b)²， a²-2ab+b²=(a-b)²； 形如 （a²±2ab+b²） 的式子称为完全平方式. 根据因式分解与整式乘法的关系，把乘法的公式反过来，我们就可以用乘法公 式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做 公式法 .
2020/11/24
4
合作探究
问题2：把下列完全平方式因式分解：
2020/11/24
8
合作探究
探究点三 问题：阅读材料 我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）² 的形式，但是对于二次三项式x²+2ax-3a²就不能直接应用完全平方公式了， 我们可以采用如下 的办法： x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a² =（x+a）²-（2a）² =(x+3a)(x-a) 像这样把二次三项式因式分解的数学方法叫配方法。
解：（1）3ax²+6axy+3ay²
=3a(x²+2xy+y²)
=3a(x+y) ²
（2）－x²－4y²+4xy
=-(x²+4y²-4xy)
=-(x²-4xy+4y²)
=-[(x²-2•x•2y+(2y) ²]
=-(x-2y) ²
2020/11/24
6
合作探究
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因 式分解，直至不能再分解为止.
2020/11/24
12
随堂检测
1．下列式子中是完全平方式的是( D )
A．a²＋ab＋b²
B．a²＋2a＋2
C．a²－2b＋b²
D．a²＋2a＋1².
2．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x²＋x＋1
B．x²＋2x－1
C．x²－1
D．x²－6x＋9
2020/11/24
13
随堂检测
（1）这种方法的关键是 凑成完全平方式 ；
（2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解.
2020/11/24
9
合作探究
问题：阅读材料
我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）²
的形式，但是对于二次三项式x²+2ax-3a²就不能直接应用完全平方公式了， 我们可以采用如下
的办法：
x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a²
=（x+a）²-（2a）²
=(x+3a)(x-a)
（2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解.
解：（2）a²-8a+15= a²-8a+16-16+15
=（a-4）²-1
=（a-3）（a-5）
2020/11/24
10
举一反三
1. 若x ²+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值． 解：∵x ²+2（a+4）x+25是完全平方式， ∴2（a+4）=±2×5， 解得a=1或a=-9． 故a的值是1或-9．
D．x²+2a-1
a²±2ab＋b²
a
16x²＋24x+9
4xΒιβλιοθήκη 1 －x＋x²½4
a²＋4－4a
a
4a²＋25b²－20ab
2a
b
（a±b）²
3
（4x+3）²
x
（½－x）²
2
（a－2）²
5b
（2a－5b）²
2020/11/24
3
合作探究
探究点一： 问题1：事实上，把乘法公式的(完全平方公式)： (a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b² 反过来，就得到因式分解的(完全平方公式)
2020/11/24
11
举一反三
2. 已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n） 则x ²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n ∴n＋3=-4，m=3n． 解得：n=﹣7，m=﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21.
第2课时
八
2020/11/24
1
学习目标 1 掌握完完全平方式、全完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式. 2 逆用乘法公式的过程中发展逆向思维的意识和能力.
2020/11/24
2
前置学习
1. 下列各式是完全平方式的是（ A ）
A．x²-x+
1 4
B．1 + x²
C．x+xy+1
2. 对照完全平方公式a²±2ab＋b²=（a±b）²填表：
2020/11/24
15
课堂小结
1.要想运用完全平方公式分解因式，必须紧扣完全平方公式的特点.
（1）左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方. 这两个项的符
（1）x ²＋14x＋49；
（2）（m＋n）²－6（m+n）＋9
解：(1) x ²＋14x＋49
=x ²+2×7x+7 ²
=(x+7) ²
(2)（m＋n）²－6（m+n）＋9
=[(m+n)-3] ²
=(m+n-3) ²
2020/11/24
5
合作探究
探究点二
问题1： 因式分解下列各式
（1）3ax²+6axy+3ay²； （2）－x²－4y²+4xy.
首项系数是负数时，应先提出“－”号或整个负数. 因式分解的一般步骤： （1）“提”，先看多项式各项，有就提出来； （2）“套”，尝试用乘法公式来分解； （3）“查”，因式分解必须进行到不能再分解为止.
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7
合作探究
问题2：已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a ²+b ²+c ²=ab+ac+bc，是说明 ∆ABC是等边三角形.
解：∵a²+b²+c²=ab+bc+ac, ∴a²+b²+c²-ab-bc-ac=0 等式两边同乘以2，得 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0 （a²-2ab＋b²）＋（b²-2bc＋c²）＋（c²-2ac＋a²）=0 ∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0， a=b=c 即∆ABC为等边三角形
3．多项式mx²－m和多项式x²－2x＋1的公因式是( D )
A．x－1
B．x＋1
C．x²－1
D．(x－1) ²
4．对(x－1) ²－2(x－1)＋1因式分解的结果是( A )
A．(x－1)(x－2)
B．x²
C．(x＋1) ²
D．(x－2) ²
2020/11/24
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随堂检测
5. 把下列各式因式分解 (1)16x ²－(x ²＋4) ²； 解：原式＝(4x＋x ²＋4)(4x－x ²－4) ＝－(x＋2) ²(x－2) ². (2)(x ²－2xy＋y ²)＋(－2x＋2y)＋1. 解：原式＝(x－y) ²－2(x－y)＋1 ＝(x－y－1) ².
a²+2ab+b²=(a+b)²， a²-2ab+b²=(a-b)²； 形如 （a²±2ab+b²） 的式子称为完全平方式. 根据因式分解与整式乘法的关系，把乘法的公式反过来，我们就可以用乘法公 式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做 公式法 .
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4
合作探究
问题2：把下列完全平方式因式分解：
2020/11/24
8
合作探究
探究点三 问题：阅读材料 我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）² 的形式，但是对于二次三项式x²+2ax-3a²就不能直接应用完全平方公式了， 我们可以采用如下 的办法： x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a² =（x+a）²-（2a）² =(x+3a)(x-a) 像这样把二次三项式因式分解的数学方法叫配方法。
解：（1）3ax²+6axy+3ay²
=3a(x²+2xy+y²)
=3a(x+y) ²
（2）－x²－4y²+4xy
=-(x²+4y²-4xy)
=-(x²-4xy+4y²)
=-[(x²-2•x•2y+(2y) ²]
=-(x-2y) ²
2020/11/24
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合作探究
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因 式分解，直至不能再分解为止.
2020/11/24
12
随堂检测
1．下列式子中是完全平方式的是( D )
A．a²＋ab＋b²
B．a²＋2a＋2
C．a²－2b＋b²
D．a²＋2a＋1².
2．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x²＋x＋1
B．x²＋2x－1
C．x²－1
D．x²－6x＋9
2020/11/24
13
随堂检测
（1）这种方法的关键是 凑成完全平方式 ；
（2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解.
2020/11/24
9
合作探究
问题：阅读材料
我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）²
的形式，但是对于二次三项式x²+2ax-3a²就不能直接应用完全平方公式了， 我们可以采用如下
的办法：
x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a²
=（x+a）²-（2a）²
=(x+3a)(x-a)
（2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解.
解：（2）a²-8a+15= a²-8a+16-16+15
=（a-4）²-1
=（a-3）（a-5）
2020/11/24
10
举一反三
1. 若x ²+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值． 解：∵x ²+2（a+4）x+25是完全平方式， ∴2（a+4）=±2×5， 解得a=1或a=-9． 故a的值是1或-9．
D．x²+2a-1
a²±2ab＋b²
a
16x²＋24x+9
4xΒιβλιοθήκη 1 －x＋x²½4
a²＋4－4a
a
4a²＋25b²－20ab
2a
b
（a±b）²
3
（4x+3）²
x
（½－x）²
2
（a－2）²
5b
（2a－5b）²
2020/11/24
3
合作探究
探究点一： 问题1：事实上，把乘法公式的(完全平方公式)： (a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b² 反过来，就得到因式分解的(完全平方公式)
2020/11/24
11
举一反三
2. 已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n） 则x ²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n ∴n＋3=-4，m=3n． 解得：n=﹣7，m=﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21.