几何证明定理(最新整理)
(完整版)初中几何几个著名定理及证明
① AC(BP+DP)=AD ・ BC+AB ・ DC ・ 即 AC ・ BD=AB ・ CD+AD ・ BC.2.托勒密定理的逆定理若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这 个凸四边形內接于一圆。
己知：在凸四边形ABCD 中，AB • CD+AD • BC 二 BD • AC 。
求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。
证明：分别以E 、A 为顶点，在 四边形ABCD初屮见何甩个著名炙龌及证明 识玻堵泗阳展療口屮曇蒐疋屮 一.托勒密定理 1.托勒密定理 圆內接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。
己知：圆內接四边形AECD,求证：AC ・BD 二AB • CD+AD ・BC 。
证明：如图所示，过C 作CP 交BD 于P, 使Z1=Z2,又Z3=Z4, AACD^ABCP. 冴 BP BC EP • AC 二 AD • BC 又 ZACB=ZDCP, Z5= Z6,,即 •：A ACB S A DCP . 得需=舘，即DP ・AC =AB ・DC内，作ZABF= ZDBC> ZBAF=ZBDC,—=—=> AB CD^BD-AF则厶ABF^ADBC 〜Ar CDAH _Bn亦—斎又•，• ZABD = Z ABF +ZEBF= ZEBF + ZDBC = ZFBC•'•△ABD S A FB C =x> —=—=>JD-/R-=Hzrc/--HC CF•••AB ・ CD+AD ・ BC=BD* （AF+CF）又VAB・CD+AD ・BC=BD・AC （己知〉,•••AC=AF + CF；「.A、F、C三点共线；ZBAC=ZBAF = ZBDC；：4、B、C、D 四点共圆。
3.托勒密不等式在任意凸四边形中，两组对边乘积的和不小于其两条对角线的乘积。
〈托勒密定理可视作托勒密不等式的特殊情况。
）即在任意凸四边形ABCD中，必有AC ・BDWAB • CD+AD * BC,当且仅当A、B、C、D四点共圆（托勒密定理）或共线（欧扌立几何定理）时取等号。
立体几何所有的定理大总结（绝对全）
⽴体⼏何所有的定理⼤总结（绝对全）（⼆）异⾯直线所成⾓1.定义：不同在任何⼀个平⾯内的两条直线或既不平⾏也不相交的两条直线叫异⾯直线。
2.画法：借助辅助平⾯。
1.定义：对于异⾯直线a 和b ，在空间任取⼀点P ，过P 分别作a 和b 的平⾏线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐⾓或者叫做异⾯直线a 和b 所成的⾓。
2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成⾓范围：【0°，90°】)（三）线⾯⾓1.定义：当直线l 与平⾯α相交且不垂直时，叫做直线l 与平⾯α斜交，直线l 叫做平⾯α的斜线。
设直线l 与平⾯α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平⾯α的垂线，垂⾜为O ，把点O 叫做点A 在平⾯α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平⾯α上的射影。
1.定义：把直线l 与其在平⾯α上的射影所成的锐⾓叫做直线l 和平⾯α所成的⾓。
2.范围【0°，90°】（★斜线与平⾯所成⾓范围：【0°，90°】）（三）⼆⾯⾓1.定义：（1）半平⾯：平⾯内的⼀条直线把这个平⾯分成两个部分，其中每⼀个部分叫做半平⾯。
（3）⼆⾯⾓的棱：这⼀条直线叫做⼆⾯⾓的棱。
（4）⼆⾯⾓的⾯：这两个半平⾯叫做⼆⾯⾓的⾯。
（5）⼆⾯⾓的平⾯⾓：以⼆⾯⾓的棱上任意⼀点为端点，在两个⾯内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的⾓叫做⼆⾯⾓的平⾯⾓。
（6）直⼆⾯⾓：平⾯⾓是直⾓的⼆⾯⾓叫做直⼆⾯⾓。
1.定义：从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形叫做⼆⾯⾓。
2.表⽰：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。
2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。
3.点到⾯的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
平面几何-五大定理及其证明
平面几何定理及其证明梅涅劳斯定理1 .梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G. 因为 CG // AB ，所以 CG CF --------------------- （ 1）AD FA因为 CG // AB ，所以 EC （ 2） DB BEC F ，即得 AD C FEC FA DB EC FA2.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在 ABC 的边AB BC 上各有一点 D E ,在边 AC 的延长线上有一点 F ,若二、 塞瓦定理3 .塞瓦定理及其证明定理：在ABC 内一点P,该点与ABC 的三个顶点相连所在的 三条直线分别交 ABCE 边AB BC CA 于点D E 、F ,且D E 、F 三点均不是 ABC不是ABC 的顶点，则有AD BECF 1DB EC由（1）宁（2） DB可得兀AD BE CF DB EC FA1，那么，D E 、F 三点共线.证明：设直线EF 交AB 于点D ，则据梅涅劳斯定理有AD /BE CF 丽EC FA因为AD Bl CF DB EC FA1，所以有誥段AB 上，所以点D 与D 重合.即得D鴿.由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.证明：运用面积比可得 ADDB S ADP S BDPS ADC S BDC根据等比定理有S ADP S ADCSADC S ADP S APCSSBDPBDCSBDCSBDPS的顶点，则有AD BE CF “1 DB EC FA .所以AD S A PC .同理可得BE SDB S BPCAPB, CFEC S APC FA SBPCS APB三式相乘得竺吏 DB EC CF i FA 4.塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在 ABC 三边AB BC CA 上各有一点 H 1，那么直线CD AE BF 三线共点. DE 、F ,且 D E 、 F 均不是 ABC 的顶点,AD BE若 DB EC证明：设直线AE 与直线BF 交于点P,直线CP 交AB 于点D ,则 据塞瓦定理有 AD Z DBBE EC CA1 -1,所以有 段AB 上，所以点D 与D 重合.即得 因为竺 DB EC CF FA AD DB D DDB •由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.三、西姆松定理 5.西姆松定理及其证明 定理：从 ABC 外接圆上任意一点 F ,则D E 、F 三点共线. 证明：如图示，连接PC ,连接EF P 向BC CA AB 或其延长线引垂线, 垂足分别为DE、交BC 于点D ，连接P D• 因为PE 因为A 、 所以， 共圆. 所以， 即 PD BC 由于过点 F D E 、 四、 6 AE,PF AF,所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得B 、P 、C 四点共圆，所以 FEP = BCP 即 DEP = CDP + CEP = 180°。
初中几何证明的所有公理和定理
初中几何证明的所有公理和定理几何学是数学的一个分支，研究平面和空间中的图形、形状、大小以及它们之间的关系。
在几何学中，有一些基本的公理和定理被广泛应用于证明其他几何结论。
以下是初中几何中常用的公理和定理。
一、公理1.尺规公理：任意两点可以用直尺连接，任意一点可以用剪刀间距来复原。
2.同位角公理：同位角互等。
3.平行公理：通过点外一条直线的直线，与这条直线平行的直线只有唯一一条。
4.直线偏转公理：过直线和不在直线上的一点，有且只有一条直线与该直线相交。
二、定理1.垂直平分线定理：平分一条线段的直线必垂直于该线段。
2.三角形内角和定理：三角形内角的和为180°。
3.直角三角形定理：在直角三角形中，两个直角三角形的边长和斜边相等。
4.点到直线的距离定理：点到直线的距离等于点到该直线上垂线的距离。
5.等腰三角形定理：等腰三角形的底边中点到顶点的距离等于底边的一半。
6.等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。
7.三角形外角定理：三角形外角等于其对应内角的和。
8.直角三角形的勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
9.海伦公式：已知三角形的三边长，可以通过海伦公式求解其面积。
10.等周定理：等周的两角相等，反之亦成立。
11.三角形中位线定理：三角形两边中点连线中位线，且平分第三边。
12.周长定理：四边形周长等于各边长的和。
13.三角形周长定理：三角形的周长等于三边长的和。
14.三角形中线定理：三角形中线等分中位线，且平分第三边。
15.三角形终边定理：一个角的终边上的点，到另一个角所在的直线的距离永远相等。
16.五边形内角和定理：五边形的内角和是540°。
17.钝角三角形的边长关系：钝角三角形两边长的平方和小于斜边长的平方。
18.三角形的相似性定理：对应角等价、对应边成比例的两个三角形为相似三角形。
19.平行线的性质定理：平行条边分别过枚角且长度成正比，则连线为平行线。
20.重叠三角形定理：如果两个角和一个边分别相等，则两个三角形相等。
十大高中平面几何几何定理汇总及证明
高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q,AB与PQ的连线交于点M,则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况,分别作三角形高,由相似三角形可证S△PAB=S△PAM-S△PMB=S△PAM/S△PMB-1×S△PMB=AM/BM-1×S△PMB等高底共线,面积比=底长比同理,S△QAB=AM/BM-1×S△QMB所以,S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM等高底共线,面积比=底长比定理得证特殊情况：当PB∥AQ时,易知△PAB与△QAB的高相等,从而S△PAB=S△QAB,反之,S△PAB=S△QAB,则PB∥AQ;2.正弦定理在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=Rr为外接圆半径,R为直径证明：现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O;我们考虑∠C及其对边AB;设AB长度为c;若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c= 2r;∵特殊角正弦函数值∴若∠C为锐角或钝角,过B作直径BC`交⊙O于C`,连接C'A,显然BC'= 2r=R; 若∠C为锐角,则C'与C落于AB的同侧,此时∠C'=∠C同弧所对的圆周角相等∴在Rt△ABC'中有若∠C为钝角,则C'与C落于AB的异侧,BC的对边为a,此时∠C'=∠A,亦可推出;考虑同一个三角形内的三个角及三条边,同理,分别列式可得;3.分角定理在△ABC中,D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点,连结AD,则有BD/CD=sin∠BAD/sin∠CADAB/AC;证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD………… 1.1S△ABD/S△ACD=1/2×AB×AD×sin∠BAD/1/2 ×AC×AD×sin∠CAD= sin∠BAD/sin∠CAD ×AB/AC…………1.2由1.1式和1.2式得BD/CD=sin∠BAD/sin∠CAD ×AB/A C4.张角定理在△ABC中,D是BC上的一点,连结AD;那么;证明：设∠1=∠BAD,∠2=∠CAD由分角定理,S△ABD/S△ABC=BD/BC=AD/ACsin∠1/sin∠BAC→ BD/BCsin∠BAC/AD=sin∠1/AC 1.1S△ACD/S△ABC=CD/BC=AD/ABsin∠2/sin∠BAC→ CD/BCsin∠BAC/AD=sin∠2/AB 1.21.1式+1.2式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD5.帕普斯定理直线l1上依次有点A,B,C,直线l2上依次有点D,E,F,设AE,BD交于G,AF,DC交于I,BF,EC交于H,则G,I,H共线;6.蝴蝶定理设S为圆内弦AB的中点,过S作弦CF和DE;设CF和DE各相交AB于点M和N,则S 是MN的中点;证明：过O作OL⊥ED,OT⊥CF,垂足为L、T,连接ON,OM,OS,SL,ST,易明△ESD∽△CSF∴ES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2,FT=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O,S,N,L四点共圆,一中同长同理,O,T,M,S四点共圆∴∠STM=∠SOM,∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS7.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线,则三垂足共线;此线常称为西姆松线;证明：若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、L、P、N和P、M、C、L分别四点共圆,有∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP.故A、B、P、C四点共圆;若A、P、B、C四点共圆,则∠NBP= ∠MCP;因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆,有∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.故L、M、N三点共线;西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上;证明：PM⊥AC,PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圆8.清宫定理设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点,P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F,则D、E、F在同一直线上.证明：A、B、P、C四点共圆,因此∠PCE=∠ABP点P和V关于CA对称所以∠PCV=2∠PCE又因为P和W关于AB对称,所以∠PBW=2∠ABP从这三个式子,有∠PCV=∠PBW另一方面,因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角,所以∠PCQ=∠PBQ两式相加,有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ即∠QCV=∠QBW即△QCV和△QBW有一个顶角相等,因此但是,,所以同理,于是根据梅涅劳斯定理的逆定理,D、E、F三点在同一直线上;9.密克定理三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O,而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点;设A为C1的点,直线MA交C2于B,直线PA交C3于C;那么B, N, C这三点共线;逆定理：如果是三角形,M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上,那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O;完全四线形定理如果ABCDEF是完全四线形,那么三角形的外接圆交于一点O,称为密克点;四圆定理设C1, C2,C3, C4为四个圆,A1和B1是C1和C2的交点,A2和B2是C2 和C3的交点,A3和B3是C3和C4的交点,A4和B4是C1和C4的交点;那么A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆;证明：在△ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N,对AMN,△BWN和△CWM分别作其外接圆,则这三个外接圆共点;该定理的证明很简单,利用“圆内接四边形对角和为180度”及其逆定理;现在已知U是和的公共点;连接UM和UN,∵四边形BNUW和四边形CMUW分别是和的内接四边形,∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度∴∠UWB=∠UNA;同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度∴∠UWB=∠UMC;∵∠UMC+∠UMA=180度∴∠UNA+∠UMA=180度,这正说明四边形ANUM是一个圆内接四边形,而该圆必是,U必在上;10.婆罗摩笈多定理圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足为M;EF⊥BC,且M在EF上;那么F是A D 的中点;证明：∵AC⊥BD,ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°,同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF,即F是AD中点逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直,则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边;证明：∵MA⊥MD,F是AD中点∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD,∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°∴∠CBD+∠BME=90°∴EF⊥BC11.托勒密定理圆内接四边形中,两条对角线的乘积两对角线所包矩形的面积等于两组对边乘积之和一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．圆内接四边形ABCD,求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．证明：过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP,AC·BP=AD·BC ①;又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP,AC·DP=AB·CD ②;①+②得ACBP+DP=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．12.梅涅劳斯定理当直线交三边所在直线于点时,;证明：过点C作CP∥DF交AB于P,则两式相乘得梅涅劳斯逆定理：若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上,且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,则F、D、E三点共线;证明：先假设E、F、D三点不共线,直线DE与AB交于P;由梅涅劳斯定理的定理证明如利用平行线分线段成比例的证明方法得：AP/PBBD/DCCE/EA=1;∵ AF/FBBD/DCCE/EA=1;∴ AP/PB=AF/FB ；∴ AP+PB/PB=AF+FB/FB ；∴ AB/PB=AB/FB ；∴ PB=FB；即P与F重合;∴ D、E、F三点共线;13.塞瓦定理在△ABC内任取一点O,延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则BD/DC×CE/EA×AF/FB=1;∵△ADC被直线BOE所截,∴CB/BDDO/OAAE/EC=1①∵△ABD被直线COF所截,∴BC/CDDO/OAAF/FB=1②②/①约分得：DB/CD×CE/EA×AF/FB=114.圆幂定理相交弦定理：如图Ⅰ,AB、CD为圆O的两条任意弦;相交于点P,连接AD、BC,由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角,因此由圆周角定理知：∠B=∠D,同理∠A=∠C,所以;所以有：,即：;割线定理：如图Ⅱ,连接AD、BC;可知∠B=∠D,又因为∠P为公共角,所以有,同上证得;切割线定理：如图Ⅲ,连接AC、AD;∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角,因此有∠PBC=∠D,又因为∠P为公共角,所以有,易证图Ⅳ,PA、PC均为切线,则∠PAO=∠PCO=90°,在直角三角形中：OC=OA=R,PO为公共边,因此;所以PA=PC,所以;综上可知,是普遍成立的;弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数;点对圆的幂P点对圆O的幂定义为点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；点P在圆O上→P对圆O的幂为0;三角形五心：内心：三角形三条内角平分线的交点外心：三角形三条边的垂直平分线中垂线的相交点重心：三角形三边中线的交点垂心：三角形的三条高线的交点旁心：三角形的旁切圆与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆的圆心九点圆心：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆的圆心15.根心定理三个两两不同心的圆,形成三条根轴,则必有下列三种情况之一：1 三根轴两两平行；2 三根轴完全重合；3 三根轴两两相交,此时三根轴必汇于一点,该点称为三圆的根心;平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线,则三条根轴相交于一点,这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行;根轴定义：A与B的根轴L1：到A与B的切线相等的点;B与C的根轴L2：到B与C的切线相等的点;证明设A、B、C三个圆,圆心不重合也不共线;考察L1与L2的交点P;因为P在L1上,所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离;因为P在L2上,所以：P到B的切线距离=P到C的切线距离;所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离=P到C的切线距离;也就是：P到A的切线距离=P到C的切线距离;所以：P在A与C的根轴上; 所以：三个根轴交于一点;16.鸡爪定理设△ABC的内心为I,∠A内的旁心为J,AI的延长线交三角形外接圆于K,则KI=KJ=KB=KC;证明：由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2,∠JBC=180°-∠ABC/2∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ同理,∠ICJ=90°∵∠IBJ+∠ICJ=180°∴IBJC四点共圆,且IJ为圆的直径∵AK平分∠BAC∴KB=KC相等的圆周角所对的弦相等又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB∴KB=KI由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是IJ的中点∴KB=KI=KJ=KC逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K;在AK及延长线上截取KI=KB=KJ,其中I在△ABC的内部,J在△ABC的外部;则I是△ABC的内心,J是△ABC 的旁心;证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理;取△ABC的内心I'和旁心J’,根据定理有KB=KC=KI'=KJ'又∵KB=KI=KJ∴I和I'重合,J和J’重合即I和J分别是内心和旁心17.费尔巴哈定理三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切设△ABC的内心为I,九点圆的圆心为V;三边中点分别为L,M,N,内切圆与三边的切点分别是P,Q,R,三边上的垂足分别为D,E,F;不妨设AB>AC;假设⊙I与⊙V相切于点T,那么LT与⊙I相交,设另一个交点为S;过点S作⊙I的切线,分别交AB和BC于V,U,连接AU;又作两圆的公切线TX,使其与边AB位于LT的同侧;由假设知∠XTL=∠LDT而TX和SV都是⊙I的切线,且与弦ST所夹的圆弧相同,于是∠XTL=∠VST因此∠LDT=∠VST则∠UDT+∠UST=180°这就是说,S,T,D,U共圆;而这等价于：LU×LD=LS×LT又LP²=LS×LT故有LP²=LU×LD另一方面,T是公共的切点,自然在⊙V上,因此 L,D,T,N共圆,进而有∠LTD=∠LND由已导出的S,T,D,U共圆,得∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB=∠AVU-∠B而∠LND=∠NLB-∠NDB=∠ACB-∠NBD=∠C-∠B这里用了LN∥AC,以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半所以,就得到∠AVU=∠C注意到AV,AC,CU,UV均与⊙I相切,于是有∠AIR=∠AIQ∠UIS=∠UIP∠RIS=∠QIS三式相加,即知∠AIU=180°也即是说,A,I,U三点共线;另外,AV=AC,这可由△AIV≌△AIC得到;这说明,公切点T可如下得到：连接AI,并延长交BC于点U,过点U作⊙I的切线,切点为S,交AB于V,最后连接LS,其延长线与⊙I的交点即是所谓的公切点T;连接CV,与AU交于点K,则K是VC的中点;前面已得到：LP²=LU×LD而2LP=BL+LP-CL-LP=BP-CP=BR-CQ=BR+AR-CQ+AQ=AB-AC=AB-AV=BV即 LP=BV然而LK是△CBV的中位线于是 LK=BV因之 LP=LK故LK²=LU×LD由于以上推导均可逆转,因此我们只需证明：LK²=LU×LD;往证之这等价于：LK与圆KUD相切于是只需证：∠LKU=∠KDU再注意到 LK∥ABLK是△CBV的中位线,即有∠LKU=∠BAU又AU是角平分线,于是∠LKU=∠CAU=∠CAK于是又只需证：∠CAK=∠KDU即证：∠CAK+∠CDK=180°这即是证：A,C,D,K四点共圆由于 AK⊥KC易得,AD⊥DC所以 A,C,D,K确实共圆;这就证明了⊙I与⊙V内切;旁切圆的情形是类似的;证毕另略证：OI2=R2-2RrIH2=2r2-2Rr'OH2=R2-4Rr'其中r‘是垂心H的垂足三角形的内切圆半径,R、r是三角形ABC外接圆和内切圆半径FI2=1/2OI2+IH2-1/4OH2=1/2R-r2FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切九点圆半径为外接圆半径一半;F是九点圆圆心,I为内心18.莫利定理将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形证明：设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c,三内角为3α,3β,3γ,则α+β+γ=60°;在△ABC中,由正弦定理,得AF=csinβ/sinα+β;不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AF=sin3γsinβ/sin60°-γ= sinβsinγ3-4sin²γ/1/2√3cosγ-sinγ= 2sinβsinγ√3cosγ+sinγ= 4sinβsinγsin60°+γ.同理,AE=4sinβsinγsin60°+β∴AF:AE=4sinβsinγsin60°+γ：4sinβsinγsin60°+β=sin60°+γ:sin60°+β=sin∠AEF:sin∠AFE∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得,∠CED=60°+α∠FED=180°-CED-AEF-α-γ=180°-60°-α-60°+α=60°∴△FED为正三角形19.拿破仑定理若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为60°的等腰三角形,则它们的中心构成一个等边三角形;在△ABC的各边上向外各作等边△ABF,等边△ACD,等边△BCE;。
初中数学所有几何证明定理
初中数学所有几何证明定理初中数学中的几何证明定理有很多，下面列举一些较为常见和重要的：1.垂线定理：如果两条直线相交，且其中一条直线垂直于另一条直线，那么相交的两条直线分成的两对相邻角互为互补角。
证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，且直线AB垂直于直线CD，那么∠AOC和∠BOD构成一对互补角，同时∠AOD和∠BOC构成一对互补角。
2.同位角定理：如果两条平行线被一条横截线相交，那么相交的各对同位角相等。
证明：假设平行线AB与CD被平行于它们的条横截线EF相交于点O，那么∠AEO和∠COF，∠FEO和∠DOF互相等。
3.对顶角定理：如果两条直线AB和CD相交，那么由相交而分成的四个角中的相邻角互为对顶角。
证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，那么∠AOB和∠COD、∠BOC和∠AOD互为对顶角。
4.垂直角定理：如果两条直线AB和CD相交，那么由相交而分成的四个角中的互为相对角的两对角中，有一对互为垂直角。
证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，那么∠AOC和∠BOC互为相对角，如果直线AB与直线CD垂直，那么∠AOC和∠BOC互为垂直角。
5.三角形的内角和定理：一个三角形的内角的和等于180°。
证明：假设三角形的三个顶点为A、B、C，以AB为边作一个封闭的三角形ABC，再以BC为边作一个封闭的三角形ACB。
根据同位角定理，∠BAC+∠BCE=∠ACB+∠ACD，即∠BAC+∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD+∠BCE，因此∠BAC+∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACB，即∠BAC+∠ACB+∠ACB=180°。
6.线段的三等分定理：对于线段AB上的任意一点C，如果AC与CB 的长度相等，那么AC与CB将线段AB分为三个相等的部分。
证明：利用数学归纳法，首先取一点D在线段AB上，并且AD的长度为BD的两倍，那么根据线段的加法性质，我们有AB=AD+BD=AD+AD=2AD。
立体几何常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言:如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行,则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．,那么这条直线就和交线．．平行。
符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点．．．:．需要．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．,．接着找交线。
．．．．．． 三、面面平行的判定定理:线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言://a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键．．点：．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理： 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．，那么所得的两条交线．．平行。
符号语言：////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面都相．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面。
符号语言：//,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言:如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面。
立体几何证明8条定理
立体几何证明8条定理立体几何是几何学的一个分支，研究的是在三维空间中的图形和体的性质。
在立体几何中有许多定理，其中一些重要的定理包括平行线定理、垂直线定理、欧拉定理、等角定理、切线定理、割线定理、同位角定理和三角形内角和定理等。
下面将详细讨论这些定理：1.平行线定理：如果两条平行线被一组平行线截断，那么它们的对应线段成比例。
这个定理可以用于证明两条线平行。
2.垂直线定理：如果两条直线相交，且其中一条直线垂直于另一条直线，那么相交处的四个角都是直角。
这个定理可以用于证明两条线垂直。
3.欧拉定理：在任意一个凸多面体中，顶点数、棱数和面数之间存在一个关系：顶点数加上面数等于棱数加上2、这个定理被应用于立体几何中的多面体的计算。
4.等角定理：如果两条线分别与一条平行线相交，且其中一对内错角（相对于平行线的两条线之间的两个角）或一个内错角和一个外错角（与平行线的两条线相交形成的一对内角和一对外角）相等，那么这两条线是平行线。
这个定理可以用于证明平行线。
5.切线定理：给定一个圆和一个与圆相切且通过切点的直线，那么切线的切点与切线所跨越的弦的两个端点之间的角是直角。
这个定理可以用于证明圆的性质。
6.割线定理：给定一个圆和一个与圆相交的直线，那么直线与圆的切线所跨越的弦的两个端点之间的角相等。
这个定理也可以用于证明圆的性质。
7.同位角定理：如果两条平行线被一条截线截断，那么同位角（相对于平行线的两条线的每一对内角）相等。
这个定理可以用于证明平行线。
8.三角形内角和定理：三角形的三个内角的度数之和等于180度。
这个定理是三角形的基本性质，可以用于证明其他三角形的性质。
这些定理是立体几何中的一些基本定理，通过运用它们可以推导出其他一些更复杂的定理。
这些定理不仅在几何学中有重要的应用，而且在物理学、工程学等其他学科中也有广泛的应用。
初中几何定理大全初中数学几何121个定理总结
初中几何定理大全初中数学几何121个定理总结
一、三角形定理：
1、直角三角形三边定理：在直角三角形中，两个直角对边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、余弦定理：在任意三角形中，每条边的平方等于其他两条边平方之和减去两倍乘积的余弦值。
4、正弦定理：在任意三角形中，每条边的平方等于其他两条边平方之和加上两倍乘积的正弦值。
5、比例定理：在任意三角形中，斜边的平方等于两条边的乘积除以其外角的余弦值的平方。
6、外接圆定理：任意三角形的外接圆半径等于其三边长的和除以4
7、外切圆定理：任意三角形的外切圆半径等于其两边长的乘积除以4倍其近角的正弦值。
8、锐角三角形边长定理：在锐角三角形中，一条边大于另外两条边的和，小于他们的差。
9、内切圆定理：任意三角形的内切圆半径等于其两边长的乘积除以4倍其外角的正弦值。
10、锐角三角形的内接圆定理：任意锐角三角形内接圆半径等于其三边长乘积除以4其外角的余弦值。
二、平行线定理：
1、平行线定理：平行线与平行线之间分别成等腰角和相邻角成等式。
2、垂线定理：垂线与平行线之间相邻角成等式。
几何定理大全
几何定理是指经过推理和实验证明，描述几何图形内在关系的一些真理。
以下是一些常见的几何定理：
1.三角形内角和定理：三角形内角和等于180度。
2.勾股定理：三角形中，直角边的平方等于斜边的平方。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
4.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半。
5.圆内接四边形对角互补：圆的内接四边形对角互补。
6.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点
的两条线段长的比例中项。
7.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
8.圆幂定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
9.韦达定理：关于x的方程x^2+mx+n=0有两个实根，那么这两个根的判别式
△=b^2-4ac以及两根之和m1+m2=-b/a，两根之积m1*m2=c/a皆恒成立。
10.塞瓦定理：在三角形ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO，并分别交对边
于D、E、F，则(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。
立体几何证明8条定理
文字语言
图形语言
判 一个平面内的两条相交直线
定 与另一个平面平行，则这两 定 个平面平行(简记为线面平 理
行⇒面面平行)
性 质 如果两个平行平面同时和第 定 三个平面相交，那么它们的
理 交线平行
符号语言
l⊄α a⊂α ⇒l∥α l∥a a∥α a⊂β ⇒a∥b α∩β＝b
符号语言 a⊂α
b⊂α a∩b＝P ⇒α∥β a∥β
直线与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言
判 不在平面内的一条直线与此 定 平面内的一条直线平行，则 定 该直线与此平面平行(简记为 理
线线平行⇒线面平行)
图形语言
性 一条直线与一个平面平行， 质 则过这条直线的任一平面与 定 此平面的交线与该直线平行 理 (简记为线面平行⇒线线平
行)
平面与平面平行的判定定理与性质定理
b∥β
α ∥β α ∩γ ＝a⇒a∥b β∩γ＝b
直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言
图形语言
判 一条直线与平面内的两条相
定 交直线都垂直，则该直线与此
定 平面垂直
理
性 质 垂直于同一个平面的两条直 定 线平行 理
平面与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言
图形语言
判定 定理
一个平面过另一个平面的一 条垂线，则这两个平面互相垂 直
性质 定理
两个平面互相垂直，则一个平 面内垂直于交线的直线垂直 于另一个平面
符号语言
a，b⊂α
a∩b＝O l⊥a
⇒l⊥α
l⊥b
a⊥α b⊥α
⇒a∥b
符号语言
l⊂β l⊥α
⇒α⊥β
α ⊥α
l⊥a
立体几何证明定理归纳
立体几何证明定理归纳在立体几何中，证明定理是一种重要的方法，通过逐步推理和归纳总结，可以得出一般性的结论。
本文将以立体几何证明定理归纳为主题，介绍几个典型的立体几何定理，并通过证明的方式，展示定理归纳的过程。
一、平行线与平面的关系我们来证明平行线与平面的关系。
根据平行线的定义，平行线是在同一个平面上，且不相交的两条直线。
定理：如果一条直线与一个平面平行，则该直线与平面上的任意一条直线都平行。
证明：设直线AB与平面P平行，直线CD是平面P上的一条直线。
我们需要证明直线AB与直线CD平行。
根据平行线的定义，我们可以找到平面P内的一条直线EF，使得直线EF与直线AB平行。
由于直线EF与直线AB平行，而直线AB与直线CD在同一个平面P内，根据平行线与平面的关系可知，直线EF 与直线CD也平行。
因此，直线AB与直线CD平行。
证毕。
二、相交线与平面的关系接下来，我们来证明相交线与平面的关系。
定理：如果两条直线相交于一个点，并且这两条直线都在同一个平面上。
则这个平面与这两条直线垂直。
证明：设直线AB和直线CD相交于点O，且直线AB和直线CD在同一个平面P上。
我们需要证明平面P与直线AB、直线CD垂直。
我们可以通过点O分别作直线AE和直线CF，使得直线AE和直线CF 都与直线AB和直线CD垂直。
由于直线AB和直线CD在同一个平面P上，因此直线AE和直线CF也在平面P上。
接下来，我们需要证明直线AE和平面P垂直。
假设直线AE与平面P有交点M，由于直线AE与平面P垂直，因此直线AE与平面P上的所有直线都垂直。
而直线CF在平面P上，所以直线CF与直线AE垂直。
由于直线AE与直线CF垂直，所以直线AE与平面P上的所有直线都垂直。
这与直线AE与平面P的交点M矛盾。
因此，直线AE与平面P垂直。
同理，可以证明直线CF与平面P垂直。
因此，平面P与直线AB、直线CD垂直。
证毕。
三、平行四边形的性质我们来证明平行四边形的性质。
定理：一个四边形是平行四边形的充分必要条件是它的对边平行。
几何定理的证明
几何定理的证明几何学是数学的一个分支，研究空间中的形状、位置、大小关系以及它们的性质和变化规律。
在几何学中，定理是通过严密的逻辑推导得出的结论，用于解决各种几何问题。
在本文中，将对几何学中的一些重要定理进行证明。
一、勾股定理的证明勾股定理是初中数学中最为人所熟知的定理之一，表述如下：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
也可以表示为 a² + b² = c²，其中a、b为两直角边的长度，c为斜边的长度。
证明：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。
根据勾股定理的定义，可以得到以下等式：a² + b² = c²二、圆的面积公式的证明圆是一个非常重要的几何形状，具有许多独特的性质和定理。
其中，圆的面积公式是指圆的面积S与其半径r之间的关系，表达式为S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。
证明：要证明圆的面积公式，我们可以利用数学归纳法。
首先，我们将圆分成许多小的扇形，并将这些扇形分别展开成弧和射线，形成一个近似于矩形的形状。
然后，我们计算这个近似的矩形的面积，并将其与原来圆的面积进行比较。
通过将这个过程重复无限次，我们可以得出结论，即圆的面积公式成立。
三、正方形的对角线长度的证明正方形是一种具有特殊性质的四边形，它的四条边相等且四个角都为直角。
一个重要的定理是正方形的对角线长度相等。
证明：设正方形的边长为a，其中一条对角线为d₁，另一条对角线为d₂。
根据正方形的性质，可以得到以下等式：d₁² = a² + a² = 2a²d₂² = a² + a² = 2a²由于d₁² = d₂²，所以d₁ = d₂。
因此，正方形的对角线长度相等。
四、相似三角形的比例关系的证明在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
初中几何证明的所有公理和定理
初中几何证明的所有公理和定理几何是研究空间形状和大小关系的一门学科，它依赖于一系列公理和定理来构建其理论体系。
下面是初中几何中一些常用的公理和定理，涵盖了线段、角、三角形、四边形和圆等几何概念。
公理1：通过任意两点，可以画一条唯一的直线。
公理2：一条由两点确定的线段可以延长成一条无限长的直线。
公理3：给定一条线段和一点，可以画出与这条线段等长的线段。
公理4：所有直角都相等。
公理5：如果两直线与第三条直线各自交于一个相同的角，则这两条直线是平行的。
公理6：如果两直线分别与第三条直线各自交于两个同位角相等的角，则这两条直线是平行的。
定理1：三角形内两角之和等于180度。
定理2：等腰三角形的两底角相等。
定理3：等边三角形的三个内角均为60度。
定理4：全等三角形的对应的边和对应角均相等。
定理5：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
定理6：三角形的任一边大于另外两边之差，小于另一两边之和。
定理7：三角形两边之和大于第三边。
定理8：平行线上的对应角相等。
定理9：同位角互补。
定理10：同位角相等。
定理11：平行线截断同位线段成比例线段。
定理12：平行线截断角成等角。
定理13：如果两条直线被一条平行线截断，那么所得的内错角相等，同时所得的外错角也相等。
定理14：在一个给定圆上，取一点和另一点之间的每一对弦都是有相同长度的。
定理15：在一个给定圆上，两端在圆上，而与圆上一点相交的弦不等长。
定理16：在一个给定圆上，通过圆心的每一条弦都是直径。
定理17：在一个给定圆上，圆心角的度数是所对的弧所经过的圆心角的度数的两倍。
定理18：四边形的内角和等于360度。
定理19：矩形的两对边相等且两对角为直角。
定理20：平行四边形的对边相等且两对角分别相等。
定理21：菱形的四条边相等，且对角线相互平分。
定理22：四边形两对相对边的和相等。
这仅仅是初中几何中的一小部分公理和定理，通过这些公理和定理，我们可以建立起几何学中的基础知识和理论体系。
几何证明定理(完整版)
几何证明定理几何证明定理第一篇：高中几何证明定理高中几何证明定理一.直线与平面平行的1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.应用:反证法二.平面与平面平行的1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行关键：判定两个平面是否有公共点三.直线与平面平行的1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线四.平面与平面平行的1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行五：直线与平面垂直的1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线六.平面与平面的垂直1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换七.平面与平面垂直的1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!。
想要变-态的这里多的是--欧拉定理欧拉线欧拉公式九点圆定理葛尔刚点费马定理)海伦-公式共角比例定理张角定理帕斯卡定理曼海姆定理卡诺定理芬斯勒-哈德维格不等式外森匹克不等式琴生不等式塞瓦定理梅涅劳斯定理斯坦纳定理托勒密定理分角线定理斯特瓦尔特定理切点弦定理西姆松定理。
第二篇：几何证明定理几何证明定理一.直线与平面平行的1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.应用:反证法二.平面与平面平行的1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行关键：判定两个平面是否有公共点三.直线与平面平行的1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线四.平面与平面平行的1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行五：直线与平面垂直的1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线六.平面与平面的垂直1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换七.平面与平面垂直的1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!!31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边的平方，即a+b=47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、有关系a+b=，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形。
立体几何证明定理归纳
立体几何证明定理归纳
公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
立体几何证明定理归纳
（1）线线平行线面平行
定理内容：
图示：
符号语言：
（2）线面平行线线平行
定理内容：
图示：符号语言：
（3）线面平行面面平行
定理内容：
图示：符号语言：
（4）面面平行线面平行
定理内容：
图示：符号语言：
（5）面面平行线线平行
定理内容：
图示：符号语言：
（6）线线垂直线面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（7）线面垂直线线垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（8）线面垂直面面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（9）面面垂直线面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（10）线面垂直线线平行
定理内容：
图示：符号语言：。
几何证明选讲定理大全
几何证明选讲定理大全几何证明是数学中的一项重要内容，它通过推理和逻辑推导来证明几何定理的正确性。
下面是一些常见的几何定理的证明：1.直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和定理（勾股定理）：设直角三角形的两直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，根据勾股定理可得：c²=a²+b²。
证明如下：画出一个以a和b为直角边的正方形，将其分成两个小正方形和两个矩形。
则大正方形的面积等于a²+b²，而两个小正方形和两个矩形的面积之和等于c²。
因此，c²=a²+b²。
2.等腰三角形底角的平分线也是高的平分线：设ABC为等腰三角形，AB=AC，且BD为底角ABC的平分线，BE为高的平分线。
证明如下：连接AE和BD。
由于BE是高的平分线，所以角BED=90°。
又由于BD 是角ABC的平分线，所以角ABE=角EBC。
因此，三角形ABE和BEC是全等的。
根据全等三边对应定理，可得AE=BE。
因此，BD也是高的平分线。
3.任意角的正弦定理：设三角形ABC的边长分别为a、b、c，角A的对边长度为a，角B的对边长度为b，角C的对边长度为c。
根据正弦定理可得：sinA/a = sinB/b = sinC/c。
证明如下：假设有一个单位圆O，并在圆上取一点D，作OD ⊥ AB。
则AD = b·sinA，BD = b·cosA，OC = b。
连接DC，OC。
根据正弦的定义，可得sinA = AD/OD = AD/OC = b·sinA/b = BD/b。
同理，可得sinB = AD/a，sinC = BD/c。
因此，sinA/a = sinB/b = sinC/c。
4.正方形的对角线相等定理：设ABCD为正方形，对角线AC和BD相交于点O。
证明如下：连接AO和DO。
根据正方形的定义，AB=BC=CD=DA。
初中数学 几何证明题的知识点总结
几何证明题的知识点总结知识点：一、线段垂直平分线（中垂线）性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
MPA BN二、角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，定在这个角的平分线上。
三、相交线、平行线1、对顶角相等2、平行线的判定（1)同位角相等，两直线平行（2)内错角相等，两直线平行（3)同旁内角互补，两直线平行3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行四、三角形 1、等腰三角形（1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线 （2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 2、RT 的性质定理：（1）RT 的两个锐角互余。
（2）在RT 中，斜边上的中线等于斜边的一半。
推论：（1）在RT 中，如果一个锐角等于30度，那么这个角所对的边等于斜边的一半。
（2）在RT 中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。
2、勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方即：c b a222=+3、三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三遍的一半。
4、全等三角形的判定定理（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) （4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等（2）全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相等五、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质定理：（1)平行四边形的对边相等（推论：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等） （2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的两条对角线互相平分（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 判定定理：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．六、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等判定定理：（1）有三个内角是直角的四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形七、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角判定定理：(1)四边都相等的四边形是菱形．(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．八、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形性质：（1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．判定定理：(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)九、（等腰)梯形梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形等腰梯形性质：(1)等腰梯形两腰相等、两底平行．(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等．(3)等腰梯形的对角线相等．等腰梯形判定定理：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
证明几何图形的定理和定律
证明几何图形的定理和定律1.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
2.三角形的两边之和大于第三边。
3.三角形的两边之差小于第三边。
4.等腰三角形的性质：两腰相等，底角相等。
5.等边三角形的性质：三边相等，三角相等。
6.直角三角形的性质：有一个90度的角，斜边大于其他两边。
7.勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
8.四边形的内角和定理：四边形的四个内角之和等于360度。
9.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等。
10.矩形的性质：四个角都是直角，对边平行且相等。
11.菱形的性质：四条边相等，对角相等。
12.正方形的性质：四条边相等，四个角都是直角。
13.梯形的性质：一组对边平行，一组对边不平行。
14.圆的定义：平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
15.圆的性质：圆心到圆上任意一点的距离等于半径。
16.圆的周长公式：C = 2πr，其中C为周长，r为半径。
17.圆的面积公式：A = πr²，其中A为面积，r为半径。
18.弧的性质：圆上任意两点间的部分。
19.弦的性质：圆上任意两点间的线段。
20.圆心角的性质：圆心所对的角等于它所对的弧的两倍。
四、相似图形1.相似图形的定义：形状相同，大小不同的图形。
2.相似图形的性质：对应角相等，对应边成比例。
3.相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。
4.相似四边形的性质：对应角相等，对应边成比例。
五、全等图形1.全等图形的定义：形状和大小都相同的图形。
2.全等图形的性质：对应边相等，对应角相等。
3.全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
4.全等四边形的性质：对应边相等，对应角相等。
六、几何图形的变换1.平移：在平面内，将一个图形上的所有点按照某个方向作相同距离的移动。
2.旋转：在平面内，将一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换。
3.轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
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53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等 54推论夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2矩形的对角线相等 62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形。 第三篇： 初一常用几何证明的定理 初一常用几何证明的定理总结 平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律： （1） x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的纵坐标为正数；x轴下方的点纵 坐标为负数。即第 一、二象限及轴正方向（也称轴正半轴）上的点的纵坐标为正数 ；第 三、四象限及轴负方向（也称轴负半轴）上的点的纵坐标为负数 。 反之，如果点p（a ，b）在x轴上方，则b 0；如果p（a ，b）在x轴下方，则b 0。
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1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么 二.平面与平面平行的 1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么 这两个平面平行 关键： 判定两个平面是否有公共点 三.直线与平面平行的 1.性质： 一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与 该直线平行 应用： 过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直 线 四.平面与平面平行的 1.性质： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行 应用： 通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行 五： 直线与平面垂直的 1.判定定理：
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d 上的一个动点，d为b上的一点，且pb=pd，de⊥a，垂足为e。 （1） 试论证pe与bo的位置关系和大小关系。 （2） 设a=2a , ap=x , 四边形pbde的面积为 , 试写出与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 2 5．如图，梯形abd，ab∥d，ad=d=b，ae、b的延长线相交于点g， e⊥ag于e， f⊥ab于f。 （1） 请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）。 （2） 选择 （1） 中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由。 六、观察——度量——证明 2 6． 用两个全等的等边三角形⊿ab、⊿ad拼成菱形abd。把一个含60o角的 三角尺 与这个菱形叠合，使三角尺的60o角的顶点与点a重合，两边分别 与ab、a重合。将三角尺绕点a按逆时针方向旋转。 （1） 当三角尺的两边分别与菱形的两边b、d相交于点e、f时（如图 1） ，通过观察或测量be、f的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论 。
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九点圆定理 葛尔刚点 费马定理) 海伦-公式 共角比例定理 张角定理 帕斯卡定理 曼海姆定理 卡诺定理 芬斯勒-哈德维格不等式 外森匹克不等式 琴生不等式 塞瓦定理 梅涅劳斯定理 斯坦纳定理 托勒密定理 分角线定理 斯特瓦尔特定理 切点弦定理 西姆松定理。 第二篇： 几何证明定理 几何证明定理 一.直线与平面平行的
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37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边 等于斜边的一半
38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上 41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集 合 42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形 43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线 的垂直平分线 44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线 相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那 么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边的平方 ，即a+b= 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、有关系a+b=，那 么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n边形的内角的和等于×180° 51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等
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??0?12 第五篇： 立体几何证明的向量公式和定理证明 高考数学专题——立体几何 遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法， 平移法等数学方法。注重考查转化与化归的思想。 立体几何证明的向量公式和定理证明 附表2 频道
附送：
几何证明题
几何证明题 第一篇： 几何证明题证明： ∵△an≌△mb；∴∠an=∠mb；又∵∠mn=∠bn=60°, b=n；∴△en≌△fb∠ead=∠eda；df∥a；∠ea=∠b. 3. 如图，△ab中，∠ab=90°，d为ab中点，四边形bed为平行四边形.，d e、a相交于点f.求证： （1） 点f为a中点； （2）试确定四边形ade的形状，并说明理由；
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（2） 当三角尺的两边分别与菱形的两边b、d的延长线相交于点e、f时（如 图
2）， 你在 （1） 中得到的结论还成立吗？简要说明理由。 b e b e图2 ed a f b d a 图1 第二篇： 初一几何证明题 初一《几何》复习题201X--6—29姓名： 一．填空题 1．过一点 2．过一点，有且只有直线与这条直线平行； 3．两条直线相交的，它们的交点叫做；
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如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行 应用： 通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行 五： 直线与平面垂直的 1.判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 应用： 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内 所有的直线 六.平面与平面的垂直 1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线 面垂直证面面垂直的转换 七.平面与平面垂直的 1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行 性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直 3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点 垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内 以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!。 想要变-态的这里多的是-欧拉定理 欧拉线 欧拉公式
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对称点的坐标特征： （1） 关于x轴对称的两点： 横坐标相同，纵坐标互为相反数。如点p（x 1 ， 1） 与q（x 2 ， 2）?x1＝x2 关于x轴对称，则?反之也成立。如p（2 ，－ 3）与q（2 ， 3）关于x轴对称。 ??0?12 （2）关于轴对称的两点： 纵坐标相同，横坐标互为相反数。如点p（x 1 ， 1） 与q（x 2 ， 2）?1＝2 关于轴对称，则?反之也成立。如p（2 ，－ 3）与q（－2 ，－ 3）关于轴对称。 ?x1?x2?0 （3）关于原点对称的两点： 纵坐标、横坐标都互为相反数。如点p（x 1 ， 1） 与q（x 2 ， 2）关?x1+x2?0 于原点对称，则?反之也成立。如p（2 ，－ 3）与q（－2 ， 3）关于原点对称。
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4．直线外一点与直线上各点连接的中，最短；a b 5．如果 6． 如图 1，ab、d相交于o点，oe⊥d，∠1和∠2叫做，∠1和∠3叫做，∠1 和∠4叫做，∠2和∠3叫做；a 7．如图 2，a⊥b，d⊥ab，b点到a的距离是a点到b的距离是，点到ab的距 离是d43 8．如图 3，∠1=110°，∠2=75°，∠3=110°，∠4=；b 二．判断题 1．有一条公共边的两个角是邻补角；（） 2．不相交的两条直线叫做平行线；（） 3．垂直于同一直线的两条直线平行；（） 4．命题都是正确的；（） 5．命题都是由题设和结论两部分组成（） 6． 一个角的邻补角有两个；（） 三．选择题 1．下列命题中是真命题的是（）a、相等的角是对顶角b、如果a ⊥b，a⊥，那 么b⊥、互为补角的两个角一定是邻补角d、如果a∥b，a⊥，那么 b⊥ 下列语句中不是命题的是（）a、过直线ab外一点作ab的平行线f b、任意两个奇数之和是偶数、同旁内角互补，则两直线平行d、两个 角互为
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一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直
应用： 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内 所有的直线 六.平面与平面的垂直 1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线 面垂直证面面垂直的转换 七.平面与平面垂直的 1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行 性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直 3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点 垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内 以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!! 31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等 腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等 35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形 36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
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（2）d： de的值。 四、读句画图，并证明 2 2．已知点e是正方形abd的边d上一点，点f是b的延长线上一点， 且ea⊥af。 求证： de=bf。 2 3．已知在⊿ab中，∠ba=90o，延长ba到点d，使ad= 12 ab，点e、f分别为边b、 a的中点。 （1） 求证： df=be。 （2）过点a作ag∥b，交df于点g，求证： ag=dg。 五、论证题 2 4．如图，在等腰直角⊿ab中，o是斜边a的中点，p是斜边a a o e b