2014届高三一轮数学理复习第4讲函数的解析式及定义域与值域

(2)若函数 y＝2x2＋1kx＋1的定义域为 R，则实数 k 的取 值范围是__________．
(3)已知函数 y＝f(x)的定义域是[0,4]， 则 y＝f(x＋1)＋f(x2－3x)的定义域是______________．
?x2－2x－3≥0
解析：(1)由??x＋2＞0
，
得{x|－2＜x≤－1 或 x≥3}，即为所求． (2)由已知 2x2＋kx＋1≠0 对 x∈R 恒成立， 所以 Δ＝k2－8<0，解得－2 2<k<2 2.
解析：(1)设 f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3k(x＋1)＋3b－2k(x－1)－2b ＝kx＋5k＋b＝2x＋17， 所以 k＝2,5k＋b＝17，所以 b＝7， 故 f(x)＝2x＋7.
(2)(方法一)配凑法 因为 f(3x＋1)＝9x2－6x＋5 ＝(3x＋1)2－6x－1－6x＋5 ＝(3x＋1)2－4(3x＋1)＋8. 所以 f(x)＝x2－4x＋8.
解析：(1)由 f(0)＝1，可设 f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)， 故 f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1) ＝2ax＋a＋b， 由题意得???2aa＋＝b2＝0 ，解得???ab＝＝－1 1 . 故 f(x)＝x2－x＋1. (2)设 t＝ex，则 x＝ln t，有 f(t)＝2ln t－3， 所以 f(x)＝2ln x－3(x＞0)．
(3)因为－2≤x<3，所以－1≤x＋1<4. 由－1≤2x－1<4，得 0≤x<52， 故 f(2x－1)的定义域为[0，52)．
二 函数的解析式
【例 2】(1)已知 f(x)是一次函数，并且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求函数 f(x)的解析式； (2)已知函数 f(x)满足 f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求函数 f(x) 的解析式； (3)已知 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求 f(x)．
A＝{－9，－4，－1，1,4,9,16}，集合 B 中的元素都是 A
中元素在映射 f 下的象，且对于任意的 a∈A，在 B 中和它对应
的元素是 |a|，则集合 B 中元素的个数是( A )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：B＝{4,3,2,1}．
一 函数的定义域
【例 1】(1)函数 y＝ x2－2x－3＋log2(x＋2)的定义域 是__________；
?0≤x＋1≤4
?－1≤x≤3
(3)由??0≤x2－3x≤4 ? ??－1≤x≤0或3≤x≤4
? －1≤x≤0 或 x＝3. 所以函数 y＝f(x＋1)＋f(x2－3x)的定义域
是{x|－1≤x≤0 或 x＝3}．
【拓展演练 1】 (1)(2012·济南一中 10 月)函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定
义域是(
)
A．(－13，＋∞)
B．(－13，1)
C．(－13，13)
D．(－∞，－13)
(2)若函数 f(x)＝ex－1x＋m的定义域为 R，则实数 m 的取值
范围是
；
(3)若 f(x＋1)的定义域为 [－2,3)，则 f(2x－1)的定义域
为
.
?1－x>0 解析：(1)由??3x＋1>0
，得－13<x<1，故选 B.
下面的函数关系中，能表达这种关系的是( C )
A．y＝ 8x－7 B．y＝2x－1 C．y＝32x2－52x＋2 D．y＝5－32x
解析：由表格对应关系知能表达这种关系的函数图象必 须过三点 (1,1)，(2,3)，(3,8)，易验证知只有 y＝32x2－52x＋2 适合．
5．(改编)已知映射 f：A→B，其中集合
第4讲 函数的解析式及定义域与值域
1．设 A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，则 f：A→B 不
是函数的是( A )
A．f：x→y＝12x
B．f：x→y＝13x
C．f：x→y＝14x
D．f：x→y＝16x
解析：因为 x∈A，y＝12x∈[0,3] B. 由函数定义可知，对于 6∈A，在集合 B 中找不到对应 元素，故 f：x→y＝12x 不是函数．
(方法二)换元法 令 3x＋1＝t，则 x＝t－3 1， 所以 f(t)＝9·(t－3 1)2－6·t－3 1＋5 ＝t2－2t＋1－2t＋2＋5 ＝t2－4t＋8. 所以 f(x)＝x2－4x＋8.
(3)直接列方程组求解． 由 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，用－x 代换上式中的 x， 得 2f(－x)＋f(x)＝－3x＋2. 解方程组???22ff??－x?＋x?f＋?－f?xx??＝＝3－x＋3x＋2 2 ， 得 f(x)＝3x＋23.
【拓展演练 2】 (1)(改编)二次函数 f(x)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1， 则 f(x)的解析式为 x2－x＋1 ； (2)已知 f(ex)＝2x－3，则 f(x)的解析式为 2ln x－3(x＞0) . (3)已知 f(x)满足 2f(x)＋f(1x)＝3x，求 f(x)的解析式．
A．f(x)＝x，g(x)＝ x2 B．f(x)＝x2－2x＋4，g(t)＝(t－1)2＋3 C．f(x)＝sin x，g(x)＝cos x·tan x D．f(x)＝2log2x，g(x)＝log2x2
解析：A 中两函数值域不同，C，D 中各自的两对函数 的定义域均不同，故选 B.
4．某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表：
(2)由已知 ex－x＋m≠0 对 x∈R 恒成立，
即 m≠x－ex 对 x∈R 恒成立．
Βιβλιοθήκη Baidu
令 g(x)＝x－ex，则 g′(x)＝1－ex.
由 g′(x)＝0，得 x＝0，
故函数 g(x)在 x＝0 处取得最大值，
即 g(x)≤g(0)＝－1，
所以要使 m≠x－ex 对 x∈R 恒成立，则应有 m>－1.
2．(2012·郑州市第一次质量预测)函数 f(x)＝2lox－g2x1的定义
域为( D )
A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(0,1)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：由 log2x≠0，得 0＜x＜1 或 x＞1，故选 D.
3．(2012·四川省眉山市第一次诊断 )下列各组中两个函数
是同一函数的是( B )