《建筑环境测试技术》第2章 测量误差和数据处理PPT课件
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建筑环境测量2章-60页PPT资料
当n足够大时，第二项等于零。
2019/11/29
30
系统误差的特性（续）
当n足够大时，由于随机误差的抵偿性，其 算术平均值等于零，于是得：
xA1 n
n i1
xi
系统误差的特性：
1、不具备抵偿性； 2、与测量次数无关； 3、取平均值无效；
如果已知A值，就 可以得到系差值
4、研究其规律，发现并消除。
29
2.5 系统误差分析
系统误差的特性
高一等级的测量仪 表，或另一用于比 对的测量仪表
剔除粗差后，测量误差等于随机误差和系统 误差值的代数和：
xi ii xiA
进行n次等精度测量，系差为恒差或缓慢变 化，则有：
1 ni n1xi xA1 ni n1i
x 2 x 2 x 1% 0 x x 0 2 m 1% 0 0 0 0 .8 .0 0 1 1 % 0 1 0 .2 %
x 3 x 3 x 1% 0 x 0 x 3 m 1% 0 0 0 0 .2 .0 0 1 1% 0 5 0 %
2 2
3
1
2
e 22d 0.997
3 2
3
随机误差大于3σ的概率仅为 0.003，可认为是粗差
注意：极限误差 ∆ 用于剔除粗差
2019/11/29
24
贝塞尔公式
上面分析有：
1n lim
n n i1
i2
1n lim n n i1
xiA2
实际中： n不可能，n＞1且有限时，用残差代
替随机误差，用下面公式表示
有限次测量标准差的最佳估计值（贝塞尔公式）：
^
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系统误差的特性（续）
当n足够大时，由于随机误差的抵偿性，其 算术平均值等于零，于是得：
xA1 n
n i1
xi
系统误差的特性：
1、不具备抵偿性； 2、与测量次数无关； 3、取平均值无效；
如果已知A值，就 可以得到系差值
4、研究其规律，发现并消除。
29
2.5 系统误差分析
系统误差的特性
高一等级的测量仪 表，或另一用于比 对的测量仪表
剔除粗差后，测量误差等于随机误差和系统 误差值的代数和：
xi ii xiA
进行n次等精度测量，系差为恒差或缓慢变 化，则有：
1 ni n1xi xA1 ni n1i
x 2 x 2 x 1% 0 x x 0 2 m 1% 0 0 0 0 .8 .0 0 1 1 % 0 1 0 .2 %
x 3 x 3 x 1% 0 x 0 x 3 m 1% 0 0 0 0 .2 .0 0 1 1% 0 5 0 %
2 2
3
1
2
e 22d 0.997
3 2
3
随机误差大于3σ的概率仅为 0.003，可认为是粗差
注意：极限误差 ∆ 用于剔除粗差
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贝塞尔公式
上面分析有：
1n lim
n n i1
i2
1n lim n n i1
xiA2
实际中： n不可能，n＞1且有限时，用残差代
替随机误差，用下面公式表示
有限次测量标准差的最佳估计值（贝塞尔公式）：
^
测量误差和数据处理
δ
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σ =1 σ =2
③σ 愈小，正态分布曲线愈尖锐，σ 愈 大，正态分布曲线愈平缓。说明σ 反映 了测量的精密度。
1．数学期望 对被测量 x 进行等精度 n 次测量，得到 n 个测量值 x1 ， x2 ， x3 ， … ， xn 。则 n 个 测得值的算术平均值为：
x
1 n
x
i 1
n
i
当测量次数 n 时，样本平均值的 极限定义为测得值的数学期望。
1 E x lim n xi n i 1
1为定值系差，2 为线性系统 误差，3为周期系统误差，4 为按复杂规律变化的系统误 差。
系统误差示意图
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二、随机误差
当对某一物理量进行多次重复测量时，若误差出现的 大小和符号均以不可预知的方式变化，则该误差为随机误 差(random error)。随机误差产生的原因比较复杂，虽然
lim
n
1 n
2 i i 1
n
σ反映了测量的精密度，σ小表示精密度 高，测得值集中，σ大，表示精密度底， 测得值分散。
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二．随机误差的正态分布分析
1．正态分布
随机误差
f ( )
1
2
标准误差
e
2 2 2
f(δ )
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f ( )d p( a b )
f ( )d p( ) 1
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f ( )d p( ) 68.3%
f(δ )
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2.1 测量误差
1.误差(术语、名词）
1）真值A0
一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真 值。
2）指定值As
一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准 (或基准)，以法令的 形式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。
3）实际值A
国家通过一系列的各级实物计量标准构成量值传递网，把国家基准所 体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去。在每一级 的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为 实际值，也叫作相对真值。
人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、视觉 疲劳、固有习惯等而对测量实验中的现象与结果判断 不准确而造成的误差 。
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3．影响误差
影响误差是指各种环境因素与要求条件不一致而 造成的误差。
4．方法误差
方法误差是所使用的测量方法不当，或对测量设 备操作使用不当，或测量所依据的理论不严格，或对 测量计算公式不适当简化等原因而造成的误差，方法 误差也称作理论误差。
当测量次数
时，样本平均值的
极限定义为测得值的数学期望。
当测量次数
时，测量值
的数学期望等于被测量的真值。
•分析：
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根据随机误差的抵偿特性，当
时
=0，即
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•所以，当测量次数
时，测量
值的数学期望等于被测量的真值。
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4）标称值 测量器具上标定的数值称为标称值。
5）示值 由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示 值，也称测量器具的测得值或测量值，它包括数 值和单位。
第二章 测量误差和测量结果处理.ppt
实质上是相对误差的另一种表示形式，即是
测
用对数形式表示的一种误差，单位为分贝（
量
dB）。
误
xdB AdB dB
差 和
x xdB 20lg( A x) 20lg A(1 )
测
A
量
20lg A 20lg(1 x)
结
A
果
20lg A 20lg(1 A)
处
dB 20lg(1 A) 20lg(1 x)
和
大绝对误差Δxm与该量程的满刻度值（该量程的上限值
测
与下限值之差）Xm之比来表示的相对误差 。
量 结
m
x xm
100%
果
由上式可知，通过满度误差实际上给出了仪表各量程内
处
绝对误差的最大值。
理
第 二 章
最大引用相对误差
测
量 误
mm
xmax xm
100%
差
电工仪表就是按引用误差γmm之值进行分级的。我
和 测
2)实际相对误差
量 结
真值是不能确切得到的，通常用实际值A代替真值来 表示相对误差
果 处
A
x A
100 %
理
第
二
章
3)示值相对误差
误差较小、要求不太严格的场合，也可以用测量值x代
测 量
替实际值A
x
x 100% x
误 差
4）满度相对误差（引用相对误差） 实际中，也常用测量仪器在一个量程范围内出现的最
误
格？
差 和
解：mm xm 100% 1.4 100% 1.4%( 1.5%)
xm
100
测
量
所以：该电流表合格。
建筑环境测试技术
2、转换和处理部分 根据感受部分和显示部分的需要，将感受元件 输出的信号转换成显示部分易于接收的信号。 对不同的测量系统，转换和处理一般有两种形 式： （1）非电量的转换：弹簧管压力计的测量。 （2）电量的转换与处理：热电阻配动圈仪表测 量温度。
计算机测量系统框图
如电阻器电阻温度系数的测量，已知电阻器阻 值Rt与温度t满足关系
Rt R20 (t 20) (t 20)2
可通过联立方程组求解温度系数。
2、按测量方式分类
1）偏差式测量法
在测量过程中，用仪器仪表指针的位移（偏差） 表示被测量大小的方法，称为偏差式测量法。由于 是从仪表刻度上直接读取被测量，包括大小和单位， 因此这种方法也叫直读法。
实验研究历来是科学研究的重要手段之一，也 是一种最基本的研究手段，即使在计算机仿真计 算盛行的今天仍不失其重要性。实验研究必然离 不开对被研究对象特性参数的测量。
在科学技术领域，许多新的发现和发明往往是 以测量技术的发展为基础；在生产活动中，新的 工艺和设备的产生也依赖于测量技术的发展水平； 可靠的测量技术对于生产过程自动化、设备的安 全及经济运行都是必不可少的先决条件。
一般来说，为了测量某一被测量的值，根据 测量的精度要求，将若干测量设备（包括测量仪 表、装置、元件及辅助设备等）按照一定的方式 连接起来，这种连接组合即构成了一种测量系统。
测量系统都是为一定的测量目的与要求而设 计的。因此，测量的目的与要求不同，所使用的 仪表也会有悬殊的差别。
就测量过程中测量系统各部分不同的作用看， 一般测量系统都可由四个部分组成。
第二节 测量仪表
一、测量仪表的类型 二、测量仪表的组成 三、测量仪表的主要性能指标
第二节 测量仪表
一、测量仪表的类型 1、模拟式测量仪表 对连续变化的被测物理量（模拟量）直接进行 连续测量、显示或记录的仪表。 2、数字式仪表 将被测的模拟量首先转化成数字量再对数字量 进行测量的仪表。
误差分析与数据处理ppt课件.ppt
（4）缓变误差： 是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它是由零部件的
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
建筑环境测试技术
vi2
三．有限次测量下测量结果表达式
步骤：
1）列出测量数据表；
2）计算算术平均值 x
3）计算
ˆ
和
ˆ ； x
、 vi
、
v
2 i
；
4）给出最终测量结果表达式：
x 3ˆ 置信概率0.9973 x
x 2ˆ 置信概率0.9545 x
x ˆ
置信概率0.6827
x
第三节 系统误差分析
一、分类： • 恒定系统误差
①正确度—说明测量值与真值之间的接近 程度，反映系统误差大小的程度。
②精密度—说明测量值的分散性，反映随 机误差大小的程度。
③准确度—反映系统误差和随机误差合成 大小的程度。
对于测量者来说，正确度高的精密度不一 定高，反之亦然。但准确度高的正确度和 精密度都高。
三．测量仪表的主要性能指标
1．量程范围： 仪表能够测量的最大输入量与最 小输入量之间的范围称作仪表的量程范围。
断调整标准量的大小，
当指零器为0时，即
可根据标准量的大小
得到被测量的大小。
3．微差法：偏差法与零位法相结合即构成 微差法。通过测量被测量与标准量之差 来得到待测量的值。
除了以上分类方法 以外，还可分为精 密测量与工程测量、 等精度测量与不等 精度测量、本地测 量与远地测量等。
三．测量方法的选择原则 ①被测量本身的特性； ②被测量的准确度； ③测量环境； ④现有测量设备。 在此基础上选择合适的测量仪表和正确的
3．组合测量：被测量不能通过直接测量或 间接测量得到，而必须通过直接测量的 测得值或间接测量的测得值建立联立方 程组，通过求解联立方程组的办法才能 得到最后结果。
公式：
f1 ( y1, y2 ym , x11, x21 xn1 ) 0
建筑环境测试技术之2测量误差和数据处理PPT课件
（2）观测者抄写记录时错写了数据造成的误 差。
（3）在流量测量中，流体温度、压力偏离设 计值造成的流量误差。
几种误差同时存在时的处理原则
• 系统误差远大于随机误差的影响，此时可 基本上按纯粹系差处理，而忽略随机误差。
• 系差极小或已得到修正，此时基本上可按 纯粹随机误差处理。
• 系差和随机误差相差不远，两者均不可忽 略，此时应分别按不同的办法来处理，然 后估计其最终的综合影响。
绝对误差是处处相等的。
• 在使用仪表测量时，应选择适当的量程， 使示值尽可能接近于满度值，指针最好能 偏转在不小于满度值2/3以上的区域。
x
xm
| xm |
| xm |
仪表各量程内绝对误差的
最大值 xm m xm 0
xA
Am
A
国外仪表准确度表示方法
准确度= ±（a% RDG + b %FS） • RDG：READING 示值 • FS：FULL SCALE 满度 • 例如 某温度表的准确度为：
100%
• 测量仪器量程内的最大绝对误差 • 与仪器满度值（量程上限值）的百分比 • 给出仪表量程内绝对误差的最大值
我国大部分仪表按照满度误差分级，依次划分 为 7个等级 • 0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5、5.0级。
等级
• 满度误差去掉百分号 • 满度误差不超过0.5 % ，它的准确度为0.5级 • 即︱γm ︱≦0.5 • 通常也可写作± γ m =0.5%
xm
100
所以：该电流表合格。
例2：
某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为400mA和 1.5级量程为100mA的两个电流表，问用哪一个电流表测 量较好？
解：用400mA、 0.5级电流表，可求得测量的最大误差和相对误差
（3）在流量测量中，流体温度、压力偏离设 计值造成的流量误差。
几种误差同时存在时的处理原则
• 系统误差远大于随机误差的影响，此时可 基本上按纯粹系差处理，而忽略随机误差。
• 系差极小或已得到修正，此时基本上可按 纯粹随机误差处理。
• 系差和随机误差相差不远，两者均不可忽 略，此时应分别按不同的办法来处理，然 后估计其最终的综合影响。
绝对误差是处处相等的。
• 在使用仪表测量时，应选择适当的量程， 使示值尽可能接近于满度值，指针最好能 偏转在不小于满度值2/3以上的区域。
x
xm
| xm |
| xm |
仪表各量程内绝对误差的
最大值 xm m xm 0
xA
Am
A
国外仪表准确度表示方法
准确度= ±（a% RDG + b %FS） • RDG：READING 示值 • FS：FULL SCALE 满度 • 例如 某温度表的准确度为：
100%
• 测量仪器量程内的最大绝对误差 • 与仪器满度值（量程上限值）的百分比 • 给出仪表量程内绝对误差的最大值
我国大部分仪表按照满度误差分级，依次划分 为 7个等级 • 0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5、5.0级。
等级
• 满度误差去掉百分号 • 满度误差不超过0.5 % ，它的准确度为0.5级 • 即︱γm ︱≦0.5 • 通常也可写作± γ m =0.5%
xm
100
所以：该电流表合格。
例2：
某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为400mA和 1.5级量程为100mA的两个电流表，问用哪一个电流表测 量较好？
解：用400mA、 0.5级电流表，可求得测量的最大误差和相对误差
大连大学建筑环境测试技术第二章测量误差和数据处理(2)
大连大学建筑工程学院
第三章 温度测量
3.1 温度测量概述 一、温度与温标
（一）温度测量的概念
测温依据： 热平衡
20
大连大学建筑工程学院
如果事先已知一个物体的某些性质或状态随温度变 化的确定关系，就可以用温度来量度其性质或状态的 变化情况，这是设计与制作温度计的数学物理基础。
21
大连大学建筑工程学院
当n→∞时,随机误差落在（±2σ）范围内的概率为 95.4%。随机误差落在（±3σ）范围内的概率为99.7%。见
教材P29。
10
大连大学建筑工程学院
分析可知：当n→∞时,随机 误差落在±3σ区间外的可能性 非常小，概率仅为0.3% 。
故定义极限误差Δ为:
3 （2.4.20）
-2σ -3σ
( )
1
e
2 2 2
2
（2.4.14）
7
大连大学建筑工程学院
测量随机误差值的概率密度
( )
正态分布曲线如图2.4.2。
其中标准偏差σ为：
lim
n
1 n
n
i 1
2 i
-σ
σ
δi=0
标准偏差
图2.4.2 δ i的正态分布曲线
σ不同时哪一个测得值集中，精密度较高？
基本步骤
例2.8.2.P51
16
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本章小结
2.1 测量误差 2.2 测量误差的来源 2.3 误差的分类 2.4 随机误差分析 2.8 测量数据处理 一、绝对误差、相对误差、 精度等级的概念及计算。
x A 100 00
m
x xm
大连大学建筑环境测试技术第二章测量误差和数据处理
多次测得值的算术平均值常称为最佳估计值、最可信 赖值。
2.剩余误差
当进行有限次测量时，定义测得值与算术平均值之差为剩余
误差（残差）：
_
vix ix
实际测量情况
（2.4.7）
比较：当测量次数n→∞时，测得值与实际值之差称为随机误 差：
i xi A
对（2.4.7）式两边求和：
对（2.4.7）式：
_
vix i 两x 边求和得：
P29式（2.4.19）
即：当n → ∞时,测量值x 落在 （EX± 1σ）范围内的概
率为68.3%。
或：在有限次的测定中,可以有68.3%的把握说, 在
（Ex±1σ）区间内包含真值。
或：在置信区间 （Ex±1σ）内，能以68.3%的概 率将最佳估值Ex包含在内。
同理当n → ∞时,随机误差落在（±2σ）范围内的概率
n11i n1vi2
（2.4.21）
4. 算术平均值的标准偏差(P31) 在等精度的测量中：进行 m组×n次的测量。 则每一组测量值都有一个算术平均值 ， 就x _ 会组成平 均值列，即算术平均值也会有随机误差。
定义算术平均值的标准偏差为：
P32
x
n
同样定义算术平均值的极限误差为：
3
x
x
因此，测量结果可以表示：
能接近满刻度值（仪表上限，一般以指示值处于满度值的2/3 处为宜。 2.在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。
由满度相对误差定义
m
x xm 10000
给出了仪表的精度等级 S 。
（2.1.8）
仪表精度等级定义为引用误差去掉“±”号和“ % ”号。
我国仪表精度等级依次划分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、 2.0、等。(必须牢记！！！)
2.剩余误差
当进行有限次测量时，定义测得值与算术平均值之差为剩余
误差（残差）：
_
vix ix
实际测量情况
（2.4.7）
比较：当测量次数n→∞时，测得值与实际值之差称为随机误 差：
i xi A
对（2.4.7）式两边求和：
对（2.4.7）式：
_
vix i 两x 边求和得：
P29式（2.4.19）
即：当n → ∞时,测量值x 落在 （EX± 1σ）范围内的概
率为68.3%。
或：在有限次的测定中,可以有68.3%的把握说, 在
（Ex±1σ）区间内包含真值。
或：在置信区间 （Ex±1σ）内，能以68.3%的概 率将最佳估值Ex包含在内。
同理当n → ∞时,随机误差落在（±2σ）范围内的概率
n11i n1vi2
（2.4.21）
4. 算术平均值的标准偏差(P31) 在等精度的测量中：进行 m组×n次的测量。 则每一组测量值都有一个算术平均值 ， 就x _ 会组成平 均值列，即算术平均值也会有随机误差。
定义算术平均值的标准偏差为：
P32
x
n
同样定义算术平均值的极限误差为：
3
x
x
因此，测量结果可以表示：
能接近满刻度值（仪表上限，一般以指示值处于满度值的2/3 处为宜。 2.在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。
由满度相对误差定义
m
x xm 10000
给出了仪表的精度等级 S 。
（2.1.8）
仪表精度等级定义为引用误差去掉“±”号和“ % ”号。
我国仪表精度等级依次划分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、 2.0、等。(必须牢记！！！)
建筑环境测试技术第二章 测量误差和数据处理
2）计算算术平均值 x
3）计算 ˆ 和 ˆ x ；
、vi
、
v
2 i
；
4）给出最终测量结果表达式：
x3ˆ 置信概率0.9973 x
x 2ˆ 置信概率0.9545 x
xˆ 置信概率0.6827 x
第三节 系统误差分析
一、分类：
恒定系统误差
x
变化系统误差
A
恒定系统误差
累进系统误差
x A
N(t) x A
例7：温度表量程为100℃，精度等级1
级，t1=65℃，t2=60℃，计算温差的相 对误差。
解1： tm10 1% 01℃
t1
1 1.5% 65
t2
1 1.7% 60
t656 560t1656 060t239.9%t656560t1656060t239.9%
解2：t
tm1 tm21 t1t2
差为：
k
l
l
2 i
i1
当随机误差服从正态分布时，对应的极 限误差。
li 3i
2、系统误差的合成
（1）确定的系统误差的合成
又称已定系统误差，是指测量误差的大 小、方向和变化规律是可以掌握的。只 要是已定的系统误差，都应当用代数的 方法计算其合成误差。
表达式：
m
12m i
i1
由于所得结果是明确大小和方向的数值，
难点重点
❖ 正态分布的标准差、近似标准差（贝塞 尔公式）
❖ 直接测量的数学表达式 ❖ 误差的合成 ❖ 间接测量误差的传递
第一节 测量误差的来源
❖ 1．仪器误差 ❖ 2．人员误差 ❖ 3．环境误差 ❖ 4．方法误差
只有随机误差
x A
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数学期望等于被测量的真值。
分析： i xi A
n
n
i xi nA
i 1
i 1
n
n
i xi nA
i 1
i 1
根据随机误差的抵偿特性，当 n 时
n
i =0，即
i 1
n
n
xi
nA
A
1 n
xi
i 1
i 1
n
nA 1
所以，当测量次数 n 时，测
第二章 测量误差和数据处理
第一节 测量误差的来源 第二节 随机误差分析 第三节 系统误差分析 第四节 误差的合成、间接测量的误差
传递与分配 第五节 测量数据的处理
难点重点
❖ 正态分布的标准差、近似标准差（贝塞 尔公式）
❖ 直接测量的数学表达式 ❖ 误差的合成 ❖ 间接测量误差的传递
第一节 测量误差的来源
f()
问题
测量总是存在误差，而且误差究竟 等于多少难以确定，那么，从测量 值如何得到真实值呢？
例如，测量室温，6次测量结果分别为 19.2℃,19.3℃,19.0℃,19.0℃,22.3℃, 19.5℃,那么室温究竟是多少呢？
x=A±，置信概率为p
x的真值落在[A-， A+]区间内的概率为p。
A和如何确定呢？
、 vi2；
4）给出最终测量结果表达式：
x 3ˆ 置信概率0.9973 x
x 2ˆ 置信概率0.9545 x
x ˆ
置信概率0.6827
x
第三节 系统误差分析
一、分类：
恒定系统误差
x
变化系统误差
A
恒定系统误差
累进系统误差
x A
N(t) x A
N(t)
N(t)
周期性系统误差
二、系统误差的判断
抵偿性 当测量次数n→∞时，误差总和
为零
有界性 误差落[-3, 3]的概率为
0.9973 3也称为极限误差或者误差限
3．贝塞尔公式
标准差（标准误差，均方根误差）：
n
lim
1 n
2 i
n i1
❖ 采用残差代替随机误差 ❖ 有限次测量标准误差的最佳估计值
（近似标准误差）
ˆ
n
1 1
n i 1
vi2
一．测量值的数学期望和标准差
1．数学期望 对被测量x进行等精度n次测量，得到n 个测量值x1，x2，x3，…，xn。则n个 测得值的算术平均值为：
n
x
1 n
xi
i 1
当测量次数 n 时，样本平均值的
极限定义为测得值的数学期望。
lim E x
1 n
n
xi
n
i 1
? ❖当测量次数 n 时，测量值的
1．仪器误差 2．人员误差 3．环境误差 4．方法误差
只有随机误差
x A
x A
恒定系统误差
累进系统误差
x A
N(t)
N(t)
x
A
N(t)
N(t)
周期性系统误差
第二节 随机误差分析
就单次测量而言，随机误差没有规律， 但当测量次数足够多时，则服从正态分 布规律，随机误差的特点为对称性、有 界性、单峰性、抵偿性。
二．随机误差的正态分布分析
1．正态分布
高斯于1809年推导出描述随机误差统 计特性的解析方程式，称高斯分布规律。
f ( )
1
2
e 2 2
2
随机误差
f(δ)
标准误差
δ
曲线下面的面积对应误差在不同区间 出现的概率。
f(δ)
例如：
f ( )d p( ) f bb
ba a
f(()d)df ()dpp((a
贝塞尔公式
算术平均值的标准差
m
m ( x j ), j1
x
x
n
平均值标准误差的最佳估计值
（近似平均值标准误差）
ˆˆxx
ˆˆ /
n
n
(n
1(1n)n11i)n1nvii2n1
vi2
三．有限次测量下测量结果表达式
步骤：
1）列出测量数据表；
2）计算算术平均值 x
3）计算
ˆ
和
ˆ ； x
、 vi
ii i111
所以可得剩余误差得代数和为0。
3. 方差
lim lim 2
n
1 n
n i 1
(xi
Ex )2
n
1 n
n
2 i
i1
4．标准差（标准误差，均方根误差） 对方差开平方。
n
lim
1 n
2 i
n i1
σ反映了测量的精密度，σ小表示精密 度高，测得值集中，σ大，表示精密度 底，测得值分散。
量值的数学期望等于被测量的真值。
2．剩余误差（残差）
当进行有限次测量时，测得值与算术平 均值之差。
数学表达式： vi xi x
对上式两边求和得：
nn n
nn n
nn n
nn n
vvii i
xxii innxx
xxii inn11nn
1 n
xxii i00
ii i111
ii i111
ii i111
1．理论分析法，可通过对测量方法的定 性分析发现测量方法或测量原理引入的 系统误差。
2．校准和比对法：测量仪器定期进行校 准或检定并在检定书中给出修正值。
3．改变测量条件法：根据在不同的测量 条件下测得的数据进行比较，可能发现 系统误差。
4．剩余误差观察法：根据测量数据列剩 余误差的大小及符号变化规律可判断有 无系统误差及误差类型，这种方法不能 发现定值系统误差。
pa(b)b
)
)
δ68.3%
a
a
b
f ( )d p( ) 1
f ( )d p( ) 68.3%
f(δ)
δ 从正态分布曲线可看出： ①δ绝对值越小，f ( ) 愈大，说明绝对
值小的误差出现的概率大。 ②大小相等符号相反的误差出现的概率
相等。
σ =1
σ =2
③σ愈小，正态分布曲线愈尖锐，σ愈 大，正态分布曲线愈平缓。说明σ反映 了测量的精密度。
四．削弱系统误差的方法
1．零示法:
2．替代法（置换法）：在测量条件不变 的情况下，用一标准已知量替代待测量， 通过调整标准量使仪器示值不变，于是 标准量的值等于被测量。
2．极限误差Δ 3
3
f ( )d p(3 3 ) 99.7%
3
从上式可见，随机误差绝对值大于3σ 的概率很小，只有0.3%，出现的可能性 很小。因此定义：
3
随机误差的特点
单峰性 误差绝对值越小，出现密度越
大，误差绝对值越大，出现密度越小
对称性 绝对值相同，符号相反的误差
出现的概率相等
三．消除系统误差产生的根源
要减少系统误差要注意以下几个方面。
1．采用的测量方法及原理正确。 2．选用的仪器仪表的类型正确，准确
度满足要求。
3．测量仪器应定期校准、检定，测量 前要调零，应按照操作规程正确使用仪 器。对于精密测量必要时要采取稳压、 恒温、电磁屏蔽等措施。
4．条件许可，尽量采用数显仪器。 5．提高操作人员的操作水平及技能。
分析： i xi A
n
n
i xi nA
i 1
i 1
n
n
i xi nA
i 1
i 1
根据随机误差的抵偿特性，当 n 时
n
i =0，即
i 1
n
n
xi
nA
A
1 n
xi
i 1
i 1
n
nA 1
所以，当测量次数 n 时，测
第二章 测量误差和数据处理
第一节 测量误差的来源 第二节 随机误差分析 第三节 系统误差分析 第四节 误差的合成、间接测量的误差
传递与分配 第五节 测量数据的处理
难点重点
❖ 正态分布的标准差、近似标准差（贝塞 尔公式）
❖ 直接测量的数学表达式 ❖ 误差的合成 ❖ 间接测量误差的传递
第一节 测量误差的来源
f()
问题
测量总是存在误差，而且误差究竟 等于多少难以确定，那么，从测量 值如何得到真实值呢？
例如，测量室温，6次测量结果分别为 19.2℃,19.3℃,19.0℃,19.0℃,22.3℃, 19.5℃,那么室温究竟是多少呢？
x=A±，置信概率为p
x的真值落在[A-， A+]区间内的概率为p。
A和如何确定呢？
、 vi2；
4）给出最终测量结果表达式：
x 3ˆ 置信概率0.9973 x
x 2ˆ 置信概率0.9545 x
x ˆ
置信概率0.6827
x
第三节 系统误差分析
一、分类：
恒定系统误差
x
变化系统误差
A
恒定系统误差
累进系统误差
x A
N(t) x A
N(t)
N(t)
周期性系统误差
二、系统误差的判断
抵偿性 当测量次数n→∞时，误差总和
为零
有界性 误差落[-3, 3]的概率为
0.9973 3也称为极限误差或者误差限
3．贝塞尔公式
标准差（标准误差，均方根误差）：
n
lim
1 n
2 i
n i1
❖ 采用残差代替随机误差 ❖ 有限次测量标准误差的最佳估计值
（近似标准误差）
ˆ
n
1 1
n i 1
vi2
一．测量值的数学期望和标准差
1．数学期望 对被测量x进行等精度n次测量，得到n 个测量值x1，x2，x3，…，xn。则n个 测得值的算术平均值为：
n
x
1 n
xi
i 1
当测量次数 n 时，样本平均值的
极限定义为测得值的数学期望。
lim E x
1 n
n
xi
n
i 1
? ❖当测量次数 n 时，测量值的
1．仪器误差 2．人员误差 3．环境误差 4．方法误差
只有随机误差
x A
x A
恒定系统误差
累进系统误差
x A
N(t)
N(t)
x
A
N(t)
N(t)
周期性系统误差
第二节 随机误差分析
就单次测量而言，随机误差没有规律， 但当测量次数足够多时，则服从正态分 布规律，随机误差的特点为对称性、有 界性、单峰性、抵偿性。
二．随机误差的正态分布分析
1．正态分布
高斯于1809年推导出描述随机误差统 计特性的解析方程式，称高斯分布规律。
f ( )
1
2
e 2 2
2
随机误差
f(δ)
标准误差
δ
曲线下面的面积对应误差在不同区间 出现的概率。
f(δ)
例如：
f ( )d p( ) f bb
ba a
f(()d)df ()dpp((a
贝塞尔公式
算术平均值的标准差
m
m ( x j ), j1
x
x
n
平均值标准误差的最佳估计值
（近似平均值标准误差）
ˆˆxx
ˆˆ /
n
n
(n
1(1n)n11i)n1nvii2n1
vi2
三．有限次测量下测量结果表达式
步骤：
1）列出测量数据表；
2）计算算术平均值 x
3）计算
ˆ
和
ˆ ； x
、 vi
ii i111
所以可得剩余误差得代数和为0。
3. 方差
lim lim 2
n
1 n
n i 1
(xi
Ex )2
n
1 n
n
2 i
i1
4．标准差（标准误差，均方根误差） 对方差开平方。
n
lim
1 n
2 i
n i1
σ反映了测量的精密度，σ小表示精密 度高，测得值集中，σ大，表示精密度 底，测得值分散。
量值的数学期望等于被测量的真值。
2．剩余误差（残差）
当进行有限次测量时，测得值与算术平 均值之差。
数学表达式： vi xi x
对上式两边求和得：
nn n
nn n
nn n
nn n
vvii i
xxii innxx
xxii inn11nn
1 n
xxii i00
ii i111
ii i111
ii i111
1．理论分析法，可通过对测量方法的定 性分析发现测量方法或测量原理引入的 系统误差。
2．校准和比对法：测量仪器定期进行校 准或检定并在检定书中给出修正值。
3．改变测量条件法：根据在不同的测量 条件下测得的数据进行比较，可能发现 系统误差。
4．剩余误差观察法：根据测量数据列剩 余误差的大小及符号变化规律可判断有 无系统误差及误差类型，这种方法不能 发现定值系统误差。
pa(b)b
)
)
δ68.3%
a
a
b
f ( )d p( ) 1
f ( )d p( ) 68.3%
f(δ)
δ 从正态分布曲线可看出： ①δ绝对值越小，f ( ) 愈大，说明绝对
值小的误差出现的概率大。 ②大小相等符号相反的误差出现的概率
相等。
σ =1
σ =2
③σ愈小，正态分布曲线愈尖锐，σ愈 大，正态分布曲线愈平缓。说明σ反映 了测量的精密度。
四．削弱系统误差的方法
1．零示法:
2．替代法（置换法）：在测量条件不变 的情况下，用一标准已知量替代待测量， 通过调整标准量使仪器示值不变，于是 标准量的值等于被测量。
2．极限误差Δ 3
3
f ( )d p(3 3 ) 99.7%
3
从上式可见，随机误差绝对值大于3σ 的概率很小，只有0.3%，出现的可能性 很小。因此定义：
3
随机误差的特点
单峰性 误差绝对值越小，出现密度越
大，误差绝对值越大，出现密度越小
对称性 绝对值相同，符号相反的误差
出现的概率相等
三．消除系统误差产生的根源
要减少系统误差要注意以下几个方面。
1．采用的测量方法及原理正确。 2．选用的仪器仪表的类型正确，准确
度满足要求。
3．测量仪器应定期校准、检定，测量 前要调零，应按照操作规程正确使用仪 器。对于精密测量必要时要采取稳压、 恒温、电磁屏蔽等措施。
4．条件许可，尽量采用数显仪器。 5．提高操作人员的操作水平及技能。