工程数学(07)矩阵的正交分解共51页文档
第五章 矩阵分解64页PPT文档
(1)首先解线性方程组 LyPb，可得 y L1Pb .
(2) 接着计算原方程组的解x U1y，即 求解方程组 Ux y 。
例 5.1.5 例 5.1.6 例 5.1.7
定理5.2.1 设 zCn是单位列向量，则对
C n 中的任意向量x，都存在Householder矩
阵使得
Hxz，其中
x
，且
2
x H z为实
数。
例 5.2.1 例 5.2.2
5.2.2 矩阵的QR分解
下面我们探讨如何利用Householder变 换将矩阵化为上三角矩阵。我们以n=3的 情形开始讨论 .
即 xˆ a1是 Axr1的精确解，从而达到改进 解的目的。当然很可能还存在误差，得到
的是 aˆ 1 ，而不是 a 1 。此时设r 2b A x ˆ a ˆ1，
解线性方程组 Axr2，得到 aˆ 2 ，将 Axb的 解改进为 xˆaˆ1aˆ2 。
如此继续下去，可以证明，只要cond（A） 不是太大，序列 x ˆ,x ˆa ˆ1,x ˆa ˆ1a ˆ2, 最终会收 敛到 Axb 的解，通常只需迭代几步就可 以得到很精确的解。
3
2
此时
l1 v1 w1
H1A 0 v2 w2
0
v3
w3
接下来可构造H使得
H
v v
2 3
l2 0
其中
l2
v v
2 3
令
H2
正交分解应用例题及练习
正交分解应用例题及练习什么是正交分解？正交分解是一种数学方法，用于将一个向量空间分解为一组正交基向量的线性组合。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括线性代数、信号处理和图像处理等。
正交分解的应用例题例题1：向量投影我们有一个向量v，它的值为[3, 4]。
现在我们想要找出这个向量在正交基向量上的投影。
我们选择两个正交向量u1 = [1, 0]和u2 = [0, 1]作为正交基向量。
现在我们可以使用正交分解的方法找到向量v在这两个正交基向量上的投影：根据正交分解公式，我们可以将向量v表示为：v = proj(u1, v) + proj(u2, v)其中，proj(u, v)表示向量v在向量u上的投影。
具体计算如下：proj(u1, v) = (dot(u1, v) / dot(u1, u1)) * u1proj(u2, v) = (dot(u2, v) / dot(u2, u2)) * u2要计算dot(u, v)，可以使用点积的公式：dot(u, v) = u · v = u1 *v1 + u2 * v2在本例中，计算结果如下：dot(u1, v) = 3 * 1 + 4 * 0 = 3dot(u2, v) = 3 * 0 + 4 * 1 = 4dot(u1, u1) = 1 * 1 + 0 * 0 = 1dot(u2, u2) = 0 * 0 + 1 * 1 = 1根据上述计算结果，我们可以计算向量v在u1和u2上的投影：proj(u1, v) = (3 / 1) * [1, 0] = [3, 0]proj(u2, v) = (4 / 1) * [0, 1] = [0, 4]将投影结果相加，得到v在正交基向量上的投影：v = [3, 0] + [0, 4] = [3, 4]因此，向量v在正交基向量u1和u2上的投影为[3, 4]。
例题2：信号处理正交分解在信号处理领域也有广泛的应用。
例如，我们可以使用离散余弦变换(DCT)来对音频信号进行正交分解。
第四章 矩阵分解
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在 CrrR , 使得B B1 , C 1C1 (2)C H (CC H )1 (BH B)1 BH C1H (C1C1H )1 (B1H B1 )1 B1H
4.2 矩阵的正交分解 （UR、QR分解）
证明：
AAH 是正规矩阵，所以存在酉矩阵使得
H U H AAH U 0
0 0
U U1 U2
U1 U mr
U2 U m( mr )
0 0
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
U1H H H H AA U1 U 2 0 U 2
则称 i
i (i 1,2,, n) 为 A 的奇异值．
本书中只考虑i=1,3,…,r时非零奇异值
1 0 3 2 5 17 H A 1 1 例如，对于 ，A A 2 2 的特征值是 1 2 ， 1 1
A UR
U U rmr
R 是 r 阶正线上三角阵
推论2.2：设 A Crrn ， 则 A 可以唯一的分解为
A LU
U U rrn
L 是 r 阶正线下三角阵
mn A C 推论2.3：设 ， 则 A 可以分解为 r A U1R1L2U 2 R1 是 r 阶正线上三角阵 U1 Urmr L2 是 r 阶正线上三角阵 U U rn
nn 定理2.1：设 A Cn ， 则 A 可以唯一的分解为
A UR
A RU 1 1
nn
R 是正线上三角阵
U , U1 U
证明：
R1 是正线下三角阵
正交分解法课件
01
02
03
选取正交基
选择一组正交基，用于表 示目标向量。
展开目标向量
将目标向量展开为正交基 的线性组合，即每个基底 与对应系数的乘积之和。
求解系数
通过点积运算求解展开式 中的系数，使得目标向量 与正交基之间的点积相等 。
正交分解法的优势与局限性
优势
正交分解法能够将复杂的向量运算转化为简单的代数运算，方便计算。同时， 正交基的选择具有多样性，可以根据具体问题选择合适的基底。
多目标正交分解法
总结词
多目标正交分解法是一种解决多目标优化问 题的有效方法。
详细描述
多目标正交分解法通过将多目标优化问题转 化为一系列单目标优化问题，利用正交分解 技术求解。这种方法能够同时考虑多个目标 ，平衡不同目标之间的冲突，从而找到更全 面的解决方案。
自适应正交分解法
总结词
自适应正交分解法是一种能够自动调整参数 和方法的正交分解方法。
组合优化问题
组合优化问题是一类具有离散特征的 优化问题，如旅行商问题、排班问题 等。正交分解法也可以用于解决组合 优化问题，通过将问题分解为若干个 子问题，降低问题的复杂度，提高求 解效率。
VS
例如，一个简单的组合优化问题可以 表示为：最小化 $f(x)$，满足 $x in {0,1}^n$，其中 $f(x)$ 是一个非线 性函数。通过正交分解法，可以将这 个问题分解为一系列简单的子问题， 从而方便求解。
自适应算法设计
根据不同问题的特性，设 计自适应的正交分解法， 提高算法的适用性和鲁棒 性。
应用领域的拓展
数值分析领域
将正交分解法应用于更广泛的数值分析问题，如 求解偏微分方程、积分方程等。
机器学习领域
数值分析(07)矩阵的正交分解
Householder变换与矩阵的正交分解 第六节 Householder变换与矩阵的正交分解
一、初等反射阵(Householder变换阵) 初等反射阵(Householder变换阵) (Householder变换阵
定义 设非零向量W ∈ R ,W = ( w1 , w2 ,L , wn ) , 且满足条件 W 2 = 1, 形如
数值分析
T
数值分析
H阵的性质： 阵的性质： 阵的性质 T det( H ) = 1 − 2W W = −1 （1）非奇异
（2）对称正交 T H=H HH T = H 2 = ( I − 2WW T )( I − 2WW T ) = I − 4WW T + 4WW TWW T = I
2 1 − 2w1 −2w2 w1 H= L −2wn w1
故 取 K = −σ 3 = − 3 于 是 y = −σ 3 e 3 = Ke 3 = (0, 0, − 3, 0)T ,
U = x − y = (2, 0, 5,1)T , ρ = σ 3 (σ 3 + x3 ) = 3(3 + 2) = 15
ρ = U TU
1 2
H =I−
1
ρ
UU
T
11 0 1 = 15 − 10 −2
数值分析
数值分析
1 例：W = 2
1 3 0 ∈ R ,|| W ||2 = 1 2 1 2 1 1 T H = I − 2WW = I − 2 0 0 2 1 2 2 0 0 −1 =0 1 0 −1 0 0
数值分析
例 已 知 向 量 x = (2, 0, 2,1)T , 试 构 造 Householder阵 , 使 Hx = Ke 3 , 其 中 e 3 = (0, 0,1, 0)T ∈ R 4 , K ∈ R。
正交分解法(精选例题)
资源分配
02
在资源分配问题中，正交分解法用于优化资源配置，以实现经
济效率和社会福利的最大化。
产业组织
03
在产业组织理论中，正交分解法用于研究市场结构、企业行为
和绩效之间的关系，以制定有效的产业政策和竞争策略。
THANKS
感谢观看
控制系统
在航空航天和自动化领域，正交分解法用于设计 控制系统，以实现精确的轨迹跟踪和稳定的系统 性能。
信号处理
在通信和雷达系统中，正交分解法用于信号处理， 特别是在多径干扰抑制和信号分离方面。
在经济学中的应用
金融市场
01
在金融市场中，正交分解法用于分析股票价格、利率和汇率等
金融变量的动态变化，以预测市场趋势和制定投资策略。
电磁学
在电磁学中，正交分解法用于分 析电场和磁场，特别是在求解电 磁波的传播和散射问题时。
光学
在光学中，正交分解法用于研究 光的传播、干涉和衍射现象，特 别是在处理光波的偏振和干涉问 题时。
在工程学中的应用
1 2 3
结构分析
在土木工程和机械工程中，正交分解法用于分析 结构的静力和动力响应，特别是在处理多自由度 系统和复杂结构时。
正交分解法(精选例题)
• 正交分解法简介 • 正交分解法例题解析 • 正交分解法在数学中的重要性 • 正交分解法的扩展与进阶 • 正交分解法的实际应用
01
正交分解法简介
定义与性质
定义
正交分解法是一种将一个向量分解为 若干个正交向量的方法，即利用正交 基底来表示任意向量。
性质
正交分解法具有唯一性，即一个向量 只有一种正交分解方式。此外，正交 分解法还具有正交性，即分解后的正 交向量两两正交。
工程数学第二章矩阵课件
68 34
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结束
例 6 若 A 为 n 阶方阵， k 为实数，则 kA kn A .
证 由于 A 为 n 阶方阵， k 为实数，根据数与矩阵乘法的定义知， kA 是将 A 的 每个元素都乘以 k ，在求 kA 时，根据行列式性质的单行可提性，每一行提出一个 k ， 所以 kA kn A .
例1
已知
a
3
b
a
3
b
c
7
d
2c d 3
，求
a,b,c, d
．
解 根据题意，得
a b 7,
2c d 3,
cd
3,
a b 3
故 a 5,b 2,c 2, d 1 .
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结束
例2 设
A
1 3
2 4
，
B
0 1
2 1
，
试求：（1） A 与 B 是否相等？（2） A , B .
；
0
0
A
0
0 0
0 0
0 2 1 0 4 2
0
3
2
5
1
3
10 2 5
4
1
.
0 A 称为 A 的负矩阵，记为 A，其中 A与 A 的每个对应元素都互为相反数．
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结束
矩阵加法具有如下性质：
假设 A, B,C, 0 均为 m n 矩阵，则 （1） A B B A（交换律）； （2） (A B) C A (B C) （结合律）； （3） A 0 0 A A； （4） A (A) 0 .
5
3
7 5
4 2
工程数学(07)矩阵的正交分解
工程数学
工程数学
算法1 算法
1、 输 入 x = ( x 1 , x 2 , L , x n ) T 。
给定向量 x ≠ 0, 计算初等反射阵 H 1。
2、 将 x 规 范 化 , M = m a x { x 1 , x 2 , L , x n 如 果 M = 0,则 转 出 停 机 否 则 z i ← x i / M , i = 1, 2 , L , n
因为 x − y
2 2
x− y 2 T T T T = ( x − y )( x − y ) = 2( x x − y x )
= x−2
2
代入上式后即得到 Hx = y Q x T x = y T y , xT y = yT x
工程数学
工程数学
1. Householder 变 换 可 以 将 给 定 的 向 量 变 为 一 个 与 任 一 个 ei ∈ R n ( i = 1, 2,L , n )同 方 向 的 向 量 。
工程数学
Householder变换与矩阵的正交分解 第六节 Householder变换与矩阵的正交分解
一、初等反射阵(Householder变换阵) 初等反射阵(Householder变换阵) (Householder变换阵
定义 设非零向量W ∈ R ,W = ( w1 , w2 ,L , wn ) , 且满足条件 W 2 = 1, 形如
0 1 0 0
− 10 0 − 10 −5
−2 0 −5 14
工程数学
工程数学
2. 构 造 H 阵 , 将 向 量 x = ( x 1 , L , x k , x k + 1 , L , x n ) T 的 后 面 n − k 个 分 量 约 化 为 零 (1 ≤ k < n )。 即 ： 任 给 定 x = ( x1 , x 2 ,L , x n )T ≠ 0, 构 造 H k ∈ R n× n , 使 H k x = ( x1 , x 2 ,L , x k −1 , −σ k , 0,L , 0)T
第四章 矩阵分解(改)
第四章 矩阵分解基于理论研究和计算的需要，往往有必要把矩阵分解为具有某种特性的矩阵之和或积，这就是我们所说的矩阵分解.本章将介绍一些常用的分解方法，某些在《计算方法》中已涉及的分解，我们这里就不再提起了.§4.1 矩阵的正交三角分解60年代后以Givens 与Householden 变换发展起来的矩阵的QR 分解在计算数学中扮演了十分重要的角色，尤其是以QR 分解所建立的QR 方法，已对数值线性代数理论的近代发展起了关键作用.定义1 如果一个上三角矩阵的主对角线元素全为正实数，则称该矩阵为一个正线上三角矩阵.定理1 （正交三角分解） 设A 为n 阶实满秩矩阵，则必有n 阶正交矩阵Q 及n 阶正线上三角矩阵R ，使得QR A =.证 设A 按列分块为()n A ααα ,,21=，则12,,,n ααα 为欧氏空间n R 的一组基，利用施密特正交化方法可以得到一组正交基11βα=， ()(),,,21122111122ααιαββββαβ+=+-=… … … …n n n n n n n ααιαιαιβ++++=--1,12211再单位化得一组标准正交基1111αεb =，2221122ααεb b += ， (1)… … … …n nn n n n n n n b b b b ααααε++++=--1,12211其中iii b β1=＞0，令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n b b b b b b B 22211211, 显然B 为正线上三角矩阵.且有()()1212,,,,,,n n B εεεααα= .(2)再令()12,,,n Q εεε= ，则Q 为正交矩阵.记1-=B R ，则R 仍为正线上三角矩阵.由（2）即得QR A =.定理证毕.实满秩矩阵的QR 分解是唯一的. 例1 求矩阵122212121A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的QR 分解解 记A 的三个列向量依次为123,,ααα，用施密特正交化方法得11(1,2,1)T βα==， 212(1,1,1)T ββα=-+=-，32131711(,0,)3622T βββα=--+=-.单位化得111Tε===，2212T ε==+=, 33123(322T ε==-=-. 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22316103162223161),,(321εεεQ ，则Q 为正交矩阵.且 ()123,,,Q B ααα=其中030B ⎪⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，经计算得10002R B - ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，便有QR A =. 对于复满秩矩阵，类似地有UR 分解定理。
【工程数学课件】矩阵分析2
2、Jordan 标准形法:
返回
设P1AP J diag(J1, J2, , Js )
f (Ji )
ak
J
k i
k 1
ki
ak
k1
Ck1ki 1 ki
C
mi k
1ki
(
mi
1)Ck1ki 1ki返回f
(i
)
1 1!
f
'(i
l 1
l 1
(cn1
cn lbn(l)1 )An1
l 1
三、矩阵函数的一些性质
性质1： 如果AB BA, 则e AeB e Be A e A B . 性质2： 如果AB BA, 则
(1) cos(A B) cos Acos B sin Asin B
(2) sin( A B) sin Acos B cos Asin B
k0
k0
k0
ck
k0
1k
P
P 1
ck
k0
nk
f (1)
P
P
1
f
(n
)
返回
同理
f ( At) Pdiag( f (1t), f (2t), , f (nt)).
例1
设
A
4 3
6 5
0 0,
求e At .
3 6 1
解 : 1) det(E A) ( 2)( 1)2
3、数项级数求和法：
哈密尔顿-凯莱定理：设A是数域P上的一个n n
矩阵, f () | E A | 是A的特征多项式,则
f ( A) An bn1An1 b1A b0E 0
返回
正交分解法(2)
正交分解法
如图，物体重力为10N，AO绳与顶板间的夹角为45º，
BO绳水平，试用计算法求出AO绳和BO绳所受拉力的大小。
FAOY=FAOcos45=G
A FAO
y FAOY
FAOX O
Bx
FAOX=FBO=G
C
正交分解法
如图，氢气球被水平吹来的风吹成图示的情形，若测得
绳子与水平面的夹角为37˚，已知气球受到空气的浮力为15N，
FN=Fsinα+Gcosα
F
A
α
Fcosα=Gsinα+Ff
y
Ff=μFN
FN
Fcosα
x
Ff Gsinα
F Fsinα
G Gcosα
正交分解法
计算多个共点力的合力时，正交分解法显得简明方便 正交分解法求合力，运用了“欲合先分”的策略，降低了 运算的难度，是解题中的一种重要思想方法。
选择合适的坐标 分解不在坐标上的力 进行同轴的代数和的运算 将两个垂直的力合成
唯一解
F2 < Fsin θ
无解
F> F2 > Fsin θ
两组解
F2 >= F
唯一解
正交分解法
选择一个坐标轴，将力分解为两个轴上的相互垂直的分力
FX= Fcosα
y
Fy
F
Fy= Fsinα
α
o
x
Fx
F2
F
θ
F1
G1
G2 G
从上面两图中可以发现，我们按照力的作用效果把F 和G进行分解所得到的两个分力的方向是相互垂直的， 这种分解力的方法叫做力的正交分解法。
Fx合=F1x+F2x+F3x+…
工程数学(07)矩阵的正交分解
1 ( zi2 )
i 1
n
1 2
如果z1 0, 则 1 1 4、1 1 ( z1 1 ) 5、计算U 1，U 1 z , U 1 (1) z1 1 1 T 6、H 1 I U 1U 1
1 7、y ( M 1 , 0,
M
,
M
2
,
U x y,
U U x y M T 1 1 T H k I UU I UU
工程数学
工程数学
算法1
1、输入x ( x1 , x2 ,
给定向量x 0, 计算初等反射阵H1。
, xn )T 。 , xn
2、将x规范化, M max x1 , x2 , 如果M 0, 则转出停机 否则zi xi / M , i 1, 2, 3、计算 ,n
i 1
n
1 2
如果x1 0, 4、x1 x1 1 5、1 1 x1 6、计算U 1，U 1 x 1 T 7、H 1 I U 1U 1
则 1 1
1 8、y ( M 1 , 0,
9、输出H 1 , y。
, 0)T
工程数学
工程数学
function [H,y]=holder2(x) n=length(x); if x(1)<0 M=max(abs(x)); s=-s; if M==0, end; disp(‘M=0'); x(1)=s+x(1); return; p=s*x(1); else u=x; x=x/M; H=eye(n,n)-p\u*u'; end; y=zeros(n,1); s=norm(x); y(1)=-M*s;
数值分析矩阵的正交分解(QR分解)
§10 矩阵的正交分解(QR 分解)设nm RA ⨯∈，则存在初等反射阵s H H 1使得)1(2+=s s A A H H (上梯形)[]nmn m m n n a a a a a a a a a a a a A ,,,21212222111211=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=(按列分块) (1)(1)第1步：当01=a 时，取I H =1这一步不需约化，不妨设01≠a ，于是有初等反射阵1H 使1111e a H σ-=，其中Tu u I H 11111--=β。
于是],,,[21)1(1n Ha Ha Ha A H =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=222)2(121)2()2(2)2(2)2(22)2(2)2(121000D c B a a a a a a a mn m n n σσ)2(A =其中)2()1(21)2(2)2(222,),,(-⨯--∈∈=n m m T m R D Ra a c (2)第k 步：设已完成对A 上述第1步~第k-1步约化，即存在初等反射阵11,,-k H H 使)(121k k A A H H H =-其中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-)()()()(12)2(1)2(1)2(121)(k mn k mkk knk kkk n k k a a a a a a a Aσσσ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k k k k k D c B r R 0其中)()1(1)()(,],,[k n k m k k n T k m k k kk k R D Ra c c -⨯+-=+-∈∈= ，为 EMBED Equation.3阶上三角阵。
如果0=k c ，这一步不需约化，取I H k =。
不妨设0≠k c ，于是存在初等反射阵kH '使 1e c H k k kσ-='计算kH '的公式： T k k k ku u I H ''-='-1β ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+='=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡='=+=∑)(21)()()(22)(,)(,1)(2)()(k kk k k k k k k m k k k k kk k m k i k ik k kk k a u a a a u a a sign σσβσ ………………(2) 令mm k k m k k k R H I H ⨯-+--∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=111第k 步约化：)1(1)(+==k k k k A A H H A H⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-k k k k k k kk k D H c H B r R H I 01 )1(121+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡'----=k k k k k k k AD H B r σσσσ方框内为第k 步约化需要计算的部分，其中)1(+k A 左上角子阵，1+k R 为k阶上三角阵，这样就使A 三角化过程前进了一步。
线性代数——正交矩阵PPT课件
是 R3 的一组基，
1
0
1
将其化为标准正交基. 解答见书上187页例4。
第9页/共11页
例5 设 1 , 2 , 3 , 4 是 R4 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 ,2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
2°特点: 设 1 ,2 , ,n 是 Rn 的一组标准正交基,
设 (12 n ), 则
Байду номын сангаас
T
1T 2T
1 2
nT
n
1T1 2T1
1T2 2T2
第1页/n共T111页 nT2
1Tn 2Tn
E
nTn
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设 1 ,2 , ,n 与 1 ,2 , ,n 是 Rn 的两组标准
k
则 1, 2 , , s 是与1 ,2 ,
的向量组.
i 2, 3, , s
, s等价且两两正交
第8页/共11页
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0
例4
已知1
0
,
2
1
,
3
1
故
QTQ E.
第2页/共11页
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵. 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵 Q1 QT ;
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E, 则Q 为正交矩阵.
正交分解 Word 文档
解题要求：以下题目均用二力合成知识（平行四边形定则）求解，解答过程要规范并要符合题意要求。
知识要点：物体处于平衡时，所受外力的合力为零。
若是物体受个三力平衡，则任意两个力的合力与第三个力是平衡力。
习题1.用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示，已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为多大？习题2.如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A 点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2.习题3.如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，求斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小解题要求：以下题目均用多力合成知识（多边形法则）求解，解答过程要规范并要符合题意要求。
知识要点：物体处于平衡时，所受外力的合力为零。
若是物体受个三力平衡，则三个力的合力为零，运用多变形法则作力的合成示意图时，应得到三个力首尾相接的三角形。
习题1.用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示，已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为多大？习题2.如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A 点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2.习题3.如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，求斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小解题要求：以下题目均用力的分解知识（平行四边形定则）求解，解答过程要规范并要符合题意要求。
知识要点：物体处于平衡时，所受外力的合力为零。