隐函数和参数方程求导

y2 , y2 . 提示: 分别用对数微分法求 y1
答案:
2. 设y (sin x) y1
tan x

x x
ln x
3
2 x , 求 y . 2 (2 x)
y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
关系,
可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) (此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
说明:来自百度文库
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
x 2 y y 0 8 9 9 x y x 2 16 y 3 y 3
2
x2 y3 2
3 4 3
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
例3 . 求
解: 两边取对数 , 化为隐式
的导数 .
两边对 x 求导

1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
x t 2 2 t 例5. 设由方程 t 2 y sin y 1 (0 1) 确定函数 y y ( x) , 求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
2
500
x d 500 dx sec 2 dt x dt dx d 已知 100 m min , x 500 m , 求 . dt dt
dy dx
t 0
y x (t ) (t ) (t ) (t ) x y 3 x (t ) 3
注意 : 已知

d2 y 1 f (t ) d x2
?
x f (t ) d2 y 例4. 设 y t f (t ) f (t ) , 且 f (t ) 0 , 求 2 . dx
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)

3. 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y y x y 0
再求导, 得
y 2 e y (e x) y 2 y 0 y
①
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 再代入 ② 得 y (0) 2 e
备用题
1. 设 解: 方法1 求其反函数的导数 .
1 e
1 y
x
方法2 等式两边同时对 y 求导
dx dy
dx dy
2. 设
,求
解： 方程组两边同时对 t 求导, 得
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系
相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
2
h
sec 2 1 tan 2
dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以
第3章
§ 3.4 隐函数和参数方程求导
一、隐函数的求导法则
二、由参数方程所确定的函数的导数
三、相关变化率
一、隐函数的求导法则
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导
例6. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h 则 tan 500 500 两边对 t 求导
d 1 dh sec d t 500 d t
1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. x r cos 解: 化为参数方程 y r sin dy dy sin cos d dx dx cos sin d
), 当 时对应点 M ( 0 , 2 2
2 dy 斜率 k dx 2 2 ∴ 切线方程为 y x 2
60 0
内容小结
1. 隐函数求导法则 2. 对数求导法 : 直接对方程两边求导 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法
转化极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题
列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
思考与练习

例7. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以25 cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 2 R 3 3 1 R 2 h 1 r 2 (h x) [ h ( h x ) ] 3 3 2 3h 两边对 t 求导 r hx dV R 2 d V h 2 ( h x ) 2 dx , 而 25 (cm 3 s)R hx dt dt h dt r R 2 h dx 100 25h (cm s) , 故 2 2 2 dt R R (h x)
(含导数 y的方程 )
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
两边取对数
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
u ( ln u ) u



1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
r
例8 河水以8米 3 / 秒的体流量流入水库中 , 水库
形状是长为 4000米, 顶角为1200的水槽, 问水深 20米时, 水面每小时上升几米 ?
解 设时刻 t水深为h( t ), 水库内水量为V ( t ), 则 V (t ) 4000 3h2 dV dh 上式两边对t求导得 dt 8000 3h dt dV 28800米3 / 小时, 当h 20米时, dt dh 水面上升之速率 0.104米 / 小时 dt