第三章 线性平稳时间序列分析(上海财经大学统计学系 )
第三章线性平稳时间序列模型资料
纯随机性
(k) 0,k 0
各序列值之间没有任何相关关系,即为 “没有记忆” 的序列
方差齐性(平稳) DX t (0) 2 根据马尔可夫定理,只有方差齐性假定成立时,
用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、
有效的
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(三)纯随机性检验
1.检验原理 2.假设条件 3.检验统计量 4.判别原则 5.应用举例
原假设:延迟期数小于或等于 期m 的序列
值之间相互独立
H 0:1 2 m 0,m 1
H
:至少存在某个
1
k
0,m 1,k
m
m
备择假设:延迟期数小于或等于 期的序
列值之间有相关性
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3.检验统计量
Q统计量 (大样本)
m
Q n
ˆ
(2)自相关图检验(判断准则)
平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相 关系数来描述就是随着延迟期数的增加,平稳序 列的自相关系数会很快地衰减向零。
若时间序列的自相关函数在k>3时都落入置 信区间,且逐渐趋于零,则该时间序列具有平稳 性;
若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间 外面,则该时间序列就不具有平稳性。
严平稳
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义,它认为只 有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而 发生变化时,该序列才能被认为平稳。
宽平稳
宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。 它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定,所 以只要保证序列低阶矩平稳(二阶),就能保证序 列的主要性质近似稳定。
返回例题
例1居民消费价格指数自相关图
线性平稳时间序列分析
线性平稳时间序列分析线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法,用于研究随时间变化的数据。
它基于一个核心假设,即数据的均值和方差在随时间推移的过程中保持不变。
线性平稳时间序列可以用数学模型来描述,通常使用自回归(AR)模型、滑动平均(MA)模型或自回归滑动平均(ARMA)模型。
这些模型基于该系列在某一时间点的值与该系列在过去时间点的值之间的线性关系。
为了进行线性平稳时间序列分析,首先需要检验数据是否满足平稳性的假设。
常用的检验方法包括ADF检验和单位根检验。
若数据不满足平稳性的假设,则需要通过差分操作将其转化为平稳时间序列。
在得到平稳的时间序列后,可以使用最小二乘法对时间序列进行模型拟合。
通过对数据进行模型拟合,我们可以得到模型的系数以及误差项的信息。
利用这些信息,可以进行时间序列的预测和分析。
在预测方面,线性平稳时间序列分析可以利用过去的观测值来预测未来的值。
预测方法包括简单的移动平均法和指数平滑法,以及更复杂的AR、MA和ARMA模型。
在分析时间序列方面,线性平稳时间序列分析可以通过模型的系数和误差项的信息来揭示数据的特征和规律。
例如,可以用模型的系数来检验是否存在滞后效应,用误差项的信息来检验模型的拟合程度。
总之,线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法,可以帮助我们研究随时间变化的数据。
通过对数据进行模型拟合、预测和分析,我们可以揭示数据的特征和规律,从而提供决策支持和预测能力。
线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法,它广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。
该方法基于数据的均值和方差在时间推移过程中保持不变的假设,旨在研究随时间变化的数据及其内在规律,以便进行预测、决策支持和其他分析。
在线性平稳时间序列分析中,首先需要检验数据是否符合平稳性的假设。
平稳性是指数据的均值和方差不随时间变化而发生显著变化。
为了检验平稳性,在实际应用中常常使用单位根检验或ADF检验等方法。
第3章 线性平稳时间序列分析
此时
EXt1c1 0
中心化:令Yt=Xt- ,Yt即为Xt的中心化序列,
此时有
EYt 0
AR模型平稳性的判别
判别原因
AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一, 但并非所有的AR模型都是平稳的。
判别方法
特征根判别法
AR(1)模型的平稳性条件
Xt c1Xt1t
平稳条件:对应齐次差分方程的特征根在单位圆内
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t )
非齐次线性差分方程的通解 zt
齐次线性差分方程的通解 z
程的特解 z t 之和
分方程
yt yt1t
P33
用递归替代法解差分方程:假设已知y-1和ω的各期
动态乘子(动态乘子为输入ω对输出yt的影响)
yt t 或ytj j
0
t
当0<φ<1,动态乘子按几何方式衰减到零;当-1<φ<0,动 态乘子振荡衰减到零;
当φ>1,动态乘子指数增加;当φ<-1,动态乘子发散性振 荡;
当︱φ︱<1,动态系统稳定,即给定的ω的影响将逐渐消 失;当︱φ︱>1,动态系统发散;当︱φ︱=1,输入变量
MA(1)模型:一阶移动平均模型
如果一个系统在t时刻的响应Xt仅与其前一时刻进入系 统的扰动εt-1存在着一定的相关关系,描述这种关系的 数学模型就是一阶移动平均模型,记作MA(1),即
Xt t1t 1
为常数,是序列均值;
εt为零均值的白噪声序列; θ为移动平均系数。
MA(q)模型:q阶移动平均模型
X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p t
AR(p) 的自回归系数多项式
时间序列分析总结XXXX06
第三章平稳时间序列分析-1
保证t期的随机干扰与过 去s期的序列值无关
特别地、当φ 0=0时,称为中心化AR(p)模型
(较适合低阶AR模型,如1,2阶)
平稳域判别
平稳域—使特征根都在单位圆内的AP(p)的系数 集合,即 {1 ,2 ,, p 特征根都在单位圆内 }
AR(1)模型判断平稳性的条件
xt xt 1 t,即xt xt 1 t
特征根判别
特征方程为 0 特征根为 所以若AR(1)平稳,必有
1 2 1 12 42
2
1 12 42
2
{1 , 2 2 1,且 2 1 1}
例3.1续 平稳性判别 (1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
模 型
(1) (2) (3) (4)
k xt xt k
2、延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针,当前序列值乘 以一个延迟算子,就相当于把当前序列值的时 间向过去拨了一个时刻。 记B为延迟算子,有
xt p B xt , p 1
p
延迟算子的性质:
B0 1
B(c xt ) c B( xt ) c xt 1 ,
非齐次线性差分方程的通解 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方 程的特解之和Zt z z z
t t t
线性差分方程在时间序列分析中很有用,某些时间序列模型及 自协方差或自相关函数本身就是线性差分方程,而线性差分方程 的特征根的性质,对平稳性的判定也很重要。
《平稳时间序列》课件
通过分析股票市场的波动数据,平稳时间序列方法可以帮助预测未 来市场的波动情况,有助于投资者制定风险管理策略。
行业趋势
通过对不同行业股票数据的平稳时间序列分析,可以预测未来行业 的发展趋势,有助于投资者进行行业配置和投资决策。
06
时间序列分析软件介绍
EViews软件介绍
适用范围
EViews是专门用于时间序列分析的软件,广泛应用于经济学、金 融学等领域。
降水预测
通过对历史降水数据的分析,平稳时间序列方法可以帮助 预测未来降水情况,有助于农业生产和灾害防范。
极端天气事件
通过分析极端天气事件的历史数据,平稳时间序列模型可 以预测未来极端天气事件的频率和强度,有助于防范自然 灾害。
股票市场预测
股票价格
利用历史股票价格数据,平稳时间序列模型可以预测未来股票价 格的走势,有助于投资者制定投资策略和风险控制。
列。
Holt's线性指数平滑
02
结合了趋势和季节性因素,适用于具有线性趋势和季节性变化
的时间序列。
Holt-Winters指数平滑
03
适用于具有非线性趋势和季节性变化的时间序列,能更好地捕
捉数据的季节性变化。
季节性自回归积分滑动平均模型(SARIMA)预测
01
SARIMA模型
结合了季节性和非季节性因素,适用于具有季节性和非季节性变化的时
04
平稳时间序列的预测
线性预测
线性回归模型
通过建立自变量与因变量之间的线性关系,预测时间序列的未来 值。
线性趋势模型
适用于具有线性趋势的时间序列,通过拟合线性方程来预测未来 趋势。
简单移动平均模型
对时间序列进行移动平均处理,根据历史数据预测未来值。
第3章平稳时间序列分析
记为 B2 yt yt2 。一般地,对任意整数 k,定义
Bk yt ytk
(二)延迟算子的性质
1. B0 1, Bc c 2. B(c xt ) c B( xt ) c xt1, c为任意常数 3. B( xt yt ) xt1 yt1
4 x=x(-1)-0.5x(-2)+u
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X
(3)生成非平稳序列 xt = -1.1xt-1+ ut, ut IID(0, 1) 的 Eviews程序:
smpl @first @last series u=nrnd smpl @first @first series x=0 smpl @first+1 @last series x=-1.1*x(-1)+u
xt xs
yt ys
所以,以后我们重点讨论中心化时间序列。
AR模型的算子表示: 令 (B) 1 1B 2B2 pB p 则 AR( p) 模型可表示为
(B)xt t
(二)AR模型平稳性判别
1. 判别原因: 要拟合一个平稳序列,用来拟合的模型显然 也应该是平稳的。 AR 模型是常用的平稳序列的 拟合模型之一,但并非所有的 AR 模型都是平稳 的 ,而非平稳的AR模型在实际应用中是没有意义 的。
4. (Bm Bn )xt Bm xt Bn xt xtm xtn
5. Bm Bn xt BnBm xt Bmn xt xtmn
n
6. (1 B)n (1)nCni Bi i0
7. B[ B xt ] B[ B xt ]
第三章 线性平稳时间序列分析
λ + α1λ
p 1
+ + α p = 0
特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 为互不相同的实根 这时齐次线性差分方程的解为 t zt = c1λ1t + + c p λ p 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有相同实根 这时齐次线性差分方程的解为 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有复根 这时齐次线性差分方程的解为
j
j k
根据 Cauchy 不等式,我们可以得到
G j G j k ≤ ∑ G 2 ∑ G 2k ∑ j j j =∞ j =∞ j =∞
∞ ∞ ∞
12
<∞
所以级数
j =∞
∑GG
j∞Leabharlann j k收敛,故 { X t } 为平稳序列.
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10
,
3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
1 j =1
(3.8)
其中
1 G 1 ( B ) = I ( B) = 1 ∑ I j B j j =1 ∞
(3.9)
称将 X t 变换为 ε t 的线性算子:
I ( B ) = ∑ I j B j , I 0 = 1
j =0
∞
为逆函数 逆函数,称(3.8)为 X t 的逆转形式 逆转形式,也称为无穷阶自回归. 逆函数 逆转形式
j =0 ∞
便于使用的条件是: 便于使用的条件是:
∑ Gj < ∞
∞
j =0
(3.7)
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在理论研究和实际问题的处理时, 通常还需要用 t 时刻及 t 时刻以前的 X t j ( j = 0,1, ) 来表示白噪声 ε t ,即
平稳时间序列的统计特征
平稳时间序列的统计特征
时间序列是统计学中最重要的概念之
一,它描述了一段时间内变量随时间变化的情况。
平稳时间序列是指变量的均值、方差和自相关系数不随时间变化的时间序列。
平稳时间序列的统计特征是非常重要的,可以帮助我们理解变量的变化特性,并且可以用来对未来变量的变化做出预测。
首先,要确定一个时间序列是否是平稳的,可以使用单位根检验(Unit Root Test)。
如果检验结果表明变量是平稳的,就可以进一步分析它的统计特征。
其次,要了解一个平稳时间序列的统计特征,我们首先要研究它的均值和方差。
均值是描述一个变量的中心位置的指标,而方差是描述变量变化的程度的指标。
如果均值和方差不变,那么这个时间序列就是平稳的。
另外,我们还要研究平稳时间序列的自相关系数。
自相关系数可以衡量相邻变量之间的相关性,它可以用来判断一个时间序列是否是平稳的。
如果这个时间序列的自相关系数是恒定的,那么这个时间序列就是平稳的。
线性平稳时间序列分析
线性平稳时间序列分析线性平稳时间序列分析是统计学中一个重要的研究领域,在经济学、金融学、统计学等领域中具有广泛的应用。
本文将从概念、特征、建模和预测四个方面展开,详细介绍线性平稳时间序列分析的基本内容。
一、概念时间序列是按照时间顺序排列的一组数据观测值的集合,线性平稳时间序列是指其均值、方差和自相关函数在时间上保持不变。
线性平稳时间序列可以用公式表示为:Yt = μ + εt其中,Yt是时间t的观测值,μ是时间序列的均值,εt是时间t的随机波动项。
二、特征线性平稳时间序列具有以下几个重要特征:1. 均值不变性:时间序列的均值在时间上保持不变,即E(Yt) = μ。
2. 方差不变性:时间序列的方差在时间上保持不变,即Var(Yt) = σ^2。
3. 自相关性:时间序列中观测值之间存在相关性,即时间序列的自相关函数具有一定的模式。
4. 白噪声:时间序列中的随机波动项εt是一个均值为零、方差为常数的随机变量。
三、建模线性平稳时间序列的建模是对时间序列数据进行拟合,以寻找其内在的规律和趋势。
常用的线性平稳时间序列模型主要有AR(自回归模型)、MA(移动平均模型)和ARMA(自回归移动平均模型)等。
1. AR模型:自回归模型是基于时间序列在当前时刻与其过去时刻之间存在相关性的假设。
AR模型的阶数p表示过去p个时刻的观测值对当前观测值的影响。
2. MA模型:移动平均模型是基于时间序列在当前时刻与其过去时刻的随机波动项之间存在相关性的假设。
MA模型的阶数q表示过去q个时刻的随机波动项对当前观测值的影响。
3. ARMA模型:自回归移动平均模型是结合了AR模型和MA 模型的特点,既考虑了时间序列观测值的自相关性,又考虑了时间序列随机波动项的相关性。
四、预测线性平稳时间序列的预测是利用已有的时间序列数据预测未来的观测值。
常用的线性平稳时间序列预测模型主要有AR、MA和ARMA等。
1. AR模型:通过对过去p个时刻的观测值进行线性组合,预测当前观测值。
时间管理-第三章平稳时间序列分析1s
其中 Ci , (i 1, 2) 为任意实数,
本章结构
1. 方法性工具 2. ARMA模型 3. 平稳序列建模 4. 序列预测
3.2 ARMA模型
AR模型(Auto Regression Model) MA模型(Moving Average Model) ARMA模型(Auto Regression Moving
例 y(k 1) ay(k) b 显然是一个一阶非齐次差分方程。
解:求相应的齐次差分方程的通解, 则有
k1 ak 0, a
∴ y(k) ak 是相应的齐次方程的通解。 下面求特解,设 y(k) 常数 d ,则
d ad b,
d b 1 a
故原方程的通解为
c
t
pp
复根场合
zt
rt (c1eit
c2eit ) c33t
c
p
t p
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
n
(1 B)n (1)i Cni Bi i0
C
i n
n! i!(n i)!
用延迟算子表示差分运算
p 阶差分
p
p xt (1 B) p xt
(1)i
C
i p
xt
i
i0
k 步差分
k xt xtk (1 B k )xt
线性差分方程
非齐次线性差分方程的通解
齐次线性差分方程的通解 zt 和非齐次线性差分方程的特
第三章平稳时间序列分析
(3)xt xt1 0.5xt2 t
(4)xt xt1 0.5xt1 t
例3.1平稳序列时序图
(1)xt 0.8xt1 t
(3)xt xt1 0.5xt2 t
例3.1非平稳序列时序图
(2)xt 1.1xt1 t
❖ 判别方法
▪ 单位根判别法 ▪ 平稳域判别法
自回归方程的解
❖ 任一个中心化 AR( p)模型 (B)xt t都可以视为一个非齐次 线性差分方程,它的通解求法如下
(1)求齐次线性差分方程 (B)xt 0的一个通解 xt
d
p2m
m
xt
cjt
j1 t 1
c
j
t j
rjt (c1 j cos t j c2 j sin t j )
E[(xt Eˆxt )(xtk Eˆxtk )] kk E[(xtk Eˆxtk )2 ]
xt ,xtk xt1 ,
, xtk1
E[(xt Eˆxt )(xtk Eˆxkt E[(xtk Eˆxtk )2 ]
1 1
0 p
Green函数定义
❖ AR模型的传递形式
xt
t
(B)
p i 1
1
ki
i
B
t
p i 1
ki (i B) j t
j0
p
kii jt j
j0 i1
G jt j j0
❖其中系数 {G j , j 1,2,} 称为Green函数
Green函数递推公式
❖ 原理
xt (BG)x(t
❖ 线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的 平稳性有着非常重要的意义
平稳时间序列分析
平稳时间序列分析平稳时间序列分析是一种常用的时间序列分析方法,它旨在研究时间序列在均值和方差上的稳定性,并将其用于预测未来的数据走势。
本文将详细介绍平稳时间序列分析的基本概念、建模方法和预测技术。
首先,让我们来了解什么是时间序列。
时间序列是按照一定的时间间隔收集到的一系列数据点的有序集合,它可以是连续的或离散的。
时间序列分析的目的是通过对过去的数据进行统计分析,揭示出时间序列中的内在规律和趋势,并预测未来的数据走势。
平稳时间序列是指在统计意义上具有稳定性的时间序列,即其均值和方差保持恒定不变。
平稳时间序列具有以下特点:1)均值是常数,不随时间变化;2)方差是常数,不随时间变化;3)协方差只与时间间隔有关,与具体的时间点无关。
为了实现平稳时间序列分析,我们需要进行以下几个步骤:1. 数据准备:收集所需的时间序列数据,并将其整理成适合分析的格式。
通常,我们会绘制时间序列图以直观地查看数据的趋势和模式。
2. 时间序列分解:时间序列通常包含趋势、季节性和随机成分。
我们需要对时间序列进行分解,将其分解为这些组成部分。
常用的分解方法有经典的加性模型和乘性模型。
3. 平稳性检验:对于时间序列分析,我们需要确保数据是平稳的。
平稳性检验的目的是判断时间序列的均值和方差是否是稳定的。
常用的平稳性检验方法有ADF检验、KPSS检验等。
4. 模型建立:如果时间序列被证实是平稳的,我们可以根据数据的模式和趋势选择适当的模型。
常用的模型包括自回归滑动平均模型(ARMA模型)、自回归积分滑动平均模型(ARIMA模型)等。
5. 模型识别与估计:在模型建立的基础上,我们需要对模型进行识别和估计。
模型识别的目的是选择最适合数据的模型阶数,常用的方法有自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)的分析。
模型的估计通常使用最大似然估计方法。
6. 模型检验:建立模型后,我们需要对模型进行检验,验证其拟合程度和预测准确度。
常用的模型检验方法有残差分析、DW检验、Ljung-Box检验等。
实验课程多媒体课件-时间序列分析
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2
时间序列分析实验课程
EVIEWS软件简介 软件简介
Eviews 的窗口上方按照功能划分 9 个主菜单选项(见图 1.11) 个主菜单选项( ) , 鼠标左键单击任意选项会出现不同的下拉菜单, 显示该部分的具体功 鼠标左键单击任意选项会出现不同的下拉菜单, 个主菜单选项提供的主要功能如下: 能,9 个主菜单选项提供的主要功能如下:
实验4:方程法剔除确定性趋势后的ARMA模型建模 1课时 实验 :方程法剔除确定性趋势后的 模型建模 课时 实验5 季节ARMA模型的建模和预测 实验 :季节 模型的建模和预测 实验6:自回归分布滞后模型( 实验 :自回归分布滞后模型(ADL) ) 实验7: 实验 :条件异方差模型的建模和预测 实验8: 实验 :协整检验及误差修正模型 1课时 课时 1课时 课时 2课时 课时 2课时 课时
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10
时间序列分析实验课程
绘制时间序列图
图1.24 Eviews 作图
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11
时间序列分析实验课程
绘制时间序列图
图 1.25
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时间序列分析实验课程
查看序列的简单统计量
在工作文件中选中并双击目标序列对象,在打开的这一目标序列对话框中, 在工作文件中选中并双击目标序列对象,在打开的这一目标序列对话框中, 选项, 选择左上角的 View 选项,如图 1.28。在下拉菜单中选中 。在下拉菜单中选中“Descriptive Statistics”, , 在出现的次级菜单中选中“Histogram and Stats”, Eviews 就会给出的柱状图以 就会给出的柱状图以 在出现的次级菜单中选中 , 及简单描述统计量, 及简单描述统计量,如图 1.29。 。
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
应用时间序列分析实验报告实验名称第三章平稳时间序列分析一、上机练习data example3_1;input x;time=_n_;cards;;proc gplot data=example3_1;plot xtime=1;symbol c=red i=join v=star;run;建立该数据集,绘制该序列时序图得:根据所得图像,对序列进行平稳性检验;时序图就是一个平面二维坐标图,通常横轴表示时间,纵轴表示序列取值;时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征;根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质,平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动,而且波动的范围有界的特点;如果观察序列的时序图,显示出该序列有明显的趋势性或周期性,那它通常不是平稳序列;从图上可以看出,数值围绕在0附近随机波动,没有明显或周期,其本可以视为平稳序列,时序图显示该序列波动平稳;proc arima data=example3_1;identify var=x nlag=8;run;图一图二样本自相关图图三样本逆自相关图图四样本偏自相关图图五纯随机检验图实验结果分析:1由图一我们可以知道序列样本的序列均值为,标准差为,观察值个数为84个;2根据图二序列样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数,综轴表示延迟时期数,用水平方向的垂线表示自相关系数的大小;我们发现样本自相关图延迟3阶之后,自相关系数都落入2倍标准差范围以内,而且自相关系数向衰减的速度非常快,延迟5阶之后自相关系数即在值附近波动;这是一个短期相关的样本自相关图;所以根据样本自相关图的相关性质,可以认为该序列平稳;3根据图五的检验结果我们知道,在各阶延迟下LB检验统计量的P值都非常小<,所以我们可以以很大的把握置信水平>%断定该序列样本属于非白噪声序列;proc arima data=example3_1;identify var=x nlag=8minic p= 0:5q=0:5;run;IDENTIFY命令输出的最小信息量结果某个观察值序列通过序列预处理,可以判定为平稳非白噪声序列,就可以利用ARMA模型对该序列建模;建模的基本步骤如下:A:求出该观察值序列的样本自相关系数ACF和样本偏自相关系数PACF的值;B:根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质,选择适当地ARMAp,q模型进行拟合;C:估计模型中未知参数的值;D:检验模型有效性;如果拟合模型不通过检验,转向步骤B,重新选择模型再拟合;E:模型优化;如果拟合模型通过检验,仍然转向步骤B,充分考虑各种可能,建立多个拟合模型,从所有通过检验中选择最优模型;F:利用拟合模型,预测序列的将来走势;为了尽量避免因个人经验不足导致的模型识别问题,SAS系统还提供了相对最优模型识别;最后一条信息显示,在自相关延迟阶数小于等于5,移动平均延迟阶数也小于等于5的所有ARMRp,q模型中,BIC信息量相对最小的是ARMR0,4模型,即MA4模型;需要注意的是,MINIC只给出一定范围内SBC最小的模型定阶结果,但该模型的参数未必都能通过参数检验,即经常会出现MINIC给出的模型阶数依然偏高的情况;estimate q=4;run;本例参数估计输出结果显示均值MU不显著t的检验统计量的P值为,其他参数均显著t检验统计量的P值均小于,所以选择NOINT选项,除去常数项,再次估计未知参数的结果,即可输入第二条ESTIMATE 命令:estimate q=4 noint;run;参数估计部分输出结果如图六所示:图六ESTIMATE命令消除常数项之后的输出结果显然四个未知参数均显著;拟合统计量的值这部分输出五个统计量的值,由上到下分别是方差估计值、标准差估计值、AIC信息量、SBC信息量及残差个数,如图七所示:图七ESTIMATE命令输出的拟合统计量的值系数相关阵这部分输出各参数估计值的相关阵,如图八所示:图八ESTIMATE命令输出的系数相关阵残差自相关检验结果这部分的输出格式图九和序列自相关系数白噪声检验部分的输出结果一样;本例中由于延迟各阶的LB统计量的P值均显著大于aa=,所以该拟合模型显著成立;图九ESTIMATE命令输出的残差自相关检验结果拟合模型的具体形式ESTIMA TE命令输出的拟合模型的形式序列预测forecast lead=5id=time out=results;run;其中,lead是指定预测期数;id是指定时间变量标识;out是指定预测后的结果存入某个数据集;该命令运行后输出结果如下:FORECAST命令输出的预测结果该输出结果从左到右分别为序列值的序号、预测值、预测值的标准差、95%的置信下限、95%的置信上限;利用存储在临时数据集RESULTS里的数据,我们还可以绘制漂亮的拟合预测图,相关命令如下:proc gplot data=results;plot xtime=1 forecasttime=2 l95time=3 u95time=3/overlay;symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;输出图像如下:拟合效果图注:图中,S号代表序列的观察值;连续曲线代表拟合序列曲线;虚线代表拟合序列的95%上下置信限;所谓预测就是要利用序列以观察到的样本值对序列在未来某个时刻的取值进行估计;目前对平稳序列最常用的预测方法是线性最小方差预测;线性是指预测值为观察值序列的线性函数,最小方差是指预测方差达到最小;在预测图上可以看到,数据围绕一个范围内波动,即说明未来的数值变化时平稳的;二、课后习题第十七题:根据某城市过去63年中每年降雪量数据单位:mm得:书本P94程序:data example17_1;input x;time=_n_;cards;2579588397 110;proc gplot data=example17_1;plot xtime=1;symbol c=red i=join v=star;run;proc arima data=example17_1;identify var=x nlag=15minic p= 0:5q=0:5;run;estimate p=1;run;estimate p=1 noin;run;forecast lead=5id=time out=results;run;proc gplot data=results;plot xtime=1 forecasttime=2 l95time=3 u95time=3/overlay;symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;1判断该序列的平稳性与纯随机性该序列的时序图如下图a图a由时序图显示过去63年中每年降雪量数据围绕早70mm附近随机波动,没有明显趋势或周期,基本可以看成平稳序列,为了稳妥起见,做了如下自相关图图b图b时序图就是一个平面二维坐标图,通常横轴表示时间,纵轴表示序列取值;时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征;根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质,平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动,而且波动的范围有界的特点;如果观察序列的时序图,显示出该序列有明显的趋势性或周期性,那它通常不是平稳序列;样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数,综轴表示延迟时期数,用水平方向的垂线表示自相关系数的大小;我们发现样本自相关图延迟2阶之后,自相关系数都落入2倍标准差范围以内, 自相关图显示该序列自相关系数一直都比较小,1阶开始控制在2倍的标准差范围以内,可以认为该序列自始自终都在零轴附近波动,这是随即性非常强的平稳时间序列;纯随机性检验见下图:图c图c根据图c的检验结果我们知道,在6阶延迟下LB检验统计量的P值显著小于,所以我们可以以很大的把握置信水平>95%断定这个拟合模型的残差序列属于非白噪声序列;2如果序列平稳且非白躁声,选择适当模型拟合该序列的发展;模型识别如下图图d图d假如某个观察值序列通过序列预处理,可以判定为平稳非白噪声序列,就可以利用ARMA模型对该序列建模;建模的基本步骤如下:1:求出该观察值序列的样本自相关系数ACF和样本偏自相关系数PACF的值;2:根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质,选择适当地ARMAp,q模型进行拟合;3:估计模型中未知参数的值;4:检验模型有效性;如果拟合模型不通过检验,转向步骤B,重新选择模型再拟合;5:模型优化;如果拟合模型通过检验,仍然转向步骤B,充分考虑各种可能,建立多个拟合模型,从所有通过检验中选择最优模型;6:利用拟合模型,预测序列的将来走势;最后一条信息显示,在自相数迟阶数小于等于5,移动平均延迟阶数也小于等于5的所有ARMAp,q模型中,BIC信息量相对最小的是ARMA1,0模型,既AR1模型;它们的自相关系数都呈现出拖尾性和呈指数衰减到零值附近的性质;自相关系数是按负指数单调收敛到零;利用拟合模型,预测该城市未来5年的降雪量.由2可以知道该模型是AR1模型;预测结果如下图图e由图得未来564-68年的降雪量分别为、、、、;18. 某地区连续74年的谷物产量单位:千吨data example18_1;input x;time=_n_;cards;;proc gplot data=example18_1;plot xtime=1;symbol c=red i=join v=star;run;proc arima data=example18_1;identify var=x nlag=18minic p= 0:5q=0:5;run;estimate q=1;run;forecast lead=5id=time out=results;run;proc gplot data=results;plot xtime=1 forecasttime=2 l95time=3 u95time=3/overlay; symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;1判断该序列的平稳性与纯随机性该序列的时序图如下图f图f时序图就是一个平面二维坐标图,通常横轴表示时间,纵轴表示序列取值;时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征;根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质,平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动,而且波动的范围有界的特点;如果观察序列的时序图,显示出该序列有明显的趋势性或周期性,那它通常不是平稳序列;由时序图显示过去74年中每年谷物产量数据围绕早千吨附近随机波动,没有明显趋势或周期,基本可以看成平稳序列,为了稳妥起见,做了如下自相关图图g图g样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数,综轴表示延迟时期数,用水平方向的垂线表示自相关系数的大小;我们发现样本自相关图延迟2阶之后,自相关系数都落入2倍标准差范围以内,自相关图显示该序列自相关系数一直都比较小,1阶开始控制在2倍的标准差范围以内,可以认为该序列自始自终都在零轴附近波动,这是随即性非常强的平稳时间序列;纯随机性检验见下图:图h图h根据图h的检验结果我们知道,在各阶延迟下LB检验统计量的P值显著小于,所以我们可以以很大的把握置信水平>95%断定这个拟合模型的残差序列属于非白噪声序列;选择适当模型拟合该序列的发展;如果序列平稳且非白躁声,选折适当模型拟合序列的发展模型识别如下图图i图i假如某个观察值序列通过序列预处理,可以判定为平稳非白噪声序列,就可以利用ARMA模型对该序列建模;建模的基本步骤如下:A:求出该观察值序列的样本自相关系数ACF和样本偏自相关系数PACF的值;B:根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质,选择适当地ARMAp,q模型进行拟合;C:估计模型中未知参数的值;D:检验模型有效性;如果拟合模型不通过检验,转向步骤B,重新选择模型再拟合;E:模型优化;如果拟合模型通过检验,仍然转向步骤B,充分考虑各种可能,建立多个拟合模型,从所有通过检验中选择最优模型;F:利用拟合模型,预测序列的将来走势;最后一条信息显示,在自相数迟阶数小于等于5,移动平均延迟阶数也小于等于5的所有ARMAp,q模型中,BIC信息量相对最小的是ARMA1,0模型,既AR1模型;它们的自相关系数都呈现出拖尾性和呈指数衰减到零值附近的性质;自相关系数是按负指数单调收敛到零;利用拟合模型,预测该地区未来5年的谷物产量,预测结果如下图图j 由2可知,该模型为AR1模型;图j未来5年的谷物产量一次为,,,;19. 现有201个连续的生产记录data example19_1;input x;time=_n_;cards;图l时序图就是一个平面二维坐标图,通常横轴表示时间,纵轴表示序列取值;时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征;根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质,平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动,而且波动的范围有界的特点;如果观察序列的时序图,显示出该序列有明显的趋势性或周期性,那它通常不是平稳序列;样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数,综轴表示延迟时期数,用水平方向的垂线表示自相关系数的大小;我们发现样本自相关图延迟1阶之后,自相关系数都落入2倍标准差范围以内, 自相关图显示该序列自相关系数一直都比较小,1阶开始控制在2倍的标准差范围以内,可以认为该序列自始自终都在零轴附近波动,这是随即性非常强的平稳时间序列;纯随机性检验见下图:图m根据图m的检验结果我们知道,在各阶延迟下LB检验统计量的P值显著小于,所以我们可以以很大的把握置信水平>95%断定这个拟合模型的残差序列属于非白噪声序列;2如果序列平稳且非白躁声,选折适当模型拟合序列的发展模型识别如下图图n某个观察值序列通过序列预处理,可以判定为平稳非白噪声序列,就可以利用ARMA模型对该序列建模;建模的基本步骤如下:1、求出该观察值序列的样本自相关系数ACF和样本偏自相关系数PACF的值;2、根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质,选择适当地ARMAp,q模型进行拟合;3、估计模型中未知参数的值;4、检验模型有效性;如果拟合模型不通过检验,转向步骤B,重新选择模型再拟合;5、模型优化;如果拟合模型通过检验,仍然转向步骤B,充分考虑各种可能,建立多个拟合模型,从所有通过检验中选择最优模型;6、利用拟合模型,预测序列的将来走势;最后一条信息显示,在自相数迟阶数小于等于5,移动平均延迟阶数也小于等于5的所有ARMAp,q模型中,BIC信息量相对最小的是ARMA0,1模型,即MA1模型;利用拟合模型,预测该城市下一时刻95%的置信区间;由2可得,该模型为MA1模型;下一时刻95%的置信区间,;实验小结:给定一个序列,我们首先应该判断平稳性,如果平稳,再检查是否是纯随机序列,如果序列平稳且非白躁声,选折适当模型拟合序列的发展,选择AR,MA,或ARMA模型,然后可以对该序列进行预测;三、实验体会通过本次实验使我掌握了一些对时间序列的处理,运用不同的语句对一个样本序列的平稳性检验和随机性检验,这对我们处理数据有很大的帮助;在生活中我们往往会遇到这样的现象,当我们所得到的样本信息太少,并且没有其他的辅助信息时,通常这种数据结构式没法进行分析的,但是序列平稳性的概念的提。
线性平稳时间序列分析详解109页PPT
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路,那么,任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远,吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应,言行相称。——韩非
线性平稳时的 ,但是 为了生 存,我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子,然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理,即使延续时 间再长 ,也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中,哪 里没有 法律, 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律,也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
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上财回归分析课件-第三章
若已经获得 n 组观测数据, xi1, xi2, , xip; yi ,i 1, 2, , n ,则
y1 0 1x112x12 px1p 1 y2 0 1x212x22 px2p 2
yn 0 1xn12xn2 pxnp n
第三章 多元线性回归分析
多元线性回归模型矩阵形式
,
,
y1
y
y
2
1 x11 X 1 x21
x12 x22
,
y n
1 xn1 xn2
x1 p
x2
p
0
1
1
2
xnp
p
n
,
YX
第三章 多元线性回归分析
多元线性回归模型
假设 1. 自变量 x1, x2, , xp 是确定性变量,不是随机变量,且
rankX p 1 n ,即 X 为一个满秩矩阵。
性质 6:对于模型(3.8),有
(1) ˆ ~ N , 2 X X 1
(2) SE 2 ~ 2 n p 1
第三章 多元线性回归分析
参数的最小二乘估计的性质
证明:(1)由于Y ~ N(X, 2In ) ,而 ˆ 是Y 的线性组合,所以 ˆ 是 正态的,结合性质 2 和性质 3,得(1)的结论。
Var ( ) 2 I n
y X ~ N(0,2In)
第三章 多元线性回归分析
多元线性回归模型参数的最小二乘估计
在多元线性回归模型中,寻找参数的最小二乘估计向量
ˆ (ˆ0, , ˆp ),即寻找使离差平方和
Q 0 , 1,
n
,p
yi 0 1xi1 2 xi2
p xip 2
trH tr X X X 1 X tr X X 1X X tr I p1 p 1。
第三章平稳时间序列分析
欢迎共阅t P p t tt t t x B x x B x Bx x ===---221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列,那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分:1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分:21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x 以此类推:记t p x ∇为t x 的p 阶差分:111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分:k t t t k x x x --=∇3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针,当前序列值乘以一个延迟算子,就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子,有延迟算子的性质:1.10=B2.若c 为任一常数,有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y },有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t n x x B -=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B in i i nni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型,简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε(3.4)AR(p)模型有三个限制条件:条件一:0≠p φ。
这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
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1
§3.1 线性过程
• 在正式讨论线性过程之前,我们首先给出 相应的准备工具,介绍延迟算子和求解线 性差分方程,这些工具会使得时间序列模 型表达和分析更为简洁和方便,下面是延 迟算子的概念。 • 设 B 为一步延迟算子,如果当前序列乘以 一个延迟算子,就表示把当前序列值的时 间向过去拨一个时刻,即 BX t X t 1 。
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3.1.1线性过程的定义
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8
• 定理3.1 定义(3.1)中的线性过程是平稳 序列,且 G 是均方收敛的。
j j t j
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• 下面证明序列{ X t , t Z } 是平稳的,容易计 算 EX G E 0
• 在应用时间序列分析去解决实际问题时, 所使用的线性过程是因果性的,即:
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• 设 B 为一步延迟算子, B j X t X t j , j 0 ,(3.4)可表为: 则
G( B) G j B j ,今后将把 G (B)看作对 t 其中,
进行运算的算子,又可作为 论。
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• 特征根1 , 2 ,, p 为互不相同的实根 这时齐次线性差分方程的解为 t zt c11t c p p • 特征根 1 , 2 ,, p 中有相同实根 这时齐次线性差分方程的解为
t t zt c1 c2t 2 cd t d 1 1t cd 1d 1 c p p
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2
• 延迟算子B 有如下性质:
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3
t
• 定义如下形式方程为序列{zt : t 0, 1, 2,} z 的线性差分方程:t 1 zt 1 p zt p h t h 其中 p 1, 1 , , p 为实数, t 为 t 的已 知函数。 • 特别地,当函数 h t 0 时,差分方程:
t
t
t
( B)
t
1 B
j 1 j
p
t
部分分式展开得到 X
t
1
1 B
j j 1
p
t
j 1
p
kj 1 j B
t
其中 k1 , , k p 为任意实数。
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§3.3 移动平均过程MA(q)
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在一阶自回归AR(1)模型中,保持其平稳性 的条件是对应的特征方程 0 的根的绝对值必须小于1,即满足 1 。 对于平稳的AR(1)模型,经过简单的计算易 得
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3.2.2 二阶自回归过程AR(2)
• 当变量当前的取值主要与其前两时期的取 值状况有关,用数学模型来描述这种关系 就是如下的二阶自回归模型AR(2): • 引入延迟算子 B 的表达形式为:
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3.4.2 模型的因果性和格(Green)函数
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对于零均值的模型,则ARMA(p,q)模型 ( B) X t ( B) t可表示为:
G 由部分分式展开,(B)可表为
G ( B) 1 ( B)( B) G j B j
j 0
比较两边B的同次幂系数,得到:
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• 3.5.2偏自相关系数及其特征 在对前面平稳时间序列的分析中,我们看 到对于MA(q)过程,其自相关系数具有q阶 截尾性,由此我们可以通过计算序列的自 相关系数大致判断出模型的阶数。但是, 对于平稳的自回归模型AR(p)来说,由于 自相关系数不具有截尾性,因此我们无法 利用序列的自相关系数来判断模型的阶数, 我们希望找到一种类似地系数,使得对自 回归模型AR(p)来说也具有截尾性。
zt 1 zt 1 p zt p 0
称为齐次线性差分方程。否则,线性差分 方程称为非齐次线性差分方程。
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下列方程:
1
p
p 1
p 0
称为齐次线性差分方程的特征方程。这是 一个一元p次线性方程,它至少存在p个非 零根,称这p个非零根为特征根,记 为 1 , 2 , , p 。 根据特征根 1 , 2 ,, p 的情况,齐次线性 差分方程解的解有如下情形:
t
k EX t X t k
E G j t j Gl t k l l j
j
j
t j
2
j
GG
j
j k
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3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
• 3.3.1一阶移动平均过程MA(1)
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• 图3.2为一个零均值的MA(1)序列200个模拟 数据。
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• 类似于自回归模型的平稳性讨论,与移动 平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。 对于零均值的MA(1)序列
X t t t 1
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j 0
B 的函数来讨
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在理论研究和实际问题的处理时,通常还需要用 t时刻及t时刻以前的 X t j ( j 0,1,) 来表示白噪声 t ,即
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§3.2 自回归过程AR(p)
• 上节中所讨论的线性过程及其逆转形式都 是无穷和的形式,当用有限和去逼近时即 产生有限参数线性模型,而且许多平稳序 列本身就是由有限参数线性模型刻画的。 有限参数线性模型是时间序列分析中理论 最基础、应用最广泛的部分。如下将讨论 AR、MA和ARMA三种有限参数线性模型。
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• 例3.10 求ARMA(2,1)模型的逆函数。
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§3.5 自相关系数与偏相关系数
• 3.5.1自相关系数及其特征
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• 满足条件(3.16)和(3.17)式给出的区域
,
1 2
2
1 1, 2 1
称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角 形区域,见下图阴影部分。
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X • 例3.2 设AR(2)模型:t 0.7 X t 1 0.1X t 2 t 试判别 X t 的平稳性。 解:根据上述关于平稳条件的讨论,可以 通过两种径进行讨论:
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30
• 下面我们讨论序列的统计特性,关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型:
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3.2.3 p阶自回归过程AR(p)模型
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33
• 首先,求对应齐次差分方程 ( B) X t 0 的通解 X t 。 p 1 p 1 p 0 假定其对应特征方程 的p个特征根为1 , 2 ,, p ,根据前面的讨 论,一般地,这p个特征根可能有如下情形:
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•
再求非齐次差分方程 ( B) X t t 的一个 特解 X t 。
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• 由此,自回归系数多项式可以写为 p
( B ) 1 j B
j 1
因此,我们可以得到非齐次差分方程( B) X 的一个特解 X 1 1
• 特征根1 , 2 ,, p中有复根 这时齐次线性差分方程的解为 t t
zt c11 c p p
t r t c1eit c2eit c33t c p p
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• 对于非齐次线性差分方程解的问题,通常 分下下列两个步骤进行:首先求出对应齐 次线性差分方程的通解 z t ,然后再求出该 非齐次线性差分方程的一个特解 zt ,即 zt z 满足: t 1 zt1 p zt p h t • 则非齐次线性差分方程zt 1 zt 1 p zt p h t 的解为对应齐次线性差分方程的解 zt 和该 非齐次线性差分方程的一个特解 zt 之和, 即 zt zt zt
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