第五课时2123用因式分解法解一元二次方程资料
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可考虑用十字相乘法分解； （4） 对于多于三项的多项式，一般
应考虑使用分组分解法进行。
在我们做题时，可以参照下面的口诀： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 十字相乘试一试，分组分得要合适； 四种方法反复试，最后须是连乘式。
因式分解： 1、(x+1)2-25
2、x(x-2) + x – 2
3、4x2 - 1
两个数的平方差等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a2 2ab b2 a b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
分解因数
分解因数的方法主要有两种：
将下列各数表示成两个整数的积的形式
回顾与复习
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
x2 1 x 1x 1
上面我们把一个多项式化成了几个整 式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做 把这个多项式因式分，解也叫做把这个多项 式 分解。因式
因式分解
x2 1
x 1x 1
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆关系
在下面这个式子的因式分解过程中，先 找到这个多项式的公因式，再将原式除以 公因式，得到一个新多项式，将这个多项 式与公因式相乘即可。 这种方法叫做提公 因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 提公因式法一般步骤：
4、5x2 - 4x
5、x2 + 6x - 7
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相 等吗？如果相等，这个数是几？
小颖,小明都设这个数为 x ,根据题意得:
小颖是这样解的 : 解: x2 3x 0.
(3)2 41 0 9.
x 3 9 . 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
1、找到该多项式的公因式，
2、将原式除以公因式，得到一个新多项式
3、把它与公因式相乘。
如何准确地找到多项式的 公因式呢？：
（1）系数——取各项的最大公约数 （2）字母——取各项相同字母 （3）指数——取各项相同字母的
最低次幂 即：相同字母指数取最低的数字
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
而右边等于零; 2. 理论依据是“如果两个因式的积等于零,
那么至少有一个因式等于零.”
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1. 把原方程化为一般形式; 2. 将方程左边写成乘积的形式; 3. 根据“至少有一个因式为零”,
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= B解
分解因式法解一元二次方程
当一元二次方程的一边是0,而另一边 易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就 可以用分解因式的方法求解.这种用分解因 式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边能写成连乘的形式,
小明是这样解的:
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小明做得对吗?
一个数的平方与这个数的3倍有可能相 等吗？如果相等，这个数是几？
小亮都设这个数为 x ,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样想的: 如果a b 0, 那么a 0 或b 0 或a b 0.
即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积相加所得的和刚好等于一次项系 数，那么因式分解就成功了。
比如：二次三项式 x2+3x+2中的
常数项系数2能分解成两个因数+1、+2的积，
而且一次项系数+3又恰好是（+1）+（+2）=+3
x
+1
x
+2
“十字相乘法”是借助十字交叉线 来分解系数，从而把二次三项式分解 因式的方法.
(2)x2 – 11x – 12
(3)x2 +13x +12
(4)x2 –x – 12
Company Logo
在进行因式分解时，要结合题目的 形式和特点来选择确定采用哪种方法。 以上这四种方法是彼此有联系的，并 不是一种类型的多项式就只能用一种 方法来分解因式，要学会具体问题具 体分析。
因式分解的一般步骤： （1） 如果多项式的各项有公因式时， 应先提取公因式； （2） 如果多项式的各项没有公因式， 则考虑是否能用公式法来分解； （3） 对于二次三项式的因式分解，
（1）6 = 2×3 （2）-6 = 1× (-6)
或 (-2)×(-3)
或-1×6
或 1×6
或 2× (-3)
或(-1) ×(-6)
或 3× (-2)
∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
x
a
x
b
∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
需要将二次项系数与常数项分别拆成两
个数的积。
十字相乘法的字母公式
x2 + (a+b)x + ab = (x+a) (x+b) 公式里有二次项，一次项，常数项， 和一元二次方程的一般形式对应起来：
一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
二次项 一次项 常数项
分解二次项与常数项后，把交叉相 乘相加，所得的和与一次项比较，判断 分解是否正确。
利用十字相乘法，因式分解:
x2 6x 7 十字相乘法的步骤：（笔记）
“一拆”：竖分二次项与常数项
x 7 “二乘”：把十字交叉相乘后的积相加
x1 “三验”：验证是否等于一次项，如果相等，
那么就分解成功，横写因式不能乱。
x7x 6x
原式 (x 7)(x 1)
因式分解：
(1)x2 + 8x +12
试一试：把x2 + 3x + 2分解因式
xHale Waihona Puke Baidu
1
十字交叉线
分析：常数项+x2分解为(+21) ×(+2)
并且满足：(+1)＋(+2)＝+3
一次项系数
注意：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线
的左上角和左下角，
再分解常数项，分别写在十字交叉线的右
上角和右下角，
然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次
项系数.
应考虑使用分组分解法进行。
在我们做题时，可以参照下面的口诀： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 十字相乘试一试，分组分得要合适； 四种方法反复试，最后须是连乘式。
因式分解： 1、(x+1)2-25
2、x(x-2) + x – 2
3、4x2 - 1
两个数的平方差等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a2 2ab b2 a b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
分解因数
分解因数的方法主要有两种：
将下列各数表示成两个整数的积的形式
回顾与复习
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
x2 1 x 1x 1
上面我们把一个多项式化成了几个整 式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做 把这个多项式因式分，解也叫做把这个多项 式 分解。因式
因式分解
x2 1
x 1x 1
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆关系
在下面这个式子的因式分解过程中，先 找到这个多项式的公因式，再将原式除以 公因式，得到一个新多项式，将这个多项 式与公因式相乘即可。 这种方法叫做提公 因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 提公因式法一般步骤：
4、5x2 - 4x
5、x2 + 6x - 7
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相 等吗？如果相等，这个数是几？
小颖,小明都设这个数为 x ,根据题意得:
小颖是这样解的 : 解: x2 3x 0.
(3)2 41 0 9.
x 3 9 . 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
1、找到该多项式的公因式，
2、将原式除以公因式，得到一个新多项式
3、把它与公因式相乘。
如何准确地找到多项式的 公因式呢？：
（1）系数——取各项的最大公约数 （2）字母——取各项相同字母 （3）指数——取各项相同字母的
最低次幂 即：相同字母指数取最低的数字
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
而右边等于零; 2. 理论依据是“如果两个因式的积等于零,
那么至少有一个因式等于零.”
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1. 把原方程化为一般形式; 2. 将方程左边写成乘积的形式; 3. 根据“至少有一个因式为零”,
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= B解
分解因式法解一元二次方程
当一元二次方程的一边是0,而另一边 易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就 可以用分解因式的方法求解.这种用分解因 式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边能写成连乘的形式,
小明是这样解的:
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小明做得对吗?
一个数的平方与这个数的3倍有可能相 等吗？如果相等，这个数是几？
小亮都设这个数为 x ,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样想的: 如果a b 0, 那么a 0 或b 0 或a b 0.
即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积相加所得的和刚好等于一次项系 数，那么因式分解就成功了。
比如：二次三项式 x2+3x+2中的
常数项系数2能分解成两个因数+1、+2的积，
而且一次项系数+3又恰好是（+1）+（+2）=+3
x
+1
x
+2
“十字相乘法”是借助十字交叉线 来分解系数，从而把二次三项式分解 因式的方法.
(2)x2 – 11x – 12
(3)x2 +13x +12
(4)x2 –x – 12
Company Logo
在进行因式分解时，要结合题目的 形式和特点来选择确定采用哪种方法。 以上这四种方法是彼此有联系的，并 不是一种类型的多项式就只能用一种 方法来分解因式，要学会具体问题具 体分析。
因式分解的一般步骤： （1） 如果多项式的各项有公因式时， 应先提取公因式； （2） 如果多项式的各项没有公因式， 则考虑是否能用公式法来分解； （3） 对于二次三项式的因式分解，
（1）6 = 2×3 （2）-6 = 1× (-6)
或 (-2)×(-3)
或-1×6
或 1×6
或 2× (-3)
或(-1) ×(-6)
或 3× (-2)
∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
x
a
x
b
∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
需要将二次项系数与常数项分别拆成两
个数的积。
十字相乘法的字母公式
x2 + (a+b)x + ab = (x+a) (x+b) 公式里有二次项，一次项，常数项， 和一元二次方程的一般形式对应起来：
一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
二次项 一次项 常数项
分解二次项与常数项后，把交叉相 乘相加，所得的和与一次项比较，判断 分解是否正确。
利用十字相乘法，因式分解:
x2 6x 7 十字相乘法的步骤：（笔记）
“一拆”：竖分二次项与常数项
x 7 “二乘”：把十字交叉相乘后的积相加
x1 “三验”：验证是否等于一次项，如果相等，
那么就分解成功，横写因式不能乱。
x7x 6x
原式 (x 7)(x 1)
因式分解：
(1)x2 + 8x +12
试一试：把x2 + 3x + 2分解因式
xHale Waihona Puke Baidu
1
十字交叉线
分析：常数项+x2分解为(+21) ×(+2)
并且满足：(+1)＋(+2)＝+3
一次项系数
注意：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线
的左上角和左下角，
再分解常数项，分别写在十字交叉线的右
上角和右下角，
然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次
项系数.