第五课时2123用因式分解法解一元二次方程资料
人教版-数学-九年级上册上册21.2.3因式分解法解一元二次方程 教案
解：（1）原方程左边分解因式得：5x(x-2)=0
∴5x=0或(x-2)=0
解：（2）原方程左边分解因式得：(x-2) (x-2)=0
∴(x-2)=0
解：（3）原方程整理为一般形式得：
原方程左边分解因式得：3(x-3) (x-3)=0
∴(x-3)=0
解：（4）原方程左边分解因式得：(x+2)(x+3)=0
3.分解因式：
复习旧知识引入新知识
二、自主交流 探究新知
（一）探究
主体活动，探索因式分解法解一元二次方程的关键及其相关方法步骤．
1.讨论ab=0时，a、b取值情况
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，
也就是ab=0时→a=0或b=0
2.利用ab=0→a=0或b=0解下列方程
(1)2x(x-2)=0 ;(2)(x+3)(x-2)=0（3）x(3x-3)=0 (4)(x+2)(x-2)=0
3.根据ab=0得a=0或b=0达到降次的目的得两个一次方程
4.解两个一次方程求出方程的两根
三、自主应用新知运用与巩固
（一）例题
巩固用因式分解法解一元二次方程的基本方法，体会因式分解法解方程的优越性
1.【教材P14例题3】解下列方程
解：（1）因式分解得：（x-2）(x+1)=0
∴x-2=0或x+1=0
课题
21.2.3因式分解法解一元二次方程(教材P12-14)
总第5课
学习目标
掌握用因式分解法解一元二次方程．
学习重点
用因式分解法解一元二次方程
学习难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
初中数学人教版九年级上册《2123因式分解法》教学课件
解一元二次方程的方法：
直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.
用直接开平方法解形如 x m2 nn 0的方程，
人教版 九年级数学上
21.2.3
因式分解法 一元二次方程
因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法： 利用平方差公式 a2 b2 （a b）（a b）和完全平方公式 a2 2ab b2 （a b）2分解因式.
（3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
跟踪训练
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0， 于是得x＝0，或x＋1＝0， 即x1＝0，x2＝－1.
跟踪训练
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
其解为 x n m.
配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是
常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解.
公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
的值，当 b2-4ac≥0 时，把各项系数 a，b，c 的值代入求根
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). 解：(2) 3x(x-1)-2(x-1)=0，
2123用因式分解法解一元二次方程课件 2021-2022人教版数学九年级上册
10 x 4.9 x 2 0
100
x0
49
2
2
100
50
50
x2
x 0
49
49
49
解： x 2
2
50 50
x
49 49
2
50
50
x
49
49
50 50
x
49 49
100
x1
3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 :
写出一元二次方程的根：
−+ −
−− −
x1 =
，x2 =
(b)当∆=0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根：
x1 = x2 =
−
(b)当∆<0时，方程实数根。
引入新课
根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10
3x 0
解：因式分解，得
x x 2 3 0.
得 x 0 或 x 2 3 0,
x1 0, x2 2 3.
3x2 6x 3,
4x2 121 0
3
4
解：化为一般式为
解：因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
因式分解，得
1 x x 2 x 2 0;
5x2 2 x
2
1ห้องสมุดไป่ตู้
3
x2 2x .
4
4
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.
21.2.3用因式分解法解一元二次方程教学课件
2
(3)x2－3
.分解因式：十字相乘法
例1: 把x 3x 18分解因式;
2
解:原式= (x+6) (x-3)
(1).因式分解竖直写; (2).交叉相乘验中项; 6x-3x=3x (3).横向写出两因式; (x+6)和(x-3)
5.关于x的一元二次方程2x(kx−4)−x2+6=0没 有实数根，求k的最小整数值.
6.按照要求解下列方程:
1.
(用直接开平方法)
2.
3. 4. 8x2+10x=3（用公式法）
5.x2-2=0（用因式分解法）
7.已知关于x的方程 （1）若方程的实数根，求k的取值范围； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的 取值范围. 8.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0. (1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根； (2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数 根。
x
6
x
-3
十字相乘法分解因式－解方程（1） 解下列方程:
十字相乘法分解因式－解方程（2）
(1)2 y 3 y 2 0
2
(2)3x 10x 8 0
2
1.
变式：
2.若(x2+y2−1)2=4，则x2+y2=的值为？ 3.已知一元二次方程(x-3)2=1 的两个解恰好分 别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则 △ABC的周长为多少？ 4.若x2-6x+m2是一个完全平方式，则m的值为？
21.2降次——解一元二次方程
我思
我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
2123因式分解法课件人教版九年级数学上册
x
3
6x x 7x
解：分解因式，得
(2x − 1)(x − 3) = 0，
解得
x1 =
1 2
，x2
=
3.
知识点2 一元二次方程解法的选用
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x (x + 5) = 5(x + 5)；
(2) (5x + 1)2 = 1；
(1) 有公因式时，可用因式分解法；
降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0，
求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=
100 .
49
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
思考：解方程10xx2=0时，二次方程是如何降为一次
的？ 解方程10xx2=0时，不是用开平方降次，而是先因
式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式， 再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解 一元二次方程的方法叫做因式分解法。
则 (x + 1)(x − 4) = 0.
即 (2 − x)(3x − 8) = 0.
∴ x + 1 = 0，或 x − 4 = 0， ∴ 2 − x = 0，或 3x − 8 = 0，
即 x1 = −1，x2 = 4．
即
x1
=
2，x2
=
8 3.
思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
练一练 解下列方程：
(1) x2 −5x + 6 = 0；
x 2
x·
×
3
3x 2x 5x
解：分解因式，得
(x − 2)(x − 3) = 0， 解得 x1 = 2，x2 = 3.
用因式分解法解一元二次方程详细
用因式分解法解一元二次方程【主体知识概括】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，比如，x 2－ 9＝0，这个方程可变形为 ( ＋ 3)( － 3) ＝ 0，要 ( x ＋ 3)( x －3) 等于 0，一定并且只需 ( x ＋ 3) 等于 0 或( x － 3) 等于 0，x x所以，解方程 ( x ＋ 3)( x － 3) ＝ 0 就相当于解方程 x ＋ 3＝ 0 或 x －3＝ 0 了，经过解这两个一次方程便可获得 原方程的解．这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的重点是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论依据是：若A ·B ＝0 A ＝ 0 或B ＝ 0．【基础知识解说】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0 的时候， 才能应用因式分解法解一元二 次方程．分解因式时，要依据状况灵巧运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法能够说是通法，即能解任何一个一元二次 方程．但对某些特别形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简易，有的用因式分解法简易．所以，在碰到一道题时， 应选择适合的方法去解． 配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实质解一元二次方程时， 一般不用配方法．而在此后的学习中，会经常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例 1：用因式分解法解以下方程：(1)y 2＋7 ＋ 6＝ 0； (2)t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ；(3)(2 x －1)( x － 1) ＝ 1．y解：(1) 方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝ 0， y ＋ 1＝ 0 或 y ＋ 6＝ 0，∴ y 1＝－ 1， y 2＝－ 6． (2) 方程可变形为 t (2 t －1)－3(2 t －1)＝0，(2 t －1)( t －3)＝0，2t －1＝0或 t －3＝0，∴ t 1＝1， t 22＝ 3．(3) 方程可变形为 2x 2－ 3x ＝0．x (2 x － 3) ＝ 0，x ＝ 0 或 2x － 3＝ 0． ∴ x 1＝0， x 2＝3．2说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够 分解为两个一次因式的乘积，而右侧为零时，则可令每一个一次因式为零，获得两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如 ( x－a)( x－b) ＝c的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如( x－e)( x－f ) ＝0 的形式，这时才有x1＝ e， x2＝ f ，不然会产生错误，如(3) 可能产生以下的错解：原方程变形为：2x－ 1＝1 或x－ 1＝ 1．∴x1＝ 1，x2＝ 2．(3) 在方程 (2) 中，为何方程两边不可以同除以(2 t－1) ，请同学们思虑？例 2：用适合方法解以下方程：(1) 3 (1－ x)2＝ 27 ；(2) x2－6x－19＝0；(3)3 x2＝4x＋1；(4) y2－15＝2y；(5)5 x( x－3)－( x－3)( x＋1) ＝ 0；(6)4(3 x＋ 1) 2＝ 25( x－ 2) 2．解析：方程 (1) 用直接开平方法，方程(2) 用配方法，方程(3) 用公式法，方程(4) 化成一般式后用因式分解法，而方程(5) 、 (6) 不用化成一般式，而直接用因式分解法就能够了．2 ＝9 ，( x－1) 2 ＝ 3，x－ 1＝±3 ，∴ x ＝1＋ 3 ， x ＝1－ 3 ．解： (1)(1 － x)1 2(2) 移项，得x 2－ 6 ＝ 19，配方，得x2－ 6x＋ ( － 3) 2＝ 19＋( － 3) 2， ( － 3) 2＝ 28，－ 3＝± 27，x x x∴ x1＝3＋2 7 ， x2＝3－2 7 ．(3)移项，得 3x2－4x－ 1＝0，∵ a＝3， b＝－4， c＝－1，∴ x＝( 4)( 4)2 43 ( 1) 2 7 ，2 3 3∴ x1＝2 7，x2＝27 ．3 3(4) 移项，得y2－ 2y－ 15＝0，把方程左侧因式分解，得( y－ 5)( y＋ 3) ＝ 0；∴ y－5＝0或 y＋3＝0，∴ y1＝5， y2＝－3．(5)将方程左侧因式分解，得 ( x－ 3) ［ 5x－( x＋ 1) ］＝ 0， ( x－ 3)(4 x－ 1) ＝ 0，∴ x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3， x2＝1．4(6)移项，得 4(3 x＋ 1) 2－ 25( x－ 2) 2＝ 0，［ 2(3 x＋ 1) ］2－［ 5( x－ 2) ］2＝ 0，［2(3 x＋ 1) ＋ 5( x－ 2) ］·［ 2(3 x＋ 1) － 5( x－2) ］＝ 0，(11 x－8)( x＋ 12) ＝ 0，∴11x－ 8＝ 0 或x＋ 12＝ 0，∴x1＝8，x2＝－ 12．11说明： (1) 对于无理系数的一元二次方程解法同有理数同样，只可是要注意二次根式的化简．(2) 直接因式分解就能转变成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这类形式的方程就不用要整理成一般式了．例 3: 解对于x的方程： ( a2－b2) x2－ 4abx＝a2－b2．解： (1) 当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝ 0．当 a＝b＝0时， x 为随意实数．当｜a｜＝｜ b｜≠0时， x＝0．(2)当 a2－ b2≠0，即 a＋ b≠0且 a－ b≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［ ( a＋b) x＋ ( a－b) ］［ ( a－b) x－ ( a＋b) ］＝ 0，∵ a＋ b≠0且 a－ b≠0，∴ x1＝b a， x2＝ab ．a b a b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不一样状况分别求解．此题其实是分三种状况，即①a＝ b＝0；②｜ a｜＝｜ b｜≠0；③｜ a｜≠｜ b｜．2 2x 2 2xy 5 y 2例 4: 已知x－xy－ 2y＝ 0，且x≠ 0，y≠ 0，求代数式x 2 2xy 5 y 2 的值．解析：要求代数式的值，只需求出 x、y 的值即可，但从已知条件中明显不可以求出，要求代数式的分子、分母是对于 x、 y 的二次齐次式，所以知道x 与 y 的比值也可．由已知x2－ xy－2y2＝0因式分解即可得 x 与 y 的比值．解：由 x2－ xy－2y2＝0，得( x－2y)( x＋y)＝0，∴ x－2y＝0或 x＋y＝0，∴ x＝2y 或 x＝－ y．当 x＝2y 时，x22xy 5y 2 (2y) 2 2 2y y 5y 2 5y 2 5 ．x 2 2xy 5y 2 (2y ) 2 2 2y y 5y 2 13y 2 13当 x＝－ y 时，x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 2 2y 2 1．x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 4y 2 2说明：因式分解法表现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不单可用来解一元二次方程，并且在解一元高次方程、二元二次方程组及相关代数式的计算、证明中也有着宽泛的应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1) 方程 ( x － 16)(x ＋8)＝0的根是 ()A ．x 1＝－ 16，x 2＝ 8B ．x 1＝ 16，x 2＝－ 8C ．x 1＝16，x 2＝ 8D ．x 1＝－ 16，x 2＝－ 8(2) 以下方程 4x 2－3x － 1＝0， 5x 2－ 7x ＋ 2＝ 0，13x 2－ 15x ＋2＝ 0 中，有一个公共解是 ( )A ．． x ＝1B ． x ＝ 2C ． x ＝ 1D ．x ＝－ 12(3) 方程 5 x ( x ＋3) ＝ 3( x ＋ 3) 解为 ( )1＝ 3 2B ． x ＝ 3A ． x 5 ， x ＝ 35C ． x 1＝－ 3， x 2＝－ 3D ． x 1＝ 3， x 2＝－ 355(4) 方程 ( y － 5)( y ＋ 2) ＝1 的根为 ( )A ． y 1＝5， y 2＝－ 2B ． y ＝ 5C ． y ＝－ 2D ．以上答案都不对(5) 方程 ( x － 1) 2－4( x ＋ 2) 2＝ 0 的根为 ( )A ． x 1＝1， x 2＝－ 5B ． x 1＝－ 1， x 2＝－ 5C ． x 1＝ 1， x 2＝ 5D ． x 1＝－ 1， x 2＝ 5(6) 一元二次方程 x 2＋ 5x ＝ 0 的较大的一个根设为 m ， x 2－ 3x ＋ 2＝ 0 较小的根设为 n ，则 m ＋ n 的值为( )A ． 1B ． 2C ．－ 4D ． 4(7) 已知三角形两边长为4 和 7，第三边的长是方程x 2－ 16x ＋ 55＝ 0 的一个根，则第三边长是( ) A ． 5 B ． 5 或 11 C ． 6D ． 11(8) 方程 x 2－3| x －1|＝1的不一样解的个数是( ) A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 2．填空题(1) 方程 t ( t ＋3)＝28的解为_______．(2) 方程 (2 x ＋ 1) 2＋ 3(2 x ＋1) ＝ 0 的解为 __________ ． (3) 方程 (2 y ＋ 1) 2＋ 3(2 y ＋1) ＋ 2＝ 0 的解为 __________．(4)对于 x 的方程 x2＋( m＋n) x＋ mn＝0的解为__________．(5)方程 x( x－ 5 )＝ 5 － x 的解为__________．3．用因式分解法解以下方程：(1) x2＋12x＝ 0；(2)4 x2－ 1＝ 0；(3) x2＝ 7x；(4) x2－4x－ 21＝0；(5)(x－1)( x＋3)＝12；(6)3 x2＋ 2x－ 1＝ 0；(7)10 x2－x－ 3＝0；(8)(x－1)2－4( x－1)－21＝0．4．用适合方法解以下方程：(1) x2－4x＋ 3＝ 0；(2)(x－2)2＝256；(3) x2－ 3x＋ 1＝0；(4) x2－2x－ 3＝ 0；(5)(2 t＋ 3) 2＝ 3(2 t＋ 3) ；(6)(3 －y) 2＋y2＝ 9；(7)(1 ＋2 ) x2－(1－2 ) x＝0；(8) 5 x2－ (5 2＋ 1) x＋10 ＝0；(9)2 x2－8x＝ 7( 精准到 0．01) ； (10)( x＋ 5) 2－2( x＋ 5) － 8＝ 0．5．解对于x 的方程：(1) x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2) x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；2222(3) x －2mx － 8m ＝ 0； (4) x ＋ (2 m ＋ 1) x ＋ m ＋ m ＝0． 6．已知x 2＋ 3xy －4y 2＝ 0( y ≠ 0) ，试求x y的值．x y7．已知 ( x 2＋y 2)( x 2－ 1＋y 2) － 12＝ 0．求x 2＋y 2的值． 8．请你用三种方法解方程：x ( x ＋12)＝864．9．已知x 2＋ 3x ＋ 5 的值为 9，试求 3x 2＋ 9x － 2 的值．10．一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系 式 h ＝－5( t －2)( t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程 ( x 2－ 1) 2－ 5( x 2－1) ＋ 4＝0，我们能够将 x 2－1 视为一个整体，而后设x 2－ 1＝ y ，则 y 2＝( x 2－ 1) 2，原方程化为2－ 5 ＋ 4＝0，解此方程，得y 1＝ 1， y 2＝ 4．y y当 y ＝1时， x 2－1＝1， x 2＝2，∴ x ＝±2 ．当 y＝4时， x2－1＝4， x2＝5，∴ x＝± 5 ．∴原方程的解为 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， x3＝－ 5 ， x4＝ 5 ．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，表现了转变的思想．(1)运用上述方法解方程： x4－3x2－4＝0．(2)既然能够将 x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参照答案【同步达纲练习】1． (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2． (1) t 1＝－ 7，t 2＝ 4(2) x 1＝－1 2， 2＝－2(3) y 1＝－1， y 2＝－3 (4) x 1＝－ ， 2＝－ n (5) x 1＝ 5 ， 2＝－1 x 2m x x3．(1) x 1＝0，x 2＝－ 12；(2) x 1＝－1，x 2＝1；(3) x 1＝0，x 2＝ 7；(4) x 1＝ 7，x 2＝－ 3；(5) x 1＝－ 5，x 2＝3；(6) x 1＝－ 1，22x 2＝1；3(7) x 1＝3，x 2＝－1；(8) x 1＝8， x 2＝－2．524． (1) x 1＝ 1， x 2＝ 3； (2) x 1＝ 18， x 2＝－ 14； (3) x 1＝35， x 2 ＝35； (4) x 1 ＝3， x 2＝－ 1；22(5) t 1＝0， t 2＝－3； (6) y 1＝ 0，y 2 ＝ 3； (7) x 1＝ 0，x 2＝ 22 － 3；2(8) x1＝5 x2＝ 10； (9) x 1≈， x 2＝－； (10)xx＝－ 7． ，1＝－ 1，255． (1) x 2－ 4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，( x － 2a ) 2＝ ( a － 1) 2， ∴ x －2a ＝±( a －1)，∴ x 1＝3a －1， x 2＝ a ＋1．(2) x 2＋(5－2k ) x ＋ k 2－5k －6＝0， x 2＋(5－2k ) x ＋( k ＋1)( k －6)＝0， ［ x －( k ＋1)］［ x －( k －6)］＝0， ∴ x 1＝ k ＋1，x 2＝( k －6)．(3) x 2－2 ＋ 2＝ 9 2 ，( x － ) 2＝ (3 ) 2mx m m m m ∴ x 1＝4m ， x 2＝－2m(4) x 2＋(2 m ＋1) x ＋m ( m ＋ 1) ＝ 0， ( x ＋m ) ［x ＋ ( m ＋ 1) ］＝ 0，∴ x 1＝－ m ，x 2＝－ m －16． ( x ＋ 4y )( x －y ) ＝ 0，x ＝－4y 或 x ＝y当 x＝－4y 时，xy ＝ 4 y y 5 ；x y 4 y y 3当 x＝ y 时，xy ＝ yy＝ 0．x y y y7． ( x2＋y2)( x2＋y2－ 1) － 12＝ 0，( x2＋y2 ) 2－ ( x2＋y2) －12＝0，( x2＋y2－ 4)( x2＋y2＋ 3) ＝ 0，∴ x2＋ y2＝4或 x2＋ y2＝－3(舍去)8．x1＝－ 36，x2＝ 249．∵x2＋ 3x＋ 5＝9，∴x2＋ 3x＝ 4，∴3x2＋9x－2＝ 3( x2＋ 3x) － 2＝ 3×4－ 2＝ 10 10． 10＝－ 5( t－ 2)(t ＋1)，∴ t ＝1( t ＝0舍去) 11． (1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)( x2－5)＝0，( x＋2 )(x－ 2 )(x＋ 5 )(x－5 )＝0。
人教版九年级上册数学教案：21.2.3用因式分解法解一元二次方程
3.强化学生的数学运算素养：熟练掌握一元二次方程的因式分解方法，提高数学运算速度和准确性，培养学生的数学运算能力；
4.增强学生的直观想象素养：通过分析一元二次方程的图像和解的性质，使学生能够形成直观的数学认识，提高直观想象能力；
-重点三：求解因式分解后的方程，得出方程的根，并理解根与判别式的关系。
-重点四：通过实际例题，强化因式分解法的应用，如完全平方公式的运用。
-举例解释：例如，方程x^2 - 5x + 6 = 0，引导学生将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，进而求出源自的两个解为x = 2和x = 3。
-教学重点的实施：
5.培养学生的数据分析素养：学会从实际案例中提炼数学问题，运用一元二次方程因式分解法进行数据处理和问题分析，提高数据分析能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：因式分解法解一元二次方程。
-重点一：掌握一元二次方程的标准形式，即ax^2 + bx + c = 0（a≠0）。
-重点二：熟练运用因式分解法，将一元二次方程化为两个一次因式的乘积形式。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了一元二次方程的因式分解法。我发现，大部分学生对这个概念的理解还是相当顺利的，但在实际应用时，有些同学在分解因式上遇到了一些困难。这让我意识到，我们在教学中不仅要注重理论知识的讲解，还要加强学生对解题技巧的掌握。
在讲授新课的过程中，我尝试通过生动的案例和实际操作，让学生更好地理解一元二次方程的因式分解法。从学生的反馈来看，这种方法效果还不错，他们能更直观地感受到数学知识在实际生活中的应用。但我也注意到，对于一些基础较弱的同学，他们可能需要更多的个别辅导和重复练习。
2123因式分解法初稿
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
思考
满足什么特点的方程可以用分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一 边易于分解成两个一次因式的乘积 时,我们就可以用分解因式的方法求 解.
解得
x1
0, x2Leabharlann 100 492.04.
你能解释这两个根的实际意义吗
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，x1=0表示物体被上 抛时离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m．
讨论
以上解方程 x10 4.9x 0 的方法是如何
使二次方程降为一次的呢？
x10 4.9x 0 ①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
归纳
上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先 因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再 使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫
做因式分解法．
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
1.我们已经学过了哪些解一元二次方程
的方法?
直接开平方法 X2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2.分解因式的方法有哪些?
根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体 离地面的高度(单位：m)为
例2 解下列方程:
21.2.3用因式分解法解一元二次方程F
练习:
1.解下列方程:
(1)x2+x=
(2)x 2 2 3x 0
0 x1=0,x2=(31)3x2-6x=-3
x1 0, x2 2 3
(4)4x2-121=0
X1=x2=1
x1=5.5,x2=-5.5
(5)3x(2x+1)=4x+2
(6)(x-4)2=(5-2x)2
x1
2 3
,
x2
1 2
x1=1,x2=3
（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程 化为一次方程，即降次.
(3)解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
作业
P16 习题21.2 第6,8,9,10题 <基础训练>同步练习
预习
P15-16 21.2.4 一元二次方程的根与 系数关系
原 方 程 的 解 为 : x1 0, x2 1.
新知巩固
AB=0 A=0或Ｂ＝０
4.快速回答：下列各方程的根分别是多少？
(1) x ( x 2 ) 0
x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
21
(3 )( 3 x 2 )( 2 x 1) 0 x1 3 , x2 2
因式分解: x(10-4.9x)=0 得:X=0或10-4.9x=0
x1
0, x2
100 49
2.04
思考2:以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的?
归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，
再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫作因式
分解法.
根据:如果a×b=0,那么a=0或b=0.
陕西省石泉县后柳中学人教版九年级数学上册课件：2123一元二次方程的解法(因式分解法)(共10张PPT)
用因式分解法试求以下一元二次方程的解？
(1)4X2-11X=0
(7)X2+10X+25=0
(2)X(X+3)+(X+3)=0
(8)9X2-24X+16=0 (9)3x2-6x-2=0
(3)(X-2)2-(2X-4)=0
(4)25y2-16=0 (5)(3X+1)2-(2X-1)2=0 (6)(2X-1)2=(2-X)2
用因式分解法解一元二次方程时： 方程左边易于分解,右边等于零
例1.解下列方程:
(1) x ( x 2 ) x 2 0 解 : 因式分解得 (x2)x (1)0
于是得 x 2 0 或 x 1 0 x12,x21
2 .5 x 2 2 x 1 4 x 2 2 x 4 3 .
解：移项合并得 4x210 因式分解得 (2x1 )2 (x1 )0
因式分解法适用于解所 有一元二次方程吗？
分解因式法解一元二次方程 的步骤是:
1. 将方程左边因式分解，右边等于0;
2. 根据“至少有一个因式为零”,转 化为两个一元一次方程. 3. 分别解两个一元一次方程，它们 的根就是原方程的根.
归纳：
配方法要先配方，再降次；通过
配方可以推出求根公式，公式法直接 利用求根公式；因式分解要先使方程 一边为两个一次因式相乘，另一边为0， 再分别使各一次式等于0.配方法、公 式法适用于所有的一元二次方程，因 式分解用于某些一元二次方程。总之， 解一元二次方程的基本思路是：将二 次方程化为一次方程，即降次。
21.2降次解一元二次方程
——因式分解法
你还记得如何将下列式子分解因式？
(人教版)九年级数学上册课件：21.2.3 用因式分解法求
解：（1）原方程可变形为
5x2 4x 0，
x5x 4 0.
x 0，或5x 4 0，
x 1
0，或x2
4 5
.
（2）原方程可变形为
xx 2 x 2 0，
x 2x1 0.
x 2 0，或x 1 0.
x 1
2，或x2
1.
4.（2013•天津中考）一元二次方程x（x﹣6）=0 的两个实数根中较大的根是 6 ． 5.（2013•广安中考）方程x2﹣3x+2=0的根 是 1或2 ． 6.（2013•陕西中考）一元二次方程 x2﹣3x=0的根是 0或3 ．
7.方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的 底和腰，则这个等腰三角形的周长为 15 ．
B．11或13 D．以上选项都不正确
5.方程x2-x-12=0的解是x1=-3，x2=4 ． 6.方程（x-1）（x+2）=2（x+2）的根 是 x1=3，x2=-2 .
7.解方程：x2+3=3（x+1）．
解：∵x2+3=3（x+1） ∴x2+3=3x+3 ∴x2-3x=0 ∵x（x-3）=0 ∴x1=0，x2=3．
4 用因式分解法求解 一元二次方程
用两种不同的方法解下列一元 二次方程： 5x2-2x-1=0
观察比较：一个数的平方与这个数的3倍 有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是 怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都是设这个数为x，根 据题意，可得方程x2=3x.但他们的解法各不 相同.
小颖的解法：
小亮的解法：
2.
x 1
-26，x2
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利用十字相乘法，因式分解:
x2 6x 7 十字相乘法的步骤：（笔记）
“一拆”：竖分二次项与常数项
x 7 “二乘”：把十字交叉相乘后的积相加
x1 “三验”：验证是否等于一次项，如果相等，
那么就分解成功，横写因式不能乱。
x7x 6x
原式 (x 7)(x 1)
因式分解：
(1)x2 + 8x +12
十字相乘法的字母公式
x2 + (a+b)x + ab = (x+a) (x+b) 公式里有二次项，一次项，常数项， 和一元二次方程的一般形式对应起来：
一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
二次项 一次项 常数项
分解二次项与常数项后，把交叉相 乘相加，所得的和与一次项比较，判断 分解是否正确。
4、5x2 - 4x
5、x2 + 6x - 7
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相 等吗？如果相等，这个数是几？
小颖,小明都设这个数为 x ,根据题意得:
小颖是这样解的 : 解: x2 3x 0.
(3)2 41 0 9.
x 3 9 . 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
(2)x2 – 11x – 12
(3)x2 +13x +12
(4)x2 –x – 12
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在进行因式分解时，要结合题目的 形式和特点来选择确定采用哪种方法。 以上这四种方法是彼有联系的，并 不是一种类型的多项式就只能用一种 方法来分解因式，要学会具体问题具 体分析。
因式分解的一般步骤： （1） 如果多项式的各项有公因式时， 应先提取公因式； （2） 如果多项式的各项没有公因式， 则考虑是否能用公式法来分解； （3） 对于二次三项式的因式分解，
试一试：把x2 + 3x + 2分解因式
x
1
十字交叉线
分析：常数项+x2分解为(+21) ×(+2)
并且满足：(+1)＋(+2)＝+3
一次项系数
注意：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线
的左上角和左下角，
再分解常数项，分别写在十字交叉线的右
上角和右下角，
然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次
项系数.
（1）6 = 2×3 （2）-6 = 1× (-6)
或 (-2)×(-3)
或-1×6
或 1×6
或 2× (-3)
或(-1) ×(-6)
或 3× (-2)
∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
x
a
x
b
∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
需要将二次项系数与常数项分别拆成两
个数的积。
而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积相加所得的和刚好等于一次项系 数，那么因式分解就成功了。
比如：二次三项式 x2+3x+2中的
常数项系数2能分解成两个因数+1、+2的积，
而且一次项系数+3又恰好是（+1）+（+2）=+3
x
+1
x
+2
“十字相乘法”是借助十字交叉线 来分解系数，从而把二次三项式分解 因式的方法.
回顾与复习
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
x2 1 x 1x 1
上面我们把一个多项式化成了几个整 式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做 把这个多项式因式分，解也叫做把这个多项 式 分解。因式
即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= B解
分解因式法解一元二次方程
当一元二次方程的一边是0,而另一边 易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就 可以用分解因式的方法求解.这种用分解因 式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边能写成连乘的形式,
两个数的平方差等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a2 2ab b2 a b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
分解因数
分解因数的方法主要有两种：
将下列各数表示成两个整数的积的形式
小明是这样解的:
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小明做得对吗?
一个数的平方与这个数的3倍有可能相 等吗？如果相等，这个数是几？
小亮都设这个数为 x ,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样想的: 如果a b 0, 那么a 0 或b 0 或a b 0.
而右边等于零; 2. 理论依据是“如果两个因式的积等于零,
那么至少有一个因式等于零.”
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1. 把原方程化为一般形式; 2. 将方程左边写成乘积的形式; 3. 根据“至少有一个因式为零”,
因式分解
x2 1
x 1x 1
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆关系
在下面这个式子的因式分解过程中，先 找到这个多项式的公因式，再将原式除以 公因式，得到一个新多项式，将这个多项 式与公因式相乘即可。 这种方法叫做提公 因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式，
2、将原式除以公因式，得到一个新多项式
3、把它与公因式相乘。
如何准确地找到多项式的 公因式呢？：
（1）系数——取各项的最大公约数 （2）字母——取各项相同字母 （3）指数——取各项相同字母的
最低次幂 即：相同字母指数取最低的数字
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
可考虑用十字相乘法分解； （4） 对于多于三项的多项式，一般
应考虑使用分组分解法进行。
在我们做题时，可以参照下面的口诀： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 十字相乘试一试，分组分得要合适； 四种方法反复试，最后须是连乘式。
因式分解： 1、(x+1)2-25
2、x(x-2) + x – 2
3、4x2 - 1