电磁场与电磁波姚毅版考试例题及习题精简版

1、例2.2.4（38P ）半径为0r 的无限长导体柱面，单位长度上均匀分布的电荷密度为l ρ。

试计算空间中各点的电场强度。

解：作一与导体柱面同轴、半径为r 、长为l 的闭合面S ，应用高斯定律计算电场强度的通量。

当0r r <时，由于导体内无电荷，因此有0=⋅⎰→→SS d E ，故有0=→E ，导体内无电场。

当0r r >时，由于电场只在r 方向有分量，电场在两个底面无通量，因此2ερπlrl E dS E dS a a ES d E l r Sr r Sr r r rS=⋅=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰→→→→ 则有：rEl r02περ=例 2. 2. 6 圆柱坐标系中, 在 r = 2 m 与 r = 4 m 之间 的 体 积 内 均 匀 分 布 有 电 荷, 其 电 荷 密 度 为ρ/C ·m- 3。

利用高斯定律求各区域中的电场强度。

解：当 0≤r ≤2m 时, 有 即Er = 0当 2 m ≤r ≤4 m 时, 有因此当r ≥ 4 m 时, 有例 2. 3. 1 真空中, 电荷按体密度 ρ= ρ0 ( 1 -r2/a2) 分布在半径为 a 的球形区域内, 其中 ρ0为常数。

试计算球内、外的电场强度和电位函数。

解 由于电荷分布具有球对称分布, 电场也应具有球对称分布, 因此, E_沿半径方向, 且只是 r 的函数。

作一半径为 r 的同心球面 S, 应用高斯定律的积分形式可得。

当 r > a 时而 Q 为球面 S 包围的总电荷, 即球形区域内的总电荷。

因此当 r < a 时取无穷远的电位为零, 得球外的电位分布为球面上( r = a ) 的电位为 当 r < a 时由于 Q = ( 8 /15 ) πρ0 a3, 在球外, 电场和电位还可以写成由此可见, 具有球对称分布的电荷, 在球外的电场和电位与点电荷的电场和电位具有相同的分布。

例 2. 5. 1 在 图 2. 5. 3 中 的 电 介 质 分 界 面 附 近,E_1 = a_x2 - a_y3 + a_z5V/m, 分界面上没有自由电荷分布, 求D_2 、角 θ1 和 θ2 。

解：根据不同介质分界面上的边界条件: 切向电场分量连续, 法向电位移矢量连续。

可得电场与分界面平面的夹角可用下面关系求得6、例2.7.1（59P ）半径为R 的导体球上带电量为Q ，试计算空间中的电场分布、电位分布和静电能量。

解：当R r <时，对于导体球，球内无电场，球面为等位面。

当R r ≥时，利用高斯定律，电场强度为204r Q E rπε=电位分布为rQ ⋅=Φ041πε球面上的电位为RQ R ⋅=Φ041πε此导电球储存的静电能为RQ Q W R e 208121⋅=Φ=πε而空间任一点的能量密度为J rQ E w e 4022203221επε== 静电场储存的静电能为 J RQ dr w r W R Re e 02284πεπ==⎰∞例 4. 2. 1 计算图 4. 2. 9( a) 所示真空中半径为 R 的长直圆柱形载流铜导线的磁场解：由真空中安培环路定律, 在 r < R 处, 有得若将导体中的电流表示为电流密度 J_= a_zI πR2, 则磁感应强度可表示为在 r > R 处, 有得例 4. 2. 2 在无限长柱形 区域 1m < r < 3m 中, 沿纵 向流动的电流, 其电流密度为 J_=a_z5e- 2 r, 其他地方电流密度 J_= 0。

求各区域中的磁感应强度。

解 在圆柱坐标系中, 若将圆柱的轴线与 z 轴重合, 则电流关于 z 轴对称, 且在 a_φ 方向。

若选圆形路径作为积分回路, 利用安培环路定律, 有其中 I 为回路 C 围成的面积上穿过的电流强度。

当 r < 1 m 时, I = 0 , 则 B_= 0例4. 5. 1 同轴线的内导体半径为 a , 外导体的半径为b, 外导体的厚度忽略不计。

并设导体的磁导率是μ0, 内、外导体间充满磁导率为μ的均匀磁介质, 如图 4 . 5.3 所示。

内、外导体分别通以大小都等于I 但方向相反的电流, 求各处的H_和B_解例4. 5. 2 无限长铁质圆管中通过电流I, 管的内、外半径分别为 a 和b。

已知铁的磁导率为μ, 求管壁中和管内、外空气中的B_, 并计算铁中的磁化强度M_和磁化电流分布。

例4. 6. 1 如图 4. 6. 3 所示, 铁心磁环的内半径为 a , 轴线半径r0, 环的横截面为矩形, 且尺寸为d×h。

已知 a m h 和铁心的磁导率μm μ0 , 磁环上绕有N 匝线圈, 通以电流为I。

试计算环中的B_，H_和Φ。

解：在忽略环外漏磁的条件下, 环内H_的环积分为铁心环内的磁通为麦克斯韦认为: 时变电磁场中的磁场是由传导电流和位移电流分别独立激励的磁场的矢量和, 而且都是旋涡场。

时变电磁场中的电场则是由电荷激励的发散电场与时变磁场激励的旋涡电场的矢量和。

于是他将时变电磁场的场源关系总结为其积分形式包括如下的四个方程1、例5.5.1（P 144）在两导体平板（d z z ==,0）限定的空气中传播的电磁波，已知波的电场分量为)cos()cos(0x k t dz E a E x x -=→→ωπ式中，x k 为常数。

1试求波的磁场分量；（2）验证波的各场分量满足边界条件；（3）求两导体表面上的面电荷和面电流密度。

2由导体与空气的边界条件可知，在0=z 和d z =的导体表面上应该有电场强度的切向分量→tE 和磁感应强度的法向分量0=nB 。

而当0=z 和d z =时，0===ty x E E E 和0==n z B B ，可见电磁波的场分量自然满足边界条件。

5.22 在1=r μ和50=rε的均匀区域中，有Te H a B m V e a E z t j m y z t j z )(0)(,/20βωβωμπ-→→-→→==如果波长为m 78.1=λ，求ω和m H 。

解：由由麦克斯韦方程tB E ∂∂-=⨯∇→→可得t B E z yx a a a zzy x ∂∂-=∂∂∂∂∂∂→→→→即 ?=⇒∂∂-=∂∂-∂∂→→→m z y z xH t B x E a y E a（自己求哈） ?278.1222==⇒====μελπωπβπμεωπλk （自己求哈） 例题6.2.1 频率为100MHz 的正弦均匀平面电磁波在各向同性的均匀理想介质中沿)(z +方向传播，介质的特性参数为4=rε，1=r μ。

设电场只有x 方向的分量，即x x E a E →→=；当m z t 81,0==时，电场等于其振幅m V /104-，试求：（1）该正弦电磁波的),(t z E →和),(t z H →；（2）该正弦电磁波的传播速度；（3）该正弦电磁波的平均坡印廷矢量。

解：各向同性的均匀理想介质中沿)(z +方向传播的正弦均匀平面电磁波可由标准的余弦函数来表示，即)cos(),(φβω+-=→→z t E t z E m 而波的电场分量是沿x 方向的，因此，波的电场分量可写成)cos(),(x m x z t E a t z E φβω+-=→→式中m V E m /104-=。

而m rad f k /344200πεμπμεωβ==== 再由m z t 81,0==时，m V EE mx/10)0,81(4-==得0=+-x z t φβω故68164ππβφ=⨯==z x则（1）)/)(634102cos(10),(84m V z t a t z E xπππ+-⨯=-→→)/)(634102cos(10601),(84m A z t a E a H a t z H yxyy y ππππη+-⨯===-→→→→（2）波的传播速度为s m /105.1411800⨯===εμμεν（3）波的电场和磁场分量的复矢量可写成)634(410ππ---→→=z j x e a E ，)634(46010πππ---→→=z j yea H 故波的平均坡印廷矢量为28)634(4)634(4*/120106010)10Re(21)Re(21m W a ea ea H E S zj y z j x ππππππ-→--→---→→→→=⨯=⨯= 1、什么是均匀平面电磁波？答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。

均匀平面波是指波的电场→E 和磁场→H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→E 和→H 的方向、振幅和相位不变的平面波。

2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。

答：（1）直线极化，同相位或相差ο180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差ο90或ο270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。

3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。

答：002222=+∇=+∇→→→→H k H E k E ，式中μεω22=k 称为正弦电磁波的波数。

意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。

电场和磁场的分量由媒质决定。

4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的限定微分形式，并简述其意义。

答：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇→→→→→→→ρεμμεE H t H E tE J H )4(0)3()2()1(物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。

物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。

B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。

物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。

C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。

物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。

D 、第四方程：高斯定律。

物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。

5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。

答：（1）微分形式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇→→→→→→→ρD B t BE tD J H )4(0)3()2()1(（2） 积分形式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→→→→→→→→→→qS d D l d B Sd t B l d E S d tD J l d H S SS l s l )4(0)3()2()()1(6写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。

答：→→→-=∂∂-∇J tA A μμε222，ερμε-=∂Φ∂-Φ∇→→222t 物理意义：→J 激励→A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。