高三一轮复习-排列组合
高考数学一轮总复习排列与组合应用篇
高考数学一轮总复习排列与组合应用篇在高考数学中，排列与组合是常见的数学概念，并且在解题中广泛应用。
掌握了排列与组合的基本知识和技巧，对于解答这类题型将会有很大的帮助。
本文将为大家总结一些高考数学中排列与组合的应用技巧和方法。
一、排列的应用排列应用广泛，常见的有带条件的排列、循环排列和固定位置排列三种情况。
1. 带条件的排列带条件的排列是指在某种限制条件下，求出可能性的个数。
例题：有5个红球和4个蓝球，现要将其排成一排，使得任意两个相邻的球颜色不同，求共有多少种排法。
解析：根据题意，我们可以将红球和蓝球交替排列，形成红蓝相间的排列方式。
假设红球的排列为R1R2R3R4R5，蓝球的排列为B1B2B3B4，则问题转化为求解红球和蓝球的排列个数。
根据排列的乘法原则，红球的排列个数为5！，蓝球的排列个数为4！，则带条件的排列个数为5！*4！=2880。
2. 循环排列循环排列是指一组对象按照某种顺序循环摆放的方式。
在某些问题中，循环排列的概念往往比较实用。
例题：有5个不同的字母a、b、c、d、e，要求将这些字母排成一圈，共有多少种不同的排列方式？解析：循环排列是指一组对象按照某种顺序循环摆放。
对于本题，我们可以将5个字母看作一个整体，共有4！种排列方式。
但由于循环，所以每种排列方式实际上对应着5种不同的摆放方式。
因此，循环排列的方式共有4！/5=24种。
3. 固定位置排列固定位置排列是指在固定的位置上放置不同的对象。
这类题目往往需要结合组合的概念来解决。
例题：将5个球放入3个盒子中，每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？解析：这是一个典型的固定位置排列问题。
我们可以将问题转化为先将5个球放入3个盒子中，再给每个盒子放至少一个球的问题。
根据排列组合的知识，先将5个球放入3个盒子中的放法有3^5种。
然而，这并不包括每个盒子至少放一个球的情况。
由于每个盒子至少放一个球，我们可以将一个球放入每个盒子中，然后再将剩下的2个球放入3个盒子中。
高考数学一轮复习之排列与组合问题
排列与组合【教学目标】1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.【考查方向】以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.【知识点击】1．排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m(2)C m n＝A m nA m m ＝n n－1n－2n－m＋1m！＝n！m n－m【知识点击1】排列问题【典型例题1】1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )A．96个 B．78个 C．72个 D．64个2．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)【对点演练1】3．6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．【知识点击2】组合问题【典型例题2】男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【对点演练 2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【知识点击3】排列与组合的综合问题【典型例题3】1.（相邻问题） 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A．2 B．9 C．72 D．362.（相间问题）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72 B．120 C．144 D．1683.（特殊元素位置问题）大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种B．24种C．36种D．48种【对点演练3】1.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____种．2.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答)【基础训练】1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( )(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( )(5)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．( )(6)k C k n＝n C k－1n－1.( )2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120 C．72 D．243．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A．8 B．24 C．48 D．1204．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种 B．216种 C．240种 D．288种5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( )A．180 B．240 C．540 D．6306．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答)7．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( )A．120 B．240 C．360 D．4808．设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？9．用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是( )A．20 B．24 C．36 D．4010．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6,7}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋…＋|x7|≤4”的元素个数为( )A．938 B．900 C．1 200 D．1 300【目标评价】1．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( ) A．360种 B．480种 C．600种 D．720种2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )A．240种 B．192种 C．96种 D．48种3．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )A．16 B．18 C．24 D．324．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种 B．18种 C．24种 D．36种5．互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )A．A55种B．A22种C．A24A22种D．C12C12A22A22种6．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48 C．60 D．727．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．(用数字作答)8．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)9．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)10．用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个．11．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．12．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)。
高三数学一轮复习-排列组合题型汇总(附详解)
高三数学一轮复习——排列、组合（理）2013.1一、分步计数原理、分类计数原理：弄清是“分布”还是“分类”例1、(1)某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案．解：用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2×(3＋3)×3＝36种．(2)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（ ）DA、26B、24C、20D、193 5 12B 4 6 A6 76 128解：要完成的这件事是：“从A向B传递信息”，完成这件事有4类办法：第一类：12 5 3第二类 ： 12 6 4第三类 ：12 6 7第四类；：12 8 6可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是3；第二类单位时间传递的最大信息量是4；第三类单位时间传递的最大信息量是6；第四类单位时间传递的最大信息量是6。
所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选D(3)如图A，B，C，D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（ ）CDAA、8种B、12种C、16种D、20种B C解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有=4种方法；第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D，D—C—B—A，这样的两个排列对应一种建桥方法，因此有种方法；根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法二、排队问题：例2、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？(1)甲在排头(2)甲不在排头，也不在排尾(3)甲、乙不相邻(4)甲乙之间有且只有两人(5)甲乙丙三人必须在一起(6)甲乙丙三人两两不相邻(7)甲在乙的左边（不一定相邻）(8)甲乙丙三人按从高到矮，自左向右的顺序(9)甲不在排头，乙不在排尾(10)排3排，前排2人，中排2人，后排3人三、定序问题：常用方法：(1) 考虑位置“插空法”(2) 整体考虑用“除法”例3、(1)10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？(2) 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( )CA． B． C． D．(3)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为____ __解：实质是7个节目的排列，因原定的5个节目顺序不改变，故排这5个节目是一个组合，有种方法，再排新插入的两个节目有种方法，故(4)一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？解：分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360种四、排数问题：注意数字“0”例4、1、由0，1，2，3，4，5这六个数字。
排列与组合讲义-高三数学一轮复习
排列与组合一、学习目标理解排列、组合的概念,能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.二、知识梳理1.排列与组合的概念（1）排列：从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素，按照 排成一列.（2）组合：从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素作为一组.2.排列数、组合数的定义、公式、性质（1）排列数(i ) 从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素的所有 的个数.(ii)A n m =n (n −1)(n −2)…(n −m +1)= .(iii)A n n =n ！ ，0！=1 .（2）组合数(i ) 从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素的所有 的个数.(ii)C n m =A nm A m m =n (n−1)(n−2)…(n−m+1)m ！= .(iii)C n m =C n n−m ，C n m +C n m−1=C n+1m ，C n n =1 ，C n 0=1 .三、典例探究例1 已知7位同学站成一排.（1） 甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（2） 甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（4）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？变式：3男3女共6位同学站成一排，则3位女生中有且只有2位女生相邻的不同排法种数是( )A. 576B. 432C. 388D. 216例2小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是( ) A. 345 B. 465 C. 1 620 D. 1 860变式：共有10级台阶，某人一步可跨一级台阶，也可跨两级台阶或三级台阶，则他恰好6步上完全部台阶的方法种数是( )A. 30B. 90C. 75D. 60方法感悟1.解排列、组合问题要遵循的两个原则（1）按元素（位置）的性质进行分类.（2）按事情发生的过程进行分步.2.两类含有附加条件的组合问题的解题方法（1）“含”或“不含”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：“至少”与“至多”问题用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用间接法求解.四、课堂练习1．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()A．12B．24C．64D．812．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．2403.现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目，每人须报1项且只报1项，则恰有2名学生报同一项目的报名方法有( )A. 36种B. 18种C. 9种D. 6种4．某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案的种数为()A．48B．60C．96D．1685. 从4本不同的课外读物中，选3本送给3位同学，每人1本，则不同的送法种数是( )A. 12B. 24C. 64D. 816. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种。
排列组合课件-高三数学一轮复习
源于探索外太空的渴望，航天事业在 21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件， 宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负 责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也 不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有
√ A.18种 B.36种 C.72种 D.108种
先排甲、乙，有 A24种排法，再排丙，有 A14种排法，其余 5 人有 A55种排 法，故不同的排法共有 A24A14A55＝5 760(种).
题型二 组合问题
从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的 有 A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法
如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的 8 人中再选 2 人即 可，有 C28＝28(种)，故 C 正确；
在 10 人中任选 4 人，有 C410＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有 C48 ＝70(种)， 故 男 生 中 的 甲 和 女 生 中 的 乙 至 少 要 有 1 人 在 内 的 选 法 有 210 － 70 ＝ 140(种)，故D正确.
第一步，先从 4 名学生中任取两人组成一组，与剩下 2 人分成三组， 有 C24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三 地，则有 A33＝6(种)不同的方法.故共有 6×6＝36(种)不同的安排方案.
题型一 排列问题
中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍
将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活 动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有_1__6_8_0_ 种.(用数字作答)
新高考数学一轮复习教师用书：第10章 2 第2讲 排列与组合
第2讲 排列与组合1．排列、组合的定义 排列的定义 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数组合数定义从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！C m n＝A mnA m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！性质A n n ＝n ！,0！＝1C mn ＝C n －mn ,C mn ＋C m －1n ＝C mn ＋1[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (4)若组合式C xn ＝C mn ,则x ＝m 成立．( ) (5)A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修23P27A 组T7改编)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24解析：选D.“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A 34＝4×3×2＝24.2．(选修23P19例4改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为( ) A ．8 B ．24 C ．48D ．120解析：选C.末位数字排法有A 12种,其他位置排法有A 34种,共有A 12A 34＝48(种)排法,所以偶数的个数为48.3．(选修23P28A组T17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( )A．18 B．24C．30 D．36解析：选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种,选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种,故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．故选C.[易错纠偏](1)分类不清导致出错；(2)相邻元素看成一个整体,不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法．1．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装计算机和组装计算机各2台,则不同的取法有________种．解析：分两类：第一类,取2台原装计算机与3台组装计算机,有C26C35种方法；第二类,取3台原装计算机与2台组装计算机,有C36C25种方法．所以满足条件的不同取法有C26C35＋C36C25＝350(种)．答案：3502．把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种．解析：设这5件不同的产品分别为A,B,C,D,E,先把产品A与产品B捆绑有A22种摆法,再与产品D,E全排列有A33种摆法,最后把产品C插空有C13种摆法,所以共有A22A33C13＝36(种)不同的摆法．答案：36排列应用题3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排,前排3人,后排4人；(3)全体站成一排,男、女各站在一起；(4)全体站成一排,男生不能站在一起．【解】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列,有A57＝2 520种排法．(2)前排3人,后排4人,相当于排成一排,共有A77＝5 040 种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起,是男生的全排列,有A33种排法；女生必须站在一起,是女生的全排列,有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素,有A22种排法,由分步乘法计数原理知,共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法,男生在4个女生隔成的五个空隙中安排共有A35种排法,故N＝A44·A35＝1 440(种)．(变问法)在本例条件下,求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端．解：(1)先排甲有4种,其余有A66种,故共有4·A66＝2 880种排法．(2)先排甲、乙,再排其余5人,共有A22·A55＝240种排法．求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙中间接法对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化的方法[提醒] (1)插空时要数清插空的个数,捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．(2)用间接法求解时,事件的反面数情况要准确．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数,则含有2,3但它们不相邻的五位数有________个．解析：不考虑0在首位,0,1,4,5先排三个位置,则有A34个,2,3去排四个空当,有A24个,即有A34A24个；而0在首位时,有A23A23个,即含有2,3,但它们不相邻的五位数有A34A24－A23A23＝252个．答案：252组合应用题要从5名女生,7名男生中选出5名代表,按下列要求,分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”,可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法,其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选,即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可,共有C22C310＝120种选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”,即从其余10人中任选5人有C510种选法,所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．(变问法)在本例条件下,求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男,1女4男,2女3男,由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解．甲、乙两人从4门课程中各选修2门,求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24,又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种,因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．排列、组合的综合应用(高频考点)排列与组合是高考命题的一个热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题多为中档题．主要命题角度有：(1)相邻、相间问题；(2)分组、分配问题；(3)特殊元素(位置)问题．角度一相邻、相间问题(2020·杭州八校联考)有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A．34种B．48种C．96种D．144种【解析】特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,有C12种选法,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余三个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有C12A44A22＝96(种),故选C.【答案】 C角度二分组、分配问题从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法．(用数字作答)【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．【答案】660角度三特殊元素(位置)问题(2020·台州市书生中学高三期中)在某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生．如果2位男生不能连着出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为________．【解析】①若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺序任意排,方法有C12C13A33＝36种．②若第一个出场的是女生(不是女生甲),则将剩余的2个女生排列好,2个男生插空,方法有C12A22A23＝24种．故所有的出场顺序的排法种数为36＋24＝60.【答案】60解排列、组合综合应用问题的思路1．安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选D.因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组,即2,1,1,有C 24C 12C 11A 22＝6种,再分配给3个人,有A 33＝6种,所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．2．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C 23种分法,再分给4人有C 23A 24种分法,所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.答案：603．(2020·浙江东阳中学高三期中检测)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,则组成的偶数的个数是________；恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数是________．解析：由五个数组成五位偶数,可分类个位数放0,2,4；当个位是0时,有A 44＝24种,当个位是2时,有3A 33＝18种,当个位是4时与个位是2时相同,则共有24＋36＝60种．当1和3两个奇数夹着0时,把这三个元素看做一个整体,和另外两个偶数全排列,其中1和3之间还有一个排列,共有2A 33＝12种,1和3两个奇数夹着2时,同前面类似,只是注意0不能放在首位,共有2C 12A 22＝8种,当1和3两个奇数夹着4时,也有同样多的结果．根据分类加法计数原理得到共有12＋16＝28种结果．答案：60 28核心素养系列21 逻辑推理、数学运算——分组分配问题中的易错点分组问题是同学们学习中的难点问题,在考试中不容易得分,在解题过程中容易掉入陷阱．解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配．关于分组问题,有整体均分、部分均分和不等分组三种,无论分成几组,应注意的是只要有一些组中元素的个数相等,就存在均分现象．下面结合一些典型问题谈谈如何避免掉进分组问题中的陷阱．一、整体均分问题国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教．现有6名免费培养的教育专业师范毕业生,将其平均分到3所学校去任教,有________种不同的分配方法．【解析】 先把6个毕业生平均分成3组,有C 26C 24C 22A 33种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A 33＝6种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有C 26C 24C 22A 33A 33＝90种分配方法．【答案】 90对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数),避免重复计数．二、部分均分问题将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．【解析】 先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式),再将这三组人安排到3个房间,然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可,故安排方式共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 15C 14C 33A 22＋C 25C 23C 11A 22·A 33·C 24＝900种．【答案】 900本题属于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m 组元素个数相等,则分组时应除以m ！,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．三、不等分组问题将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生,其中一人得1本,一人得2本,一人得3本,则有________种不同的分法．【解析】 先把书分成三组,把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本,有C 16种选法；再从余下的5本中选2本,有C 25种选法；最后余下3本全选,有C 33种选法．故共有C 16·C 25·C 33＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人,还应考虑再分配,故共有60A 33＝360种分配方法．【答案】 360对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时,任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数．总之,在解答分组问题时,一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别,均匀分组不要重复计数．对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏,抓住了以上关键点,就能避免掉进陷阱．[基础题组练]1．不等式A x8＜6×A x－28的解集为( )A．[2,8] B．[2,6]C．(7,12) D．{8}解析：选D.由题意得8！（8－x）！＜6×8！（10－x）！,所以x2－19x＋84＜0,解得7＜x＜12.又x≤8,x－2≥0,所以7＜x≤8,x∈N*,即x＝8.2．(2020·金华等三市部分学校高三期中)如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )A．96 B．84C．60 D．48解析：选B.法一：分三类：种两种花有A24种种法；种三种花有2A34种种法；种四种花有A44种种法．共有A24＋2A34＋A44＝84.法二：按A－B－C－D顺序种花,可分A,C同色与不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84.3．(2020·温州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数,②所有数位上的数字和为偶数,则这样的三位数的个数是( )A．540 B．480C．360 D．200解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶,有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数,则百位数字是奇数,有C14＝4种满足题意的选法,故满足题意的三位数共有C14×C15C15A22＝200(个)．4．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层,则同类书不相邻的放法种数为( ) A．36 B．72C．108 D．144解析：选B.3本数学书的放法有A33种,将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A33种,故同类书不相邻的放法有2A33A33＝2×6×6＝72(种),故选B.5．(2020·金华十校期末调研)A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动,现有5个红包,每人各摸一个,5个红包中有2个8元,1个18元,1个28元,1个0元,(红包中金额相同视为相同红包),则A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有( )A．18种B．24种C．36种D．48种解析：选C.A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD,ABCE,ABDE,在每类情况中,获奖的情况有C24·A22＝12种,所以由分步乘法原理得：A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有3×12＝36种．6．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现从中任选3人,要求这三人不能全是同一个班的学生,且在三班至多选1人,则不同选法的种数为( ) A．484 B．472C．252 D．232解析：选B.若三班有1人入选,则另两人从三班以外的12人中选取,共有C14C212＝264种选法．若三班没有人入选,则要从三班以外的12人中选3人,又这3人不能全来自同一个班,故有C312－3C34＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．7．如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3中三点为顶点的三角形的个数为( )A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点,有C38种取法,再减去三点共线的情形即可,即C38－C35－C34＝42.8．(2019·宁波高考模拟)从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数,则奇数位上必须是奇数的三位数的个数为( )A．12 B．18C．24 D．30解析：选B.根据题意,要求奇数位上必须是奇数的三位数,则这个三位数的百位、个位为奇数,分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个,安排在三位数的个位和百位,有C23A22＝6种情况,②在剩余的3个数字中任选1个,将其安排在三位数的十位,有C13＝3种情况,则奇数位上必须是奇数的三位数有6×3＝18个．9．(2020·温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形,则甲丁不相邻的不同的排法共有( )A．12 B．14C．16 D．18解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1,2,3,4,5.要求1,4不相邻．分四类：①先排4,5时,则1只有1种排法,2,3在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；②先排3,5时,则4只有1种排法,2,1在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；③先排1,2时,则4只有1种排法,3,5在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；④先排1,3时,则这样的数只有两个,即21534,43512,只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14种排法,故选B.10．设集合A＝{(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{－1,0,1},i＝1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素的个数为( )A．60 B．90C．120 D．130解析：选D.设t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|,t＝1说明x1,x2,x3,x4,x5中有一个为－1或1,其他为0,所以有2×C15＝10个元素满足t＝1；t＝2说明x1,x2,x3,x4,x5中有两个为－1或1,其他为0,所以有C25×2×2＝40个元素满足t＝2；t＝3说明x1,x2,x3,x4,x5中有三个为－1或1,其他为0,所以有C35×2×2×2＝80个元素满足t＝3,从而,共有10＋40＋80＝130个元素满足1≤t≤3.11．(2020·温州十五校联合体期末联考)用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数,要求数字1,3不相邻,数字2,5相邻,则这样的五位数的个数是________(用数字作答)．解析：先把2,5捆挷有2种方法,再把它与4排列有2种排法,此时共有3个空隙供数字1、3插入有A23＝6种方法,故这样的五位数的个数是2×2×6＝24个．答案：2412．(2020·嘉兴市一中高考适应性考试)电影院一排10个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排,那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种．解析：先排7个空座位,由于空座位是相同的,则只有1种情况,其中有6个空位符合条件,考虑三人的顺序,将3人插入6个空位中,则共有1×A36＝120种情况,由于甲必须坐在三人中间,则有符合要求的坐法有1×120＝40(种)．3答案：4013．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对,两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对,所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．答案：4814．如图A,B,C,D为海上4个小岛,要建立3座大桥,将4个小岛连接起来,则不同的建桥方案有________种．解析：法一：任2个岛之间建立1座桥,则共需C24＝6座桥,现只建其中3座,有C36种建法,但如图(1)这样的建桥方式是不合题意的,类似这样的情况有C34种,则共有C36－C34＝16种建桥方案．法二：依题意,满足条件的建桥方案分两类．第一类,如图(2),此时有C 14种方法．第二类,如图(3),此时有12A 44＝12种方法． 由分类加法计数原理得,共有4＋12＝16种建桥方案．答案：1615．现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么有男生________人、女生________人．解析：设男、女同学的人数分别为m 和n,则有,⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ·A 33＝90，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ＝15. 由于m,n ∈N ＋,则m ＝3,n ＝5.答案：3 516．在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A 只能出现在第一或最后一步,程序B 和C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有________种．解析：程序A 有A 12＝2种结果,将程序B 和C 看作元素集团与除A 外的元素排列有A 22A 44＝48(种),所以由分步乘法计数原理得,实验顺序的编排共有2×48＝96种方法．答案：9617．规定C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！,其中x∈R ,m 是正整数,且C 0x ＝1,这是组合数C m n (n,m 是正整数,且m≤n)的一种推广,则C3－15＝________；若x>0,则x ＝________时,C 3x （C 1x ）2取到最小值,该最小值为________．解析：由规定：C 3－15＝（－15）×（－16）×（－17）3×2×1＝－680,由C 3x （C 1x ）2＝x （x －1）（x －2）6x 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －3. 因为x>0,x ＋2x≥22,当且仅当x ＝2时,等号成立, 所以当x ＝2时,得最小值22－36. 答案：－680 2 22－36[综合题组练]1．已知10件不同的产品中有4件是次品,现对它们进行测试,直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试,只能取正品,有A 46种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试,有C 24·A 22＝A 24种测试方法,再排余下4件的测试位置,有A 44种测试方法．所以共有A 46·A 24·A 44＝103 680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有C 14·C 16·A 44＝576种不同的测试方法．2．现有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名,女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长,又要有女运动员．解：(1)任选3名男运动员,方法数为C 36,再选2名女运动员,方法数为C 24,共有C 36·C 24＝120种方法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,由分类加法计数原理可得总选法数为C 14C 46＋C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”,因此用间接法求解,不同选法有C 510－C 56＝246(种)．(3)当有女队长时,其他人任意选,共有C 49种选法,不选女队长时,必选男队长,其他人任意选,共有C 48种选法,其中不含女运动员的选法有C 45种,所以不选女队长时共有(C 48－C 45)种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C 49＋C 48－C 45＝191(种)．3．证明下列各题：(1)A k n ＋kA k －1n ＝A k n ＋1(k≤n ,n ≥0)；(2)C k n C m －k n －k ＝C m n C k m (k≤m≤n ,n ≥0)．证明：(1)左边＝n ！（n －k ）！＋k·n ！（n －k ＋1）！＝n ！[（n －k ＋1）＋k]（n －k ＋1）！＝（n ＋1）！（n ＋1－k ）！＝A k n ＋1＝右边．(2)左边＝n ！k ！（n －k ）！·（n －k ）！（m －k ）！（n －m ）！＝n ！k ！（m －k ）！（n －m ）！, 右边＝n ！m ！（n －m ）！·m ！k ！（m －k ）！＝n ！（n －m ）！k ！（m －k ）！, 所以左边＝右边．4．集合A ＝{x∈Z|x≥10},集合B 是集合A 的子集,且B 中的元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.(1)集合B 中两位数和三位数各有多少个？(2)集合B 中是否有五位数？是否有六位数？(3)将集合B 中的元素从小到大排列,求第1 081个元素．解：将0,1,…,9这10个数字按照和为9进行配对,(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成．(1)两位数有C 25×22×A 22－C 14×2＝72(个)；三位数有C 35×23×A 33－C 24×22×A 22＝432(个)．(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数；不存在六位数,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾,因此不存在六位数．(3)四位数共有C 45×24×A 44－C 34×23×A 33＝1 728(个),因此第1 081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3×C 34×23×A 33＝576(个),因此第1 081个元素是4 012.。
1_排列组合20种模型方法归类--一轮复习热点题型归纳(解析版)
排列组合20种模型方法归类1.目录【题型一】基础：相邻与不相邻【题型二】球放盒子：先分组后排列【题型三】平均分配：医生与护士型【题型四】特殊元素(位置)优先排【题型五】模型1：下电梯型【题型六】模型2：公交车模型【题型七】模型3：排课表【题型八】模型4：节假日值班【题型九】模型5：书架插书型(不改变顺序)【题型十】模型6：地图染色【题型十一】模型7：几何体染色【题型十二】模型8：相同元素【题型十三】模型9：停车位、空座位(相同元素)【题型十四】模型10：走路口(相同元素)【题型十五】模型11：上台阶(相同元素)【题型十六】模型12：“波浪数”型(高低站位)【题型十七】模型13：配对型【题型十八】模型14：电路图型【题型十九】模型15：机器人跳动型【题型二十】难点：多重限制与分类讨论真题再现模拟检测1.热点题型归纳题型一:基础：相邻与不相邻【典例分析】1阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有()A.144种B.216种C.288种D.432种【答案】C【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有A33种排法；第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有A33种排法；第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有A12种排法；第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有C12C12种排法．∴不同的排法种数有：A33A33A12C12C12=288种．故选：C．方法归纳【提分秘籍】基本规律相邻和不相邻排列：(1)相邻问题采取“捆绑法”；(2)不相邻问题采取“插空法”；【变式演练】1三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A.72种B.108种C.36种D.144种【答案】D【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有A22种方法，再与另一个男生排列，则有A22种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有A23种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有A23种方法，利用分步乘法原理，共有A22A22A23A23=144种.故选：D．2在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A.30B.36C.60D.72【答案】C【分析】记事件A:2位男生连着出场，事件B:女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为A55-n A∪B=A55-n A +n B -n A∩B，再利用排列组合可求出答案．【详解】记事件A:2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素，所以，事件A的排法种数为n A=A22A44=48，记事件B:女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件B的排法种数为n B= A44=24，事件A∩B:女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与其他2个女生形成三个元素，所以，事件A∩B的排法种数为A22A33=12种，因此，出场顺序的排法种数A55-n A∪B=A55-n A +n B -n A∩B=120-48+24-12=60种，故选C．3现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A.12B.24C.48D.60【答案】C【详解】先从四组两张连号票比如(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)中取出一组，分给甲乙两人，共有C14A22=8种，其余的三张票随意分给剩余的三人，共有A33=6种方法，根据分步乘法原理可知，共有8×6=48种，故选C.题型二:球放盒子：先分组后排列【典例分析】1我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有A.300种B.150种C.120种D.90种【答案】B【详解】分析：根据题意，先选后排.①先选，将5名教师分成三组，有两种方式，即1，1，3与1，2，2，注意去除重复部分；②后排，将分好的三组全排列，即可得到答案.详解：根据题意：分两步计算(1)将5名教师分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2；①分成1，1，3三组的方法有C15C14A22=10②分成1，2，2三组的方法有C15C24A22=15一共有10+15=25种的分组方法；(2)将分好的三组全排列有A33=6种方法.则不同的派出方法有25×6=150种.故选B.点睛：对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列．方法归纳【提分秘籍】基本规律“球放盒子”类型，要讨论“用了几个盒子”，放了几个球。
届高三数学一轮复习课件“排列组合”教学课件 (共13张PPT)
(C31A66(2)A22A55(3)72!!(4)A66(5)A66A22(6)A77 2A66 A55(7)A22A33A44(8)A55A33 (9)A44A33(10)A44C53A33(11)73!! (12)A22A44C52A22(13)74!!(14)A22A33A22A33A22 (1 5 )C 6 3(1 6 )C 7 2 C 2 5 ! 2 C 3 3(1 7 )C 7 2 C 5 2 C 3 3(1 8 )C 7 3 C 4 1 C 4 3 ! 1 C 2 1 C 1 1A 5 5 C 7 2 C 2 5 2 ! C 3 1 3 C !2 1 C 1 1A 5 5 (1 9 )5 7
“排列组合”重要知识点
李鸿鹄 栖霞市第一中学
1、排列：
一般地，从n个不同中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号 Anm表示。
例题2、按下列要求分配6本不同的书，各有几种分法？ （1）平均分成三份，每份2本； （2）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本； （3）甲乙丙三人，一人得一本，一人得二本， 一人得3本； （4）分成3份，一份一本，一份2本，一份3本； （5）分成3份，一份4本，一份1本，一份1本； （6）甲乙丙三人中，一人得4本，另外 两人每人得1本； （7）甲得1本，乙得1本，丙得4本。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
高三数学第一轮复习：排列、组合知识精讲
高三数学第一轮复习：排列、组合【本讲主要内容】排列、组合分类计数原理、分步计数原理、排列、排列数公式、组合、组合数公式【知识掌握】 【知识点精析】1. 两个原理 （1）分类计数原理 做一件事，完成它可以有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同方法，在第2类办法中有m 2种方法，……，在第n 类办法中有m n 种方法，那么完成这件事共有N=m m m n 12+++…种不同方法。
（2）分步计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同方法，做第2步有m 2种不同方法……做第n 步有m n 种不同方法，那么完成这件事共有N m m =⋅12……m n 种不同方法。
说明：两个原理的运用、理解须注意的几点：（1）必须搞清楚两个原理的条件和结论，分清它们的异同，分类完成用分类计数原理，即独立事件相加；分步完成用分步计数原理，即相连事件相乘。
（2）处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么。
因此，在解题时必须认真审题，搞清楚题目的条件、结论。
（3）对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理，又要运用分步计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清楚，积累解决实际问题的经验。
框图和树形图是解决这类问题的有效的直观形象工具。
（4）分类计数原理与分步计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数公式、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想方法。
2. 排列（1）排列、排列数公式①排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
其中，“一定的顺序”指每一次取出的元素与它所排的“位置”有关，两个排列相同，不但所有元素相同，而且排列顺序也要相同。
②排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A n m 表示，其中A n n是全排列。
2025年高考数学一轮复习专题15 排列组合含解析
专题15排列组合易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）相邻问题技巧总结相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数易错提醒：排列组合实际问题主要有相邻问题和不相邻问题。
（1）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）；（2）不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）；例、现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（）A ．3565A A ⋅种B ．()863863A A A -⋅种C ．3353A A ⋅种D ．()8486A A -种易错分析：本题易出现的错误是把“甲、乙、丙3人不能相邻”理解为“甲、乙、丙3人互不相邻”的情况，使结果中遗漏甲、乙、丙3人中有两人相邻的情况．正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙3人不相邻的方法数，即863863A A A -⋅，故选B ．易错警示：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素变式1：加工某种产品需要5道工序，分别为A ，B ，C ，D ，E ，其中工序A ，B 必须相邻，工序C ，D 不能相邻，那么有（）种加工方法．A ．24B ．32C ．48D ．64解：工序A ，B 必须相邻，可看作一个整体，工序C ，D 不能相邻，所以先对AB ，E 工序进行排序，有222A =种方法，AB 内部排序，有222A =种方法，排好之后有三个空可以把工序C ，D 插入，共236A =种情况，所以一共有22624⨯⨯=种可能性故选：A变式2：中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列.中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种解：首先将程序B 和C 捆绑在一起，再和除程序A 之外的3个程序进行全排列，最后将程序A 排在第一步或最后一步，根据分步计数原理可得241242224296A A A =⨯⨯=种.故选：C变式3：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A ．10种B ．12种C ．16种D ．24种解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活A++=种方法；动有1种方法，则此时共有22(211)8A=种方法.综合得不同的安如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有222排方案共有10种.故选:A1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）A ．48B ．96C ．144D ．288【详解】由于A ，B 相邻，所以先将A,B 看作一个整体捆绑起来与E,F 进行全排列，然后将C ，D 插入到已排好队的两两之间以及首尾的空隙中即可，故共有322324A A A 144=,故选：C5．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）A ．18种B ．24种C ．30种D ．36种【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有33A 6=种站法；当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，有123223A A A 24=种站法，所以一共有62430+=种不同的站法．故选：C6．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（）A ．18种B ．36种C ．72种D ．144种【详解】由题意可得12331233A A A A 72=，故选:C7．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（）A ．144B ．864C ．1728D ．2880【详解】甲家庭的站法有2223A A 12=种，乙家庭的站法有3234A A 72=种，最后将两个家庭的整体全排列，有22A 2=种站法，则所有不同站法的种数为127221728⨯⨯=．故选：C8．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A 和B 不相邻，则不同的排法共有（）A ．120种B ．240种C ．360种D ．480种【详解】一方面：若要求学员A 和B 相邻，则可以将学员A 和B 捆绑作为一个“元素”，此时一共有5个元素，但注意到学员A 和B 可以互换位置，所以学员A 和B 相邻一共有2525A A 2154321240⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.A．1B．2A B C D四位同学参加圆桌会议，共有【详解】,,,其中,A B两位同学可坐在①②，②③，③④三个位置，并可进行互换位置，有C ．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D ．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种【详解】对于A ，如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有335461-=（种），故A 正确；对于B ，如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有2525=（种），故B 错误；对于C ，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有54360⨯⨯=（种），故C 正确；对于D ，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有2525=（种），故D 错误.故选：AC.18．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（）A ．3名男生排在一起，有6种不同排法B ．2名女生排在一起，有48种不同排法C ．3名男生均不相邻，有12种不同排法D ．女生不站在两端，有108种不同排法【详解】解：由题意得：对于选项A ：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有3333A A 36⋅=种，A 错误；对于选项B ：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有2424A A 48⋅=种，B 正确；对于选项C ：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有2323A A 12⋅=种，C 正确；对于选项D ：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有2232C A 6⋅=种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有223323C A A 36⋅⋅=种，D 错误.故选：BC19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A ．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B ．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．甲乙不相邻的排法种数为72种D ．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种【详解】A 选项，将甲与乙捆绑，看做一个整体，与其他三人站成一排，故有44A 24=种，A 正确；B 选项，若最左端排甲，此时其余四人可进行全排列，故有44A 24=种，易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题）1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可2.解题步骤：①先考虑不受限制的元素的排列种数②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数③求出总的排列种数易错提醒：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．但应该注意插入的元素之间如果也有顺序，应先进行排列．例、有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数．（1）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；（2）全体排成一行，其中男生必须排在一起．错解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一个整体，分别全排列，所以共有3434A A 144⨯=种排法；（2）将男生看成一个整体，与女生进行全排列即可，所以共有55A 120=种排法．错因分析：解决此类问题时将“在一起”的进行“捆绑”，与其他元素进行排列即可．错解中（1）忽略了将男女生所看成的两个整体进行排列，即忽略了“整体排列”；（2）忽略了将男生进行排列，即忽略了“内部排列”．正解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一个整体，分别全排列，最后两个整体全排列①，所以共有342342A A A 288⨯⨯=种排法；（2）将男生看成一个整体，先进行内部排列，再与女生进行全排列即可②，所以共有3535A A 720⨯=种排法．变式1：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A ．10种B ．12种C ．16种D ．24种解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有22(211)8A ++=种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有222A =种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A变式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行，则甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．512解：甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行有55120A =种方法，甲、乙相邻，丙、丁不相邻的排法为先将甲、乙捆绑在一起，再与戊进行排列，然后丙、丁从3个空中选2个空插入，则共有222223223224A A A =⨯⨯⨯=种方法，所以甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为2411205=，故选：A 变式3：某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（）A ．12种B ．24种C ．72种D ．120种解：先排列2名男生共有22A 种排法，再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有33A 种排法，所以舞台站位时男女间隔的不同排法共有232312A A =种排法，故选：A.1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A -种排法【答案】AC【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【详解】选项A ,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有33A 种，加上4名男生一共有5个个体，则有55A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有5335A A 种排法，故A 正确；选项B ,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有44A 种，再将3名女生插入空中，有35A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有4345A A 种排法，故B 不正确；选项C ,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有16C 种，再将剩余的6人全排列，有66A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有1666C A 种排法，故C 正确；选项D ,利用间接法，3人站成一排共有77A 种排法，若甲站最左边有66A 种排法，乙站最右边有66A 种排法，甲站最左边且乙站最右边有55A 种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有765765A 2A A -+种排法，故D 不正确；故选：AC.2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法【答案】AD【分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次分析选项，即可判断.【详解】A ：从3个歌唱节目选1个作为开场，有13C =3种方法，后面的5个节目全排列，所以符合题意的方法共有553A 360=种，故A 正确；B ：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有22A 2=种方法，再与其余4个节目全排列，所以符合题意的方法共有552A 240=，故B 错误；C ：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有44A 24=种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，所以符合题意的方法有2524A 480=种，故C 错误；D ：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，所以不同的选法共111111323121C C C C C C 11++=种，故D 正确.故选：AD.3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种【详解】对于A ，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：55A 120=种，故A 对；对于B ，先排4个学生44A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有25A 种方法，所以一共有4245480A A =种，故B 错；对于C ，先排4个学生44A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入4个学生形成的5个空位中有45C 种，所以一共有4445A C 120=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有：4245A C 240=，空位只有两个相邻的有412454A C C 720=，所以一共有1202407201080++=种，故D 错；故选：AC.4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种【详解】对于A ，将甲乙捆绑有22A 种方法，若戊在丙丁之间有22A 排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有14A 种方法；若丙丁相邻，戊在左右两边有2122A A 种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有212222A A A 种排法，所以总的排法有221212224222A A A A A A 24+= ，故A 错误；对于B ，若甲在最左端，有44A 24=种排法，若乙在最左端，先排甲有13A 3=种排法，再排剩下的3人有33A 6=，所以总共有243642+⨯=种排法，正确；对于C ，先将甲乙丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有14A 种，再插戊有15A 种，总共有1145A A 20= 种，正确；对于D ，先分组，将甲乙丙丁分成3组有24C 种分法，再将分好的3组安排在3个社区有33A 种方法，共有2343C A 36= 种方法，正确；故选：BCD.5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有720种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种【详解】对于A,将四个空位当成一个整体，全部的坐法：66A 720=，故A 对；对于B ，先排5个学生55A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有26A 中方法，所以一共有5256A A 3600=种，故B 错；对于C ，先排5个学生55A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入5个学生中有46C 种，所以一共有5456A C 1800=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有1800种，空位两个两个相邻的有：5256A C 1800=，空位只有两个相邻的有521564A C C 7200=，所以一共有18001800720010800++=种，故D 错；故选：AC6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（）A ．731424735454A A A A A A --B ．4343A A C ．7314222473543254A A A A C A A A --D ．4345A A 【详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有35A 种情况．则有4345A A 种排法，第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有314354A A A 种排法，再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有22243254C A A A 种排法，则歌手不相邻有3142224354773254A A A C A A A A --种排法．故选：CD7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法【答案】ACD【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A 正确；不相邻问题利用插空法可以判断B 错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C 正确；利用特殊位置法可以判断D 正确.【详解】对于A ，从六门课程中选两门的不同选法有2615C =种，A 正确；对于B ，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有4245480A A =种，B 错误；对于C ，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有3434A A 144=种，C正确；对于D ，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有554A 480=种，D 正确.故选：ACD.8．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种【详解】A 选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有44A 24=种排0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（）A ．180B ．210C ．240D ．360【详解】先把6,1,8,9排列，然后选两个空档插入3，总方法为4245A C 240=．故选：C ．易错点三：忽视排列数、组合数公式的隐含条件（排列组合综合）1．两个重要公式(1)排列数公式()()()()()n m N m n m n n n n m n n A m n ≤∈+---=-=*且,,!!121 ．(2)组合数公式()()()()()nm N m n m m n n n n m n m n C m n ≤∈+---=-=*且,,!!!!121 2、要点：()()()!m m n n n n C mn121+---= 一般用于计算，而()!!!m n m n C m n -=和m m mn mn A A C =一般用于证明、解方程（不等式）.重点：三个重要性质和定理组合数性质（1）对称性：()n m N m n C A A C m n n m mm n m n≤∈==*-且,,；组合意义：从n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C .从n 个不同的元素中任取m 个元素后只剩下m n -个元素了，则从n 个不同的元素中任取m 个元素与从n 个不同的元素中任取m n -个元素是等效的.则mn nC -，故mn nm n C C -=.等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.应用：①简化计算，当2n m >时，通常将计算m n C 转化为计算mn n C -，如561236783858=⨯⨯⨯⨯==C C ②列等式：由y n x n C C =，可得y x =或n y x =+，如xC C 838=，则x =3或83=+x 故3=x 或5=x .（2）()n m Nm n C C C m nm n m n ≤∈+=*-+且,,11；组合意义：从()1+n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C 1+.对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取()1-m 个元素，所以共有1-m nC 种，如果不取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取m 个元素，所以共有mn C ，根据分类加法原理：11-++=m nmn mn C C C .等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数.应用：恒等变形常见的组合恒等式：1-1m n mn C m m n C +-=，m n m n C m n n C 1--=，11--=m n mnC mn C 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ，rn m r n m n r m n r m n r m C C C C C C C C C +--=++++022110 .（3）10=n C .重点：三个重要性质和定理组合数性质（1）对称性：()n m N m n C A A C m n n m mmn m n≤∈==*-且,,；组合意义：从n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C .从n 个不同的元素中任取m 个元素后只剩下m n -个元素了，则从n 个不同的元素中任取m 个元素与从n 个不同的元素中任取m n -个元素是等效的.则mn nC -，故mn nm n C C -=.等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.应用：①简化计算，当2n m >时，通常将计算m n C 转化为计算mn n C -，如561236783858=⨯⨯⨯⨯==C C ②列等式：由y n x n C C =，可得y x =或n y x =+，如xC C 838=，则x =3或83=+x 故3=x 或5=x .（3）()n m Nm n C C C m nm n m n ≤∈+=*-+且,,11；组合意义：从()1+n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C 1+.对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取()1-m 个元素，所以共有1-m nC 种，如果不取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取m 个元素，所以共有mn C ，根据分类加法原理：11-++=m nmn mn C C C .等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数.应用：恒等变形常见的组合恒等式：1-1m n mn C m m n C +-=，m n m n C m n n C 1--=，11--=m n mnC mn C 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ，rn m r n m n r m n r m n r m C C C C C C C C C +--=++++022110 .（3）10=n C .易错提醒：解排列、组合的综合问题要注意以下几点（1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．（2）对于有限多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．例、解不等式288A 6A x x -<.【错解】由排列数公式得8!8!6(8)!(10)!x x <⨯--，化简得x2－19x ＋84<0，解之得7<x<12.因为x ∈N*，所以x ＝8，9，10，11.【错因】在排列数公式A 中，隐含条件m≤n ，m ∈N*，n ∈N*，错解中没有考虑到x －2>0，8≥x ，导致错误．【正解】由288A 6A x x -<，得8!8!6(8)!(10)!x x <⨯--，化简得x2－19x ＋84<0，解之得7<x<12，①又所以2<x≤8，②由①②及x ∈N*得x ＝8.【答案】x ＝8.变式1．若37C C n n =，则n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10解：因为37C C n n =，则由组合数的性质有37n +=，即10n =，所以n 的值为10.故选：D变式2．计算34C ＋35C ＋36C ＋L ＋32015C 的值为（）A ．42015CB ．32015C C ．42016C －1D ．52015C －1解：33334333344562015445620154C C C C C C C C C C ++++=+++++- 4333455620154C C C C C =++++- 434420152015420161C C C C =+-=-.故选：C.变式3．若整数x 满足232551616C C x x x +++=，则x 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或3解：由题可知23255x x x ++=+或()()2325516x x x ++++=，整理得2230x x --=或2890x x +-=，解得3x =或1x =-或1x =或9x =-．又20321605516x x x ⎧≤++≤⎨≤+≤⎩，所以只有1x =-和1x =满足条件，故x 的值为1或1-．故选：C1．()(2)(3)(4)(15)N ,15x x x x x x +----∈> 可表示为（）A ．132A x -B ．142A x -C ．1315A x -D ．1415A x -【答案】B【分析】根据排列数的定义可得出答案．易错点四：实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误（加法与乘法原理）正难则反问题技巧总结正难则反排除处理：对于正面不好解决的排列、组合问题，考虑反面(取补集的思想)，一般在题目中有字眼“至多、至少”等体现。
高考数学一轮总复习课件：排列与组合
其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600(种)．
方法二：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的 6 个 人中选 2 个排列，有 A26种方法，中间 5 个位置由余下 4 人和甲进 行全排列，有 A55种方法，共有 A26×A55＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全 排列，有 A44种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法， 故共有 A44×A44＝576(种)．
再除以定序元素的全排列 正难则反，等价转化的方法
思考题 1 (1)(2019·上海春季高考题)某校组队参加辩 论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其 中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 ___1_8_0___(结果用数值表示)．
【解析】 先安排甲，有 3 种情况，再从剩下的 5 名学生中选 3 人排列，有 A35种情况，
∴共有 3A35＝180 种方法．
(2)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，
其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时
必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( C )
A．34 种
B．48 种
C．96 种
D．144 种
【解析】 程序 A 有 A12＝2(种)，将程序 B 和 C 看作一个整体 与除 A 外的元素排列，有 A22A44＝48(种)，所以由分步乘法计数原理， 实验顺序的编排方法共有 2×48＝96(种)．故选 C.
(5)分三步进行： 第一步：选 1 男 1 女分别担任两个职务为 C17C15种； 第二步：选 2 男 1 女补足 5 人有 C26C14种； 第三步：为这 3 人安排工作有 A33种． 由分步乘法计数原理共有 C17C15C26C14A33＝12 600 种选法． 【答案】 (1)120 (2)252 (3)672 (4)596 (5)12 600
高三一轮复习排列组合ppt课件
A. 7 5
B. 5 7
A C
5 7
D.
C5 7
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列， 将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客人”，每 个“客人”有7种住宿法，由乘法原理得 5 种。
7 5 注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 7 呢？
.
7
考向3 涂色问题
【例1】如图，用5种不同的颜色给图中A、 B、C、D四个区域涂色，规定每个区 域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 求有多少种不同的涂色方法？ 180 解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件事
需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4种 方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还可 以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有5×4×3×3 ＝180种涂色方法．
m1+m2+……+mn有种不同的方 有种不同的方法。
法。
分类记数原理针对的是
分步记数原理针对的是
“分类”问题，其中各种方 “分步”问题，各步方法相
法相互独立，用其中任何一 互依存，只有各步都完成才
种方法都可完成这件事。 能完成这件事。
.
3
3。排列与组合
排列
组合
定义
从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， m(m≤n)个不同元素按照 任取m（m≤n）个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。中取出m个不同的元
元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素 之间及两端的空隙之间插入即可。
例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻， 分别有多少种站法？
分析：可先让其余4人站好，共有 A
高考数学一轮复习排列组合和概率必考知识点归纳
高考数学一轮复习排列组合和概率必考知识点归纳
高考数学一轮复习排列组合和概率必考知识点归纳
解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法。
二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。
二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。
二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r
你掌握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的'概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同时发生的概率公式。
) 二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件A发生k次的概率易记混。
通项公式：它是第r+1项而不是第r项;
事件A发生k次的概率：。
其中k=0，1，2，3，…，n，且0
求分布列的解答题你能把步骤写全吗?
如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;理解频率分布直方图矩形面积的几何意义。
)
你还记得一般正态总体如何化为标准正态总体吗?(对任一正态总体来说，取值小于x的概率，其中表示标准正态总体取值小于的概率)。
高三一轮复习_排列组合
7
4．(2010·北京)8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老
师不相邻的排法种数为( A )
A．A88A29
B．A88C29
C．A88A27
D．A88C27
解析 不相邻问题用插空法，先排学生有 A88种排法，老 师插空有 A29种方法，所以共有 A88A29种排法．
2021/7/17
8
5．某电视台连续播放 5 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传 广告，且 2 个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方 式有( C ) A．120 种 B．48 种 C．36 种 D．18 种
2021/7/17
22
探究提高 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素 取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排 列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的 差异及分类的标准．
2021/7/17
23
变式训练 3 (2010·湖北)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同 学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导 游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参 加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、 戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( B ) A．152 B．126 C．90 D．54
2021/7/17
19
变式训练 2 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学 校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因 此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法 种数是__1_6_____．(用数字作答)
解析 从 6 所高校中任选 3 所有 C36＝20(种)不同选法，其中 同时报考 2 所考试时间相同的选法数为 C14＝4(种)，故不同的 报名方法种数为：C36－C14＝20－4＝16(种)．
高三一轮复习排列组合课件
在通信中，为了防止干扰和误码，需要采用一定的码制来表示信息。排 列数公式可以用来计算码制中码字的排列数，从而确定信息传输的可靠 性。
03
排列组合解题方法
直接法
总结词
直接法是解决排列组合问题最基础的方法，适用于简单、直观的问题。
详细描述
直接法通过列举或计算直接得出排列或组合的数目，不需要复杂的推理和计算 。例如，计算n个不同元素的全排列数或m个不同元素中取出n个元素的组合数 。
排列数公式反映了排列的基本规律，是组合数学中的重要概 念。
组合数公式
定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合 。所有这样的组合的总数称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C(n,m)。
计算公式
C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]
组合的表示方法
C_n^m 或 nCm
排列与组合的联系与区别
联系：排列和组合都是从n个不同元素中 取出m个元素的问题，区别在于是否考 虑顺序。
排列的元素互不相同，组合的元素可以 相同。
排列的表示方法为A_n^m或nPm，组合 的表示方法为C_n^m或nCm。
区别 排列考虑顺序，组合不考虑顺序。
02
解决相同元素的排列问题时，需要先从一 组相同元素中选取若干个元素，然后对选 取的元素进行排列。例如，有5个相同的 球，要求从中选取3个球进行排列，则可 以先从5个球中选取3个球，然后对这3个 球进行排列。
排列与组合的综合应用题
总结词
排列与组合的综合应用题是指将排列和组合 的知识点结合起来进行考察的问题。
排列组合基本公式
排列数公式
1 2
高三一轮复习排列组合共39页
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
高三一轮复习排列组合
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
END
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2021/3/10
讲解：XX
10
解 (1) 方法一 (元素分析法)
先排甲有 6 种，其余有 A88种， 故共有 6·A88＝241 920(种)排法．
方法二 (位置分析法) 中间和两端有 A38种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A66种排 法，故共有 A38·A66＝336×720＝241 920(种)排法．
2021/3/10
讲解：XX
8
5．某电视台连续播放 5 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传 广告，且 2 个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方 式有( C ) A．120 种 B．48 种 C．36 种 D．18 种
解析 先安排后 2 个，再安排前 3 个，由分步乘法计数原理 知，共有 C12C13A33＝36(种)不同的播放方式．
讲解：XX
3
[难点正本 疑点清源] 1． 组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形
式．前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式 及合并组合数简化计算．注意公式的逆用．即由 m！nn！ －m！写出 Cnm. 2． 要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关， 排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列 两个步骤进行．
元素的排列数，用 Amn 表示．
2021/3/10
讲解：XX
1
(3)排列数公式：Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) (4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元 素的一个全排列，Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝ n！.排列数公 式写成阶乘的形式为 Amn ＝n－n！m！，这里规定 0！＝ 1 .
2．组合 (1)组合 的定义：从 n 个不 同元素中 取出 m(m≤n)个元 素 合成一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元 素的一个组合．
(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同组合 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的组合数，用 Cnm表示．
2021/3/10
讲解：XX
9
题型分类 深度剖析
题型一 排列问题 例 1 有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各
有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间． 思维启迪：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到 限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对 于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插 空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题， 常常使用“直接法”或“排除法”，(特殊元素先考虑)．
2021/3/10
讲解：XX
4
基础自测 1．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服
务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案有 ___1_4____种．
解析 ①有 1 名女生：C12C34＝8. ②有 2 名女生：C22C24＝6. ∴不同的选派方案有 8＋6＝14(种)．
方法三 (等机会法)
9 个人的全排列数有 A99种，甲排在每一个位置的机会都是均 等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是 A99×69＝
241920(种)．
2021/3/10
讲解：XX
11
方法四 (间接法) A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)． (2)先排甲、乙，再排其余 7 人， 共有 A22·A77＝10 080(种)排法． (3)(插空法) 先排 4 名男生有 A44种方法，再将 5 名女生插空，有 A55种方 法，故共有 A44·A55＝2 880(种)排法．
2021/3/10
讲解：XX
7
4．(2010·北京)8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老
师不相邻的排法种数为( A )
A．A88A29
B．A88C29
C．A88A27
D．A88C27
解析 不相邻问题用插空法，先排学生有 A88种排法，老 师插空有 A29种方法，所以共有 A88A29种排法．
2021/3/10
讲解：XX
5
2. 从 1,2,3,4,5,6 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数， 组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 _5_4__个．
解析 选出符合题意的三个数有 C13C23＝9(种)方法， 每三个数可排成 A33＝6(个)三位数， ∴共有 9×6＝54(个)符合题意的三位数．
2021/3/10
讲解：XX
6
3．从 3 名男生、4 名女生中，选派 1 名男生、2 名女生参加 辩论赛，则不同的选派方法共有__1_8_____种．
解析 从 3 名男生中选一名有 C13种方法，从 4 名女生中选 2 名，有 C24＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理知，不同的 选派方法共有 C13C24＝18(种)．
同的排列方法总数．
(1)选其中 5 人排成一排；
(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；
2021/3/10
讲解：XX
2
n!
(3)组合数的计算公式：Cmn ＝AAmnmm＝ m ! ( n m ) !
n(n1)(n2) (nm1)
＝
m(m1) 21 ，由于 0！＝ 1 ，所以 C0n＝ 1 .
C (4)组合数的性质：①Cmn ＝
C nm n
；②Cnm＋1＝
m
ห้องสมุดไป่ตู้n＋
C m 1 n
.
2021/3/10
2021/3/10
讲解：XX
12
探究提高 本题集排列多种类型于一题，充分体现了 元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先 考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会 法、插空法等常见的解题思路．
2021/3/10
讲解：XX
13
变式训练 1 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不
§10.2 排列与组合
基础知识 自主学习
要点梳理 1．排列
(1)排列的定义：从 n 个不同 元素中取出 m (m≤n)个元素， 按照一定的 顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m
个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素
的 所有不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个