对数指数函数公式全集

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1 指数函数和对数函数

重点、难点：

重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。

难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。

1、指数函数：

定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。

定义域为R 底数是常数，指数是自变量。

认识。 图象特征 函数性质

（1）图象都位于X 轴上方；

（1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ；

（2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ；

（3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1

（3）当 a > 1 时，｛

→, X

标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1

X A 0 ,贝U a x V 1

y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，<

X £ 0 ,贝U a x A 1 k

（4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数，

当0cac1时，y=a x 是减函数。

为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。

X

因为若a ：：;0

时,

X

1、对三个指数函数

a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在,

y =a x ，y =Iog a X 在

上升，y = f l］的图象逐渐下降。

k2 J

①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1），

的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。

步认识无限个函数的图象。

2、对数：

定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是

真数，log a N是对数式。）

由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。

当N为零的负数时对数不存在。

（1）对数式与指数式的互化。

由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如:

分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成

比较好办。

解：设Iog 0.32

X ■? 0 时，y = 10 %

②y =2x与y

X

的图象关于y轴对称。

③通过y = 2 X

X

三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a

示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y =

X

也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进

再改写为指数式就

贝U 0.32 X= 5-

1

—

125丿

评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。

如求3x - 5中的X，化为对数式X=Iog 35即成。

（2）对数恒等式：

由a^ N （1） b =Iog a N （2）

将（2）代入（1）得a loga N= N

• ∙ X

计算：—.i°g 1

2

3 3

运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幕的底数和对数的底数相同。

1

o g1 2

2

3

解：原式

-2

（3）对数的性质：

①负数和零没有对数；

②1的对数是零；

③底数的对数等于1。

（4）对数的运算法则：

① log a M N = Iog a M Iog a N M，N R

IVl

②Iog a Iog a M -Iog a N M，N R

N F

③Iog a N n = n Iog a N N R

1

④ Iog a n. N = -Iog a N N R

n

3、对数函数:

定义：指数函数

y = Iog a Xx ■ （0「：：）叫做对数函数。

1、对三个对数函数y = Iog2X，y = Iog1X，

2

X

y = a (a . o且a = 1)

y = Ig X的图象的认识。

图象特征与函数性质:

即

'<25 J

(1)

所有对数函数的图象都过点 (1,0 ),但是y =Iog 2

X 与y = Ig χ在点(1,0 )曲线是交叉的，即当X . 0

时，y =Iog 2X 的图象在y = Ig X 的图象上方；而 0 ：：： x ：：： 1时，y = I og 2 x 的图象在y = Ig x 的图象的下方， 故有：Iog 21.5 . Ig.1 5 ； Iog 2

0.1 ：：： I g.0 1 o (2) y = Iog 2 X 的图象与y =Iog 1

X 的图象关于X 轴对称。 2

(3) 通过y =Iog 2 X , Ig X , y = Iog 1

X 三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如 2

作y = Iog 3 X 的图象，它一定位于y =Iog 2X 和y=Igx 两个图象的中间， 且过点(1,0 ), XAo 时，在y = Ig X 的上方，而位于 讨=Iog 2 X 的下方，0 ：：： X ：： 1时，刚好相反，则对称性，可知

y = Iog 1

X 的示意图。 3 因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

4、对数换底公式:

LN =Iog e

N (其中 e =2.71 8 28 …)称为白N L g N =Iog 10

N 称为常数对数 由换底公式可得:

Ig N Ig N 2.303lg N Ige 0.4343

由换底公式推出一些常用的结论:

(1) lo g a b

或 Iog a b ∙ Iog b a =1

Iog b a (2) log n b m = m log a

b a a n

(3) log a n

b n =Iog a b Iog b N Iog a N

Iog a b

自然对数 L n N