惯性矩的计算方法
惯性矩的计算方法
第1节静矩和形心4.1静矩和形心任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关.而口与构件截面的几何形状和尺寸有关.如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面而积A ,计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I?等.A、1?等是从不同角度反映了截而的几何特性，因此称它们为截而图形的几何性质.4.1静矩和形心设有一任意截而图形如图4 一1所示，其面积为A .选収直角坐标系yoz ,在坐标为（y,z）处取一微小而积dA ,定义微而积dA乘以到y轴的距离z ,沿整个截面的积分，为图形对y轴的静矩S?,其数学表达式(4 -la )同理，图形对z轴的静矩为□4-1图41截面静矩与坐标轴的选取有关•它随坐标轴y、z的不同而不同.所以静矩的数值可能足正，也可能足负或定零.静矩的虽纲为长度的三次方.确定截面图形的形心位置（图4-1中C点）:A (4-2b)第1页共30页式中T、"为截而图形形心的坐标值.若把式（4-2）改写成心"•儿，為"•乙（4 3）性质：・若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心.・若坐标轴通过截而形心，则截而对此轴的静矩必为零.・山于截而图形的对称轴必定通过截而形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是山若干简单图形（如矩形、圆形等）组合g而成的.对于这样的组合截而图形，计算静矩（S»‘ r）与形心坐标（y*、z '）时，可用以下公式1-1 2-1式中A— y i , z i分别表示第，个简单图形的面积及其形心坐标值，n为组成组合图形的简单图形个数.即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和.组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积.组合截面图形有时还可以认为是山一种简单图形减去另一种简单图形所组成的.例4J己知T形截面尺寸如图4-2所示，试确定此截面的形心坐标值.i-1 i-1 (4-5)图4-2解：(1)选参考轴为y 轴，z 轴为对称轴,(2)将图形分成I 、口两个矩形，则= 20 x 100加朋 S 右=(10 + 140)^^34 = 2Q X 14%/,22 二注型(3)代入公式(4・5)20x100x150+20x140x70 20x100 + 20x140此=°4.2惯性矩、惯性积和惯性半径设任一截面图形(图4-3),其而积为A ・选取直角坐标系yoz ,在坐标为(y 、z)处取一微小面积dA ,定义此微2面积dA 乘以到坐标原点o 的距离的平方Q ,沿整个截面积分，为截而图形的极惯性矩I?.做而积dA 乘以到坐标轴y 的2距离的平方2 ,沿整个截而积分为截面图形对y 轴的惯性矩I 》•极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩.j.l ~2Z4数学表达式为打=f p^dA极惯性矩“俎（4-6）对y轴惯性矩图4-3山图4-3看到“ =y +Z 9所以有打=\A^dA= £cy2 +/）曲二必+加必即；? （4-8）式（4-8）说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
惯性矩的计算方法
第1节静矩和形心静矩和形心任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关．如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面面积 A ，计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩 I等． A 、 I等是从不同角度反映了截面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质．静矩和形心设有一任意截面图形如图 4 — 1 所示，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y,z) 处取一微小面积 dA ，定义微面积 dA 乘以到 y 轴的距离 z ，沿整个截面的积分，为图形对 y 轴的静矩 S，其数学表达式(4 -1a )同理，图形对 z 轴的静矩为(4-1b)图 4-1截面静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴 y 、 z 的不同而不同．所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零．静矩的量纲为长度的三次方．确定截面图形的形心位置 ( 图 4-1 中 C 点 ):(4 -2a )(4-2b)式中 y、 z 为截面图形形心的坐标值．若把式 (4-2) 改写成(4-3)性质：•若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心．•若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零．•由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩 (S) 与形心坐标 (y、 z ) 时，可用以下公式(4-4)(4-5)式中 A， y ， z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值， n 为组成组合图形的简单图形个数．即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．例 4-1 已知 T 形截面尺寸如图 4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．图 4-2解： (1) 选参考轴为 y 轴， z 轴为对称轴，(2) 将图形分成 I 、两个矩形，则(3) 代入公式 (4-5)惯性矩、惯性积和惯性半径设任一截面图形 ( 图 4 — 3) ，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取一微小面积 dA ，定义此微面积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩 I．微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．数学表达式为极惯性矩 (4-6)对 y 轴惯性矩 (4 -7a )同理，对 z 轴惯性矩 (4-7b)图 4-3由图 4-3 看到所以有即(4-8) 式 (4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
惯性矩地计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：（一）.截面静矩和形心1•静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dS y xdAdSx ydA整个图形对y、z轴的静矩分别为S y xdAyASx 人 ydA2.形心与静矩关系(1-1 )设平面图形形心C的坐标为y c,z c-S x 一S y /、y ， x (I-2 )A A推论1如果y轴通过形心（即x0），则静矩S y 0 ；同理，如果X轴通过形心（即y o），则静矩sx o；反之也成立。
推论2如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A,A2,A3 A n的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为丘，只；乂2*2；x3,y3 ，贝U图形对y轴和x轴的静矩分别为截面图形的形心坐标为nA i Xi 1 nA ii 14•静矩的特征（1） 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
（2） 静矩有的单位为m 3。
（3） 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
（4） 若已知图形的形心坐标。
则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2 ）求图形的形心坐标。
组 合图形的形心位置，通常是先由式（I-3 ）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（1-4 ）求出其形心坐标。
（二）•惯性矩 惯性积 惯性半径1.惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3 ），则图形对0点的极 惯性矩定义为 I p2dA （1-5）KAn nS yS yiARi 1 i 1nnS xSxiA i Vi 1 i 1(1-3 )A i y i(1-4 )图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为I y A x2dA , I x A y2dA （1-6）惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。
计算惯性矩的公式
矩形对于中线(垂直于h边的中轴线)的惯性矩：b*h^3/12三角形：b*h^3/36圆形对于圆心的惯性矩：π*d^4/64环形对于圆心的惯性矩：π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D§16-1 静矩和形心平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。
静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。
定义式：，(Ⅰ-1）量纲为长度的三次方。
由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和。
则由此可得薄板重心的坐标为同理有所以形心坐标，（Ⅰ-2）或，由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零，即，；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。
静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。
如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。
设第i块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为，（Ⅰ-3），（Ⅰ-4）【例I-1】求图Ⅰ-2所示半圆形的及形心位置。
【解】由对称性，，。
现取平行于轴的狭长条作为微面积所以读者自己也可用极坐标求解。
【例I-2】确定形心位置，如图Ⅰ-3所示。
【解】将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为矩形Ⅰ：mm2mm，mm矩形Ⅱ：mm2mm，mm整个图形形心的坐标为§16-2 惯性矩和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。
，(Ⅰ-5)量纲为长度的四次方，恒为正。
相应定义，(Ⅰ-6)为图形对轴和对轴的惯性半径。
组合图形的惯性矩设为分图形的惯性矩，则总图形对同-轴惯性矩为，(Ⅰ-7)若以表示微面积到坐标原点的距离,则定义图形对坐标原点的极惯性矩（Ⅰ-8）因为所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系（Ⅰ-9）式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。
惯性矩的定义和计算公式
惯性矩的定义●区域惯性矩-典型截面I●区域惯性矩，一个区域的惯性矩或典型截面轮廓的第二个区域惯性矩●面积惯性矩或面积惯性矩-也称为面积二阶矩-I，是用于预测梁的挠度、弯曲和应力的形状特性。
●面积惯性矩-英制单位●inches4●面积惯性矩-公制单位●mm4●cm4●m4●单位转换● 1 cm4 = 10-8 m4 = 104 mm4● 1 in4 = 4.16x105 mm4 = 41.6 cm4●示例-惯性单位面积矩之间的转换●9240 cm4 can be converted to mm4 by multiplying with 104●(9240 cm4) 104 = 9.24 107 mm4●区域惯性矩（一个区域或第二个区域的惯性矩）●●绕x轴弯曲可表示为●I x = ∫ y2 dA (1)●其中●I x =与x轴相关的惯性矩面积(m4, mm4, inches4)●y =从x轴到元件dA的垂直距离(m, mm, inches)●dA =基元面积(m2, mm2, inches2)●绕y轴弯曲的惯性矩可以表示为●I y = ∫ x2 dA (2)●其中●I x =与y轴相关的惯性矩面积(m4, mm4, inches4)●x =从轴y到元件dA的垂直距离(m, mm, inches)●典型截面I的面积惯性矩●典型截面II的面积惯性矩●实心方形截面●●实心方形截面的面积惯性矩可计算为●I x = a4 / 12 (2)●其中● a = 边长(mm, m, in..)●I y = a4 / 12 (2b)●实心矩形截面●●矩形截面惯性矩的面积可计算为●I x = b h3 / 12 (3)●其中● b = 宽●h = 高●I y = b3 h / 12 (3b)●实心圆形截面●●实心圆柱截面的面积惯性矩可计算为●I x = π r4 / 4●= π d4 / 64 (4)●其中●r =半径● d = 直径●I y = π r4 / 4●= π d4 / 64 (4b)●中空圆柱截面●空心圆柱截面的面积惯性矩可计算为●I x = π (d o4 - d i4) / 64 (5)●其中●d o = 外圆直径●d i = 内圆直径●I y = π (d o4 - d i4) / 64 (5b)●方形截面-对角力矩●●矩形截面的对角线面积惯性矩可计算为●I x = I y = a4 / 12 (6)●矩形截面-通过重心的任何线上的面积力矩●●通过重心在线计算的矩形截面和力矩面积可计算为●I x = (b h / 12) (h2 cos2 a + b2 sin2 a) (7)●对称形状●●对称形状截面的面积惯性矩可计算为●I x = (a h3 / 12) + (b / 12) (H3 - h3) (8)●I y = (a3 h / 12) + (b3 / 12) (H - h) (8b)●不对称形状●●非对称形状截面的面积惯性矩可计算为●I x = (1 / 3) (B y b3 - B1 h b3 + b y t3 - b1 h t3) (9)●典型截面II的面积惯性矩●区域惯性矩vs.极惯性矩vs.惯性矩●“面积惯性矩”是一种形状特性，用于预测梁的挠度、弯曲和应力●“极惯性矩”是衡量梁抗扭能力的一个指标，计算受扭矩作用的梁的扭曲度时需要用到它●“转动惯量”是测量物体在旋转方向上变化的阻力。
惯性矩公式
惯性矩公式
惯性矩是物体在外力作用下移动时所受到的移动惯性的一种度量，它是物体在外力作用下移动时，受到外力所产生的转矩的一种度量。
惯性矩的概念由牛顿在他的第一定律中提出，即物体在外力作用下移动时，其外力所产生的转矩与物体的惯性矩成正比。
惯性矩的计算可以用惯性矩公式来求解。
惯性矩公式的形式如下：T=I*α，其中T为外力所产生的转矩，I为物体的惯性矩，α为物体的角加速度。
由此可见，惯性矩公式可以用来计算物体在外力作用下移动时受到的外力所产生的转矩。
惯性矩公式中的惯性矩I可以用物体质量m和物体半径r来表示，即I=m*r^2，其中m为物体的质量，r为物体的半径。
因此，可以根据物体的质量和半径来计算物体的惯性矩。
由于惯性矩公式可以用来计算物体在外力作用下移动时所受到的外力所产生的转矩，因此它在物理学、机械工程等领域都有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，可以用惯性矩公式来计算机械设备运行时所受到的转矩，以便正确设计机械设备的结构。
此外，惯性矩公式还可以用于计算飞行器的飞行动力学性能，以及航天器的姿态控制等。
总之，惯性矩公式是一种重要的物理知识，在物理学、机械工程和
航天导航等领域都有着重要的应用，是研究物体在外力作用下移动的重要工具。
常用截面惯性矩计算公式_百度文库
常用截面惯性矩计算公式_百度文库截面惯性矩是描述截面形状对于抗弯刚度的影响的一个物理量，常用截面惯性矩计算公式有以下几种：
1.矩形截面惯性矩计算公式：
矩形截面的惯性矩计算公式为I=b*h^3/12，其中b为矩形截面的宽度，h为矩形截面的高度。
2.圆形截面惯性矩计算公式：
圆形截面的惯性矩计算公式为I=π*d^4/64，其中d为圆形截面的直径。
3.正方形截面惯性矩计算公式：
正方形截面的惯性矩计算公式为I=a^4/12，其中a为正方形截面的边长。
4.等边三角形截面惯性矩计算公式：
等边三角形截面的惯性矩计算公式为I=a^4/80.9，其中a为等边三角形截面的边长。
5.环形截面惯性矩计算公式：
环形截面的惯性矩计算公式为I=π*(D^4-d^4)/64，其中D为大圆直径，d为小圆直径。
6.T形截面惯性矩计算公式：
T形截面的惯性矩计算公式稍复杂，可以分解为矩形和矩形之和。
可以分别计算底座和翼板的惯性矩，然后相加。
7.I形截面惯性矩计算公式：
I形截面的惯性矩计算公式也稍复杂，可以分解为矩形和矩形之和，也可以通过几何分解法计算。
以上是常见的几种截面形状的惯性矩计算公式，不同形状的截面有不同的计算方法。
通过计算截面惯性矩，可以评估截面的抗弯刚度性能，并在设计工程结构时进行应用。
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
LOGO惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式在此输入你的公司名称惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点:（一）.截面静矩和形心1•静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dS y 二xdAdSx = ydA整个图形对y、z轴的静矩分别为S y = A xdA(1-Sx= A ydA1)2.形心与静矩关系图1-1设平面图形形心C的坐标为y C,z C则0-S y x =A (1-2)推论1如果y轴通过形心（即x = 0），则静矩Sy=0 ；同理，如果x轴通过形心（即y = 0），则静矩Sx=o；反之也成立。
推论2如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为A,A2,A3……A n的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为x1,y1; x2,y2; x3,y3，则图形对y轴和x轴的静矩分别为n nS y = * S yi i A i Xii -1 i-1 nnS x 八 S xi 八 A i y ii 4i 4截面图形的形心坐标为A i4.静矩的特征（1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
（2）静矩有的单位为m 3（3）静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
⑷ 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2）求图形的形心坐标。
组 合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
（二）■惯性矩惯性积惯性半径1. 惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对0点的极 惯性矩定义为 I p = A （2dA（1-5）图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 I y 二 A X 2dA ， I x 「A y 2dA （I-6）惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的； 轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式惯性矩（也称为惯性矩、二阶矩）是描述物体抵抗绕轴旋转的特性的物理量。
在工程中，惯性矩常用于计算和设计梁、轴等结构的强度和稳定性。
本文将介绍惯性矩的计算方法以及常用的截面惯性矩计算公式。
惯性矩的计算方法主要有几何法、积分法和转动倾斜坐标等方法。
1.几何法：几何法是一种通用的计算惯性矩的方法，适用于简单的几何形状，如矩形、圆形等。
几何法的思想是将复杂的截面分解为简单的几何形状，并使用其相关的公式计算每个部分的惯性矩，然后将它们相加。
2.积分法：积分法是一种基于微积分的方法，适用于复杂的截面形状。
该方法基于将截面分割为无穷小的面积元，然后使用积分计算每个面积元的惯性矩，并将它们相加得到整个截面的惯性矩。
3.转动倾斜坐标：转动倾斜坐标是一种特殊的坐标系选择方法，适用于具有对称轴的截面。
在该方法中，坐标轴被选择为与截面的对称轴对齐，这样会使得部分惯性矩相消，从而简化惯性矩的计算。
下面介绍几个常见截面形状的惯性矩计算公式：1.矩形截面：- 矩形的惯性矩计算公式：I = (bh^3)/12，其中b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
2.圆形截面：-圆形的惯性矩计算公式：I=πr^4/4，其中r为圆的半径。
3.圆环截面：-圆环的惯性矩计算公式：I=π(R^4-r^4)/4，其中R为外圆半径，r 为内圆半径。
4.T形截面：-T形的惯性矩计算公式：I=(b1h1^3)/12+b1h1(y1-y)^2+(b2h2^3)/12，其中b1和b2为宽度，h1和h2为高度，y为距离底边的垂直距离。
这些是一些常见的截面形状的惯性矩计算公式，对于其他复杂的截面形状，可以使用几何法、积分法或转动倾斜坐标方法来计算惯性矩。
总结起来，惯性矩是描述物体抵抗绕轴旋转的特性的物理量。
惯性矩的计算方法主要有几何法、积分法和转动倾斜坐标等方法。
常见截面的惯性矩计算公式包括矩形截面、圆形截面、圆环截面和T形截面。
这些公式在结构工程中广泛应用，可以帮助工程师设计和计算各种结构的强度和稳定性。
惯性矩计算公式推导
惯性矩计算公式推导惯性矩是力学中的一个重要组成部分，它可以说是受到外力作用时产生的物体的重要特征。
它表示了一个物体的运动状态，可以从物体的形状，大小，重量和分布中计算出来。
惯性矩的计算方法有很多种，常用的有惯性矩计算公式法、积分法和向量法。
惯性矩计算公式法是一个基本的计算方法，它定义了一系列计算惯性矩的公式，根据物体的形状，大小，重量等信息，可以用这些公式来计算惯性矩。
概括来说，惯性矩计算公式法的公式可以分为三类，即角惯性矩公式，矩惯性矩公式和面惯性矩公式。
我们可以根据物体的几何形状来选择相应的计算方法，也可以综合使用多种计算方法。
（1）角惯性矩公式：角惯性矩可以用一种简洁的公式来计算，即I=mr其中，I代表惯性矩，m代表质量，r代表半径。
根据这个公式，我们可以计算出圆柱形物体的惯性矩，只需将该物体的质量和半径代入公式即可。
例如，当物体的质量为m，半径为r时，惯性矩计算结果为I=mr2.（2）矩惯性矩公式：矩惯性矩的计算公式有多种，其中一种是：I =mri其中，I代表惯性矩，m表示质量，r表示距离，i表示不同质点。
根据这个公式，我们可以计算出物体中不同质点的惯性矩，只需将该物体的质量和距离代入公式即可。
例如，当物体的质量为m1、m2、m3和距离为r1、r2、r3时，惯性矩计算结果可以表示为I=m1r1+m2r2+m3r3。
（3）面惯性矩公式：面惯性矩的计算公式为：I=mgA其中，I代表惯性矩，m表示质量，g表示重力加速度，A表示物体的表面积。
根据这个公式，我们可以计算出物体的惯性矩，只需将该物体的质量、重力加速度和表面积代入公式即可。
例如，当物体的质量为m，重力加速度为g，表面积为A时，惯性矩计算结果为I=mgA。
以上就是惯性矩计算公式的推导，掌握这些公式之后，我们就可以根据物体的几何形状、大小、质量和分布来计算物体的惯性矩，从而更好地分析和研究物体在外力作用下的运动状态。
圆筒的惯性矩公式
圆筒的惯性矩公式
惯性矩计算公式：
矩形：b*h^3/12
三角形：b*h^3/36
圆形：π*d^4/64
环形：π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D
^3表示3次我这里正好有课件。
首先形心等于净矩除以总面积，就是形心相应的坐标。
下面看一下惯性矩和惯性积。
以上是惯性矩的推导公式，不知道你理解了多少。
然后来看一道例题，加深理解。
利用对称性把它分成两部分。
做出坐标轴。
注意单位。
yci指的是那块图形的形心的y坐标。
第一块图形的形心在z轴上，所以是0.第二块图形的形心易算出是150，你自己可以算一下。
求出横截面的形心是必须的。
好了，确定出了形心之后就可以计算惯性矩了。
简单！关于y好、轴的惯性矩相对简单。
因为绕着y轴旋转过原点，所以直接带公示。
关于z轴的惯性矩相对难些，要用到平行移轴定理。
先算出两块图形的关于z0轴的惯性矩。
也就是关于自身的惯性矩加上移轴的那部分。
即本身图形的面积乘上本身图形的形心到z0的距离的平方。
1。
惯性矩计算
惯性矩计算
惯性矩应用于物体运动研究，例如定义力学系统的惯性系数时。
惯性矩的计算涉及对物体的质量、形状和运动状态的分析，得出物体惯性矩的数值。
惯性矩可以使用质量积分法来计算，即在物体体积之内，每个质点受到整个物体重力作用，计算积分后即可得出物体的惯性矩；也可以使用惯性张量的方法，即在物体体积内，各个质点的惯性张量之和等于物体的总惯性张量，计算后即可得出物体的惯性矩。
另外，也可以使用连续介质模型来计算惯性矩，即把物体分割成小的元素，每个元素的惯性矩相加，即可得出物体的惯性矩。
通过以上三种方法，可以计算出物体的惯性矩，从而为物体运动研究奠定基础。
偏心惯性矩计算公式
偏心惯性矩计算公式
1、惯性矩计算公式:
矩形:b×hA3/12
三角形:b×hA3/36
圆形:n×dA4/64
环形:n×DA4×(1-a八4)/64;a=d/D
A3表示3次
截面抵抗矩(W)就是截面对其形心轴惯性矩与截面上最远点至形心轴距离的比值。
（1）找出达到极限弯矩时截面的中和轴。
它是与弯矩主轴平行的截面面积平行线，该中和轴两边的面积相等。
在双轴对称截面中，这条轴是主轴。
（2）分别求两侧面积对中和轴的面积矩，面积矩之和即为望性截面模量，矩形截面抵抗矩W=bhA2/6；圆形截面的抵抗矩
W=3.14dA3/32；圆环截面抵抗矩W=t(R4-r4)/(32R)。
2、截面惯性矩计算公式：
（1）矩形:Ix=b×h^3/12; ly=h×b^3/12；
（2）圆形:I=Pi/64 (D1^4-D2^4)；
（3）椭圆形:Ix=pi/4×a×b3;ly=pi/4×b×a^3；
3、区域惯性矩—典型截面I：
区域惯性矩，一个区域的惯性矩或典型截面轮廓的第二个区域惯性矩。
面积惯性矩或面积惯性矩—也称为面积二阶矩-I，是用于预测梁的挠度、弯曲和应力的形状特性。
面积惯性矩—英制单位：inches4；
面积惯性矩—公制单位：mm4；cm4；m4。
惯性矩的计算方法[1]
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第1节静矩和形心4.1 静矩和形心任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关．如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面面积 A ，计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩 I等． A 、 I等是从不同角度反映了截面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质．4.1 静矩和形心设有一任意截面图形如图 4 — 1 所示，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y,z) 处取一微小面积 dA ，定义微面积 dA 乘以到 y 轴的距离 z ，沿整个截面的积分，为图形对 y 轴的静矩 S，其数学表达式(4 -1a )同理，图形对 z 轴的静矩为(4-1b)图 4-1截面静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴 y 、 z 的不同而不同．所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零．静矩的量纲为长度的三次方．确定截面图形的形心位置 ( 图 4-1 中 C 点 ):(4 -2a )(4-2b)式中 y、 z为截面图形形心的坐标值．若把式 (4-2) 改写成(4-3)性质：? 若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心．? 若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零．? 由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩 (S) 与形心坐标 (y、 z) 时，可用以下公式(4-4)(4-5)式中 A， y， z分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值， n 为组成组合图形的简单图形个数．即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．例 4-1 已知 T 形截面尺寸如图 4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．图 4-2解： (1) 选参考轴为 y 轴， z 轴为对称轴，(2) 将图形分成 I 、两个矩形，则(3) 代入公式 (4-5)4.2 惯性矩、惯性积和惯性半径设任一截面图形 ( 图 4 — 3) ，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取一微小面积 dA ，定义此微面积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩 I．微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．数学表达式为极惯性矩(4-6)对 y 轴惯性矩(4 -7a )同理，对 z 轴惯性矩(4-7b)图 4-3由图 4-3 看到所以有即(4-8) 式 (4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
矩形惯性矩计算公式
一．矩形惯性矩计算公式
1、矩形：I=b*h^3/12。
2、三角形：I=b*h^3/36。
3、圆形：I=π*d^4/64。
4、环形：I=π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D。
惯性矩通常被用作描述截面抵抗弯曲的性质。
惯性矩的国际单位为(m4)。
即面积二次矩，也称面积惯性矩，而这个概念与质量惯性矩（即转动惯量）是不同概念。
惯性矩应用
结构设计和计算过程中，构件惯性矩Ix为截面各微元面积与各微元至与X 轴线平行或重合的中和轴距离二次方乘积的积分。
主要用来计算弯矩作用下绕X 轴的截面抗弯刚度。
结构设计和计算过程中，构件惯性矩Iy为截面各微元面积与各微元至与Y 轴线平行或重合的中和轴距离二次方乘积的积分。
主要用来计算弯矩作用下绕Y 轴的截面抗弯刚度。
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第1节静矩和形心
4.1 静矩和形心
任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关．如：计算杆的拉伸
与压缩变形时用到截面面积A ，计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I等．A 、I等是从不同角度反映了截面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质．
4.1 静矩和形心
设有一任意截面图形如图4 — 1 所示，其面积为A ．选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y,z) 处取一微小面积dA ，定义微面积dA 乘以到y 轴的距离z ，沿整个截面的积分，为图形对y 轴的静矩S，其数学表达式
(4 -1a )
同理，图形对z 轴的静矩为
(4-1b)
图4-1
截面静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴y 、z 的不同而不同．所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零．静矩的量纲为长度的三次方．
确定截面图形的形心位置( 图4-1 中C 点):
(4 -2a )
(4-2b)
式中y、z 为截面图形形心的坐标值．若把式(4-2) 改写成
(4-3)
性质：
•若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心．
•若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零．
•由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形( 如矩形、圆形等) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩(S) 与形心坐标(y、z ) 时，可用以下公式
(4-4)
(4-5)
式中A，y ，z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值，n 为组成组合图形的简单图形个数．
即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．
例4-1 已知T 形截面尺寸如图4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．
图4-2
解：(1) 选参考轴为y 轴，z 轴为对称轴，
(2) 将图形分成I 、两个矩形，则
(3) 代入公式(4-5)
4.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
设任一截面图形( 图4 — 3) ，其面积为A ．选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y 、z) 处取一微小面积dA ，定义此微面积dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩I．微面积dA 乘以到坐标轴y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对y 轴的惯性矩I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．
数学表达式为
极惯性矩(4-6)
对y 轴惯性矩(4 -7a )
同理，对z 轴惯性矩(4-7b)
图4-3
由图4-3 看到所以有
即(4-8) 式(4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
在任一截面图形中( 图 4 — 3) ，取微面积dA 与它的坐标z 、y 值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对y 、z 轴的惯性积，简称惯积．表达式为
(4-9)
惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方．I,I,I恒为正值．而惯性积I其值能为正，可能为负，也可能为零．若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零．
当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴．对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩．而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴( 或称主形心惯轴) ．截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩( 或称主形心惯矩) ．例如，图4-4 中若这对yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴．对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩．
图4-4
工程应用中( 如压杆稳定中) ，有时将惯性矩表示成截面面积与某一长度平方的乘积，即
,
或写成
, （4-10 ）
式中i分别称为截面图形对y 轴、z 轴的惯性半径．其量纲为长度的一次方．
例4-2 已知矩形截面的尺寸b,h( 图4-5) ，试求它的形心主惯性矩．
解：取形心主惯性轴( 即对称轴)y,z ，及dA=dy，代入公式(I— 7a ,) 得
同理：
图4-5
例4-3 设圆的直径为D( 图4-6) ，试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径值．
解：(1) 求惯性矩因为图形对称，y,z 为对称轴，所以I＝I
这是较简单的解法．本例也可取出图4-6 上的微面积dA ，按积分法来求得。
(2) 求惯性半径
图4-6
第3节惯性矩、惯性积的平行移轴公式
4.3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式
设任一截面图形( 图4-7) 对其形心轴Y,Z的惯性矩已知．有另一对坐标轴y, z 分别平行y 轴。
两平行轴间距分别为a 、 b ．现讨论截面对这两平行坐标轴的惯性矩之间的关系．
根据定义．截面对形心轴的惯性矩、惯性积分别为
,
同样，截面对y, z 轴的惯性矩、惯性积分别为
由图4-7 可知，z=z+a ，代入(b) 的第一式
因为
则上式简化为
同理（4-11 ）
公式(4-11) 称为惯性矩、惯性积的平行移轴公式．即截面图形对某轴的惯性矩，等于它对与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上两轴间距离的平方乘以截面面积，截面圆形对任一正交轴系的惯性积，等于它对与该轴系平行的形心轴系的惯性积，加上两坐标系轴
间距的乘积再乘以截面面积．式(4 — 11) 中前二式恒为正，第三式中a,b 均为代数值，故I可正、可负或为零．
图4-7
组合截面图形的惯性矩和惯性积可用下面公式来计算
（4-12 ）
式中I, , 分别表示每个简单图形对自身形心轴的惯性矩、惯性积．a分别表示每个简单图形的形心坐标轴到组
合图形y,z 轴的距离．A表示各简单图形的面积．
例4-4 已知截面图形尺寸如图4-8 所示，试求图形对水平形心轴的惯性矩I．解：(1) 将图形分成三个小矩形①、②、⑧．
(2) 选参考轴在①的形心上．
(3) 由公式( I— 5) 求形心
=
= 124.89
因为z 是对称轴，故
(4) 由公式( I— 12) ．第一式计算I
=
+
图4-8
4.4 惯性矩，惯性积的转轴公式
设任一截面图形( 图4-9) 对坐标轴y ，z 轴的惯性矩、惯性积为I。
若将坐标轴y ，z绕其原点o 旋转一角( 以逆时针转为正，顺时针转为负，图4-9 的为正) ，得到新的坐
标轴y．此时，图形对y轴的惯性矩与惯性积为I. 现研究与和I之间的关系。
图4-9
在图中任取一微面积dA ，它在yoz 坐标系的坐标为(y,z) ，在y坐标系的坐标为(y) ．由图有几何关系
（a ）
按定义
（b ）
将(a) 式分别代入(b) 式，利用三角函数关系
整理后得到
（4-13 ）
(4-13) 式即为惯性矩和惯性积的转轴公式．它反映了惯性矩、惯性积随a 而改变的规律．将式(1 — 13) 的前两式相加，可得
这说明截面图形对正交轴系的惯性矩之和为一常数．
现在我们来研究(4-13) 的第三式．I随a 而改变，当=0 时，相应的坐标轴为主惯性轴，用y表示，即
(c)
由此求得(4-14)
上式中的和表示了主轴的方位角．
将关系式(4-14) 代入转轴公式(4-13) 第一、第二式，运算时利用三角函数关系
可以求得截面图形的主惯性矩
(4-15)
若将公式(4-13) 的第一式对求一阶导数且令其为零，即可得到惯性矩的极值，即
可见，上式与(c) 式一致．这说明由公式(4-15) 求得的主惯性矩就是截面图形的最大或最小惯性矩 . 例4-5 已知截面图形尺寸如图4-10 所示。
试求其形心主惯性矩I.
图4-10
解：(1) 确定形心位置由于截面是反对称的，所以形心在其对称中心C 点。
以 C 点为原点，取坐标轴y ，z 如图所示．
(2) 将截面分成三个小矩形①、②、③。
(3) 由式(4-12) 计算惯性矩、惯性积I
=
=1.84
4) 由式(4-14) 确定形心主轴的方位
由于, 所以图形对绝对值较小的所确定的形心主轴的惯性矩为最大值，另一轴的惯性矩为最
小值．如图4-10 所示的图形，对y0轴的形心主惯性矩为最大值，对z0轴的形心主惯性矩为最小值。
(5) 由公式(4-15) 计算形心主惯性矩
=
=3.46。