惯性矩的计算方法

第1节静矩和形心

4.1 静矩和形心

任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关．如：计算杆的拉伸

与压缩变形时用到截面面积A ，计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I等．A 、I等是从不同角度反映了截面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质．

4.1 静矩和形心

设有一任意截面图形如图4 — 1 所示，其面积为A ．选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y,z) 处取一微小面积dA ，定义微面积dA 乘以到y 轴的距离z ，沿整个截面的积分，为图形对y 轴的静矩S，其数学表达式

(4 -1a )

同理，图形对z 轴的静矩为

(4-1b)

图4-1

截面静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴y 、z 的不同而不同．所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零．静矩的量纲为长度的三次方．

确定截面图形的形心位置( 图4-1 中C 点):

(4 -2a )

(4-2b)

式中y、z 为截面图形形心的坐标值．若把式(4-2) 改写成

(4-3)

性质：

•若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心．

•若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零．

•由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。

4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形( 如矩形、圆形等) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩(S) 与形心坐标(y、z ) 时，可用以下公式

(4-4)

(4-5)

式中A，y ，z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值，n 为组成组合图形的简单图形个数．

即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．

例4-1 已知T 形截面尺寸如图4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．

图4-2

解：(1) 选参考轴为y 轴，z 轴为对称轴，

(2) 将图形分成I 、两个矩形，则

(3) 代入公式(4-5)

4.2 惯性矩、惯性积和惯性半径

设任一截面图形( 图4 — 3) ，其面积为A ．选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y 、z) 处取一微小面积dA ，定义此微面积dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩I．微面积dA 乘以到坐标轴y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对y 轴的惯性矩I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．

数学表达式为

极惯性矩(4-6)

对y 轴惯性矩(4 -7a )

同理，对z 轴惯性矩(4-7b)

图4-3

由图4-3 看到所以有

即(4-8) 式(4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。

在任一截面图形中( 图 4 — 3) ，取微面积dA 与它的坐标z 、y 值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对y 、z 轴的惯性积，简称惯积．表达式为

(4-9)

惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方．I,I,I恒为正值．而惯性积I其值能为正，可能为负，也可能为零．若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零．

当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴．对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩．而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴( 或称主形心惯轴) ．截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩( 或称主形心惯矩) ．例如，图4-4 中若这对yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴．对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩．

图4-4

工程应用中( 如压杆稳定中) ，有时将惯性矩表示成截面面积与某一长度平方的乘积，即

,

或写成

, （4-10 ）

式中i分别称为截面图形对y 轴、z 轴的惯性半径．其量纲为长度的一次方．

例4-2 已知矩形截面的尺寸b,h( 图4-5) ，试求它的形心主惯性矩．

解：取形心主惯性轴( 即对称轴)y,z ，及dA=dy，代入公式(I— 7a ,) 得

同理：

图4-5

例4-3 设圆的直径为D( 图4-6) ，试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径值．

解：(1) 求惯性矩因为图形对称，y,z 为对称轴，所以I＝I

这是较简单的解法．本例也可取出图4-6 上的微面积dA ，按积分法来求得。

(2) 求惯性半径

图4-6

第3节惯性矩、惯性积的平行移轴公式

4.3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式

设任一截面图形( 图4-7) 对其形心轴Y,Z的惯性矩已知．有另一对坐标轴y, z 分别平行y 轴。两平行轴间距分别为a 、 b ．现讨论截面对这两平行坐标轴的惯性矩之间的关系．

根据定义．截面对形心轴的惯性矩、惯性积分别为

,

同样，截面对y, z 轴的惯性矩、惯性积分别为

由图4-7 可知，z=z+a ，代入(b) 的第一式

因为

则上式简化为

同理（4-11 ）

公式(4-11) 称为惯性矩、惯性积的平行移轴公式．即截面图形对某轴的惯性矩，等于它对与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上两轴间距离的平方乘以截面面积，截面圆形对任一正交轴系的惯性积，等于它对与该轴系平行的形心轴系的惯性积，加上两坐标系轴

间距的乘积再乘以截面面积．式(4 — 11) 中前二式恒为正，第三式中a,b 均为代数值，故I可正、可负或为零．

图4-7

组合截面图形的惯性矩和惯性积可用下面公式来计算

（4-12 ）

式中I, , 分别表示每个简单图形对自身形心轴的惯性矩、惯性积．a分别表示每个简单图形的形心坐标轴到组