低通滤波器

系统函数定义： 系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变 换之比称为“系统函数”（或网络函数）， 以H(s)表示。
H (s) Y (s) R(s) F(s) E(s)
*基本形式
s域模型在初始条件为零时为 V (s) Z(s)I(s)
或者 I (s) Y (s)V (s)
其中Z (s)称为s域阻抗， Y (s)称为s域导纳。
sCVC (s) CvC (0 )
*相应的s域模型电路表示
电阻
IR (s) R
VR (s)
IR (s) R
VR (s)
电感
sL LiL(0 )
IL (s)
VL (s)
SL
IL (s)
1
s
iL
(0
)
VL (s)
电容
1 sC
1 s
vC
(0
)
IC (s)
VC (s)
1 sC
IC (s)
H (s)的零点即为 1 的极点。 H (s)
*系统函数的零极点分布
m
k(s zj)
H (s)
j 1 n
(s pi)
i 1
j
p1
z1
p0
z0
p2
z2
零点用O表示，极点用 表示。n重零极点用(n)注明。 一般也用在同一个点上 叠画两个相同符号表示 2重。
H
(s)
s4
s3 2s2 2s 2s3 5s2 8s
CvC (0 )
VC (s)
步骤：
1.将普通电路图改画为s域模型的形式 2.利用KCL和KVL根据指定的激励与响 应列写方程 3.化简得到所求响应的拉氏变换 4.经由拉氏逆变换得到响应的时域形式
例：考虑下图所示RC滤波器和输入信号v1(t), 求出输出信号v2 (t),t 0.
v1 (t )
pi
, 使得
lim
s pi
F
(s)
,
则把pi称为F (s)在S平面上的一个极点。
如果在 S平面上有某点
zi
, 使得
lim
s zi
F
(s)
0,
则把zi称为F (s)在S平面上的一个零点。
*零极点阶数
若
lim
s pi
H
(s)
,
但[( s
pi
)H
(s)]s pi 为
有限值，则 s＝pi处有一阶极点。
若[(s pi )k H (s)]s pi 为直到k n才等于 有限值，则s＝pi处有n阶极点。
4
s[(s 1)2 1] (s 1)2 (s2 4)
s(s 1 (s 1)2 (s
j)(s 1 j2)(s
j) j2)
j
j2
1 j1
(2)
1 0
j2
1 j1
（一）H(s)零极点分布与h(t)波形特征的对应
以一阶极点为例
ki与零点分布有关
m
k(s zj)
H(s)
电流 电压
电压 电流
策动点阻抗 策动点导纳
电流
电压
转移阻抗
分别在各自的端口 （转移函数）
电压 电压
电流 电压
转移导纳 转移电压比
电流
电流
转移电流比
*冲激响应与系统函数：
*H(s)与H(p)的差别：
课堂练习(253页) 4-13
4.7 由系统函数零极点 分布决定时域特性
*零极点定义
如果在 S平面上有某点
v1(t)
10
0.1F
v2 (t)
1
01
t
解：对t 0，因为v1(t)是常数，所以电路中没有电流
流过，这时v2 (0 ) v1(0 ) 1；
对t
0, 有v1 (t )
u(t
1)
V1 ( s)
es s
对t 0的s域变换电路如右图所示。
利用KVL定律，有
es 10I (s) 10 I (s) 1 0
25 3
e 3t u (t )
*方法二：s域模型
R, L, C元件的时域关系：
(1)vR (t) RiR (t)
Hale Waihona Puke Baidu
(2)vL (t)
L
diL (t) dt
(3)vC
(t )
1 C
t
iC
(
)d
s域模型一：
(1)VR (s) RIR (s)
(2)VL (s) L[sI L (s) iL (0 )]
其中x(t)和y(t)是机床控制的位置和得到的位置。对t 0求 解y(t), x(t) u(t),初始条件是y(0 ) 2, y(1) (0 ) 12。
解：由于x(t) u(t) LT 1。利用时域微分定理和 s
线性定理，得到方程的拉普拉斯变换为 s2Y (s) sy(0 ) y(1) (0 ) 5[sY (s) y(0 )] 6Y (s) X (s) 把输入信号的拉氏变换和初始条件代入上式并合并， 得到
j 1 n
(s pi)
i 1
反变换
h(t )
*网络分类
单口网络
双口网络
I (s)
V (s)
I1(s)
V1(s)
I 2 (s) V2 (s)
多口网络
在网络分析中，激励和响应既可以是 电压也可以是电流；对多端口网络， 其激励和响应可以设定在任何一个端 口。因此产生以下分类：
激励与响应的位置 激励
响应
系统函数名称
在同一端口 （策动点函数）
s
s
s
I(s) es 1 10(s 1)
又V2
(
s)
10 s
I
(s)
1 s
V1 ( s)
es s
I (s)
10
1 10 sc s
v2 (0 ) 1 ss
V2 (s)
es es 1 s s 1 s 1
因此v2 (t) u(t 1) e(t1)u(t 1) etu(t)
4.6 系统函数(网络函数)H(s)
*方法一：对系统微分方程进行LT
a.对响应为y(t)的微分方程逐项进行LT，利用 微积分性质代入初始条件；
b.对LT变换后的方程进行代数运算，求出 Y(s)；
c.对Y(s)进行ILT，得到全响应的时域表示y(t)。
例：一台机床中的二阶定位系统可用下面的微分方程描述 y(2) (t) 5y(1) (t) 6 y(t) x(t)
sLI L (s) LiL (0 )
(3)VC
(s)
1[ 1 sC
IC (s)
vC
(0 )]
1 sC
IC
(s)
1 s
vC (0 )
s域模型二：
(1)
I
R
(
s
)＝
1 R
VR
(
s)
(2)I L
(s)
1[ s
1 L
VL (s)
iL (0 )]
1
1
sL VL (s) s iL (0 )
(3)IC (s) C[sVC (s) vC (0 )]
(s2 5s 6)Y (s) 2s2 2s 1 s
(s2 5s 6)Y (s) 2s2 2s 1 s
Y(s)
2s2 2s 1
1
6
13 2
25 3
s(s2 5s 6) s s 2 s 3
1 6
1 s
13 2
s
1
2
25 3
s
1
3
所以y(t)
1 6
u(t)
13 2
e 2t u (t )