相交线与平行线专题总结(含答案)
相交线与平行线解析含答案
相交线与平行线解析含答案一、选择题1.如图,直线AB,CD相交于点O,∠2-∠1=15°,∠3=130°.则∠2的度数是()A.37.5°B.75°C.50°D.65°【答案】D【解析】【分析】先根据条件和邻补角的性质求出∠1的度数,然后即可求出∠2的度数.【详解】)∵∠3=130°,∠1+∠3=180°,∴∠1=180°-∠3=50°,∵∠2-∠1=15°,∴∠2=15°+∠1=65°;故答案为D.【点睛】本题考查角的运算,邻补角的性质,比较简单.2.如图1,将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数为A.80°B.50°C.30°D.20°【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析:根据平行线的性质,得∠4=∠2=50°,再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°.故答案选D.考点:平行线的性质;三角形的外角的性质.3.如图,点D在AC上,点F、G分别在AC、BC的延长线上,CE平分∠ACB交BD于点O,且∠EOD+∠OBF=180°,∠F=∠G,则图中与∠ECB相等的角有( )A.6个B.5个C.4个D.3个【答案】B【解析】【分析】由对顶角关系可得∠EOD=∠COB,则由∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF,再结合CE是角平分线即可判断.【详解】解:由∠EOD+∠OBF=∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF,结合CE是角平分线可得∠ECB=∠ACE=∠CBF,再由EC∥BF可得∠ACE=∠F=∠G,则由三角形内角和定理可得∠GDC=∠CBF.综上所得,∠ECB=∠ACE=∠CBF=∠F=∠G=∠GDC,共有5个与∠ECB相等的角,故选择B.【点睛】本题综合考查了平行线的判定及性质.4.如图AD∥BC,∠B=30o,DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为()A.30o B.60o C.90o D.120o【答案】B【解析】∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵DB平分∠ADE,∴∠ADB=∠ADE,∵∠B=30°,∴∠ADB=∠BDE=30°,则∠DEC=∠B+∠BDE=60°.故选B.【点睛】此题主要考查了平行线的性质,正确得出∠ADB的度数是解题关键.5.如图,在平面内,两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点共有()个.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【分析】到l1距离为2的直线有2条,到l2距离为1的直线有2条,这4条直线有4个交点,这4个交点就是“距离坐标”是(2,1)的点.【详解】因为两条直线相交有四个角,因此每一个角内就有一个到直线l1,l2的距离分别是2,1的点,即距离坐标是(2,1)的点,因而共有4个.故选:D.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离,解题时注意:到一条已知直线距离为定值的直线有两条.6.如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐弯处的∠A是72°,第二次拐弯处的角是∠B,第三次拐弯处的∠C是153°,这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠B等于()A.81°B.99°C.108°D.120°【答案】B【解析】试题解析:过B 作BD ∥AE ,∵AE ∥CF ,∴BD ∥CF ,∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o,∵153C ∠=o ,∴27DBC ∠=o ,则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.7.如图,AB ∥EF ,设∠C =90°,那么x 、y 和z 的关系是( )A .y =x+zB .x+y ﹣z =90°C .x+y+z =180°D .y+z ﹣x =90°【答案】B【解析】【分析】 过C 作CM ∥AB ,延长CD 交EF 于N ,根据三角形外角性质求出∠CNE =y ﹣z ,根据平行线性质得出∠1=x ,∠2=∠CNE ,代入求出即可.【详解】解:过C 作CM ∥AB ,延长CD 交EF 于N ,则∠CDE =∠E+∠CNE ,即∠CNE =y ﹣z∵CM ∥AB ,AB ∥EF ,∴CM ∥AB ∥EF ,∴∠ABC =x =∠1,∠2=∠CNE ,∵∠BCD =90°,∴∠1+∠2=90°,∴x+y ﹣z =90°.故选:B .【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用,注意:平行线的性质有:①两直线平行,同位角相等,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同旁内角互补.8.如图,ABCD为一长方形纸带,AB∥CD,将ABCD沿EF折叠,A、D两点分别与A′、D′对应,若∠1=2∠2,则∠AEF的度数为( )A.75°B.72°C.70°D.65°【答案】B【解析】【分析】如图,由折叠的性质可知∠3=∠4,已知AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1,再由∠1=2∠2,∠3+∠4+∠2=180°,可得5∠2=180°,即可求得∠2=36°,所以∠AEF=∠3=∠1=72°【详解】如图,由折叠的性质可知∠3=∠4,∵AB∥CD,∴∠3=∠1,∵∠1=2∠2,∠3+∠4+∠2=180°,∴5∠2=180°,即∠2=36°,∴∠AEF=∠3=∠1=72°故选B.【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质,熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键.9.如图,下列条件中能判定//DE AC 的是( )A .EDC EFC ∠=∠B .AEF ACD ∠=∠C .34∠=∠D .12∠=∠【答案】C【解析】【分析】 对于A ,∠EDC=∠EFC 不是两直线被第三条直线所截得到的,据此进行判断;对于B 、D ,∠AFE=∠ACD ,∠1=∠2是EF 和BC 被AC 所截得到的同位角和内错角,据此进行判断;对于C ,∠3=∠4这两个角是AC 与DE 被EC 所截得到的内错角,据此进行判断.【详解】∠EDC=∠EFC 不是两直线被第三条直线所截得到的,因而不能判定两直线平行;∠AFE=∠ACD,∠1=∠2是EF 和BC 被AC 所截得到的同位角和内错角,因而可以判定EF ∥BC,但不能判定DE ∥AC ;∠3=∠4这两个角是AC 与DE 被EC 所截得到的内错角,可以判定DE ∥AC.故选C.【点睛】本题考查平行线的判定,掌握相关判定定理是解题的关键.10.如图,直线 a ∥b ∥c ,直角三角板的直角顶点落在直线 b 上,若∠1=30°,则∠2 等于( )A .40°B .60°C .50°D .70° 【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等得1324==∠∠,∠∠,再根据直角三角板的性质得341290+=+=︒∠∠∠∠,即可求出∠2的度数.【详解】∵a ∥b ∥c∴1324==∠∠,∠∠∵直角三角板的直角顶点落在直线 b 上∴341290+=+=︒∠∠∠∠∵∠1=30°∴290160=︒-=︒∠∠故答案为:B .【点睛】本题考查了平行线和三角板的角度问题,掌握平行线的性质、三角板的性质是解题的关键.11.若a ⊥b ,c ⊥d ,则a 与c 的关系是( )A .平行B .垂直C .相交D .以上都不对【答案】D【解析】【分析】分情况讨论:①当b ∥d 时;②当b 和d 相交但不垂直时;③当b 和d 垂直时;即可得出a 与c 的关系.【详解】当b ∥d 时a ∥c ;当b 和d 相交但不垂直时,a 与c 相交;当b 和d 垂直时,a 与c 垂直;a 和c 可能平行,也可能相交,还可能垂直.故选:D .【点睛】本题考查了直线的位置关系,掌握平行、垂直、相交的性质是解题的关键.12.如图,下列说法一定正确的是( )A .∠1和∠4是内错角B .∠1和∠3是同位角C .∠3和∠4是同旁内角D .∠1和∠C 是同位角【答案】D【解析】【分析】根据内错角、同位角以及同旁内角的定义进行判断即可.【详解】解:A 、∠2和∠4是内错角,故本选项错误;B 、∠1和∠C 是同位角,故本选项错误;C 、∠3和∠4是邻补角,故本选项错误;D 、∠1和∠C 是同位角,故本选项正确;故选:D .【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角.解答此类题确定三线八角是关键,可直接从截线入手.对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.13.如图所示,某同学的家在P 处,他想尽快赶到附近公路边搭公交车,他选择P→C 路线,用几何知识解释其道理正确的是( )A .两点确定一条直线B .垂直线段最短C .两点之间线段最短D .三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的定义判断即可.【详解】 解:Q 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,∴ 选:B.【点睛】直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到这条直线的距离.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.简称“垂线段最短”.14.如图,在矩形ABCD 中,6AB =,8BC =,若P 是BD 上的一个动点,则PB PC PD ++的最小值是( )A .16B .15.2C .15D .14.8【答案】D【解析】【分析】 根据题意,当PC ⊥BD 时,PB PC PD ++有最小值,由勾股定理求出BD 的长度,由三角形的面积公式求出PC 的长度,即可求出最小值.【详解】解:如图,当PC ⊥BD 时,PB PC PD BD PC ++=+有最小值,在矩形ABCD 中,∠A=∠BCD=90°,AB=CD=6,AD=BC=8,由勾股定理,得226810BD +=,∴=10PB PD BD +=,在△BCD 中,由三角形的面积公式,得11=22BD PC BC CD ••, 即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯, 解得: 4.8PC =, ∴PB PC PD ++的最小值是:10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=; 故选:D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形,最短路径问题,垂线段最短,以及三角形的面积公式,解题的关键是熟练掌握勾股定理,正确确定点P 的位置,得到PC 最短.15.下列命题错误的是( )A .平行四边形的对角线互相平分B .两直线平行,内错角相等C .等腰三角形的两个底角相等D .若两实数的平方相等,则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义,分别进行判断,即可得到答案.【详解】解:A 、平行四边形的对角线互相平分,正确;B 、两直线平行,内错角相等,正确;C 、等腰三角形的两个底角相等,正确;D 、若两实数的平方相等,则这两个实数相等或互为相反数,故D 错误;故选:D.【点睛】本题考查了判断命题的真假,以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义,解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.16.下列四个说法:①两点之间,线段最短;②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离;③经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.其中正确的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【解析】【分析】根据线段公理,两点之间的距离的概念,平行公理,垂线段最短等知识一一判断即可.【详解】解:①两点之间,线段最短,正确.②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离,错误,应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离.③经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,正确.④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.正确.故选C .【点睛】本题考查线段公理,两点之间的距离的概念,平行公理,垂线段最短等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.17.如图,直线//a b ,将一块含45︒角的直角三角尺(90︒∠=C )按所示摆放.若180︒∠=,则2∠的大小是( )A .80︒B .75︒C .55︒D .35︒【答案】C【解析】【分析】 先根据//a b 得到31∠=∠,再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠,最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解:给图中各角标上序号,如图所示:∵//a b∴3180︒∠=∠=(两直线平行,同位角相等),又∵34,25∠=∠∠=∠(对顶角相等),∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质(两直线平行,同位角相等)、对顶角的性质(对顶角相等),熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.18.把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1=45°,则∠2的度数为( )A .115°B .120°C .145°D .135°【答案】D【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°,即可求得∠3的度数,又由邻补角定义,求得∠4的度数,然后由两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数.【详解】在Rt△ABC中,∠A=90°,∵∠1=45°(已知),∴∠3=90°-∠1=45°(三角形的内角和定理),∴∠4=180°-∠3=135°(平角定义),∵EF∥MN(已知),∴∠2=∠4=135°(两直线平行,同位角相等).故选D.【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质.注意两直线平行,同位角相等与数形结合思想的应用.19.如图,AB∥CD,DE⊥CE,∠1=34°,则∠DCE的度数为()A.34°B.56°C.66°D.54°【答案】B【解析】试题分析:∵AB∥CD,∴∠D=∠1=34°,∵DE⊥CE,∴∠DEC=90°,∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°.故选B.考点:平行线的性质.20.如图,在下列四组条件中,不能判断AB∥CD的是()A.∠1=∠2 B.∠3=∠4C.∠ABD=∠BDC D.∠ABC+∠BCD=180°【答案】A【解析】【分析】根据各选项中各角的关系,利用平行线的判定定理,分别分析判断AB、CD是否平行即可.【详解】A、∵∠1=∠2,∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),故A不能判断;B、∵∠3=∠4,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),故B能判断;C、∵∠ABD=∠BDC,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),故C能判断;D、∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),故D能判断,故选A.【点睛】本题考查了平行线的判定.掌握同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行是解题的关键.。
相交线与平行线_全章知识点归纳及典型题目练习(含答案)
第五章相交线与平行线1.两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为_____________.2.两直线相交所成的四个角中,有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为__________.对顶角的性质:______ _________.3.两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互_______.垂线的性质:⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,_______________.4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做________________________.5.两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________.6.在同一平面内,不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.7.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________.8.平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:________________________________________.9.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______ .10.平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:_________________.⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:____________________________________ .11. 判断一件事情的语句,叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项,结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是_____,“那么”后接的部分是_________.如果题设成立,那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.12. 把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.平移的性质:⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全______. ⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.熟悉以下各题:13. 如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____,点B 到AC 的距离是______,点A 、B 两点的距离是_____,点C 到AB 的距离是________.14. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线,a) 若//,//a b b c ,则a 与c 的位置关系是_________;b) 若,a b b c ⊥⊥,则a 与c 的位置关系是_________;c) 若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________.15. 如图,已知AB 、CD 、EF 相交于点O ,AB ⊥CD ,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数.16. 如图,AOC ∠与BOC ∠是邻补角,OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线,试判断OD 与OE 的位置关系,并说明理由.17. 如图,AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系.解:∠B +∠E =∠BCE过点C 作CF ∥AB ,则B ∠=∠____( )又∵AB ∥DE ,AB ∥CF ,∴____________( )∴∠E =∠____( )∴∠B +∠E =∠1+∠2即∠B +∠E =∠BCE .18. ⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a ∥b .⑵直线//a b ,求证:12∠=∠.19. 阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明EP ∥FQ .证明:∵AB ∥CD ,∴∠MEB =∠MFD ( )又∵∠1=∠2,∴∠MEB -∠1=∠MFD -∠2,即 ∠MEP =∠______∴EP ∥_____.( )20. 已知DB ∥FG ∥EC ,A 是FG 上一点,∠ABD =60°,∠ACE =36°,AP 平分∠BAC ,求:⑴∠BAC 的大小;⑵∠P AG 的大小.21. 如图,已知ABC ∆,AD BC ⊥于D ,E 为AB 上一点,EF BC ⊥于F ,//DG BA交CA 于G .求证12∠=∠.22. 已知:如图∠1=∠2,∠C =∠D ,问∠A 与∠F 相等吗?试说明理由.相交线与平行线参考答案1.邻补角2. 对顶角,对顶角相等3.垂直 有且只有 垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角 内错角 同旁内角6.平行 相交 平行7.平行 这两直线互相平行8.同位角相等 两直线平行; 内错角相等 两直线平行; 同旁内角互补 两直线平行.9.平行 10.两直线平行 同位角相等;两直线平行 内错角相等;两直线平行 同旁内角互补.11.命题 题设 结论 由已知事项推出的事项 题设 结论 真命题 假命题 12.平移 相同 平行且相等 13.6cm 8cm 10cm 4.8cm. 14.平行 平行 垂直 15. 28° 118° 59° 16. OD ⊥OE 理由略 17. 1(两直线平行,内错角相等)DE ∥CF (平行于同一直线的两条直线平行) 2 (两直线平行,内错角相等). 18.⑴∵∠1=∠2 ,又∵∠2=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠3∴a ∥b (同位角相等 两直线平行) ⑵∵a ∥b ∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠2=∠3(对顶角相等) ∴∠1=∠2. 19. 两直线平行,同位角相等 MFQ FQ 同位角相等两直线平行 20. 96°,12°.21.,AD BC FE BC ⊥⊥ 90EFB ADB ∴∠=∠= //EF AD ∴23∴∠=∠//,31DG BA ∴∠=∠ 1 2.∴∠=∠ 22. ∠A =∠F .∵∠1=∠DGF (对顶角相等)又∠1=∠2 ∴∠DGF =∠2 ∴DB ∥EC (同位角相等,两直线平行) ∴∠DBA =∠C (两直线平行,同位角相等) 又∵∠C =∠D ∴∠DBA =∠D ∴DF ∥AC (内错角相等,两直线平行)∴∠A =∠F (两直线平行,内错角相等).。
初中数学第五章 相交线与平行线知识归纳总结含答案
初中数学第五章 相交线与平行线知识归纳总结含答案一、选择题1.甲,乙两位同学用尺规作“过直线l 外一点C 作直线l 的垂线”时,第一步两位同学都以C 为圆心,适当长度为半径画弧,交直线l 于D ,E 两点(如图);第二步甲同学作∠DCE 的平分线所在的直线,乙同学作DE 的中垂线.则下列说法正确的是( )A .只有甲的画法正确B .只有乙的画法正确C .甲,乙的画法都正确D .甲,乙的画法都不正确2.如图,AD ∥CE ,∠ABC =95°,则∠2﹣∠1的度数是( )A .105°B .95°C .85°D .75°3.如图,AB ∥EF ,设∠C =90°,那么x 、y 和z 的关系是( )A .y =x+zB .x+y ﹣z =90°C .x+y+z =180°D .y+z ﹣x =90°4.点P 为直线m 外一点,点A ,B ,C 为直线m 上三点,PA =4cm ,PB =5cm ,PC =2cm ,则点P 到直线m 的距离为( )A .4cmB .2cm ;C .小于2cmD .不大于2cm5.将一副三角板按如图放置,则下列结论①13∠=∠;②如果230∠=,则有//AC DE ;③如果245∠=,则有//BC AD ;④如果4C ∠=∠,必有230∠=,其中正确的有( )A .①②③B .①②④C .③④D .①②③④6.下列说法:①两点确定一条直线;②连接两点的线段叫做两点的距离;③两点之间,线段最短;④由两条射线组成的图形叫做角;⑤若AB =BC ,则点B 是线段AC 的中点.其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个7.下列命题中,属于真命题的是( )A .同位角相等B .任意三角形的外角一定大于内角C .多边形的内角和等于180°D .同角或等角的余角相等8.如图,BD 是△ABC 的角平分线,DE ∥BC ,DE 交AB 于E ,若AB =BC ,则下列结论中错误的是( )A .BD ⊥ACB .∠A =∠EDAC .2AD =BC D .BE =ED9.下列命题:①同位角相等;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ④如果同一平面内的三条直线只有两个交点,那么这三条直线中必有两条直线互相平行.其中假命题的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个 10.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( ) A .垂直B .两条直线互相平行C .同一条直线D .两条直线垂直于同一条直线二、填空题11.如图,点О为直线AB 上一点,,,135OC OD OE AB ⊥⊥∠=︒.(1)EOD ∠= °,2∠= °;(2)1∠的余角是_ ,EOD ∠的补角是__ .12.如图,已知12∠=∠,求证:A BCH ∠=∠.证明:∵12∠=∠(已知)23∠∠=(______)∴13∠=∠(等量代换)∴//CH (______)(同位角相等,两直线平行)∴A BCH ∠=∠(______)13.α∠与β∠的两边互相垂直,且o 50α∠=,则β∠的度数为_________.14.如图,图①是长方形纸带,∠DEF=25°,将纸带沿EF 折叠成图②,则图②中的∠CFG 的度数是_____________.15.下列说法中正确的有_____________(填序号).①过两点有且只有一条直线;②连接两点的线段叫两点的距离;③两点之间线段最短;④若AC=BC ,则点C 是线段AB 的中点;⑤相等的角是对顶角;⑥180°角是补角;⑦65.5°=65.50′;⑧如果∠1+∠2+∠3=90°,那么∠1、∠2、∠3互为余角.16.如图,把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ,28HG cm =,5MG cm =,4MC cm =,则阴影部分的面积是___17.如图,将直角三角形ABC 沿斜边AC 的方向平移到三角形DEF 的位置,DE 交BC 于点G ,BG =4,EF =12,△BEG 的面积为4,下列结论:①DE ⊥BC ;②△ABC 平移的距离是4;③AD =CF ;④四边形GCFE 的面积为20,其中正确的结论有________(只填写序号).18.如图,直线AB ,CD 相交于点O ,OA 平分∠EOC ,∠EOD=120°,则∠BOD=__________°.19.跳格游戏:如图,人从格外只能进入第1格;在格中,每次可向前跳l 格或2格,那么人从格外跳到第6格可以有_________种方法.20.如图,直角△ABC 中,AC=3,BC=4,AB=5,则内部五个小直角三角形的周长为_____.三、解答题21.已知AB ∥CD(1)如图1,求证:∠ABE +∠DCE -∠BEC =180°(2)如图2,∠DCE 的平分线CG 的反向延长线交∠ABE 的平分线BF 于F①若BF ∥CE ,∠BEC =26°,求∠BFC②若∠BFC -∠BEC =74°,则∠BEC =________°22.如图,已知:点A C 、、B 不在同一条直线,AD BE . (1)求证:180B C A ∠+∠-∠=︒.(2)如图②,AQ BQ 、分别为DAC EBC ∠∠、的平分线所在直线,试探究C ∠与AQB ∠的数量关系;(3)如图③,在(2)的前提下,且有AC QB ,直线AQ BC 、交于点P ,QP PB ⊥,请直接写出::DAC ACB CBE ∠∠∠=______________.23.(1)①如图1,//AB CD ,则B 、P ∠、D ∠之间的关系是 ;②如图2,//AB CD ,则A ∠、E ∠、C ∠之间的关系是 ;(2)①将图1中BA 绕B 点逆时针旋转一定角度交CD 于Q (如图3).证明:123BPD ∠=∠+∠+∠②将图2中AB 绕点A 顺时针旋转一定角度交CD 于H (如图4)证明:360E C CHA A ∠+∠+∠+∠=︒(3)利用(2)中的结论求图5中A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数. A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=24.(1)如图1,已知直线//m n ,在直线n 上取A B 、两点,C P 、为直线m 上的两点,无论点C P 、移动到任何位置都有:ABC S ____________ABP S △(填“>”、“<”或“=”) (2)如图2,在一块梯形田地上分别要种植大豆(空白部分)和芝麻(阴影部分),若想把种植大豆的两块地改为一块地,且使分别种植两种植物的面积不变,请问应该怎么改进呢?写出设计方案,并在图中画出相应图形并简述理由.(3)如图3,王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形DEFG ,中间有条分界小路(图中折线ABC ),左边区域为王爷爷的,右边区域为李爷爷的。
相交线与平行线_全章知识点归纳及典型题目练习(含答案)【整理版】
第五章相交线与平行线1.两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为_____________.2.两直线相交所成的四个角中,有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为__________.对顶角的性质:______ _________.3.两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互_______.垂线的性质:⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,_______________.4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做________________________.5.两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________.6.在同一平面内,不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.7.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________.8.平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:________________________________________.9.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______ .10.平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:_________________.⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:____________________________________ .11. 判断一件事情的语句,叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项,结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是_____,“那么”后接的部分是_________.如果题设成立,那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.12. 把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.平移的性质:⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全______. ⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.熟悉以下各题:13. 如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____,点B 到AC 的距离是_______,点A 、B 两点的距离是_____,点C 到AB 的距离是________.14. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线,a) 若//,//a b b c ,则a 与c 的位置关系是_________;b) 若,a b b c ⊥⊥,则a 与c 的位置关系是_________;c) 若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________.15. 如图,已知AB 、CD 、EF 相交于点O ,AB ⊥CD ,OG 平分∠AOE ,16. ∠FOD =28°,求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数.17. 如图,AOC ∠与BOC ∠是邻补角,OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线,试判断OD 与OE 的位置关系,并说明理由.18. 如图,AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系.解:∠B +∠E =∠BCE过点C 作CF ∥AB ,则B ∠=∠____( )又∵AB ∥DE ,AB ∥CF ,∴____________( )∴∠E =∠____( )∴∠B +∠E =∠1+∠2 即∠B +∠E =∠BCE .19. ⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a ∥b .⑵直线//a b ,求证:12∠=∠.20. 阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明EP ∥FQ .证明:∵AB ∥CD ,∴∠MEB =∠MFD ( )又∵∠1=∠2,∴∠MEB -∠1=∠MFD -∠2,即 ∠MEP =∠______∴EP ∥_____.( )21. 已知DB ∥FG ∥EC ,A 是FG 上一点,∠ABD =60°,∠ACE =36°,AP 平分∠BAC ,求:⑴∠BAC 的大小;⑵∠P AG 的大小.22. 如图,已知ABC ∆,AD BC ⊥于D ,E 为AB 上一点,EF BC ⊥于F ,//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠.23. 已知:如图∠1=∠2,∠C =∠D ,问∠A 与∠F 相等吗?试说明理由.参考答案1.邻补角2. 对顶角,对顶角相等3.垂直 有且只有 垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角 内错角 同旁内角6.平行 相交 平行7.平行 这两直线互相平行8.同位角相等 两直线平行; 内错角相等 两直线平行; 同旁内角互补 两直线平行.9.平行 10.两直线平行 同位角相等;两直线平行 内错角相等;两直线平行 同旁内角互补.11.命题 题设 结论 由已知事项推出的事项 题设 结论 真命题 假命题 12.平移 相同 平行且相等 13.6cm 8cm 10cm 4.8cm. 14.平行 平行 垂直 15. 28° 118° 59° 16. OD ⊥OE 理由略 17. 1(两直线平行,内错角相等)DE ∥CF (平行于同一直线的两条直线平行) 2 (两直线平行,内错角相等). 18.⑴∵∠1=∠2 ,又∵∠2=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠3∴a ∥b (同位角相等 两直线平行) ⑵∵a ∥b ∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠2=∠3(对顶角相等) ∴∠1=∠2. 19. 两直线平行,同位角相等 MFQ FQ 同位角相等两直线平行 20. 96°,12°. 21.,AD BC FE BC ⊥⊥90EFB ADB ∴∠=∠= //EF AD ∴23∴∠=∠ //,31DG BA ∴∠=∠ 1 2.∴∠=∠ 22. ∠A =∠F .∵∠1=∠DGF (对顶角相等)又∠1=∠2 ∴∠DGF =∠2 ∴DB ∥EC (同位角相等,两直线平行) ∴∠DBA =∠C (两直线平行,同位角相等) 又∵∠C =∠D ∴∠DBA =∠D ∴DF ∥AC (内错角相等,两直线平行)∴∠A =∠F (两直线平行,内错角相等).。
相交线与平行线_全章知识点归纳及典型题目练习(含答案)
相交线与平行线1.两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为_____________.2.两直线相交所成的四个角中,有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为__________.对顶角的性质:______ _________.3.两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互_______.垂线的性质:⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,_______________.4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做________________________.5.两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________.6.在同一平面内,不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.7.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________.8.平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:________________________________________.9.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______ .10. 平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成: _________________.⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:____________________________________ .11. 判断一件事情的语句,叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项,结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是_____,“那么”后接的部分是_________.如果题设成立,那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.12. 把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.平移的性质:⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全______. ⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.熟悉以下各题:13. 如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____,点B 到AC 的距离是_______,点A 、B 两点的距离是_____,点C 到AB 的距离是________.14. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线,a) 若//,//a b b c ,则a 与c 的位置关系是_________;b) 若,a b b c ⊥⊥,则a 与c 的位置关系是_________;c) 若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________.15. 如图,已知AB 、CD 、EF 相交于点O ,AB ⊥CD ,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数.16. 如图,AOC ∠与BOC ∠是邻补角,OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线,试判断OD 与OE 的位置关系,并说明理由.17. 如图,AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系.解:∠B +∠E =∠BCE过点C 作CF ∥AB ,则B ∠=∠____( )又∵AB ∥DE ,AB ∥CF ,∴____________( )∴∠E =∠____( )∴∠B +∠E =∠1+∠2即∠B +∠E =∠BCE .18. ⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a ∥b .⑵直线//a b ,19. 求证:12∠=∠.20. 阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明EP ∥FQ .证明:∵AB ∥CD ,∴∠MEB =∠MFD ( )又∵∠1=∠2,∴∠MEB -∠1=∠MFD -∠2,即 ∠MEP =∠______∴EP ∥_____.( )21. 已知DB ∥FG ∥EC ,A 是FG 上一点,∠ABD =60°,∠ACE =36°,AP 平分∠BAC ,求:⑴∠BAC 的大小;⑵∠P AG 的大小.22. 如图,已知ABC ∆,AD BC ⊥于D ,E 为AB 上一点,EF BC ⊥于F ,//DG BA交CA 于G .求证12∠=∠.23. 已知:如图∠1=∠2,∠C =∠D ,问∠A 与∠F 相等吗?试说明理由.参考答案1.邻补角2. 对顶角,对顶角相等3.垂直 有且只有 垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角 内错角 同旁内角6.平行 相交 平行7.平行 这两直线互相平行8.同位角相等 两直线平行; 内错角相等 两直线平行; 同旁内角互补 两直线平行.9.平行 10.两直线平行 同位角相等;两直线平行 内错角相等;两直线平行 同旁内角互补.11.命题 题设 结论 由已知事项推出的事项 题设 结论 真命题 假命题 12.平移 相同 平行且相等 13.6cm 8cm 10cm 4.8cm. 14.平行 平行 垂直 15. 28° 118° 59° 16. OD ⊥OE 理由略 17. 1(两直线平行,内错角相等)DE ∥CF (平行于同一直线的两条直线平行) 2 (两直线平行,内错角相等). 18.⑴∵∠1=∠2 ,又∵∠2=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠3∴a ∥b (同位角相等 两直线平行) ⑵∵a ∥b ∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠2=∠3(对顶角相等) ∴∠1=∠2. 19. 两直线平行,同位角相等 MFQ FQ 同位角相等两直线平行 20. 96°,12°.21.,AD BC FE BC ⊥⊥90EFB ADB ∴∠=∠= //EF AD ∴23∴∠=∠ //,31DG BA ∴∠=∠ 1 2.∴∠=∠ 22. ∠A =∠F .∵∠1=∠DGF (对顶角相等)又∠1=∠2 ∴∠DGF =∠2 ∴DB ∥EC (同位角相等,两直线平行) ∴∠DBA =∠C (两直线平行,同位角相等) 又∵∠C =∠D ∴∠DBA =∠D ∴DF ∥AC (内错角相等,两直线平行)∴∠A =∠F (两直线平行,内错角相等).。
相交线与平行线-全章知识点归纳及典型题目练习(含答案)
是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是_____,“那么”后接的部分是_________.如果题设成立,那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.12. 把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.平移的性质:⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全______.⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.熟悉以下各题:13. 如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____,点B 到AC 的距离是_______,点A 、B 两点的距离是_____,点C到AB 的距离是________.14. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线,a) 若//,//a b b c ,则a 与c 的位置关系是_________;b) 若,a b b c ⊥⊥,则a 与c 的位置关系是_________;c) 若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________.15. 如图,已知AB 、CD 、EF 相交于点O ,AB ⊥CD ,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数.16. 如图,AOC ∠与BOC ∠是邻补角,OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线,试判断OD 与OE的位置关系,并说明理由.17. 如图,AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系.解:∠B +∠E =∠BCE过点C 作CF ∥AB ,则B ∠=∠____( )又∵AB ∥DE ,AB ∥CF ,∴____________( )∴∠E =∠____( )∴∠B +∠E =∠1+∠2即∠B +∠E =∠BCE .18. ⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a ∥b .⑵直线//a b ,求证:12∠=∠.19. 阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明EP ∥FQ .证明:∵AB ∥CD ,∴∠MEB =∠MFD ( )又∵∠1=∠2,∴∠MEB -∠1=∠MFD -∠2,即 ∠MEP =∠______∴EP ∥_____.( )20. 已知DB ∥FG ∥EC ,A 是FG 上一点,∠ABD =60°,∠ACE =36°,AP 平分∠BAC ,求:⑴∠BAC的大小;⑵∠P AG 的大小.21. 如图,已知ABC ∆,AD BC ⊥于D ,E 为AB 上一点,EF BC ⊥于F ,//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠.22. 已知:如图∠1=∠2,∠C =∠D ,问∠A 与∠F 相等吗?试说明理由.21.AD BC ⊥90 EF ∴//,3DG BA ∴∠=∵∠1=∠∠DGF =∠2 ∴DB ∴∠DBA 又∵∠C =∠D ∴∠错角相等).。
相交线与平行线_全章知识点归纳及典型题目练习(含答案)
相交线与平行线(复习)1. 两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为_____________.2. 两直线相交所成的四个角中,有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为__________.对顶角的性质:______ _________.3. 两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互_______.垂线的性质:⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,_______________.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做________________________.5. 两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________.6. 在同一平面内,不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.7. 平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________.8. 平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:________________________________________.9. 在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______ .10. 平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成: ______⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:____________________________________ .熟悉以下各题:11. 如图,那么点A到BC的距离是_____,点B到AC的距离是_______,点A、B两点的距离是_____,点C到AB的距离是________.12. 设、b、c为平面上三条不同直线,a) 若,则a与c的位置关系是_________;b) 若,则a与c的位置关系是_________;c) 若,,则a与c的位置关系是________.13. 如图,已知AB、CD、EF相交于点O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°,求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数.14. 如图,与是邻补角,OD、OE分别是与的平分线,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.15. 如图,AB∥DE,试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系.解:∠B+∠E=∠BCE过点C作CF∥AB,则____()又∵AB∥DE,AB∥CF,∴____________()∴∠E=∠____( )∴∠B+∠E=∠1+∠2即∠B+∠E=∠BCE.16. ⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a∥b.⑵直线,求证:.17.阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,试说明EP∥FQ. 证明:∵AB∥CD, ∴∠MEB=∠MFD( ) 又∵∠1=∠2, ∴∠MEB-∠1=∠MFD-∠2, 即 ∠MEP=∠______∴EP∥_____.( )18、已知DB∥FG∥EC,A是FG上一点,∠ABD=60°,∠ACE=36°,AP平分∠BAC,求:⑴∠BAC的大小;⑵∠PAG的大小.19、如图,已知,于D,为上一点,于F,交CA于G.求证.20、已知:如图∠1=∠2,∠C=∠D,问∠A与∠F相等吗?试说明理由.参考答案1.邻补角2. 对顶角,对顶角相等3.垂直 有且只有 垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角 内错角 同旁内角6.平行 相交 平行 7.平行 这两直线互相平行 8.同位角相等 两直线平行; 内错角相等 两直线平行; 同旁内角互补 两直线平行. 9.平行 10.两直线平行 同位角相等;两直线平行 内错角相等;两直线平行 同旁内角互补.11.命题 题设 结论 由已知事项推出的事项 题设 结论 真命题 假命题 12.平移 相同 平行且相等 13.6cm 8cm 10cm 4.8cm. 14.平行 平行 垂直 15. 28° 118° 59° 16. OD⊥OE 理由略 17. 1(两直线平行,内错角相等)DE∥CF(平行于同一直线的两条直线平行) 2 (两直线平行,内错角相等). 18.⑴∵∠1=∠2 ,又∵∠2=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠3∴a∥b(同位角相等 两直线平行) ⑵∵a∥b∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠2=∠3(对顶角相等) ∴∠1=∠2. 19. 两直线平行,同位角相等 MFQ FQ 同位角相等两直线平行 20. 96°,12°. 21. 22. ∠A=∠F.∵∠1=∠DGF(对顶角相等)又∠1=∠2 ∴∠DGF=∠2 ∴DB∥EC(同位角相等,两直线平行) ∴∠DBA=∠C(两直线平行,同位角相等) 又∵∠C=∠D ∴∠DBA=∠D ∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行)∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等).。
相交线与平行线(知识总结,试题和答案)
初中精品数学精选精讲学科:数学任课教师: 授课时间: 年月日姓名年级课时教学课题相交线与平行线教学目标(知识点、考点、能力、方法)知识点:两条直线相交,两条直线被第三条直线所截,平行线的判断及性质,命题定理证明,平移、考点:平行线的判断,平行线的性质能力:灵活运用角的关系,应用平行线的判断,平行线的性质解题方法:掌握角的计算,灵活运用角的关系难点重点平行线的判断,平行线的性质课堂教学过程课前检查作业完成情况:优□良□中□差□建议______________________________________________一、知识点大集锦相交线与平行线1、相交线假如两条直线只有一个公共点时,我们称这两条直线相交。
相对的,我们称这两条直线为相交线。
2、邻补角,对顶角ﻩ对顶角与邻补角是依照它们的位置命名的,因此它们各有不同的特点。
对顶角的特点:有公共顶点,角的两边互为反向延长线、图1中的∠1与∠2、∠3与∠4都是对顶角。
对顶角是两个角的位置关系,不是数量关系、图1邻补角的特点:有公共顶点和一条公共边,另一边互为反向延长线。
图1中的∠1与∠3、∠3与∠2、∠2与∠4、∠4与∠1都互为邻补角、邻补角即是两个角的位置关系,也是数量关系、对顶角与邻补角都是成对出现的,单独一个角不能称为对顶角或邻补角,这一点大伙儿要注意、例如我们不能说图1中的∠1是对顶角(或邻补角),能够说∠1与∠2是对顶角,∠1是∠3或∠的邻补角、注意:对顶角的性质:对顶角相等。
邻补角的性质:一个角与它的邻补角的和为180°、A 。
一个角的补角一定是钝角 B、互补的两个角不估计相等C 、若∠A+∠B+∠C=900,则∠A+∠B是∠C的余角 D 。
∠A 的补角与∠A 的余角的差一定等于直角 (二)平行线1、如图,下列判断正确的是:( )A 、若∠1=∠2,则AD ∥BCB 、若∠1=∠2,则AB ∥CDC 、若∠A =∠3,则AD ∥BC D 、若∠3+∠AD C=180° ,则A B∥CD2、下列说法正确的有〔 〕①不相交的两条直线是平行线; ②在同一平面内,不相交的两条线段平行③过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ④若a∥b,b∥c,则a 与c 不相交、 A、1个 B 、2个 C、3 D、4个 3、在同一平面内,两条不重合直线的位置关系估计是〔 〕A 。
相交线与平行线专项训练及解析答案
相交线与平行线专项训练及解析答案一、选择题1.下列四个命题:①对顶角相等;②内错角相等;③平行于同一条直线的两条直线互相平行;④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等.其中真命题的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解:①符合对顶角的性质,故本小题正确;②两直线平行,内错角相等,故本小题错误;③符合平行线的判定定理,故本小题正确;④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补,故本小题错误.故选B.2.如图,若AB∥CD,则∠α、∠β、∠γ之间关系是()A.∠α+∠β+∠γ=180°B.∠α+∠β﹣∠γ=360°C.∠α﹣∠β+∠γ=180°D.∠α+∠β﹣∠γ=180°【答案】D【解析】试题解析:如图,作EF∥AB,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∵EF∥AB,∴∠α+∠AEF=180°,∵EF∥CD,∴∠γ=∠DEF,而∠AEF+∠DEF=∠β,∴∠α+∠β=180°+∠γ,即∠α+∠β-∠γ=180°.故选:D .3.如图,已知ABC ∆,若AC BC ⊥,CD AB ⊥,12∠=∠,下列结论:①//AC DE ;②3A ∠=∠;③3EDB ∠=∠;④2∠与3∠互补;⑤1B ∠=∠,其中正确的有( )A .2个B .3个C .4个D .5个【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ,根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°,再根据三角形内角和定理求出即可.【详解】∵∠1=∠2,∴AC ∥DE ,故①正确;∵AC ⊥BC ,CD ⊥AB ,∴∠ACB=∠CDB=90°,∴∠A+∠B=90°,∠3+∠B=90°,∴∠A=∠3,故②正确;∵AC ∥DE ,AC ⊥BC ,∴DE ⊥BC ,∴∠DEC=∠CDB=90°,∴∠3+∠2=90°(∠2和∠3互余),∠2+∠EDB=90°,∴∠3=∠EDB ,故③正确,④错误;∵AC ⊥BC ,CD ⊥AB ,∴∠ACB=∠CDA=90°,∴∠A+∠B=90°,∠1+∠A=90°,∴∠1=∠B ,故⑤正确;即正确的个数是4个,故选:C .【点睛】此题考查平行线的判定和性质,三角形内角和定理,垂直定义,能综合运用知识点进行推理是解题的关键.4.如图,已知正五边形ABCDE ,AF ∥CD ,交DB 的延长线于点F ,则∠DFA 的度数是( )A .28°B .30°C .38°D .36°【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行,内错角相等,得到∠DFA=∠CDB ,根据三角形的内角和求出∠CDB 的度数从而得到∠DFA 的度数.【详解】 解:∠C=(52)1801085︒-⨯=,且CD=CB , ∴∠CDB=∠CBD ∵由三角形的内角和∠C+∠CDB+∠CBD=180°∴∠CDB+∠CBD=180°-∠C =180°-108°=72°∴∠CDB==∠CBD=72362︒︒= 又∵AF ∥CD∴∠DFA=∠CDB=36°(两直线平行,内错角相等)故选D【点睛】本题主要考查多边形的基本概念和三角形的基本概念,正n 边形的内角读数为(2)180n n-⨯.5.下列结论中:①若a=b a b ;②在同一平面内,若a ⊥b ,b//c ,则a ⊥c ;③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离;33( ) A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【解析】【分析】【详解】解:①若a=b 0≥a b②在同一平面内,若a ⊥b,b//c ,则a ⊥c ,正确③直线外一点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离 33正确的个数有②④两个6.如图,下列推理错误的是( )A.因为∠1=∠2,所以c∥d B.因为∠3=∠4,所以c∥dC.因为∠1=∠3,所以a∥b D.因为∠1=∠4,所以a∥b【答案】C【解析】分析:由平行线的判定方法得出A、B、C正确,D错误;即可得出结论.详解:根据内错角相等,两直线平行,可知因为∠1=∠2,所以c∥d,故正确;根据同位角相等,两直线平行,可知因为∠3=∠4,所以c∥d,故正确;因为∠1和∠3的位置不符合平行线的判定,故不正确;根据内错角相等,两直线平行,可知因为∠1=∠4,所以a∥b,故正确.故选:C.点睛:本题考查了平行线的判定方法;熟练掌握平行线的判定方法,并能进行推理论证是解决问题的关键.7.如图所示,b∥c,a⊥b,∠1=130°,则∠2=().A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】B【解析】【分析】证明∠3=90°,利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题.【详解】如图,反向延长射线a交c于点M,∵b∥c,a⊥b,∴∠3=90°,∵∠1=90°+∠4,∴130°=90°+∠4,∴∠4=40°,∴∠2=∠4=40°,故选B.【点睛】本题考查平行线的性质,垂线的性质,三角形的外角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识8.下列五个命题:①如果两个数的绝对值相等,那么这两个数的平方相等;②内错角相等;③在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;④两个无理数的和一定是无理数;⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.其中真命题的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念,在两直线平行的条件下,内错角相等,两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数,进行判断即可.【详解】①正确;②在两直线平行的条件下,内错角相等,②错误;③正确;④反例:两个无理数π和-π,和是0,④错误;⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的,正确;故选:B.【点睛】本题考查实数,平面内直线的位置;牢记概念和性质,能够灵活理解概念性质是解题的关键.9.下列命题是真命题的是()A.同位角相等B.对顶角互补C.如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等D .如果点P 的横坐标和纵坐标互为相反数,那么点P 在直线y x =-的图像上.【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质定理对A 、C 进行判断;利用对顶角的性质对B 进行判断;根据直角坐标系下点坐标特点对D 进行判断.【详解】A .两直线平行,同位角相等,故A 是假命题;B .对顶角相等,故B 是假命题;C .如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补,故C 是假命题;D .如果点的横坐标和纵坐标互为相反数,那么点P 在直线y x =-的图像上,故D 是真命题故选:D【点睛】本题考查了真命题与假命题,正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.利用了平行线性质、对顶角性质、直角坐标系中点坐标特点等知识点.10.如图,11,,33AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥,已知60FCD ∠=︒,则P ∠的度数为( )A .60︒B .80︒C .90︒D .100︒【答案】B【解析】【分析】 延长BC 、EF 交于点G ,根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠,再根据三角形外角的性质和平角的性质得60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠,∠∠,最后根据四边形内角和定理求解即可.【详解】延长BC 、EF 交于点G∵//AB EF∴180ABG BGE +=︒∠∠∵60FCD ∠=︒∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠,∠∠∵11,33ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠2236012033ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠ 223604012033ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803=︒-⨯︒ 80=︒故答案为:B .【点睛】本题考查了平行线的角度问题,掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键.11.下列图形中线段PQ 的长度表示点P 到直线a 的距离的是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】【分析】 根据点到直线的距离的定义,可得答案.【详解】由题意得PQ ⊥a ,P 到a 的距离是PQ 垂线段的长,故选C .【点睛】本题考查了点到直线的距离,点到直线的距离是解题关键.12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,D、E两点分别在边AC、BC上,BD平分∠ABC,DE∥AB.图中的等腰三角形共有()A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】C【解析】【分析】已知条件,根据三角形内角和等于180,角的平分线的性质求得各个角的度数,然后利用等腰三角形的判定进行判断即可.【详解】解:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°,∵DE∥AB,∴∠EDB=∠ABD=36°,∴∠EDC=72°﹣36°=36°,∴∠DEC=180°﹣72°﹣36°=72°,∴∠A=∠ABD,∠DBE=∠BDE,∠DEC=∠C,∠BDC=∠C,∠ABC=∠C,∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形,共5个,故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质,由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是解题的关键.13.如图,∠BCD =95°,AB ∥DE ,则∠α与∠β满足( )A .∠α+∠β=95°B .∠β﹣∠α=95°C .∠α+∠β=85°D .∠β﹣∠α=85°【答案】D【解析】【分析】 过点C 作CF ∥AB ,然后利用两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补进行推理证明即可.【详解】解:过点C 作CF ∥AB∵AB ∥DE ,CF ∥AB∴AB ∥DE ∥CF∴∠BCF=∠α∠DCF+∠β=180°∴∠BCD =∠BCF +∠DCF∴∠α+180°-∠β=95°∴∠β﹣∠α=85°故选:D【点睛】本题考查平行线的性质,熟练掌握平行线的性质进行推理证明是本题的解题关键.14.如图,直线//a b ,将一块含45︒角的直角三角尺(90︒∠=C )按所示摆放.若180︒∠=,则2∠的大小是( )A .80︒B .75︒C .55︒D .35︒【答案】C【解析】【分析】 先根据//a b 得到31∠=∠,再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠,最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解:给图中各角标上序号,如图所示:∵//a b∴3180︒∠=∠=(两直线平行,同位角相等),又∵34,25∠=∠∠=∠(对顶角相等),∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质(两直线平行,同位角相等)、对顶角的性质(对顶角相等),熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.15.如图,1B ∠=∠,2C ∠=∠,则下列结论正确的个数有( )①//AD BC ;②B D ∠=∠;③//AB CD ;④2180B ∠+∠=︒A .4个B .3个C .2个D .1个 【答案】A【解析】【分析】根据∠1=∠B可判断AD∥BC,再结合∠2=∠C可判断AB∥CD,其余选项也可判断.【详解】∵∠1=∠B∴AD∥BC,①正确;∴∠2+∠B=180°,④正确;∵∠2=∠C∴∠C+∠B=180°∴AB∥CD,③正确∴∠1=∠D,∴∠D=∠B,②正确故选:A【点睛】本题考查平行的证明和性质,解题关键是利用AD∥BC推导出∠B+∠2=180°,为证AB∥DC 作准备.16.如图,DE∥BC,BE平分∠ABC,若∠1=70°,则∠CBE的度数为()A.20°B.35°C.55°D.70°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠ABC=70°,再根据角平分线的定义可得答案.【详解】∵DE∥BC,∴∠1=∠ABC=70°,∵BE平分∠ABC,∴1352CBE ABC∠=∠=︒,故选:B.【点睛】此题主要考查了平行线的性质,以及角平分线的定义,解题的关键是掌握两直线平行,内错角相等.17.下列说法中错误的个数是( )(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行;(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(3)不相交的两条直线叫做平行线;(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】(1)应强调过直线外一点,故错误;(2)正确;(3)不相交的两条直线叫做平行线,没有说明是否是在同一平面内,所以错误;(4)有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角,角平分线的两个角也满足,但可以不是,故错误.错误的有3个,故选C.18.如图,小慧从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处,又沿北偏西20°方向行走至C 处,此时需要将方向调整到与出发时一致,则方向的调整应为()A.左转80°B.右转80°C.左转100°D.右转100°【答案】B【解析】【分析】如图,延长AB到D,过C作CE//AD,由题意可得∠A=60°,∠1=20°,根据平行线的性质可得∠A=∠2,∠3=∠1+∠2,进而可得答案.【详解】如图,延长AB到D,过C作CE//AD,∵此时需要将方向调整到与出发时一致,∴此时沿CE方向行走,∵从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处,又沿北偏西20°方向行走至C处,∴∠A=60°,∠1=20°,AM∥BN,CE∥AB,∴∠A=∠2=60°,∠1+∠2=∠3∴∠3=∠1+∠2=20°+60°=80°,∴应右转80°.故选B.【点睛】本题考查了方向角有关的知识及平行线的性质,解答时要注意以北方为参照方向,进行角度调整.19.如图a 是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF 折叠成图b ,再沿BF 折叠成图c ,则图c 中的∠CFE 的度数是( )A .110°B .120°C .140°D .150° 【答案】B【解析】【详解】解:∵AD ∥BC ,∴∠DEF=∠EFB=20°, 图b 中∠GFC=180°-2∠EFG=140°,在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°,故选B .20.如图,在矩形ABCD 中,6AB =,8BC =,若P 是BD 上的一个动点,则PB PC PD ++的最小值是( )A .16B .15.2C .15D .14.8【答案】D【解析】【分析】 根据题意,当PC ⊥BD 时,PB PC PD ++有最小值,由勾股定理求出BD 的长度,由三角形的面积公式求出PC 的长度,即可求出最小值.【详解】解:如图,当PC ⊥BD 时,PB PC PD BD PC ++=+有最小值,在矩形ABCD 中,∠A=∠BCD=90°,AB=CD=6,AD=BC=8,由勾股定理,得226810BD +=,∴=10PB PD BD +=,在△BCD 中,由三角形的面积公式,得11=22BD PC BC CD ••, 即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯, 解得: 4.8PC =, ∴PB PC PD ++的最小值是:10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=; 故选:D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形,最短路径问题,垂线段最短,以及三角形的面积公式,解题的关键是熟练掌握勾股定理,正确确定点P 的位置,得到PC 最短.。
初中数学相交线与平行线难题汇编及答案
初中数学相交线与平行线难题汇编及答案一、选择题1.给出下列说法,其中正确的是( )A.两条直线被第三条直线所截,同位角相等;B.平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交;C.相等的两个角是对顶角;D.从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到直线的距离.【答案】B【解析】【分析】正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离的概念,逐一判断.【详解】A选项:同位角只是一种位置关系,只有两条直线平行时,同位角相等,错误;B选项:强调了在平面内,正确;C选项:不符合对顶角的定义,错误;D选项:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离,不是指点到直线的垂线段的本身,而是指垂线段的长度.故选:B.【点睛】对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义,要善于区分不同概念之间的联系和区别.2.下列说法中,正确的是()A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C.垂于同一条直线的两条直线平行D.如果两个角的两边分别平行,那么这两个角一定相等【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质和判定,平行线公理及推论逐个判断即可.【详解】A、在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故本选项不符合题意;B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项符合题意;C、在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行,故本选项不符合题意;D、如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故本选项不符合题意;故选:B.【点睛】此题考查平行线的性质和判定,平行线公理及推论,能熟记知识点的内容是解题的关键.3.如图,能判定EB ∥AC 的条件是( )A .∠C =∠ABEB .∠A =∠EBDC .∠C =∠ABCD .∠A =∠ABE 【答案】D【解析】【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角,被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线.【详解】A 、∠C =∠ABE 不能判断出EB ∥AC ,故A 选项不符合题意;B 、∠A =∠EBD 不能判断出EB ∥AC ,故B 选项不符合题意;C 、∠C =∠ABC 只能判断出AB =AC ,不能判断出EB ∥AC ,故C 选项不符合题意;D 、∠A =∠ABE ,根据内错角相等,两直线平行,可以得出EB ∥AC ,故D 选项符合题意. 故选:D .【点睛】此题考查平行线的性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行.4.如图,下列能判定AB ∥CD 的条件有几个( )(1)12∠=∠ (2)34∠=∠(3)5B ∠=∠ (4)180B BCD ∠+∠=︒.A .4B .3C .2D .1【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的判定逐一判定即可.【详解】因为12∠=∠,所有AD ∥BC ,故(1)错误.因为34∠=∠,所以AB ∥CD ,故(2)正确.因为5B ∠=∠,所以AB ∥CD ,故(3)正确.因为180B BCD ∠+∠=︒,所以AB ∥CD ,故(4)正确.所以共有3个正确条件.故选B【点睛】本题考查的是平行线的判定,找准两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角、同旁内角、内错角是关键.5.如图,直线AC∥BD,AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线,那么下列结论错误的是()A.∠BAO与∠CAO相等B.∠BAC与∠ABD互补C.∠BAO与∠ABO互余D.∠ABO与∠DBO不等【答案】D【解析】【分析】【详解】解:已知AC//BD,根据平行线的的性质可得∠BAC+∠ABD=180°,选项B正确;因AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线,根据角平分线的定义可得∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO,选项A正确,选项D不正确;由∠BAC+∠ABD=180°,∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO即可得∠BAO+∠ABO=90°,选项A正确,故选D.6.如图,已知AB∥DC,BF平分∠ABE,且BF∥DE,则∠ABE与∠CDE的关系是()A.∠ABE=2∠CDE B.∠ABE=3∠CDEC.∠ABE=∠CDE+90°D.∠ABE+∠CDE=180°【答案】A【解析】【分析】延长BF与CD相交于M,根据两直线平行,同位角相等可得∠M=∠CDE,再根据两直线平行,内错角相等可得∠M=∠ABF,从而求出∠CDE=∠ABF,再根据角平分线的定义解答.【详解】解:延长BF与CD相交于M,∵BF∥DE,∴∠M=∠CDE,∵AB∥CD,∴∠M=∠ABF,∴∠CDE=∠ABF,∵BF平分∠ABE,∴∠ABE=2∠ABF,∴∠ABE=2∠CDE.故选:A.【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义,作辅助线,是利用平行线的性质的关键,也是本题的难点.7.如图所示,∠AOB的两边.OA、OB均为平面反光镜,∠AOB=35°,在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上的点D反射后,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是()A.35°B.70°C.110°D.120°【答案】B【解析】【分析】【详解】解:过点D作DF⊥AO交OB于点F.∵入射角等于反射角,∴∠1=∠3,∵CD∥OB,∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等);∴∠2=∠3(等量代换);在Rt △DOF 中,∠ODF=90°,∠AOB=35°,∴∠2=55°;∴在△DEF 中,∠DEB=180°-2∠2=70°.故选B .8.如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐弯处的∠A 是72°,第二次拐弯处的角是∠B ,第三次拐弯处的∠C 是153°,这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠B 等于( )A .81°B .99°C .108°D .120°【答案】B【解析】 试题解析:过B 作BD ∥AE ,∵AE ∥CF ,∴BD ∥CF ,∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=,∵153C ∠=,∴27DBC ∠=,则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=故选B.9.如图,在ABC ∆中,90,2,4C AC BC ∠=︒==,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒,使点C 落在点E 处,点B 落在点D 处,则B E 、两点间的距离为( )A .10B .22C .3D .25【答案】B【解析】【分析】 延长BE 和CA 交于点F ,根据旋转的性质可知∠CAE=90︒,证明∠BAE=∠ABC ,即可证得AE ∥BC ,得出2142EF AF AE FB FC BC ====,即可求出BE . 【详解】延长BE 和CA 交于点F∵ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到△AED∴∠CAE=90︒∴∠CAB+∠BAE=90︒又∵∠CAB+∠ABC=90︒∴∠BAE=∠ABC∴AE ∥BC∴2142EF AF AE FB FC BC ====∴AF=AC=2,FC=4∴BF=42∴BE=EF=12BF=22故选:B【点睛】本题考查了旋转的性质,平行线的判定和性质.10.如图,12180∠+∠=︒,3100∠=︒,则4∠=( )A.60︒B.70︒C.80︒D.100︒【答案】C【解析】【分析】首先证明a∥b,再根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠6,再根据对顶角相等可得∠4.【详解】解:∵∠1+∠5=180°,∠1+∠2=180°,∴∠2=∠5,a∥b,∴∠3=∠6=100°,∴∠4=180°-100°=80°.故选:C.【点睛】此题考查平行线的判定与性质,解题关键是掌握两直线平行同位角相等.11.在下图中,∠1,∠2是对顶角的图形是()A.B.C.D.【答案】B【解析】略12.下列说法中,正确的是()A.不相交的两条直线是平行线B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行C .从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离D .在同一平面内,一条直线与两条平行线中的一条垂直,则与另一条也垂直.【答案】D【解析】【分析】运用平行线,垂线的定义,点到直线的距离及平行公理及推论判定即可.【详解】A 、不相交的两条直线是平行线,要在同一平面内的前提条件下,故A 选项错误;B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故B 选项错误;C 、从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离,应为垂线段的长度,故C 选项错误;D 、在同一平面内,一条直线与两条平行线中的一条垂直,则与另一条也垂直,故D 选项正确.故选:D .【点睛】本题主要考查了平行线,垂线的定义,点到直线的距离及平行公理及推论,解题的关键是熟记定义与性质.13.已知α∠的两边与β∠的两边分别平行,且α∠=20°,则∠β的度数为( ) A .20°B .160°C .20°或160°D .70°【答案】C【解析】【分析】分两种情况,画出图形,结合平行线的性质求解即可.【详解】如图1,∵a ∥b ;∴∠1=α∠=20°,∵c ∥d∴∠β=∠1=20°;如图2,∵a ∥b ;∴∠1=α∠=20°,∵c ∥d∴∠β=180°-∠1=160°;故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质:①两直线平行同位角相等,②两直线平行内错角相等,③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时,一定要找准同位角,内错角和同旁内角.本题也考查了分类讨论的数学思想.14.如图,直线//,175a b ︒∠=,则2∠的大小是( )A .75︒B .85︒C .95︒D .105︒【答案】D【解析】【分析】 把2∠的对顶角标记为3∠,根据对顶角的性质得到2∠与3∠得关系,再根据直线平行的性质得到1∠与3∠得关系,最后由等量替换得到2∠得度数.【详解】解:如图,把2∠的对顶角标记为3∠,∵2∠与3∠互为对顶角,∴23∠∠=,又∵//a b ,175︒∠=,∴13180∠+∠=︒(两直线平行,同旁内角互补),∴12180∠+∠=︒(等量替换),∴2180118075105∠=︒-∠=︒-︒=︒故D 为答案.【点睛】本题主要考查了对顶角的性质(对顶角相等)、直线平行的性质(两直线平行,同旁内角互补),学会运用等量替换原则是解题的关键.15.如图,1B ∠=∠,2C ∠=∠,则下列结论正确的个数有( )①//AD BC ;②B D ∠=∠;③//AB CD ;④2180B ∠+∠=︒A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】A【解析】【分析】根据∠1=∠B 可判断AD ∥BC ,再结合∠2=∠C 可判断AB ∥CD ,其余选项也可判断.【详解】∵∠1=∠B∴AD ∥BC ,①正确;∴∠2+∠B=180°,④正确;∵∠2=∠C∴∠C+∠B=180°∴AB ∥CD ,③正确∴∠1=∠D ,∴∠D=∠B ,②正确故选:A【点睛】本题考查平行的证明和性质,解题关键是利用AD ∥BC 推导出∠B+∠2=180°,为证AB ∥DC 作准备.16.把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1=45°,则∠2的度数为( )A .115°B .120°C .145°D .135° 【答案】D【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°,即可求得∠3的度数,又由邻补角定义,求得∠4的度数,然后由两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数.【详解】在Rt△ABC中,∠A=90°,∵∠1=45°(已知),∴∠3=90°-∠1=45°(三角形的内角和定理),∴∠4=180°-∠3=135°(平角定义),∵EF∥MN(已知),∴∠2=∠4=135°(两直线平行,同位角相等).故选D.【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质.注意两直线平行,同位角相等与数形结合思想的应用.17.如图,DE∥BC,BE平分∠ABC,若∠1=70°,则∠CBE的度数为()A.20°B.35°C.55°D.70°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠ABC=70°,再根据角平分线的定义可得答案.【详解】∵DE∥BC,∴∠1=∠ABC=70°,∵BE平分∠ABC,∴1352CBE ABC∠=∠=︒,故选:B.【点睛】此题主要考查了平行线的性质,以及角平分线的定义,解题的关键是掌握两直线平行,内错角相等.18.下列说法中错误的个数是( )(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行;(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(3)不相交的两条直线叫做平行线;(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】(1)应强调过直线外一点,故错误;(2)正确;(3)不相交的两条直线叫做平行线,没有说明是否是在同一平面内,所以错误;(4)有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角,角平分线的两个角也满足,但可以不是,故错误.错误的有3个,故选C.19.如图,AB∥CD,DE⊥CE,∠1=34°,则∠DCE的度数为()A.34°B.56°C.66°D.54°【答案】B【解析】试题分析:∵AB∥CD,∴∠D=∠1=34°,∵DE⊥CE,∴∠DEC=90°,∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°.故选B.考点:平行线的性质.20.如图,下列推理错误的是( )A.因为∠1=∠2,所以c∥d B.因为∠3=∠4,所以c∥dC.因为∠1=∠3,所以a∥b D.因为∠1=∠4,所以a∥b【答案】C【解析】分析:由平行线的判定方法得出A、B、C正确,D错误;即可得出结论.详解:根据内错角相等,两直线平行,可知因为∠1=∠2,所以c∥d,故正确;根据同位角相等,两直线平行,可知因为∠3=∠4,所以c∥d,故正确;因为∠1和∠3的位置不符合平行线的判定,故不正确;根据内错角相等,两直线平行,可知因为∠1=∠4,所以a∥b,故正确.故选:C.点睛:本题考查了平行线的判定方法;熟练掌握平行线的判定方法,并能进行推理论证是解决问题的关键.。
七年级下数学相交线与平行线专题总结(含答案)
七年级下数学相交线与平行线专题总结(含答案)一、知识点填空1、两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为_____________、2、对顶角的性质可概括为:3、两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互_______、4、垂线的性质:过一点______________一条直线与已知直线垂直连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,5、直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做6、两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中: 如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ;如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________、7、在同一平面内,不相交的两条直线互相___________、同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种、8、平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______、推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________、9、平行线的判定:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行、简单说成:_____________________________________、两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行、简单说成:___________________________、两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行、简单说成:________________________________________、10、在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线 _______ 、11、平行线的性质:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等、简单说成:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等、简单说成:__________________________________、两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补、简单说成:________________________________ 、12、判断一件事情的语句,叫做_______、命题由________和_________两部分组成、题设是已知事项,结论是______________________、命题常可以写成“如果那么”的形式,这时“如果”后接的部分是,“那么”后接的部分是_________、如果题设成立,那么结论一定成立、像这样的命题叫做___________、如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做___________、定理都是真命题、13、把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称_______、图形平移的方向不一定是水平的、14、平移的性质:把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全___ ___、新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点、连接各组对应点的线段_________________、二:典型题型训练15、如图,那么点,8,6,10,BCAcmCABcm A 到 BC 的距离是_____,点 B 到 AC 的距离是_______,点A、 B 两点的距离是_____,点 C 到 AB 的距离是________16、设、 b、 c 为平面上三条不同直线,若,则 a 与 c 的位置关系a/,ab 是_________;若,则 a 与 c 的位置关系是_________;若,,ab/ab ,则 a 与 c 的位置关系是________17、如图,已知 AB、 CD、 EF 相交于点 O, AB CD, OG 平分 AOE, FOD28,求COE、 AOE、 AOG 的度数18、如图,与是邻补角, OD、 OE 分别是与的平AOCBAOCB 分线,试判断 OD 与 OE 的位置关系,并说明理由19、如图, AB DE,试问B、 E、 BCE 有什么关系解:B E BCE 过点C 作 CF AB,则 ____()又 AB DE, AB CF, ____________() E____() B E12 即 B E BCE20、如图,已知12求证:a b直线,求证:/ab1221、阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知 AB CD,12,试说明 EP FQ 证明:AB CD, MEB MFD()又12, MEB1 MFD2,即 MEP______ EP _____ ()22、已知 DB FG EC, A 是 FG 上一点, ABD60, ACE36,AP 平分 BAC,求:BAC 的大小; PAG 的大小、23、如图,已知,于 D,为上一点,于 F,ABCEABEBC 交 CA 于 G、/D 求证1224、已知:如图1=2, C= D,问 A 与 F 相等吗?试说明理由三:兴趣拓展平行线问题:平行线是我们日常生活中非常常见的图形练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段正因为平行线在生活中的广泛应用,因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识正因为平行线在几何理论中的基础性,平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象历史上关于平行公理的三种假设,产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何),它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何,它是建立在这样一个公理基础之上的:“在平面中,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行”在此基础上,我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理下面我们举例说明这些知识的应用例1 如图118,直线ab,直线 AB 交 a 与 b 于 A,B,CA 平分1,CB 平分2,求证:C=90 例2 如图121 所示,AA1BA2求A1=B1+A2 例3 如图126 所示AEBD,1=32,2=25,求C 例4 求证:三角形内角之和等于180 例5 求证:四边形内角和等于360 例6 如图129 所示直线 l 的同侧有三点 A,B,C,且 ABl,BCl求证:A,B,C 三点在同一条直线上例7 如图130 所示1=2,D=90,EFCD求证:3=B 四,课后思考题1如图131 所示已知ABCD,B=100,EF 平分 BEC,EGEF求BEG 和DEG2如图132 所示CD 是ACB 的平分线,ACB=40,B=70, DEBC求EDC 和BDC 的度数3如图133 所示ABCD,BAE=30,DCE=60,EF,EG 三等分AEC问:EF 与 EG 中有没有与 AB 平行的直线,为什么?4证明:五边形内角和等于5405如图134 所示已知 CD 平分ACB,且 DEACCDEF求证:EF 平分DEB 参考答案一:1、邻补角2、对顶角,对顶角相等3、垂直有且只有垂线段最短4、点到直线的距离5、同位角内错角同旁内角6、平行相交平行7、平行这两直线互相平行8、同位角相等两直线平行;内错角相等两直线平行;同旁内角互补两直线平行、9、平行10、两直线平行同位角相等;两直线平行内错角相等;两直线平行同旁内角互补、11、命题题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12、平移相同平行且相等13、6cm8cm10cm4、8cm、14、平行平行垂直15、281185916、 ODOE理由略17、1(两直线平行,内错角相等)DECF(平行于同一直线的两条直线平行)2(两直线平行,内错角相等)、18、12,又23(对顶角相等),13ab(同位角相等两直线平行)ab13(两直线平行,同位角相等)又23(对顶角相等)12、19、两直线平行,同位角相等 MFQFQ 同位角相等两直线平行20、96,12、21、,ADBCFE90BAD22、 /EF23/,31GA2、 AF、1DGF (对顶角相等)又12 DGF2 DBEC(同位角相等,两直线平行)DBAC(两直线平行,同位角相等)又CDDBAD DF AC (内错角相等,两直线平行)AF( 两直线平行,内错角相等)、三例1 如图118,直线 ab,直线 AB 交 a 与 b 于 A,B,CA 平分1,CB 平分2,求证:C=90 分析由于 ab,1,2 是两个同侧内角,因此1+2= 过 C 点作直线 l,使 la(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移证过 C 点作直线 l,使la(图119)因为 ab,所以 bl,所以1+2=180(同侧内角互补)因为AC 平分1,BC 平分2,所以又3=CAE,4=CBF(内错角相等),所以3+4=CAE+CBF 说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立,即“两条直线 a,b 被直线 AB 所截(如图120 所示),CA,CB 分别是BAE 与ABF 的平分线,若C=90,问直线 a 与直线 b 是否一定平行?” 由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置),因此,不妨模仿原问题的解决方法来试解例2 如图121 所示,AA1BA2求A1-B1+A2 分析本题对A1,A2,B1的大小并没有给出特定的数值,因此,答案显然与所给的三个角的大小无关也就是说,不管 A1,A2,B1的大小如何,答案应是确定的我们从图形直观,有理由猜想答案大概是零,即A1+A2=B1 猜想,常常受到直观的启发,但猜想必须经过严格的证明式给我们一种启发,能不能将B1一分为二使其每一部分分别等于A1与 A2这就引发我们过 B1点引 AA1(从而也是 BA2)的平行线,它将B1 一分为二证过 B1引 B1EAA1,它将A1B1A2分成两个角:1,2(如图122 所示)因为 AA1BA2,所以 B1EBA2从而1=A1,2=A2(内错角相等),所以B1=1+2=A1+A2,即 A1-B1+A2=0 说明(1)从证题的过程可以发现,问题的实质在于 AA1BA2,它与连接 A1,A2两点之间的折线段的数目无关,如图123 所示连接 A1,A2之间的折线段增加到4 条:A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,仍然有A1+A2+A3=B1+B2 (即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即A1-B1+A2-B2+A3=0 进一步可以推广为A1-B1+A2-B2-B n-1+A n=0 这时,连结 A1,A n之间的折线段共有 n 段 A1B1,B1A2,,B n-1An(当然,仍要保持 AA1BA n)推广是一种发展自己思考能力的方法,有些简单的问题,如果抓住了问题的本质,那么,在本质不变的情况下,可以将问题推广到复杂的情况 (2)这个问题也可以将条件与结论对换一下,变成一个新问题问题1 如图124 所示A1+A2=B1,问 AA1与 BA2是否平行?问题2 如图125 所示若 A1+A2++A n=B1+B2++B n-1,问 AA1与 BAn是否平行?这两个问题请同学加以思考例3 如图126 所示AEBD,1=32,2=25,求C 分析利用平行线的性质,可以将角“转移”到新的位置,如1=DFC 或AFB若能将1,2,C“集中”到一个顶点处,这是最理想不过的了,过 F 点作 BC 的平行线恰能实现这个目标解过 F 到 FGCB,交 AB 于 G,则 C=AFG(同位角相等),2=BFG(内错角相等)因为 AEBD,所以1=BFA(内错角相等),所以C=AFG=BFA-BFG=1-2=32-2=22=50 说明(1)运用平行线的性质,将角集中到适当位置,是添加辅助线(平行线)的常用技巧(2)在学过“三角形内角和”知识后,可有以下较为简便的解法:1=DFC=C+2,即C=1-2=22=50 例4 求证:三角形内角之和等于180 分析平角为180若能运用平行线的性质,将三角形三个内角集中到同一顶点,并得到一个平角,问题即可解决,下面方法是最简单的一种证如图127 所示,在ABC 中,过 A 引 lBC,则 B=1,C=2(内错角相等)显然1+BAC+2=平角,所以 A+B+C=180 说明事实上,我们可以运用平行线的性质,通过添加与三角形三条边平行的直线,将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论如将平角的顶点设在某一边内,或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处,不过,解法将较为麻烦同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法例5 求证:四边形内角和等于360 分析应用例3 类似的方法,添加适当的平行线,将这四个角“聚合” 在一起使它们之和恰为一个周角在添加平行线中,尽可能利用原来的内角及边,应能减少推理过程证如图128 所示,四边形 ABCD 中,过顶点 B 引 BEAD,BFCD,并延长 AB,CB 到 H,G则有A=2(同位角相等), D=1(内错角相等),1=3(同位角相等)C=4(同位角相等),又 ABC(即B)=GBH(对顶角相等)由于2+3+4+GBH=360,所以A+B+C+D=360 说明(1)同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质不变(2)总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:三角形内角和=180=(3-2)180,四边形内角和=360=2180=(4-2)180 人们不禁会猜想:五边形内角和=(5-2)180=540, n 边形内角和=(n-2)180 这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单(3)在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是发展人的思维能力的一种重要方法例6 如图129 所示直线 l 的同侧有三点 A,B,C,且 ABl,BCl求证:A,B,C 三点在同一条直线上分析 A,B,C 三点在同一条直线上可以理解为ABC 为平角,即只要证明射线 BA 与 BC 所夹的角为180即可,考虑到以直线 l 上任意一点为顶点,该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角,结合所给平行条件,过 B 作与 l 相交的直线,就可将 l 上的平角转换到顶点B 处证过 B 作直线 BD,交 l 于 D因为 ABl,CBl,所以1=ABD,2=CBD(内错角相等)又1+2=180,所以ABD+CBD=180,即ABC=180=平角A,B,C 三点共线思考若将问题加以推广:在 l 的同侧有 n 个点 A1,A2,,An-1,An,且有AiAi+1l(i=1,2,,n-1)是否还有同样的结论?例7 如图130 所示1=2,D=90,EFCD 求证:3=B 分析如果3=B,则应需 EFBC又知1=2,则有 BCAD从而,应有 EFAD这一点从条件 EFCD 及 D=90不难获得证因为1=2,所以 ADBC(内错角相等,两直线平行)因为D=90及 EFCD,所以 ADEF(同位角相等,两直线平行)所以 BCEF(平行公理),所以3=B(两直线平行,同位角相等)第 1 页共 1 页。
相交线与平行线知识点总结及例题解析
相交线与平行线知识点总结、例题解析知识点1【相交线】在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有两种:平行和相交1、相交线相交线的定义:两条直线交于一点,我们称这两条直线相交.相对的,我们称这两条直线为相交线.知识点2【对顶角和邻补角】两条相交线在形成的角中有对顶角和邻补角两类,它们具有特殊的数量关系和位置关系。
1、邻补角(1)邻补角的概念:两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.如图,∠1与∠2有一条公共边OD,它们的另一条边OA、OB互为反向延长线,则∠1与∠2互为邻补角(2)邻补角的性质:邻补角互补,即和为180°。
例如:若∠1与∠2互为邻补角,则∠1+∠2=180°注意:①互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定互为邻补角;②相交的两条直线会产生4对邻补角。
2、对顶角(1)对顶角的概念:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.如图,∠3与∠4有一个公共顶点O,并且∠3的两边OB、OC分别是∠4的两边OA、OD的反向延长线,则∠1与∠2互为对顶角.(2)对顶角的性质:对顶角相等.注意:两条相交的直线,会产生2对对顶角。
3、邻补角、对顶角成对出现,在相交直线中,一个角对顶角只有一个,但邻补角有两个.邻补角、对顶角都是相对与两个角而言,是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的.注意:如果多条直线相交于同一点,那么产生的邻补角的数量是对顶角的2倍。
【例题1】如图所示,∠1的邻补角是( )A、∠BOCB、∠BOE和∠AOFC、∠AOFD、∠BOC和∠AOF【解析】】据相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断,∠1是直线AB、EF相交于点O形成的角,所以它的邻补角与直线CD无关,即它的邻补角是∠BOE和∠AOF,故选B【答案】B【例题2】下面四个图形中,∠1与∠2是邻补角的是( )【答案】D【例题3】如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )A、1个B、2个C、3个D、4个【解析】考察对顶角的概念【答案】A【例题4】下列说法中:①因为∠1与∠2是对顶角,所以∠1=∠2;②因为∠1与∠2是邻补角,所以∠1=∠2;③因为∠1与∠2不是对顶角,所以∠1≠∠2;④因为∠1与∠2不是邻补角,所以∠1+∠2≠180,其中正确的有________ (填序号)【解析】对顶角、邻补角【答案】①【例题5】如图1,直线AB、CD、EF都经过点O,图中有几对对顶角?几对邻补角?【解析】考察对顶角的概念。
七年级下数学相交线与平行线专题总结含答案1
10. 在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线1. 两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为________________.2. 对顶角的性质可概括为:_____________________________________3. 两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互 _______ .4. 垂线的性质:⑴过一点________________ 一条直线与已知直线垂直⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中, ________________________5. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做________________________________6. 两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中:⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做 ____________ :⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做______________ :⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做 ______________________ .7. 在同一平面内,不相交的两条直线互相_______________ .同一平面内的两条直线的位置关系只有 ________ 与___________ 两种.8. 平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线___________ .推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么___________________________ . 9. 平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:________________________________________ .⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_____________________________ .⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:11. 平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:_______ .⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:_____________ .12. 判断一件事情的语句,叫做________ .命题由_________ 和________ 两部分组成题设是已知事项,结论是___________________________ .命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是___________________ ,“那么”后接的部分是 __________ .如果题设成立,那么结论一定成立.像这样的命题叫做 ___________ .如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做 ___________ .定理都是真命题.13. 把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称 _______ .图形平移的方向不一定是水平的.14. 平移的性质:⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全 ___________ - ⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段______________________ :典型题型训练15.如图,BC _ AC,CB = 8cm, AC = 6cm, AB = 10cm,那么点A到BC的距离是___ ,点B到AC的距离是 ____ ,点A、B两点的距离是,点C到AB的距离是__________ 16.设a、b、c为平面上三条不同直线,若a//b,b//c,则a与c的位置关系是_________ ;若a丄b,b丄c,贝U a与c的位置关系是_________ ;若a//b ,相交线与平行线专题总结、知识点填空BCE17 ■BOD18 EB AMF ()2END ()AOAP 平分/ACE= 36 22. 19 BA()C7ED( ) ()23. DLG2 3BQ-D/ ME B=Z / ME B-Z / B+Z E =Z 1 + Z 2即Z B +Z BCE 过点 C 作 CF// AB线,试判断OD 与OE 的位置关系,并说明理由21•阅读理解并在括号内填注理由 又••• AB// DE AB//CF则• B =即 Z ME P=Z求Z COE Z AOE Z AOG 勺度数1=Z MF -Z 2如图,NAOC 与/BOC 是邻补角,OD OE 分别是N AOC 与三BOC 的平分 如图,AB// DE 试问Z B Z E 、Z BCE 有什么关系 如图,已知 AB CD EF 相交于点 O AB!CD OG 平分Z AOE Z FOD= 28° 如图,已知 ABC , AD_ BC 于D, E 为AB 上一点,EF _ BC 于 F , DG // BA 交 CA 于 GBAC 求:⑴Z BAC 的大小;⑵Z PAG 的大小b _c ,贝U a 与c 的位置关系是如图,已知AB// CD Z 1=Z 2,试说明20.⑴如图,已知Z 1 = Z 2 求证:a // b .⑵直线a//b ,求证:.1 = . 2解:Z B+Z 证明:••• AB// CD已知 DB/ FG// EC A 是 FG 上一点,Z ABD= 60° 又•••/ 1 = Z CIFA \r求证.仁.2Ai24.已知:如图/ 仁/ 2,/ C =Z D,问/ A 与/ F 相等吗?试说明理由.例 3 如图 1— 26所示.AE// BD, / 1=3/2,7 2=25°,求/C.三:兴趣拓展平行线问题:平行线是我们日常生活中非常常见的图形.练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教 室墙壁的对边等等均是互相平行的线段•正因为平行线在生活中的广泛应用,因 此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识•正因为平行线在几何理论 中的基础性,平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象•历史上关于 平行公理的三种假设, 产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、 黎曼几何及欧 几里得几何),它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用.现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何,它是建立在这样一个公理基础之上的:“在平面 中,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行” •在此基础上,我们 学习了两条平行线的判定定理及性质定理•下面我们举例说明这些知识的应用.例6如图1— 29所示.直线I 的同侧有三点 I •求证:A , B, C 三点在同一条直线上.BS 1-21例4求证:三角形内角之和等于180例5求证:四边形内角和等于360°例1如图 CB 平 分/ 1 — 18,直线a // b ,直线AB 交a 与b 于A, B, CA 平分/ 1,2,求证:/ C=90° 例2如图 1 — 21 所示,AA // BA 求/A= / B+/A.图 1-18例 7 如图 1— 30 所示.7 1=7 2,7 D=9C ° , EF 丄 CD 求证:7 3=7 B.A, B, C,且 AB// I , BC//四,课后思考题 B£ 1-301.如图 1 — 31 所示.已知 AB// CD / B=100° , EF 平分/ BEC EGLEF.求 /BEG 和/ DEG 参考答案F图 1-341•邻补角 2.对顶角,对顶角相等 3.垂直 有且只有到直线的距离 5.同位角内错角 同旁内角垂线段最短 4.点 6.平行相交 平行 2.如图 DE// BC 1— 32所示.CD 是/ ACB 的平分线, 求/ EDC 和/ BDC 的度数. / ACB=40,广 B=70/ DCE=60 , EF, EG 三分/ AEC 问:EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线,为什么 3.如图 1— 33 所示.AB// CD / BAE=30 , ,EF, 一 ,? ffi 1-32 7.平行这两直线互相平行 8.同位角相等 两直线平行; 内错角相等 两4.证明:五边形内角和等于540° 相等; 两直线平行 内错角相等;两直线平行冋旁内角互补. .11命题 题设结 论 由已知事项推出的事项 题设结论真命题假命题12.平移 相同 平行且相等 13.6cm 8cm 10cm 4.8cm. 14.平行平行垂直15. 28°118° 59°16. OD 丄OE 理由略17. 1 (两直线平行, 内错角相等) DE // CF (平行于冋一直线的两条直线平行) 2(两直线 平行, 内错角相等).18.⑴T7 1 = 7 2 ,又T7 2 =73 (对顶角相等),直线平行;同旁内角互补两直线平行.9.平行10.两直线平行 同位角5.如图1— 34所示.已知 CD 平分/ ACB 且DE// ACC / EF .求证:EF 平分/ DEB .•./ 1 = Z 3— a / b (同位角相等 两直线平行) ⑵T a // b •••/ 1 = Z 3(两直线平行,同位角相等)又:/ 2=7 3 (对顶角相等) 1 = 7 2.19.两直线 平行,同位角相等MFQFQ同位角相等两直线平行20.96°, 12° . 21.: AD _ BC,FE _ BC EFB —ADB =90〃EF//AD 2=3 :DG 〃BA, 3=1 1= 2. 22. 7 A =Z F. T Z 1 = Z DGF (对顶角相等) 又Z 1 = Z 2DGF = Z 2 •由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置),因此,不 妨模仿原问题的解决方法来试解.例 2 如图 1— 21 所示,AA // BA 求/ A i-Z B+/A.证过C 点作直线I ,使I // a (图1 —19).因为a / b ,所以b / I , 所以Z 1+Z 2=180° (同侧内角互补). 因为AC 平分Z 1, BC 分析本题对Z A ,Z A,Z B 的大小并没有给出特定的数值,因此,答 案显然与所给的三个角的大小无关.也就是说,不管Z A ,Z A,Z B(同位角相等,两直线平行)••Z DBA =Z C (两直线平行,同位角相等) 又 •••Z C =Z D •••/ DBA = Z D /• DF // AC (内错角相等,两直线平行)「・Z A=Z F (两直线平行,内错角相等). 三 例1如图1 — 18,直线a // b ,直线AB 交a 与b 于A, B, CA 平分Z 1, CB 平分Z 2 , 求证:Z C=90图 1-10又/3=Z平分Z 2,所以CAE Z 4=Z CBF (内错角相等),所以Z 3+Z 4=Z CAE Z CBF=[(Z1 + Z2).做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立, 即“两条 直线a , b 被直线AB 所截(如图1— 20所示),CA CB 分别是Z BAE 与Z ABF 的平分线,若Z C=90,问直线a 与直线b 是否一定平行?”说明 分析 由于a / b ,Z 1,Z 2是两个同侧内角, 因此Z 1+Z 2=180° .那么](Z1 + Z2)=90",问题在于如何使+与乙/目等,这必须通过辅助线将土乙2转移到(3点.为此 过C 点作直线I ,使I // a (或b )即可通过平行线的性质实现等 角转移.的大小如何,答案应是确定的•我们从图形直观,有理由猜想答案大概 是零,即/ A i+Z A=/ B . ①猜想,常常受到直观的启发,但猜想必须经过严格的证明•①式给我们 一种启发,能不能将Z B —分为二使其每一部分分别等于Z A 与Z A.这 就引发我们过B 点引AA (从而也是BA )的平行线,它将Z B —分为二.证过B 引BE// AA ,它将Z ABA 分成两个角:Z 1,Z 2(如图1 — 22所 示)因为AA // BA,所以BE// BA .从而Z 仁Z A , Z 2=Z A (内错角相等), 所以Z B=Z 1 + Z 2=Z A i+Z A,即卩 Z A-Z B+Z A=0.进一步可以推广为Z A-Z B+Z A- Z B+…-Z B-i+Z A=0.这时,连结A , A 之间的折线段共有n 段AB, BA,…,B-A (当然,仍 要保持AA i// BA ).推广是一种发展自己思考能力的方法, 有些简单的问题,如果抓住了问 题的本质,那么,在本质不变的情况下,可以将问题推广到复杂的情况. (2)这个问题也可以将条件与结论对换一下,变成一个新问题. 冋题i 如图i — 24所示.Z A i+Z A 2=Z B i,问AA 与BA 是否平行?说明⑴ 从证题的过程可以发现,问题的实质在于 AA // BA ,它与连接 A i,A 两点之间的折线段的数目无关,如图 1— 23所示.连接A i, A 2之 间的折线段增加到4条:AB , BA, AB, BA3,仍然有Z A i+Z A+Z A 3=Z B i+Z B 2.问题2如图i — 25所示.若Z A i+Z A Z A=Z B+Z B Z B-i,冋 AA 与 BA 是否平行?團 1-25(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即 这两个问题请同学加以思考.Z A-Z B+Z A- Z B 2+Z A 3=o.E 1-22團 1-24團 1-23分析平角为180°.若能运用平行线的性质,将三角形三个内角集中到同一顶点,并得到一个平角,问题即可解决,下面方法是最简单的一种.求/ C.分析利用平行线的性质,可以将角“转移”到新的位置,如/ 仁/ DFC 或/AFB若能将/ 1,Z 2,Z C “集中”到一个顶点处,这是最理想不过的了,过F点作BC的平行线恰能实现这个目标.解过F到FG // CB交AB于G则/ C=Z AFG同位角相等),/ 2=Z BFG内错角相等).因为AE // BD,所以/仁/ BFA(内错角相等),所以/ C=Z AFG2 BFA/ BFG M 1-/2=3/ 2-Z 2=2/ 2=50°.说明(1)运用平行线的性质,将角集中到适当位置,是添加辅助线(平行线)的常用技巧.(2)在学过“三角形内角和”知识后,可有以下较为简便的解法:/ 仁/ DFC" C+Z 2,即/ C=Z 1-Z 2=2/ 2=50°.证如图1—27所示,在△ ABC中,过A引I // BC,贝U/ B=Z 1,Z C=Z 2(内错角相等).显然/ 1 + Z BAC" 2=平角,所以 / A+Z B+Z C=180 .说明事实上,我们可以运用平行线的性质,通过添加与三角形三条边平行的直线,将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论.如将平角的顶点设在某一边内,或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处,不过,解法将较为麻烦.同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法.例5求证:四边形内角和等于360°.分析应用例3类似的方法,添加适当的平行线,将这四个角“聚合” 在一起使它们之和恰为一个周角. 在添加平行线中,尽可能利用原来的内角及边,应能减少推理过程.例4求证:三角形内角之和等于180图1-25D1证如图1—28所示,四边形ABCD中,过顶点B引BE// AD BF// CD, 并延长AB, CB到H , G.则有/ A=Z 2(同位角相等),/ D=Z 1(内错角相等),/仁/ 3(同位角相等)•/ C=Z 4(同位角相等),又/ ABC即/ B)=Z GBH对顶角相等).由于/ 2+Z 3+Z 4+Z GBH=360,所以/ A+Z B+Z C+Z D=360说明(1)同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质不变.(2)总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:三角形内角和=180° =(3-2)X 180°四边形内角和=360° =2X 180° =(4-2)X 180°.人们不禁会猜想:五边形内角和=(5-2)X 180° =540°,.................................. n边形内角和=(n-2)X 180°.这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单.(3)在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是发展人的思维能力的一种重要方法.例6如图1—29所示.直线l的同侧有三点A, B, C,且AB//I , BC// l .求证:A , B, C三点在同一条直线上. 分析A, B, C三点在同一条直线上可以理解为Z ABC为平角,即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可,考虑到以直线I上任意一点为顶点,该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角,结合所给平行条件,过B作与l相交的直线,就可将l上的平角转换到顶点B处.证过B作直线BD,交l于D.因为AB// I , CB// I,所以Z 1 = Z ABD Z 2=Z CBD内错角相等).又Z 1+Z 2=180°,所以Z ABD Z CBD=180 ,即Z ABC=180 =平角.A, B, C三点共线.思考若将问题加以推广:在l的同侧有n个点A1, A2,…,ArM, An,且有AiAi+1 // l(i=1 ,2,…, n-1).是否还有同样的结论?例7 如图1—30所示.Z 1=Z 2,Z D=90 , EF±CDEl 1-2B團1-29團1-30求证:Z 3=Z B.分析如果/ 3=ZB,则应需EF// BC又知/ 1 = 72,则有BC //AD从D而,应有EF//AD这一点从条件EFXCDSZ D=90不难获得.证因为/仁/2,所以AD//BC(内错角相等,两直线平行)•因为/ D=90°及EFXCQ所以AD//EF(同位角相等,两直线平行)•所以BC// EF(平行公理),所以Z3=ZB(两直线平行,同位角相等)•。
杭州学军中学七年级数学下册第五章《相交线与平行线》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1.下列说法不正确的是( )A .同一平面上的两条直线不平行就相交B .同位角相等,两直线平行C .过直线外一点只有一条直线与已知直线平行D .同位角互补,两直线平行D解析:D【分析】根据平行线的概念对选项A 进行判断;根据平行线的性质对选项B 进行判断; 根据平行线的公理和判定定理对选项C 和D 进行判断.【详解】A. 同一平面上的两条直线不平行就相交,所以选项A 正确;B. 同位角相等,两直线平行,这是平行线的判定定理,所以B 选项正确;C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以选项C 正确;D. 同旁内角互补,两直线平行,所以选项D 错误.故选D.【点睛】本题是一道关于平行线的题目,掌握平行线的性质和定理是解决此题的关键.2.下列语句不是命题的是( ).A .两直线平行,同位角相等B .作直线AB 垂直于直线CDC .若a b =,则22a b =D .等角的补角相等B 解析:B【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”进行判断即可得到答案.【详解】解:A 、两直线平行,同位角相等,是命题,不符合题意;B 、作直线AB 垂直于直线CD 是描述了一种作图的过程,故不是命题,符合题意;C 、正确,是判断语句,不符合题意;D 、正确,是判断语句,不符合题意.故选:B .【点睛】主要考查了命题的概念.判断一件事情的语句叫做命题.3.下列语句中,是命题的是( )A .两个相等的角是对顶角B .在直线AB 上任取一点C C .用量角器量角的度数D .直角都相等吗?A 解析:A【分析】根据命题的定义逐一判断即可.【详解】解:A .“两个相等的角是对顶角”做出了判断,是命题;B .“在直线AB 上任取一点C ”没有做出判断,不是命题;C .“用量角器量角的度数”没有做出判断,不是命题;D .“直角都相等吗?”没有做出判断,不是命题;故选:A .【点睛】此题主要考查了命题的含义和应用,解答此题的关键是要明确:判断一件事情的语句叫命题,许多命题都是由题设和结论两部分组成.4.如图,25AOB ︒∠=,90AOC ︒∠=,点B ,O ,D 在同一直线上,则COD ∠的度数为( )A .65B .25C .115D .155C解析:C【分析】 先求出∠BOC ,再由邻补角关系求出∠COD 的度数.【详解】∵∠AOB=25°,∠AOC=90°,∴∠BOC=90°-25°=65°,∴∠COD=180°-65°=115°.故选:C .【点睛】本题考查了余角、邻补角的定义和角的计算;弄清各个角之间的关系是解题的关键. 5.下列哪个图形是由图1平移得到的( )A.B.C.D. B解析:B【分析】根据平移的性质,结合图形,对选项进行一一分析,排除错误答案.【详解】A.不是由图1平移得到的,故错误;B.是由图1平移得到的,故正确;C.不是由图1平移得到的,故错误;D.不是由图1平移得到的,故错误;故选:B.【点睛】考查平移的性质,平移前后,图形的大小和形状没有变化.6.如图,如果AB∥EF,EF∥CD,下列各式正确的是()A.∠1+∠2−∠3=90°B.∠1−∠2+∠3=90°C.∠1+∠2+∠3=90°D.∠2+∠3−∠1=180°D解析:D【分析】根据平行线的性质,即可得到∠3=∠COE ,∠2+∠BOE=180°,进而得出∠2+∠3-∠1=180°.【详解】∵EF ∥CD∴∠3=∠COE∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE∵AB ∥EF∴∠2+∠BOE=180°,即∠2+∠3−∠1=180°故选:D .【点睛】本题考查了平行线的性质,两条直线平行:内错角相等;两直线平行:同旁内角互补. 7.如图,将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF 若5BC cm =,则EC 的长为( )A .2cmB .4cmC .6cmD .8cm A解析:A【分析】 由平移性质可得:BC=EF ,CF=3,cm 可得EC=EF-CF .【详解】因为将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF所以EF=5BC cm =,CF=3,cm所以EC=5-3=2(cm)故选:A【点睛】考核知识点:平移性质.抓住平移性质:对应边相等,是解题关键.8.如图,1∠与2∠是同位角的共有( )个A .1个B .2个C .3个D .4个B解析:B【分析】 根据同位角的概念对每个图形一一判断,选出正确答案即可.【详解】图1:1∠与2∠是同位角;图2:1∠与2∠不是同位角;图3:1∠与2∠不是同位角;图4:1∠与2∠是同位角;只有图1、图4中1∠与2∠是同位角.故选:B .【点睛】本题主要考查同位角的概念,熟记同位角的概念是解题关键.9.交换下列命题的题设和结论,得到的新命题是假命题的是( )A .两直线平行,同位角相等B .相等的角是对顶角C .所有的直角都是相等的D .若a=b ,则a ﹣3=b ﹣3C解析:C【分析】写出原命题的逆命题,根据相关的性质、定义判断即可.【详解】解:交换命题A 的题设和结论,得到的新命题是同位角相等,两直线平行是真命题; 交换命题B 的题设和结论,得到的新命题是对顶角相等是真命题;交换命题C 的题设和结论,得到的新命题是所有的相等的角都是直角是假命题; 交换命题D 的题设和结论,得到的新命题是若a-3=b-3,则a=b 是真命题,故选C .【点睛】本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.10.下列命题是真命题的有( )个①对顶角相等,邻补角互补②两条直线被第三条直线所截,同位角的平分线平行③垂直于同一条直线的两条直线互相平行④过一点有且只有一条直线与已知直线平行A .0B .1C .2D .3B解析:B【分析】根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可.【详解】解:对顶角相等,邻补角互补,故①是真命题;两条平行线被第三条直线所截,同位角的平分线平行,故②是假命题;在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,故③是假命题;过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故④是假命题;故正确的个数只有1个,故选:B .【点睛】本题考查的是平行的公理和应用,命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理. 二、填空题11.一副三角板按图1的形式摆放,把含45°角的三角板固定,含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转,设旋转的角度为α(0180α︒<<︒).在旋转过程中,当两块三角板有两边平行时,α的度数为______.30°或45°或120°或135°或165°【分析】分五种情况进行讨论分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠α的度数【详解】解:①当CD ∥OB 时∠α=∠D=30°②当OC ∥AB 时∠OEB=∠COD=解析:30°或45°或120°或135°或165°【分析】分五种情况进行讨论,分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠α的度数.【详解】解:①当CD ∥OB 时,∠α=∠D=30°②当OC∥AB时,∠OEB=∠COD=90°,此时∠α=90°-∠B=90°-45°=45°③当DC∥OA时,∠DOA=∠D=30°,此时∠α=∠AOB+∠AOD=90°+30°=120°④当OD∥AB时,∠AOD=∠A=45°,此时∠α=∠A+∠AOD=90°+45°=135°⑤当CD ∥AB 时,延长BO 交CD 于点E ,则∠CEO=∠B=45°∴∠DEO=180°-∠CEO=135°∴∠DOE=180°-∠DEO-∠D=15°此时∠α=180°-∠DOE=180°-15°=165°综上,在旋转过程中,当两块三角板有两边平行时,α的度数为30°或45°或120°或135°或165°【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用.在旋转过程中,注意分情况讨论是解题关键. 12.如图,64BCA ∠=︒,CE 平分ACB ∠,CD 平分ECB ∠,//DF BC 交CE 于点F ,则CDF ∠的度数为_________°.16【分析】根据角平分线的定义可求∠BCF 的度数再根据角平分线的定义可求∠BCD 和∠DCF 的度数再根据平行线的性质可求∠CDF 的度数【详解】解:∵∠BCA=64°CE 平分∠ACB ∴∠BCF=32°∵解析:16【分析】根据角平分线的定义可求∠BCF 的度数,再根据角平分线的定义可求∠BCD 和∠DCF 的度数,再根据平行线的性质可求∠CDF 的度数.【详解】解:∵∠BCA=64°,CE 平分∠ACB ,∴∠BCF=32°,∵CD 平分∠ECB ,∴∠BCD=∠DCF=16°,∵DF ∥BC ,∴∠CDF=∠BCD=16°,故答案为:16.【点睛】本题考查了角平分线的定义,平行线的性质,关键是熟悉两直线平行,内错角相等的知识点.13.在同一平面内,直线AB 与直线CD 相交于点O ,40AOC ∠=︒,射线OE CD ⊥,则∠BOE 的度数为________︒.50°或130°【分析】先根据垂直的定义求出∠DOE=90°然后根据对顶角相等求出∠DOB 的度数再根据角的和差求出∠BOE 的度数【详解】解:如图1:∵OE ⊥CD ∴∠DOE=90°∵∴∠DOB=°∴∠ 解析:50°或130°【分析】先根据垂直的定义求出∠DOE=90°,然后根据对顶角相等求出∠DOB 的度数,再根据角的和差求出∠BOE 的度数.【详解】解:如图1:∵OE ⊥CD ,∴∠DOE=90°,∵40AOC ∠=︒,∴∠DOB=40AOC ∠=︒°,∴∠BOE=90°-40°=50°,如图2:∵OE ⊥CD ,∴∠DOE =90°,∵40AOC ∠=︒,∴∠DOB=40AOC ∠=︒°,∴∠BOE=90°+40°=130°,故答案为:50°或130°.【点睛】本题考查了垂线的定义,对顶角相等,要注意领会由垂直得直角这一要点.14.命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是_____命题.(填“真”或“假”)真【分析】逆命题就是原命题的假设和结论互换找到原命题的题设为等边三角形结论为每个内角都是60°互换即可判断命题是真是假;【详解】∵原命题为:等边三角形的每个内角都是60°∴逆命题为:三个内角都是60解析:真【分析】逆命题就是原命题的假设和结论互换,找到原命题的题设为等边三角形,结论为每个内角都是60°,互换即可判断命题是真是假;【详解】∵原命题为:等边三角形的每个内角都是60°,∴逆命题为:三个内角都是60°的三角形是等边三角形∴逆命题为真命题;故答案为:真.【点睛】本题考查了命题的真假,正确掌握原命题与逆命题之间的关系是解题的关键;15.将长度为5cm的线段向上平移3cm后所得线段的长度为__.5cm【分析】根据平移的性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移对应点所连的线段平行且相等对应线段平行且相等对应角相等【详解】解:∵平移不改变图形的形状和大小∴线段长度不变还是5cm故答案为:解析:5cm【分析】根据平移的性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.【详解】解:∵平移不改变图形的形状和大小∴线段长度不变,还是5cm.故答案为:5cm.【点睛】此题主要考查平移的基本性质,解题的关键是掌握平移的性质即可.16.用反证法证明“一个三角形中最大的内角不小于60”时,第一步我们要先假设:______.答案不唯一例如一个三角形中最大的内角小于【分析】根据反证法的步骤从命题的反面出发假设出结论【详解】解:∵用反证法证明在一个三角形中最大的内角不小于60°∴第一步应假设结论不成立即假设最大的内角小于6解析:答案不唯一,例如一个三角形中最大的内角小于60【分析】根据反证法的步骤,从命题的反面出发假设出结论.【详解】解:∵用反证法证明在一个三角形中,最大的内角不小于60°,∴第一步应假设结论不成立,即假设最大的内角小于60°.故答案为:最大的内角小于60°.【点睛】本题考查了反证法的步骤,熟记反证法的步骤:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.17.命题“若a2>b2则a>b”是_____命题(填“真”或“假”),它的逆命题是_____.假若a >b则a2>b2【分析】a2大于b2则a不一定大于b所以该命题是假命题它的逆命题是若a>b则a2>b2【详解】①当a=-2b=1时满足a2>b2但不满足a>b所以是假命题;②命题若a2>b2则解析:假若a>b则a2>b2【分析】a2大于b2则a不一定大于b,所以该命题是假命题,它的逆命题是“若a>b则a2>b2”.【详解】①当a=-2,b=1时,满足a2>b2,但不满足a>b,所以是假命题;②命题“若a2>b2则a>b”的逆命题是若“a>b则a2>b2”;故答案为:假;若a>b则a2>b2.【点睛】本题主要考查判断命题真假、逆命题的概念以及平方的计算,熟记相关概念取特殊值代入是解题关键.18.运动会上裁判员测量跳远成绩时,先在距离踏板最近的跳远落地点上插上作为标记的小旗,再以小旗的位置为赤字的零点,将尺子拉直,并与踏板边缘所在直线垂直,把尺子上垂足点表示的数作为跳远成绩.这实质上是数学知识____________在生活中的应用.垂线段最短【分析】根据题干跳远落点视为一个点直尺垂直踏板边缘可理解为作垂线然后用数学语言描述出来即可【详解】根据题意可知答案为:垂线段最短【点睛】本题考查点到直线距离在生活中的实际应用注意在书写答案解析:垂线段最短【分析】根据题干,跳远落点视为一个点,直尺垂直踏板边缘可理解为作垂线,然后用数学语言描述出来即可.【详解】根据题意,可知答案为:垂线段最短【点睛】本题考查点到直线距离在生活中的实际应用,注意在书写答案时,尽量用“数学化”的语言来描述.19.如果一张长方形的纸条,如图所示折叠,那么∠α等于____.70°【分析】依据平行线的性质可得∠BAE=∠DCE=140°依据折叠即可得到∠α=70°【详解】解:如图∵AB ∥CD ∴∠BAE=∠DCE=140°由折叠可得:∴∠α=70°故答案为:70°【点睛】解析:70°.【分析】依据平行线的性质,可得∠BAE=∠DCE=140°,依据折叠即可得到∠α=70°.【详解】解:如图,∵AB ∥CD ,∴∠BAE =∠DCE =140°, 由折叠可得:12DCF DCE ∠=∠, ∴∠α=70°.故答案为:70°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同位角相等.20.如图,现给出下列条件:①1B ∠∠=,②25∠∠=,③34∠∠=,④1D ∠∠=,⑤B BCD 180∠∠+=︒.其中能够得到AB//CD 的条件是_______.(只填序号) ①②⑤【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可【详解】解:①∵∠1=∠B ∴AB ∥CD 故本小题正确;②∵∠2=∠5∴AB ∥CD 故本小题正确;③∵∠3=∠4∴AD ∥BC 故本小题错误;④∵∠1解析:①②⑤【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可【详解】解:①∵∠1=∠B ,∴AB ∥CD ,故本小题正确;②∵∠2=∠5,∴AB ∥CD ,故本小题正确;③∵∠3=∠4,∴AD ∥BC ,故本小题错误;④∵∠1=∠D ,∴AD ∥BC ,故本小题错误;⑤∵∠B+∠BCD=180°,∴AB ∥CD ,故本小题正确.故答案为①②⑤.【点睛】本题考查的是平行线的判定,熟知同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行是解答此题的关键.三、解答题21.如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OE 平分BOD ∠,OF 平分COE ∠,2AOD BOD =∠∠.(1)求DOE ∠的度数;(2)求BOF ∠的度数.解析:(1)30°,(2)45°.【分析】(1)根据邻补角的和等于180°求出∠BOD 的度数,然后根据角平分线的定义解答; (2)先求出∠COE 的度数,再根据角平分线的定义求出∠EOF ,再根据∠BOF =∠EOF -∠BOE ,代入数据进行计算即可得解.【详解】解:(1)∵2AOD BOD =∠∠,∠AOD +∠BOD =180°,∴∠BOD =13×180°=60°, ∵OE 平分∠BOD , ∴∠DOE =∠BOE=12∠BOD =12×60°=30°; (2)∠COE =∠COD ﹣∠DOE =180°﹣30°=150°,∵OF 平分∠COE ,∴∠EOF =12∠COE =12×150°=75°, 由(1)得,∠BOE =30°,∴∠BOF =∠EOF -∠BOE =75°-30°=45°.【点睛】本题考查了对顶角相等的性质,角平分线的定义,比较简单,准确识图并熟记性质与概念是解题的关键.A B C三地,但地图被墨迹污染,C地具体位置看不清楚,但知22.在一张地图上有、、道C地在A地的北偏东30°方向,在B地南偏东45°方向.(1)根据以上条件,在地图上画出C地的位置;的度数.(2)直接写出ACB解析:(1)见详解;(2)105°.【分析】(1)过点A、B作正北方向,再据方位角的含义画射线BX和AY,两射线之交点即是C 地;(2)记过点A的正北方向线与射线BX之交点为D,先求得∠CDA的度数,最后由三角形内角和为180°计算得∠ACB的度数.【详解】(1)如下图,第一步过B作m的平行线BS,以B为顶点作射线BX,使∠SBX=45°;第二步过A作m的平行线AN交BX于点D,以A为顶点作射线AY,使∠NAY=30°;则射线BX与射线AY的交点就是C地.(2)如上图,由C地在B地南偏东45°方向得∠SBX=45°∵SB∥m,AN∥m∴SB∥AN∴∠ADC=∠SBX=45°由C地在A地的北偏东30°方向得∠NAY=30°,∴∠ACB=180°-∠ADC-∠NAY=180°-45°-30°=105°.【点睛】此题考查方位角、平行线等知识,其中理解方位角正确画出图形是关键.23.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.(1)∠AOC的对顶角为______,∠AOC的邻补角为______;(2)若∠EOC=70°,求∠BOD的度数;(3)若∠EOC:∠EOD=2:3,求∠BOD的度数.解析:(1)∠BOD,∠BOC或∠AOD;(2)∠BOD=35°;(3)∠BOD=36°.【分析】(1)根据对顶角、邻补角的意义,结合图形即可得出答案;(2)根据角平分线的意义和对顶角的性质,即可得出答案;(3)根据平角、按比例分配,角平分线的意义、对顶角性质可得答案.【详解】(1)根据对顶角、邻补角的意义得:∠AOC的对顶角为∠BOD,∠AOC的邻补角为∠BOC或∠AOD,故答案为:∠BOD,∠BOC或∠AOD(2)∵OA平分∠EOC.∠EOC=70°,∴∠AOE=∠AOC12=∠EOC=35°,∵∠AOC=∠BOD,∴∠BOD=35°,(3)∵∠EOC:∠EOD=2:3,∠EOC+∠EOD=180°,∴∠EOC=180°×25=72°,∠EOD=180°×35=108°,∵OA平分∠EOC,∴∠AOE=∠AOC12=∠EOC=36°,又∵∠AOC=∠BOD,∴∠BOD=36°.【点睛】本题考查对顶角、邻补角、角平分线、平角的意义和性质,通过图形具体理解这些角的意义是正确计算的前提.24.如图,已知:∠DGA=∠FHC,∠A=∠F.求证:DF∥AC.(注:证明时要求写出每一步的依据)解析:见解析.【分析】先根据∠DGA=∠EGC 证出AE ∥BF ,再根据平行证明出∠F=∠FBC 即可求证出结论.【详解】证明:∵∠DGA=∠EGC(对顶角相等)又∵∠DGA=∠FHC (已知)∴∠EGC=∠FHC (等量代换)∴AE ∥BF (同位角相等,两直线平行)∴∠A=∠FBC (两直线平行,同位角相等)又∵∠A=∠F (已知)∴∠F=∠FBC (等量代换)∴DF ∥AC (内错角相等,两直线平行).【点睛】此题考查平行线的判定与性质:同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;内错角相等,两直线平行.25.如图,直线BC 、DE 相交于点O ,OA 、OF 为射线,OA OB ⊥,OF 平分BOE ∠,BOF COD ∠+∠=54.求AOE ∠的度数.解析:126º【分析】设BOF ∠=x ,根据角平分线的定义表示出∠BOE ,再根据对顶角相等求出COD ∠,然后列出方程求出x ,从而得到∠BOE 的度数,再根据垂线的定义求出AOB ∠,最后根据AOE ∠=AOB BOE ∠+∠代入数据进行计算即可得解.【详解】设BOF ∠=x ,∵OF 平分∠BOE ,∴∠BOE =2BOF ∠=2x ,∴COD ∠=∠BOE =2x (对顶角相等),∵BOF COD ∠+∠=54,∴2x x +=54,解得x =18,∴∠BOE =218⨯=36,∵OA OB ⊥,∴AOB ∠=90,∴AOE ∠=AOB BOE ∠+∠=9036+=126.【点睛】本题考查了垂线的定义,对顶角相等的性质,角平分线的定义,是基础题,设出未知数并根据已知条件列出方程求出∠BOE 是解题的关键.26.求证:顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半(1)在图中按照下面“已知”的要求,画出符合题意的图形,并根据题设和结论,结合图形,用符号语言补充写出“己知”和“求证”.已知:在锐角ABC 中,AB AC =,______求证:______(2)证明上述命题解析:(1 )BD ⊥AC 于点D ,∠DBC =12∠A ;(2)见解析 【分析】(1)先根据命题内容确定命题的题设和结论,画出符合条件的图形,并写出已知,根据结论写出求证内容;(2)根据等腰三角形的性质,可得出底角与顶角的数量关系,再由内角和定理证明出结论.【详解】(1)解:已知:如图,在锐角△ABC 中,AB =AC ,BD ⊥AC 于点D .求证:∠DBC =12∠A .故答案为:BD⊥AC于点D,∠DBC=12∠A.(2)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴2∠C=180°-∠A.即∠C=12(180°-∠A).∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠C=90°.∴∠DBC=90°-∠C=90°-12(180°-∠A)=12∠A.即等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.【点睛】本题考查了命题与证明,掌握命题的证明方法和基本步骤,并结合题设和结论画出符合条件的图形是解题的关键.27.如图,点A、O、B在同一条直线上,∠AOC比∠BOC大100°,OE平分∠AOC.求(1)直接写出∠AOC、∠BOC的度数;(2)从点O出发画一条射线,使得∠COD=90°,求出∠EOD的度数(可以直接使用第一问的结果)解析:(1)140°;40°;(2)160°或20°【分析】(1)根据∠AOC-∠BOC=100°得到∠AOC=∠BOC+100°,利用∠AOC+∠BOC=180°求出角的度数;(2)分情况讨论,如图2,射线OD在AB下方,∠COD=90°,根据角平分线的性质求出∠COE=12∠AOC =70°,求得∠EOD=∠COE+∠COD=160°;如图1,射线OD在AB上方,∠COD=90°,同理∠COE==70°,得到∠EOD=∠COD﹣∠COE =20°.解:(1)∵∠AOC-∠BOC=100°,∴∠AOC=∠BOC+100°,∵∠AOC+∠BOC=180°,∴∠BOC+100°+∠BOC=180°,∴∠BOC=40°,∴∠AOC=140°;(2)如图2,射线OD 在AB 下方,∠COD=90°,因为OE 平分∠AOC , ∠AOC=140°,所以∠COE=12∠AOC =70° , 所以∠EOD=∠COE+∠COD=160°,如图1,射线OD 在AB 上方,∠COD=90°,同理∠COE==70°,所以∠EOD=∠COD ﹣∠COE =20°,答:∠EOD 的度数是160°或20°.【点睛】此题考查邻补角的定义,角度的和差计算,角平分线的性质,垂直的定义,解题中注意分类思想的运用避免漏解.28.如图1所示的是北斗七星的位置图,图2将北斗七星分别标为A ,B ,C ,D ,E ,F ,G ,并顺次首尾连接,若AF 恰好经过点G ,且//AF DE ,105D E ∠=∠=︒.(1)求F ∠的度数.(2)连接AD ,当ADE ∠与CGF ∠满足怎样的数量关系时,//BC AD ,并说明理由.解析:(1)75°;(2)当∠ADE+∠CGF=180°时,BC ∥AD .(1)根据平行线的性质解答即可;(2)根据平行线的判定和性质解答即可.【详解】解:(1)∵AF ∥DE ,∴∠F+∠E=180°,∵105E ∠=︒∴∠F=180°-105°=75°;(2)如图,当∠ADE+∠CGF=180°时,BC ∥AD , ∵AF ∥DE ,∴∠GAD+∠ADE=180°,∠ADE+∠CGF=180°, ∴∠GAD=∠CGF ,∴BC ∥AD .【点睛】此题考查平行线的判定和性质,关键是根据平行线的判定和性质解答.。
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相交线与平行线专题总结一、知识点填空1.两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为_____________.2.对顶角的性质可概括为:3.两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互_______.4.垂线的性质:⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做6.两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中:⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________.7.在同一平面内,不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.8.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________.9.平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:________________________________________.10.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______ .11.平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:________________________________ .12.判断一件事情的语句,叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项,结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是,“那么”后接的部分是_________. 如果题设成立,那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.13.把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.14.平移的性质:⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全___ ___.⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.二:典型题型训练15.如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm⊥===那么点A到BC的距离是_____,点B到AC的距离是_______,点A、B两点的距离是_____,点C到AB的距离是________.16.设a、b、c为平面上三条不同直线,若//,//a b b c,则a与c的位置关系是_________;若,a b b c⊥⊥,则a与c的位置关系是_________;若//a b,b c⊥,则a 与c 的位置关系是________.17. 如图,已知AB 、CD 、EF 相交于点O ,AB ⊥CD ,OG 平分∠AOE ,∠FOD=28°,求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数.18. 如图,AOC ∠与BOC ∠是邻补角,OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线,试判断OD 与OE 的位置关系,并说明理由.19. 如图,AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系.解:∠B +∠E =∠BCE 过点C 作CF ∥AB ,则B ∠=∠____( ) 又∵AB ∥DE ,AB ∥CF ,∴____________( ) ∴∠E =∠____( ) ∴∠B +∠E =∠1+∠2 即∠B +∠E =∠BCE .20. ⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a ∥b .⑵直线//a b ,求证:12∠=∠.21. 阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明EP ∥FQ . 证明:∵AB ∥CD ,∴∠MEB =∠MFD ( )又∵∠1=∠2,∴∠MEB -∠1=∠MFD -∠2, 即 ∠MEP =∠______∴EP ∥_____.( )22. 已知DB ∥FG ∥EC ,A 是FG 上一点,∠ABD =60°,∠ACE =36°,AP 平分∠BAC ,求:⑴∠BAC 的大小;⑵∠PAG 的大小.23. 如图,已知ABC ∆,AD BC ⊥于D ,E 为AB 上一点,EF BC ⊥于F ,//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠24. 已知:如图∠1=∠2,∠C =∠D ,问∠A 与∠F 相等吗?试说明理由.三:兴趣拓展平行线问题:平行线是我们日常生活中非常常见的图形.练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段.正因为平行线在生活中的广泛应用,因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识.正因为平行线在几何理论中的基础性,平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象.历史上关于平行公理的三种假设,产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何),它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用.现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何,它是建立在这样一个公理基础之上的:“在平面中,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行”.在此基础上,我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理.下面我们举例说明这些知识的应用.例1 如图1-18,直线a∥b,直线AB交a与b于A,B,CA平分∠1,CB平分∠2,求证:∠C=90°例2 如图1-21所示,AA1∥BA2求∠A1=∠B1+∠A2.例3如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.例4求证:三角形内角之和等于180°.例5求证:四边形内角和等于360°.例6如图1-29所示.直线l的同侧有三点A,B,C,且AB∥l,BC ∥l.求证:A,B,C三点在同一条直线上.例7如图1-30所示.∠1=∠2,∠D=90°,EF⊥CD.求证:∠3=∠B.四,课后思考题1.如图1-31所示.已知AB∥CD,∠B=100°,EF平分∠BEC,EG⊥EF.求∠BEG和∠DEG.2.如图1-32所示.CD是∠ACB的平分线,∠ACB=40°,∠B=70°,DE∥BC.求∠EDC和∠BDC的度数.3.如图1-33所示.AB∥CD,∠BAE=30°,∠DCE=60°,EF,EG三等分∠AEC.问:EF与EG中有没有与AB平行的直线,为什么?4.证明:五边形内角和等于540°.5.如图1-34所示.已知CD平分∠ACB,且DE∥ACCD∥EF.求证:EF平分∠DEB.参考答案一:1.邻补角2.对顶角,对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角内错角同旁内角6.平行相交平行7.平行这两直线互相平行8.同位角相等两直线平行;内错角相等两直线平行;同旁内角互补两直线平行.9.平行10.两直线平行同位角相等;两直线平行内错角相等;两直线平行同旁内角互补.11.命题题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12.平移相同平行且相等13.6cm 8cm 10cm 4.8cm.14.平行平行垂直15.28°118°59°16. OD⊥OE理由略17. 1(两直线平行,内错角相等)DE∥CF(平行于同一直线的两条直线平行)2(两直线平行,内错角相等).18.⑴∵∠1=∠2,又∵∠2=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠3∴a∥b(同位角相等两直线平行)⑵∵a∥b∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠2=∠3(对顶角相等)∴∠1=∠2.19. 两直线平行,同位角相等MFQ FQ同位角相等两直线平行20. 96°,12°.21.,AD BC FE BC⊥⊥90EFB ADB∴∠=∠=//EF AD∴23∴∠=∠//,31DG BA∴∠=∠1 2.∴∠=∠22. ∠A=∠F.∵∠1=∠DGF(对顶角相等)又∠1=∠2∴∠DGF=∠2∴DB∥EC (同位角相等,两直线平行)∴∠DBA=∠C(两直线平行,同位角相等)又∵∠C=∠D∴∠DBA=∠D∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行)∴∠A =∠F(两直线平行,内错角相等).三例1 如图 1-18,直线a∥b,直线 AB交 a与 b于 A,B,CA平分∠1,CB平分∠ 2,求证:∠C=90°分析由于a∥b,∠1,∠2是两个同侧内角,因此∠1+∠2=过C点作直线 l,使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移.证过C点作直线l,使l∥a(图1-19).因为a∥b,所以b∥l,所以∠1+∠2=180°(同侧内角互补).因为AC平分∠1,BC平分∠2,所以又∠3=∠CAE,∠4=∠CBF(内错角相等),所以∠3+∠4=∠CAE+∠CBF 说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立,即“两条直线a,b被直线AB所截(如图1-20所示),CA,CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线,若∠C=90°,问直线a与直线b是否一定平行?”由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置),因此,不妨模仿原问题的解决方法来试解.例2 如图1-21所示,AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2.分析本题对∠A1,∠A2,∠B1的大小并没有给出特定的数值,因此,答案显然与所给的三个角的大小无关.也就是说,不管∠A1,∠A2,∠B1的大小如何,答案应是确定的.我们从图形直观,有理由猜想答案大概是零,即∠A1+∠A2=∠B1.①猜想,常常受到直观的启发,但猜想必须经过严格的证明.①式给我们一种启发,能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2.这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线,它将∠B1一分为二.证过B1引B1E∥AA1,它将∠A1B1A2分成两个角:∠1,∠2(如图1-22所示)因为AA1∥BA2,所以B1E∥BA2.从而∠1=∠A1,∠2=∠A2(内错角相等),所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2,即∠A1-∠B1+∠A2=0.说明(1)从证题的过程可以发现,问题的实质在于AA1∥BA2,它与连接A1,A2两点之间的折线段的数目无关,如图1-23所示.连接A1,A2之间的折线段增加到4条:A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2.(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠B n-1+∠A n=0.这时,连结A1,A n之间的折线段共有n段A1B1,B1A2,…,B n-1A n(当然,仍要保持 AA1∥BA n).推广是一种发展自己思考能力的方法,有些简单的问题,如果抓住了问题的本质,那么,在本质不变的情况下,可以将问题推广到复杂的情况.(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下,变成一个新问题.问题1 如图1-24所示.∠A1+∠A2=∠B1,问AA1与BA2是否平行?问题2 如图1-25所示.若∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n-1,问AA1与BA n是否平行?这两个问题请同学加以思考.例3如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.分析利用平行线的性质,可以将角“转移”到新的位置,如∠1=∠DFC 或∠AFB.若能将∠1,∠2,∠C“集中”到一个顶点处,这是最理想不过的了,过F点作BC的平行线恰能实现这个目标.解过F到 FG∥CB,交 AB于G,则∠C=∠AFG(同位角相等),∠2=∠BFG(内错角相等).因为 AE∥BD,所以∠1=∠BFA(内错角相等),所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°.说明(1)运用平行线的性质,将角集中到适当位置,是添加辅助线(平行线)的常用技巧.(2)在学过“三角形内角和”知识后,可有以下较为简便的解法:∠1=∠DFC=∠C+∠2,即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°.例4求证:三角形内角之和等于180°.分析平角为180°.若能运用平行线的性质,将三角形三个内角集中到同一顶点,并得到一个平角,问题即可解决,下面方法是最简单的一种.证如图1-27所示,在△ABC中,过A引l∥BC,则∠B=∠1,∠C=∠2(内错角相等).显然∠1+∠BAC+∠2=平角,所以∠A+∠B+∠C=180°.说明事实上,我们可以运用平行线的性质,通过添加与三角形三条边平行的直线,将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论.如将平角的顶点设在某一边内,或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处,不过,解法将较为麻烦.同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法.例5求证:四边形内角和等于360°.分析应用例3类似的方法,添加适当的平行线,将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角.在添加平行线中,尽可能利用原来的内角及边,应能减少推理过程.证如图1-28所示,四边形ABCD中,过顶点B引BE∥AD,BF∥CD,并延长 AB,CB到 H,G.则有∠A=∠2(同位角相等),∠D=∠1(内错角相等),∠1=∠3(同位角相等).∠C=∠4(同位角相等),又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等).由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°,所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°.说明(1)同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质不变.(2)总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:三角形内角和=180°=(3-2)×180°,四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°.人们不禁会猜想:五边形内角和=(5-2)×180°=540°,…………………………n边形内角和=(n-2)×180°.这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单.(3)在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是发展人的思维能力的一种重要方法.例6如图1-29所示.直线l的同侧有三点A,B,C,且AB∥l,BC∥l.求证: A,B,C三点在同一条直线上.分析A,B,C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角,即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可,考虑到以直线l上任意一点为顶点,该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角,结合所给平行条件,过B作与l相交的直线,就可将l上的平角转换到顶点B处.证过B作直线 BD,交l于D.因为AB∥l,CB∥l,所以∠1=∠ABD,∠2=∠CBD(内错角相等).又∠1+∠2=180°,所以∠ABD+∠CBD=180°,即∠ABC=180°=平角.A,B,C三点共线.思考若将问题加以推广:在l的同侧有n个点A1,A2,…,An-1,An,且有AiAi+1∥l(i=1,2,…,n-1).是否还有同样的结论?例7如图1-30所示.∠1=∠2,∠D=90°,EF⊥CD.求证:∠3=∠B.分析如果∠3=∠B,则应需EF∥BC.又知∠1=∠2,则有BC ∥AD.从而,应有EF∥AD.这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得.证因为∠1=∠2,所以AD∥BC(内错角相等,两直线平行).因为∠D=90°及EF⊥CD,所以AD∥EF(同位角相等,两直线平行).所以 BC∥EF(平行公理),所以∠3=∠B(两直线平行,同位角相等).。