理论力学第十章

第十章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理。

注意动量、动量矩、动能与力系的主矢、主矩和做功之间的关系。

注意刚体上的一个重要的点：质心。

重点：动量定理和质心运动定理。

§10--1 动量与冲量1、动量的概念：物体之间的相互作用效应跟质量与速度的乘积有关。

飞针穿透玻璃；高速路上的飞石；飞鸟撞击飞机；子弹击中目标。

/ kg m s单位:⑴、质点的动量：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。

()mv 动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。

⑵、质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。

李禄昌1()n i i i p m v ==∑()i i c m r r m∑=质心公式：1()n i i i dr m dt ==∑()i i d m r dt =∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？⑵、质点系的动量：( )c d m r dt = cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。

求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。

c ωv C =0v Cc ωc o v C2．冲量的概念：I Ft =常力的冲量：I F t =d d 变力的元冲量：0tI F t=⎰d 在作用时间t 内的冲量: 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。

冲量：作用力与作用时间的乘积。

冲量是矢量，冲量的单位是N.S 。

在~ 内，速度由~ ，有1t 2t 1v 2v §10-2 动量定理1、质点的动量定理：由牛顿第二定律：()mv Ft =d d ()mv F t=d d 得：质点动量定理的微分形式：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。

221t mv mv F t I -==⎰d外力：，内力：()e i F ()i i F 质点动量定理的积分形式：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。

2、质点系的动量定理：内力性质：()0i i F ∑=（1）()()0i O i M F ∑=（2）()0i i F t ∑=d （3）2121t t mv mv F t I -==⎰d ()()()e i i i i i m v F t F t =+d d d 对质点：()()()e i i i i im v F t F t ∑=∑+∑d d d 质点系：0()()()e i i i e i p F m v t I =∑=∑∑=d d d d()()e e i i p F t I =∑=∑d d d 得()e i p F t =∑d d 或质点系动量定理的微分形式：质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和；动力学与静力学有机结合。

质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）。

形式与牛顿第二定律相同啊。

注意：动量问题没有考虑合力作用点的不同。

只与力系的主矢有关。

质点系的动量是自由矢量。

()211n e i i p p I =-=∑如果在~内，动量由~ ，则有1t 2t 1p 2p 质点系动量定理的积分形式：在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。

()()e e i ip F t I =∑=∑d d d 由()e x x p F t =∑d d ()y e y p F t =∑d d ()ez z p F t =∑d d 动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：()21e x x xp p I -=∑()21e y y y p p I -=∑)(12e zz z I p p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。

例10－1已知：均质圆盘在OA 杆上纯滚动，m ＝20kg ，R ＝100mm ，OA 杆的角速度为，圆盘相对于OA 杆转动的角速度为，。

rad/s 11=ωrad/s 42=ωm m 3100=OB 求：此时圆盘的动量。

OAB 1ω2ωOAB1ω2ω解：动点：圆盘质心C 点，动系：OA 杆，利用点的速度合成定理，分析C 点的绝对速度。

Cv rv ev C2400mm/sr v R ω==222cos60346.4mm/sa c ere r v v v v v v ==+-=1200mm/se v OC ω=⋅=Cv m p =sN 93.6⋅=p 6.93/sp kg m =⋅OB1ω2ωCv m p =Cv CBv Bv 6.93/sp kg m =⋅21()300mm/sCB v R ωω=-⋅=222003mm/sc BCBv v v=+=或：圆盘质心为C 点，利用基点法，分析C 点的绝对速度。

11003mm/sB v OB ω=⋅=C这是一个“刚体绕平行轴转动的合成”问题，此处不能直接利用圆盘相对OA 杆转动的角速度。

2ωa e rωωω=+例10-2 电动机外壳固定在水平基础上，定子和外壳的质量为，转子质量为。

定子和机壳质心，转子质心，，角速度为常量。

求基础的水平及铅直约束力。

1m 2m 1O 2O 12O O e =ω解：对电动机受力分析。

2p m eω=2cos x p m e t ωω=⎧⎨⎩2sin yp m e tωω=22sin x F m e tωω=-得xx p F t=d d 由12y y p F m g m gt=--d d 2122()cos y F m m g m e tωω=++附加动约束力附加力偶怎么求？x22sin m e tωω-方向：动约束力-静约束力= 附加动约束力。

本题的附加动约束力为：y22cos m e tωω方向：电机不转时的约束力，称静约束力；电机转动时的约束力，称动约束力，转动的零件的静平衡实验、动平衡实验问题。

3. 质点系动量守恒定律:如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持不变，即()211ne ii p p I =-=∑0P P ==恒矢量如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。

0x x P P ==恒量()e i p F t=∑d dAvBrv 0=v 0ϕO例10-3 物块A 可沿光滑水平面自由滑动，其质量为m A ；小球B 的质量为m B ，以细杆与物块铰接，设杆长为l ，质量不计，初始时系统静止, 并有初始摆角φ0，释放后，细杆近似以φ=φ0cosωt 规律摆动（ω 为已知常数）,求物块A 的最大速度。

解：取物块和小球为研究对象，小球的相对速度为：AvBrv 0=v 0ϕO0sin r v l l tϕωϕω==当细杆铅垂时小球相对于物块有最大的水平速度，其值为:r v l l ϕωϕ==物块向右的绝对速度为v , 则小球向左的绝对速度值为：a r v v v=-此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守衡。

李禄昌解出物块的最大速度为根据动量守衡条件有：AvBrv 0=v 0ϕOA B r m v m v -=()0A B B r m m v m v +-=能否用以下公式？)0A B r m v m v v --=（0B B r A B A Bm l m v v m m m m ωϕ==++李禄昌作业：10—6、7作业：10—10、1110-3质心运动定理1、质心计算公式：i i C m x x m∑=i i C m y y m∑=i i C m z z m∑=,i iC m r r m∑=im m =∑在直角坐标系的投影形式：问题：内力是否影响质心的运动？计算质心坐标应先建立参考坐标系。

例10-4已知：为常量，均质杆OA = AB = , 两杆质量皆为，滑块B质量。

l1m2m求: 质心运动方程、轨迹及系统动量。

解：1、设，质心运动方程为t ϕω=2、消去t 得质心轨迹方程22[][]12()/(2)/(2)c c x y m m l m m m l m m +=+++1121212123222cos 22()cos 2C l lm m m lx t m m m m l t m m ωω++=++=+11121222sin sin 22C l m m y t l tm m m m ωω==++122()sin x Cx C p mv mx m m l tωω===-+1cos y Cy C p mv my m l tωω===2222221214()sin cos x yp p pl m m t m tωωω=+=++3、系统动量沿x ，y 轴的投影为：系统动量的大小为：12122()cos 2C m m x l tm m ω+=+112sin 2C m y l tm m ω=+相当于将质点系看作质点,用质心代替,外力看作是作用于质心的汇交力系。

2、质心运动定理：()1()n e C ii p mv F t t===∑d d d d ()1n e C ii v m F t==∑d d ()1ne C ii ma F ==∑质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和。

牛顿第二定律吗？内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。

()e Cx xma F=∑()e Cy yma F=∑()e Cz zma F=∑()e C tv m F t=∑d d 2()e CnvmFρ=∑在直角坐标轴上的投影式为：在自然轴上的投影式为：3、质心运动守恒定理：()e F∑≡若则常矢量C v =()0e xF∑≡若则常矢量Cxv =质心作匀速直线运动或静止。

, 以不变的角速例10-5 均质曲柄AB长为r ,质量为m1度ω转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D 。

在活塞上作用一恒力滑槽、连杆、活塞总质量为m2F。

不计摩擦及滑块B的质量。

求：作用在曲柄轴A处的最大水平约束力F。

x解：1、计算整个机构的质心C 的坐标及其加速度：212212cos 2C Cx x m r a m tt m m ωω-⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭2d d ()12121cos cos 2C r x m m r b m m ϕϕ⎡⎤=++⋅⎢⎥+⎣⎦1c 2c 3、应用质心运动定理：()12Cx x m m a F F+=-212cos 2x m F F r m tωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭21m F F r m ω⎛⎫=++得：求：电机外壳的运动S？例10-6 地面水平，光滑，已知，，，初始静止，常量。

电动机没有螺栓固定。

1m 2m e ω=解：1、建立坐标轴，静止时转子的质心o 2 在最低点。

系统的质心坐标为：21212()(sin )C m a s m a s e x m m ϕ-+-+=+1C x a=3、在水平方向质心运动守恒：12C C x x =2sin m s e m m ϕ=+2、当转子转过角度φ时，设定子移动距离为s ，则系统的质心坐标为：yaNF o电机原来的质心位置。