反比例函数压轴题

反比例函数

经典结论：

如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 1

2

AOB AOC S S k ∆∆==

； (II ) OBAC S k =矩形。 下面两个结论是上述结论的拓展.

(1) 如图①，

OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②，

OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

1.如图，已知双曲线(0)k

y x x

=

>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = ；

2.如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线

1

(0)y x x

=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -= .

3.如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x

y 6

=的图象交),(),,(2211y x B y x A ，那么

))((1212y y x x --值为 .

C

B

A o

y

x

E

P D

C

A o

y

x

图① E P C

B

A

o

y

x

图②

D

C B A o x

y

F E

C

B A

o

x

y

4. 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x

m

y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．

(1) 求反比例函数x

m

y =

和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．

5.如图，已知直线12y x =与双曲线(0)k

y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；

（2）若双曲线(0)k

y k x

=

>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x

=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），

若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．

O A

B

C

x

y

D

O

x A y

B

6.如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．

（1）若OA=10，求反比例函数解析式；

（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；

（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Ex6

7.如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线

1

y x b

2

过点D，与线段AB相交于

点F，求点F的坐标；

（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．

8.如图，将边长为4的等边三角形AOB 放置于平面直角坐标系xOy 中，F 是AB 边上的动点（不与端点A 、B 重合），过点F 的反比例函数y=（k ＞0，x ＞0）与OA 边交于点E ，过点F 作FC ⊥x 轴于点C ，连结EF 、OF ．

（1）若S △OCF =，求反比例函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，试判断以点E 为圆心，EA 长为半径的圆与y 轴的位置关系，并说明理由；

（3）AB 边上是否存在点F ，使得EF ⊥AE ？若存在，请求出BF ：FA 的值；若不存在，请说明理由．

9.如图，过点P (－4，3)作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线x

k y =（k ≥2）于E 、F 两点．

（1）点E 的坐标是________，点F 的坐标是________；（均用含k 的式子表示） （2）判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论； （3）记OEF PEF S S S ∆∆-=，S 是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由． Ex9

x

A B O

E

F P y

10.如图，已知正比例函数y = ax （a ≠0）的图象与反比例函致x

k

y

（k ≠0）的图象的一个交点为A （－1，2－k 2），另—个交点为B ，且A 、B 关于原点O 对称，D 为OB 的中点，过点D 的线段OB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于C 、E ．

（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式； （2）试计算△COE 的面积是△ODE 面积的多少倍．

11.如图，已知双曲线y=经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC ． （1）求k 的值；

（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．

E D B A x

y O

C