矩母函数

所以
M '(0)= E (X )= 1,
M ''(0)= E (X 2)= 2 V(X )= E (X 2)- 轾臌E (X ) 2 = 1
现代精算风险理论
矩母函数的性质
引理：MGF的性质
å

若 若XY1X,…1=,…XaXnXn
+ b ，则 MY 独立，且 Y
(t ) =
=
ebt M X (at)
渐增式地定义一个复杂的模型：通过条件分 布与边缘分布
希望知道 ff (x) ，至少是其期望和均值（条
件期望和方差）
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混合分布举例
例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个
随机变量，用 fY ~ Poission(l ) 表示；另外假设每
个蛋的是否存活是独立的，存活的概率为p, 为 Bernoulli分布，用X表示存活的数量，则
= p(1- p)E (Y )+ p2V(Y )= p(1- p)l + p2l = l p
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三、矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数的得名起因于下述公式：
E(Xk)=M(k)(0)
对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换
s=-t,LX(s)=MX(t)
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在给定X的情况下，条件分布为 (Y | X )
，Y为随机变量，因此上式中 E(Y | X ),E(X ) 为常数，因此
E 轾 犏 ë(Y - E(Y | X ))(E(Y | X )- EY)| X û= (E(Y | X )- EY)E((Y - E(Y | X ))| X )
= (E(Y | X )- EY)(E(Y | X )- E(Y | X )) = (E(Y | X )- EY)? 0 0
1
ydy
x
=
1+ 2
x
E(Y | X )= (1+ X )/ 2
fY|X (y | x)= 1/(1- x)
注意：E(Y | X )= (1+ X )/ 2 是随机变量，当X = x 时， 其值为
E(Y | X = x)= (1+ x)/ 2
思考题：当X与Y独立时，E(X | Y = y) 的值？
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定理：对随机变量X和Y，假设其期望存在，则
E 轾臌E (Y | X ) =E (Y ), E 轾臌E (X | Y ) =E (X )
与Y有关的随机变量
更一般地，对任意函数 r(x, y)
E 轾 犏 臌E(r(X ,Y )| X ) =E(r(X ,Y ))
证明：利用条件期望的定义和f (x, y)= f (x) f (y | x)
定
X是离散型r. v
义
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个
区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
现代精算风险理论
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矩母函数与随机变量X的各阶矩
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
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另一方面：
于是：
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i 1 是虚数单位.
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(1) 当X为离散随机变量时，

(t)



eitxk
pk
k 1
(2) 当X为连续随机变量时，
(t) eitx p(x)dx
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特征函数的计算中用到复变函数， 为此注意：
(1) 欧拉公式： eitx cos(tx) isin(tx)
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矩母函数的性质
定理：令X、Y为随机变量，如果对在0附件的一个
开区间内所有的t，有MY (t)=
d
M X (t)，则 X= Y
。
例：令 X1 : Binomial(n1, p), X2 : Binomial (n2, p)
且 X1, X2 独立，Y = X1 + X2
( ) ( ) 则MY (t)= M X1 (t)M X2 (t)= pet + q n1 pet + q n2
定义 给定Y = y时，X的条件期望是
òå E (X | Y = y)= ìïïïíïïïî
xfX|Y (x | y) 离散情况 xfX|Y (x | y)dx 连续情况
如果r (x, y)是x和y的函数，那么
E (r(X ,Y )| Y
=
y) =
òå ìïïïíïïïî
r (x, y) fX|Y (x | y) r (x, y) fX|Y (x | y)dx
E(Y )= ò yf (x, y)dxdy
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 E (Y | X )= 1+ X 计算 E (Y )=E 轾臌E (Y2| X ) =E 骣ççç桫1+2X ÷÷÷= E 骣çççç桫(1+2X )÷÷÷÷
= 1+ E (X )= 骣琪çç桫1+ 骣ççç桫21÷÷÷÷÷= 3 4
望操作，所以有：
( ) y ¢(0)= 轾 犏 犏 臌ddt E etX
t= 0
=
E 轾 犏 犏 臌ddt etX
=
t= 0
E 轾 犏 臌XetX
t= 0
=
E[X ]
取k阶导数，可以得到 y (k) (0)= E 轾犏臌X k 方便计算分布的矩
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矩母函数（Moment Generating Functions）
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矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明
定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
ò y X (t)= E (etX )= etxdFX (x)
其中t在实数上变化。
若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期
根据定义，
V(Y )=
E 轾 犏 臌(Y -
EY )2
=
E 轾 犏 ë(Y -
E (Y | X )+
E (Y | X )-
EY )2
û
= E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))2 + E 轾 犏 臌(E (Y | X )- EY )2 + 2E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- EY )
E 轾 臌E (Y | X ) =蝌E (Y | X = x) fX (x)dx = yf (y | x)dyfX (x)dx = 蝌yf (y | x) fX (x)dxdy = yf (x, y)dxdy = E (Y )
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X～Uniform(0,1)，Y | X～Uniform(x,1) 怎样计算E (Y )？ 一种方法是计算联合密度 f (x, y)，然后计算
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性质1： 例：
从而：
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再考虑： 于是：
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而 从而
特别 性质2：设X,Y是相互独立的随机变量，则：
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证明：
系：设X 1…Xn是独立随机变量，则： 例：设Z1 …Z2 是相互独立的标准正 态分布随机变量，则：
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证明：设z是标准正分布的随机变量
当 θ<1/2时，作变换
于是：
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另一方面， 的密 度函数为 其矩母函数为：
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令 X ~ Exp(1) ，对任意 t < 1 ，有
( ) 蝌 M X (t)= E etX =
ゥBiblioteka Baidu
etxe- xdx =
0
e(t- 1)xdx = 1
0
1- t
当t ³ 1 时，上述积分是发散的。
= I + II + III
{ } I = E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))2 = E E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))2 | X = E 轾 臌V(Y | X )
II = E 轾 犏 臌(E (Y | X )- EY )2 = V 轾 臌E (Y | X )
{ } III = 2E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- EY ) = E E 轾 臌 犏(Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- EY )| X
i Xi ，则
Õ MY (t)= i M Xi (t)
例：X :
n
Binomial(n, p) Xi ~ Bernoulli( p), X = å
Xi
( ) ( ) M Xi (t)= E etXi = p? et
(1-
p)=
pet + q,
i= 1
q = 1-
p
Õ ( ) M X (t)= i M Xi (t)= pet + q n
fX |Y ~ Binomial(Y , p)
ゥ
f P(X = x) = 邋P(X = x,Y = y) = P(X = x | Y = y)P(Y = y)
y= 0
y= 0
å =
¥ y=
x
轾犏犏臌骣ççç桫xy÷÷÷? p
x
(1
)p y- x
轾犏e- l l y 犏臌 y!
=
e- l p (l p)x
(2) 复数的共轭：a bi a bi (3) 复数的模： a bi a2 b2
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性质
|(t)| (0)=1
(t) (t)
aX b(t) eibtX (at)
若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y (t)
(k)(0) ik E( X k )
2
2
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条件方差
定义：条件方差定义为
2
V(Y | X = x)= ò (y - m(x)) f (y | x)dy
其中
m(x)= E(Y | X = x)
定理：对随机变量X和Y，
V(Y )=EV(Y | X )+ VE(Y | X )
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证明： V(Y )= E 轾 臌V(Y | X ) + V 轾 臌E (Y | X )
所以 V(Y )= E 轾 臌V(Y | X ) + V 轾 臌E(Y | X )
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二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定，
如 ff (x，| q这) 些参数 通常fq 又是一个随机变量
（贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
Y | X～Uniform(x,1) 采样
直观地，期望
E(Y | X = x)= (1+ x)/ 2
事实上，对x < y < 1 ，有 fY|X (y | x)= 1/ (1- x)
得到期望
蝌 E(Y | X = x) =
因而
1 x
yfYY||XX
(
y
|
x)d=y
1=/
1
(11-- xx)
x!
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fX ~ Poission(l p)
期望： E(X )= l p 亦可通过条件期望计算：
E(X )= E(E (X | Y ))= E ( pY )= pl
方差： V(X )= l p 亦可通过条件期望计算：
V(X )= E (V(X | Y ))+ V(E (X | Y ))= E (Yp(1- p))+ V(Yp)
E(X ) ：数字
离散情况 连续情况
E(X |Y = y)：y的函数。在知道y的值之前，不知道
E(X |Y = y)
E(X | Y) ：随机变量，当Y=y时，E(X | Y = y) 的值
E(r(X ,Y )| Y)：随机变量
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假定对 X～Uniform(0,1) 采样，在给定x后，在对
条件期望、矩母函数
山东财经大学保险学院 谭璐
主要内容
一、条件期望 二、混合分布 三、矩母函数 四、特征函数
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一、条件期望
ffX|Y (x | y)
给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率
分布 也能求期望，称为条件期望
现代精算风险理论
ò LX (s) = E[e- sX ] = e- sX dF (x)
通常称上式为X的laplace变换。
,"s? 0
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拉式变换与概率分布函数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足 (-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
( ) = pet + q n1+ n2
为分布 Binomial(n1 + n2, p)的MGF，即
Y ~ Binomial (n1 + n2, p)
现代精算风险理论
多元矩母函数
定义：
性质1 性质2
现代精算风险理论
四、特征函数 定义 设 X 是一随机变量，称 (t) = E{ exp(itX )} 为 X 的特征函数.