矩母函数
两个随机变量相乘 矩母函数
两个随机变量相乘矩母函数随机变量的矩母函数在概率论和统计学中经常用于描述随机变量的性质和特征。
本文将介绍两个随机变量相乘时的矩母函数。
首先，我们先回顾一下随机变量的矩母函数。
设X是一个随机变量，其概率质量函数为P(X=x)，则X的矩母函数定义为M(t)=E(e^tX)，其中E(·)表示期望值运算符。
矩母函数可以用来计算各阶矩，包括均值、方差、偏度和峰度等。
同时，矩母函数的性质和变换公式也可以通过矩母函数进行推导和证明。
接下来，假设有两个随机变量X和Y，它们相互独立，并且它们的矩母函数分别为Mx(t)和My(t)。
我们想要计算这两个随机变量相乘的矩母函数。
根据随机变量相乘的定义，我们有Z=X*Y。
要求Z的矩母函数，可以利用随机变量的矩母函数的性质和变换公式。
首先，我们知道对于独立的随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为P(X=x, Y=y)=P(X=x)*P(Y=y)。
这样，我们可以得到Z的概率质量函数为P(Z=z)=∑P(X=x, Y=z/x)，其中∑表示对所有可能的x求和。
根据相互独立的性质，我们可以将联合概率分解为边缘概率的乘积，即P(Z=z)=∑P(X=x)*P(Y=z/x)。
然后，我们可以计算Z的矩母函数。
根据矩母函数的定义，我们有Mz(t)=E(e^tZ)=∑e^tz*P(Z=z)。
将概率质量函数的表达式代入矩母函数的定义中，我们可以得到Mz(t)=∑e^tz*∑P(X=x)*P(Y=z/x)。
接下来，我们可以利用独立性的性质将上式展开。
由于X和Y是独立的，所以P(Y=z/x)=P(Y=z)。
因此，我们可以将P(Y=z/x)提出来，得到Mz(t)=∑P(Y=z)∑e^tz*P(X=x)。
再进一步，我们可以将两个求和符号合并，得到Mz(t)=∑e^tz*∑P(X=x)*P(Y=z)。
由于内层求和是X的概率质量函数的矩母函数Mx(t)，所以我们可以将其代入，得到Mz(t)=∑e^tz*Mx(t)。
特征函数和矩母函数
例6：设随机变量Y~N( , 2) ，求Y的特征
函数为gY(t)。 解：X~N(0 , 1)
，X的特征函数为 g X
(t)
t2
e2
设Y= X + ，则Y~N( , 2) ，
Y的特征函数为
gY (t) eit g X ( t)
e e e it
2t2 2
it 2t2 2
三、常见随机变量的数学期望、方差、特征 函数和母函数
P(s) k(k 1) pk sk1 k2
P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
k2
k 1
k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 (EX )2 P(1) EX (EX )2
P(1) P(1) [P(1)]2
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
解:
g(t)
1
eitx
e
x2 2
dx
2
g(t)
1
ixeitx
e
x2 2
dx
2
i
2
eitxd
x2 e 2
e e itx
x2 2
dx
tg(t),
g '(t) tg(t) 0, dg tdt, ln g(t) 1 t2 C
g
2
g (t )
ab 2
b a 2 e ibt e iat
12 i(b a)t
ebt eat (b a)t
2
e e it 12 2t 2
t
1 2
2t
2
指数分布 1
1
2
it
t
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
矩母函数
因而
Y |Xx x 1 y f fY Y||X X y y||x xd y 1/1 1- 1 -x x x 1 y d y1 2 x
Y|X 1 X/2
fY|X y|x 1/ 1-x
注意： Y|X 1 X/2是随机变量，当X x 时， 其值为
Y|X x 1 x/2
思考题：当X与Y独立时， X |Y y 的值？
定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
Xt
etX
其中t在实数上变化。
etxdF Xx
若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期 望操作，所以有：
0 de tX
d t
t0
d e tX d t t0
X e tX t0
X
取k阶导数，可以得到 k 0
Xk 方便计算分布的矩
.
.
6
X ～ U n ifo r m 0 ,1 ， Y |X ～ U n ifo r m x ,1
怎样计算 Y ？ 一种方法是计算联合密度 f x , y ，然后计算
Y yf x,ydxdy
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 Y| X =1 X
计算 Y =
2 Y|X =
1
X
1+ X
2
2
= 1+
Y |X Y Y |X Y |X Y|X Y 0 0
所以
Y Y |X Y |X
.
10
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定， 如 f x，| 这些参数 通常又是一个随机变量 （贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
特征函数和矩母函数概要
P ( s) pk s pk s
k k k 0 k 0
n
k n 1
p s
k
k
, n n! pn
k n 1
k (k 1)(k n 1) p s
令s 0, 则P ( n ) (0) n! pn 故pn P
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
k 0 k 0
PZ ( s) ck s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0
k
q s
l 0 l
l
k ,l 0
p qs
k l r
k l
r pk q r k s r 0 k 0
r
c r s PZ ( s )
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
概率统计：矩母函数
矩母函数与特征函数在计算随机变量的数字特征和概率分 布起很大的作用,它们使许多繁难的问题得到简化和解决,是证 明概率论中的许多理论问题的有力的工具.
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
5
矩母函数(5)
3) 设U ,V 独立，U ~ B(m, p),V ~ B(n, p),W U V .则 MU (t) ( pet q)m , MV (t) ( pet q)n,
MW (t) MU (t)MV (t) ( pet q)m ( pet q)n ( pet q)mn. 故W ~ B(m n, p).
6
例 5.2 设 X ~ ( , ),则
矩母函数(6)
1) M X (t)
etx x 1e xdx 0 ( )
x 1e( t)xdx. 0 ( )
xu /( t)
(
t) ( )
0
u
1eu
du
t
a
.
2)
M
X
(t)
t
a1,
M
X
(t
)
(
2
1)
t
a2
2
2) M X (t) tet2 / 2, M X (t) t 2et2 / 2 et2 / 2 ,
EX M X (0) 0, EX 2 M X (0) 1, DX EX 2 (EX )2 1.
9
矩母函数(9)
3) M X (t) et2 / 2
(t2 / 2)k k0 k !
MY (t) et M X (t). 证 MY (t) EetY Eet( X ) et Ee(t ) X et M X (t).
常见分布的矩母函数
常见分布的矩母函数为了更好地理解概率统计学中的常见分布，我们需要先了解矩和矩母函数的概念。
在统计学中，矩是数据分布的一个特征，它能够描述数据的中心位置和离散程度。
矩母函数是矩的生成函数，它能够表示矩的所有信息。
在本文中，我们将介绍四种常见分布的矩母函数：正态分布、泊松分布、指数分布和伽马分布。
正态分布是一种常见的连续型分布，也被称为高斯分布。
在统计学中，许多随机现象都可以用正态分布来描述，因为它服从中心极限定理。
正态分布的概率密度函数是：$$f(x)={1\over \sqrt{2\pi}\sigma}\exp \{-{1\over2}[(x-\mu )/\sigma]^{2}\},\quad-\infty <x<+\infty$$$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是方差。
正态分布的矩母函数是：我们可以通过对矩母函数求导数来得到分布的各个矩，例如：$$\mu_{1}=M'(0)=\mu$$$$\mu_{4}=M^{(4)}(0)=\mu^{4}+6\mu^{2}\sigma^{2}+3\sigma^{4}$$泊松分布是一种常见的离散型分布，它经常用于描述单位时间内事件发生的次数，比如电话呼叫、到达顾客、任务处理等等。
$$P(X=k)={e^{-\lambda}\lambda^{k}\over k!},\quad k=0,1,2,\ldots$$$\lambda$ 是单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的矩母函数是：指数分布是一种常见的连续型分布，用于描述随机事件发生的等待时间。
对于一个服从指数分布的随机变量 $X$，它的概率密度函数是：$\alpha$ 和 $\beta$ 是分布的参数，$\Gamma(\cdot)$ 是欧拉伽马函数，它是阶乘函数的推广。
伽马分布的矩母函数是：$$\mu_{4}=M^{(4)}(0)={\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)\over\beta^{4}}$$总结除了常见的四种分布，还有许多其他的分布也可以通过矩母函数来描述。
矩和矩母函数
矩和矩母函数
矩和矩母函数是概率论和数学中常用的函数形式。
矩函数是一组与分布函数相关的函数，而矩母函数是一个分布函数的特定生成函数。
矩函数和矩母函数可用于描述分布的各种性质和特征，包括均值、方差、偏度、峰度等。
在统计学和概率论中，我们通常使用矩函数来描述随机变量的一些统计特征。
例如，第一阶矩为随机变量的均值，第二阶矩为方差，第三阶矩为偏度，第四阶矩为峰度。
矩函数的优点是，它们可以通过对数据的简单计算来计算出来，而不需要知道任何有关分布函数的详细信息。
矩母函数则是一种特定的生成函数，它可以用来推导出矩函数的所有信息。
给定一个矩母函数，我们可以通过对其进行微分和求导来得到与矩函数有关的所有信息。
矩和矩母函数是概率论和数学中一些最基本的函数形式之一。
它们被广泛应用于许多领域，包括工程、物理、生物学、经济学等。
无论从理论还是实际应用的角度来看，矩和矩母函数都是十分重要的工具。
- 1 -。
概率统计：矩母函数
et (12
)(12
2 2
)t2
/
2
因而 X
Y
~
N (1
2 ,12
2 2
).
M X (t) E(etX )， M (n) (0) EX n， M X (t) etM X (t)，
X1, , Xn 独立 M X1 Xn (t) M X1 (t) M Xn (t)，
X 和Y 有相同分布 M X (t) MY (t).
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
etxdF (x), t I
为 X 的矩母函数,常把M X (t)简记为M (t).因此
(离散型)
M X (t)
etxi P( X
i
xi ) ,
10
矩母函数(10)
例 5.4 设 X ~ N (, 2),求 X 的矩母函数.
解 设Y ( X ) / ,则Y ~ N (0,1),MY (t) et2 / 2.因为
X Y ,故
M X (t) et MY ( t) et 2t2 / 2 .
11
作业
• 习题三: 34,35,36
12
命题 6.2
设 X ,Y 独立, X
~ N (1,12 ),
Y
~
N
(2,
2 2
)
,则
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
2 2
)
证 M X (t) et112t2 / 2， MY (t) et2 22t2 / 2 ,故
M
特征函数和矩母函数.
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散 型随机变量X，特征函数为
(t ) eitx pk
k
k 1
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征 函数为 (t ) eitx f ( x)dx 对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特 征函数为
g (t ) e
,由g (0) 1, 得C 0，从而g (t ) e
1 t2 2
例5 ：设随机变量X的特征函数为gX(t) ， Y=aX+b，其中a, b为任意实数，证明Y的 itb 特征函数gY(t)为 gY (t ) e g X (at) 。
it ( aX b ) 证：gY (t ) E e i ( at ) X itb itb i ( at ) X E e e e E e
itk k 0 k n k n n k
C
k 0
n
k n
pe
it k
q
n k
pe q
it
n
n d it EX ig (0) i pe q t 0 np dt 2 n d 2 2 2 it EX i g (0) i 2 pe q dt
r 0
(4) H ( s ) P{Y k}s k
k 0 k P Y k , { N l} s k 0 l 0
P{Y k , N l}s
k 0 l 0
k
P{Y k}P{ N l}s k
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
特征函数和矩母函数解剖
{N
l}s
k
k0
l 0
P{Y k, N l}sk k0 l0
P{Y k}P{N l}sk k0 l0
P{N l} P{Y k}sk
l 0
k 0
l P{N l} P
X
j
k
s
k
l0
k 0
j 1
l0
P{N
l}
l j 1
k 0
P{
X
j
k}s
k
则称
P(s) E(s X ) pk sk
k 0
为X的母函数。
性质：
(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定
pk
P (k) (0) ,
k!
k
0,1,2,
(2)设P(s)是X的母函数，
若EX存在，则EX=P(1)
若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
P(s) k(k 1) pk sk1 k2
P(1) k(k 1) pk k(k 1) pk
k2
k 1
k 2 pk kpk EX 2 EX
k 1
k 1
DX EX 2 (EX )2 P(1) EX (EX )2
P(1) P(1) [P(1)]2
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
例1 设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。
解
由于
P（X
k）
k
k！e
所以
X (t) eitk k 0
k
k！e
e
k 0
(eit ) k
k！
麦克劳林公式
e eeit e (eit 1)
特征函数与矩母函数
特征函数与矩母函数
特征函数和矩母函数都是数学中的概念，主要用于描述随机变量的性质。
特征函数（Characteristic function）是随机变量的一个描述函数，它是随机变量的概率分布的Fourier变换。
特征函数的定
义是：对于任意实数t，特征函数φ(t)等于随机变量X的概率
密度函数或概率分布函数的Fourier变换。
特征函数能够完全
描述一个随机变量的分布，它包含了分布的所有信息。
特征函数具有一些重要性质，比如对于相互独立的随机变量，它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的逐点相乘。
矩母函数（Moment generating function）是随机变量的另一个
描述函数，它是随机变量的概率分布的矩级数的生成函数。
矩母函数的定义是：对于任意实数t，矩母函数M(t)等于随机变
量X的概率密度函数或概率分布函数的矩级数的生成函数。
矩母函数可以用来计算随机变量的各阶矩（均值、方差等），因此可以用于推导随机变量的性质。
特征函数和矩母函数都是对随机变量的描述函数，它们在概率论和统计学中有着广泛的应用，比如用于计算随机变量的分布、矩以及推导各种统计性质。
正态分布的矩母函数推导
正态分布的矩母函数推导
正态分布是一个重要的概率分布，在概率论和统计学中广泛应用。
其概率密度函数具有非常典型的钟形曲线形状，因此也被称为高斯分布。
在统计学中，正态分布被广泛用于解决各种问题，包括学生的考试成绩、人口的身高、体重等等。
在本文中，我们将讨论正态分布的矩母函数的推导过程。
什么是矩母函数？
在概率论和统计学中，矩母函数是一种函数，它可以用来描述一个概率分布的各种矩的信息。
矩母函数是概率密度函数与$x^n$的积分的对数。
由于矩母函数与矩有直接的关系，因此矩母函数是用来计算概率分布的各种矩的重要工具。
正态分布的概率密度函数是:
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中，$\mu$是分布的均值，$\sigma^2$是分布的方差。
该函数图像如下：
合并指数，得：
移项得：
因此：
根据高斯积分公式：
令$b=\sqrt{2}\sigma a+\mu t$，则：
结论
通过上述推导，我们得出了正态分布的矩母函数为$e^{\mu
t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2}$。
我们可以使用这个函数来计算正态分布的各种矩，从而更好地描述这个分布。
通过计算该函数的导数，我们还可以得到正态分布的各种矩的最终解析式。
正态分布的矩母函数的推导过程并不复杂，需要掌握一些基本的积分技巧，但是在使用它来解决实际问题时却非常有用。
矩母函数
Y |X Y Y |X Y |X Y|X Y 0 0
所以
Y Y |X Y |X
.
10
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定， 如 f x，| 这些参数 通常又是一个随机变量 （贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
根据定义，
Y
Y
Y|X
Y2
Y
2
Y Y|X
Y|X
Y|X Y|X2Y|X Y2Y 2YY|X
Y|X Y
I II III
2
I
Y Y|X
2
II
Y|X Y
2
Y Y|X |X Y|X
III 2 Y Y | X Y | X Y
Y
Y|X Y|X Y|X Y |X
.
9
在给定X的情况下，条件分布为 Y | X ，Y为随机变量，因此上式中 Y| X , X 为常数，因此
16
矩母函数（Moment Generating Functions）
定
X是离散型r. v
义
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个
区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
.
17
.
18
矩母函数与随机变量X的各阶矩
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
.
14
拉式变换与概率分布函数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足 (-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
对数正态分布的矩母函数
对数正态分布的矩母函数对数正态分布——矩母函数在概率论和统计学中，对数正态分布是一种连续概率分布，它的随机变量是对数正态分布的指数函数。
对数正态分布的矩母函数被定义为期望值的幂级数，这个级数展开在无穷大的范围内。
它不仅可以描述出对数正态分布的各种性质，还可以在统计学中有着广泛的应用。
对数正态分布是一种重要的概率分布，它在很多领域都有应用。
比如金融学、地质学、医学、天文学等领域，都可以使用对数正态分布来描述随机变量的概率分布。
它的概率密度函数可以用数学公式来描述，但是其矩母函数的表达式却更加简单明了。
对数正态分布的矩母函数是指该分布的期望值的幂级数。
对于一个随机变量X，其矩母函数为：M(t)=E(exp(tX))其中，E表示期望，exp是自然对数的底数e的指数函数。
当t=0时，矩母函数的值为1，当t≠0时，矩母函数的值表示X的t阶矩的期望值。
对于对数正态分布而言，其矩母函数的表达式可以用对数正态分布的参数来表示。
对数正态分布的参数包括均值μ和标准差σ，因此其矩母函数可以表示为：M(t)= exp(μt + σ^2t^2/2)这个式子可以看出，对数正态分布的矩母函数是一个幂级数，级数中的每一项都是随机变量X的矩的期望值。
当t=0时，矩母函数的值为1，这个结果表明了对数正态分布的期望值为1。
对数正态分布的矩母函数在统计学中有着广泛的应用。
例如，在金融学中，矩母函数可以用来描述随机变量的收益率分布。
在医学中，矩母函数可以用来描述治疗效果的分布。
在地质学中，矩母函数可以用来描述地震的震级分布。
对数正态分布的矩母函数是统计学中非常重要的一个概念，它可以用来描述随机变量的各种性质。
虽然其表达式较为简单，但是其应用却十分广泛，体现了数学和统计学在现代科学中的重要性。
对数正态分布的矩母函数
对数正态分布的矩母函数
对数正态分布是一种常见的概率分布，它的概率密度函数可以表示为：
f(x) = 1 / (x * σ * √(2π)) * exp(-(ln(x) - μ)² / (2σ²))
其中，μ和σ是分布的参数，分别表示对数正态分布的均值和标准差。
对于对数正态分布，我们可以计算它的矩母函数。
矩母函数是一个关于t的函数，它的值可以用来计算分布的各阶矩。
对于对数正态分布，它的矩母函数可以表示为：
M(t) = exp(μt + σ²t² / 2)
其中，exp表示自然指数函数。
通过对矩母函数的求导，我们可以得到对数正态分布的各阶矩。
例如，对于一阶矩，我们可以计算：
M'(t)|t=0 = μ
这意味着对数正态分布的期望值等于μ，也就是对数正态分布的均值。
同样地，我们可以计算出对数正态分布的方差、偏度和峰度等统计
量。
这些统计量可以帮助我们更好地理解对数正态分布的性质和特点。
对数正态分布的矩母函数是一个重要的数学工具，它可以帮助我们计算分布的各阶矩，从而更好地理解分布的性质和特点。
二项分布矩母函数
二项分布矩母函数二项分布是一个常见的离散型随机变量。
在概率统计中，我们常常需要对二项分布进行各种求解和分析，而矩母函数是一种常用的分析工具。
下面我们来仔细探讨一下二项分布矩母函数的相关知识。
1. 什么是二项分布？首先，我们需要了解什么是二项分布。
在概率论与数理统计中，如果有n次独立的伯努利实验，每次实验的成功概率为p，失败概率为1-p，则进行这n次实验后，成功的次数就是一个二项分布随机变量。
其数学期望为np，方差为np(1-p)，记作X ~ B(n, p)。
2. 什么是矩母函数？矩母函数是一个常用的分析工具，它是随机变量的一种特殊生成函数，可以用来求解随机变量的各种矩。
对于随机变量X，其矩母函数定义为：M(t) = E(e^tx) = ∑e^txP{X=x}其中，E表示数学期望，P表示概率分布函数。
3. 二项分布的矩母函数对于二项分布随机变量X ~ B(n, p)，其矩母函数可以表示为：M(t) = E(e^tx) = ∑(e^tx)C(n, x)p^x(1-p)^{n-x}其中，C(n, x)表示从n个不同物品中选取x个物品的组合数。
对于求和式中的每一项，都可以通过二项式定理展开，然后化简。
得到：M(t) = (pe^t + 1-p)^n这就是二项分布的矩母函数。
4. 矩母函数的应用矩母函数可以用来求随机变量的各种矩，如均值、方差等等。
对于二项分布随机变量X ~ B(n, p)，其均值和方差分别为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)我们可以通过求解矩母函数的导数，来求得矩的各阶矩。
M'(t) = n(pe^t + 1-p)^{n-1}e^tM''(t) = n(n-1)(pe^t + 1-p)^{n-2}(pe^t)M'''(t) = n(n-1)(n-2)(pe^t + 1-p)^{n-3}(pe^t + n-2)(pe^t + n-3) 那么，通过求解矩母函数的导数，我们就可以得到均值和方差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
希望知道 ff (x) ，至少是其期望和均值（条
件期望和方差）
现代精算风险理论
混合分布举例
例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个
随机变量，用 fY ~ Poission(l ) 表示；另外假设每
个蛋的是否存活是独立的，存活的概率为p, 为 Bernoulli分布，用X表示存活的数量，则
条件期望、矩母函数
山东财经大学保险学院 谭璐
主要内容
一、条件期望 二、混合分布 三、矩母函数 四、特征函数
现代精算风险理论
一、条件期望
ffX|Y (x | y)
给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率
分布 也能求期望，称为条件期望
现代精算风险理论
(2) 复数的共轭：a bi a bi (3) 复数的模： a bi a2 b2
现代精算风险理论
性质
|(t)| (0)=1
(t) (t)
aX b(t) eibtX (at)
若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y (t)
(k)(0) ik E( X k )
根据定义，
V(Y )=
E 轾 犏 臌(Y -
EY )2
=
E 轾 犏 ë(Y -
E (Y | X )+
E (Y | X )-
EY )2
û
= E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))2 + E 轾 犏 臌(E (Y | X )- EY )2 + 2E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- EY )
= I + II + III
{ } I = E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))2 = E E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))2 | X = E 轾 臌V(Y | X )
II = E 轾 犏 臌(E (Y | X )- EY )2 = V 轾 臌E (Y | X )
{ } III = 2E 轾 犏 臌(Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- EY ) = E E 轾 臌 犏(Y - E (Y | X ))(E (Y | X )- EY )| X
现代精算风险理论
矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明
定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
ò y X (t)= E (etX )= etxdFX (x)
其中t在实数上变化。
若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期
2
2
现代精算风险理论
条件方差
定义：条件方差定义为
2
V(Y | X = x)= ò (y - m(x)) f (y | x)dy
其中
m(x)= E(Y | X = x)
定理：对随机变量X和Y，
V(Y )=EV(Y | X )+ VE(Y | X )
现代精算风险理论
证明： V(Y )= E 轾 臌V(Y | X ) + V 轾 臌E (Y | X )
ò LX (s) = E[e- sX ] = e- sX dF (x)
通常称上式为X的laplace变换。
,"s? 0
现代精算风险理论
拉式变换与概率分布函数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足 (-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
当 θ<1/2时，作变换
于是：
现代精算风险理论
另一方面， 的密 度函数为 其矩母函数为：
现代精算风险理论
令 X ~ Exp(1) ，对任意 t < 1 ，有
( ) 蝌 M X (t)= E etX =
ゥ
etxe- xdx =
0
e(t- 1)xdx = 1
0
1- t
当t ³ 1 时，上述积分是发散的。
所以 V(Y )= E 轾 臌V(Y | X ) + V 轾 臌E(Y | X )
现代精算风险理论
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定，
如 ff (x，| q这) 些参数 通常fq 又是一个随机变量
（贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
性质1： 例：
从而：
现代精算风险理论
再考虑： 于是：
现代精算风险理论
而 从而
特别 性质2：设X,Y是相互独立的随机变量，则：
现代精算风险理论
证明：
系：设X 1…Xn是独立随机变量，则： 例：设Z1 …Z2 是相互独立的标准正 态分布随机变量，则：
现代精算风险理论
证明：设z是标准正分布的随机变量
定
X是离散型r. v
义
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个
区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
现代精算风险理论
现代精算风险理论
矩母函数与随机变量X的各阶矩
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
现代精算风险理论
另一方面：
于是：
现代精算风险理论
= p(1- p)E (Y )+ p2V(Y )= p(1- p)l + p2l = l p
现代精算风险理论
三、矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数的得名起因于下述公式：
E(Xk)=M(k)(0)
对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换
s=-t,LX(s)=MX(t)
i 1 是虚数单位.
现代精算风险理论
(1) 当X为离散随机变量时，
(t)
eitxk
pk
k 1
(2) 当X为连续随机变量时，
(t) eitx p(x)dx
现代精算风险理论
特征函数的计算中用到复变函数， 为此注意：
(1) 欧拉公式： eitx cos(tx) isin(tx)
现代精算风险理论
矩母函数的性质
定理：令X、Y为随机变量，如果对在0附件的一个
开区间内所有的t，有MY (t)=
d
M X (t)，则 X= Y
。
例：令 X1 : Binomial(n1, p), X2 : Binomial (n2, p)
且 X1, X2 独立，Y = X1 + X2
( ) ( ) 则MY (t)= M X1 (t)M X2 (t)= pet + q n1 pet + q n2
E(X ) ：数字
离散情况 连续情况
E(X |Y = y)：y的函数。在知道y的值之前，不知道
E(X |Y = y)
E(X | Y) ：随机变量，当Y=y时，E(X | Y = y) 的值
E(r(X ,Y )| Y)：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X～Uniform(0,1) 采样，在给定x后，在对
( ) = pet + q n1+ n2
为分布 Binomial(n1 + n2, p)的MGF，即
Y ~ Binomial (n1 + n2, p)
现代精算风险理论
多元矩母函数
定义：
性质1 性质2
现代精算风险理论
四、特征函数 定义 设 X 是一随机变量，称 (t) = E{ exp(itX )} 为 X 的特征函数.
E(Y )= ò yf (x, y)dxdy
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 E (Y | X )= 1+ X 计算 E (Y )=E 轾臌E (Y2| X ) =E 骣ççç桫1+2X ÷÷÷= E 骣çççç桫(1+2X )÷÷÷÷
= 1+ E (X )= 骣琪çç桫1+ 骣ççç桫21÷÷÷÷÷= 3 4
现代精算风险理论
在给定X的情况下，条件分布为 (Y | X )
，Y为随机变量，因此上式中 E(Y | X ),E(X ) 为常数，因此
E 轾 犏 ë(Y - E(Y | X ))(E(Y | X )- EY)| X û= (E(Y | X )- EY)E((Y - E(Y | X ))| X )
= (E(Y | X )- EY)(E(Y | X )- E(Y | X )) = (E(Y | X )- EY)? 0 0
i Xi ，则
Õ MY (t)= i M Xi (t)
例：X :
n
Binomial(n, p) Xi ~ Bernoulli( p), X = å
Xi
( ) ( ) M Xi (t)= E etXi = p? et
(1-
p)=
pet + q,
i= 1
q = 1-
p
Õ ( ) M X (t)= i M Xi (t)= pet + q n
所以
M '(0)= E (X )= 1,
M ''(0)= E (X 2)= 2 V(X )= E (X 2)- 轾臌E (X ) 2 = 1
现代精算风险理论
矩母函数的性质
引理：MGF的性质
å
若 若XY1X,…1=,…XaXnXn
+ b ，则 MY 独立，且 Y