2020年六年级下册数学思维培优训练及答案

，
∵ 右边=
= =n2+2n+1=（n+1）2=左边， ∴ 原等式成立．
故答案为 15，
，25，n2；25=10+15，36=15+21．
【分析】（1）由“三角形数”得意义可得规律：第 n 个数为
，把 n=5 代入计算即可
求解；根据“正方形数”的意义可得：第 n 个数为 ，把 n=5 代入计算即可求解； （2）通过计算可知，36 既是三角形数，也是正方形数； （3）由题意可得④25=10+15，⑤36=15+21；
2020 年六年级下册数学思维培优训练及答案
一、培优题易错题
1．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第 6 个图形中小正方形的个数是 ________，第 n（n 为正整数）个图形中小正方形的个数是________（用含 n 的代数式表
示）． 【答案】55；（n+1）2+n 【解析】【解答】第 1 个图形共有小正方形的个数为 2×2+1；第 2 个图形共有小正方形的 个数为 3×3+2； 第 3 个图形共有小正方形的个数为 4×4+3； …； 则第 n 个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n， 所以第 6 个图形共有小正方形的个数为：7×7+6=55． 故答案为：55；（n+1）2+n 【分析】观察图形规律，第 1 个图形共有小正方形的个数为 2×2+1；第 2 个图形共有小正 方形的个数为 3×3+2；则第 n 个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，找出一般规律.
【解析】【分析】根据浓度的意义求出甲溶液中酒精和盐分别有多少千克。假设乙溶液也 有 1 千克，然后分别计算出乙溶液中盐和酒精的含量，试算后确定乙溶液的重量即可。
6．在浓度为 40％的酒精溶液中加入 5 千克水，浓度变为 30％，再加入多少千克酒精，浓 度变为 50％？ 【答案】 解：设原来有酒精溶液 x 千克。
y 千克酒精，溶液浓度变为 50%，即 解得再加入酒精的质量。
， 即可
7．一件工程甲单独做 小时完成，乙单独做 小时完成．现在甲先做 小时，然后乙做 小时，再由甲做 小时，接着乙做 小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小
时？
【答案】 解：假设两队交替做 4 次，甲的工作量：
，
乙的工作量：
，
还剩下的工作量：
，
甲还要做：
（小时），
总时间：（1+3+5+7）+（2+4+6+8）+ = （小时）。
答：完成任务共要 小时。 【解析】【分析】交替 4 次，甲工作的时间是 1、3、5、7 小时，乙工作的时间是 2、4、 6、8 小时。用每队的工作效率乘各自的工作时间求出各自完成的工作量，用 1 减去两队分 别完成的工作量即可求出剩下的工作量。剩下的工作量该甲做了，因此用剩下的工作量除 以甲的工作效率就是甲还需要做的时间。然后把两队工作的总时间相加即可求出共需要的 时间。
5÷ =10（天） 答：工作时间内下了 10 天雨。
【解析】【分析】先表示出原来两队的工作效率，然后计算出工作效率下降后两人的工作 效率，写出前后工作效率差的比，化简后确定 3 个晴天和 5 个雨天的工作进度是相同的， 然后计算出 3 个雨天与 5 个晴天完成的工作量，再求出下雨的天数即可。
10．一项挖土方工程，如果甲队单独做，16 天可以完成，乙队单独做要 20 天能完成．现
8．甲、乙、丙三队要完成 ， 两项工程， 工程的工作量是 工程工作量再增加 ，如 果让甲、乙、丙三队单独做，完成 工程所需要的时间分别是 天， 天， 天．现在
让甲队做 工程，乙队做 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做 工程若 干天，然后再与甲队合做 工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？ 【答案】 解： 三队合作完成两项工程所用的天数为：
9．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程要 12 天，二队完成 乙工程要 15 天；在雨天，一队的工作效率要下降 ，二队的工作效率要下降 ．结果 两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？
【答案】 解：原来一队比二队的工作效率高：
，
提高后的工作效率二队比一队高：
=
= ， 则 3 个晴天 5 个雨天，两队的工作进度相同，共完成： ，
2．在平面直角坐标系中，若点 P（x，y）的坐标 x、y 均为整数，则称点 P 为格点．若一 个多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L．例如图中△ ABC 是格点三角形，对应的 S＝1，N＝0，L＝4．
（1）写出图中格点四边形 DEFG 对应的 S，N，L． （2）已知任意格点多边形的面积公式为 S＝N＋aL＋b，其中 a，b 为常数．当某格点多边 形对应的 N＝82，L＝38，求 S 的值． 【答案】 （1）解：根据图形可得：S=3，N=1，L=6 （2）解：根据格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 中的 S、N、L 的值可得，
（4）由（3）中的计算可得：
；
，，
。
4．已知 x、y 为有理数，现规定一种新运算“※ ”，满足 x※ y=xy+1． （1）求 3※ 4 的值； （2）求（2※ 4）※ （﹣3）的值； （3）探索 a※ （b﹣c）与（a※ c）的关系，并用等式表示它们． 【答案】（1）解：3※ 4=3×4+1=13 （2）解：（2※ 4）※ （﹣3）=（2×4+1）※ （﹣3）=9※ （﹣3）=9×（﹣3）+1=﹣26 （3）解：∵ a※ （b﹣c）=a•（b﹣c）+1=ab﹣ac+1=ab+1﹣ac﹣1+1， a※ c=ac+1． ∴ a※ （b﹣c）=a※ b﹣a※ c+1 【解析】【分析】根据新运算的规律，求出计算式的值，求出探索的式子之间的关系.
我们不妨设 工程的工作总量为单位“1”，那么 工程的工作量就是“ ”。用两项工程总工作 量除以三队的工作效率和即可求出共同完成的时间。用乙的工作效率乘共同完成的时间即 可求出乙完成的工作量，那么 B 工程剩下的工作量就由丙来做，这样用丙帮助乙完成的工 作量除以丙的工作效率即可求出丙队帮助乙的时间，也就是丙与乙合做的天数。
3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把 1， 4，9，16，…这样的数称为“正方形数”.
（1）第 5 个“三角形数”是________，第 n 个“三角形数”是________，第 5 个“正方形数”是 ________，第 n 个“正方形数”是________. （2）除“1”以外，请再写一个既是“三角形数”，又是“正方形数”的数________. （3）经探究我们发现：任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看做两个相邻“三角形数”之和. 例如：①4=1+3；②9=3+6；③16=6+10；④________；⑤________；…请写出上面第 4 个和第 5 个等式. （4）在（3）中，请探究 n2=________+________。
）=1100（方）
答：整工程要挖 1100 方土。 【解析】【分析】用原来的工作效率和乘（1+20%）求出提高后的工作效率和，用原来完 成的工作量除以工作效率和求出遇到地下水前挖的时间，进而求出遇到地下水后挖的时 间。用遇到地下水后的工作量除以工作时间求出后来的工作效率。根据分数除法的意义， 用每天少挖的土方数除以前后合做的工作效率的差即可求出整工程挖的土方数。
在两队同时施工，工作效率提高 20％．当工程完成 时，突然遇到了地下水，影响了施工 进度，使得每天少挖了 47.25 方土，结果共用了 10 天完成工程．问整工程要挖多少方土?
【答案】 解：工作效率和：
，Leabharlann Baidu
遇到地下水前的天数：
（天），
遇到地下水后工作的天数：10遇到地下水后的工作效率：
（天）， ，
47.25÷（
（天），
18 天里，乙队一直在完成 工作，因此乙的工作量为：
，
剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在 工程上用了：
（天）。
答：丙队与乙队合做了 15 天。 【解析】【分析】 这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决， 数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，
30%x+1.5=40%x
0.1x=1.5 x=15
设再加入 y 千克酒精，溶液浓度变为 50%。
10+0.5y=6+y y=8
答：再加入 8 千克酒精，溶液浓度变为 50%。 【解析】【分析】本题可以用两次方程作答，首先求出原来有酒精溶液的质量，即
， 由此可以解得原来有酒精溶液的质量，然后设再加入
【答案】（1）15；
；25；n2
（2）36
（3）25=10+15；36=15+21
（4）2n；1
【 解 析 】 【解 答 】解 ：（ 1 ）15 ，
， 25 ， n2 ； （ 2 ） 1+2+3+4+5+6+7+8=36 ，
62=36 ， 所 以 36 是 三 角 形 数 ， 也 是 正 方 形 数 。 （ 3 ） 25=10+15 ， 36=15+21 ； （ 4 ）
，
解得 a
，
∴ S=N+ L﹣1，
将 N=82，L=38 代入可得 S=82+ ×38﹣1=100 【解析】【分析】（1）按照所给定义在图中输出 S，N，L 的值即可；（2）先根据（1） 中三角形与四边形中的 S，N，L 的值列出关于 a，b 的二元一次方程组，解方程组求得 a， b 的值，从而求得任意格点多边形的面积公式，代入所给 N，L 的值即可求得相应的 S 的值.
5．有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为 ，盐浓度为 ，乙溶液中的酒精浓度为 ， 盐浓度为 ．现在有甲溶液 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所 得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等? 【答案】 解：甲中酒精：1×10%=0.1（千克），盐：1×30%=0.3（千克）； 1 千克乙中酒精：1×50%=0.5（千克），盐：1×10%=0.1（千克）； 0.5÷2=0.25（千克），0.1÷2=0.05（千克），0.1+0.25=0.35 （千克），0.3+0.05=0.35（千 克） 答：需要 0.5 千克乙溶液， 将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等。