离散时间系统的z域分析

第7章 离散时间系统的z 域分析
1．z 变换是如何提出的？它的作用是什么？
z 变换是为分析离散时间系统而提出的一种工程分析方法，它在离散时间系统分析中的地位和作用等价于连续时间系统分析中的拉氏变换。

它可以看作为拉氏变换的推广。

z 变换定义为：()[]n
n X z x n z
∞
-=-∞
=
∑ ---- 双边z 变换 （1）
()[]n n X z x n z ∞
-==∑---- 单边z 变换 （2）
其中z 是复变量，Re Im j z z j z re Ω=+=。

而对于取样信号的拉氏变换为
()()()() ()() ()st
st s s n st n snT
n X s x t e dt x nT t nT e dt
x nT e t nT dt x nT e
δδ∞∞
∞
---∞-∞
=-∞∞
∞
--∞=-∞
∞
-=-∞
⎡⎤
==-⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=
∑⎰⎰∑⎰∑ （3）
如果 [](),x n x nT =令sT z e =，可以发现式（1）和式（3）相同。

2．双边z 变换和单边z 变换时如何定义的？它们的定义域是如何确定的？收敛域的意义是什么？
z 变换定义为：()[]n
n X z x n z
∞
-=-∞
=
∑ ---- 双边z 变换 （1）
()[]n n X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2）
z 变换收敛域就是使上述级数收敛的所有z 的取值的集合。

根据级数收敛理论，一般我们用根值判别法或比值判别法来确定z 变换收敛域， 其作用是建立序列和z 变换之间的一一对应关系。

根据序列的不同性质，序列z 变换的收敛域各不相同，具体参阅教材Page 297-298 表7-1。

3．z 变换和拉氏变换之间有什么样的关系？
具体分析见问题1中的式（1）和（3），根据两式，可以建立分析连续时间系统的拉氏变换的变量s 和分析离散时间系统的z 变换的变量z 之间的映射关系：
sT z e =
令, j z re s j σωΩ==+， 则有
, T r e T σω=Ω=， 具体见教材Page 300 表7-2 。

4．z 逆变换的求解方法有几种？在应用部分分式求解z 逆变换时，应注意什么问题？
z 逆变换的求解方法主要有三种：围线积分法（复变函数理论），幂级数展开法和部分分式展开法。

其中幂级数展开法只适用于单纯的左边序列或右边序列，而且不易得到序列的解析式，因而实际中使用不多；而围线积分法（复变函数理论）和部分分式展开法因其方法的逻辑性较强，适用于各种序列，而且便于得到序列的解析式，所以，最为我们所采纳。

在求解z 逆变换时，特别要注意极点相对于收敛域的位置，因为这关系到序列的性质，是序列的左边部分还是右边部分。

5．说明如何应用z 变换的移位性质求解差分方程。

z 变换是求解差分方程的一种有效手段和便捷的方法。

考虑到实际的系统大多是因果系统，且满足差分方程
[][]N
M
m
r m r a
y n m b x n r ==-=-∑∑
输入信号为因果信号， 即[]0,0x n n =<，
边界条件：[],y N - [1],...,[1]y N y -+-，求输出信号[]y n 。

从给定的条件可以看出，输出信号在n N <-时，输入信号为零，方程为齐次差分方程，此时的解就为齐次解（其系数由边界条件[],y N - [1],...,[1]y N y -+-）确定或者可以通过迭代法求解。

当0n ≥时，一般用单边z 变换求解差分方程。

此时，对方程两边取单边z 变换，
1
{()[]}()N
M
m
l
r m
r m l m
r a
z Y z y l z
b z X z ----==-=+
=∑∑∑
从而： 1
000
[]()()N
M
m l r
m r
m l m r N
N
m
m
m
m
m m a z y l z b z
Y z X z a
z
a
z ----==-=--==⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
=
-
∑∑∑∑∑ 对上式求解逆z 变换，即得到方程的解[]y n （0n ≥）。

6．线性时不变离散时间系统的系统函数是如何定义的？说明它在分析和求解离散时间系统响应中的作用是什么？
线性时不变离散时间系统的系统函数()H z 的定义类似于连续时间系统的
()H s 的定义。

()
()()
Y z H z X z =
其中：(),()Y z X z 分别是系统零状态响应和输入信号的z 变换，因而()H z 在离散时间系统中的地位和作用也类似于()H s 。

（1）系统函数与差分方程的关系：
[][]N
M
m r m r a y n m b x n r ==-=-∑∑⇔ 00
()
()()
M
r
r
r N
m
m
m b z
Y z H z X z a
z -=-==
=∑∑
（2）系统函数与单位样值响应的关系：
() []H z h n ↔ （z 变换对）
极点决定[]h n 的波形性质，零点影响[]h n 的幅度和相位。

（3）系统函数与系统特性的关系：
()H z 收敛域包含单位圆 ⇔ 系统稳定 ()H z 收敛域为||, (0)z r r >≥ ⇔ 因果系统
7．离散时间信号的频谱如何定义？它具有什么特点？
离散时间信号的频谱定义为离散时间信号的傅里叶变换：
()[]j j n
n X e x n e
∞
Ω
-Ω=-∞
=
∑
其意义在于建立了离散时间信号和傅里叶变换之间的关系，从而建立了信号的时间域和频率域之间的映射关系，统一了离散时间信号与系统和连续时间信号与系统的分析方法。

离散时间信号的频谱具有周期性和连续性的特点，这是与连续时间信号频谱
的主要区别。

8．离散时间系统的频率响应是如何定义的？它的意义是什么? 如何得到离散时间系统的幅频特性和相频特性曲线？
离散时间系统的频率响应反映了离散时间系统在正弦序列激励下的稳态响应随离散信号频率的变化关系。

它定义为单位样值响应序列[]h n 的傅里叶变换，即
()()[]|()|j j n
j j n H e h n e
H e e ϕ∞
Ω
-ΩΩΩ=-∞
=
=∑
根据系统函数与单位样值响应的关系：()[] n
n H z h n z
∞
-=-∞
=∑
有
()()|j j z e H e H z ΩΩ==，
因而可以根据系统函数的零极点分布利用矢量作图的方法粗略地获得系统的幅频响应和相频响应曲线。

9．数字滤波器具有什么特点？它有什么优点？在实现时，有几种结构？各有什么特点？
在数字滤波器中，输入和输出都是离散时间序列。

数字滤波器的作用是对离散时间信号进行处理和变换，这里我们是指选频滤波器，即滤除信号中的多余频率成分的滤波器。

其优点主要有：精度高，稳定性好，灵活性大，体积小，易于集成等。

实现时，主要有三种结构：
（1）直接型：稳定性受系数影响较大，零点和极点受系数的影响很大； （2）级联型：实现的结构简单，零点和极点受系数的影响较小；
（3）并联型：实现的结构也较简单，极点受系数影响较小，但零点受系数影响较大。