组合数学复习要点ppt课件

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六、波利亚(Pólya)定理
1.置换在研究等价类计数中的作用 2.将置换表为轮换之积 3.Burnside引理计数公式 4. Pólya定理计数公式 5.Pólya定理的应用
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例1 设A a1a2 L an (0 ai 9, i 1, 2,L , n)是 一个n 位数,如果a1 a2 L an ,则称A是一个 数字具有非降顺序的n位数, 求小于10n且其数字具 有非降顺序的正整数的个数.
数为 (n2 )! . (n!)n
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例5 球面上有n个大圆,其中任何两个都相交于 两点, 但没有三个大圆通过同一点.用an表示这些大 圆所形成的区域数,证明:
(1) an1 an 2n (2) an n2 n 2 证 (1)易知, a1 2, a2 4. 当n 2时,去掉所给n 1个圆中的一个圆A,则 剩下的n个圆把平面分成an个区域. 现把圆A放回原 处,则A与其余n个圆都相交,且所得的 2n个交点互
使得每一列的2人的身高由大到小,则编排方案数为
(2n)!
(2n)! .
2n (2!)n
同样 考虑把3n个不同身高的人编排成3 n阵列,
使得每一列的3人的身高由大到小,则编排方案数为
(3n)! (3n)!
.
2n 3n (3!)n
一般地,考虑把n2个不同身高的人编排成n n阵
列, 使得每一列的n个人的身高由大到小,则编排方案
证 用mi (i 1, 2,L , 36)表示该圆盘上三个连续
扇形上的数字之和,这样的数共有36个. 注意到
1,2,L ,36这些数中的每个数都在作和数m1 , m2 ,L , m36时出现了三次,故有
36
mi 3(1 2 L 36) 1998
i 1
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问题归结为:把1998件物品放入36个抽屉里,
则 a b 2n( p q), 所以 2n | a b.
若a, b分别除以2n所得的余数之和为2n,即
a (2n) p r,
b (2n)q (2n r)
则 a b 2n( p q 1), 所以 2n | a b.
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例3 把一个圆盘分成36个相等的扇形,然后把 1, 2,L , 36这些数任意填入36个扇形中,证明存在三 个连续的扇形,其中的数字之和至少是56.
由抽屉原理知,至少有一个抽屉(即某个mi )放有 不少于
1998 36
1
55
1
56
件物品, 即存在某个mi , 使mi 56.
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例4 用组合方法证明 (2n!) 和 (3n!) 都是整数.
2n
2n 3n
证 考虑将2n个球放到n个相同的盒子里,每个
盒子2个球.设方法数为an ,显然a1 1. 当n 2时,取定一个球,记为x.在剩余的2n-1个
数解的个数、多重集的组合数之关系
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三、递推关系
1.常系数线性递推关系的解法（特征根法） 2.用待定系数法求常系数线性非齐次递推关系的
特解(三种类型) 3.一般递推关系的线性化 4.Fibonacci数列及其模型 5.Stirling数列的组合意义 6.根据具体问题建立递推关系并求解
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四、容斥原理
函数为 G( x) ( x6 x7 x8 )6
G( x) x36 (1 x x2 )6
x36 (1 x3 )6 (1 x)6
x36 (1
6x3
15 x 6
L
6
) k0
k
xk
18
( x36
6 x39
15 x 42
L
) k0
5
5
k
xk
所以xn的系数
5 6 5 3 5 0
球中任选一个与 x 放在同一盒子里,有2n-1种选法.
其余2n 2个球放在n-1个盒子里,有an1种放法.
于是有
an (2n 1)an1
an (2n 1)an1 (2n 1)(2n 3)an2
(2n 1)(2n 3)(2n 5)an3
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(2n 1)(2n 3)(2n 5)L 5 3a1
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例6 从n双不同的鞋中取出2r(2r < n)只鞋,使
得其中恰有k(k ≤r)双成对的鞋.问有多少种不同的
取法？（鞋分左右）
解
先从n双鞋中选出k双成对的鞋,有
n k
种
方法. 再从其余的n k双鞋中选定2r 2k双鞋,有
n 2r
k 2k
种选法.
最后从选定的2r
2k双鞋中,
每双
i 0,1, 2,L , n
则 A = A0 ຫໍສະໝຸດ Baidu1 A2 L An
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且Ai中任两个数分别除以2n所得的余数或者相同,
或者余数之和为2n.
由抽屉原理,必存在Ak ,使得 | Ak | 2.
设a,b Ak ,若a,b分别除以2n所得的余数相同,即
a (2n) p r,
b (2n)q r
复习要点
一、排列组合
1.排列和组合的基本性质 2.基本的组合等式及其证明，用组合意义法证明
组合等式 3.排列组合的计数公式，多重集的排列数和组合
数的求法 4.多项式系数及其求法 5.应用
1
二、母函数
1. 母函数与数列的关系 2. 母函数的基本性质 3. 母函数与排列数、组合数的关系 4. 用母函数解决多重集的排列和组合问题 5. 正整数的分拆的应用 6. 正整数的分拆数、不定方程的（正、非负）整
1.容斥原理的基本形式（容斥原理、逐步淘汰原 理）
2.容斥原理的应用（比如在排列组合、初等数论 等方面）
3.有限制条件的排列（比如错排问题、相邻禁位 排列问题、保位问题）
4.有禁区的排列
4
五、抽屉原理和Ramsey问题
1.抽屉原理的几种基本形式 2.抽屉原理的应用 3.完全图的染色问题 4.Ramsey问题基本概念 5. 几个基本的Ramsey数
异(因无三个圆共点),这2n个交点把圆A分成2n段
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弧.每段弧把原来的一个区域分成两个小区域.故 把圆A放回原处后增加了2n个区域.从而
an1 an 2n
(2) an an1 2(n 1) an2 2(n 2) 2(n 1)
a1 2 1 2 2 L 2(n 2) 2(n 1) 2 2 1 2 2 L 2(n 2) 2(n 1) 2 n(n 1) n2 n 2 上式当n 1和n 2时仍成立.
取出一只, 有22r2k 种选法. 故所求取法数为
n k
n 2r
k 2k
22r
2k
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例7 某学者每周工作6天,共42小时,每天工 作的小时数是整数,且每天工作时间不少于6小时 也不多于8小时,如果编排一周的工作时间表,问 有多少种不同的方案？
解 设有an种不同的编排方法,则{an }相应的母
(2n 1)(2n 3)(2n 5)L 5 3 1
(2n)!
(2n)(2n 2)(2n 4)L 6 4 2
(2n)!
(n 2)
2n n!
上式对n 1也成立.
因an
(2n)! 是整数,故 (2n)! 是整数.
2n n!
2n
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另解 考虑把2n个不同身高的人编排成2 n阵列,
an
5
6
5
15
5
11 8
5
6
5
15
462 336 15
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例9 确定所有的奇数数字组成的n位数的个 数,其中1和3每个都出现非零偶数次.
解 设所求n位数的个数为an .相应的母函数为
Ge ( x)
x2 (
2!
x4 4!
L
)2 (1
x
x2 2!
x3 3!
7
重组合数减去1, 即为
10
n n
1
1
n
n
9
1.
例2 证明:在任意给出的n 2个正整数中,必 有两个数, 它们的差或它们的和能被2n整除.
证 设A是所给的n 2个正整数之集,则
| A | n 2, 令Ai {x A | x (2n)q i 或 x (2n) p (2n i)}
L
)3
( e x e x 1)2 e3 x 2
1 ex e2x 6 e3x e4x 1 e5x
4
4
4
所以
an
1 2n2 6 3n 4n1 5n
4
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解 设A是任一个小于10n 且数字具有非降顺序 的正整数, 则A可表成
A = a110n1 a2 10n2 L an110 an
其中a1 , a2 ,L , an是不全为零的非负整数,且 0 a1 a2 L an 9
因此,所求正整数个数等于10元集{0,1, 2,L , 9}的n可