矩形的性质与判定讲义
矩形的性质与判定(一).2 矩形的性质与判定(一) (2)
第一章特殊平行四边形矩形的性质与判定（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：矩形的性质一课，是在学生掌握了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定以及具备了基本的推理能力的基础上安排的，是学习正方形的基础，学完本节课后，学生应掌握矩形的性质，会应用性质进行推理解题。
学生的活动经验基础：本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。
部分学生对学习数学有较强的兴趣，具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。
但大部分学生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。
二、教学任务分析《矩形的性质与判定》一课属于初中平面几何重点知识。
本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。
依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。
矩形是的平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。
因此本节课的教学目标是：1. 知识与技能:(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．2. 过程与方法：(1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；（2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点．3. 情感态度与价值观：(1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。
《矩形的判定》 讲义
《矩形的判定》讲义一、矩形的定义矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。
矩形的定义为：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
从这个定义出发，我们可以得出矩形的两个重要特征：一是它是平行四边形，二是其中有一个角是直角。
二、矩形的判定方法1、定义判定如果一个平行四边形中有一个角是直角，那么这个平行四边形就是矩形。
例如，在平行四边形 ABCD 中，如果∠A ＝ 90°，那么平行四边形ABCD 就是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形我们知道，平行四边形的对角线互相平分。
如果在这个基础上，两条对角线还相等，那么这个平行四边形就是矩形。
证明如下：假设平行四边形 ABCD 的对角线 AC ＝ BD。
因为平行四边形的对角线互相平分，所以 OA ＝ OC，OB ＝ OD。
又因为 AC ＝ BD，所以△OAB≌△OCD（SSS）。
所以∠OAB ＝∠OCD。
因为 AB∥CD，所以∠OAB ＋∠OCD ＝ 180°。
所以∠OAB ＝∠OCD ＝ 90°。
所以平行四边形 ABCD 是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形如果一个四边形中有三个角是直角，那么第四个角也一定是直角。
因为四边形的内角和为 360°，三个直角的和为 270°，所以第四个角为90°。
证明如下：在四边形 ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝ 90°。
因为四边形的内角和为 360°，所以∠D ＝ 360°（∠A ＋∠B ＋∠C）＝ 360° 270°＝ 90°。
所以四边形 ABCD 是矩形。
三、矩形判定的应用1、几何证明题在几何证明题中，如果需要证明一个四边形是矩形，可以根据已知条件选择合适的判定方法。
例如，已知一个平行四边形的对角线相等，那么就可以用“对角线相等的平行四边形是矩形”这个判定方法来证明它是矩形。
2、实际问题中的应用在实际生活中，矩形的判定也有很多应用。
矩形的性质与判定知识点
矩形的性质与判定知识点矩形是我们日常生活中最常见的几何形状之一，因为它有很多明显的性质和特点，所以在数学、物理等领域中也被广泛应用。
本文旨在介绍矩形的性质与判定知识点，以帮助读者更好地理解和应用矩形。
一、矩形的基本定义和性质在几何学中，矩形是一个四边形，其中对角线相等，且所有内角均为直角。
它的两条对边平行且长度相等，两条相邻边的内角均为90度。
由此可以得到矩形的以下基本性质：1. 对角线相等设矩形的两条对角线为AC和BD，则AC=BD，即对角线相等。
2. 边角关系设矩形的边长为a和b，则它的周长为C=2a+2b，面积为S=ab。
3. 内角和由于矩形的内角均为90度，因此它的任意两个内角的和均为180度。
4. 三角函数关系设矩形的一条边长为a，另一条边长为b，则其对角线长为D=sqrt(a^2+b^2)。
根据三角函数关系，可得矩形各角的正切值和余切值：tanA=a/b，tanB=b/a，cotA=b/a，cotB=a/b。
二、矩形的性质扩展除了以上基本性质外，矩形还有一些特殊的性质，它们在具体的数学问题中往往会有实际的应用。
下面介绍一些常见的扩展性质。
1. 中线定理设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，线段AB与线段CD交于点E，线段AD与线段BC交于点F。
则OE、OF为矩形的中线，且OE=OF=1/2AC。
证明：由于AC=BD，因此OC=OD。
又由于AB∥CD，因此∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠OCB。
因此三角形OAB和OCD，三角形OBA和OCB均为全等三角形，故OA=OC，OB=OD。
又因为OE是线段AB上的中线，OF是线段AD上的中线，因此OE=1/2AB=1/2CD，OF=1/2AD=1/2BC。
因此OE=OF=1/2AC。
2. 对称性质设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则AO=CO，BO=DO。
由此可知，点O是矩形的对称中心。
证明：因为AC=BD，所以OC=OD，且三角形AOC和COD的第一边、第三边、第五边相等，因此它们一定全等。
矩形的性质与判定复习课ppt课件
角： 直角三角形两锐角互余。
C
B
线段： 1、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边
的平方。
2、斜边中线的性质：直角三角形斜边中线
等于斜边的一半。
边角关系：1、直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半。
2、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于30°。
例1 一张四边形纸板ABCD形状如图，
C
E
你能求出线段BE及折痕EF的
长吗？
再见
（1）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并
且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边
上，可怎样剪？ 解CD：、分D别A的取中AB点、EB、CF、、G、D
Ｇ
C
H，则剪的中点四边形
EFGH为平行四边形． Ｈ
Ｆ
⑵四边形ABCD满足什么情况
下，中点四边形EFGH为矩形？
并说明理由．
A
Ｅ
B
两条对角线互相垂直，ＡＣ⊥ＢＤ
1、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2， 那么这个矩形的面积是____3_2_______
2、矩形的两条对角线的夹角为60°，
一边长为10，则另一边长为____________
3、请在横线上写出结论，在括号里填理由
∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴__________ (
) O
B
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在 BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE 等于（ ） A
7、在矩形ABCD中，P是AD上的一个动 点，PE⊥ AC于E，PF⊥ BD于F，AG⊥ BD 于G。试问，PE+PF与AG有什么关系？证明 你的结论。
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定
矩形是平面几何中的一种基本图形，具有许多重要的性质和判定方法。
本文将
介绍矩形的性质以及如何判定一个四边形是否是矩形。
矩形的性质
1.四边相等：矩形的四条边相互平行且相等长。
2.四个角均为直角：矩形的四个角均为90度，即直角。
3.对角线相等且互相平分：矩形的两条对角线相等且互相平分。
4.对角线垂直且相交于中点：矩形的两条对角线互相垂直，且相交于
各自的中点。
判定一个四边形是否为矩形
1.判定四条边是否相等：如果一个四边形的四条边相等并且相互平行，
则该四边形为矩形。
2.判定四个角是否为直角：可以使用角度计算方法，通过测量四个角
的度数是否均为90度来确定一个四边形是否为矩形。
3.判定对角线是否相等且互相平分：通过测量对角线的长度是否相等
来判断一个四边形是否为矩形。
4.判定对角线是否垂直且相交于中点：可以通过测量对角线的交点是
否为对角线中点以及两条对角线的斜率乘积是否为-1来判断一个四边形是否
为矩形。
综上所述，矩形的性质包括四边相等、四个直角、对角线相等且互相平分、对
角线垂直且相交于中点四个方面，通过判定四边形的边长、角度、对角线等特征可以确定一个四边形是否为矩形。
结语
矩形是几何学中重要的基本图形之一，具有许多独特的性质和判定方法。
通过
深入理解矩形的性质和判定方法，可以更好地理解和运用这一基本几何形状。
愿本文对您理解矩形有所帮助。
以上是关于矩形的性质与判定的介绍，希望对您有所启发。
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定矩形作为几何形体中的一种，具有其独特的性质与判定方法。
在本文中，我们将探讨矩形的定义、性质以及如何准确判断一个图形是否为矩形。
一、矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，它的四个内角均为直角。
矩形的定义可以简洁地表达为：具有四条边且四个内角均为直角的四边形即为矩形。
二、矩形的性质矩形具有以下性质，对于认识矩形的形态和特点非常重要。
1. 边长性质：矩形的相对边长相等，即相对边对应的长度相等。
2. 对角线性质：矩形的对角线相等，即矩形的两条对角线长度相等。
3. 对称性质：矩形具有对称性，即以矩形的任意一条对角线为对称轴，两侧的部分完全相同。
4. 垂直性质：矩形的边两两相交成直角，即任意两边之间的夹角为90度。
5. 平行性质：矩形的相对边平行，即相对的两条边永远平行。
三、矩形的判定如何准确判断一个图形是否为矩形？下面将介绍两种常见的判定方法。
1. 边长判定法：若一个四边形的四条边两两相等，且任意两相邻边夹角为直角，则该四边形是矩形。
例如，若四边形ABCD的边长满足AB=BC=CD=DA，且∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，那么四边形ABCD就是矩形。
2. 对角线判定法：若一个四边形的对角线互相垂直且长度相等，则该四边形是矩形。
例如，若四边形EFGH的对角线EG和FH互相垂直且长度相等，那么四边形EFGH就是矩形。
四、矩形的应用矩形在现实生活中有着广泛的应用。
以下是矩形应用的几个典型例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，矩形是常见的几何形状之一。
例如，房屋的窗户、门洞等往往是矩形的形状。
2. 电子屏幕：计算机显示屏、电视屏幕等常常采用矩形的形状，这是因为矩形易于制造和布局，并且能够满足人眼对图像的需求。
3. 图像处理：在图像处理领域，矩形是图像的基本元素之一。
很多图像处理算法和技术都是基于矩形的性质和特点进行设计和实现的。
五、总结矩形作为一种特殊的四边形，在几何学中具有重要的地位。
北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
北师大版九年级上册数学矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。
2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。
【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．° C．15° D．10°3第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF ＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
8、八年级下册数学矩形性质与判定讲义
典型例题一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．练习：1、如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．(1)求证：B E BF'=；(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a b c、、之间有何等量关系，并给予证明．2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．考点二、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.考点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.典型例题二、矩形的判定3、如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形BCDE是矩形．同步训练：【变式】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？考点三、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.考点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.典型例题三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：FG⊥DE．练习：1、如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A.21B.5C.1455 D.52课堂练习一.选择题1.下列关于矩形的说法中正确的是( )A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（）A.32cm或122cmcm D. 42cm B. 42cm C. 1223.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )A.2B.3C.222 D.3A.15cmB.16cmC.17cmD.18cm二.填空题7．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°.8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．9. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________cm．布置作业三.解答题13．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA＝1BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．215.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．。
矩形的性质与判定知识点
矩形的性质与判定知识点矩形是初中数学中非常重要的一个几何图形，具有独特的性质和判定方法。
下面我们就来详细了解一下矩形的性质与判定的相关知识点。
一、矩形的定义矩形是一种特殊的平行四边形，其中四个内角都是直角。
二、矩形的性质1、矩形的四个角都是直角因为矩形是平行四边形，平行四边形的对角相等且邻角互补。
而矩形的四个角都是直角，即 90 度。
2、矩形的对角线相等矩形的两条对角线将矩形分成了四个三角形。
通过全等三角形的证明可以得出矩形的对角线相等。
3、矩形的对边平行且相等这一性质继承自平行四边形。
矩形的对边相互平行，且长度相等。
4、矩形是轴对称图形矩形有两条对称轴，分别是通过对边中点的直线。
5、矩形的面积等于长乘以宽假设矩形的长为 a，宽为 b，那么其面积 S ＝ a×b。
6、矩形的周长等于 2×（长＋宽）即 C ＝ 2×（a ＋ b) 。
三、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形是矩形这是矩形判定的最基本方法。
如果一个平行四边形中有一个角是直角，那么根据平行四边形的性质，它的对角相等，邻角互补，所以其他三个角也都是直角，从而该平行四边形就是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形在平行四边形中，如果对角线相等，通过全等三角形的证明可以得出相邻的两个角相等，而平行四边形的邻角互补，所以这两个角都是直角，从而该平行四边形为矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形如果一个四边形中有三个角是直角，那么根据四边形的内角和为360 度，第四个角也必然是直角，所以该四边形是矩形。
四、矩形性质与判定的应用矩形的性质和判定在实际生活和数学解题中都有广泛的应用。
在实际生活中，比如建筑设计、家具制作等领域，都需要用到矩形的性质和判定。
例如，在建造房屋时，要确保房间的形状是矩形，就需要通过测量角度和对角线的长度来判断。
在数学解题中，矩形的性质和判定可以帮助我们解决与几何图形相关的问题。
比如，已知一个四边形是矩形，我们就可以利用其对角线相等、四个角都是直角等性质来求解相关的边长、角度或面积等问题。
小学数学知识归纳矩形的性质与判定
小学数学知识归纳矩形的性质与判定矩形是小学数学中常见的几何形状之一，它具有特定的性质和判定方法。
本文将详细介绍矩形的性质与判定，旨在帮助小学生全面了解和掌握矩形的知识。
一、矩形的性质1. 边与角矩形的四条边两两平行，两组对边相等。
矩形的四个角都是直角，即每个角都是90度。
2. 对角线矩形的对角线互相垂直且相等。
对角线是由矩形的两个非邻边所组成的线段，它们相交于矩形的中心点。
3. 对边的关系矩形的两条邻边相等，两条对边相等但不相交。
这意味着，如果一边的长度确定了，那么对边的长度也就确定了。
4. 周长和面积矩形的周长等于其所有边的长度之和，即P=2(a+b)，其中a和b分别表示矩形的两条邻边的长度。
矩形的面积等于邻边的长度之积，即S=a*b。
二、矩形的判定方法1. 边长判定判定一个四边形是否为矩形，可以先检查其四条边是否两两平行。
如果四边互相平行且相邻边长度相等，则可以确定该四边形是矩形。
2. 直角判定对于四边形的角度判定，可以使用直角定理。
直角定理指出，如果一个四边形的四个角都为直角（90度），那么该四边形就是矩形。
三、矩形的应用举例1. 长方形长方形是一种特殊的矩形，其中两对对边相等且所有角均为直角。
在日常生活中，许多物体的形状可以近似看作长方形，例如书桌、门窗等。
2. 正方形正方形也是一种特殊的矩形，它的四个角都是直角且四条边相等。
正方形具有较为均匀的分布和轻便的特点，常见于方形小盒子、棋盘等物体。
四、总结矩形作为小学数学中的重要内容，其性质和判定方法需要小学生们仔细学习和理解。
矩形具有特定的边与角、对角线、对边关系、周长与面积等性质，使用边长判定和直角判定方法可以快速判断矩形。
长方形和正方形是矩形的特殊情况，它们在日常生活中的应用广泛。
通过学习矩形的性质与判定，小学生们可以更好地应用数学知识解决实际问题，培养逻辑思维和几何思维能力。
同时，深入理解矩形的知识有助于打下数学基础，为后续学习其他几何形状奠定坚实的基础。
人教版八年级数学矩形的判定和性质讲义(含解析)(2020年最新)
算即可得解．
解：∵ BE=BO，∠ BOE=7°5 ，
∴∠ OBE=18°0 ﹣ 2×75° =30°，
∴∠ ABO=∠ABC﹣∠ OBE=9°0 ﹣ 30° =60°，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴ OA=O，B
∴△ AOB是等边三角形，
∴ AB=BO，∠ BAO=6°0 ，
∵ BO=B，E
∴ AB=BE，
解：因为在矩形 ABCD中，所以 AO= AC= BD=BO，
又因为∠ AOB=6°0 ，所以△ AOB是等边三角形，所以 AO=AB=，2
所以 AC=2AO=．4 讲解用时： 2 分钟 解题思路： 本题难度中等，考查矩形的性质． 教学建议： 熟练掌握矩形的性质并应用 . 难度： 3 适应场景： 当堂练习 例题来源： 长沙
∴ BC=
=6，
故矩形 ABCD的面积为 6×8=48． 故答案为 48．
讲解用时： 3 分钟 解题思路： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用， 矩形面积的计算， 本题
中根据勾股定理求 BC的长是解题的关键． 教学建议： 熟练掌握矩形的性质以及用勾股定理进行解题 . 难度： 3 适应场景： 当堂例题 例题来源： 无 年份： 2018
【例题 4】
矩形 ABCD中， AB=8，对角线长为 10，则矩形的面积为
．
【答案】 48
【解析】 根据矩形各内角为直角的性质可得直角△ ABC，已知 AC=10，AB=8，根
据勾股定理即可求得 BC的长，根据 AB， BC的值即可求得矩形 ABCD的面积． 解：矩形各内角为直角， ∴△ ABC为直角△ ABC， ∵ AC=10，AB=8，
∴另一条直角边长 =
=12．
讲解用时： 3 分钟 解题思路：此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线和勾股定理的理解和掌
第2讲 矩形的性质与判定-九年级数学上册同步精品讲义(北师大版)
第2讲 矩形的性质与判定 1. 理解矩形、概念和判定定理；2．灵活运用矩形、性质进行证明和计算． 知识点01 矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【知识拓展】例1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上的一点，EF EC ⊥，且EF EC =．（1）求证：AEF DCE △≌△．（2）若5cm DE =，矩形ABCD 的周长为38cm ，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）7cm【详解】解：（1）证明：∵EF ⊥CE ，∴∠FEC =90°，∴∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°，∴∠AEF =∠EC D ．知识精讲目标导航在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=E C．∴△AEF≌△DCE（AAS）．（2）∵由（1）可得△AEF≌△DCE．∴AE=C D．∴AD=AE+5．又∵矩形ABCD的周长为38cm，∴2（AE+AE+5）=38cm．∴AE=7cm．答：AE的长为7cm．知识点02 矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【知识拓展】例2．已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B 作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）若BC=8，AO=52，求四边形AEBC的面积．【答案】（1）见解析；（2）18 【详解】（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形．∵AB =AC ，AD 是BC 边的中线，∴AD ⊥BC ．即∠ADB =90°．∴四边形ADBE 为矩形．（2）∵在矩形ADBE 中， AO =52， ∴DE =AB = 5．∵D 是BC 的中点，∴AE=DB=4， ∴根据勾股定理223AD AB DB =-= ，∴1(84)3182AEBC S =+⨯=四边形． 知识点03 矩形折叠问题【知识拓展】例3．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E ．（1）求证：AFE CDE ≌；（2）若6AB =，8BC =，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）754【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠B =∠D =90°，∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F =∠B ，AB =AF ，∴AF =CD ，∠F =∠D ，在△AEF 与△CDE 中，F D AEF CED AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFE CDE ≌（AAS ）；（2）∵6AB =，8BC =，∴CF =BC =8，AF =CD =AB =6，∵AFE CDE ≌，∴AE =CE =8-DE ，∴在Rt △CDE 中，DE 2+CD 2=CE 2，即DE 2+62=（8-DE ）2， ∴DE =74， ∴AE =254， ∴图中阴影部分的面积=11257562244AE CD ⋅=⨯⨯=． 知识点04与矩形有关的面积问题【知识拓展】例4.[关注数学文化]数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）（1）请根据如图1完成这个推论的证明过程，证明：S 矩形NFGD ＝()ADC ANF FGC S S S +△△△﹣，S 矩形EBMF ＝ABC S ﹣（ + ）．易知，ADC ABC S S △△＝， ＝ ， ＝ ．可得S 矩形NFGD ＝S 矩形EBMF（2）如图2，点P 是矩形ABCD 的对角线BD 上一点，过点P 作EF ∥BC 分别交AB ，CD 于点E 、F ，连接PA ，PC ．若PE ＝5，DF ＝4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）AEF FMC ANF AEF FMC FGC SS S S S S ,,,,,；（2）20 【详解】 （1）解：S 矩形NFGD ＝S △ADC ﹣（S △ANF +S △FGC ），S 矩形EBMF ＝S △ABC ﹣（S △AEF +S △FMC ）．易知，S △ADC ＝S △ABC ，S △ANF ＝S △AEF ，S △FMC ＝S △FGC ．可得S 矩形NFGD ＝S 矩形EBMF ；故答案为：S △AEF ，S △FMC ；S △ANF ，S △AEF ，S △FMC ，S △FGC ；（2）解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，如图2：则四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴PM ＝DF ＝4，同（1）得：S 矩形AEPM ＝S 矩形CFPN ，∴S △AEP ＝S △AMP ，S △CFP ＝S △CNP ，∴S △AEP ＝S △CFP ＝12×PE ×PM ＝12×5×4＝10， ∴图中阴影部分的面积S 阴＝10+10＝20．知识点05直角三角形斜边上中线【知识拓展】例5.如图，在四边形ACBD 中，90ACB ∠=︒，AB AD =，E 是BD 中点，过点E 作//EF AD 交AB 于点F ，连接CF ．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：①_________；②_________．【答案】答案不唯一，如：BEF BDA ∠=∠ EF CF =【详解】解：∵E 是BD 中点，//EF AD∴F 是AB 的中点，EF 为△ABD 的中位线，BEF BDA ∠=∠ ∴12EF AD = ∵AB AD = ∴12EF AB =在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，∴AB 是Rt △ABC 的斜边∴12CF AB = ∴EF CF =故答案为：BEF BDA ∠=∠；EF CF =1.如图所示，菱形PQRS 内接于矩形ABCD ，使得点P 、Q 、R 、S 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点．已知PB =15，BQ =20，PR =30，QS =40．求矩形ABCD 的周长．能力拓展【难度】★★ 【答案】5672． 【解析】∵CD AB ∥，∴CRP APR ∠=∠∵RQ SP ∥，∴QRP SPR ∠=∠∴QRP CRP SPR APR ∠-∠=∠-∠，即QRC APS ∠=∠∵QRC APS ∠=∠，C A ∠=∠，RQ SP =∴CQR ASP ≌△△∴CR AP CQ AS ==，也可证得：DRS BPQ ≌△△，∴PB DR BQ SD ==，设y AP x AS ==，∵PR 与SQ 互相垂直平分，这样得到8个直角三角形，且其中6个三角形的边长分别为15、20、25，而x AS CQ ==，y AP CR ==，则直角△ASP 和直角△CQR 的三边分别为25、、y x ，矩形面积等于8个直角三角形面积之和．所以()()xy y x 21215202161520⨯+⨯⨯⨯=++， 则有12043=+y x 而62522=+y x ，解得：20=x ，15=y 或544=x ，5117=y 当20=x 时，40=+=BQ x BC 与30=PR 不合，所以舍去；∴矩形的周长为()567220152=+++y x ． 【总结】考察特殊的平行四边形的性质及面积法的综合应用． 2.将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH ，若EH =3，EF =4，求ADAB 的值．【难度】★★★【答案】2425． 【解析】由翻折的性质可得：MEH AEH ∠=∠，BEF MEF ∠=∠．∵︒=∠+∠+∠+∠180BEF MEF MEH AEH ，∴︒=∠90HEF ．同理可证得：︒=∠90HGF ，︒=∠90EHG ．∴四边形EFGH 是矩形，∴FG EH =．∵︒=∠+∠90BEF AEH ，︒=∠+∠90AHE AEH ，∴BEF AHE ∠=∠．∵︒=∠+∠90BFE BEF ，︒=∠+∠90CFG BFE ，∴CFG BEF ∠=∠，∴CFG AHE ∠=∠．∵C A ∠=∠，FG EH =，CFG AHE ∠=∠，∴CFG AHE ≌△△， ∴FN CF AH ==．又∵HN HD =，∴HF AD =在直角△HEF 中，43==EF EH ，，由勾股定理可得：5=HF ．∵EM HF EF HE ⋅=⋅，∴512=EM 又∵EB EM AE ==， ∴5242==EM AB ， ∴24525245AD AB ==：：：． 【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的运用，综合性较强，注意分析．题组A 基础过关练一、单选题1．（2021·广东肇庆市·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，点E 在CD 上，连接,45,1,AE BE DAE CBE AD ∠=∠=︒=、则ABE △的周长等于( )A ．6．B ．42C ．222D ．322【答案】C 【分析】由矩形的性质和45DAE CBE ∠=∠=︒可证得ADE 和BCE 为等腰直角三角形，进而求得DE 、CE 、CD 的长，由矩形的性质和勾股定理分别求得AB 、AE 、BE 的长，即可求得ABE △的周长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，1AD =，∴90ADE ∠=︒，1BC AD ==，CD AB =，∵45DAE ∠=︒，∴45AED ∠=︒，即45DAE AED ∠=∠=︒，∴ADE 为等腰直角三角形，1DE AD ==，分层提分∴2222112AE AD DE =+=+=，同理得BCE 为等腰直角三角形，1CE BC ==，2BE =，∴2AB CD DE CE ==+=，∴ABE △的周长222222AE BE AB =++=++=+，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是证得ADE 和BCE 为等腰直角三角形．2．（2021·河北保定市·九年级一模）如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形ABCD 是矩形．求证：AC BD =．以下是排乱了的证明过程：①∴AB CD =、ABC DCB ∠=∠．②∵BC CB =③∵四边形ABCD 是矩形④∴AC DB =⑤∴ABC DCB ∆∆≌．证明步骤正确的顺序是（ ）A ．③①②⑤④B ．②①③⑤④C ．③⑤②①④D ．②⑤①③④【答案】A 【分析】根据SAS 定理证明三角形全等，进而得出对应边相等.【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB CD =、ABC DCB ∠=∠∵BC CB =∴ABC DCB ∆∆≌∴AC DB =所以正确顺序为③①②⑤④故答案为A【点睛】本题考查了全等三角形的证明，理清证明过程是排序的关键.3．（2021·陕西西安市第三中学九年级期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A ．中心对称图形B ．对边分别相等C ．对角线互相平分D ．对角线相等【答案】D【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案．【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．4．（2021·重庆市育才中学九年级期末）下列命题是真命题的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．一组对边平行且相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形【答案】B【分析】本题考查矩形的判定定理，牢记相关的内容即可选择出正确答案．【详解】A：有一个角是直角的四边形，有可能是直角梯形，选项不符合题意．B：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，选项符合题意．C：一组对边平行且相等的四边行是平行四边形，故选项不符合题意，D：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故选项不符合题意，故选：B【点睛】本题考查矩形四边形的判定定理，要牢记相关的条件是解题的关键，学会去区别平行四边形，菱形，正方形以及其他非规则图形，是解题的关键．5．（2021·广东广州市·九年级二模）直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．【详解】解：直角三角形的斜边长为10，∴斜边上的中线长为1105 2⨯=，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．二、填空题6．（2021·河南九年级专题练习）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=2，BC=6，则OB的长为______．【答案】13 【分析】已知OM 是△ADC 的中位线，再结合已知条件则DC 的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB ，∴OM 是△ADC 的中位线，∵OM=2，∴DC=4，∵AD=BC=6，∴AC=22AD CD +=213，∴BO=12AC=13， 故答案为：13【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC 的长．7．（2021·江苏南京市·九年级二模）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，顺次连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点得到四边形EFGH ，那么四边形EFGH 的面积为____．【答案】24【分析】根据矩形的性质推出BF =AH ，BF ∥AH 得到平行四边形BFHA ，推出AB ∥HF ，AB =HF ，同理得到BC =EG ，BC ∥EG ，推出HF ⊥EG ，据此利用面积公式求解即可．【详解】解：连接HF、EG，∵矩形ABCD，∴BC∥AD，BC=AD，∵H、F分别为边DA、BC的中点，∴BF=AH，∴四边形BFHA是平行四边形，∴AB=HF=6，AB∥HF，同理BC=EG=8，BC∥EG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四边形EFGH的面积是12EG×HF=12×6×8=24．故答案为：24．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出HF、EG的长和HF⊥EG是解此题的关键．三、解答题8．（2021·新兴县环城中学九年级期中）如图,在□ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.(1)求证:AE=CF.(2)求证:四边形BFDE为矩形.【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS可得△ADE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可得AE=CF；（2）由平行四边形的对边平行得到DC 与AB 平行，得到∠CDE 为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可．【详解】(1)∵DE ⊥AB,BF ⊥CD,∴∠AED=∠CFB=90°∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD=BC, ∠A=∠C,再在△ADE 和△CBF 中,AED CFB A CAD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CBF(AAS)，∴AE=CF.(2)∵四边形ABCD 为平行四边形,∴CD ∥AB,∴∠CDE+∠DEB=180°,∵∠DEB=90°,∴∠CDE=90°,∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°,则四边形BFDE 为矩形.【点睛】本题考查矩形的判定, 全等三角形的判定与性质, 平行四边形的性质.9．（2021·河北唐山市·九年级期末）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ∥BD 交AD 的延长线于点E ，CE=AC ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED 的周长．【答案】（1）详见解析；（2）16.【分析】（1）根据已知条件推知四边形BCED是平行四边形，则对边相等：CE=BD，依据等量代换得到对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形；（2）通过勾股定理求得BD的长度，再利用四边形BCED是平行四边形列式计算即可得解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC．∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形．∴CE=BD．∵CE=AC，∴AC=BD．∴□ABCD是矩形．（2）解：∵□ABCD是矩形，AB=4，AD=3，∴∠DAB=90°，BC=AD=3，∴2222BD AB AD=+=+=．435∵四边形BCED是平行四边形，∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16．故答案为（1）详见解析；（2）16.【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．10．（2021·全国九年级专题练习）如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．求证：∠BDA =∠EDA．【分析】根据矩形的性质和平行线的性质即可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD，OA=12AC，OD=12BD，∴ OA=OD，∴∠CAD=∠BDA．∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDA，∴∠BDA =∠EDA【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．11．（2021·福建福州市·福州十八中九年级二模）如图，菱形ABCD的对角线,AC BD相交于点,O且//,//DE AC AE BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC BD⊥，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的定义得出四边形AODE是矩形．【详解】证明：四边形ABCD为菱形,AC BD∴⊥90,AOD∴∠=//,//,DE AC AE BD∴四边形AODE为平行四边形，∴平行四边形AODE是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．题组B 能力提升练一、单选题1．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）下列条件中能判断一个四边形是菱形的是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相平分且垂直D．对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角【答案】C【分析】根据菱形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不符合题意；B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，不符合题意；C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，符合题意；D、对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解答本题的关键．2．（2021·辽宁大连市·九年级二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（）A．2 B．23C．43D．8【答案】C【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°，OA=OD，再证明△AOD是等边三角形，得出OA=AD，求出AC，然后根据勾股定理即可求出CD，进而得出矩形面积即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，OA =12AC ，OD =12BD ，AC =BD ， ∴OA =OD ，∵∠AOD =60°，∴△AOD 是等边三角形，∴OA =AD =2，∴AC =2OA =4，∴CD =22224223AC AD -=-=，∴矩形的面积=AD •CD =43；故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．3．（2021·浙江杭州市·九年级其他模拟）已知，矩形ABCD 中，E 为AB 上一定点，F 为BC 上一动点，以EF 为一边作平行四边形EFGH ，点G ，H 分别在CD 和AD 上，若平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变，则应满足（ ）A ．4AD AE =B ．2=AD ABC ．2AB AE =D ．3AB AE = 【答案】C【分析】设AB a ，BC b =，BE c =，BF x =，由于四边形EFGH 为平行四边形且四边形ABCD 是矩形，所以AEH CGF ≅△△，BEF DGH ≅△△，根据()2EFGH ABCD AEH EBF S S S S =-+△△ ，化简后得()2a c x bc -+，F 为BC 上一动点，x 是变量，()2a c -是x 的系数，根据平EFGH S不会随点F 的位置改变而改变，为固定值，x 的系数为0，bc 为固定值，20a c -=，进而可得点E 是AB 的中点，即可进行判断．【详解】解：∵四边形EFGH 为平行四边形且四边形ABCD 是矩形，∴AEH CGF ≅△△，BEF DGH ≅△△，设AB a ，BC b =，BE c =，BF x =， ∴()2EFGH ABCD AEH EBF S S S S =-+△△ ()()11222ab a c b x cx ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦ ()ab ab ax bc cx cx =---++ab ab ax bc cx cx =-++--()2a c x bc =-+∵F 为BC 上一动点，∴x 是变量，()2a c -是x 的系数，∵EFGH S 不会随点F 的位置改变而改变，为固定值，∴x 的系数为0，bc 为固定值，∴20a c -=，∴2a c =，∴E 是AB 的中点，∴2AB AE =，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解决本题的关键．4．（2021·江苏南通市·九年级二模）如图1，四边形ABCD 中，//AB CD ，90B ∠=︒，AC AD =．动点Р从点B 出发，沿折线B A D C ---方向以a 单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，BCP 的面积S 与运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．75B ．80C ．85D ．90【答案】D【分析】先结合函数图象求出3,5AB a AD a ==，从而可得5AC a =，根据等腰三角形的三线合一、矩形的判定与性质可得26CD AB a ==，再利用勾股定理可得4BC a =，然后根据点P 运动到点D 时，利用三角形的面积公式可得a 2的值，最后根据直角梯形的面积公式即可得． 【详解】解：由函数图象可知，当3t =时，点P 运动到点A ；当8t =时，点P 运动到点D ， 3,(83)5AB a AD a a ∴==-=，AC AD =，5AC a ∴=，90B ∠=︒， 224BC AC AB a ∴=-=，//,90AB CD B ∠=︒，90BCD ∴∠=︒，即CD BC ⊥，如图，过点A 作AE CD ⊥于点E ，则四边形ABCE 是矩形，3CE AB a ∴==，,AC AD AE CD =⊥，26CD CE a ∴==（等腰三角形的三线合一），由函数图象可知，当点P 运动到点D 时，BCP 的面积为60，则1602BC CD ⋅=，即146602a a ⨯⋅=， 解得25a =， 则四边形ABCD 的面积是2364189022AB CD a a BC a a ++⋅=⋅==， 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、矩形的判定与性质、从函数图象获取信息等知识点，读懂函数图象是解题关键．二、填空题5．（2021·江苏镇江市·炎黄外国语学校九年级月考）如图，矩形纸片ABCD 中，已知16AD =，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且6EF =，则AB 的长为__________．【答案】12【分析】先根据矩形的性质求出BC 的长，再由翻折变换的性质得出△CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF 的长，再在△ABC 中利用勾股定理即可求出AB 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AD =16，∴BC =16，∵△AEF 是△AEB 翻折而成，∴BE =EF =6，AB =AF ，△CEF 是直角三角形，∴CE =16-6=10，在Rt △CEF 中，CF =2222106CE EF -=-=8，设AB =x ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2，即（x +8）2=x 2+162，解得x =12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．6．（2021·黑龙江佳木斯市·九年级三模）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，E 为BC 中点，F 为CD 上一动点，则AF EF +的最小值为______．【答案】35【分析】作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时AF EF+的值最小，根据矩形的性质和勾股定理得出AM的值即可【详解】解：作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时AF EF+的值最小，EF=MF；EC=MC，∴EF+AF=AM∵4BC=，E为BC中点，∴BE=CE=2，∴BM=6；在矩形ABCD中，3AB=，∴∠B=90°，∴22223536+===+A B BMM A；故答案为：35【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2021·宁夏银川市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），M是OA的中点，点P在BC边上运动．当PO=PM时，点P的坐标为______．【答案】（2.5，4）【分析】过P点作PD⊥OA，垂足为D，根据M是OA的中点，求出OM＝5，又知PO＝PM，PD⊥OA，于是求出OD＝12OM＝2.5，P点的坐标即可求出．【详解】如图，过P点作PD⊥OA，垂足为D，∵M是OA的中点，故OM＝5，∵PO ＝PM ，PD ⊥OA ，∴OD ＝12OM ＝2.5， 故P 点坐标为（2.5，4），故答案为：（2.5，4）．【点睛】本题主要考查矩形的性质和等腰三角形的性质的知识点，解题的关键是根据题意作图，利用等腰三角形的性质求解．8．（2021·哈尔滨市第六十九中学校九年级三模）已知矩形ABCD ，点E 在AD 边上，DE AE >，连接BE ，将ABE △沿着BE 翻折得到BFE △，射线EF 交BC 于G ，若点G 为BC 的中点，1FG =，6DE =，则AE 的长______．【答案】1【分析】先设AE EF x ==，根据6DE =，1FG =，可得6AD x BC =+=，1EG x =+，再根据GEB GBE ∠=∠，可得EG BG =，进而得出方程612x x ++=，即可得到AE 的长． 【详解】解：设AE EF x ==， 6DE =，1FG =，6AD x BC ∴=+=，1EG x =+，又G 为BC 的中点，1622x BG BC +∴==， 由折叠可得，AEB GEB ∠=∠，由//AD BC ，可得AEB GBE ∠=∠，GEB GBE ∴∠=∠，EG BG ∴=，612x x +∴+=， 解得4x =，即4AE =，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．（2021·浙江杭州市·九年级二模）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，点E 、F 分别是AB 和CD 的中点，H 为BC 上的一点，现将△ABH 沿AH 折叠，使点B 落在直线EF 上的点G ．当△ADG 为等腰三角形时，AD ＝_______．【答案】133 【分析】分类考虑△ADG 为等腰三角形当DG=AG 时，利用矩形性质可得IG ＝AE ＝12AB ＝12，根据折叠性质可得AG ＝AB ＝1，结合勾股定理可求AI 3 当AG=DG 时利用折叠性质AD ＝AG ＝AB ＝1；当AD=AG 时； 由勾股定理EG 3AD ＝DG ＝x ，可得FG ＝x 3DG 2＝DF 2+GF 2，构造方程x 2＝14+（x ﹣322，可求AD 3 【详解】解：①AG ＝DG ，作GI ⊥AD ，∴I为AD中点，AD＝2AI，∵点E、F分别是AB和CD的中点，AB＝1，∴在矩形ABCD中，EF∥AD∥BC，即∠DAE＝∠AEF＝∠EFD＝∠ADF＝90°，四边形AEFD为矩形，∴IG＝AE＝12AB＝12，∵△ADG由△ABH沿AH折叠而成，∴AG＝AB＝1，∴AI2213 142AG AE-=-=，∴AD＝2AI3②AD＝AG，∴AD＝AG＝AB＝1，③AD＝DG，EG2213 14AG AE-=-=，设AD＝DG＝x，∴FG＝x3连接DG，∵DG2＝DF2+GF2，∴x2＝14+（x﹣32）2，化简得1﹣3x＝0，解得x＝33，∴AD＝33，故答案为：1或3或33．【点睛】本题考查等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理，掌握等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理是解题关键．10．（2021·湖北孝感市·九年级二模）如图，将矩形纸片ABCD（AD AB>）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．若3AB=，9BC=，则线段CE的最大值与最小值的和是_____．【答案】8【分析】由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得△EFG是等腰三角形，即可得GF＝EC，又由GF//EC，即可得四边形CEGF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形；当F 与D重合时，CE取最小值，可得CE＝CD＝AB＝3；当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE＝CE，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF＝∠FEC，∴GF＝GE，∴GE ＝EC ，∴四边形CEGF 为平行四边形，∴四边形CEGF 为菱形；如图1，当F 与D 重合时，CE 取最小值，∴CE ＝CD ＝AB ＝3；如图2，当G 与A 重合时，CE 取最大值，由折叠的性质得AE ＝CE ，∵∠B ＝90°，∴AE 2＝AB 2＋BE 2，即C E 2＝32＋（9−CE ）2，∴CE ＝5，∴线段CE 的最小值为3，最大值为5，和为8故答案为：8．【点睛】本题考查了翻折变换−折叠问题，菱形的判定，线段的最值问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．11．（2021·安徽合肥市·九年级三模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE AC =，15BAE ∠=︒，则COE ∠的大小为______．【答案】75°【分析】根据等腰直角三角形的性质得到45CAE AEC ∠=∠=︒，根据直角三角形的性质得到12CO BO AO AB ===，得到AOC △为等边三角形，30OCB B ∠=∠=︒，进一步计算即可得出结论． 【详解】解：∵90ACB ∠=︒，CE AC =，∴45CAE AEC ∠=∠=︒，∵15BAE ∠=︒，∴60CAB ∠=︒，∴=30B ∠︒，∵90ACB O ∠=︒，为AB 的中点，∴12CO BO AO AB ===， ∴AOC △是等边三角形，30OCB B ∠=∠=︒，∴AC OC CE ==，∴1(18030)752COE CEO ∠=∠=︒-︒=︒， 故答案为：75︒．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题12．（2021·贵州中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点M 在DC 上，AM AB =，且BN AM ⊥，垂足为N ．（1）求证：ABN MAD ≌；（2）若2,4AD AN ==，求四边形BCMN 的面积．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）由矩形的性质可得∠D =90°，AB ∥CD ，从而得∠D =∠ANB ，∠BAN =∠AMD ，进而即可得到结论；（2）由ABN MAD ≌以及勾股定理得AN =DM =4，AB =【详解】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，∴∠D =90°，AB ∥CD ，∴∠BAN =∠AMD ，∵BN AM ⊥，∴∠ANB =90°，即：∠D =∠ANB ，又∵AM AB =，∴ABN MAD ≌（AAS ），（2）∵ABN MAD ≌，∴AN =DM =4，∵2AD =，∴AM ==∴AB =∴矩形ABCD 的面积= 又∵12442ABN MAD S S ==⨯⨯=，∴四边形BCMN 的面积．【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS 证明三角形全等，是解题的关键．13．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OAB 是等边三角形，4AB =．（1）求证：ABCD 是矩形；（2）求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）43【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得11,22====OA OC AC OB OD BD ，再根据等边三角形的性质可得OA OB =，从而可得AC BD =，然后根据矩形的判定即可得证；（2）先根据等边三角形的性质可得4OB AB ==，从而可得8BD =，再根据矩形的性质可得90BAD ∠=︒，然后在Rt ABD △中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，11,22OA OC AC OB OD BD ∴====， OAB 是等边三角形，OA OB ∴=，AC BD ∴=，ABCD ∴是矩形；（2）OAB 是等边三角形，4AB =，4OB AB ∴==，28BD OB ∴==，由（1）已证：ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，则在Rt ABD △中，22228443AD BD AB =--=【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．14．（2021·山东滨州市·九年级其他模拟）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF AB ⊥，//OG EF ．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若13AD =，5EF =，求OE 和BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）6.51369- 【分析】（1）根据条件先判断四边形OEFG 为平行四边形，由EF AB ⊥即可证明四边形OEFG 是矩形；（2）由菱形的性质和三角形的中位线定理可直接得OE 的长，解Rt AEF 求得AF ，又FG OE =，根据BG AB AF FG =--即可求得．【详解】解:（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴点O 为BD 的中点，∵点E 为AD 中点，∴OE 为ABD △的中位线，∴//OE FG ，∵//OG EF ，∴四边形OEFG 为平行四边形∵EF AB ⊥，∴平行四边形OEFG 为矩形（2）∵点E 为AD 的中点，13AD =，∴ 6.5AE =∵90EFA ∠=︒，5EF =，∴在Rt AEF 中，2222696.552AF AE EF =-=-=∵四边形ABCD 为菱形，∴13AB AD ==，∴1 6.52OE AB == ∵四边形OEFG 为矩形，∴ 6.5FG OE ==， ∴13692BG AB AF FG =-=--． 【点睛】本题考查了矩形的判定定理，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上定理是解题的关键． 题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·安徽中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=︒，过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ，BC 的垂线，交各边于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．33B ．223+C ．23+D ．123+【答案】A 【分析】依次求出OE =OF =OG =OH ，利用勾股定理得出EF 和OE 的长，即可求出该四边形的周长．【详解】∵HF ⊥BC ,EG ⊥AB ,∴∠BEO =∠BFO =90°，∵∠A =120°，∴∠B =60°，∴∠EOF =120°，∠EOH =60°，由菱形的对边平行，得HF ⊥AD ,EG ⊥CD ，因为O 点是菱形ABCD 的对称中心，∴O 点到各边的距离相等，即OE =OF =OG =OH ，∴∠OEF =∠OFE =30°，∠OEH =∠OHE =60°，∴∠HEF =∠EFG =∠FGH =∠EHG =90°，所以四边形EFGH 是矩形；设OE =OF =OG =OH =x ，∴EG =HF =2x ，()2223EF HG x x x ==-=，如图，连接AC ，则AC 经过点O ，可得三角形ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，AC =AB =2,∴OA =1,∠AOE =30°，∴AE =12， ∴x =OE =2213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴四边形EFGH 的周长为EF +FG +GH +HE =332322323322x x +=⨯+⨯=+, 故选A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．2．（2021·山东济宁市·九年级二模）如图，在矩形ABCD 中，AD 2，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④AB ＝HF ，其中正确的有（ ）。
八年级第3讲：矩形的性质与判定方法
初二寒假讲义3 矩形的性质与判定 2019.1.26【知识点梳理】1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2 . 矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.（2）矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；矩形也是轴对称图形，矩形有 条对称轴，是经过对边中点的直线.（3）矩形的四个角都是 ，矩形的对角线 . 3. 矩形的面积：矩形的面积等于的 乘积.4. 矩形与三角形的关系：矩形被它的一条对角线分成一对全等的 三角形， 矩形被它的两条对角线分成两对全等的 三角形，这四个三角形面积相等. 5、矩形的判定方法：(1).有一个角是 的平行四边形叫做矩形，矩形通常也叫长方形； （2）四个角都是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形；6．直角三角形斜边中线定理：【问题探究】知识点1. 矩形性质的应用：例1：如图、ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5，在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK. （1）若∠1=70°，求∠MKN 的度数；（2）△MNK 的面积能否小于1/2，若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你探究可能出现的情况，求最大值。
BA DB A知识点2.矩形的面积：例题2：如图 ，矩形ABCD 中，AB ＝8㎝，CB ＝4㎝， E 是DC 的中点，BF ＝41BC ，则四边形DBFE 的面积 为 2cm ．知识点3..矩形折叠问题例题3：把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ， BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．知识点4：矩形的判定方法：例题4：如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠ACB 的角平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F 。
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矩形的性质与判定讲义
复习巩固：平行四边形的性质与判定。
知识要点：矩形的定义；矩形的性质；矩形的判定方法。
典型例题：
1．矩形的对边 是 ，对角线 且 ，四个角都是 。
2．矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。
3．如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。
4．平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）
A 、对角线相等
B 、对角线互相垂直
C 、对角线互相平分
D 、对角相等
5．下列叙述错误的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分。
B.平行四边形的四个内角相等。
C.矩形的对角线相等。
D.有一个角时90º的平行四边形是矩形
6．若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .
7．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ）
A 、5cm
B 、7.5cm
C 、10cm
D 、12.5cm
8、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A 、平行四边形
B 、等边三角形
C 、矩形
D 、直角三角形
9. 下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）
A 、对边相等
B 、对角相等
C 、对角线相等
D 、对边平行
10. 在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠ACB=__ _
11.已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______ （13）
12.矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，
对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________
13.如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠BAE=30°，BE=1cm ，那么DE 的长为_____
14.直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为___
15.已知，在Rt △ABC 中，BD 为斜边AC 上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= 。
16. 平行四边形ABCD ，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形
17. 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且AF ⊥BC ，
求证：四边形AFCE 是矩形
18. 已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH
为矩形．
19. 如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，
(1)求证：OE=OF；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结。