第六章(曲线插值)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11
4.1 拉格朗日插值
构造各个插值节点上的基函数 li(x)(i=0,1,…,n) 满足如下条件
xi
x0
x1
x2
xn
l0 (x)
1
0
0
0
l1 ( x)
0
1
0
0
ln (x)
0
0
0
1
12
4.1 拉格朗日插值
求n次多项式lk(x)(i=0,1,…,n)， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
计算机图形学基础
Computer Graphics
第六章 自由曲线和曲面
赵东保 华北水利水电学院
2011.9
1 概述
自由曲线和曲面是指那些形状比较复杂、不 能用初等解析函数直接表示出来的曲线和曲 面。汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲 线和曲面均属于这一类。一般情况下，它们 需要利用插值或逼近的方法，对型值点进行 拟合，得到拟合曲线和曲面。
9
4.1 拉格朗日插值
此方程组的系数行列式为
1 x0 x02
1 D
x1
x12
x0n
x1n
( xi x j )
0 jin
1 xn xn2 xnn
上式即为范得蒙行列式，由于插值结点xi互不相同，
故D 0 ，则Pn(x)可由a0, a1,…, an唯一确定。
10
4.1 拉格朗日插值
上述多项式插值方法需要解算方程组，而 拉格朗日插值公式的基本思想是，把pn(x) 的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数 li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
插值方法要求生成的曲线通过每个给定的型值点。 拟合方法要求生成的曲线靠近每个型值点，但不一
定要求通过每个点。
5
4 插值方法
选用不同类型的插值函数，逼近的效果就 不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）Hermite插值 （3）三次样条插值
6
4.1 拉格朗日插值
已 知 函 数 y=f(x) 在 n+1 个 互 不 相 同 的 点 处 的 函 数 值 yi =f(xi),i=0,1,…,n ，为求得y=f(x)的近似表达式，容易 想到的是选择n次多项式
l1 ( x)
源自文库
x x0 x1 x0
则有：
P1( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
满足插值条件。
15
4.1 拉格朗日插值
P1(x)可以改写为
线性插值多项式
故线性插值多项式的几 何含义就是构造过插值 节点的一条线段
16
4.1 拉格朗日插值
当n=2时，为抛物线插值：
记
f ( x) ( x) ( xi ) f ( xi ) （i = 0, 1, …, n）
'( xi ) f '( xi )
(2) ( xi ) f (2) ( xi )
(
m
)
(
xi
)
f (m) ( xi )
满足函数值相等且导数也相等的插值方法称为埃尔米
特（Hermite插值）
满足插值条件。
17
4.1 拉格朗日插值
抛物线插值多项式的几
何含义就是从几何上看
P2(x)
就是用通过三点抛物线
函数P2(x)近似代替原始 被插函数f(x)。
抛物线插值多项式
18
4.2 埃尔米特插值
在实际应用中，不仅要求插值函数与被插函数在节 点上函数值相等，而且要求若干阶导数也相等，如 机翼设计等。
8
4.1 拉格朗日插值
设所要构造的插值多项式为：
Pn( x) a0 a1 x a2 x2 an xn
由插值条件
Pn( xi ) yi
i 0, 1,, n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1 a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
x x0 x1 y y0 y1
xn1 xn yn1 yn
根据这些已知数据来构造原始函数y=f(x)的近似 表达式，并尽可能逼近它，从而反映这些数据所 隐含的函数变化规律。
4
3 插值与拟合
在计算机图形学中，与上述相对应的问题即是自由 曲线的生成：给出一组有序的型值点列，根据应用
要求求得一条光滑曲线，使其尽可能逼近原始函数 曲线，通常采用两种方法，即插值和拟合。
2
2 曲线的参数表示
曲线的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
归一化处理：为了方便起见，可以将参数t的范围区 间规范化成[0，1]。
参数化表示比显式、隐式有更多的优点！ 参数化表示方式易于用矢量和矩阵运算，对曲率、 斜率等的计算也有别于传统方式。
3
3 插值与拟合
设已知某个函数关系 y f (x)在某些离散点上的函 数值：
Pn (x) a0 a1x a2x2 an xn 使Pn(x) 满足条件 Pn(xi ) yi , i 0, 1, ,n
函 数 y=f(x) 称 为 被 插 函 数 ， x0,x1,x2,…,xn 被 称 为 插 值 节点，条件式被称成为插值条件。
7
4.1 拉格朗日插值
插 值 多 项 式 的 几 何 意 义 实 质 上 是 将 通 过 n+1 个 点 (xi,yi),i=0,1,2,…,n的多项式曲线当作被插函数曲线 y=f(x)的近似曲线。
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
l1 ( x)
(x ( x1
x0 x0
)(x x2 ) )(x1 x2 )
l2
(x)
(x ( x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
则有：P2 (x) l0 ( x) y0 l1(x) y1 l2 (x) y2
ki ki
则
n
Pn ( xi ) yklk ( xi ) yi i = 0, 1, 2,…, n k 1
即 Pn(x) 满足插值条件
13
4.1 拉格朗日插值
根据lk(x) 的表达式，xk 以外所有的结点都是lk(x) 的根
lk
(
x)
(
( xk
x
x0 )( x x1 )( x xk1 )( x xk1 )( x x0 )( xk x1 )( xk xk1 )( xk xk1 )(
xn xk
) xn
)
n
x xj
j0 xk x j
jk
从而得n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：
Pn( x)
n
lk ( x)yk
k0
n
k0
n
j0 jk
x xk
xj xj
yk
14
4.1 拉格朗日插值
特别地，当n=1时，为线性插值：
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
4.1 拉格朗日插值
构造各个插值节点上的基函数 li(x)(i=0,1,…,n) 满足如下条件
xi
x0
x1
x2
xn
l0 (x)
1
0
0
0
l1 ( x)
0
1
0
0
ln (x)
0
0
0
1
12
4.1 拉格朗日插值
求n次多项式lk(x)(i=0,1,…,n)， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
计算机图形学基础
Computer Graphics
第六章 自由曲线和曲面
赵东保 华北水利水电学院
2011.9
1 概述
自由曲线和曲面是指那些形状比较复杂、不 能用初等解析函数直接表示出来的曲线和曲 面。汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲 线和曲面均属于这一类。一般情况下，它们 需要利用插值或逼近的方法，对型值点进行 拟合，得到拟合曲线和曲面。
9
4.1 拉格朗日插值
此方程组的系数行列式为
1 x0 x02
1 D
x1
x12
x0n
x1n
( xi x j )
0 jin
1 xn xn2 xnn
上式即为范得蒙行列式，由于插值结点xi互不相同，
故D 0 ，则Pn(x)可由a0, a1,…, an唯一确定。
10
4.1 拉格朗日插值
上述多项式插值方法需要解算方程组，而 拉格朗日插值公式的基本思想是，把pn(x) 的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数 li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
插值方法要求生成的曲线通过每个给定的型值点。 拟合方法要求生成的曲线靠近每个型值点，但不一
定要求通过每个点。
5
4 插值方法
选用不同类型的插值函数，逼近的效果就 不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）Hermite插值 （3）三次样条插值
6
4.1 拉格朗日插值
已 知 函 数 y=f(x) 在 n+1 个 互 不 相 同 的 点 处 的 函 数 值 yi =f(xi),i=0,1,…,n ，为求得y=f(x)的近似表达式，容易 想到的是选择n次多项式
l1 ( x)
源自文库
x x0 x1 x0
则有：
P1( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
满足插值条件。
15
4.1 拉格朗日插值
P1(x)可以改写为
线性插值多项式
故线性插值多项式的几 何含义就是构造过插值 节点的一条线段
16
4.1 拉格朗日插值
当n=2时，为抛物线插值：
记
f ( x) ( x) ( xi ) f ( xi ) （i = 0, 1, …, n）
'( xi ) f '( xi )
(2) ( xi ) f (2) ( xi )
(
m
)
(
xi
)
f (m) ( xi )
满足函数值相等且导数也相等的插值方法称为埃尔米
特（Hermite插值）
满足插值条件。
17
4.1 拉格朗日插值
抛物线插值多项式的几
何含义就是从几何上看
P2(x)
就是用通过三点抛物线
函数P2(x)近似代替原始 被插函数f(x)。
抛物线插值多项式
18
4.2 埃尔米特插值
在实际应用中，不仅要求插值函数与被插函数在节 点上函数值相等，而且要求若干阶导数也相等，如 机翼设计等。
8
4.1 拉格朗日插值
设所要构造的插值多项式为：
Pn( x) a0 a1 x a2 x2 an xn
由插值条件
Pn( xi ) yi
i 0, 1,, n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1 a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
x x0 x1 y y0 y1
xn1 xn yn1 yn
根据这些已知数据来构造原始函数y=f(x)的近似 表达式，并尽可能逼近它，从而反映这些数据所 隐含的函数变化规律。
4
3 插值与拟合
在计算机图形学中，与上述相对应的问题即是自由 曲线的生成：给出一组有序的型值点列，根据应用
要求求得一条光滑曲线，使其尽可能逼近原始函数 曲线，通常采用两种方法，即插值和拟合。
2
2 曲线的参数表示
曲线的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
归一化处理：为了方便起见，可以将参数t的范围区 间规范化成[0，1]。
参数化表示比显式、隐式有更多的优点！ 参数化表示方式易于用矢量和矩阵运算，对曲率、 斜率等的计算也有别于传统方式。
3
3 插值与拟合
设已知某个函数关系 y f (x)在某些离散点上的函 数值：
Pn (x) a0 a1x a2x2 an xn 使Pn(x) 满足条件 Pn(xi ) yi , i 0, 1, ,n
函 数 y=f(x) 称 为 被 插 函 数 ， x0,x1,x2,…,xn 被 称 为 插 值 节点，条件式被称成为插值条件。
7
4.1 拉格朗日插值
插 值 多 项 式 的 几 何 意 义 实 质 上 是 将 通 过 n+1 个 点 (xi,yi),i=0,1,2,…,n的多项式曲线当作被插函数曲线 y=f(x)的近似曲线。
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
l1 ( x)
(x ( x1
x0 x0
)(x x2 ) )(x1 x2 )
l2
(x)
(x ( x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
则有：P2 (x) l0 ( x) y0 l1(x) y1 l2 (x) y2
ki ki
则
n
Pn ( xi ) yklk ( xi ) yi i = 0, 1, 2,…, n k 1
即 Pn(x) 满足插值条件
13
4.1 拉格朗日插值
根据lk(x) 的表达式，xk 以外所有的结点都是lk(x) 的根
lk
(
x)
(
( xk
x
x0 )( x x1 )( x xk1 )( x xk1 )( x x0 )( xk x1 )( xk xk1 )( xk xk1 )(
xn xk
) xn
)
n
x xj
j0 xk x j
jk
从而得n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：
Pn( x)
n
lk ( x)yk
k0
n
k0
n
j0 jk
x xk
xj xj
yk
14
4.1 拉格朗日插值
特别地，当n=1时，为线性插值：
记
l0 (x)
x x1 x0 x1