第六章(曲线插值)
第六章插值法
(6.1)
则称 y ( x )为函数 f ( x ) 的插值多项式, 称
[ a , b ] 为插值区间,
条件(6.1)称为插值条件, x i 称为插值节点。 几何意义如图所示。由插值函数的定义可知求插值多项 式 y ( x )，即是使曲线 y y ( x ) 与曲线 y f ( x ) 在平面上有 n+1个交点 ( x , f ( x ))， i 0,1, 2, , n
解
1. 线性插值
L1 ( x ) x9 49 2 x4 94 3 2 5 ( x 9) 3 5 ( x 4)
7 L1 ( 7 )
2 5
(7 9)
3 5
(7 4)
13 5
2 .6
2. 抛物插值
7 L 2 (7 ) ( 7 9 )( 7 16 ) ( 4 9 )( 4 16 ) 2 ( 7 4 )( 7 16 ) ( 9 4 )( 9 16 ) 3 ( 7 4 )( 7 9 ) (16 4 )( 16 9 ) 4
4
该线性方程组的系数行列式是Vandermonde行列式
1 1 1 x0 x1 xn x0 x1 xn
2 2 2
x0 x1
n n
0i j n
( x j xi点是相异的节点,故该系数行列式不等于0。由Cramer 法则，方程组有一组唯一的解 a 0 , a1 , , a n 求出方程组的解就得到了插值多项式，称之为待定系数法。但 当节点数较多时，求解方程组的工作量和产生的误差都比较大。 由插值多项式的唯一性，可以利用更简便实用并可行的方法来 构造插值多项式。 5
第六章 插值法
二、Newton 插值多项式(n次)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 ) f ( x0 , x1 , x2 )( x x0 )( x x1 )
f ( x0 , x1 ,, xn )( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
f ( x0 , x1 )
f ( x1 , x2 ) f ( x0 , x1 , x2 ) f ( x2 , x3 ) f ( x1 , x2 , x3 ) f ( x 3 , x 4 ) f ( x 2 , x 3 , x4 )
f ( x k 1 , x k ) f ( x k 2 , x k 1 , x k )
x
1 1 2
y
一阶差商 二阶差商
2 3 1
1 2 2
5 6
N 2 x f ( x0 ) f ( x0 , x1 ) x x0 f ( x0 , x1 , x2 ) x x0 x x1
1 x 1 5 x 1 x 1 2 2 6
差分表6-2
xi x0 x1 x2 f ( xi ) f0 f1 f1 f2 f 2 x3 x4 xn f3 f4 f n1 2 f 2 f f 0 2 f 3 f 4 f n f
f0
f 0
前插的系数
2 ff 0 2 0 2 f1 0 3 ff 0 f 3 f1 3
解：设 0 1, x1 1, x2 2 x
x x1 x x2 x 1 x 2 1 2 l0 x ( x 3 x 2) x0 x1 x0 x2 1 1 1 2 6 1 2 x x0 x x2 x 1 x 2 l1 x ( x x 2) x1 x0 x1 x2 1 11 2 2 x x0 x x1 x 1 x 1 1 2 l2 x ( x 1) x2 x0 x2 x1 2 12 1 3
2-1一二次曲线插值及曲线拟合2
大家知道，船体型线图是通过船体三组不同的剖面 投影得来的，是一组三向光顺的曲线。 这些曲线是船舶建造的基础，在数学放样大量应用以 前，主要是采用手工放样，这样的劳动强度大，误差大， 大大阻碍了造船工业的发展。从本世纪60年代初成功研究 出了应用计算机进行数学放样，大大推动了造船向数字化、 自动化发展。 本课题要讨论的主要内容是：如何根据给定的型值 生成需要的型线。
2 y x 如对于函数 ，其曲线经过点 (1,1), (0,0), (1,1) ，但是反过
来我们不能说通过上述3点的曲线就是 y x 2 ，我们知道， 也过上面的 个点。 ( y 1) 2 1 y x x 23
所谓曲线插值就是选择的函数（曲线）表达式点点通 过已知型值点 。
也显然有： N0 ( x0 ) 1, N0 ( x1 ) 0, N0 ( x2 ) 0
N1 ( x1 ) 1, N1 ( xபைடு நூலகம் ) 0, N1 ( x2 ) 0 N 2 ( x2 ) 1, N 2 ( x0 ) 0, N 2 ( x1 ) 0
满足通过三点 的条件。
由
p( x) N0 ( x) y0 N1 ( x) y1 N2 ( x) y2
p(2.3) 0.368 10.6 1.077 15.2 0.291 20.3
得
18.377
p ( x ) f ( x)
因
故
N0 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) N1 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) N 2 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
第6讲(1)插值
8
其中 Ai 为待定系数，利用li ( xi ) = 1可解得：
Ai = ( xi − x0 )
1 ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 )
(xi − xn )
从而
∏ li ( x) =
j≠i
x − xj xi − x j
基本插值函数 (插值基函数)
9
2-2 Lagrange 插值多项式
数类，插值函数 P( x) 满足 P( xi ) = yi (i = 0, , n) ， 即
a0ϕ0 ( xi ) + a1ϕ1 ( xi ) + + anϕn ( xi ) = yi , i = 0, , n
6
若插值基函数{ϕ
i
(
x
)}n i=
0
线性无关，则上述方程组
有唯一的解{ai
}n i=
0
(3)
P(xk ) = I1,
,n ( xk
)
xk x1
− xn+1 − xn+1
+
I2,
,n+1 ( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f
( xk
)
xk x1
− −
xn +1 xn +1
+
f
( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f (xk )
(2 ≤ k ≤ n)
23
注 由上述性质可知， P(x) 是 f (x) 的关于节点 x1, , xn+1的 n 次插值多项式. 它实质上是对两个 n −1次的插值多项式，再经过线性插值求出的.
数值分析第六章_数值插值方法
M n1 (n 1)!
n1 ( x)
说明：
n=1时，
R1 ( x)
1 2
f
( )2 (x)
1 2
f
( )(x
x0 )(x
x1)
n=2时，
( [x0 , x1])
R2 (x)
1 6
f
( )(x
x0 )(x
x1)(x
x2 )
( [x0 , x2 ])
,
x1,
Hale Waihona Puke xn)1
x1
x12
x1n
n
( xi
ni j1
xj)
1 xn xn2 xnn
因 xi x j (i j) 故上式不为0。
据Cramer法则，方程组解存在且唯一。 故Pn (x)存在且唯一。虽然直接求解上述方程组 可求得插值多项式，但繁琐复杂，一般不用。
得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
a0 a1x0 a0 a1x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1xn an xnn yn
其系数行列式是Vandermonde行列式
1 x0 x02 x0n
V
( x0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
2. 抛物插值：n=2情形
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2) y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
曲线插值
2 曲线的参数表示
曲线的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
归一化处理：为了方便起见，可以将参数t的范围区 间规范化成[0，1]。
参数化表示比显式、隐式有更多的优点！ 参数化表示方式易于用矢量和矩阵运算，对曲率、 斜率等的计算也有别于传统方式。
3
3 插值与拟合
设已知某个函数关系 y f (x)在某些离散点上的函 数值：
11
4.1 拉格朗日插值
构造各个插值节点上的基函数 li(x)(i=0,1,…,n) 满足如下条件
xi
x0
x1
x2
L
xn
l0 (x)
1
0
0
L
0
l1 ( x)
0
L
L
1
0
L
L
L
0
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
12
4.1 拉格朗日插值
求n次多项式lk(x)(i=0,1,…,n)， k = 0, 1,…, n
29
5.1 五点光滑法
设每两个数据点的三次多项式为：
y ax3 bx2 cx d
插值条件为：
yi f (xi )
yi1 f ( xi1)
y(
xi
)
ti
y( xi1) ti1
由此可以对每一个原始等高线的折线段求出一组a,b,c,d四个 参数，构建一个三次多项式，实现光滑。
30
5.1 五点光滑法
19
4.2 埃尔米特插值
一般来说，给定 m+1 个插值条件，就可以构造出一 个 m 次 Hermite 插值多项式
两个典型的 Hermite 插值
第六章 插值法
返回
前进
y n (x)
y f (x)
y0 x0 x1 y1 x2 y2 yn x xn
因此，所谓插值，即是在x0,x1,…,xn中任意插入一个x， 要求对应的f (x)，具体做法是按上述方法构造n(x)以 n(x)近似f (x)。 -
返回
前进
插值法是求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的 基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在 进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也 有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计 节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图5-2所示。
n
(5 -1)
( 5 - 2)
使其满足在给定点处与f(x)相同，即满足插值条件：
(i 0,1,2,, n)
n(x)称为插值多项式，xi(i=0,1,2,…,n)称为插值节点， [a,b]称为插值区间。
从几何上看（如图5-1所示），n次多项式插值就是 过n+1个点yi = f (xi)(i=0,1,…,n)，作一条多项式曲线 y = (x)近似曲线y = f (x) :
a
积分I是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且 使之离散化能上机计算求出积分I，都要用到插值逼近。
返回
代数插值
前进
解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离 散点(xi,f (xi)) (i = 0,1,2,…,n)，选定一个便于计算的函 数形式(x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三 角函数等，要求(x)通过点(xi)=f (xi) (i = 0,12,…,n), 由此确定函数(x)作为f (x)的近似。这就是插值法。 另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似 函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点 上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合 法，将在下一章介绍。 本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及 其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定 函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式 函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘 等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。
第六章 函数的插值方法
习题6.11. 求三个一次多项式)(x g 、)(x h 和)(x f 的积)()()(x h x g x f ⋅⋅.它们的零点分别为0.2,0.5,1.3.2. 求多项式9425)(25-+-=x x x x g 被736)(2+-=x x x f 相除后的结果. 习题6.21. 已知函数)(x f 在]7,1[上具有二阶连续导数，5)("≤x f ，且满足条件12)7(,1)1(==f f .求线性插值多项式和函数值)5.3(f ，并估计其误差.2. 求函数=)(x f e x 3-在]4,0[上线性插值多项式，并估计其误差.3. 求将区间 [π/6, π/2] 分成n 等分)2,1(=n ，用x x f y sin )(==产生1+n 个节点，然后根据（6.9）和（6.13）式分别作线性插值函数)(1x P和抛物线插值函数)(2x P .用它们分别计算sin (π/5) (取四位有效数字)，并估计其误差.4.给出节点数据00.27)00.3(=-f ，00.1)00.0(=f ，00.2)00.1(=f ，00.17)00.2(=f ，作三次拉格朗日插值多项式计算)4.1(f ，并估计其误差.5. 给出节点数据03.37)15.3(=-f ，24.7)00.1(=-f ，05.1)01.0(=f ，03.2)02.1(=f ， 06.17)03.2(=f ，05.23)25.3(=f 作五次拉格朗日插值多项式和基函数，并写出估计其误差的公式.6. 已知5.030sin = ，7071.045sin = ，190sin = ，求 40sin 的近似值，并估计其误差.习题6.31. 已知函数)(x f 在]7,1[上具有二阶连续导数，5)("≤x f ，且满足条件12)7(,1)1(==f f .求一阶牛顿插值多项式和函数值)5.3(f ，并估计其误差.2. 求函数=)(x f e x 3-在]4,0[上六阶牛顿插值多项式和估计误差的公式.3. 将区间 [π/6, π/2] 分成n 等分)2,1(=n ，用x x f y sin )(==产生1+n 个节点，求二阶和三阶牛顿插值多项式)(2x P 和)(3x P .用它们分别计算sin (π/7) (取四位有效数字)，并估计其误差.4.给出节点数据00.27)00.3(=-f ，00.1)00.0(=f ，00.2)00.1(=f ，00.17)00.2(=f 作三阶牛顿插值多项式计算)4.1(f ，并估计其误差.5. 给出节点数据03.37)15.3(=-f ，24.7)00.1(=-f ，05.1)01.0(=f ，03.2)02.1(=f ， 06.17)03.2(=f ，05.23)25.3(=f 作五阶牛顿插值多项式和差商，并写出估计其误差的公式.6. 已知5.030sin = ，7071.045sin = ，190sin = ，用牛顿插值法求 40sin 的近似值，并估计其误差.习题6.41. 给定函数)(x f 在点4/,6/10π=π=x x 处的函数值5.0)(0=x f ，1707.0)(1=x f 和导数值0866.0)(0'=x f ，1707.0)(1'=x f ，且1)()4(≤x f ，求函数)(x f 在点10,x x 处的3阶埃尔米特插值多项式)(3x H 和误差公式.2. 求函数=)(x f e x 3-在]4,0[上五阶埃尔米特插值多项式，并估计其误差.3. 将区间 [π/6, π/2] 分成n 等分)2,1(=n ，用x x f y sin )(==产生1+n 个节点，然后根据（6.42）和（6.44）式分别作埃尔米特插值多项式及其误差公式.用它们分别计算sin (π/5) (取四位有效数字)，并估计其误差.4.给出节点数据00.27)00.3(=f ，00.1)00.1(=f ，00.2)00.1('=f ，00.17)00.3('=f 作埃尔米特插值多项式，计算)4.1(f ，并估计其误差. 5. 给出节点数据03.37)15.3(=-f ，24.7)00.1(=-f ，05.1)01.0(=f ，03.2)15.3('=-f ，06.17)00.1('=-f ，05.23)01.0('=f 作埃尔米特插值多项式，并写出估计误差的公式.6. 已知5.030sin = ，1707.045sin = ，190sin = ，0866.0)(0'=x f ，1707.0)(1'=x f ，0000.0)(0'=x f ，且1)()6(≤x f ，作埃尔米特插值多项式，求40sin 的近似值，并估计其误差.习 题6.5 1. 作函数22511)(x x f +=在区间]5,5[-上的n 次拉格朗日插值多项式)(x L n 的图形)10,8,6,4,2(=n ，并讨论插值多项式)(x L n 的次数与误差)(x R n 的关系. 2. 设函数)2514cos 3sin()(2x x x f +-=定义在区间],[ππ-上，取13=n ，按等距节点求分段线性插值函数)(x S n ，并用MA TLAB 程序计算各小区间中点处)(x S n 的值及其相对误差. 3. 设函数211)(x x f +=定义在区间]5,5[-上，取10=n ，按等距节点构造分段线性插值函数)(x S n ，用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(x S n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(x S n 的图形.4. 设函数)12sin(15.0)(2--=x x x f 定义在区间],[ππ-上，取7=n ，按等距节点构造分段线性插值函数)(x S n ，用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(x S n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(x S n 的图形.5. 设函数))432sin 3tan(cos()(2x x x f ++=定义在区间],[ππ-上，取10=n ，按等距节点构造分段线性插值函数)(x S n . (1)用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(x S n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(x S n 的图形；(2) 并用MA TLAB 程序计算各小区间中点处)(x S n 的值及其相对误差；(3) 用MATLAB 程序估计)(max "x f x π≤≤π-和)(x S n 在区间],[ππ-上的误差限.习 题6.61. 作函数22511)(x x f +=在区间]5,5[-上的分段埃尔米特插值函数)(3,x H n 的图形（按等距节点，分别取)10,8,6,4,2=n ，并讨论分段埃尔米特插值函数)(3,x H n 的次数与误差)(x R n 的关系.2. 设函数)2514cos 3sin()(2x x x f +-=定义在区间],[ππ-上，取13=n ，按等距节点构造分段埃尔米特插值函数)(3,x H n ，并用MATLAB 程序计算各小区间中点处)(3,x H n 的值及其相对误差和绝对误差.3. 设函数211)(x x f +=定义在区间]5,5[-上，取10=n ，按等距节点构造分段埃尔米特插值函数)(3,x H n ，用MATLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(3,x H n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(3,x H n 的图形. 4. 设函数)12sin(15.0)(2--=x x x f 定义在区间],[ππ-上，取7=n ，按等距节点构造分段埃尔米特插值函数)(3,x H n ，用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(3,x H n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(3,x H n 的图形.5. 设函数))432sin 3tan(cos()(2x x x f ++=定义在区间]1,1[-上，取10=n ，按等距节点构造分段埃尔米特插值函数)(3,x H n . (1)用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(3,x H n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和)(3,x H n 的图形；(2) 并用MA TLAB 程序计算各小区间中点处)(3,x H n 的值及其绝对误差和相对误差； (3) 用MATLAB 程序估计)(max )4(x f x π≤≤π-和)(3,x H n 在区间],[ππ-上的误差公式.习 题6.7 1. 作函数22511)(x x f +=在区间]5,5[-上的四种插值函数（包括三次样条）的图形)10,8,6,4,2(=n ，然后进行比较，并讨论ｎ的大小与误差)(x R n 的关系. 2. 设函数)2514cos 3sin()(2x x x f +-=定义在区间],[ππ-上，取13=n ，按等距节点求四种插值函数（包括三次样条），并用MA TLAB 程序计算各小区间中点处)(x S n 的值及其相对误差，并进行比较.3. 设函数211)(x x f +=定义在区间]5,5[-上，取10=n ，按等距节点构造四种插值函数，用MATLAB 程序计算各小区间中点i x 处的值，作出节点，插值点，)(x f 和四种插值函数的图形.4. 设函数)12sin(15.0)(2--=x x x f 定义在区间],[ππ-上，取7=n ，按等距节点构造四种插值函数，用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处插值，作出节点，插值点，)(x f 和四种插值函数的图形.5. 设函数))432sin 3tan(cos()(2x x x f ++=定义在区间]1,1[-上，取10=n ，按等距节点构造四种插值函数)(x S n .(1)用MA TLAB 程序计算各小区间中点i x 处)(x S n 的值，作出节点，插值点，)(x f 和四种插值函数的图形；(2) 并用MA TLAB 程序计算各小区间中点处四种插值及其相对误差；(3) 用MATLAB 程序估计)(max "x f x ππ≤≤-和)(x S n 在区间],[ππ-上的误差限.6. 选择一些函数，在n 个节点上（n 不要太大，如5~ 11）用拉格朗日、分段线性、 三次样条、分段埃尔米特插值四种插值方法，计算m 个插值点的函数值（m 要适中，如50 ~ 100）.通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较.适当增加n ，再作比较，由此作初步分析.下列函数供选择参考：（1）y = sin x ， 0 ≤ x ≤ 2π ；（2） y = 21x - ，-1 ≤ x ≤ 1；（3） y = cos 10 x ，-2 ≤ x ≤ 2；（4） y = e -x 2 ，-2 ≤ x ≤ 2.7. 用y = x 在x =0, 1, 4, 9, 16 产生5个节点P 1,…,P 5.用不同的节点构造插值公式来计算x =5处的插值（如用P 1…P 5; P 1…P 4; P 2…P 4等），与精确值比较并进行分析.8. Γ 函数是常见于数学物理、概率统计中的特殊函数，满足递推关系 Γ(x +1)= x Γ(x )，x >0, 且Γ(1)=1,Γ(1/2)=π1/2.在x =1/2,1,3/2,2,5/2……产生节点，计算Γ(1.7)，Γ(0.7),并与直接用程序gamma 的结果比较.9. 核物理手册上给出氢核（质子）和重氢核的初始能量与它们在空气中射程的关系如下表所示其中E （1）问P 和D 各等于何值时，E = 1.4, 2.5, 5.7 (MeV). 更详细的表给出，E =1.4时P =3.91；E =2.5时P =10.4，D =6.51.试与计算结果比较.（2）问E 等于何值时P =8.21 (精确值为2.169 8)；E 等于何值时D =10.42 (精确值为3.314 0)；D 等于何值时P =12.45 (精确值为7.774 0). 习 题6.81. 设节点),,(z y x 中的 3.0000, , 1.5000 , 0 , ,-1.5000 3.0000- =x x y =，函数2)1(2x z -=e )5(83)1(2y x x y x ---+--e 4122---y x e y x -+-2)1(，计算在节点),,(z y x 处X=(2,3,1,7),Y=(5,2,-1,5)的双线性插值，三次插值，样条插值和最近邻插值及其图形.2. 设节点),,(z y x 中的5:0.2:5- =x x y =，函数445x z -=e 22y x --，计算在X ,5.4:3.0:5.4-=Y=X 处的表示 二元样条插值双线性插值，三次插值和最近邻插值及其图形.3. 计算函数323x U +=e 222z y x ---在y z y x =-=-=,5,3,1,0,4,2,1,0处的函数值，并作图.4. 设节点),,(z y x 的坐标为y z y x =-=-=,15,3,0,1,12,1,0,4，计算函数xyz V 25+=e 222z y x ---在插值点i i i i y z y x =-==,13:25.0:5.0,10:5.0:1.0处的三元线性插值，三次插值，样条插值和最近邻插值，并作其图形.5. 取 n =9，5，作函数flow 在插值点i i i iy z y x =-==,3:25.0:3,10:25.0:1.0处的三元线性插值，三次插值，样条插值和最近邻插值及其图形.。
第六章 函数插值
第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数y = f (x )在一系列点x 0, x 1,…, x n 处的值y 0, y i ,…, y n ，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数P (x )作为y = f (x )的近似表达式；或者y = f (x )虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一个比较简单且易于计算的函数P (x )去近似代替它；本章所介绍的插值法就是建立这种近似公式的基本方法。
§1 代数插值 设已知某个函数关系y = f (x )在某些离散点上的函数值：nn y y y y yx x x x x 21210 （6.1）插值问题就是根据这些已知数据来构造函数y = f (x )的一种简单的近似表达式，以便于计算点i x x 的函数值)(x f ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
一种常用的方法就是从多项式中选一个P n (x )，使得n i y x P i i n ,,2,1,0,)(（6.2）作为f (x )的近似。
因为多项式求值方便，且还有直到n 阶的导数。
我们称满足关系（6.2）的函数P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点，并称关系（6.2）为插值原则。
这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设 x 0 < x 1< …< x n记a = x 0, b = x n ，则 [a, b] 为插值区间。
插值多项式存在的唯一性： 设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P 2210)(由插值条件n i y x P ii n ,,1,0)(得到如下线性代数方程组：n n n n n n nn nya x a x a y a x a x a y a x a x a101111000100111 此方程组的系数行列式为ni j j in nnnnn x xx x x x x x x x x D 021211020)(111此为范得蒙行列式，在线性代数课中，已经证明当j i x x ，;,2,1n i n j ,2,1 时，D 0，因此，P n (x )由a 0, a 1,…, a n 唯一确定。
曲线插值算法
曲线插值算法一、概述曲线插值算法是一种数学方法，用于在给定的控制点之间生成平滑的曲线。
该算法可以应用于各种领域，如计算机图形学、CAD和工程设计等。
曲线插值算法通过计算控制点之间的曲线来创建平滑的曲线，并且可以根据需要进行调整。
二、常见的曲线插值算法1. 贝塞尔曲线插值算法贝塞尔曲线插值是一种基于控制点的方法，它通过连接多个控制点来生成平滑的曲线。
该方法使用贝塞尔函数来计算两个相邻控制点之间的曲线。
这种方法通常用于计算机图形学中，用于绘制二维和三维图像。
2. 样条曲线插值算法样条曲线插值是一种基于函数逼近的方法，它通过拟合多项式函数来生成平滑的曲线。
该方法使用分段多项式函数来连接相邻控制点，并且保证函数在连接处连续可导。
这种方法通常用于CAD和工程设计中。
3. B样条曲线插值算法B样条曲线插值是一种基于参数化表示的方法，它通过计算参数化函数来生成平滑的曲线。
该方法使用B样条基函数来计算控制点之间的曲线，并且可以通过调整参数来改变曲线的形状。
这种方法通常用于计算机图形学和CAD中。
三、贝塞尔曲线插值算法详解1. 原理贝塞尔曲线插值是一种基于控制点的方法，它通过连接多个控制点来生成平滑的曲线。
该方法使用贝塞尔函数来计算两个相邻控制点之间的曲线。
贝塞尔函数是一种多项式函数，它可以用于生成平滑的曲线。
2. 计算公式在贝塞尔曲线插值中，每个控制点都有一个权重系数，称为贝塞尔权重。
假设有n个控制点，第i个控制点的坐标为(Pi, Qi)，则第i个控制点的贝塞尔权重为Bi(n,t)，其中t是一个0到1之间的参数。
当t=0时，Bi(n,t)等于1；当t=1时，Bi(n,t)等于1；当0<t<1时，Bi(n,t)可以通过递归公式计算得出：Bi(n,t)= (1-t)*Bi-1(n-1,t)+t*Bi(n-1,t)对于两个相邻的控制点Pi和Pi+1，它们之间的曲线可以用下面的公式计算得出：P(t)= (1-t)*Pi+t*Pi+1其中，t是一个0到1之间的参数。
数值分析
这里h为常数，称为步长， , 和 分别为向前, 向后和中心差分算子.
以向前差分为例 利用一阶差分可定义二阶差分
2 f k f k 1 f k f k 2 2 f k 1 f k .
还可以定义m阶差分 m f k m 1 f k 1 m 1 f k ;
xi ƒ(xi) x0 x1 x2 x3 xn ƒ(x0) ƒ(x1) ƒ(x2) ƒ(x3) ƒ(xn) 一阶 均差 二阶均差 三阶均差 n阶均差
ƒ[x0, x1] ƒ[x1, x2] ƒ[x0, x1, x2] ƒ[x2, x3] ƒ[x1, x2, x3] ƒ[x0, x1, x2, x3] ƒ[xn-1, xn] ƒ[xn-2, xn-1, xn] ƒ[xn-3, xn-2, xn-1, xn] ƒ[x0, x1,…, xn]
0 ( x) 1 1 ( x ) x x0 2 ( x ) ( x x0 )( x x1 )
LL n ( x ) ( x x0 )( x x1 ) L ( x xn1 )
当增加一个节点xn+1时，只需加上基函数
n1 ( x xi ) 即可.
n n n j
f k ( I E ) f k (1)
1 2
n1
………… f [ x, x0 , ... , xn1 ] f [ x0 , ... , xn ] ( x xn ) f [ x, x0 , ... , xn ]
1 + (x x0) 2 + … … + (x x0)…(x xn1)
n1
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
第六章 插值法_417603143
第六章 插值法§1.引言（插值问题）由实验或测量得到)(x f y =，但只能是离散点上。
0x 1x …… n x)(0x f)(1x f ……)(n x f如果要求在x 上，1+<<i i x x x , ?)(=x f为此构造一个简单的，便于计算函数)(x ϕ作为)(x f 的近似， 并使)()(i i x f x =ϕ，,n , ,i 10=, )()(x f x ≈ϕ, ),(1+∈i i x x x 另外，)(x f y =，已知其表达式，但计算相当繁， 能否用一个简单的函数)(x ϕ来代替，使其计算容易。
0x1 x …… n x)(0x f)(1x f ……)(n x f（利用)(x f 的表达式求得）构造简单函数)()(x f x ≈ϕ，使)()(i i x f x =ϕ仅讨论多项式插值，样条函数插值设已知区间[ a, b]上实值函数)(x f 在n+1个相异节点0x <1x <…… <n x处 )(0x f )(1x f ……)(n x f 插值法就是用一个便于计算的简单函数ϕ去代替f ， 使得),()(i i x f x =ϕ n i ,,1 ,0 = 并以)(x ϕ作为)(x f 的近似值)(x f 被插值函数0x ,1x ,……,n x插值节点)(x ϕ 插值函数)()(i i x f x =ϕ，,n , ,i 10= 插值条件用代数多项式作为插值函数的插值法称为多项式插值， 相应的多项式称为插值多项式。
§2. Lagrange 插值 （I ）Lagrange 插值多项式 1．简单问题10x x < )(0x f )(1x f插值节点为10,x x ，被插值函数)(x f ，求线性函数)(x ϕ使)()(00x f x =ϕ， )()(11x f x =ϕ 插值条件求)(x ϕ相当于求通过点（)(,00x f x ），（)(,11x f x ）的直线)()()(11000011x f x x x x x f x x x x x --+--=ϕ)(x ϕ 满足 )()(00x f x =ϕ， )()(11x f x =ϕ；即满足插值条件。
第六章插值与逼近
y=f(x)
p(x)=ax+b
A(x.0,f(x.0)) B(x.1,f(x.1))
p(x)y0yx1 1 xy00(xx0)
p(x)xx0 xx11y0xx1 xx00 y1
为了便于推广,记
l0(x)xx0 xx11, l1(x)xx1 xx00
这是一次函 数,且有性质
l0(x0)1, l0(x1)0 l1(x0)0, l1(x1)1
使满足二次插值条件:
P (xi)yi (i0 ,1 ,2 )
这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点
(x0,y0)(,x1,y1)(,x2,y2)的抛物线 yP(x) 近似代替曲线
y f(x) ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。
P(x)的参数 a0,a1,a2 y
直接由插值条件决定,
即 a0,a1,a2满足下面
第六章 插值与逼近
问题的提出
– 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在 某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)
– 或者给出函数表
x
x0
x1
x2
…… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x)
y=f(x)
插值法的基本概念
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0,x1,,xn 是
的问题就归结为求它的系数 a i (i=0,1,2,…,n )。
由插值条件: p(xi)f(xi) (i=0,1,2,…,n),可得
anx0n an1x0n1 a1x0 a0 f (x0) anx1n an1x1n1 a1x1 a0 f (x1) anxnn an1xnn1 a1xn a0 f (xn)
曲线的插值与拟合matlab
在数学和统计学领域中，曲线的插值与拟合是一项重要的技术，它在数据分析、图像处理、工程计算等领域都有着广泛的应用。
曲线的插值与拟合可以帮助我们从有限的数据点中还原出连续的曲线，以便更好地理解数据的规律和特性。
1. 插值与拟合的概念在开始深入探讨曲线的插值与拟合之前，让我们先来了解一下这两个概念的含义。
插值是指通过已知数据点之间的连续函数，以得到介于已知数据点之间的数据点的值。
而拟合则是指通过已知数据点，找到拟合曲线以最好地逼近这些数据点。
2. 曲线插值的方法在实际操作中，我们可以使用不同的方法进行曲线的插值。
常见的方法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
在Matlab中，有丰富的函数库可以用来进行不同类型的曲线插值，例如interp1, interp2, interpn等，这些函数可以很方便地实现曲线的插值操作。
（1）线性插值线性插值是一种简单直接的插值方法，它通过已知的两个数据点之间的直线来逼近新的数据点。
虽然线性插值操作简单，但在一些情况下并不能很好地逼近数据的真实规律。
（2）多项式插值多项式插值是一种常用的插值方法，它通过已知数据点构造一个多项式函数来逼近数据。
在Matlab中，可以使用polyfit和polyval函数来实现多项式插值操作，通过调整多项式的阶数可以得到不同精度的逼近结果。
（3）样条插值样条插值是一种更加复杂但精确度更高的插值方法，它通过已知的数据点构造出一系列的局部插值函数来逼近数据。
在Matlab中，可以使用spline函数来进行样条插值操作，通过调整插值节点的数量和类型可以得到不同精度的逼近结果。
3. 曲线拟合的方法除了插值方法之外，曲线的拟合也是一种常用的数据处理方法。
在实际操作中，我们可以使用不同的方法来进行曲线的拟合。
常见的方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
在Matlab中，有丰富的函数库可以用来进行不同类型的曲线拟合，例如polyfit, lsqcurvefit, nlinfit等，这些函数可以很方便地实现曲线拟合操作。
曲线插值法
曲线插值法
曲线插值法是一种数学上的方法，用于在给定数据点之间插入一条平滑曲线。
该方法通常用于数据分析和可视化中，以便更好地展示数据的趋势和变化。
曲线插值法的基本思想是根据给定数据点之间的关系来构建一个函数模型。
这个模型可以是多项式函数、三次样条函数或其他类型的函数。
然后，使用这个模型来估计数据点之间的值，以便生成平滑的曲线。
曲线插值法有许多应用。
例如，它可以用于生成贝塞尔曲线、贝塞尔曲面和多项式插值曲线。
此外，该方法还可用于处理大量数据点的情况，以便更好地描述数据的趋势和变化。
总之，曲线插值法是一种用于插入平滑曲线的重要数学方法，可应用于数据分析、可视化和其他领域。
- 1 -。
曲线插值方法
曲线插值方法
曲线插值是指通过给定的一组离散的数据点，找到一条光滑的曲线来逼近这些点的过程。
常见的曲线插值方法包括：
1. 线性插值（Linear Interpolation）：通过两个相邻的数据点之间的直线来逼近其他点。
这种方法简单，但是不能很好地逼近复杂的曲线。
2. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）：通过多项式来逼近数据点，具体地，通过构建一个经过所有数据点的多项式来逼近。
这种方法可以精确地逼近所有数据点，但是当数据点很多时，多项式的阶数会相应增加，计算复杂度较高。
3. 牛顿插值（Newton Interpolation）：与拉格朗日插值类似，牛顿插值也通过多项式来逼近数据点，但是通过不断增加多项式的阶数来逼近数据点，而不是重新构建一个多项式。
这样可以避免重复计算，提高计算效率。
4. 三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）：将插值区间划分为多个小段，每个小段内部使用三次多项式来逼近，保证相邻多项式之间的一阶、二阶导数连续，从而得到一条光滑的曲线。
除了上述方法，还有其他一些特定的插值方法，如Hermite插值、Bezier曲线等，它们适用于不同的插值问题和数据特征。
在实际应用中，常常根据具体问题选择合适的曲线插值方法。
数值分析(曲线插值)
目录任务描述及要求 (3)1 算法设计方案 (4)1.1 总算法概述 (4)1.2 插值区间规整化 (4)1.3 多项式牛顿插值 (5)1.4 三次样条插值 (5)2 全部源程序 (7)2.1 全局常量和变量 (7)2.2 分段线性插值 (7)2.3 分段二次多项式插值 (8)2.4 分段三次多项式插值 (9)2.5 三次样条插值 (9)2.6 OpenGL环境下显示曲线 (11)3各种插值方法细化后数据表 (13)3.1 分段线性插值法 (13)3.2 分段二次多项式插值 (18)3.3 分段三次多项式插值 (23)3.4 三次样条插值 (29)4 插值机翼轮廓线演示 (35)4.1 分段线性插值 (35)4.2 分段二次多项式插值 (35)4.3 分段三次多项式插值 (35)4.4 三次样条插值 (36)5 不同插值方法的优劣 (37)5.1 分段线性插值 (37)5.2 分段高次多项式插值 (37)5.3 三次样条插值 (37)任务描述及要求二、在飞机制造业中，机翼的加工是一项关键技术。
由于机翼的尺寸很大，通常在图纸中只能标出某些关键点的数据。
下表给出的是某型号飞机的机翼上缘轮廓线的部分数据。
但是，在使用数控机床加工机翼时，由于机床走刀只能沿x方向和y方向走非常小的步长，因此机床编程时需要计算出轮廓线上x坐标每改变1个单位时y的相应坐标。
请根据加工要求分别用分段线性插值法、分段二次多项式插值法、分段三次多项式插值法和三次样条插值法，对上表中的数据进行细化。
打印内容：1.算法的设计方案。
2.全部源程序（要求注明主程序和每个子程序的功能）。
3.用各种插值方法细化后的全部数据表。
4.画出用各种插值方法细化后的机翼轮廓线。
5.讨论不同插值方法的优劣。
1 算法设计方案1.1 总算法概述本次任务可以看作是完成两种类型的曲线插值：多项式插值和样条插值。
下面分别介绍这两种插值的算法。
两种方法里需要统一解决的问题是插值步长和插值区段的划分。
曲线拟合与插值
曲线拟合与插值在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。
对这个问题有两种方法。
在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。
这里讨论的方法是曲线拟合或回归。
人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
图1.1说明了这两种方法。
标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。
1 曲线拟合曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。
所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。
数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。
如图1.1。
虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。
对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。
这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。
最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法。
图1.1 2阶曲线拟合在MATLAB中，函数polyfit求解最小二乘曲线拟合问题。
为了阐述这个函数的用法，让我们以上面图1.1中的数据开始。
» x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1];» y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];为了用polyfit，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。
如果我们选择n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。
通常称为线性回归。
相反，如果我们选择n=2作为阶次，得到一个2阶多项式。
现在，我们选择一个2阶多项式。
» n=2; % polynomial order» p=polyfit(x, y, n)p =-9.8108 20.1293 -0.0317polyfit的输出是一个多项式系数的行向量。
曲线拟合和插值运算原理和方法
实验10 曲线拟合和插值运算一． 实验目的学会MATLAB 软件中软件拟合与插值运算的方法。
二． 实验内容与要求在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=t (x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数t(x),办法是很多的。
根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法。
（1） 测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2） 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
MATLAB 中提供了众多的数据处理命令，有插值命令，拟合命令。
1.曲线拟合已知离散点上的数据集[(1x ,1y ),………(n x ,n y )]，求得一解析函数y=f (x),使f(x)在原离散点i x 上尽可能接近给定i y 的值，之一过程叫曲线拟合。
最常用的的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即使求使21|()|n i ii f x y =-∑ 最小的f(x).格式：p=polyfit(x,Y ,n).说明：求出已知数据x,Y 的n 阶拟合多项式f(x)的系数p ，x 必须是单调的。
[例 1.9]>>x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; %给出数据点的x 值>>y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; %给出数据点的y 值>>p=polyfit (x,y,2); %求出二阶拟合多项式f(x)的系数>>x1=0.5:0.05:3.0; %给出x 在0.5~3.0之间的离散值>>y1=polyval(p,1x ); %求出f(x)在1x 的值>>plot(x,y,‟*r ‟, 11,x y ‟-b ‟) %比较拟合曲线效果计算结果为：p=0.5614 0.8287 1.1560即用f(x)=0.56142x +0.8287x+1.1560拟合已知数据，拟合曲线效果如图所示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Computer Graphics
第六章 自由曲线和曲面
赵东保 华北水利水电学院
2011.9
1 概述
自由曲线和曲面是指那些形状比较复杂、不 能用初等解析函数直接表示出来的曲线和曲 面。汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲 线和曲面均属于这一类。一般情况下，它们 需要利用插值或逼近的方法，对型值点进行 拟合，得到拟合曲线和曲面。
8
4.1 拉格朗日插值
设所要构造的插值多项式为：
Pn( x) a0 a1 x a2 x2 an xn
由插值条件
Pn( xi ) yi
i 0, 1,, n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1 a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
Байду номын сангаас
9
4.1 拉格朗日插值
此方程组的系数行列式为
1 x0 x02
1 D
x1
x12
x0n
x1n
( xi x j )
0 jin
1 xn xn2 xnn
上式即为范得蒙行列式，由于插值结点xi互不相同，
故D 0 ，则Pn(x)可由a0, a1,…, an唯一确定。
10
4.1 拉格朗日插值
上述多项式插值方法需要解算方程组，而 拉格朗日插值公式的基本思想是，把pn(x) 的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数 li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
l1 ( x)
(x ( x1
x0 x0
)(x x2 ) )(x1 x2 )
l2
(x)
(x ( x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
则有：P2 (x) l0 ( x) y0 l1(x) y1 l2 (x) y2
满足插值条件。
17
4.1 拉格朗日插值
抛物线插值多项式的几
何含义就是从几何上看
P2(x)
就是用通过三点抛物线
函数P2(x)近似代替原始 被插函数f(x)。
抛物线插值多项式
18
4.2 埃尔米特插值
在实际应用中，不仅要求插值函数与被插函数在节 点上函数值相等，而且要求若干阶导数也相等，如 机翼设计等。
11
4.1 拉格朗日插值
构造各个插值节点上的基函数 li(x)(i=0,1,…,n) 满足如下条件
xi
x0
x1
x2
xn
l0 (x)
1
0
0
0
l1 ( x)
0
1
0
0
ln (x)
0
0
0
1
12
4.1 拉格朗日插值
求n次多项式lk(x)(i=0,1,…,n)， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
f ( x) ( x) ( xi ) f ( xi ) （i = 0, 1, …, n）
'( xi ) f '( xi )
(2) ( xi ) f (2) ( xi )
(
m
)
(
xi
)
f (m) ( xi )
满足函数值相等且导数也相等的插值方法称为埃尔米
特（Hermite插值）
Pn (x) a0 a1x a2x2 an xn 使Pn(x) 满足条件 Pn(xi ) yi , i 0, 1, ,n
函 数 y=f(x) 称 为 被 插 函 数 ， x0,x1,x2,…,xn 被 称 为 插 值 节点，条件式被称成为插值条件。
7
4.1 拉格朗日插值
插 值 多 项 式 的 几 何 意 义 实 质 上 是 将 通 过 n+1 个 点 (xi,yi),i=0,1,2,…,n的多项式曲线当作被插函数曲线 y=f(x)的近似曲线。
xn xk
) xn
)
n
x xj
j0 xk x j
jk
从而得n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：
Pn( x)
n
lk ( x)yk
k0
n
k0
n
j0 jk
x xk
xj xj
yk
14
4.1 拉格朗日插值
特别地，当n=1时，为线性插值：
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
ki ki
则
n
Pn ( xi ) yklk ( xi ) yi i = 0, 1, 2,…, n k 1
即 Pn(x) 满足插值条件
13
4.1 拉格朗日插值
根据lk(x) 的表达式，xk 以外所有的结点都是lk(x) 的根
lk
(
x)
(
( xk
x
x0 )( x x1 )( x xk1 )( x xk1 )( x x0 )( xk x1 )( xk xk1 )( xk xk1 )(
l1 ( x)
x x0 x1 x0
则有：
P1( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
满足插值条件。
15
4.1 拉格朗日插值
P1(x)可以改写为
线性插值多项式
故线性插值多项式的几 何含义就是构造过插值 节点的一条线段
16
4.1 拉格朗日插值
当n=2时，为抛物线插值：
记
x x0 x1 y y0 y1
xn1 xn yn1 yn
根据这些已知数据来构造原始函数y=f(x)的近似 表达式，并尽可能逼近它，从而反映这些数据所 隐含的函数变化规律。
4
3 插值与拟合
在计算机图形学中，与上述相对应的问题即是自由 曲线的生成：给出一组有序的型值点列，根据应用
要求求得一条光滑曲线，使其尽可能逼近原始函数 曲线，通常采用两种方法，即插值和拟合。
插值方法要求生成的曲线通过每个给定的型值点。 拟合方法要求生成的曲线靠近每个型值点，但不一
定要求通过每个点。
5
4 插值方法
选用不同类型的插值函数，逼近的效果就 不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）Hermite插值 （3）三次样条插值
6
4.1 拉格朗日插值
已 知 函 数 y=f(x) 在 n+1 个 互 不 相 同 的 点 处 的 函 数 值 yi =f(xi),i=0,1,…,n ，为求得y=f(x)的近似表达式，容易 想到的是选择n次多项式
2
2 曲线的参数表示
曲线的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
归一化处理：为了方便起见，可以将参数t的范围区 间规范化成[0，1]。
参数化表示比显式、隐式有更多的优点！ 参数化表示方式易于用矢量和矩阵运算，对曲率、 斜率等的计算也有别于传统方式。
3
3 插值与拟合
设已知某个函数关系 y f (x)在某些离散点上的函 数值：