新人教版第二章平面向量单元测试题

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高中数学人教版必修第二章平面向量单元测试卷

11．B[
如图，设对角线AC与BD交于点O，∴ ＝＋ . · ＝ ·( ＋ )＝－2＋0＝－2，故选B.]
12．A[根据正六边形的几何性质．
〈，〉＝，〈，〉＝，
〈，〉＝，〈，〉＝ .
∴ · <0， · ＝0，
· ＝| |· | |cos ＝ | |2，
· ＝| |·2| |·cos ＝| |2.比较可知A正确．]
解析由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.
16．－
解析因为点O是A，B的中点，所以＋＝2 ，设| |＝x，则| |＝1－x(0≤x≤1)．
∴ · ＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且| |＝，| |＝2 ，| |≠| |.
∴△ABC是直角非等腰三角形．]
9．B[∵ ＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量后得，＝＝(2,3)．]
10．A[a·b＝－3λ＋10<0，∴λ> .当a与b共线时，＝，∴λ＝ .此时，a与b同向，∴λ> .]
A．6B．5C．4D．3
8．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为()
A．等腰非直角三角形B．等边三角形
C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形
9．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到为()
A．(1,2)B．(2,3)
C．(3,4)D．(4,7)
10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是()
A． B．
C． D．
11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则 · 等于()
A．2B．－2

2020学年高中数学第二章平面向量单元质量测评(含解析)新人教A版必修4(2021-2022学年)

第二章单元质量测评对应学生用书P79 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分１50分,考试时间1２０分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共1２小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列等式恒成立的是()A.错误!+错误!未定义书签。

＝０B．错误!－错误!=错误!C.(a·ｂ）·c＝a·(b·c)D.(a＋b)·ｃ＝a·c+b·c答案 D解析由数量积满足分配律可知D正确．２．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题：①给定向量ｂ，总存在向量c,使a＝b+c;②给定不共线的向量ｂ和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μｃ;③给定单位向量ｂ和正数μ,总存在单位向量ｃ和实数λ，使ａ=λb+μc;④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c,使a＝λb+μc.上述命题中的向量ｂ，c和ａ在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )Ａ.1 B.2 C．３ D．4答案Ｂﻬ解析显然①②正确;对于③，当μ〈|ａ｜sｉｎ<a，b>时,不存在符合题意的单位向量c和实数λ,③错误；对于④,当λ=μ=１,｜a｜＞2时,易知④错误．3．在五边形ＡBCDE中(如图),错误!+错误!-错误!未定义书签。

=()A.错误!未定义书签。

B.错误!C．错误! D．错误!答案 B解析错误!未定义书签。

＋错误!-错误!未定义书签。

＝错误!+错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

.4．设D为△ABＣ所在平面内一点,错误!=３错误!，则（ )Ａ.错误!＝－错误!未定义书签。

错误!＋错误!未定义书签。

错误! B．错误!未定义书签。

＼s＼ｕp6（→)-错误!错误!＝错误!未定义书签。

ＡBＣ．错误!=错误!未定义书签。

错误!+错误!未定义书签。

错误! D.错误!=错误!未定义书签。

高中数学第二章平面向量测试题(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)

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第二章平面向量测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的）++= ( ）1．如图1,正六边形ABCDEF中，BA CD EFA．0 B．BEC．AD D．CF2．下列说法正确的是（ )A.a与b共线，b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行3．已知平面内有一点P及一个△ABC，若错误!＋错误!＋错误!＝错误!，则 ( ) A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上4．已知|错误!|＝1，|错误!|＝错误!，错误!⊥错误!，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°,设错误!＝m错误!＋n错误!，则错误!＝( )A.错误!B．3 C．3错误! D。

错误!5．设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外，错误!2＝16,|错误!＋错误!｜＝｜错误!－错误!｜，则|错误!｜＝（)A．8 B．4 C．2 D．16．在□ABCD中，错误!＝a，错误!＝b,错误!＝4错误!，P为AD的中点,则错误!＝（）A.错误!a＋错误!b B。

错误!a＋错误!bC．－错误!a－错误!b D．－错误!a－错误!b7．已知O，A，B三点的坐标分别为O(0，0），A（3，0)，B（0，3),点P在线段AB上，且≤≤=则),10(的最大值为（ ) tAP⋅OAOPABtA．3 B．6 C．9 D．128．设点(2,0)B，若点P在直线AB上,且AB=2AP,则点P的坐标为（ ) A，(4,2)A ．(3,1)B ．(1,1)-C ．(3,1)或(1,1)-D ．无数多个9．如图2，O,A ，B 是平面上的三点，向量,,b OB a OA ==设P 为线段AB 的垂直平分线CP 上任意一点，向量2||,4||.===b a p OP 若,则)(b a p -⋅=( ）A ．1B ．3C ．5D ．610．在边长为2的正三角形ABC 中，设AB =c ， BC =a ， CA =b ,则a ·b +b ·c +c ·a 等于（）A ．0B ．1C ．3D ．－311．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则222PA PB PC+=（ )A ．2B ．4C ．5D ．1012．已知向量a ,e 满足a ≠e ,｜e |＝1，对任意t∈R ,恒有｜a －t e ｜≥｜a －e ｜，则 ( ）A ．a ⊥eB ．a ⊥（a －e )C ．e ⊥（a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知A,B ，C 是不共线的三点,向量m 与向量错误!是平行向量，与错误!是共线向量，则m ＝________。

平面向量单元测试(含答案)

《平面向量》单元测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD （）A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是（）A ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b λ+r r 与()2b a --r r共线，则λ=（）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是（）A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅ 6．在OAB ∆中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=u u u r u u u r，则实数λ等于（）A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．设1(1,)2OM =u u u u r ，(0,1)ON =u u u r ，则满足条件01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r 的动点P 的变化范围（图中阴影部分含边界）是（）A ．B ．C ．D ． 8．将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，则a =（）A ．（,16π-）B ．（,16π-）C ．（,112π）D ．（,112π--）9．已知向量a r 、b r 、c r 且0a b c ++=r r r r ，||3a =r ，||4b =r ，||5c =r .设a r 与b r 的夹角为1θ，b r与c r 的夹角为2θ，a r 与c r的夹角为3θ，则它们的大小关系是（）A ．123θθθ<<B ．132θθθ<<C ．231θθθ<<D ．321θθθ<<10．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是（）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ11．已知1OA =u u u r，OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，点C 在AOB ∠内，且30oAOC ∠=，设OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈，则mn等于（）A ．13B ．3 C．3D12．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中，.AC CB AB +> 其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．在中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r _______.（用a b r r 、表示）14．已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点，动点M 满足OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r，其中,m n R ∈且2222m n -=，则M 的轨迹方程为 .15．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值为 .16．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)sin 1,sin 1(x x -=，)2cos ,2(x =.（1）若]2,0(π∈x ，试判断与能否平行？（2）若]3,0(π∈x ，求函数x f ⋅=)(的最小值.18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=，()R x x x c ∈-=,sin ,cos .（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（2）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .19．（本小题满分12分）（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（1）若a⊥b，求θ；（2）求｜a＋b｜的最大值．20.（本小题满分12分）在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r．（1）求22AB AC +u u u r u u u r 的值；（2）当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．21．（本小题满分12分）（2006陕西卷）如图，三定点A (2,1)，B (0,－1)，C (－2,1); 三动点D ，E ，M 满足]1,0[,,,∈===t t t t （1）求动直线DE 斜率的变化范围; （2）求动点M 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r .（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP uuu r 和OM u u u u r夹角的最大值，并求此时P 点的坐标参考答案1．21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e r=（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b r r 的夹角都相等,故e b e a e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+r r 与-2共线，设a b λ+r rk =（-2），则有)()21(=++-k k λ，所以⎩⎨⎧=+=-0021λk k ，解得5.0=k ，选D ． 4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u rg 的几何意义:数量积121i PP PP u u u u r u u u rg 等于12P P u u u u r的长度12PP u u u u r 与1i PP u u u r 在12P P u u u u r 的方向上的投影1121cos ,i iPP PP PP <>u u u r u u u u r u u u r的乘积.显然由图可知13P P u u u u r 在12P P u u u u r 方向上的投影最大.所以应选(A).6．B (),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r Q 即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+u u u r u u u r u u u r又OD Q 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=u u u r u u u r即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r u u u r ，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ． 7．A 设P 点坐标为),(y x ，则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A ．8．A 要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16π-），故选A ．9．B 由0a b c ++=r r r r得)(+-=，两边平方得1222cos ||||2||||||θ++=，将||3a =r ，||4b =r ，||5c =r 代入得0cos 1=θ，所以0190=θ；同理，由0a b c ++=r r r r得)(b c a +-=，可得54cos 2-=θ，53cos 3-=θ，所以132θθθ<<.10． B 由已知得1||=b ，所以4||22=+=n m a ，因此)sin(sin cos 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m b a 4)sin(4≤+=ϕθ，由于2λ<⋅恒成立，所以42>λ，解得2>λ或2-<λ.11．答案B ∵ 1OA =u u u r，OB =u u u r，0OA OB ⋅=u u u r u u u r∴△ABC 为直角三角形，其中1142AC AB ==∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴31,44m n == 即3m n= 故本题的答案为B ． 12．答案B 取特殊值、数形结合A BC在ABC ∆中， 90oC ∠=，不妨取A （0，1）， C （0，0），B （0，1），则 ∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠；AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+＝＝||||||||AB B C C C C C ''''''''+++ ＝||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B ．13．解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12AM a b =+u u u u r r r，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r .14．2222=-y x 设),(y x M ，则),(y x =，又)1,1(),1,2(-=-=，所以由OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r 得),(),2(),(n n m m y x -+-=，于是⎩⎨⎧+-=-=nm y n m x 2，由2222m n -=消去m, n 得M 的轨迹方程为：2222=-y x . 15．2- 如图，设x AO =，则x OM -=2，所以)(+⋅OM OA OM OA ⋅⋅-=⋅=222)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r取最小值-2.AC 'CBB 'C ''16．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，所以),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以与不共线，而当AB 与BC 共线时，有m m -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17．解析：（1）若与平行，则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ，因为]2,0(π∈x ，0sin ≠x ，所以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故a 与b 不能平行.（2）由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=，又因为]3,0(π∈x ，所以]23,0(sin ∈x ，于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+x x x x ，当xx sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22.18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求. 19．解析：解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．20．解：（Ⅰ）由已知得：222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 因此，228AB AC +=u u u r u u u r ．（Ⅱ）2cos AB AC A AB AC AB AC⋅==⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur ， 1sin 2ABC S AB AC A =⋅u u ur u u u r △12AB =⋅u u ur u u=≤=．（当且仅当2AB AC ==u u u r u u u r 时，取等号），当ABC △1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r，所以3π=∠A . 解：（I ）由条件知： 0a b =≠r r 且2222(2)444a b a b a b b +=++=r r r r r r r g42-=⋅，设a b r r 和夹角为θ，则41||||cos -==b a θ， ∴1cos 4arc θπ=-，故a b r r 和的夹角为1cos 4arc π-，（Ⅱ）令)a a b -r r r和(的夹角为βQ a b a -===r r r， ∴41021cos 222=+===β∴ )a a b -r r r和(的夹角为21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x ,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →,知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2ty E =2t －1.∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2)= 1－2t. ∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].（Ⅱ）如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB →= OA →+ t(OB →－OA →) = (1－t) OA →+tOB →,OE →=OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →－OB →) =(1－t) OB →+tOC →,OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →=(－2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]22．解析：（1）设(,)P x y o o ，(,)M x y ，则(,)OP x y =o o u u u r ，(,0)OQ x =o u u u r，(2,)OM OP OQ x y =+=o o u u u u r u u u r u u u r222212,1,124x x x x x x y y y y y y⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩o o o o o o Q .（2）设向量OP uuu r 与OM u u u u r的夹角为α，则22cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 令231t x =+o，则cos α==≥当且仅当2t =时，即P点坐标为(时，等号成立.第21题解法图OP u u u r 与OM u u u u r夹角的最大值是.。

人教版高二第二章平面向量单元测试精选(含答案)1

人教版高二第二章平面向量单元测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A2．已知向量a,b r r 满足||1=r a ，1⋅=-r ra b ，则(2)⋅-=r r r a a bA ．4B ．3C ．2D ．0【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II) 【答案】B3．已知两个单位向量a r 和b r 夹角为60︒，则向量a b -r r在向量a r 方向上的投影为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【来源】安徽省江淮六校2019届高三上学期开学联考理科数学试题【答案】D4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷) 【答案】A5．在ABC ∆中，已知向量AB u u u r 与AC u u u r 满足()||||AB AC BC AB AC +⊥u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 且•12||||AB AC AB AC =u u u r u u u ru u u r u u u r ，则ABC ∆是( ) A ．三边均不相同的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形【来源】第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用【答案】D6．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =u u u r u u u rg A ．232a -B ．234a -C ．234a D ．232a 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析) 【答案】D7．若1,,(23)(4)a b a b a b ka b ==⊥+⊥-v v v vv v v v ，则实数k 的值为（） A ．-6B ．6C ．-3D ．3【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】B8．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为（）A B C ．D ．【来源】河北省武邑中学2018届高三上学期期末考试数学（理)试题【答案】A9．已知向量(2,0)OB u u u r =，向量(2,2)OC u u u r =，向量)CA u u u ra a =，则向量OA u u u r 与向量OB uuu r的夹角的取值范围是（）． A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【来源】天津市耀华中学2018届高三12月月考数学（文)试【答案】D10．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+u u u r u u u u r u u u r，则λμ+=（）A ．43B ．53C ．158D ．2【来源】2017届河北衡水中学高三上学期第二次调研数学（理)试卷（带解析) 【答案】B11．已知O 是ABC V 所在平面内的一点，A B C ∠∠∠，，所对的边分别为a b c ，，.若0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r，则O 是ABC V 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【来源】第二章全章训练【答案】A12．设正方形ABCD 的边长为1，则AB BC AC -+u u u r u u u r u u u r等于（）A ．0BC ．2D ．【来源】第二章全章训练【答案】C13．如图，在ABC V 中，BA BC =u u u r u u u r ，延长CB 到D ，使AC AD ⊥u u u r u u u r.若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ-的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】第二章全章训练【答案】C14．设单位向量1e u r 、2e u u r 的夹角为23π，122a e e =+u r r u u r ，1223b e e =-r u r u r ，则b r 在a r 方向上的投影为（）A B C D 【来源】智能测评与辅导[文]-平面向量及复数【答案】A15．若O 为平面内任意一点，且()()20OB OC OA AB AC +-⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则△ABC 是( )A ．直角三角形或等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形【来源】2018年高考数学理科训练试题：专题(20) 平面向量的数量积及其应用【答案】C16．给出下面四个命题：①0AB BA u u u v u u u v u v+=； ②C AC AB B u u u v u u u v u u u v +=；③AC BC AB =u u u v u u u v u u u v －；④00AB u u u v⋅=.其中正确的个数为 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【来源】20102011学年山东省威海市高一下学期期末模块考试数学【答案】B17．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C >+，则ABC ∆的形状是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【来源】2016-2017陕西西藏民族学院附中高二文12月考数学试卷（带解析) 【答案】C18．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（） A ．AO OD =u u u r u u u rB ．2AO OD =u u u r u u u rC ．3AO OD =u u u r u u u rD ．2AO OD =u u u r u u u r【来源】2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京) 【答案】A19．在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（） A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心【来源】黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D20．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a ba b=成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷【答案】C21．已知四点()4,2A -，()6,4B -，()12,6C ，()2,12D ，给出下面四个结论：①AB CD ∥；②AB CD ⊥；③AC BD P ；④AC BD ⊥．其中正确结论的序号为（） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【来源】高二人教版必修2 第二章 1.3 两条直线的位置关系【答案】B22．已知△ABC 是正三角形,若a=AC uuu r -λAB u u u r 与向量AC uuu r的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是( ) A ．λ<12B ．λ<2C ．λ>12D ．λ>2【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试【答案】D23．如图，过点0(1)M ，的直线与函数()sin π02y x x =≤≤的图象交于A ，B 两点，则()OM OA OB ⋅+u u u u r u u u r u u u r等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】2014-2015学年福建省南安第一中学高一下学期期中考试数学试卷（带解析) 【答案】B24．设a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x 1,x 2,x 3,x 4和y 1,y 2,y 3,y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1+x 2·y 2+x 3·y 3+x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a 与b 的夹角为( ) A ．2π3B ．π3C ．π6D ．0【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试【答案】B25．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD=DC=2AB ，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λ+μ的值为（）A ．65B ．85C ．2D ．83【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】B26．已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则()OA tOB t R +∈u u u v u u u v的最小值为（）A ．B ．5C ．3D 【来源】四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理科数学试题【答案】D二、填空题27．已知向量AB u u u r与AC u u u r 的夹角为120︒，且32AB AC ==u u u r u u u r ，，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r则实数λ的值为__________．【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析) 【答案】71228．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC u u u r |＝2，求OC u u u r的坐标为_____________________．【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】(55-29．已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【来源】北京四中2018-2019学年第一学期高三期中考试数学（文科)试卷【答案】30.o30．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a b r r ，满足22AB a AC a b ==+u u u r r u u u r r r，，则下列结论中正确的是____.（写出所有正确结论的序号）①a r 为单位向量；②b r 为单位向量；③a b ⊥r r；④b BC r u u u r ∥；⑤()4a b BC +⊥r r u u u r .【来源】第二章全章训练【答案】①④⑤31．正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB BD ⋅=u u u r u u u r____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷【答案】32-32．已知()()124,7,1,0P P --，点P 在线段12PP 的延长线上，且123PP PP =u u u r u u u r ，则点P 坐标为____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷【答案】17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭33．在ABC V 中，()2,4,8AB AC AB AC AB ==+⋅=u u u r u u u r u u u r，则ABC V 面积等于____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷【答案】34．设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=u u u r u u u r u u u r，则FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r=______．【来源】2012届河南省郑州盛同学校高三上学期第一次月考文科数学【答案】635．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，△ACD 是等边三角形，则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为_______________．【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】14.36．在矩形ABCD 中,AB =2，BC =1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为__________．【来源】2012届安徽省舒城中学高三第一学期期中考试理科数学【答案】9237．在△ABC 中，CA=2CB=2，1CA CB u u u v u u u v⋅=-，O 是△ABC 的外心，若CO uuu r =x CA u u u r +yu u rCB ，则x+y=_______________________．【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】136.38．已知向量若向量a,b 的夹角为π3,则实数m 的值为_____. 【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试【答案】39．在四边形ABCD 中,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1),且BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,则四边形ABCD 的面积为．【来源】2015高考数学（理)一轮配套特训：4-3平面向量的数量积及应用（带解析) 【答案】√3三、解答题40．在平面直角坐标系xoy 中，点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ----。

人教版必修4《第二章平面向量》2020年单元测试卷(二)

①若
，则存在λ∈R，使得
；
②若
，则或；
③存在不全为零的实数λ，μ使得
；
④若
，则
．
第 1页（共 13页）
其中正确的命题是（）
A．①③
B．①④
7．（5 分）已知
，
，且
A．﹣4
B．4
C．②③
D．②④
，则向量在向量上的投影等于（）
C．
D．
8．（5 分）已知 O、A、M、B 为平面上四点，且＝λ +（1﹣λ），λ∈（1，2），则
＝，＝m ，＝n ，求证：
．
第 3页（共 13页）
人教版必修 4《第二章平面向量》2020 年单元测试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（5 分）设
，
，且
，则锐角α为（）
A．30°
等于（）
A．6
B．8
C．﹣8
【解答】解：∵由向量加法的平行四边形法则可以知道，
D．﹣6
，
∵ ＝（2，4），＝（1，3），
∴
＝（﹣1，﹣1）
∵
＝（﹣3，﹣5）
∴ • ＝（﹣1）×（﹣3）+（﹣1）×（﹣5）＝8 故选：B．
直，则直线 l 的一般方程是
．
16．（5 分）已知向量
，＝（1，7），
，设 M 是直线 OP 上任意
一点（为坐标原点），则
的最小值为
．Hale Waihona Puke 三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

人教版数学高二第二章平面向量单元测试精选(含答案)2

C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)
【来源】内蒙古平煤高级中学 2017-2018 学年高一下学期第二章单元检测数学试题
【答案】B
8．若取两个互相垂直的单位向量 i, j 为基底,
且已知 a
3i 2 j,b
i 3j
则
5a
•
3b
等于（）
A．–45
B．45
C．–1
D．1
【来源】内蒙古平煤高级中学 2017-2018 学年高一下学期第二章单元检测数学试题
的形状为_____________________
【来源】内蒙古平煤高级中学 2017-2018 学年高一下学期第二章单元检测数学试题
【答案】直角三角形
32．已知
a
1,
b
2
，a
与b
的夹角为
3
，那么
a
b
a
b
=___________
.
【来源】广东华南师范大学附属中学 2017-2018 学年度高一第二学期模块测试数学（必
6
【来源】福建省 2018 届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷
（文科)数学试卷
【答案】B
26．已知复数 z1 1 2i ， z2 1 i ， z3 3 4i ，它们在复平面 xOy 上所对应
的点分别为 A，B，C．若 OC OA OB（ , R ），其中 O 为原点，则
量 a ，b 在基底 s 与 t 下的坐标分别为（﹣1，1），（3，2）．则向量 a 与 b 夹角的余弦值
是（）
A． 26 26
B． 13 13
C．﹣ 26 26
D．﹣ 13 13
【来源】湖南省澧县一中 2018 届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题

平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元测试题(含答案) 平面向量单元检测题学校：______ 姓名：______ 学号：______ 成绩：______一、选择题（每小题5分，共60分）1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE的长度为（）A。

b-1/2a。

B。

a-1/2b。

C。

b+1/2a。

D。

a+1/2b2.下列命题中，假命题是（）A。

若a-b=0，则a=bB。

若ab=0，则a=0或b=0C。

若k∈R，ka=0，则k=0或a=0D。

若a，b都是单位向量，则XXX成立3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量a=(m+1)i-3j，b=i+(m-1)j，(a+b)⊥(a-b)，则实数m为（）A。

-2.B。

2.C。

-1/2.D。

不存在4.已知非零向量a⊥b，则下列各式正确的是（）A。

a+b=a-b。

B。

a+b=a+b。

C。

a-b=a-b。

D。

a+b=a-b5.在边长为1的等边三角形ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，则a·b+b·c+c·a的值为（）A。

3/2.B。

-3/2.C。

1/2.D。

06.在△OAB中，OA=(2cosα，2sinα)，O B=(5cosβ，5sinβ)，若OA·OB=-5，则△OAB的面积为（）A。

3.B。

3/2.C。

53.D。

53/27.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是（）A。

长方形。

B。

平行四边形。

C。

菱形。

D。

梯形8.把函数y=cos2x+3的图象沿向量a平移后得到函数y=sin(2x-π/6)，则向量a的坐标是（）A。

(π/3，-3)。

B。

(π/6，3)。

C。

(π/12，-3)。

D。

(-π/12，3)9.若点F1、F2为椭圆x^2/4+y^2/9=1的两个焦点，P为椭圆上的点，当△F1PF2的面积为1时，PF·PF的值为（）A。

4.B。

1.C。

3.D。

人教版数学高二第二章平面向量单元测试精选(含答案)3

求 m 的值和 ABC 的面积 S .
【来源】2012 届新人教版高三上学期单元测试（6)数学试卷
【答案】（Ⅰ） 2 k 1；
（Ⅱ） m 4 , S 3 .
19．（文）如图，三定点
A2,1
、B 0, 1
、C 2,1 ，三动点
D
、E
、M
满足
uuur AD
uuur t AB
，
uur BE
t
uuur BC
Q 是边 CD 上的点，且 CQ＝3DQ，求 MQ • NP 的值．
试卷第 5页，总 6页
【来源】[名校联盟]江苏省南京六中 20102011 学年高二下学期期末考试数学（理)试题
【答案】3
22．已知向量
a
（cos
3 2
x，sin
3 2
x），
b
（cos
x 2
，﹣sin
x 2
），且
x∈[0，
2
人教版高二第二章平面向量单元测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．对任意向量 a, b ，下列关系式中不恒成立的是（）
A． a b a b
B． a b a b
C． a b2 a b 2
（文科)数学试卷
【答案】 (12 , 5 ) 13 13
11．如图，OM∥AB，点 P 在由射线 OM，线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内（不
含边界）运动，且
uuur OP
uur xOA
uuur yOB
，则
x
的取值范围是__；当

第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )

第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ）第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ） (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2013•三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A.a•b=1 B.a2=b2C.a∥b a=bD.a•b=0 3.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量 =(1，1)，n=(1，-1)，且n• =2，则n• 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上，且 = ，若 =λ，则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-mb)，则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013•牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11C.-D.11 7.(2013•兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= • + • + • ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013•西城高一检测)在矩形ABCD中，AB= ，BC=1，E是CD上一点，且• =1，则• 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= ( ) A. B. C. D.11.(2013•六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若 =a， =b，a•b=0，|a|=1，|b|=2，则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P，如果 + + = ，则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1， )，b=(-2，2 )，则a与b的夹角是. 15.(2013•江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013•武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a•a•a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a•b=b•c且b≠0，则a=c. 其中正确命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA= AB. 求证：AC⊥BC. 18.(12分)(2013•无锡高一检测)设 =(2，-1)， =(3，0)， =(m，3). (1)当m=8时，将用和表示. (2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件. 19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设=2 ， =3 . (1)用向量，作为基底表示向量 . (2)求• . 20.(12分)(2013•唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若|b|=2 ，且a∥b，求b的坐标. (2)若|c|= ，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ. 21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（，sinx），x∈(0，π). (1)若a∥b，求的值. (2)若a⊥b，求sinx-cosx的值. 22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1， |ka+b|= |a-kb|(k>0，k∈R). (1)求a•b 关于k的解析式f(k). (2)若a∥b，求实数k的值. (3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析 1.【解析】选D. - + - = + - = - =0. 2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选B.因为n• =n•( - ) =n• -n• ，又n• =(1，-1)•(1，1)=1-1=0，所以n• =n• =2.4.【解析】选C.由 = 知，| |∶| |=2∶3，且方向相反(如图所示)，所以 =- ，所以λ=- .5.【解析】选A.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2)，又因为(2a+b)∥(a-mb)，所以(-1)×2=4(1+3m)，解得m=- . 【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据 (1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线(平行). (2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b. (3)对于向量a，b，若|a•b|=|a|•|b|，则a与b共线. 向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性. 6.【解析】选C.a•c=[(a+b)-b]•c=(a+b)•c-b•c. 因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，所以a•c=(a+b)•c =(1，2)•(-3，-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是 = =- . 7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，所以c•a=(a+b)•a=a2+b•a=0，所以a•b=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ= = =- ，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°. 8.【解析】选C.因为= • + • + • ，所以2= • + • + • ，所以•( - - )= • ，所以•( - )= • ，所以• =0，所以⊥ ，所以△ABC是直角三角形. 【变式备选】在四边形ABCD中， =a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】选C.因为 = + + =-8a-2b=2 ，所以四边形ABCD为梯形. 9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. A(0，0)，B( ，0)，C( ，1)，设点E 坐标为(x，1)，则 =(x，1)， =( ，0)，所以• =(x，1)•( ，0)= x=1，x= ，所以• = •( ，1)= × +1×1=2. 10.【解析】选D.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)， a+b=(1，2)+(2，-3)= ，因为(c+a)∥b，c⊥(a+b)，所以即解得所以c= . 【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误. 11.【解析】选D.因为a•b=0，所以⊥ ，所以AB= = ，又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC，所以 = ，所以AD= = = ，所以 = = = (a-b)= a- b. 12.【解题指南】先对 + + = 进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系. 【解析】选A.因为 + + = = - ，所以2 + =0， =-2 =2 ，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示). 所以△PAB与△ABC的面积之比是 . 13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3) =(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|= =2 . 答案：2 14.【解析】设a与b的夹角为θ，a•b=(1，)•(-2，2 )=1×(-2)+ ×2 =4， |a|= =2，|b|= =4，所以cosθ= = = ，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°. 答案：60° 15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a| = ，而a•b=(e1+3e2)•2e1=2+6cos =5，|b|=2，所以所求射影为 . 答案： 16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③正确. = = = ；④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a•b=b•c. 答案：②③17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)， C(1，1)，D(0，1)，所以 =(-1，1)， =(1，1)，• =-1×1+1×1=0，所以AC⊥BC. 18.【解析】(1)当m=8时， =(8，3)，设 =x +y ，则 (8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以所以所以 =-3 + . (2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线， =(1，1)， =(m-2，4)，所以1×4-1×(m-2)≠0，所以m≠6. 19.【解析】(1) = + =- + . (2) • = •(- + ) = •(- )+ • =| |•| |cos150°+ | |•| |cos30° = ×1× + × ×1× =- . 20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为a∥b，所以y=2x；① 又因为|b|=2 ，所以x2+y2=20；② 由①②联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c)，(2a+c)•(4a-3c)=8a2-3c2-2a•c=0，又|a|= ，|c|= ，解得a•c=5，所以cosθ= = ，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ= . 21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用. 【解析】(1)因为a∥b，所以sinx= cosx⇒tanx= ，所以 = = =-2. (2)因为a⊥b，所以 +sinxcosx=0⇒sinxcosx=- ，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为x∈(0，π)且sinxcosx<0，所以x∈ ⇒sinx-cosx>0，所以sinx-cosx= . 22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f . (2)先根据k>0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值. (3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|ka+b|= |a-kb| 有|ka+b|2=( |a-kb|)2，k2a2+2ka•b+b2=3a2-6ka•b+3k2b2. 又因为|a|=|b|=1，得8ka•b=2k2+2，所以a•b= 即f(k)= (k>0). (2)因为a∥b，k>0，所以a•b= >0，则a与b同向. 因为|a|=|b|=1，所以a•b=1，即 =1，整理得k2-4k+1=0，所以k=2± ，所以当k=2± 时，a∥b. (3)设a，b的夹角为θ，则cosθ= =a•b = = = .当 = ，即k=1时，cosθ取最小值，又0≤θ≤π，所以θ= . 即向量a与b夹角的最大值为 .。

数学：第二章《平面向量》同步测试(新人教b版必修1)

第二章平面向量同步测试一、选择题：1.a 与b 是非零向量，下列结论正确的是 A ．|a |＋|b |＝|a ＋b | B ．|a |－|b |＝|a －b | C ．|a |＋|b |＞|a ＋b |D ．|a |＋|b |≥|a ＋b |解析：在三角形中，两边之和大于第三边，当a 与b 同向时，取“＝”号. 答案：D2.在四边形ABCD 中，=，且||＝||，那么四边形ABCD 为 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形D ．正方形解析：由＝可得四边形ABCD 是平行四边形，由||＝||得四边形ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.答案：B 3.已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D 的坐标为A ．（2，2）B ．（－6，0）C ．（4，6）D ．（－4，2）解析：设D （x ，y ），则AB ＝（5，3），＝（－1－x ，3－y ），＝（x ＋2，y －1），＝（－4，－1）.又∵∥，∥，∴5（3－y ）＋3（1＋x ）＝0，－（x ＋2）＋4（y －1）＝0，解得x ＝－6，y ＝0. 答案：B4.有下列命题：①++＝0；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若a ＝（m ，4），则|a |＝23的充要条件是m ＝7；④若的起点为A （2，1），终点为B （－2，4），则与x 轴正向所夹角的余弦值是54.其中正确命题的序号是 A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④解析：∵AC AC BC AB 2=++，∴①错.②是数量积的分配律，正确.当m ＝－7时，|a |也等于23，∴③错.在④中，＝（4，－3）与x 轴正向夹角的余弦值是54，故④正确. 答案：C5.已知a ＝（－2，5），|b |＝2|a |，若b 与a 反向，则b 等于 A ．（－1，25） B ．（1，－25） C ．（－4，10）D ．（4，－10）解析：b ＝－2a ＝（4，－10），选D. 答案：D6.已知|a |＝8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为 A ．43B ．4C ．42D ．8＋23解析：由两个向量数量积的几何意义可知：a 在e 方向上的投影即：a ·e ＝|a ||e |cos3π＝8×1×21＝4. 答案：B7.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为 A ．－6 B ．6 C ．3 D ．－3解析：∵a ⊥b ∴a ·b ＝0又∵（2a ＋3b ）⊥（k a －4 b ） ∴（2a ＋3b ）·（k a －4 b ）＝0得2k a 2－12b 2＝0又a 2=|a |2=1，b 2=|b |2=1 解得k ＝6. 答案：B8.已知a ＝（3，4），b ⊥a ，且b 的起点为（1，2），终点为（x ，3x ），则b 等于A ．（－51,1511） B ．（－1511,51） C ．（－51,154）D ．（51,154）解析：b ＝（x －1，3x －2） ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0即3（x －1）＋4（3x －2）＝0，解得x ＝1511. 答案：C9.等边△ABC 的边长为1，AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于 A ．0B ．1C ．－21 D ．－23 解析：由已知|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝cos1cos1cos1－23. 答案：D10.把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为 A ．y ＝372+x B ．y ＝352-xC ．y ＝392-xD ．y ＝332+x解析：把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为A ，即按图象向左平移1个单位，用（x ＋1）换掉x ，再把图象向上平移2个单位，用（y －2）换掉y ，可得y －2＝31)1(2-+x .整理得y ＝372+x答案：A11.已知向量e 1、e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a 与b 共线，则k 等于（） A ．±1B ．1C ．－1D ．0解析：∵a 与b 共线 ∴a ＝λb （λ∈R ），即k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2）， ∴（k －λ）e 1＋（1－λk ）e 2＝0 ∵e 1、e 2不共线.∴⎩⎨⎧=-=-010k k λλ解得k ＝±1，故选A. 答案：A12.已知a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a －b |是a ⊥b 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：|a ＋b |＝| a －b |⇔（a ＋b ）2＝（a －b ）2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b . 答案：C 二、填空题13.如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，＝a ，＝b ，则＝ .解析：-=＝b －a ， ∴＝3131=（b －a ）. 答案：31（b －a ） 14.a 、b 、a －b 的数值分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为 . 解析：∵（a －b ）2＝7 ∴a 2－2a ·b ＋b 2＝7 ∴a ·b ＝3 ∴cos θ＝21||||=⋅b a b a∴θ＝3π. 答案：3π15.把函数y ＝－2x 2的图象按a 平移，得到y ＝－2x 2－4x －1的图象，则a ＝ . 解析：y ＝－2x 2－4x －1＝－2（x ＋1）2＋1 ∴y －1＝－2（x ＋1）2即原函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴a ＝（－1，1）. 答案：（－1，1）16.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是 . 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 3π＝2×1×21＝1∴|a +b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×1＋12＝7，|a －b |2＝a 2－2 a ·b ＋b 2＝22－2×1＋1＝3 ∴|a ＋b |2|a －b |2＝3×7＝21 ∴|a ＋b ||a －b |＝21. 答案：21 三、解答题：17.（本小题满分10分）已知A （4，1），B （1，－21），C （x ，－23），若A 、B 、C 共线，求x .解：∵AB ＝（－3，－23），BC ＝（x －1，－1）又∵∥∴根据两向量共线的充要条件得－23（x －1）＝3 解得x ＝－1.18.（本小题满分12分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，求m 的值. 解：a ·b ＝|a ||b |cos60°＝3 ∵c ⊥d ，∴c ·d ＝0 即（3a ＋5b ）（m a －b ）＝0 ∴3m a 2＋（5m －3）a ·b －5b 2＝0 ∴27m ＋3（5m －3）－解得m ＝4229. 19.（本小题满分12分）已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：由已知，（a ＋3b ）·（7 a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2 b ）＝0，即7a 2＋16a ·b －15 b 2＝0 ① 7a －30a ·b ＋8 b 2＝0②①－②得2a ·b ＝b 2 代入①式得a 2＝b 2∴cos θ＝21||21||||22==⋅b b b a b a ，故a 与b 的夹角为60°. 本小题满分12分）已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 证明：∵+=+=,，两式平方相加可得a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2＋2（·＋·） ∵·＋·＝|||DC |·cos BDC ＋|||DC |cos CDA ＝0 ∴a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 21.（本小题满分14分）设i 、j 分别是直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A 、B 、C ，且＝－2i ＋m j ，＝n i ＋j ，＝5i －j ，⊥，求实数m 、n 的值.解：∵⊥， ∴－2n ＋m ＝0①∵A 、B 、C 在同一直线上， ∴存在实数λ使＝λ，＝－＝7i ＋［－（m ＋1）j ］AB ＝OB －OA ＝（n ＋2）i ＋（1－m ）j ，∴7＝λ（n ＋2）m ＋1＝λ（m －1）消去λ得mn －5m ＋n ＋9＝0 ②由①得m ＝2n 代入②解得m ＝6，n ＝3；或m ＝3，n ＝23. 22.（本小题满分14分）如图，△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径P Q＝2ｒ，问：当P、Q取什么位置时，·有最大值?解：·＝（-）·（-）＝（-）·（－-）＝－r2＋·+·设∠BAC＝α，PA的延长线与BC的延长线相交于D，∠PDB＝θ，则·CQ＝－r2＋cb cosθ＋ra cosθ∵a、b、c、α、r均为定值，∴当cosθ＝1，即AP∥BC时，·CQ有最大值.。

第二章平面向量单元测试卷(一)(含解析)

第二章平面向量单元测试卷（一）【人教A 版】考试时间：100分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）下列命题正确的是( )A ．若向量AB 与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上 B ．若a 与b 平行，则a ，b 的方向相同或相反C ．若果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同D ．在ABC ∆中，必有0AB BC CA ++=2．（5分）（2019•南充模拟）已知向量a 、b 不共线，若12,AB a b AC a b λλ=+=+，且A 、B 、C 三点共线，则关于实数1λ、2λ一定成立的关系式为( ) A ．121λλ==B ．121λλ==-C ．121λλ=D ．121λλ+=3．（5分）（2019春•吉林期末）若向量(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c 等于( ) A ．1322a b -+B ．1322a b -C ．3122a b -D ．3122a b -+4．（5分）（2019春•寻甸县校级期中）设点(1,2)A -，(2,3)B ，(3,1)C -，且23AD AB BC =-则点D 的坐标为( ) A ．.(2,16)B ．.(2,16)--C ．.(4,16)D ．(2,0)5．（5分）（2019秋•濠江区校级期末）如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA a =，OB b =，则(OP = )用a 、b 表示．A ．2133a b -+B ．1233b a +C ．1123a b +D ．1233a b -6．（5分）（2019秋•五华区校级月考）已知向量a 、b 的模都是2，其夹角为60︒，又知32OP a b =+，3OQ a b =+，则P 、Q 两点间的距离为( )A ．BC ．D7．（5分）在ABC ∆中，2()||BC BA AC AC +=，3BA BC =，||2BC =，则ABC ∆的面积是( )A B C ．12D ．18．（5分）（2019•贵州模拟）在ABC ∆中，4AB =，30ABC ∠=︒，D 是边BC 上的一点，且AD AB AD AC =，则AD AB 的值等于( ) A ．4-B ．0C ．4D ．89．（5分）（2019春•七里河区校级期末）设向量,a b 满足||1,||2,()a b a a b ==⊥+，则a 与b 的夹角为() A ．2πB ．23π C ．34π D ．56π 10．（5分）（2019春•绍兴校级期中）已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma nb +与2a b -共线，则m n等于( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．211．（5分）（2019秋•丰台区期末）平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)A ，(0,1)B ，点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且||2OC =，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是( )A 1B ．1C ．1-D ．112．（5分）（2019秋•桥东区校级期末）已知ABC ∆和点M 满足20MA MB MC ++=．若存在实数m 使得CA CB mCM +=成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2019秋•宣城期末）在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC 的最小值为． 14．（5分）（2019秋•泰州期末）已知O 为坐标原点，(1,2)A ，(2,1)B -，若BC 与OA 共线，且(2)OC OA OB ⊥+，则点C 的坐标为．15．（5分）（2019春•东湖区校级月考）如图平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，||||1OA OB ==，||43OC =(,)OC OA OB λμλμ=+，则λμ+的值为．16．（5分）（2018春•道里区校级月考）在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，13DF DC =，则AE AF 的值为．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019春•平阴县校级月考）如图，平行四边形OADB 的对角线OD 、AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足3BC BM =，线段CD 上有一点N 满足3CD CN =，设OA a =，OB b =，试用a ，b表示OM ，ON ，MN ．18．（12分）（2019春•周口校级月考）已知||4a =，||3b =，(23)(2)61a b a b -+=．（1）求a 与b 的夹角θ；（2）求||a b +与||a b -．19．（12分）已知(4,0)OA =，0(2B =，，2(1)()OC OA OB λλλλ=-+≠ （1）证明A ，B ，C 三点共线，并在AB BC =时，λ的值；（2）求||OC 的最小值．20．（12分）（2019秋•潮阳区校级期中）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(3,1)c =-，t R ∈．（1）求||a tb +的最小值及相应的t 值；（2）若a tb -与c 共线，求实数t ．21．（12分）（2019•海淀区校级模拟）四边形ABCD 中，(6,1),(,),(2,3)AB BC x y CD ===-- （1）若//BC DA ，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有AC BD ⊥，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．22．（12分）（2019春•阳高县校级期中）在边长为1的菱形ABCD中，60∠=︒，E是线段CD上一点，A满足||2|||CE DE=，如图所示，设AB a=．=，AD b（1）用a，b表示BE；（2）在线段BC上是否存在一点F满足AF BEAF；若不存在，请⊥？若存在，确定F点的位置，并求||说明理由．第二章平面向量单元测试卷（一）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）下列命题正确的是( )A ．若向量AB 与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上 B ．若a 与b 平行，则a ，b 的方向相同或相反C ．若果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同D ．在ABC ∆中，必有0AB BC CA ++= 【分析】A ，利用向量关系的概念可判断A ；B ，若0b =，其方向任意，当0a ≠时，满足前者，却不满足后者，可判断B ；C ，令(0,0)a b b λλ=≠≠，则(1)a b b λ+=+，分1λ>-、1λ=-、1λ<-三类讨论后可判断C ；D ，在ABC ∆中，必有00AB BC CA ++=≠，可判断D ．【答案】解：A ，若向量AB 与CD 是共线向量，则//AB CD ，或点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，故A 错误；B ，若a 与b 平行，则a ，b 的方向相同或相反，错误，原因是：若0b =，其方向任意，当0a ≠时，a 与0b =平行，但a 的方向不是任意的；C ，如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，即(0,0)a b b λλ=≠≠，则(1)a b b λ+=+，当1λ>-时，a b +的方向与b 的方向相同；当1λ<-时，a b +的方向与a 的方向相同；当1λ=-时，0a b +=，其方向任意，可与a ，b 之一的方向相同，故a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同，故C 正确．D ，在ABC ∆中，必有0AB BC CA ++=，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的共线的概念的理解与应用，特别是0，其方向任意，是易错点．2．（5分）（2019•南充模拟）已知向量a 、b 不共线，若12,AB a b AC a b λλ=+=+，且A 、B 、C 三点共线，则关于实数1λ、2λ一定成立的关系式为( ) A ．121λλ==B ．121λλ==-C ．121λλ=D ．121λλ+=【分析】先求A 、B 、C 三点共线的充要条件，我们要先根据已知条件a 、b 是不共线的向量12,AB a b AC a b λλ=+=+，判断λ与μ满足的关系；并以此关系为已知条件，看能不能反推回来得到A 、B 、C 三点共线．如果两个过程都是可以的，该关系式即为所求．【答案】解：由于AB ，AC 有公共点A ，∴若A 、B 、C 三点共线则AB 与AC 共线即存在一个实数t ，使AB t =AC 即121at t λλ=⎧⎨=⎩消去参数t 得：121λλ=；反之，当121λλ=时 1AB a b λ=+此时存在实数11λ使11AB AC λ=故AB 与AC 共线又由AB ，AC 有公共点A ，A ∴、B 、C 三点共线故A 、B 、C 三点共线的充要条件是121λλ=．故选：C ．【点睛】判断充要条件的方法是：①若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．3．（5分）（2019春•吉林期末）若向量(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c 等于( )A ．1322a b -+B ．1322a b -C ．3122a b -D ．3122a b -+【分析】利用向量相等、线性运算即可得出．【答案】解：设c ma nb =+，则(1-，2)(1m =，1)(1n +，1)(m n -=+，)m n -， ∴12m n m n +=-⎧⎨-=⎩，解得12m =，32n =-．∴1322n a b =-．故选：B ．【点睛】本题考查了向量相等、线性运算，属于基础题．4．（5分）（2019春•寻甸县校级期中）设点(1,2)A -，(2,3)B ，(3,1)C -，且23AD AB BC =-则点D 的坐标为( ) A ．.(2,16)B ．.(2,16)--C ．.(4,16)D ．(2,0)【分析】23AD AB BC =-，可得23OD OA AB BC =+-，即可得出．【答案】解：23AD AB BC =-，∴23(1OD OA AB BC =+-=-，2)2(3+，1)3(1-，4)(2-=，16)，则点D 的坐标为(2,16)．故选：A ．【点睛】本题考查了向量坐标运算性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）（2019秋•濠江区校级期末）如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA a =，OB b =，则(OP = )用a 、b 表示．A ．2133a b -+B ．1233b a +C ．1123a b +D ．1233a b -【分析】由已知OA a =，OB b =，及向量加法的三角形法可得1112()3333OP OA AP OA AB OA OB OA OB OA =+=+=+-=+，把已知代入可求．【答案】解：OA a =，OB b =，由向量加法的三角形法则可得 13OP OA AP OA AB =+=+1()3OA OB OA =+-1233OB OA =+ 1233b a =+ 故选：B ．【点睛】本题主要注意灵活应用向量加法，减法的三角形法则及向量共线定理，灵活利用向量的知识是解决本题的关键．6．（5分）（2019秋•五华区校级月考）已知向量a 、b 的模都是2，其夹角为60︒，又知32OP a b =+，3OQ a b =+，则P 、Q 两点间的距离为( )A ．BC ．D【分析】利用数量积的运算法则和性质、模的计算公式即可得出．【答案】解：向量a 、b 的模都是2，其夹角为60︒，∴1||||cos602222a b a b =︒=⨯⨯=． P ∴、Q 两点间的距离|||||3(32)|d PQ OQ OP a b a b ==-=+-+2222|2|44242b a b a a b =-=+-=+⨯故选：A ．【点睛】本题考查了数量积的运算法则和性质、模的计算公式，属于基础题．7．（5分）在ABC ∆中，2()||BC BA AC AC +=，3BA BC =，||2BC =，则ABC ∆的面积是( )A B C ．12D ．1【分析】由2()||BC BA AC AC +=可得()0BC BA AC AC +-=，整理可得0BA AC =，从而有90A ∠=︒，根据三角函数可得||2cos ,||2sin AC B AB B ==结合3BA BC =，可求cos B ，sin B ，代入三角形的面积公式可求【答案】解：2()||BC BA AC AC +=∴()0BC BA AC AC +-=则有0BA AC =BA AC ∴⊥ 即90A ∠=︒||2BC =，则||2cos ,||2sin AC B AB B ==3BA BC =，24cos 3B ∴=∴cos B =1sin 2B =∴112ABC S ∆=⨯=故选：A ．【点睛】本题以向量的加减运算为载体，结合三角形中的三角形函数的知识考查了三角形的面积公式及向量的数量积的运算，具备一定的综合性．8．（5分）（2019•贵州模拟）在ABC ∆中，4AB =，30ABC ∠=︒，D 是边BC 上的一点，且AD AB AD AC =，则AD AB 的值等于( )A ．4-B ．0C ．4D ．8【分析】由已知中AD AB AD AC =，根据向量垂直的充要条件，可判断出AD 为ABC ∆中BC 边上的高，结合ABC ∆中，4AB =，30ABC ∠=︒，可求出向量,AD AB 的模及夹角，代入向量数量积公式，可得答案．【答案】解：AD AB AD AC =，∴()0AD AB AC AD CB -==即AD CB ⊥故AD 为ABC ∆中BC 边上的高又ABC ∆中，4AB =，30ABC ∠=︒，2AD ∴=，60BAD ∠=︒ ∴1cos 2442AD AB AD AB BAD =∠== 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据已知分析出AD 为ABC ∆中BC 边上的高，进而结合已知求出向量,AD AB 的模及夹角是解答的关键．9．（5分）（2019春•七里河区校级期末）设向量,a b 满足||1,||2,()a b a a b ==⊥+，则a 与b 的夹角为( )A ．2πB ．23πC ．34πD ．56π 【分析】由()a a b ⊥+，得数量积为0，列出方程求出向量a 与b 的夹角．【答案】解：向量||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，设a 与b 的夹角为θ，则有()0a a b +=，即2211cos 0a a b θ+=+=，cos 2θ=-，又0θπ剟，34πθ∴=， ∴a 与b 的夹角为34π．故选：C ．【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义与两个向量垂直性质的应用问题，是基础题目．10．（5分）（2019春•绍兴校级期中）已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma nb +与2a b -共线，则m n 等于( )A ．12-B ．12C ．2-D ．2【分析】根据向量的坐标运算以及两向量平行的坐标表示，列出方程组，求m n 的值．【答案】解：向量(2,3)a =，(1,2)b =-，(2,32)ma nb m n m n ∴+=-+， 2(5,4)a b -=；又ma nb +与2a b -共线，4(2)5(32)0m n m n ∴--+=；∴2m n=-．故选：C ．【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示，是基础题目．11．（5分）（2019秋•丰台区期末）平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)A ，(0,1)B ，点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且||2OC =，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是( )A 1B ．1C ．1-D ．1【分析】由题意可得点C 的坐标，进而可得向量OC 的坐标，由向量相等可得10101λμλμ⎧=⨯+⨯⎪⎨=⨯+⨯⎪⎩，解之即可．【答案】解：点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且||2OC =，∴点C 的横坐标为52cos 6C x π==52sin 16C y π==，故(OC =，1)，而(1,0)OA =，(0,1)OB =，由OC OA OB λμ=+可得10101λμλμ⎧⨯+⨯⎪⎨=⨯+⨯⎪⎩，解得1λμ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，以及相等向量，属基础题．12．（5分）（2019秋•桥东区校级期末）已知ABC ∆和点M 满足20MA MB MC ++=．若存在实数m 使得CA CB mCM +=成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据20MA MB MC ++=，利用向量的减法运算，即可得出结论．【答案】解：20MA MB MC ++=，∴20CA CM CB CM CM -+--=，∴4CA CB CM +=，存在实数m 使得CA CB mCM +=成立，4m ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查向量的减法运算，考查学生的计算能力，属于基础题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2014秋•宣城期末）在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则A B A C 的最小值为 5- ．【分析】如图所示，根据()AB AC AB AD DC =+，利用两个向量的数量积的定义化为2||||||AD BD DC -．令||DC x =，则||6BD x =-，222(6)64AB AC x x x x =--=-+，再利用二次函数的性质求得它的最小值．【答案】解：如图所示，设BC 边上的高为2AD =，AC AD DC =+，∴()AB AC AB AD DC AB AD AB DC =+=+ ||||cos ||||cos()AB AD AB DC B απ=+-2||||cos ||||cos ||(||||)AB AD AB DC B AD BD DC α==-=+-2||||||AD BD DC =-．令||DC x =，06x <<，则||6BD x =-，∴则222(6)64AB AC x x x x =--=-+，故当3x =时，则AB AC 取得最小值为91845-+=-，故答案为：5-．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，两个向量的数量积的定义，二次函数的性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．14．（5分）（2019秋•泰州期末）已知O 为坐标原点，(1,2)A ，(2,1)B -，若BC 与OA 共线，且(2)OC OA OB ⊥+，则点C 的坐标为 (4,3)-- ．【分析】设C 的坐标为(,)x y ，向量的坐标运算和向量共线垂直的条件得到关于x ，y 的方程组，解得即可．【答案】解：设C 的坐标为(,)x y ，O 为坐标原点，(1,2)A ，(2,1)B -，∴(2,1)BC x y =+-，(,)OC x y =，(1,2)OA =，(2,1)OB =-，2(3,4)OA OB +=-，BC 与OA 共线，且(2)OC OA OB ⊥+，2(2)1x y ∴+=-，340x y -+=，解得4x =-，3y =-，∴点C 的坐标为(4,3)--，故答案为：(4,3)--【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量共线垂直的条件，属于基础题．15．（5分）（2019春•东湖区校级月考）如图平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，||||1OA OB ==，||43OC =(,)OC OA OB λμλμ=+，则λμ+的值为 12 ．【分析】如图所示，由OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，||||1OA OB ==，||43OC =得(1,0)A，1(2B -，C ．代入OC OA OB λμ=+，利用共面向量基本定理即可得出．【答案】解：如图所示， OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，||||1OA OB ==，||43OC = (1,0)A ∴，1(2B -，C ． OC OA OB λμ=+，∴1(1,0)(2λμ=+-．∴162λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得84λμ=⎧⎨=⎩． 12λμ∴+=．故答案为：12．【点睛】本题考查了向量的坐标运算、共面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．16．（5分）（2018春•道里区校级月考）在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，13DF DC =，则AE AF 的值为 179 ．【分析】可以画出图形，根据所给条件可求出13CF BA =，从而得出22,33AE BC BA AF BC BA =-=-，根据2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒进行数量积的运算即可求出AE AF 的值．【答案】解：如图，根据题意，1CD =，2133CF CD BA ==， ∴23AE BE BA BC BA =-=-，1233AF BA BC BA BC BA =-++=-，且2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒， ∴22()()33AE AF BC BA BC BA =-- 222213339BC BA BC BA =+- 28131123392=+-⨯⨯⨯ 179=．故答案为：179．【点睛】本题考查了向量数乘的几何意义，向量加法和减法的几何意义，向量的数量积运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019春•平阴县校级月考）如图，平行四边形OADB 的对角线OD 、AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足3BC BM =，线段CD 上有一点N 满足3CD CN =，设OA a =，OB b =，试用a ，b 表示OM ，ON ，MN ．【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则以及向量的数乘运算即可求出【答案】解：5515()6666OM OA AM OA AB OA OB OA a b =+=+=+-=+， 2222()3333ON OD OA OB a b ==+=+， ∴1126MN ON OM a b =-=- 【点睛】本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则以及向量的数乘运算，属于基础题．18．（12分）（2019春•周口校级月考）已知||4a =，||3b =，(23)(2)61a b a b -+=．（1）求a 与b 的夹角θ；（2）求||a b +与||a b -．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式求得1cos 2θ=-，从而求得θ的值．（2）根据222||()2a b a b a b a b +=+=++，222||()2a b a b a b a b -=-=+-，运算求得结果．【答案】解：（1）由(23)(2)61a b a b -+=，得2243461a b a b --=，即6427443cos 61θ--⨯⨯=，求得1cos 2θ=-，再由[0θ∈，]π，可得23θπ=．（2）222||()21692a b a b a b a b +=+=++=+-=；222||()21692a b a b a b a b -=-=+-=++ 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，求向量的模的方法，属于中档题．19．（12分）已知(4,0)OA =，0(2B =，，2(1)()OC OA OB λλλλ=-+≠（1）证明A ，B ，C 三点共线，并在AB BC =时，λ的值；（2）求||OC 的最小值．【分析】（1）由向量的加减运算化简(1)OC OA OB λλ=-+得AC AB λ=，即可证明A ，B ，C 三点共线，再由向量相等、向量的坐标运算求出λ的值；（2）先由坐标运算求出OC 的坐标，代入向量模的公式配方后，利用二次函数的性质求出||OC 的最小值．【答案】证明：（1）因为(1)OC OA OB OA OA OB λλλλ=-+=-+，所以()OC OA OB OA λ-=-，则AC AB λ=，所以A ，B ，C 三点共线，由(4,0)OA =，0(2B =，，(1)OC OA OB λλ=-+得，(AB =-，0(22BC OC B λ=-=--，因为AB BC =，所以222λ-=-⎧⎪⎨=-⎪⎩2λ=；解：（2）因为(1)(1)(4OC OA OB λλλ=-+=-，0)(2λ+，(42λ=-，)，所以||(4OC =故||OC 的最小值是【点睛】本题考查利用向量共线的条件证明三点共线，由向量相等、向量的坐标运算、加减运算，以及向量模的最值问题，考查函数思想、方程思想，化简计算能力．20．（12分）（2019秋•潮阳区校级期中）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(3,1)c =-，t R ∈．（1）求||a tb +的最小值及相应的t 值；（2）若a tb -与c 共线，求实数t ．【分析】（1）利用求模公式表示出||a tb +，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t 值；（2）利用向量共线定理可得关于t 的方程，解出即得t 值；【答案】解：（1）(3,2)a =-，(2,1)b =，(3,1)c =-，∴(3a tb +=-，2)(2t +，1)(32t =-+，2)t +，||(3a tb ∴+=-+==45t =时等号成立）．（2）(3a tb -=-，2)(2t -，1)(32t =--，2)t -，又a tb -与c 共线，(32)(1)3(2)t t ∴--⨯-=⨯-，解得35t =．【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题．21．（12分）（2019•海淀区校级模拟）四边形ABCD 中，(6,1),(,),(2,3)AB BC x y CD ===--（1）若//BC DA ，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有AC BD ⊥，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．【分析】（1）根据所给的三个向量的坐标，写出要用的DA 的坐标，根据两个向量平行的充要条件写出关系式，整理成最简形式．（2）写出AC 向量的坐标，根据两个向量垂直的充要条件写出关系式，结合上一问的结果，联立解方程，针对于解答的两种情况，得到四边形的面积．【答案】解：(,)()(4,2)(4,2)BC x y DA AD AB BC CD x y x y ==-=-++=-+-=---+（1）//BC DA(2)(4)0x y y x ∴-+---=，化简得：20x y +=；（2）(6,1)AC AB BC x y =+=++，(2,3)BD BC CD x y =+=--AC BD ⊥(6)(2)(1)(3)0x x y y ∴+-++-=化简有：2242150x y x y ++--=，联立222042150x y x y x y +=⎧⎨++--=⎩解得63x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩ //BC DAAC BD ⊥则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形当6(0,4)(8,0)3x AC BD y =-⎧==-⎨=⎩此时1||||162ABCD S AC BD == 当2(8,0)(0,4)1x AC BD y =⎧==-⎨=-⎩，此时1||||162ABCD S AC BD ==．【点睛】本题考查向量垂直和平行的充要条件，结合向量的加减运算，利用方程思想，是一个综合问题，运算量比较大，注意运算过程不要出错，可以培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用．22．（12分）（2019春•阳高县校级期中）在边长为1的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 是线段CD 上一点，满足||2|||CE DE =，如图所示，设AB a =，AD b =．（1）用a ，b 表示BE ；（2）在线段BC 上是否存在一点F 满足AF BE ⊥？若存在，确定F 点的位置，并求||AF ；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据向量加、减法运算法则计算即可；（2）设BF tBC tb ==，则(1)FC t b =-，(01)t 剟，AF a tb =+，利用||||1a b ==、12a b =及0AF BE =，计算即可．【答案】解：（1）根据题意得：BC AD b ==，22223333CE CD BA AB a ===-=-， ∴23BE BC CE b a =+=-；（2）结论：在线段BC 上存在使得4||||BF BC =的一点F 满足AF BE ⊥，此时21||AF =理由如下：设BF tBC tb ==，则(1)FC t b =-，(01)t 剟，∴AF AB BF a tb =+=+，在边长为1的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，∴||||1a b ==，1||||cos602a b a b =︒=， AF BE ⊥，∴2()()3AF BE a tb b a =+- 2222(1)33t a b a tb =--+ 212(1)323t t =-⨯-+ 0=，解得14t =，从而14AF a b =+， ∴2111121||1162216AF AF a a b b ==+=++=．【点睛】本题考查向量的加、减法运算法则，数量积运算，将线段垂直转化为向量垂直是解决本题的关键，属于中档题．。

高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)

高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-2．已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π33.已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（）A. 1-B. 0C. 1D. 24．已知向量，若，则实数m 的值为（） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（）A. 4B. 4-C. 2D. 2-7．已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（）A. 2B. 37 D. 48．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-9.已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3-10.已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（） A. 322 B. 2 C. 322- D. 3152- 11．在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（）A. 0B. 833C. 4-D. 4 12．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．14.已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 15．在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示）.16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证： AB BC ⊥；(2) //AD BC ，求实数m 的值.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值．19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.21．（本小题12分）已知向量a 与b 的夹角为120︒， 2,3a b ==， 32,2m a b n a kb =-=+. （I ）若m n ⊥，求实数k 的值；（II ）是否存在实数k ，使得//m n ？说明理由.22.（本小题12分）已知点(1,0),(0,1)A B -，点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.（1）求证：APB ∠恒为锐角；（2）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅的值.高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》参考答案（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（）A. π6B. π4C. π3D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C.4．已知向量，若，则实数m 的值为（） A. 0 B. 2 C.D. 2或【答案】C 【解析】∵向量，且 ∴， ∴.选C. 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（）A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】A【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABAC λ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（） A. 2 B. 23 C. 7 D. 4 【答案】C 8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】D【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D. 10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）A. 322B. 2C. 322-D. 3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CDAB AB CD AB AB CD ⋅=⋅==故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =，3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（）A. 0B. 833 C. 4- D. 4【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-(222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=- .14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________．【答案】60°（或3π）【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ，b 表示）.【答案】2133a b + 【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________．【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证： AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值. 【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值．【答案】（1）34π；（2）1-．【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以()()2,64,2202cos ,240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=；（2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解得：1λ=-.19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角. 【答案】(1);(2)与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。

人教版高二第二章平面向量单元测试精选(含答案)2

人教版高二第二章平面向量单元测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知点(2,1)A -，(4,2)B ，点P 在x 轴上，当PA PB ⋅u u u r u u u r取最小值时，P 点的坐标是（） A ．(2,0)B ．(4,0)C ．10(,0)3D ．(3,0)【来源】2014届湖北省宜昌示范教学协作体高一下学期期中考试数学试卷（带解析) 【答案】D2．已知⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3的半径依次为1，2，3，⊙O 1，⊙O 2外切于点M ，⊙O 2，⊙O 3外切于点N ，⊙O 1，⊙O 3外切于点P ，则111()O N O M O P ⋅+u u u u v u u u u v u u u v=（）A ．85B ．145C ．175D ．195【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】C3．如图，已知圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣3）2=4，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅u u u r u u u r的取值范围是（）A ．[-B ．[-C ．[﹣6， 6]D ．[﹣4，4]【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】C4．点P 是△ABC 所在平面上一点，满足PB PC u u u v u u u v --2PB PC PA u u u v u u u v u u u v+-=0，则△ABC的形状是A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【来源】2018年9月14日《每日一题》一轮复习-平面向量的线性运算【答案】B5．设s r 与t r 是不共线的两个向量，若平面向量a r =x s r +y t r（x ，y ∈R ），则称数对（x ，y ）为向量a r 在基底s r ,t r 下的坐标，设基底向量s r =（1．﹣1），t r =（﹣1，2），平面向量a r ，b r 在基底s r 与t r 下的坐标分别为（﹣1，1），（3，2）．则向量a r 与b r夹角的余弦值是（）A ．26B ．13C ．﹣26D ．﹣13【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】A6．若AC ⊥BC ，AC=BC=1，点P 是△ABC 内一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（） A ．（﹣12，0） B ．（0，12） C ．（﹣12，12） D ．（﹣1，1）【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】A7．向量a r ＝(－1,1)，且a r 与a r ＋2b r 方向相同，则a b •r r的取值范围是 ( ) A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】B8．若取两个互相垂直的单位向量,i j r r 为基底, 且已知32,3a i j b i j =+=-v v v v v v 则5?3a bv v 等于（） A ．–45B ．45C ．–1D ．1【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】A9．下列命题中正确的个数是 ( )（1）若e r 为单位向量，且//a e v v，则a a e =r r r ；（2）若//a b r r 且//b c r r ，则//r r a c ；（3）3••a a a a =v v v v ；（4）若平面内有四点A 、B 、C 、D ，则必有AC BD BC AD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r. A ．0B ．1C ．2D ．3【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】B10．在△ABC 中，AB u u u r =（2，3），AC u u u r=（1，k ）,若△ABC 为直角三角形，则k 的值为（） A ．－23B ．113C ．－23或113D ．－23、113或32± 【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】D11．已知3p q ==v v，,p q u r r的夹角为4π，则以52,3a p q b p q =+=-v v v v v v为邻边的平行四边形的一条对角线长为（） A ．15BC ．14D ．16【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】A12．若OA u u u r =a r ，OB uuu r =b r ，a r 与b r不共线，则∠AOB 平分线上的向量OM u u u u r 为（）A ．a b a b +v v v vB ．a b a bv v v v ++C ．b a a b a b-+v v v v v vD ．()a b a bλ+v v v v ,λ由OM u u u u r确定【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】D13．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AF =u u u r（）A ．1142a b +r rB ．2133a b +rrC ．1124a b +rrD ．1233a b +rr【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】B14．已知向量OA u u u r ＝(2,2)，OB uuu r ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP u u u r ·BP u u ur 有最小值，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)【来源】2019届高考数学人教A 版理科第一轮复习单元测试题：第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入【答案】C15．已知定义在R 上的函数()f x 满足： ①()10f =；②对任意x ∈R 的都有()()f x f x -=-； ③对任意的()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠时，总有()()12120f x f x x x ->-.记()()()231f x f xg x x --=-，则不等式()0g x ≤的解集为（）A ．[)()1,00,1-⋃B ．(][),10,1-∞-⋃C ．[)1,0-D ．[]1,0-【来源】福建省福州格致中学2017-2018学年高一下学期第四学段质量检测数学试题【答案】D16．在ABC ∆中，角60,B a b ===o A =（） A ．30°B ．45︒C ．135︒D ．45︒或135︒【来源】福建省福州格致中学2017-2018学年高一下学期第四学段质量检测数学试题【答案】B17．O 为ABC ∆的外心，4,2AB AC ==，则BC AO ⋅uu u r uuu r的值为（） A ．8-B ．8C ．6-D ．6【来源】福建省福州格致中学2017-2018学年高一下学期第四学段质量检测数学试题【答案】C 18．设a k =πππcos,sin cos 666k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,k ∈Z,则a 2 015·a 2 016=( )A B 12C ． 1D ．2【来源】2019届高考数学人教A 版理科第一轮复习单元测试题：第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入【答案】B19．已知平面向量a,b,|a |=1,|b |=2,且a·b =1.若e 为平面单位向量,则(a+b)·e 的最大值为( )AB ．6CD ．7【来源】2019届高考数学人教A 版理科第一轮复习单元测试题：第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入【答案】C20．已知|OA u u u r |=|OB uuu r |=2,点C 在线段AB 上,且|OC u u u r |的最小值为1,则|OA u u u r -t OB uuu r|(t ∈R)的最小值为( )AB C ．2D 【来源】2019届高考数学人教A 版理科第一轮复习单元测试题：第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入【答案】B21．若非零向量a,b 满足a ⊥(2a+b),且a 与b 的夹角为2π3,则||||a b =( )A ．12B ．14C D ．2【来源】2019届高考数学人教A 版理科第一轮复习单元测试题：第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入【答案】B22．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则PQ u u u r的最大值是 ( )A ．B ．2C ．4D ．2【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3 【答案】B23．若将向量(2,1)a =围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ）A ．(22-- B ．(22C ．(22-D ．(,22- 【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷【答案】B24．设3(,sin )4a α=，1(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为( ） A ．15︒B ．45︒C ．75︒D ．1575︒︒或【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷【答案】D25．若非零向量a 、b 满足()-⊥a b a 且(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷【答案】B26．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面xOy 上所对应的点分别为A ，B ，C ．若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r（,R λμ∈），其中O 为原点，则λμ+的值是( ） A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷【答案】A27．关于复数2(1)1i z i+=-下列说法正确的是( ）A ．在复平面内，z 所对应的点在第一象限B ．z 的共轭复数是1i -C ．若()z b b R ω=+∈为纯虚数，则1b =D ．z 的模为2【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷【答案】C 二、填空题28．已知2,4a b ==v ，,a b r r 的夹角为0120，则使向量a kb +r r 与ka b +r r 的夹角是锐角的实数k 的取值范围是_____________________________.【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】5522k +<<且1k ≠29．（文）假设||a =r b r ＝(－1,3)，若a b ⊥r r，则a r ＝________________.【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】)或(－)30．在三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，且满足12CD AB =u u u r u u u r ，则_______CA CB u u u v u u u v ⋅=【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】031．若AB u u u r ·BC uuu r +2AB u u u v= 0，则ΔABC 的形状为_____________________【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】直角三角形32．已知1,2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为3π，那么a b a b +⋅-v v v v =___________ .【来源】广东华南师范大学附属中学2017-2018学年度高一第二学期模块测试数学（必修四)试题33．对于任意两个复数z 1=x 1+y 1i,z 2=x 2+y 2i(x 1,y 1,x 2,y 2为实数),定义运算“☉”:z 1☉z 2=x 1x 2+y 1y 2,设非零复数ω1,ω2在复平面内对应的点分别为P 1,P 2,点O 为坐标原点,如果ω1☉ω2=0,那么在△P 1OP 2中,∠P 1OP 2的大小为____.【来源】2017-2018学年高中数学人教B 版选修1-2单元测试：第三章数系的扩充与复数的引入【答案】π.234．若向量a,b 满足:a =(+2b)⊥a,(a +b)⊥b,则|b |=_____.【来源】2019届高考数学人教A 版理科第一轮复习单元测试题：第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入35．若a b -=4,5a b ==，则,a b 的数量积为_______．【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷【答案】36．已知12,e e 是平面单位向量，且1212⋅=e e ．若向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b =_____．【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷三、解答题37．如图，在△ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近点B ，E ，F 分别为AC ，AD 的三等分点，且分别靠近A ，D 两点，设AB u u u v =a v，AC u u u v =b v．（1）试用a v，b v 表示,,BC AD BE u u u v u u u v u u u v；（2）证明：B ，E ，F 三点共线．【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】(1)见解析. (2)见解析.38．已知0a b c ++=r r r r，||a r =3，||b r =5，||c r =7．（1）求a r 与b r的夹角；（2）是否存在实数k ，使ka b +r r 与2a b -r r垂直？【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】(1) ,3a b π<>=r r .(2) k=8512-时，ka b +r r 与2a b -r r 垂直．39．设,a b r r 是不共线的两个向量,已知2AB a kb =+u u u r r r ，BC a b =+u u u r r r ，2CD a b =-u u u r r r 若A 、B 、D 三点共线,求k 的值.【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】λ=1，k=－140．在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，AB u u u r＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1) 若AD u u u r ＝(3，5)，求点C 的坐标；(2) 当|AB u u u r |＝|AD u u u r|时，求点P 的轨迹．【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】（1）(10，6)（2）22(5)(1)4(1)x y y -+-=≠41．设平面内的向量(1,7)OA =u u u r , (5,1)OB =u u u r , (2,1)OM =u u u u r，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PA PB ⋅u u u r u u u r 取最小值时，OP uuu r的坐标及∠APB 的余弦值．【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】(4,2)OP =u u u v ,cos 17APB ∠=- 42．已知定点(0,1)A 、(1,0)C 、(1,0)C ，动点2AP BP k PC→→→⋅=满足：2AP BP k PC→→→⋅=.（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2k =时，求AP BP →→+的最大值和最小值.【来源】广东华南师范大学附属中学2017-2018学年度高一第二学期模块测试数学（必修四)试题【答案】（1）见解析；（2）243．已知复数z 满足|z|2z 的虚部为2，z 所对应的点在第一象限， (1)求z ;(2)若z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,求cos ∠ABC ．【来源】2017-2018学年高中数学人教B 版选修1-2单元测试：第三章数系的扩充与复数的引入【答案】(1) z=1+i .(2) 44．已知方程22240x y x y m +--+=. （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中圆与直线240x y +-=相交于,M N 两点，且坐标原点在以MN 为直径的圆外，求m 的取值范围.【来源】福建省福州格致中学2017-2018学年高一下学期第四学段质量检测数学试题【答案】(1) (),5-∞. (2)82455m <<. 45．如图，平行四边形ABCD 中，12,,,33AB a AD b CE CB CF CD ====u u u r r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）用ab r r表示EF u u u r（2）若1,4,60a b DAB ==∠=or r ，分别求EF u u u r 和AC EF ⋅u u u r u u u r 的值.【来源】福建省福州格致中学2017-2018学年高一下学期第四学段质量检测数学试题【答案】(1) 1233EF b a =-u u u r r r.(2) EF =u u u v4AC EF ⋅=u u uv u u u v . 46．已知向量()2cos ,sin a x x =r ，向量sin ,cos 33b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭r ，()1f x a b =⋅-r r 求：（1）()f x 的最小正周期及单调区间；（2）是否存在ABC ∆，使角,A B 是方程()0f x =的两不等实根？若存在求内角C 的大小，若不存在说明理由.【来源】福建省福州格致中学2017-2018学年高一下学期第四学段质量检测数学试题【答案】(1) ()f x 的最小正周期等于π；()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2) 对任意整数k ，不可能存在,A B 满足方程()0f x =.47．如图已知四边形AOCB 中,5OA =u u u r ,()5,0OC u u u r =,点B 位于第一象限，若△BOC 为正三角形.（1）若3cos ,5AOB ∠=求点A 的坐标；（2）在（1）条件下，记向量OA u u u r 与BC uuu r 的夹角为θ，求cos2θ的值.【来源】江西省南昌市南昌县莲塘一中2018届直升班周末练试卷数学试题【答案】（1）A 点坐标为34,.22⎛-+ ⎝⎭（2）cos2θ=48．已知11),(,22a b =-=，且存在实数k 和t ，使得2(3),x a t b =+-⋅y ka t b =-+⋅且x y ⊥，试求2k t t+的最小值．【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷【答案】当2t =-时，2k t t+有最小值74- 49．已知复数z 满足(1)25z i z i -+=--，求z ．【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷【答案】5。

高中数学第二章平面向量单元检测新人教A版必修4

第二章平面向量单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)1．下列等式恒成立的是( ) A ．AB u u u r ＋BA u u u r ＝0 B ．AB u u u r －AC u u u r ＝B CC ．(a·b )·c ＝a (b·c )D ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c2．已知|a |＝|b |＝6，a·b ＝－18，则a 与b 的夹角θ是( )A ．120° B．150° C．60° D．30°3．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是( )A ．3i ＋2jB ．－2i ＋3jC ．－3i ＋2jD ．2i －3j4．设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA u u u r ＋OB uuu r ＋OC u u u r ＋OD u u u r ＝( ) A ．OM u u u u r B ．2OM u u u u r C ．3OM u u u u r D ．4OM u u u u r5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(－3，－4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,26．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为90°，且c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，若c ⊥d ，则实数k 的值为( )A ．6B ．－6C ．3D ．－37．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．08．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A ．π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9．若AB u u u r ＝2e 1＋e 2，AC u u u r ＝e 1－3e 2，AD u u u r ＝5e 1＋λe 2，且B ，C ，D 三点共线，则实数λ＝__________． 10．已知O 是直角坐标系的原点，A (2,2)，B (4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP u u u r ·BP u u u r 取得最小值，则点P 的坐标为__________．11．如图，在矩形ABCD 中，AB ，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB u u u r ·AF u u u r ，则AE u u u r ·BF u u u r 的值是________．三、解答题(本大题共3小题，共34分)12．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB u u u r －t OC u u u r )·OC u u u r ＝0，求t 的值．13．(10分)设平面内两向量a 与b 互相垂直，且|a |＝2，|b |＝1，又k 与t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－k a ＋t b 垂直，试求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )；(2)求函数k ＝f (t )的最小值．14．(14分)已知向量a ＝(mx 2，－1)，b ＝1,1x mx ⎛⎫⎪-⎝⎭(m 为常数)，若向量a 与b 的夹角〈a ，b 〉为锐角，求实数x 的取值范围．参考答案1答案：D 解析：由数量积满足分配律可知D 正确．2答案：B 解析：∵cos θ＝||||⋅==a b a b ，∴θ＝150°． 3答案：C 解析：2i ＋3j ＝(2,3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3,2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．4答案：D 解析：∵由已知M 为AC 中点，M 为BD 中点，∴OA u u u r +OC u u u r =2OM u u u u r ，OB uuu r +OD u u u r =2OM u u u u r ． ∴OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r +OD u u u r =4OM u u u u r ． 5答案：B 解析：因为c ＝λ1a ＋λ2b ，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，所以121223,234,λλλλ+=-⎧⎨+=-⎩解得λ1＝1，λ2＝－2． 6答案：A 解析：∵c ⊥d ，∴c ·d ＝(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，即2k －12＝0，∴k ＝6． 7答案：D 解析：因为a ＋b 与c 共线，所以有a ＋b ＝m c ，又b ＋c 与a 共线，所以有b ＋c ＝n a ，即b ＝m c －a 且b ＝－c ＋n a ，因为a ，b ，c 中任意两个都不共线，则有1,1,m n =-=-所以b ＝m c －a ＝－c －a ，即a ＋b ＋c ＝0，选D ．8答案：B 解析：设a 与b 的夹角为θ，∵Δ＝|a |2－4a ·b ≥0， ∴a ·b ≤2||4a ，∴ cos θ＝2||1||||4||||2⋅≤=ab a a b a b ． ∵θ∈[0，π]，∴θ∈π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 9答案：13 解析：由已知可得BC uuu r ＝AC u u u r －AB u u u r ＝(e 1－3e 2)－(2e 1＋e 2)＝－e 1－4e 2，CD uuu r ＝AD u u u r －AC u u u r ＝(5e 1＋λe 2)－(e 1－3e 2)＝4e 1＋(λ＋3)e 2．由于B ，C ，D 三点共线，所以存在实数m 使得BC uuu r ＝m CD uuu r ，即－e 1－4e 2＝m [4e 1＋(λ＋3)e 2]．所以－1＝4m 且－4＝m (λ＋3)，消去m ，得λ＝13．10答案：(3,0) 解析：设P (x,0)，则AP u u u r ·BP u u u r ＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时取到最小值，故P (3,0)．11解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，则由题意知，点B0)，点E，1)，设点F (a ，b )，所以AB u u u r ＝，0)，AF u u u r ＝(a ，b )．由条件解得点F (1,2)，所以AE u u u r ＝，1)，BF u u u r ＝(12)．所以AE u u u r ·BF． 12答案：解：(1)AB ＝(3,5)，AC u u u r ＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB u u u r ＋AC u u u r |与|AB u u u r －AC u u u r |的大小．由AB u u u r ＋AC u u u r ＝(2,6)，得|AB u u u r ＋AC u u u r |＝，由AB u u u r －AC u u u r ＝(4,4)，得|AB u u u r －AC u u u r |＝ (2)OC u u u r ＝(－2，－1)， ∵(AB u u u r －t OC u u u r )·OC u u u r ＝AB u u u r ·OC u u u r －t OC u u u r 2，易求AB u u u r ·OC u u u r ＝－11，OC u u u r 2＝5，∴由(AB u u u r －t OC u u u r )·OC u u u r ＝0得t ＝115-．13答案：解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又x ⊥y ，∴x ·y ＝0．即[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0，∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t 2－3t ＝0，即k ＝14(t 2－3t )．(2)由(1)知k ＝14(t 2－3t )＝21394216t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即函数的最小值为916-．14答案：解：∵a 与b 的夹角为锐角，∴a ·b ＞0，即21mx mx -－x ＞0．∴1xmx -＞0，即x (mx －1)＞0．①当m ＞0时，解得x ＜0或x ＞1m ；②当m ＜0时，解得1m ＜x ＜0；③当m ＝0时，解得x ＜0．综上，当m ＞0时，x 的取值范围是10x x x m ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当m ＜0时，x 的取值范围是10x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当m ＝0时，x 的取值范围是{x |x ＜0}．。