第二章 命题逻辑[2010]

• 真值联结词和真值形式
• • • 真值：真（T，1）；假（F，0）。 真值集合：{T；F}；{1；0} 命题变项：在真值集合上取值的变元，我们
用p，q，r，s，t,„„拉丁字母来表示命题 变元，它们的取值范围就是真值集合{T；F}。 p取T值意味着p是一个真命题；p取F值意味着 p是一个假命题。
（二）简单推理
1. 合成式： 2. 分解式： 3. 否定式
三 选言命题
• 选言命题是断定几种事物情况至少有一种 存在的复合命题。
• 小强发烧或者是感冒，或者是由于肺炎。
• 根据天气预报，明天不是刮风就是下雨。
• 今天或者是周一，或者是周二。
（一）相容选言命题
• • 根据天气预报，明天不是刮风就是下雨。 这篇论文没有通过，或者是因为论点不成立， 或者是因为论据不充分，或者是因为论证有问 题。 • 李四没有被评为优秀学生，或者是因为学习成 绩不好，或者是因为与同学关系不好。
5. 等值式：“pq”
• 这种由命题变项和逻辑联结词组成，表示复合 命题结构的符号串，称作“命题形式”，也称
作“命题（逻辑）公式”，简称“公式”。
公式的定义：
1) 任一单个命题变项是公式； 2) 如果α 是公式，则¬α 是公式； 3) 如果，α 和β 是公式，则α ∧β ，α ∨β ，α
→β ，α β 也都是公式；
３．定律： （1）交换律：p∧q ├ ｑ∧ｐ
（2）结合律：p∧（q∧r） （p∧q）∧r
（3）德·摩根定律：¬（p∧q）¬p∨¬q
（二）析取式
1. 逻辑性质：只有当两个析取支都为假的时候， 整个析取式才为假。
2．推理：
I. 否定肯定式（分离式）
• • p∨q，¬p├q p∨q，¬q├p
II. 附加式。
3. 张三到过北京，并且张三到过长城。
4. 张三到过北京，或者张三到过长城。 5. 要么张三到过北京，要么张三没有到过北京。 6. 如果张三到过北京，那么张三到过长城。 7. 张三到过北京当且仅当张三到过长城。
• 并非：并不是，„不成立，„是假的，„不符 合事实，等等。
• • • • 并且：和；然后；不但，而且；虽然，但是；
约定：
• 整个公式外面的括号可以省略； • 各联结词的结合力依下列次序递减：
¬；；；→；
• 连续的“→”从后向前结合。
1. ( p q) p q 2. p q p
3. ( p q) ( p q)
4. ( p r q s) ( p r) (q s)
代入1、3、4观察结果： 如果1<2，那么1<4； 如果3<2，那么3<4； 如果4<2，那么4<4。
（二）必要条件假言命题
• 若要人不知，除非己莫为。 • 仅当明天天晴，我们才去郊游。
• 只有坚持不懈，才能有所成就。
1. 逻辑性质：如果无p就无q，则p是q的必要条 件。
2. 简单推理：
• • 否定前件式 肯定后件式
4) 当且仅当经过有限次地使用1),2),3)所组成的 符号串都是公式。
•
在生成公式的过程中最后一步所使用的联结 词叫“主联结词”。
• 主联结词决定了复合命题的类型。
1. ((( p q) p) q) 2. ( p (q p)) 3. (( p q) ( p q)) 4. ((((p r ) (q s)) ( p q))
•
解释为真值集合上的运算的逻辑联结词也称为 真值联结词。
• 经这样解释的命题形式也叫做真值形式。
一 真值形式及其简单推理
（一）合取式
1. 逻辑性质：只要有一个合取支为假，整个合 取式就为假；只有两个合取支都真的时候， 合取支才是真的。
2.推理形式：
① 合成式：p，q，├ p∧q
② 分解式：p∧q ├ p； p∧q ├ q ③ 否定式：¬p├ ¬（p∧q）； ¬q├ ¬（p∧q）
3. 无效式
• （三）充分必要条件假言命题
• 如果有p就有q，无p就无q。 • 标准形式： pq。
• 张三是单身汉，当且仅当，他是未婚男子。
• 人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。 • 如果公民年满18周岁，则他有选举权和被选举 权；只有公民年满18周岁，他才有选举权和被 选举权。
五 负命题
p∨（q∧r） （p∨q）∧（p∨r）
IV. 德·摩根定律：¬（p∧q）¬p∨¬q ¬（p∨q）¬p∧¬q
4．严格析取式
I. 逻辑性质：有且只有一个析取支为真。
II. 等值转换：
• p⊙q（p∨q）∧¬（p∧q）
•
p⊙q （p∧ ¬ q） ∨（ ¬ p∧q）
III.推理：
5.三支严格析取式：p⊙q⊙r • （p∨q∨r）∧¬（p∧q）∧¬（p∧r ）∧ ¬（q ∧ r）
1. 逻辑形式： ¬p（并非）
• • 并非所有的乌鸦都是黑的。 并非一刮风就下雨。
2. 负命题的真值与原命题相反。
• 不是所有的乌鸦都是黑的。 • 说“所有的乌鸦都是黑的”是假的。
• “所有的乌鸦都是黑的”这一说法不成立。
• 说“所有的乌鸦都是黑的”不符合事实。
六 逻辑联结词和命题形式
（一）逻辑联结词：
• 如果华莱士是单身汉，那么华莱士是未婚的。
• 如果这张蓝色的石蕊试纸放到酸液中，那么它会变 红。 • 如果中国队能出现，那么我就把这里的酒全喝了。
3．推理 I. 肯定前件式。
• p→q，p├ q
II. 否定后件式。
• p→q， ¬q├ ¬p
III.无效式
3. 北京没有立交桥是胡说。
4. 火星上有生命存在。 5. 这盆茉莉花真香！ 6. 香山比华山高。 7. 这结果对吗？
8. 如果水是清的【p】，那么或者张三能看到池底 【q】或者他是个近视眼【r】。
9. 如果嫦娥是虚构的【p】，而且如果圣诞老人也 是虚构的【q】，那么许多孩子就受骗了【r】。
10.如果老张坚持长跑【p】或者坚持打太极拳 【q】，那么，不仅他的哮喘病能治愈【r】， 而且他的关节炎也不会重犯【s】。
14.正在下雨的必要条件是今天天气很冷。
15.如果查尔斯是犯罪嫌疑人(p)，那么他就有作 案时间(q)和作案动机(r)，而他没有作案动 机，所以，他不是犯罪嫌疑人。
•
请写出下述命题逻辑形式，如果是复合命题，请根据其中所含 的主联结词指出是何种复合命题。
1. 柏拉图和亚里士多德是同时代人。 2. 今天虽然阳光灿烂，但是气温却不高。
（一）充分条件假言命题
1. 只要勤奋努力，总会有所收获。 2. 假如没有地球引力的话，树上的苹果就不会
落地。
3. 要是你能解决哥德巴赫猜想，我就能拔着自 己的头发上天。 4. 如果你是个傻瓜，那么一言不发是最聪明的 ；如果你是个聪明的人，那么一言不发是最 愚蠢的。
1. 逻辑性质：如果有p就有q，则p是q的充分条件。 2. 简单推理：
4. 这件事情张三和李四都可以做。
5. 这件事张三或李四都行。
6. 他个子高［p］而且很胖[q]。 7. 他个子高但不是很胖。
8. 并非“他个子高或很胖”。
9. 他个子不高也不胖。 10.他个子高或者他个子矮且胖。 11.他个子矮或他不很胖都是不对的。
12.如果正在下雨，那么天气很冷。 13.今天天气很冷，当且仅当正在下雨。
第二章 命题逻辑
2010-10-25
第一节 日常联结词和复合命题
一 简单命题和复合命题
1. 雪是白的。 2. 李敖是一位特立独行的人，并且住在台湾。
3. 如果一个推理的前提真实并且推理形式正确， 则结论必定真实。
4. X是偶数，当且仅当X能够被2整除。 5. 并不是所有的人都喜欢在大城市生活。
1. 张三到过北京。 2. 并非张三到过北京。
• （p∨q∨r) ∧ ¬( (p∧q∧r) ∨(p∧q) ∨(p∧r) ∨ (q ∧ r) )
• （p∧¬q∧¬r)∨ (¬p∧q∧¬r) ∨ (¬p∧¬q∧r)
（三）蕴涵式：
1. 如果有p就有q，则p是q的充分条件。 2. 标准形式：p→q
• 如果所有的人都有死且苏格拉底是人，那么苏格拉 底有死。
•
•
肯定前件式
否定后件式
3. 无效式
• 如果长期躺在床上看书，就会患近视眼；我从 不躺在床上看书，所以，我不会患近视眼。
• 如果李浩是美国总统，他肯定是人。王浩确实
是人，所以，他肯定是美国总统。
• 如果华盛顿是被暗杀的，那么华盛顿死了。华 盛顿死了，因此，华盛顿是被暗杀的。
• 如果 x<2，那么x<4。
• 我们设定一些符号，来表表示联结词的逻辑 内容，这些符号分别是： “¬”，“”，“”，“→”， “”
① 否定词：“¬”，“并非”； ② 合取词：“”，“并且”；
③ 析取词：“”，“或者„„或者„„”；
④ 蕴涵词：“→”，“如果„„那么„„”； ⑤ 等值词“”，“当且仅当”
（二）命题（的逻辑）形式 1. 否定式：“¬p” 2. 合取式：“pq” 3. 析取式：“pq” 4. 蕴涵式：“p→q”
1. 逻辑性质：各个选言支可以同时为真 2. 简单推理：
•
• •
否定肯定式
添加式 无效式
（二）不相容选言命题
• 不相容选言命题是断定两种事物情况中有且只 有一种情况成立的选言命题。 • 或为玉碎，或为瓦全。 • 今天不是星期一，就是星期二。 • 任一个自然数或者是偶数，或者是奇数。
1. 逻辑性质：各个选言支不能同时为真。 2. 简单推理：
。一户的祖孙三代之间工种各不相同，三户的 同辈人之间工种各不相同。已知爷爷做车工的 那家，其孙子不做勤杂工，请问这三家的祖孙 三代各干什么？
四 假言命题
1. 如果某人有选举权，那么他的年龄在18岁或1 8岁以上。