2020浙江新高考数学二轮复习专题强化练：不等式 Word版含解析
2020浙江高中数学二轮专强化练解答规范练
解答题标准练二1．函数f＝2错误!in co －2co2＋11求函数f的单调递增区间；2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设满足fB＝2，a ＝8，c＝5，求co A的值．2如图，四棱锥恒成立，求实数的m最小值；2对任意的1，2∈0，2且1＜2，假设存在0∈1，2，使得f′0＝错误!，求证：0＜错误!4抛物线C：2＝4上动点＝2，2，2，那么错误!即错误!取2＝1，那么m＝1，1，2．又co〈m，n〉＝错误!＝－错误!，结合图形知，二面角H a＝f e＝错误!因为关于的不等式f≤m恒成立，所以f ma≤m，所以m≥错误!，即m的最小值为错误!2证明：因为对任意的1，2∈0，2，假设存在0∈1，2，使得f′0＝错误!，即错误!＝错误!，所以错误!2－1－[f2－f1]＝0令F＝错误!2－1－[f2－f1]，那么有F0＝0，所以F′＝错误!2－1，当∈0，2时，2n －3＜2n 2－3＜0，又有2－1＞0，所以F′＜0，即F在0，2上是减函数．又因为F错误!＝错误!2－1－[f2－f1]＝错误!2－1－错误!＝错误!错误!－错误!错误!，令错误!＝t＞1，所以F错误!＝错误!错误!，设ht＝t·错误!－错误!，所以h′t＝错误!，设t＝t－t n t－1，所以′t＝－n t＜0t＞1，所以t在1，＋∞上是减函数，所以t＜1＝′t＜0，所以ht在1，＋∞上是减函数，所以ht＜h1＝0所以F错误!＝错误!ht＜0＝F0，因为F在0，2上是减函数，所以0＜错误!4．解：1设直线P A的方程为＝＋b，那么A8－2b，8－b．设P1，1，Q2，2，由错误!得2－4＋4b＝0，所以Δ＝16－16b＞0，b＜1，错误!，又1＋8－b＝22，解得错误!或错误!，经检验都是方程的解，所以P0，0或P16，－8．2设A2t1－8，t1，B2t2－8，t2，t1，t2≥在抛物线C上，可得错误!错误!＝4错误!，整理得t错误!＋21－16t1＋64－错误!＝0，同理t错误!＋21－16t2＋64－错误!＝0，所以t1，t2是方程t2＋21－16t＋64－错误!＝0的两个不相等的非负根．所以错误!，所以－8≤1＜0于是|AB|＝错误!|t1－t2|＝2错误!错误!≤32错误!，当且仅当1＝－8时取等号．所以|AB|的最大值为32错误!5．解：1由题设a n>0，当n＝1时，a1＝错误!；当n≥2时，a错误!＝2n－2n－1＝2n－1，所以a n＝2错误!又a1＝错误!不满足a n＝2错误!，所以数列{a n}的通项公式为a n＝错误!2由1知数列{a n}的通项公式为a n＝错误!，故错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1·2错误!n≥2，记S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，那么当n≥2时，S n＝错误!＋错误!－1[错误!＋错误!2＋…＋错误!n－1]＝错误!＋错误!－1·错误!＝2错误!－错误!，故S n＝错误!当n∈N*，n≥2时，要使得2错误!－错误!>n－错误!恒成立，即2n>n2恒成立．由于当n＝4时，2n＝n2，考察函数f＝2－2的单调性，易证当>4时，函数f＝2－2单调递增，且＝4时，f＝0，所以当n≥5时，错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!>n －错误!恒成立，故所求n的取值范围是n≥5。
2020届高考数学(文)二轮复习专题过关检测：专题3 不等式 Word版含答案
2020届高考数学（文）二轮复习专题过关检测专题3 不等式1．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－1或x ≥92 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤92 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－92≤x ≤1 解析：选D 不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，所以(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1.所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－92≤x ≤1.故选D. 2．设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2B.ab>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C 若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；若b <0，则a b<1，故B 错；不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.3．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3<0的解集A ＝(－1,3)，不等式x 2＋x －6<0的解集B ＝(－3,2)．所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0表示的可行域为Ω，则( )A ．原点O 在Ω内B ．Ω的面积是1C ．Ω内的点到y 轴的距离有最大值D ．若点P (x 0，y 0)∈Ω，则x 0＋y 0≠0。
(浙江专版)2020版高考数学复习第二章不等式第二节一元二次不等式及其解法学案(含解析)
(浙江专版)2020版高考数学复习第二章不等式第二节一元二次不等式及其解法学案(含解析)第二节 一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系鉴别式＝ b 2－ 4ac＞ 0＝ 0＜0二次函数 y ＝ ax 2＋ bx＋ c ( a ＞ 0) 的图象一元二次方程 ax 2＋有两相异实根有两相等实根bx ＋ c ＝ 0 ( a ＞ 0) 的没有实数根x 1， x 2 ( x 1＜ x 2)x 1＝ x 2＝－ b2根a一元二次不等式ax 2＋ bx ＋ c ＞ 0{ x | x ＜x 1 或 x ＞ x 2}x x ≠－bR2a ( a ＞ 0) 的解集 一元二次不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＜ 0 ( a ＞ 0){ x | x ＜ x ＜ x }??12的解集[ 小题体验 ]1．(2019 ·温州模拟 ) 已知会合 A ＝ { x | x 2－ 3x ＋ 2＜ 0} ，B ＝ { x | x ≥1} ，则 A ∩ B ＝( )A ． (1,2)B ． (2 ，＋∞)C ． (1 ，＋∞)D ． ?分析：选A由题意知，A ＝ { x |1 ＜x ＜ 2} ，故 A ∩B ＝{ x |1 ＜ x ＜2} ．2． ( 教材习题改编 ) 不等式－ x 2＋ 2x －3＞ 0 的解集为 ________．答案： ?3．不等式 ax 2＋ abx ＋ b ＞ 0 的解集为 { x |2 ＜ x ＜3} ，则 a ＝ ________， b ＝ ________. 分析：由题意知 2,3 是 ax 2＋ abx ＋ b ＝ 0 的两根，ab2＋ 3＝－ a ＝－ b ，则b2×3＝ a ，(浙江专版)2020版高考数学复习第二章不等式第二节一元二次不等式及其解法学案(含解析)b ＝－ 5，得5 a ＝－6.5答案：－ 6 －51．对于不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞ 0，求解时不要忘掉议论 a ＝0 时的情况．2．当＜ 0 时， ax 2＋ bx ＋c ＞ 0( a ≠0) 的解集为R 仍是 ?，要注意差别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，防止盲目议论．[ 小题纠偏 ]x － 31．不等式 x － 1≤0的解集为 ( )A ． { x | x ＜ 1 或 x ≥3}B ． { x |1 ≤ x ≤3}C ． { x |1 ＜ x ≤3}D ． { x |1 ＜ x ＜3}x － 3x －x －，分析：选C由x － 1≤0，得x －1≠0，解得 1＜ x ≤3.2的解集为 R ，则 m 的取值范围是 ________． 2．若不等式 mx ＋2mx ＋ 1＞0 分析：①当 m ＝0 时， 1＞0 明显建立．m ＞ 0，m ＜得 0＜m ＜ 1.②当 m ≠0时，由条件知2－0.＝ 4m4由①②知 0≤ m ＜ 1.答案： [0,1)考点一一元二次不等式的解法 基础送分型考点——自主练透[ 题组练透 ]2x 2 ＋1， x ≤0，则不等式 f ( x ) － x ≤2的解集是 ________．1．已知函数 f ( x ) ＝－ 2x ， x ＞ 0，21分析：当 x ≤0时，原不等式等价于2x ＋1－ x ≤2，∴－ 2≤ x ≤0；当 x ＞ 0 时，原不等式等价于－ 21 x － x ≤2，∴ x ＞0. 综上所述，原不等式的解集为x x ≥－.21答案：x x ≥－ 22x＋ 12．不等式x－5≥－1的解集为 ________．3 － 4分析：将原不等式移项通分得x－5≥0，x－x－5，4.等价于解得 x＞5或 x≤x－5≠0，3因此原不等式的解集为4x x≤或 x＞5.3答案： x4x≤或 x＞533．解以下不等式：(1)( 易错题 ) － 3x2－ 2x＋8≥0；x＋5(2)x－2≥2.解： (1)原不等式可化为3x2＋ 2x－8≤0，即 (3 x－ 4)( x＋2) ≤0. 解得－ 2≤x≤4 3，因此原不等式的解集为x －2≤ x≤4. 3(2) 不等式等价于x≠1，x＋x－2，即x≠1，2x2－ 5x－3≤0，1解得－2≤ x＜1或1＜ x≤3.1因此原不等式的解集为x －2≤x＜1或1＜ x≤3.[ 牢记通法 ]解一元二次不等式的 4 个步骤考点二含参数的一元二次不等式的解法要点保分型考点——师生共研[ 典例引领 ]解对于 x 的不等式 ax2－( a＋1) x＋1＜0( a＞0)．解：原不等式变成( ax－ 1)( x－ 1) ＜ 0，1因为 a＞0，因此 a x－a( x－1)＜0，1因此当 a＞1时，解为a＜x＜1；当 a＝1时，解集为 ?；1当 0＜a＜ 1 时，解为 1＜x＜a.综上，当 0＜a＜ 1 时，不等式的解集为1. x 1＜ x＜a当 a＝1时，不等式的解集为?.1当 a＞1时，不等式的解集为x a＜ x＜ 1.[ 由题悟法 ]解含参数的一元二次不等式时分类议论的依照(1)二次项中若含有参数应议论是等于 0，小于 0，仍是大于 0，而后将不等式转变成一次不等式或二次项系数为正的形式．(2) 当不等式对应方程的根的个数不确准时，议论鉴别式与0的关系．(3)确立无根时可直接写出解集，确立方程有两个根时，要议论两根的大小关系，从而确立解集形式．[提示]当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘掉议论其等于0 的状况．[ 即时应用 ]1．已知不等式ax2－－1≥0的解集是－1，－1，则不等式2－bx－＜ 0 的解集是bx23x a ()A． (2,3)B． ( －∞， 2) ∪(3 ，＋∞)1 1C.3，21 1D. －∞，3∪2，＋∞分析：选 A112－ bx－1＝0的根，因此由根与系数的关系得由题意知－，－是方程 ax2311b11122－2＋－3＝a，－2× －3＝－a. 解得a＝－ 6，b＝5，不等式x － bx－ a＜0，即为 x －5x ＋6＜ 0，解集为 (2,3) ．2．若不等式2ax＋5x－2＞0的解集是1x 2＜x＜2.(1)务实数 a 的值；(2)求不等式 ax2－5x＋ a2－1＞0的解集．解： (1)由题意知a＜0，且方程2ax＋5x－2＝0的两个根为12， 2，代入解得a＝－2.(2) 由 (1)知不等式为－2x2－ 5x＋ 3＞0，即 2x2＋ 5x－ 3＜ 0，解得－ 3＜x＜1，2即不等式1 ax2－5x＋a2－1＞0的解集为－3，2 .考点三一元二次不等式恒建立问题题点多变型考点——多角探明[ 锁定考向 ]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着亲密的联系．在解决详细的数学识题时，要注意三者之间的互相联系，并在必定条件下互相变换．对于一元二次不等式恒建立问题，常依据二次函数图象与x 轴的交点状况确立鉴别式的符号，从而求出参数的取值范围．常有的命题角度有：(1)形如 f ( x)≥0( f ( x)≤0)( x∈R)确立参数的范围；(2)形如 f ( x)≥0( x∈[ a，b])确立参数的范围；(3) 形如f ( x) ≥0( 参数m∈ [ a，b]) 确立x的范围．[ 题点全练 ]角度一：形如 f ( x)≥0( f ( x)≤0)( x∈R)确立参数的范围231．若不等式2kx＋kx－8＜0 对一确实数x都建立，则k的取值范围为 ()A． ( －3,0)B． [ － 3,0)C． [ －3,0] D ．(－ 3,0]分析：选 D当 k＝0时，明显建立；当k ≠0时，即一元二次不等式 2 2 ＋kx－3＜0 对一确实数x都建立，则kx8k＜0，＝ k2－4×2k× －3解得－ 3＜k＜ 0.＜ 0，8综上，知足不等式2kx2＋kx－3＜ 0对一确实数 x 都建立的 k 的取值范围是(－3,0]．8角度二：形如f (x) ≥0(x∈ [，])确立参数的范围a b2．已知函数f ( x) ＝－x2＋ax＋b2－b＋1( a∈ R，b∈ R) ，对随意实数x都有f (1 －x) ＝f (1＋x)建立，若当 x∈[－1,1]时， f ( x)＞0恒建立，则 b 的取值范围为________．a 分析：由 f (1－x)＝ f (1＋x)知 f ( x)的图象对于直线x＝1对称，即2＝1，解得 a＝2.又因为 f ( x)张口向下，因此当 x∈[－1,1]时， f ( x)为增函数，因此 f ( x)min＝ f (－1)＝－1－2＋ b2－ b＋1＝ b2－ b－2，f ( x)＞0恒建立，即 b2－ b－2＞0恒建立，解得＜－1或b ＞ 2.b因此 b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案： ( －∞，－ 1) ∪ (2 ，＋∞)角度三：形如f (x) ≥0( 参数∈ [a，]) 确立x的范围m b3．若不等式x2＋ ( a－6) x＋ 9－ 3a＞ 0在 | a| ≤1时恒建立，则x的取值范围是 ________．分析：将原不等式整理成对于 a 的不等式( x－3) a＋ x2－6x＋9＞0.令 f ( a)＝( x－3) a＋ x2－6x＋9.因为 f ( a)＞0在| a|≤1时恒建立，因此(1)若 x＝3，则 f ( a)＝0，不切合题意，应舍去．f－＞0，(2)若 x≠3，则由一次函数的单一性，可得f＞ 0，x2－7x＋12＞0，x ＜ 2 或x＞ 4.即2－ 5x＋ 6＞ 0，解得x故 x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．答案： ( －∞， 2) ∪ (4 ，＋∞)[ 通法在握]一元二次型不等式恒建立问题的方法3 大破解方法解读合适题型(1)ax2＋bx＋ c≥0对随意实数 x 恒建立的条鉴别式法a＞0，二次不等式在R上恒建立件是( 如“题点全练”第 1 题 )≤ 0；(2) ax2＋bx＋c≤0对随意实数x 恒建立的条a＜0，件是≤0假如不等式中的参数比较“孤独”，分别后其系数与0 能比较大小，即可将参数分别出合适参数与变量能分别且分别参数法来，利用下边的结论求解：a≥ f ( x)恒建立 f ( x)的最值易求等价于a≥ f ( x)max； a≤ f ( x)恒建立等价于( 如“操练冲关”第 2 题 )a≤ f ( x)min把变元与参数互换地点，结构以参数为变量的函数，依据原变量的取值范围列式求若在分别参数时会碰到议论解．常有的是转变成一次函数 f ( x)＝ ax＋b( a≠0)在[ m， n]恒建立问题，若参数与变量，使求函数的最值f ( x)＞0主参换位法比较麻烦，或许即便能简单分f m ＞0，恒建立 ?离出却难以求出时f n＞0，( 如“题点全练”第 3 题 )f m ＜0，若 f ( x)＜0恒建立?f n＜0[ 操练冲关]1．(2018 ·台州模拟) 不等式a2＋8b2≥ λ b( a＋ b)对于随意的a， b∈R恒建立，则实数λ 的取值范围为________．分析：因为a2＋8b2≥λ b( a＋b)对于随意的a， b∈R恒建立，因此a2＋8b2－λ b( a＋ b)≥0对于随意的a， b∈R恒建立，即a2－λba＋(8－λ) b2≥0恒建立，由二次不等式的性质可得，＝λ2 2222b ＋4(λ －8) b ＝ b (λ＋4λ －32)≤0，因此 ( λ＋ 8)(λ－4) ≤0，解得－ 8≤ λ ≤4.答案： [ － 8,4]22．设函数 f ( x)＝ mx－ mx－1( m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒建立，求m的取值范围．解：要使 f ( x)＜－ m＋5在[1,3]上恒建立，2则 mx－ mx＋ m－6＜0，1 23即 m x－2＋4m－6＜0在 x∈[1,3]上恒建立．因为x2－＋＝ x－12＋3＞，x124又因为(2－x ＋ 1) － 6＜ 0，因此＜ 26.m xmx － x＋16666因为函数 y＝x2－x＋1＝ 1 23在 [1,3]上的最小值为7，因此只需 m＜7即可．x－2＋4因为 m≠0，因此 m的取值范围是(－∞，0)∪0，6.7一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019 ·浙江名校联考 ) 已知会合＝ { |y ＝x＋1} ，＝{|x2－x－6＞ 0} ，则∩A yB x A ? B＝()RA． [1,2]B． [1,3]C． [1,2) D ． [1,3)分析：选 B由题意知 A＝[1，＋∞)， B＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故?R B＝[－2,3]，A∩? B＝[1,3]．R2．(2018 ·台州模拟 ) 不等式x2－ 2x＋5≥a2－ 3a对随意实数x恒建立，则实数a的取值范围为 ()A． [ －1,4] B ． ( －∞，－ 2] ∪ [5 ，＋∞)C． ( －∞，－ 1] ∪ [4 ，＋∞) D ．[ － 2,5]分析：选 A x2－2x＋5＝( x－1)2＋4的最小值为4，因此x2－ 2x＋5≥a2－ 3a对随意实数 x 恒建立，只需a2－3a≤4，解得－1≤ a≤4.3．(2018 ·镇海中学月考 ) 不等式ax2＋bx＋c＞ 0的解集为 { x|2 ＜x＜ 3} ，则不等式ax2－b x＋ c＞0的解集为________．分析：令 f ( x)＝ ax2＋ bx＋c，其图象以以下图所示，再画出 f (－ x)的图象即可，因此不等式ax2－ bx＋ c＞0的解集为{ x|－3＜ x＜－2}．答案： { x| － 3＜x＜－ 2}4．(2018 ·金华十校联考) 若不等式2x－ 1＞m( x2－ 1) 对知足 | m| ≤2的全部m都建立，则 x 的取值范围为___________．分析：原不等式化为 ( x2－1) m－ (2 x－1) ＜ 0.令 f ( m ) ＝ ( x 2－ 1) m － (2 x －1)( －2≤ m ≤2) ．f－ ＝－x 2－ － x － ＜ 0，则＝x 2－ － x －＜ 0. f解得 －1＋ 7＜ x ＜ 1＋ 3，2 2故 x 的取值范围为－ 1＋ 7，1＋ 3 .2 2答案： － 1＋7， 1＋ 3222215．(2018 ·湖州五校联考 ) 已知实数 x ，y 知足 x ＋ 2y ＋ 2≤ x (2 y ＋ 1) ，则 x ＝ ________，y ＝ ________， 2x ＋ log 2 y ＝ ________.分析：法一：由已知得2 x 2 ＋ 4 2－ 4 － 2 ＋1≤0，即 ( x － 1) 2 ＋ ( x－ 2 ) 2≤0，因此yxyxyx － 1＝ 0， 解得 x ＝ 1， y 1 x1x － 2y ＝0，＝ ，2 ＋ log2y ＝ 2＋log 2 ＝ 2－ 1＝ 1.22221法二：由已知得， 对于 x 的不等式 x －(2 y ＋ 1) x ＋ 2y ＋ 2≤0(*) 有解， 因此＝ [ － (2 y2 2 1 2 1＋1)] － 4 2y ＋2 ≥0，即 ＝－ (2 y － 1) ≥0，因此 2y － 1＝ 0，即 y ＝ 2 ，此时不等式 (*)可化为 x22 ≤0，因此 x ＝ 1,2 x ＋log y ＝ 2＋ log 1－ 2x ＋1≤0，即 ( x － 1) 2＝ 2－ 1＝ 1.2 2答案： 11 121．已知不等式x 2－2 x － 3＜ 0 的解集为 ，不等式2＋ － 6＜0 的解集为，不等式x 2Ax xB＋ax ＋ b ＜0 的解集为 A ∩ B ，则 a ＋ b 等于 ()A ．－ 3B ． 1C ．－ 1D ． 3分析：选 A由题意得， A ＝{ x | － 1＜ x ＜ 3} ， B ＝{ x | － 3＜ x ＜2} ，∴ A ∩ B ＝ { x | － 1 ＜ x＜2} ，由根与系数的关系可知， a ＝－ 1，b ＝－ 2，则 a ＋ b ＝－ 3.2．若 a ＜ 0，则对于 x 的不等式 x 2－4ax － 5a 2＞ 0 的解集是 ( )A ． ( －∞，－ a ) ∪ (5 a ，＋∞)B ． ( －∞， 5a ) ∪ ( － a ，＋∞)C ． (5 a ，－ a )D ． ( a ，－ 5a )分析：选 B 由 x 2－ 4ax －5a 2＞ 0，得 ( x － 5a )( x ＋ a ) ＞ 0，∵ a＜0，∴ x＜5a 或 x＞－ a.－2，x＞ 0，3．(2018·丽水五校联考) 设函数f ( x) ＝x2＋bx＋c，x≤0，若 f (－4)＝ f (0)，f (－2) ＝ 0，则对于x的不等式f ( x) ≤1的解集为 ()A． ( －∞，－ 3] ∪ [ － 1，＋∞) B ．[－3，－ 1]C． [ －3，－ 1] ∪ (0 ，＋∞) D ．[ － 3，＋∞)分析：选C因为 f (－4)＝f (0)，因此当 x≤0时，f ( x)的对称轴为 x＝－2，又 f (－2)＝0，则f ( x) ＝－ 2，x＞0，不等式 f ( x)≤1的解为[－3，－1]∪(0，＋∞)，故x＋2，x≤0，选 C.4．(2018 ·宁波四校联考) 设二次函数 f ( x)＝ x2－ x＋ a( a＞0)，若 f ( m)＜0，则 f ( m－1)的值为()A．正数B．负数C．非负数D．正数、负数和零都有可能分析：选A设 f ( x)＝ x2－x＋ a＝0的两个根为α ，β ，由 f ( m)＜0，则α＜ m＜β，因为二次函数2f(x)＝x－x＋a的对称轴为1x＝2，且 f (0)＝ a＞0，则|α－β|＜1，f ( m－1) ＞ 0，应选 A.5．若不等式A． [ －4,1]x2－( a＋1) x＋a≤0的解集是[－4,3]B ．[ － 4,3]的子集，则 a 的取值范围是()C． [1,3] D ．[ － 1,3]分析：选B原不等式为( x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[ a, 1] ，此时只需a≥－4即可，即－4≤ a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时切合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1 ，a] ，此时只需a≤3即可，即1＜a≤3. 综上可得－ 4≤a≤3.6．不等式x2＋ ax＋4＜0的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是________．分析：∵不等式x2＋ ax＋4＜0的解集不是空集，∴＝a2－4×4＞0，即a2＞16.∴ a＞4或a＜－4.答案： ( －∞，－4) ∪ (4 ，＋∞)7．若对于x的不等式ax＞ b的解集为－∞，15 ，则对于x的不等式24ax ＋ bx－5a＞0的解集为 ________．1b 124分析：由已知 ax ＞ b 的解集为 －∞， 5 ，可知 a ＜ 0，且 a ＝ 5，将不等式 ax ＋ bx － 5a＞0 两边同除以 ，得 2 b 4 2 1 4 ＜0，即 5 2a x ＋ a x － ＜0，即 x ＋ － ＋ － 4＜ 0，解得－5 5x 5 x x 4 故所求解集为－1，5 .4答案：－1，5218．(2018 ·萧山月考 ) 不等式 x ＋ ax ＋ b ＞ 0( a ，b ∈ R)的解集为 x x ≠－4 1＜ x ＜ ，5， x ∈ R ，若对于 x 的不等式 x 2＋ax ＋ b ＜ c 的解集为 ( m ， m ＋ 6) ，则实数 c 的值为 ________．分析：因为不等式x 2＋ ax ＋b ＞ 0( a ，b ∈ R)的解集为 x x ≠－1 ， x ∈ R ，2a因此x 2＋ax＋ ＝ x ＋ 12＝ 0，b2a那么不等式 x 2＋ ax ＋ b ＜ c ，即 x ＋12＜ c ，因此 c ≥0，2a11因此－c － 2a ＜ x ＜ c － 2a ，又 m ＜x ＜ m ＋ 6，c － 1－ － c － 1 ＝＋6－， 2a 2a mm即 2 c ＝ 6，因此 c ＝ 9.答案： 99．已知 f ( x ) ＝－ 3x 2＋ a (6 － a ) x ＋ 6.(1) 解对于 a 的不等式 f (1) ＞ 0；(2) 若不等式 f ( x ) ＞ b 的解集为 ( －1,3) ，务实数 a ，b 的值．解：(1) ∵ f ( x ) ＝－ 3x 2＋ a (6 － a ) x ＋6，∴ f (1) ＝－ 3＋ a (6 － a ) ＋6＝－ a 2＋ 6a ＋ 3，∴原不等式可化为 a 2－ 6a －3＜ 0，解得 3－ 2 3 ＜a ＜ 3＋ 2 3.∴原不等式的解集为 { a |3 － 2 3＜ a ＜ 3＋ 2 3} ．(2) f ( x ) ＞ b 的解集为 ( －1,3) 等价于方程－ 3x 2＋ a (6 － a ) x ＋ 6－b ＝ 0 的两根为－ 1,3 ，a－ a ，－1＋3＝3a ＝3± 3，等价于b解得6－ b ＝－ 3.－1×3＝－3 ，10．对于 x 的不等式x 2－ x － 2＞0，的整数解的会合为 { － 2} ，务实数 k2x 2＋k ＋ x ＋ 5k ＜ 0的取值范围．解：由 x 2－ x － 2＞0 可得 x ＜－ 1 或 x ＞ 2.∵ x 2－x －2＞0，的整数解为 x ＝－ 2，2x 2＋k ＋x ＋ 5k ＜ 0，25又∵方程 2x ＋ (2 k ＋ 5) x ＋5k ＝ 0 的两根为－ k 和－ 2.5①若－ k ＜－ 2，则不等式组的整数解会合就不行能为{－2}；5②若－ 2＜－ k ，则应有－ 2＜－ k ≤3. ∴－ 3≤ k ＜ 2.综上，所求 k 的取值范围为 [ － 3,2) ．三登台阶，自主选做志在冲刺名校1．若对于x 的不等式x2－4 － 2－ ＞0 在区间 (1,4) 内有解，则实数 a 的取值范围是xa()A ． ( －∞，－ 2)B ．(－ 2，＋∞)C ． ( －6，＋∞)D ．(－∞，－ 6)分析：选 A2－ 4x － 2－ a ＞0 在区间 (1,4) 内有解等价于 a ＜2，令不等式 x( x － 4x － 2)maxg ( x ) ＝ x 2－ 4x － 2， x ∈(1,4) ，∴ g ( x ) ＜ g (4) ＝－ 2，∴ a ＜－ 2.27212．设 f ( x ) ＝ ax ＋ bx ＋ c ，若 f (1) ＝2 ，问能否存在 a ， b ， c ∈ R ，使得不等式 x ＋ 22 3≤ f ( x ) ≤2x ＋2x ＋ 2对一确实数 x 都建立，证明你的结论．77解：由 f (1) ＝2，得 a ＋ b ＋ c ＝ 2. 令 x 2＋1＝2 2＋ 2 x ＋3，解得 x ＝－ 1.22233由 f ( x ) ≤2x＋ 2x ＋2推得 f ( －1) ≤2，由 f 21 3 ( x ) ≥ x ＋ 推得 f ( －1) ≥ ，2 23 3 ∴ f ( －1) ＝ 2. ∴ a － b ＋ c ＝2. 故5a ＋c ＝ 2且b ＝ 1.25∴ f ( x ) ＝ ax ＋ x ＋ － a .2 5 21 依题意 ax＋ x ＋ －a ≥ x ＋ 对全部 x ∈R 都建立，22即 ( a －1)x2＋＋ 2－ ≥0对全部 x ∈R 都建立．xa∴ a ≠1且＝ 1－ 4( a － 1)(2 － a ) ≤0.即 (2 a － 3) 2≤0，∴ (2 a － 3) 2＝ 0，33 2由 a －1＞ 0 得 a ＝ 2. ∴ f ( x ) ＝ 2x ＋ x ＋ 1.证明以下： 3 2＋ ＋ 1－2 x2－2 － 3 ＝－ 1 2－ － 1 ＝－ 1 (x ＋ 1) 2≤0.2xxx 22xx 223223∴ 2x ＋ x ＋1≤2x ＋ 2x ＋ 2对 x ∈ R 都建立． 3 2 ＋1－ 2 1 1 2 1 1 ＋ 1) 2≥0，2x＋ x － ＝ ＋ x＋ ＝ ( xx2 2x2 2213 2∴ x ＋ 2≤2x ＋ x ＋ 1 对 x ∈ R 都建立．32123∴存在实数 a ＝ 2，b ＝ 1，c ＝ 1，使得不等式 x ＋ 2≤f ( x ) ≤2x＋2x ＋ 2对全部 x ∈ R 都成立．。
2020浙江高考数学二轮专题强化训练：专题一第2讲函数图象与性质Word版含解析
专题加强训练1．(2019 ·华十校调研金)已知奇函数f(x)当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，则当 x＜ 0 时， f(x) 的表达式是()A ． f( x)＝－ x(1＋ x) C． f( x)＝ x(1＋ x) B． f(x)＝－ x(1－x) D． f(x)＝ x(x－ 1)分析：选 C.设 x＜ 0，则－ x＞ 0，又当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，故 f(－ x)＝－ x(1＋ x)，又函数为奇函数，故 f(－ x)＝－ f(x)＝－ x(x＋ 1)，即 f(x)＝ x(x＋ 1)，应选 C.2．已知 f(x)＝x＋1－ 1， f(a)＝ 2，则 f(－ a)＝ ( ) xA．－ 4 B．－ 2 C．－ 1 D．－ 3分析：选 A. 由于 f(x)＝x＋11 1x－ 1，所以 f( a)＝ a＋a－ 1＝ 2，所以 a＋a＝ 3，所以 f(－ a)＝－ a1 1－a－ 1＝－ a＋a－ 1＝－ 3－ 1＝－ 4，应选 A.3．以下函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞ )上单一递加的是 ( )1A ． y＝x B． y＝ |x|－ 11 |x|C． y＝ lg x D． y＝2分析：选 B.A 中函数 y＝1A 错误；B 中函数满x不是偶函数且在 (0，＋∞ )上单一递减，故足题意，故 B 正确； C 中函数不是偶函数，故 C 错误； D 中函数不知足在 (0，＋∞ )上单一递增，应选 B.2× 4x－a的图象对于原点对称，g(x) ＝ln(e x＋ 1)－ bx 是偶函数，则 log a b 4．已知函数 f(x)＝ 2 x＝ ( )A ． 1 B．－ 11 1C．－2 D.4分析：选 B.由题意得f(0) ＝ 0，所以 a＝ 2.1由于 g(1) ＝ g(－ 1)，所以 ln(e＋ 1)－ b＝ ln e＋ 1 ＋ b，1 1所以 b＝2，所以 log a b＝ log 22＝－1. 5．(2019 台·州市高考模拟 )函数 f(x)＝ x2＋a(a∈ R )的图象不行能是 ( ) |x|分析：选 A. 直接利用清除法：①当 a＝ 0 时，选项 B 建立；②当 a＝ 1 时， f(x)＝ x2＋1 ，函数的图象近似D；|x|③当 a＝－ 1 时， f(x)＝ x2－1，函数的图象近似 C.应选 A.|x|2x 在区间 [3，4]上的最大值和最小值分别为M，6．(2019 ·湖北八校联考 (一 ))设函数 f(x)＝x－2m2m，则M＝( )2 3A. 3B.83 8C.2D.3分析：选 D. 易知 f(x)＝2x ＝ 2＋ 4 ，所以 f(x)在区间 [3， 4]上单一递减，所以 M＝ f(3)x－ 2 x－ 24 4 m2 16 8＝ 2＋3－2＝ 6，m＝ f(4)＝ 2＋4－2 ＝4，所以M＝ 6 ＝3.7．(2018 高·考全国卷Ⅲ )以下函数中，其图象与函数y＝ ln x 的图象对于直线x＝ 1 对称的是 ( )A ． y＝ ln(1 － x) B． y＝ ln(2 － x)C． y＝ ln(1＋ x) D． y＝ ln(2 ＋ x)分析：选 B. 法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x， y)，则其对于直线x＝ 1 的对称点的坐标为 (2－ x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数 f(x)＝ ln x 的图象上，所以 y＝ ln(2 － x)．故选 B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代当选项中的函数表达式逐个查验，清除A，C， D，选 B.8．(2019 浙·江台州市书生中学高三月考 )设奇函数 f(x)在 (0，＋∞ ) 上为单一递减函数，且f(2) ＝ 0，则不等式 3f （－ x ）－ 2f （ x ）≤ 0 的解集为 ( )5xA ． (－∞，－ 2]∪ (0， 2]B ． [－2， 0)∪ [2，＋∞ )C ． (－∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )D ． [－ 2， 0)∪ (0， 2]3f （－ x ）－ 2f （ x ）f （ x ）分析：选 D. 由于函数 f(x)是奇函数，所以≤ 0?≥ 0.又因 f(x)在 (0，5xx＋ ∞ ) 上为单一递减函数，且 f (2) ＝ 0 ，所以得，函数 f ( x) 在 ( － ∞ ， 0) 上单一递减且f(－ 2)＝ 0.所以， x ∈ (－ ∞ ，－ 2)∪ (0， 2)时， f(x)>0； x ∈ (－ 2， 0)∪ (2，＋ ∞ )时 f( x)<0 ，应选 D.19．(2019 温·州市十校联考 )已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ 2(|x － a 2|＋ |x － 2a 2|－ 3a 2)．若任取 ? x ∈ R ， f(x － 1)≤ f(x)，则实数 a 的取值范围为 ()A. －1， 1 B.－ 6，66 6 6 6C. － 1，1D.－ 3，33 333分析：选 B. 由于当 x ≥ 11 (a0 时，f(x) ＝ (|x － a 2|＋ |x － 2a2|－ 3a 2) ，所以当0≤ x ≤ a2时，f(x)＝ 222－ x ＋ 2a 2－ x － 3a 2) ＝－ x ；当 a 2＜ x ＜ 2a 2时， f(x)＝ 1(x － a 2＋ 2a 2－x － 3a 2)＝－ a 2；21当 x ≥ 2a 2 时， f(x)＝ 2(x － a 2＋ x － 2a 2－ 3a 2)＝ x － 3a 2.综 上 ， 函 数 f(x) ＝ 12 (|x － a 2| ＋ |x － 2a 2 | － 3a 2) 在x ≥ 0 时 的 解 析 式等 价 于f(x) ＝－ x ， 0≤ x ≤a 2 ，－ a 2， a 2＜ x ＜ 2a 2，x － 3a 2， x ≥ 2a 2.所以，依据奇函数的图象对于原点对称作出函数f(x)在 R 上的大概图象以下，226 ≤a ≤ 6察看图象可知， 要使 ? x ∈ R ，f(x － 1)≤ f(x)，则需知足 2a － (－ 4a )≤ 1，解得－ 6 6.10．定义域为R 的函数 f( x)知足 f(x＋ 2)＝3f(x)，当 x∈[0 ，2]时，f(x)＝ x2－ 2x，若 x∈[ － 4，－ 2]时， f(x)≥13－t恒建立，则实数t的取值范围是()18 tA ． (－∞，－ 1]∪ (0， 3]B． (－∞，－3]∪ (0，3]C． [－ 1， 0)∪ [3，＋∞ )D． [－3， 0)∪ [ 3，＋∞ )分析：选 C.由于 x∈ [ －4，－ 2]，所以 x＋ 4∈[0 ，2]，由于 x∈ [0， 2]时， f(x)＝ x2－ 2x，所以 f(x＋ 4) ＝(x＋4)2－2(x＋4)＝ x2＋ 6x＋ 8.函数 f(x)知足 f(x＋ 2)＝ 3f(x)，所以 f(x＋ 4)＝ 3f(x＋ 2)＝ 9f(x)．1 2故 f(x)＝9(x ＋ 6x＋ 8)，1 3 1 1 3由于 x∈ [ － 4，－ 2]时， f(x)≥18 t－t 恒建立，所以－9 ＝f(x)min≥18 t－ t ，解得 t≥ 3 或－ 1≤ t＜ 0.（1）x－ 2， x≤－ 1，11． (2019 宁·波镇海中学高三一模)已知函数f(x)＝2则 f(f(－（ x－ 2）（ |x|－ 1）， x＞－ 1.2)) ＝________，若 f(x)≥2，则 x 的取值范围为 ____________ ．分析：由分段函数的表达式得f(－ 2)＝ (12)－2－ 2＝ 4－ 2＝ 2，f(2)＝ 0，故 f(f(－ 2)) ＝ 0.若 x≤ － 1，由 f(x)≥ 2 得 (12)x－ 2≥ 2 得 (12)x≥ 4，则 2－x≥ 4，得－ x≥ 2，则 x≤ － 2，此时 x≤ － 2.若 x＞－ 1，由 f(x)≥ 2 得 (x－2)(|x|－ 1)≥ 2，即 x|x|－ x－ 2|x|≥ 0，若 x≥ 0 得 x2－ 3x≥ 0，则 x≥3 或 x≤ 0，此时 x≥ 3 或 x＝ 0，若x＜ 0，得－ x2＋x≥ 0，得 x2－x≤ 0，得 0≤ x≤ 1，此时无解，综上 x≥ 3 或 x＝ 0.答案： 0 x≥3 或 x＝ 0x＋2－ 3，x≥ 1，则 f(f(－ 3))＝ ________，f(x)的最小值是 ________．12．已知函数 f( x)＝xlg （ x2＋ 1）， x<1，分析：由于 f(－ 3)＝ lg[( － 3)2＋ 1]＝ lg 10 ＝ 1，所以 f(f(－ 3)) ＝f(1)＝ 1＋ 2－ 3＝ 0.2－3≥2 22－3，当且仅当2 2时等号建立，当 x≥ 1 时， x＋x·－ 3＝ 2 x＝，即 x＝x x x此时 f(x)min＝2 2－3<0 ；当 x<1 时， lg(x2＋1)≥ lg(0 2＋ 1)＝ 0，此时f( x)min＝ 0.所以 f(x)的最小值为 2 2－ 3.答案： 0 2 2－313． (2019 浙·江新高考冲刺卷)已知函数 f(x)＝ ln(e 2x＋1)－ mx 为偶函数，此中 e 为自然对数的底数，则m＝ ________，若 a2＋ ab＋ 4b2≤m，则 ab 的取值范围是 ________．分析：由题意， f( －x) ＝ln(e －2x＋ 1)＋ mx＝ ln(e 2x＋ 1)－ mx，所以 2mx＝ ln(e 2x＋1)－ ln(e －2x＋ 1)＝ 2x，所以 m＝ 1，由于 a2＋ ab＋ 4b2≤m，所以 4|ab|＋ ab≤ 1，所以－1≤ ab≤1，3 51 1故答案为 1，[－3，5]．1 1答案：1 [－， ]14．定义新运算“⊕”：当a≥b 时， a⊕ b＝ a；当 a<b 时， a⊕ b＝b2.设函数 f(x)＝ (1⊕ x)x －(2⊕ x)， x∈ [－ 2，2]，则函数 f(x)的值域为 ________．x－ 2， x∈ [－2， 1]，分析：由题意知f(x)＝x3－ 2， x∈（ 1，2]，当 x∈ [ － 2，1] 时， f(x)∈ [－ 4，－ 1]；当 x∈ (1， 2]时， f(x)∈( －1， 6]．故当 x∈ [－ 2， 2] 时， f(x) ∈[ －4， 6]．答案： [－4，6]x>0 时， h(x)＝－x215．已知函数 h(x)(x≠ 0)为偶函数，且当 4 ，0<x≤4，若h(t)>h(2)，则4－ 2x， x>4，实数 t 的取值范围为 ________．x2－4，0<x≤ 4，分析：由于 x>0 时， h(x)＝4－ 2x， x>4.易知函数h(x)在 (0，＋∞)上单一递减，由于函数h(x)(x≠ 0)为偶函数，且h(t)>h(2)，所以 h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，t ≠0，t≠0，所以即解得－2< t<0 或0<t<2.|t|<2，－ 2<t<2，综上，所务实数t 的取值范围为(－ 2，0)∪(0， 2)．答案： (－ 2， 0)∪ (0，2)16．若对随意的x≥ 2，都有 (x＋ a)|x＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，则 a 的最大值为 ________．分析：对随意的x≥ 2，都有 (x＋ a)|x＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，即 x≥ 2 时， (x＋a)|x＋a|＋ (ax)x≤0 恒建立 .①若 x＋ a≥ 0，即 a≥ －2 时，则有 (x＋ a)2＋ax2≤ 0,所以 ( a＋ 1)x2＋2ax＋ a2≤ 0.a＋ 1＜ 0令 f(x)＝ (a＋ 1)x2＋ 2ax＋ a2，则有 a＋1＝ 0 或2a＜ 2－，2（ a＋1）f（ 2）＝ 4（ a＋1）＋ 4a＋ a2≤ 0求得 a＝－ 1 或－ 4－ 2 3≤a＜－ 1，综合可得－ 2≤ a≤ － 1；②若 x＋ a＜ 0，即 a＜－ 2 时，则有－ (x＋ a)2＋ ax2≤ 0,该不等式恒建立，即此时 a 的范围为a＜－ 2；③若 x＋ a＝ 0，即 a＝－ x≤ － 2 时，则由题意可得ax2≤0，知足条件 . 综合①②③可得， a≤－ 2 或－ 2≤ a≤ －1，故 a 的最大值为－ 1.答案：－117． (2019 台·州模拟 )定义 min{ x，y} ＝x（ x<y），则不等式 min{ x＋4，4} ≥ 8min{ x，1} y（ x≥ y）x x的解集是 ________．分析：①当 x>0 时，由基本不等式可知x＋4≥ 2 x＋4x x＝4，4min{ x ＋ x ， 4} ＝4，则不等式转变成：11min{ x ， x } ≤ 2，即：1解得： x ≤ 2或 x ≥ 2.11x ≤ 2x ≥2或，1≥ 11≤ 1x 2x 2②当 x<0 时，(ⅰ )当－ 1<x<0 时，1x <x ，原不等式化为 x ＋4x ≥ 8x ，即 x －4x ≥ 0，解得－ 2≤x<0，所以－ 1<x<0；(ⅱ )当 x ≤－ 1 时， 1≥ x ，原不等式化为 x ＋ 4≥ 8x ，x x 即 7x － 4≤ 0，解得： x ≤－4，即 x ≤ － 1， x7所以 x<0 对于原不等式全建立．1综上不等式的解集为 (－ ∞， 0)∪ (0， 2]∪ [2，＋ ∞ )．答案： (－∞， 0)∪ 1，＋∞ )(0， ]∪ [2218．(2019 台·州市教课质量调研 )已知函数 f( x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1，3)，且对于直线 x ＝ 1 对称．(1)求 f(x)的分析式；(2)若 m ＜ 3，求函数 f(x) 在区间 [m ，3]上的值域．解： (1) 由于函数 f(x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1， 3)，且对于直线 x ＝1 对称，f （－ 1）＝ 1－ b ＋ c ＝ 3所以b，－2＝1解得 b ＝－ 2， c ＝ 0，所以 f(x)＝ x 2－ 2x.(2)当 1≤ m ＜ 3 时， f(x)min ＝ f(m)＝ m 2－ 2m ，f(x) max ＝ f(3) ＝ 9－ 6＝3，所以 f(x)的值域为 [m 2－ 2m ， 3]；当－ 1≤ m＜ 1 时， f(x)min＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1，f(x) max＝ f(－ 1)＝ 1＋2＝ 3，所以 f(x)的值域为 [－ 1， 3]．当 m＜－ 1 时， f(x)min＝f(1)＝ 1－ 2＝－ 1，2－ 2m，maxf(x) ＝ f(m)＝m所以 f(x)的值域为 [－ 1， m2－ 2m] ．x2－ 2ax＋ a2＋ 1， x≤ 0，19． (2019 浙·江新高考结盟第三次联考) 已知函数 f(x)＝2－ a，x＞ 0.x2＋x(1)若对于随意的x∈ R ，都有 f( x)≥ f(0)建立，务实数 a 的取值范围；(2)记函数 f(x)的最小值为M(a)，解对于实数 a 的不等式M(a－ 2)＜M(a)．解： (1) 当 x≤ 0 时， f(x)＝ (x－ a)2＋ 1，由于 f(x)≥ f(0) ，所以 f(x)在( －∞， 0]上单一递减，所以 a≥ 0，2当 x＞ 0 时， f′(x)＝ 2x－x2，2令 2x－x2＝ 0 得 x＝ 1，所以当 0＜ x＜1 时， f′(x)＜0，当 x＞ 1 时， f′(x)＞ 0，所以 f(x)在 (0， 1)上单一递减，在(1，＋∞ )上单一递加，所以 f min(x)＝ f(1) ＝3－ a，由于 f(x)≥ f(0) ＝a2＋ 1，所以 3－ a≥a2＋1，解得－ 2≤ a≤ 1.又 a≥ 0，所以 a 的取值范围是[0， 1]．(2)由 (1)可知当 a≥ 0 时， f(x)在 (－∞， 0]上的最小值为f(0) ＝ a2＋1，当 a＜ 0 时， f(x)在 (－∞，0] 上的最小值为f(a)＝ 1，f(x)在 (0，＋∞ )上的最小值为f(1)＝ 3－ a，解不等式组a2＋ 1≤ 3－ a得a≥ 00≤ a≤1，解不等式组1≤ 3－ a得a＜ 0，a＜ 0a2＋ 1，0≤ a≤ 1所以 M(a)＝1，a＜ 0.3－ a， a≥ 1所以 M(a)在(－∞， 0)上为常数函数，在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞ )上是减函数，作出 M(a)的函数图象以下图：令 3－ a＝ 1 得 a＝ 2，由于 M(a－ 2)＜ M(a)，所以 0＜ a＜2.。
2020浙江高考数学二轮专题强化训练：专题三第1讲 等差数列、等比数列 Word版含解析
专题强化训练1．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{a n }，S n 是{a n }的前n 项和，则对于任意的n ∈N *，“a n >0”是“S n >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.对于任意的n ∈N *，“a n >0”，能推出“S n >0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列－3，－1，1，3，5，不满足条件，不是必要条件，故选A.2．(2018·浙江选考试卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N *，则a 3＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B.S n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N *，则n ＝1时，a 1＋a 2＝2a 1＋1，可得：a 2＝a 1＋1.n ＝2时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 2＋1，可得：a 3＝2.故选B.3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析：选 D.从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }，则第八个单音的频率为a 8＝f (122)8－1＝1227f ，故选D.4．(2019·长春质量检测(一))等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为 ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，a 3a 5＝4，则下列说法正确的是( ) A ．{a n }是单调递减数列 B ．{S n }是单调递减数列 C ．{a 2n }是单调递减数列D ．{S 2n }是单调递减数列解析：选C.由于{a n }是等比数列，则a 3a 5＝a 24＝4，又a 2＝12，则a 4＞0，a 4＝2，q 2＝16，当q ＝－66时，{a n }和{S n }不具有单调性，选项A 和B 错误；a 2n ＝a 2q 2n－2＝12×⎝⎛⎭⎫16n －1单调递减，选项C 正确；当q ＝－66时，{S 2n }不具有单调性，选项D 错误． 6．(2019·温州市高考数学模拟)已知{a n }是等差数列，其公差为非零常数d ，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n ，当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52 B ．(－3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－3，－52 D ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选C.因为S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，由题意知d <0，且⎩⎨⎧S 66＝a 1＋52d >0S77＝a 1＋3d <0，得－3<a 1d <－52.7．(2019·杭州市第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A ．(13，＋∞)B ．[13，＋∞)C ．(23，＋∞)D ．[23，＋∞)解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n 22（n －1）2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12（1－14n ）1－14＝23(1－14n )<23，因此实数t 的取值范围是[23，＋∞)，选D.8．(2019·绍兴一中高考数学模拟)等差数列{a n }的公差d ∈(0，1)，且sin 2a 3－sin 2a 7sin （a 3＋a 7）＝－1，当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值，则首项a 1的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－58π，－916π B.⎣⎡⎦⎤－58π，－916π C.⎝⎛⎭⎫－54π，－98π D.⎣⎡⎦⎤－54π，－98π 解析：选D.因为{a n }为等差数列，sin 2a 3－sin 2a 7sin （a 3＋a 7）＝－1，所以1－cos 2a 32－1－cos 2a 72sin （a 3＋a 7）＝－1，所以cos 2a 7－cos 2a 32＝－sin(a 3＋a 7)，由和差化积公式可得：12×(－2)sin(a 7＋a 3)·sin(a 7－a 3)＝－sin(a 3＋a 7)， 因为sin(a 3＋a 7)≠0， 所以sin(a 7－a 3)＝1， 所以4d ＝2k π＋π2∈(0，4)，所以k ＝0， 所以4d ＝π2，d ＝π8.因为n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 10≤0a 11≥0即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9×π8≤0a 1＋10×π8≥0， 所以－5π4≤a 1≤－9π8.9．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n －1(n ∈N *)，则a 1＝________；数列{a n }的通项公式为a n ＝________．解析：因为S n ＝n 2＋2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1＋2－1＝2， 当n ≥2时，所以a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋ 2(n －1)－1]＝2n ＋1，因为当n ＝1时，a 1＝2＋1＝3≠2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n ＋1，n ≥2.答案：2 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n ＋1，n ≥210．(2019·台州市高考一模)已知数列{a n }的前m (m ≥4)项是公差为2的等差数列，从第m －1项起，a m －1，a m ，a m ＋1，…成公比为2的等比数列．若a 1＝－2，则m ＝________，{a n }的前6项和S 6＝________．解析：由a 1＝－2，公差d ＝2， 得a m －1＝－2＋2(m －2)＝2m －6，a m ＝－2＋2(m －1)＝2m －4，则a m a m －1＝2m －42m －6＝2，所以m ＝4；所以S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ＝－2＋0＋2＋4＋8＋16＝28. 答案：4 2811．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列， 则2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，等式显然不成立，若q ≠1，则有2·a 1（1－q n ）1－q ＝a 1（1－q n ＋1）1－q ＋a 1（1－q n ＋2）1－q ，故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2，即q 2＋q －2＝0，因此q ＝－2.答案：－212．已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 018的值为________． 解析：由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，a 8＝a 7－a 6＝3，…，所以数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 018＝6×336＋2，所以a 2 018＝a 2＝3.答案：313．设某数列的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________．解析：由S n S 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n （2n －1）d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14.所以数列{a n }的公差为2.答案：214．(2019·义乌市高三月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，则S n >0的最大n 是______；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第______项．解析：因为a 8>0，a 8＋a 9<0，所以S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝162(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，所以S n >0的最大n 是15.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，所以该数列是递减数列，当n ＝8时，|a 8|最小，且|S 8|最大，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第8项．答案：15 815．设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n ＋2a n ＝2(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)设b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为T n ＋2a n ＝2，所以当n ＝1时，T 1＋2a 1＝2， 所以T 1＝23，即1T 1＝32.又当n ≥2时，T n ＝2－2×T nT n －1，得 T n ·T n －1＝2T n －1－2T n ，所以1T n －1T n －1＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是以32为首项，12为公差的等差数列． (2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 为等差数列，所以1T n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，所以a n ＝2－T n 2＝n ＋1n ＋2.所以b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)＝1（n ＋2）（n ＋3）.16．(2019·宁波高考模拟)已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝6＋a n2，n ∈N *，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：n ∈N *时，a n >a n ＋1； (2)求证：n ∈N *时，2≤S n －2n <167.证明：(1)n ≥2时，作差：a n ＋1－a n ＝6＋a n2－6＋a n －12＝ 12×a n －a n －16＋a n2＋6＋a n －12，所以a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号， 由a 1＝4，可得a 2＝6＋42＝5，可得a 2－a 1<0， 所以n ∈N *时，a n >a n ＋1.(2)因为2a 2n ＋1＝6＋a n ，所以2(a 2n ＋1－4)＝a n －2，即2(a n ＋1－2)(a n ＋1＋2)＝a n －2，① 所以a n ＋1－2与a n －2同号，又因为a 1－2＝2>0，所以a n >2.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ≥4＋2(n －1)＝2n ＋2. 所以S n －2n ≥2.由①可得：a n ＋1－2a n －2＝12（a n ＋1＋2）<18，因此a n －2≤(a 1－2)·⎝⎛⎭⎫18n －1，即a n ≤2＋2×⎝⎛⎭⎫18n －1.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n ＋2×1－⎝⎛⎭⎫18n －11－18<2n ＋167.综上可得：n ∈N *时，2≤S n －2n <167.17．(2019·温州瑞安七中高考模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1，2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．解：(1)因为对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列，于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)证明：(必要性)：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n >0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B （n ）A （n ）＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q （a 1＋a 2＋…＋a n ）a 1＋a 2＋…＋a n ＝q ，C （n ）B （n ）＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q （a 2＋a 3＋…＋a n ＋1）a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B （n ）A （n ）＝C （n ）B （n ）＝q ，所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列；(充分性)：若对任意n ∈N *，三个数A (n )， B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )，于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，即a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，亦即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1时，B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0. 因为a n >0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )， B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．18．已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *)． (1)证明：1<a n a n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12（n ＋2）<S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)． 证明：(1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n <0，即a n ＋1<a n ， 故a n ≤12.由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n ∈(1，2]，所以1<a na n ＋1≤2.(2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1，所以S n ＝a 1－a n ＋1.① 由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1<a n a n ＋1≤2得1<1a n ＋1－1a n ≤2， 所以n <1a n ＋1－1a 1≤2n ，因此12（n ＋1）≤a n ＋1<1n ＋2(n ∈N *)．②S n n≤12（n＋1）(n∈N*)．由①②得12（n＋2）<。
浙江2020版高考数学第二章不等式专题突破一高考中的不等式问题讲义(含解析)
高考专题突破一 高考中的不等式问题题型一 含参数不等式的解法例1解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a∈R )． 解 对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，知此时原不等式的解集为R .思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．跟踪训练1 (1)若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________． 答案 3解析 由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.(2)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)解析 依题意得，|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，即函数y ＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值是|m ＋1|，于是有|m ＋1|>3，m ＋1<－3或m ＋1>3，由此解得m <－4或m >2.因此实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．题型二 线性规划问题例2(2018·浙江五校联考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，x －y ≥－1，2x －y ≤4，且z ＝ax ＋y 的最大值为16，则实数a ＝________，z 的最小值为________． 答案 2 1解析 如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC 及其内部区域)．目标函数z ＝ax ＋y 对应直线ax ＋y －z ＝0的斜率k ＝－a .(1)当k ∈(－∞，1]，即－a ≤1，a ≥－1时，目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝4，x －y ＝－1，解得A (5,6)，故z 的最大值为5a ＋6，即5a ＋6＝16，解得a ＝2.(2)当k ∈(1，＋∞)，即－a >1，a <－1时，目标函数在点C 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －y ＝－1，解得C (0,1)，故z 的最大值为0×a ＋1＝1，不符合题意． 综上，a ＝2.数形结合知，当直线z ＝2x ＋y 经过点C 时，z 取得最小值，z min ＝2×0＋1＝1. 思维升华1．利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有(1)截距型：如z ＝－2x ＋y ，z ＝2y4x ，z ＝OP →·OM →(其中M (x ，y )为区域内动点，P (－2,1))，等等．(2)距离型：如z ＝(x －2)2＋y 2，z ＝|2x －y |，等等．(3)斜率型：如z ＝y ＋1x ，z ＝x ＋y ＋1x ，z ＝x y ＋1，z ＝y ＋1x ＋x y ＋1＝x 2＋(y ＋1)2xy ＋x ，等等．(4)二次曲线型：如z ＝xy ，z ＝y 2x ，z ＝x 22＋y 2，等等．3．解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点．跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1>0，x ＋y －3<0，y >0，则z ＝2x－y 的取值范围为( ) A ．(－6，－1) B ．(－8，－2) C ．(－1,8) D ．(－2,6)答案 D解析 方法一 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y ＝2x ，平移直线，直线z ＝2x －y 在点B (－1,0)处的取最小值为－2，在点C (3,0)处的取最大值为6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．方法二 三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分别代入z ＝2x －y 求值，得0，－2,6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)． (2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为________． 答案 30 95解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则不等式组表示的平面区域的面积为12×5×2＋12×10×5＝30.z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内的点(x ，y )与点M (－1,1)之间的距离的平方，数形结合易知，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为点M (－1,1)到直线2x －y ＝0的距离的平方，即z min ＝|2×(－1)－1|2[22＋(－1)2]2＝95. 题型三 基本不等式的应用例3 (1)已知x 2＋4xy －3＝0，其中x >0，y ∈R ，则x ＋y 的最小值是( ) A.32B ．3C ．1D ．2 答案 A解析 由x 2＋4xy －3＝0，得y ＝3－x24x，即有x ＋y ＝x ＋3－x 24x ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵x >0，∴x ＋1x ≥2，即x ＋y ≥32，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，y ＝12时，x ＋y 取得最小值32.(2)已知a >0，b >0，c >1，且a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1的最小值为______．答案 4＋2 2解析 ∵a 2＋1ab ＝a 2＋(a ＋b )2ab ＝2a 2＋2ab ＋b 2ab＝2a b ＋ba＋2≥22a b ·ba＋2＝22＋2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a b ＝b a，a ＋b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1≥22c ＋2c －1＝22(c －1)＋2c －1＋2 2≥222(c －1)·2c －1＋22＝4＋22， 当且仅当22(c －1)＝2c －1，即c ＝1＋22时，等号成立． 综上，所求最小值为4＋2 2. 思维升华利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法．跟踪训练3 (1)已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y2x －2y 的最小值为( )A ．4B.92C ．22D ．4 2答案 A解析 由xy ＝1且0<y <22，可知x >2， 所以x －2y >0.x 2＋4y 2x －2y ＝(x －2y )2＋4xy x －2y ＝x －2y ＋4x －2y≥4， 当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立． (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 答案233解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋(x ＋y )24，解得－233≤x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取得最大值)，∴x ＋y 的最大值为233.题型四 绝对值不等式的应用例4 (1)(2018·浙江五校联考)已知a ∈R ，则“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 2|x －2|＋|5＋2x |＝|2x －4|＋|5＋2x | ≥|2x －4－5－2x |＝9，若2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解，则a ≤9，同样若a ≤9，则2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解， 所以“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的充要条件．(2)(2019·温州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若|a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1对x ∈R 恒成立，则|a sin x ＋b |的最大值为________． 答案 2解析 |a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1， 即|a sin 2x －b sin x －(a ＋c )|≤1，分别取sin x ＝1，－1,0，可知⎩⎪⎨⎪⎧|b ＋c |≤1，|b －c |≤1，|a ＋c |≤1，所以|a ＋b |＝|(a ＋c )＋(b －c )|≤|a ＋c |＋|b －c |≤2， 且|a －b |＝|(a ＋c )－(b ＋c )|≤|a ＋c |＋|b ＋c |≤2.所以max{|a sin x ＋b |}＝max{|a ＋b |，|a －b |}≤2，当a ＝2，b ＝0，c ＝－1时，取等号． 思维升华(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值．跟踪训练4 (1)已知函数f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c ，若存在正实数m ，使f (m )＝0，则不等式f (x )<f (m )的解集是________．答案 (－m ，m )解析 由|－x －5|＋|－x ＋3|＋|－x －3|＋|－x ＋5|＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|可知，函数f (x )为偶函数，当－3≤x ≤3时，f (x )取最小值16－c .结合题意可得c ≥16.由f (m )＝0得f (x )<0，即|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c <0，结合图象(图略)可知，解集为(－m ，m )．(2)不等式|x －2|＋|x ＋1|≥a 对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，3]解析 当x ∈(－∞，－1]时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x －x －1＝1－2x ≥3；当x ∈(－1,2)时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3； 当x ∈[2，＋∞)时，|x －2|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≥3，综上可得|x －2|＋|x ＋1|≥3，∴a ≤3.1．(2018·宁波期末)若a ，b ∈R ，且a <b <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a －b>1B.1a －1>1b －1C ．a 3>b 3D ．a ＋|b |>0答案 B解析 由a <b <0得a －1<b －1<0，则(a －1)(b －1)>0，所以(a －1)·1(a －1)(b －1)<(b －1)·1(a －1)(b －1)，即1a －1>1b －1，故选B.2．(2018·浙江绍兴一中期末)若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－7,7) B ．(－3,3) C ．(－7,3) D ．∅答案 C解析 不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，等价于(|x ＋2|＋|x －a |)min <5，又因为|x ＋2|＋|x －a |≥|(x ＋2)－(x －a )|＝|2＋a |，所以|2＋a |<5，－5<2＋a <5，解得－7<a <3，即实数a 的取值范围为(－7,3)，故选C.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1≤0，3x －y ＋1≥0，3x ＋y －1≤0，x ，y ∈R，则M 表示的平面区域的面积是( )A.2B.32C.322D ．2答案 B解析 由题意，M 表示的平面区域是以A (0,1)，B (－1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12为顶点的三角形及其内部，如图中阴影部分所示(含边界)，所以其面积为12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＝32.4．(2018·杭州质检)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则2x ＋1y的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 由2x ＋y －3＝0，得2x ＋y ＝3， 所以2x ＋1y ＝13(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2x y ＋2y x≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋2 2x y·2y x ＝3，当且仅当2x y ＝2y x，即x ＝y ＝1时等号成立，故选B.5．(2018·金华十校调研)设x ，y ∈R ，下列不等式成立的是( ) A ．1＋|x ＋y |＋|xy |≥|x |＋|y | B ．1＋2|x ＋y |≥|x |＋|y | C ．1＋2|xy |≥|x |＋|y | D ．|x ＋y |＋2|xy |≥|x |＋|y |答案 A解析 对于选项B ，令x ＝100，y ＝－100，不成立；对于选项C ，令x ＝100，y ＝1100，不成立；对于选项D ，令x ＝13，y ＝－12，不成立，故选A.6．(2018·杭州学军中学模拟)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y －m ≥0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0>3，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示(包含边界)，当目标函数z ＝x －2y 经过直线x ＋m ＝0与y －m ＝0的交点时取得最大值，即z max ＝－m －2m ＝－3m ，则根据题意有－3m >3，即m <－1，故选D.7．(2018·浙江舟山中学月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5B ．4C.5D ．2 答案 B解析 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点A (2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.因为a 2＋b 2表示原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，所以a 2＋b 2的最小值为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离，即(a 2＋b 2)min ＝|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4，故选B.8．(2018·嘉兴教学测试)若直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，则2a ＋3b 的取值范围是( ) A ．(－7,1) B ．(－3,5) C ．(－7,3) D ．R答案 C解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域是以A (1,1)，B (－1,1)，C (0，－1)为顶点的三角形区域(包含边界)；因为直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，所以a ，b满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1>0，－a ＋b －1>0，－b －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1<0，－a ＋b －1<0，－b －1<0，故点(a ，b )在如图所示的三角形区域(除边界且除原点)内，所以2a＋3b 的取值范围为(－7,3)，故选C.9．(2019·诸暨期末)不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集为________；不等式|3－2x |<1的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) (1,2)解析 依题意，不等式－x 2＋2x ＋3<0，即x 2－2x －3>0，解得x <－1或x >3，因此不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)；由|3－2x |<1得－1<3－2x <1,1<x <2，所以不等式|3－2x |<1的解集是(1,2)．10．(2018·宁波期末)关于实数x 的不等式x 2－4x >1a＋3在[0,5]上有解，则实数a 的取值范围为______________．答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由x 2－4x >1a ＋3得x 2－4x －3>1a ，则问题等价于1a小于x 2－4x －3在[0,5]上的最大值，又因为x 2－4x －3＝(x －2)2－7，所以当x ＝5时，x 2－4x －3取得最大值2，所以1a<2，解得a <0或a >12，所以a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.11．(2018·嘉兴测试)已知f (x )＝x －2，g (x )＝2x －5，则不等式|f (x )|＋|g (x )|≤2的解集为______________；|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 3 解析 由题意得|f (x )|＋|g (x )|＝|x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ，x <2，－x ＋3，2≤x ≤52，3x －7，x >52，所以|f (x )|＋|g (x )|≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ≤2，x <2或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3≤2，2≤x ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧3x －7≤2，x >52，解得53≤x ≤3，|f (2x )|＋|g (x )|＝|2x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－4x ，x <1，3，1≤x ≤52，4x －7，x >52，|f (2x )|＋|g (x )|的图象如图，则由图象易得|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为3.12．(2018·浙江镇海中学模拟)已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y ＋1的最大值是________． 答案 34解析 设u ＝1x ，v ＝1y ，则问题转化为“已知正数u ，v 满足u ＋2v ＝1，求u u ＋1＋2vv ＋1的最大值”．uu ＋1＋2v v ＋1＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1＝3－⎝⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1·14[(u ＋1)＋2(v ＋1)]＝3－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2(v ＋1)u ＋1＋2(u ＋1)v ＋1≤3－14(5＋4)＝34. 当且仅当2(v ＋1)u ＋1＝2(u ＋1)v ＋1，即u ＝v ＝13时，取等号．13．(2018·浙江金华十校联考)已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________． 答案 911－32 解析 将⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5变形为⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1－2z ，x 2＋y 2＝5－z 2，由|xy |≤x 2＋y 22知，|1－2z |≤5－z22，即－5－z 22≤1－2z ≤5－z 22，解得2－7≤z ≤11－2.所以xyz ＝(1－2z )z ＝－2z 2＋z 在[2－7，11－2]上的最小值为911－32.14．(2018·宁波模拟)若6x 2＋4y 2＋6xy ＝1，x ，y ∈R ，则x 2－y 2的最大值为________． 答案 15解析 方法一 设m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则问题转化为“已知4m 2＋mn ＋n 2＝1，求mn 的最大值”．由基本不等式，知1＝mn ＋4m 2＋n 2≥mn ＋4|mn |，所以－13≤mn ≤15，当且仅当n ＝2m ，即x ＝－3y 时，取得最大值15.方法二 (齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x ≠0.令z ＝x 2－y 2＝x 2－y 26x 2＋4y 2＋6xy＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x26＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋6·y x ，设t ＝y x ，则z ＝1－t 26＋4t 2＋6t，则(4z ＋1)t 2＋6zt ＋6z －1＝0对t ∈R 有解．当z＝－14时，t ＝－53.当z ≠－14时，Δ＝36z 2－4(4z ＋1)(6z －1)≥0，解得－13≤z ≤15.当t ＝－3z 4z ＋1＝－13时取最大值．方法三 1＝6x 2＋4y 2＋6×x3×3y ≥6x 2＋4y 2－6×x 23＋3y 22＝5x 2－5y 2，所以x 2－y 2≤15，当且仅当x ＝－3y 时取等号．15．(2019·浙江嘉兴一中模拟)已知点P 是平面区域M ：⎩⎨⎧x≥0，y ≥0，3x ＋y －3≤0内的任意一点，则P 到平面区域M 的边界的距离之和的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析 设平面区域M ：⎩⎨⎧x ≥0，y≥0，3x ＋y －3≤0为△ABO 区域(包含边界)，由题意，|AO |＝1，|BO |＝3，|AB |＝2，P 到平面区域M 的边界的距离之和d 就是P 到△ABO 三边的距离之和，设P 到边界AO ，BO ，AB 的距离分别为a ，b ，c ，则P (b ，a )，由题意0≤a ≤3，0≤b ≤1,0≤c ＝12(3－a －3b )≤32，所以d ＝a ＋b ＋c ＝12[a ＋(2－3)b ＋3]，从而d ≥32，当a ＝b ＝0时取等号．如图，P 为可行域内任意一点，过P 作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，PP ′⊥AB ，过P ′作P ′E ′⊥x 轴，P ′F ′⊥y 轴，则有PE ＋PF ＋PP ′≤P ′F ′＋P ′E ′，由P (b ，a )， 可得P ′⎝⎛⎭⎪⎫3＋b －3a4，3＋3a －3b 4，所以d ＝a ＋b ＋c ≤3＋b －3a 4＋3＋3a －3b 4＝3＋3＋(3－1)(3a －b )4，又0≤a ≤3，0≤b ≤1，则d ≤3，当a ＝3，b ＝0时取等号，因此d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 16．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟联考)若正数a ，b ，c 满足b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋bc＋1，则a ＋bc的最小值是________． 答案1＋172解析 由a ，b ，c 为正数，且b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋b c ＋1得b c ＋1a c ＋a c ＋1b c ＝a c ＋b c ＋1，设m ＝a c ，n ＝bc，则有m >0，n >0，上式转化为n ＋1m ＋m ＋1n ＝m ＋n ＋1，即m 2＋n 2＋m ＋nmn＝m ＋n ＋1，又由基本不等式得m 2＋n 2≥(m ＋n )22，mn ≤(m ＋n )24，所以m ＋n ＋1＝m 2＋n 2＋m ＋n mn ≥(m ＋n )22＋m ＋n (m ＋n )24，令t ＝m ＋n ，则t >0，上式转化为t ＋1≥t 22＋tt 24，即t 2－t －4≥0，解得t ≥1＋172，所以t ＝m ＋n ＝a c ＋bc ＝a ＋b c 的最小值为1＋172.。
2020学年高考数学(理)二轮复习解题方法与技巧训练(7)不等式 Word版含答案
（7）不等式1、若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．||||a b >B ．11a b a >-C ．11a b >D ．22a b >2、已知实数,,a b c 满足22643,44b c a a c b a a +=-+-=-+,则,,a b c 的大小关系是( )A.c b a ≥>B.a c b >≥C.c b a >>D.a c b >>3、设()22M a a =-，()()13N a a =+-，则有（ ）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N ≤ 4、不等式2230x x --<的解集是（ ）A ．(3,1)- B.(1,3)- C.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ D.(,3)(1,)-∞-⋃+∞5、已知不等式250ax x b ++>的解集是3|}2{x x <<，则不等式250bx x a +>-的解集是（ ）A.{3|x x <-或}2x >-B.1{|2x x <-或1}3x >- C.11{|}23x x -<<- D.2{|}3x x <<--6、已知函数21,0,(),0,x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意[1,1]x ∈-,不等式2[(12)42][()]a f a x a f x --+≥恒成立,其中0a >,则a 的取值范围是( ) A.1(0,]3 B.1[,)2+∞ C.3[,)7+∞ D.13[,]377、设实数,x y 满足约束条件03,04,26,x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩剟剟…则3z x y =+的最大值为( )A. 7B.9C. 13D. 158、若实数x ，y 满足约束条件22220x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2y x +的取值范围为( ).A.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦UC.[]0,1D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、已知0,0x y >>,且3622x y+=.若247x y m m +>-恒成立,则m 的取值范围为( ) A.{}|34m m << B.{}|43m m -<<C.{}|34m m m <>或D.{}|43m m m <->-或 10、已知0,0,2a b a b >>+=,则14y a b =+的最小值是( ) A.72 B.4 C.92 D.511、若实数,a b 满足0a b +<,则不等式0x a b x+<-的解集为___________. 12、若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是______．13、设0,0a b >>,给出下列不等式:①21a a +>;②114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;③11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭;④296a a +>.其中恒成立的是_________(填序号).14、已知正数a ，b 满足1ab a b =++，则2a b +的最小值为 _______ ．15、已知x 、y 满足条件7523,7110,4100.x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩求：(1)43z x y =-的最大值和最小值； (2)8-5y x +的最大值和最小值； (3)22x y +的最大值和最小值.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：A解析：因为244c b a a -=-+,即2(2)0c b a -=-≥,所以c b ≥.因为22643,44b c a a c b a a +=-+-=-+,两式相减得2222b a =+,即21b a =+,所以22131024b a a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭,所以b a >.综上可得c b a ≥>,故选A.3答案及解析：答案：A解析：4答案及解析：答案：B解析：5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：B解析：由题可知函数()f x 在R 上单调递减，且222[()]()a ax f x e f ax -==，则不等式2[(12)42][()]a f a x a f x --+≥可化为2[(12)42]()f a x a f ax --+≥，即2(12)42ax a a x --+≤对[1,1]x ∀∈-恒成立，则max 22()24x a x x +≥++,令2x t +=，则[1,3]t ∈，所以2121424242x t x x t t t t+==++-++-，因为42[2,3]t t+-∈,则111[,]4322t t∈+-，所以12a ≥.7答案及解析：答案：C解析：作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示.由图可知当直线3z x y =+过点(3,4)A 时，z 取最大值13，故选C.8答案及解析：答案：A解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数2y x +的几何意义是可行域上的点x y （，）与点20-（，）连线的斜率，由图可得当点20-（，）与点B 22-（，）连线时，斜率最小为12-，当点20-（，）与点A 02（，）连线时，斜率最大为1，所以1122y x -≤≤+。
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第二章 不等式2.5 Word版含解析
姓名，年级：时间：§2.5绝对值不等式最新考纲考情考向分析1。
会解|x＋b｜≤c，|x＋b｜≥c,｜x－a｜＋｜x－b｜≥c，｜x－a｜＋|x －b｜≤c型不等式．2。
了解不等式||a｜－｜b｜｜≤|a＋b|≤｜a｜＋|b|.绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式求最值是考查的重点；高考中绝对值不等式和数列、函数的结合是常见题型，解答题居多，难度为中高档。
1．绝对值三角不等式（1）定理1：如果a,b是实数,则｜a＋b｜≤|a｜＋｜b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2:如果a，b，c是实数，那么｜a－c｜≤|a－b｜＋|b－c｜，当且仅当（a－b）(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式｜x｜<a与|x|>a的解集：不等式a〉0a＝0a<0|x｜〈a(－a，a）∅∅|x|〉a (－∞，－a)∪(a,＋∞）(－∞,0)∪(0，＋∞）R(2）｜ax＋b｜≤c（c〉0）和|ax＋b｜≥c(c〉0）型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c;②｜ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.概念方法微思考｜x－a|＋|x－b｜≥c（c〉0）和|x－a|＋｜x－b｜≤c（c〉0）型不等式有哪些解法？各体现了什么数学思想？提示(1）利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;（2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×"）（1)|x＋2｜的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．( ×)（2）｜x｜>a的解集是{x|x〉a或x<－a｝．（×）（3)｜a＋b｜＝|a|＋|b｜成立的条件是ab≥0.( √)(4）若ab〈0,则|a＋b|〈|a－b｜。
2020届高考数学(理)二轮强化专题卷(7)不等式+Word版含答案
（7）不等式1、设0.22log 0.3,log 0.3a b ==,则( ) A.0a b ab +<< B.0ab a b <+< C.0a b ab +<<D.0ab a b <<+2、若实数0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）A.11a b <B. b a >C. 2a bb a +> D. 2ab b <3、若,a b c d >>，则下列不等式不一定成立．．．．．的是（ ） A.a b d c ->- B.a b d c +>+ C.a c b c ->-D.a c a d -<- 4、不等式2340x x -++<的解集为（ ） A.{}1|4x x -<< B.1{}4|x x x <->或 C.4{}1|x x x <->或D.{}4|1x x -<<5、不等式2(2)(2)10a x a x -+-+>对一切R x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[)2,6B.(2,6)C.(],2(6,)-∞⋃+∞D.(,2)(6,)-∞⋃+∞6、不等式111x ≤-的解集为( ) A.()[),12,-∞⋃+∞B. (](),01,-∞⋃+∞C. (]1,2D. [)2,+∞7、如果对于正数a ,满足35a a >,那么( )A. 2< B. 0.10.2a a <C. a a <D. 0.10. 2a a -->8、已知,x y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数1y z x m +=-的取值范围为[0,2),则实数m 的取值范围是（ ）A ．1[0,]2B ．1(,]2-∞C ．1(,)2-∞D ．(,0]-∞9、所有，未经书面同意，不得复制发布设x y ，满足约束条件210100x y x y m --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2z x y ＝﹣的最小值大于-5，则m 的取值范围为（ ）A ．11(1,)3- B ．11(3,)3- C ．[3,2)- D ．(,2)-∞10、若两个正实数x y 、，满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是( ) A.()1,4-B.()(),14,-∞-⋃+∞C.()4,1-D.()(),03,-∞⋃+∞11、已知,,,a b c d 均为实数,有下列命题:①若0,0ab bc ad >->,则0c da b->;②若0,0c dab a b>->,则0bc ad ->;③若0,0c dbc ad a b->->,则0ab >.其中正确的命题是_________.12、若函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ,则实数a 的取值范围为__________. 13、已知14x>0y>0x+y=+x y，，，则x+y 的最小值为__________.14、某加工厂用某原料由甲车间加下A 产品,由乙车间加工B 产品.甲车间用一箱原料可加工出7千克A 产品,需耗费工时10小时,每千克A 产品获利40元;乙车间用一箱原料可加工出4千克B 产品, 需耗费工时6小时,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,那么要满足上述的要求,并且获利最大,甲、乙两车间应当各加工多少箱原料? 15、已知二次函数2()1(R)f x x kx k =-+∈．(1).若()f x 在区间[2)+∞，上单调递增，求实数k 的取值范围； (2).若2k =，当[1,1]x ∈-时，求(2)x f 的最大值；(3).若()0f x ≥在(0)x ∈+∞，上恒成立，求实数k 的取值范围答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：∵0.22log 0.3,log 0.3a b ==,∴0.30.311log 0.2,log 2a b ==, ∴0.311log 0.4a b +=, ∴1101a b <+<,即01a b ab+<<.又∵0,0a b ><, ∴0ab <,即0ab a b <+<. 故选B.2答案及解析： 答案：C解析：令1b =-，2a =-，则C 正确，A ，B ，D 错误。
2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：解答题规范练(二)
解答题规范练(二)1．已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足f (B )＝2，a ＝8，c ＝5，求cos A 的值．2.如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝AB ＝1，BC ＝ 2.(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)设H 为CD 上一点，满足CH →＝2HD →，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，求二面角H PB C 的余弦值．3．已知函数f (x )＝ln xx.(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 恒成立，求实数的m 最小值； (2)对任意的x 1，x 2∈(0，2)且x 1＜x 2，若存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，求证：x 0＜x 1x 2.4.已知抛物线C：y2＝4x上动点P(x1，y1)，点A在射线x－2y＋8＝0(y≥0)上，满足P A的中点Q在抛物线C上．(1)若直线P A的斜率为1，求点P的坐标；(2)若射线l上存在不同于A的另一点B，使得PB的中点也在抛物线C上，求|AB|的最大值．5．已知数列{a n}的各项均为正数，且满足a21＋a22＋a23＋…＋a2n＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a21a2＋a1＋a22a3＋a2＋a23a4＋a3＋…＋a2na n＋1＋a n>n－22(n∈N*，n≥2)恒成立，求n的取值范围．解答题规范练(二)1．解：(1)f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由题意2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＝2，所以B ＝π3，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝49， 解得b ＝7.所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝17.2．解：(1)证明：由AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝1，可得BD ＝ 2. 又BC ＝2，所以CD ＝2，所以BC ⊥BD . 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 又PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面PBC .(2)由(1)可知∠BPC 为PC 与平面PBD 所成的角， 所以tan ∠BPC ＝63， 所以PB ＝3，PD ＝1.由CH →＝2HD →及CD ＝2，可得CH ＝43，DH ＝23.以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则B (1，1，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，H ⎝⎛⎭⎫0，23，0.设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧HP →·n ＝0，HB →·n ＝0，即⎩⎨⎧－23y 1＋z 1＝0，x 1＋13y 1＝0，取y 1＝－3，则n ＝(1，－3，－2)． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0，BC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－z 2＝0，－x 2＋y 2＝0，取x 2＝1，则m ＝(1，1，2)． 又cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－217，结合图形知，二面角H PBC 的余弦值为217. 3．解：(1)由f ′(x )＝1－ln xx 2＝0解得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 所以f (x )max ＝f (e)＝1e.因为关于x 的不等式f (x )≤m 恒成立， 所以f (x )max ≤m ，所以m ≥1e ，即m 的最小值为1e.(2)证明：因为对任意的x 1，x 2∈(0，2)，若存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，即1－ln x 0x 20＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1， 所以1－ln x 0x 20(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]＝0.令F (x )＝1－ln xx 2(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]，则有F (x 0)＝0，所以F ′(x )＝2ln x －3x 3(x 2－x 1)，当x ∈(0，2)时，2ln x －3＜2ln 2－3＜0， 又有x 2－x 1＞0，所以F ′(x )＜0，即F (x )在(0，2)上是减函数． 又因为F (x 1x 2)＝1－ln x 1x 2x 1x 2(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]＝1－ln x 1x 2x 1x 2(x 2－x 1)－⎝⎛⎭⎫ln x 2x 2－ln x 1x 1＝1x 1⎝⎛⎭⎫1＋ln x 1x 2－1x 2⎝⎛⎭⎫1＋ln x 2x 1，令x 2x 1＝t ＞1，所以F (x 1x 2) ＝1x 2⎣⎡⎦⎤t ·⎝⎛⎭⎫1－12ln t －⎝⎛⎭⎫1＋12ln t ， 设h (t )＝t ·⎝⎛⎭⎫1－12ln t －⎝⎛⎭⎫1＋12ln t ， 所以h ′(t )＝t －t ln t －12t，设k (t )＝t －t ln t －1， 所以k ′(t )＝－ln t ＜0(t ＞1)， 所以k (t )在(1，＋∞)上是减函数，所以k (t )＜k (1)＝0.所以h ′(t )＜0，所以h (t )在(1，＋∞)上是减函数， 所以h (t )＜h (1)＝0.所以F (x 1x 2)＝1x 2h (t )＜0＝F (x 0)，因为F (x )在(0，2)上是减函数，所以x 0＜x 1x 2.4．解：(1)设直线P A 的方程为y ＝x ＋b ，则A (8－2b ，8－b )．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b y 2＝4x得y 2－4y ＋4b ＝0，所以 Δ＝16－16b ＞0，b ＜1，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4y 1y 2＝4b，又y 1＋8－b ＝2y 2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0y 1＝0y 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－24y 1＝－8y 2＝12， 经检验都是方程的解，所以P (0，0)或P (16，－8)．(2)设A (2t 1－8，t 1)，B (2t 2－8，t 2)，t 1，t 2≥0.则由P A 的中点Q ⎝⎛⎭⎫y 218＋t 1－4，t 1＋y 12在抛物线C 上，可得⎝⎛⎭⎫t 1＋y 122＝4⎝⎛⎭⎫y 218＋t 1－4，整理得t 21＋(2y 1－16)t 1＋64－y 21＝0， 同理t 22＋(2y 1－16)t 2＋64－y 21＝0，所以t 1，t 2是方程t 2＋(2y 1－16)t ＋64－y 21＝0的两个不相等的非负根．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2y 1－16）2－4（64－y 21）＞0t 1＋t 2＝16－2y 1＞0t 1t 2＝64－y 21≥0，所以－8≤y 1＜0.于是|AB |＝5|t 1－t 2|＝252y 21－16y 1≤325，当且仅当y 1＝－8时取等号． 所以|AB |的最大值为32 5.5．解：(1)由题设a n >0，当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a 2n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a n ＝2n －12.又a 1＝2不满足a n ＝2n －12，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －12，n ≥2.(2)由(1)知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －12，n ≥2，故a 2na n ＋1＋a n ＝2n －1（2）n ＋（2）n －1＝2n －1（2）n －1·（2＋1）＝(2－1)·2n －12(n ≥2)，记S n ＝a 21a 2＋a 1＋a 22a 3＋a 2＋a 23a 4＋a 3＋…＋a 2n a n ＋1＋a n ， 则当n ≥2时，S n ＝22＋(2－1)[2＋(2)2＋…＋(2)n －1]＝22＋(2－1)·2[1－（2）n －1]1－2＝2n 2－22，故S n＝⎩⎨⎧22，n ＝12n 2－22，n ≥2.当n ∈N *，n ≥2时，要使得2n 2－22>n －22恒成立，即2n >n 2恒成立． 由于当n ＝4时，2n ＝n 2，考察函数f (x )＝2x －x 2的单调性，易证当x >4时，函数f (x )＝2x－x 2单调递增，且x ＝4时，f (x )＝0，所以当n ≥5时，a 21a 2＋a 1＋a 22a 3＋a 2＋a 23a 4＋a 3＋…＋a 2na n ＋1＋a n >n －22恒成立，故所求n 的取值范围是n ≥5.。
2020高中数学 专题强化训练(二)一元二次函数、方程和不等式(含解析)第一册
专题强化训练(二) 一元二次函数、方程和不等式（建议用时：60分钟）［合格基础练］一、选择题1．设a<0，0<b<1，则A＝a，B＝ab,C＝a2b的大小关系是( ）A．A〉B>C B．A〉C〉BC．C>B〉A D．C〉A>BC［可以用特殊值法：取a＝－1，b＝错误!。
∴A＝－1，B＝－错误!，C＝错误!，∴C>B〉A.］2．若错误!＜错误!＜0，则下列不等式不正确的是( )A．a＋b＜ab B。
错误!＋错误!＞0C．ab＜b2D．a2＞b2D［由错误!＜错误!＜0，可得b＜a＜0，故选D。
］3．已知x≥错误!，则y＝错误!有( )A．最大值错误!B．最小值错误!C．最大值1 D．最小值1D［y＝错误!＝错误!＋错误!.∵x≥错误!，∴x－2>0，∴y≥2错误!＝1。
当且仅当错误!＝错误!，即x＝3时，取等号．]4．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )A．－3 B．1 C．－1 D．3A[由题意：A＝{x｜－1＜x＜3｝,B＝{x|－3＜x＜2｝．A∩B＝｛x|－1＜x＜2},由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2,∴a＋b＝－3。
]5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件,则平均仓储时间为错误!天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A．60件B．80件C．100件D．120件B［设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝错误!＋错误!≥2错误!＝20.当且仅当错误!＝错误!（x〉0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.]二、填空题6．不等式－3x2－x＋10〈0的解集为________．错误
专题强化训练 [基础达标]1．已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2，3] B ．(－2，3]C ．[1，2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q ＝{x |x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x |－2＜x ＜2}，故得P ∪(∁R Q )＝{x |－2＜x ≤3}．故选B.2．(2019·金华模拟)已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选A.法一：因为A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}＝{y |y ＞1}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}＝{y |y ＞12}，所以A ∩B ＝{y |y ＞1}，故选A. 法二：取2∈A ∩B ，则由2∈A ，得log 2x ＝2，解得x ＝4＞2，满足条件，同时由2∈B ，得⎝⎛⎭⎫12x＝2，x ＝－1，满足条件，排除选项B ，D ；取1∈A ∩B ，则由1∈A ，得log 2x ＝1，解得x ＝2，不满足x ＞2，排除C ，故选A.3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅，故a 的值为2，选B.4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a ，b 为两个非零向量，设命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：a 与b 共线，则命题p 是命题q 成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.|a ·b |＝|a ||b |⇔|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝±1⇔a ∥b ，故是充要条件，选C.5．(2019·衢州质检)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}， 所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.6．“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1 解析：选C.若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0，故选C.7．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.8．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题 解析：选B.对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题为“若x ≠π3，则tan x≠3”，易知当x ＝4π3时，tan x ＝3，故选项D 为假命题．综上可知，选B.9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的体积不变 C ．与所有12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任意一点，则|MN |的最小值是3－22解析：选D.A.因为AB 1∥DC 1，AC ∥A 1C 1， 且AC ∩AB 1＝A ，所以平面ACB 1∥平面A 1C 1D ， 正方体的体对角线BD 1＝3， 设B 到平面ACB 1的距离为h ，则V B AB 1C ＝13×12×1×1×1＝13×12×2×2×32h ，即h ＝33，则平面ACB 1与平面A 1C 1D 的距离d ＝3－2h ＝3－2×33＝33，故A 正确． B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B 正确，C ．与所有12条棱都相切的球的直径2R 等于面的对角线B 1C ＝2，则2R ＝2，R ＝22，则球的体积V ＝43πR 3＝43×π×(22)3＝23π，故C 正确．D ．设正方体的内切球的球心为O ，正方体的外接球的球心为O ′， 则三角形ACB 1的外接圆是正方体的外接球O ′的一个小圆，因为点M 在正方体的内切球的球面上运动，点N 在三角形ACB 1的外接圆上运动， 所以线段MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径， 因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 所以线段MN 长度的最小值是32－12.故D 错误．故选D. 10．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，集合M 中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选C.由36－x 2>0可解得－6<x <6，又x ∈N ，故x 可取0，1，2，3，4，5，故S ＝{0，1，2，3，4，5}．由题意可知：集合M 不能含有0，1，且不能同时含有2，4.故集合M 可以是{2，3}，{2，5}，{3，5}，{3，4}，{4，5}．11．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二：(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1.z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎭⎬1，12，2，显然该集合中共有3个元素．答案：312．(2019·温州瑞安高考数学模拟)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝______，(∁U A )∪B ＝________．解析：因为U ＝{1，2，3，4，5，6}， ∁U B ＝{1，5，6}，∁U A ＝{3，4，5，6}， 所以A ∩(∁U B )＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，(∁U A )∪B ＝{3，4，5，6}∪{2，3，4}＝{2，3，4，5，6}． 答案：{1} {2，3，4，5，6}13．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题． 答案：114．一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充分必要条件是________． 解析：必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )， 所以b ＝0.充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ， 因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数． 答案：b ＝015．A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是________． 解析：有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有： ①(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，此时B ＝∅；②(2，1)，此时B ＝{1}； ③(3，2)，此时B ＝{1，2}． 所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89.答案：8916．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．解析：因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0.解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝ 4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意．(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0， 解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪{1}． 答案：(－∞，－1]∪{1}17．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错． ②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}， f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错． ③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}， 则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}， 则f (P )∪f (M )＝R ，故④错． 答案：①②③④[能力提升]1．已知集合P ＝{y |y ＝(12)x ，x ≥0}，Q ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，则P ∩Q 为( )A ．(0，1]B ．∅C ．(0，2)D ．{0}解析：选A.由已知得，因为x ≥0，且0＜(12)x ≤(12)0＝1，所以P ＝(0，1]，又因为2x －x 2＞0⇒0＜x ＜2，所以Q ＝(0，2)，因此P ∩Q ＝(0，1]，故选A.2．已知z ＝m 2－1＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R ，i 为虚数单位)，则“m ＝－1”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意，当m ＝－1时，z 的实部为(－1)2－1＝0，虚部为(－1)2－3×(－1)＋2＝6，此时z 为纯虚数，即充分性成立；当z 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m 2－3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1m ≠2，m ≠1⇒m＝－1，即必要性成立，故选C.3．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{x |x ＜－1或x ≥1} B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}． 故选B.4．若x ∈R ，则“x ＞1”是“1x ＜1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A.由x ＞1，一定能得到1x ＜1，但当1x ＜1时，不能推出x ＞1(如x ＝－1时)，故“x＞1”是“1x＜1”的充分非必要条件．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的必要而不充分的条件是( ) A ．a －1＞b B ．a ＋1＞b C ．|a |＞|b |D ．a 3＞b 3解析：选B.“a ＞b ”不能推出“a －1＞b ”，故选项A 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a ＋1＞b ”，但“a ＋1＞b ”不能推出“a ＞b ”，故满足题意；“a ＞b ”不能推出“|a |＞|b |”，故选项C 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a 3＞b 3”，且“a 3＞b 3”能推出“a ＞b ”，故是充要条件，不满足题意．6．(2019·绍兴质检)已知集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(－2，0)B ．[－2，0)C ．∅D ．(－2，1)解析：选B.因为集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， 所以∁R A ＝{x |－2≤x ≤1}，集合B＝{x|x＞2或x＜0}，所以(∁R A)∩B＝{x|－2≤x＜0}＝[－2，0)，故选B.7．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是()A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线解析：选C.A.α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；C.利用线面平行的性质定理，可得C 正确；D.若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选C.8．已知f(x)＝ax2＋bx，其中－1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b ＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f(x)＝ax2＋bx，所以a＋b＞1⇔f(1)＞1.因为存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1，所以|f(x)|max＞1.因为－1≤a＜0，b＞0，所以函数f(x)的对称轴x＝－b2a＞0.计算：f(0)＝0，f(1)＝a＋b，f(－b2a)＝b2－4a＞0.f(1)＞1，所以f(－b2a)＝b2－4a＞1，反之也成立，若b2＞－4a，则b＞－4a＞1－a.所以“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的充要条件．9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.10．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列B ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列解析：选 D.c n ⊥b n ⇒c n ·b n ＝na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝0，即a n ＋1a n＝－nn ＋1；所以数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列；c n ∥b n ⇒(n ＋1)a n －na n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ；所以a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝21×32×…×nn －1＝n (n ≥2)，即a n ＝na 1.所以数列{a n }是等差数列． 11．已知A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，3}，记：A ＋B ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }，试用列举法表示A ＋B ＝________．解析：因为a ∈A ，b ∈B ， 所以当a ＝0时，a ＋b ＝－1或3， 当a ＝1时，a ＋b ＝0或4， 当a ＝2时，a ＋b ＝1或5，所以A ＋B ＝{－1，0，1，3，4，5}． 答案：{－1，0，1，3，4，5}12．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝________． 解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，又因它的解为x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．答案：{1，3}13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 114．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为________．解析：若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.答案：115．给出下列四个命题：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确命题的序号是________．解析：由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以④正确．答案：①④16．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|x<m或x>m＋3}，Q＝{x|x2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)17．(2019·杭州市七校高三联考)下列命题中正确的有________．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＝sin 2 C ，则△ABC 为直角三角形；③若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则tan A tan B >1；④若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝S n －S n －1(n >1)．解析：命题①：由数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n －a n －1＝d (n ≥2)(ⅰ)，又数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，则a n ＝qa n －1(n ≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qa n －1－a n －1＝(q －1)a n －1＝d (n ≥2)，要使(q －1)·a n －1＝d (n ≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q －1＝d ＝0，也就是q ＝1，d ＝0.所以数列{a n }为非零常数列，故不正确；命题②：由正弦定理可把sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C 转化为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，所以三角形为直角三角形，故正确； 命题③：若A 、B 是锐角三角形的两内角，则tan A >0，tan B >0，π>A ＋B >π2， 则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B<0， 得tan A ·tan B >1，故正确；命题④：若S n 为数列{a n }的前n 项和， 则此数列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2），故不正确． 故正确的命题为：②③.答案：②③。
2020浙江新高考数学二轮复习专题强化练：高考仿真模拟练(二) 含答案
高考仿真模拟练(二)(时间：120分钟；满分：150分)选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝x－1}，则()A．M＝P B．M⊆PC．P⊆M D．M∩P＝∅2．已知m1－i＝1＋n i，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋n i在复平面内对应的点到坐标原点的距离为()A.3B．3C. 5 D．53．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于() A．2 B．－1C．1 D．－25．函数y＝(2x－1)e x的图象是()6．已知O是坐标原点，若点M(x，y)为平面区域{x＋y≥2x≤1y≤2上的一个动点，则目标函数z＝－x＋2y的最大值是()A．0 B．1C．3 D．47．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P A.13 B.16 C.12D.568．已知单位向量a ，b 满足|2a －b |＝2，若存在向量c ，使得(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤62，62＋1 B.⎣⎡⎦⎤62－1，62 C.⎣⎡⎦⎤62－1，62＋1D ．[6－1，6＋1]9.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.4510．已知函数f (x )＝x ＋2bx＋a ，x ∈[a ，＋∞)，其中a >0，b ∈R ，记m (a ，b )为f (x )的最小值，则当m (a ，b )＝2时，b 的取值范围为( )A ．b >13B ．b <13C ．b >12D ．b <12二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．双曲线x 2－y 23＝1的离心率是________，渐近线方程是________． 12.一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为________，正四棱锥的体积为________．13．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2a sin B ＝3b ，b ＝2，c ＝3，AD 是内角的平分线，则BC ＝________，BD ＝________．14．在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，则数列{a n }的通项公式为________．若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，则数列{b n }的前n 项和S n 为________． 15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．16．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的取值范围．19.(本题满分15分)如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，侧棱AA1⊥底面ABCD，M是AC的中点，∠BAD＝120°，AA1＝AB.(1)证明：MD1∥平面A1BC1；(2)求直线MA1与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．(本题满分15分)已知f(x)＝e x－a ln x(a∈R)．(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a＝－1时，若不等式f(x)>e＋m(x－1)对任意x∈(1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围．21.(本题满分15分)如图，已知直线P A ，PB ，PC 分别与抛物线y 2＝4x 交于点A ，B ，C 与x 轴的正半轴分别交于点L ，M ，N 且|LM |＝|MN |，直线PB 的方程为2x －y －4＝0.(1)设直线P A ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2＝k 1k 2； (2)求S △P ABS △PBC的取值范围．22．(本题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a 2n，n ∈N *.记S n ，T n 分别是数列{a n }，{a 2n }的前n 项和．证明：当n ∈N *时，(1)a n ＋1＜a n ； (2)T n ＝1a 2n ＋1－2n －1；(3)2n －1＜S n ＜2n .高考仿真模拟练(二)1．详细分析：选B.因为集合M ＝{y |y >0}，P ＝{y |y ≥0}，故M ⊆P ，选B.2．详细分析：选C.法一：由已知可得m ＝(1＋n i)(1－i)＝(1＋n )＋(n －1)i ，因为m ，n是实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧n －1＝0，n ＋1＝m ，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，即m ＋n i ＝2＋i ，m ＋n i 在复平面内对应的点为(2，1)，其到坐标原点的距离为5，故选C.法二：m1－i ＝m （1＋i ）1－i 2＝m 2＋m 2i ＝1＋n i ，故⎩⎨⎧m2＝1，m 2＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，m ＋n i 在复平面内对应的点到坐标原点的距离为22＋12＝ 5.3．详细分析：选A.根据已知条件，由于直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，如果两个平面平行α∥β，则必然能满足l ⊥m ，反之，如果l ⊥m ，则对于平面α，β可能是相交的，故条件能推出结论，但是结论不能推出条件，故选A.4．详细分析：选C.题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C. 5．详细分析：选A.令y ＝(2x －1)e x ＝0，解得x ＝12，函数有唯一的零点，故排除C 、D.当x →－∞时，e x →0，所以y →0，故排除B.故选A.6.详细分析：选D.作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图所示，由图知当点M 为点C (0，2)时，目标函数z ＝－x ＋2y 取得最大值，即为－1×0＋2×2＝4，故选D.7．详细分析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.8．详细分析：选C.如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OA ′→＝2a ，因为|2a －b |＝2，所以△OA ′B 是等腰三角形．因为(c －2a )·(c －b )＝0，所以(c －2a )⊥(c －b )，即A ′C ⊥BC ，所以△A ′BC是直角三角形，所以C 在以A ′B 为直径，1为半径的圆上．取A ′B 的中点M ，因为cos ∠A ′BO ＝14，所以OM 2＝1＋1－2×1×1×14＝32，即OM＝62， 所以|c |∈⎣⎡⎦⎤62－1，62＋1.9．详细分析：选D.连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45. 10．D11．2 y ＝±3x12．详细分析：由正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图如图，则该正四棱锥的正视图为三角形PEF (E ，F 分别为AD ，BC 的中点)， 因为正四棱锥的所有棱长均为2， 所以PB ＝PC ＝2，EF ＝AB ＝2，PF ＝3， 所以PO ＝PF 2－OF 2＝3－1＝2， 所以该正四棱锥的正视图的面积为 12×2×2＝2； 正四棱锥的体积为13×2×2×2＝423.答案：242313．详细分析：由2a sin B ＝3b 及正弦定理得2sin ∠BAC ·sin B ＝3sin B ，所以sin ∠BAC ＝32. 因为∠BAC 为锐角，所以∠BAC ＝π3.因为AD 是内角平分线， 所以BD DC ＝AB AC ＝c b ＝32.由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7，BD ＝357.答案：7357 14．详细分析：设数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝8，所以q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n .设数列{b n }的公差为d ，因为b 3＝a 3＝23＝8，b 5＝a 5＝25＝32，且{b n }为等差数列，所以b 5－b 3＝24＝2d ，所以d ＝12，所以b 1＝b 3－2d ＝－16，所以S n ＝－16n ＋n （n －1）2×12＝6n 2－22n .答案：2n 6n 2－22n15．详细分析：把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.答案：6016．详细分析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA ，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|12＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：217．详细分析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22所以x 1＋x 2＝5.答案：518．解：(1)由题意得 f (x )＝32sin 2x ＋12sin x cos x ＝12sin(2x －π3)＋34， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π. (2)由0≤x ≤π2知，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， 所以函数f (x )的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12＋34.19．解：(1)证明：连接B 1D 1交A 1C 1于点E ，连接BE ，BD . 因为ABCD 为菱形，所以点M 在BD 上，且ED 1∥BM ，又ED 1＝BM ，故四边形ED 1MB 是平行四边形，则MD 1∥BE ，又BE ⊂平面A 1BC 1，MD 1⃘平面A 1BC 1，因此，MD 1∥平面BC 1A 1.(2)由于A 1B 1C 1D 1为菱形， 所以A 1C 1⊥B 1D 1，又ABCD A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，有A 1C 1⊥BB 1，则A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ， 因此，平面BB 1D 1D ⊥平面BC 1A 1.过点M 作平面BB 1D 1D 和平面BC 1A 1交线BE 的垂线，垂足为H ，得MH ⊥平面BC 1A 1. 连接HA 1，则∠MA 1H 是直线MA 1与平面BC 1A 1所成的角．设AA 1＝1，因为ABCD 是菱形且∠BAD ＝120°，则AM ＝12，MB ＝32.在Rt △MAA 1中，由AM ＝12，AA 1＝1，得MA 1＝52.在Rt △EMB 中，由MB ＝32，ME＝1，得MH ＝217. 所以sin ∠MA 1H ＝MH MA 1＝210535.20．解：(1)由f (x )＝e x －a ln x ， 则f ′(x )＝e x －ax，f ′(1)＝e －a ，切点为(1，e)，所求切线方程为y －e ＝(e －a )(x －1)，即(e －a )x －y ＋a ＝0.(2)由f (x )＝e x －a ln x ，a ＝－1， 原不等式即为e x ＋ln x －e －m (x －1)>0. 记F (x )＝e x ＋ln x －e －m (x －1)，F (1)＝0. 依题意有F (x )>0对任意x ∈(1，＋∞)恒成立， 求导得F ′(x )＝e x ＋1x －m ，F ′(1)＝e ＋1－m ，令g (x )＝e x ＋1x －m ，则g ′(x )＝e x －1x2，当x >1时，g ′(x )>0，则F ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，有F ′(x )>F ′(1)， 若m ≤e ＋1，符合题意；若m >e ＋1，则F ′(1)<0，又F ′(ln m )＝1ln m >0，故存在x 1∈(1，ln m )，使F ′(x 1)＝0，当1<x <x 1时，F ′(x )<0，F (x )在(1，x 1)上单调递减，F (x )<F (1)＝0，舍去． 综上，实数m 的取值范围是(－∞，e ＋1]．21．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x2x －y －4＝0，解得x ＝1，4，由图象可知，P (1，－2)，易知M (2，0)，由题意可设L (2－t ，0)，N (2＋t ，0)，0<t <2， 所以k 1＝21－t (t ≠1)，k 2＝21＋t ，所以1k 1＋1k 2＝1－t 2＋1＋t2＝1，故k 1＋k 2＝k 1k 2.(2)由(1)得，l P A ：2x ＋(t －1)y ＋2t －4＝0，0<t <2，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x 2x ＋（t －1）y ＋2t －4＝0⇒y 2＋(2t －2)y ＋4t －8＝0， 得A ((2－t )2，4－2t )，同理可得B ((2＋t )2，4＋2t )．设A 点到PB 的距离为d 1，C 点到PB 的距离为d 2，所以d 1＝|2（2－t ）2－（4－2t ）－4|5＝|2t 2－6t |5， d 1＝|2（2＋t ）2－（4＋2t ）－4|5＝|2t 2＋6t |5 所以S △P AB S △PBC ＝d 1d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －3t ＋3 ＝3－t 3＋t ＝63＋t－1. 因为0＜t ＜2，所以S △P AB S △PBC的取值范围是⎝⎛⎭⎫15，1. 22．证明：(1)由a 1＝1及a n ＋1＝a n 1＋a 2n 知a n ＞0，故a n ＋1－a n ＝a n 1＋a 2n －a n ＝－a 3n 1＋a 2n＜0， 所以a n ＋1＜a n ，n ∈N *.(2)由1a n ＋1＝1a n ＋a n ， 得1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2， 从而1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n＋2 ＝1a 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋2×2 ＝…＝1a 21＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＋2n ， 又a 1＝1，所以T n＝1a2n＋1－2n－1，n∈N*.(3)由(2)知，a n＋1＝1T n＋2n＋1，由T n≥a21＝1，得a n＋1≤12n＋2.所以，当n≥2时，a n≤12n＝22n＜2n＋n－1＝2(n－n－1)，由此S n＜a1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)]＝1＋2(n－1)＜2n，又a1＝1，故S n＜2n.另一方面，由a n＝1a n＋1－1a n，得S n＝1a n＋1－1a1≥2n＋2－1＞2n－1.综上，2n－1＜S n＜2n，n∈N*.。
2020学年高考数学(理)二轮复习解题方法与技巧试题：专题六 不等式 Word版含答案
专题六 不等式1、 解关于x 的不等式2(2)20ax a x +--≥(其中0a <).2、已知()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是(0,5). （1）求()f x 的解析式；（2）若对于任意的[1,1]x ∈-，不等式()2f x t +≤恒成立，求t 的取值范围.3、已知正数,,a b c 满足2a b c ++=，求证：2221a b cb c c a a b++≥+++．4、若变量,x y 满足约束条件20360x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，求：（1）23z x y =-+的最大值； （2）23y z x +=+的取值范围； （3）2221z x y x y =+--+的取值范围.5、已知00a b >>，，试比较a b +与a bb a+的大小.6、已知函数()21(R)f x x x m m =+--∈． （1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()3f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围．7、如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3AB ＝米，4AD ＝米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，则DN 的长应在什么范围？ （2）当DN 的长为多少米时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值.8、某企业生产A ,B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨) 电(千瓦)A 产品 3 9 4B 产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？答案以及解析1答案及解析：答案：2(2)2(1)(2)0ax a x x ax +--=+-≥，①当0a =时，(1)(2)2(1)0(,1]x ax x x +-=-+≥⇒∈-∞-，②当0a >时，2(1)(2)0(,1][,)x ax x a+-≥⇒∈-∞-+∞U ，③当20a -<<时，2(1)(2)0,1x ax x a ⎡⎤+-≥⇒∈-⎢⎥⎣⎦，④当2a =-时，{}2(1)(2)2(1)0|1x ax x x x +-=-+≥⇒=-，⑤当2a <-时，2(1)(2)01,x ax x a ⎡⎤+-≥⇒∈-⎢⎥⎣⎦.2答案及解析：答案：（1）()22f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，即220x bx c +<+的解集是(0,5)，∴0和5是方程220x bx c +=+的两个根，由根与系数的关系知，5022b c-==，， ∴()2100210.b c f x x x =-=-=，，（2）()2f x t +≤恒成立等价于221020x x t +-≤-恒成立， ∴22102x x t -+-在,1[]1x ∈-上的最大值小于或等于0. 设()2210[]21,1g x x x t x ∈=-+--，，则由二次函数的图象可知()22102g x x x t =+--在区间[]1,1-上为减函数，∴()max 11()0100g x g t t +∴=-+=≤，，即10t ≤-.3答案及解析： 答案：证明：正数,,a b c 满足2a b c ++=，()()()2222224b c c a a b a b c a b c b c c a a b b c c a a b +++++⎛⎫++=++⨯⎪++++++⎝⎭ ()()()22214a b c b c c a a b b c c a a b ⎛⎫++⨯+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭=()()()()2222211144a b c c a a b b c c a a b c a b c b ⨯+⨯+⨯++++⎡⎤≥++=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 故命题2221a b c b c c a a b++≥+++成立.4答案及解析：答案：（1）作出可行域，如图阴影部分所示.由202360x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，即()2,0A ，由20101x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，即()1,1B ，由36303x y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，即()3,3C ，如图可知23z x y =-+，在点()2,0A 处取得最优解，max 5z =. （2）23y z x +=+可看成(),x y 与()3,2--的斜率范围，在点()2,0A ，()3,3C 处取得最优解， min022235z +==+，max 325336z +==+，所以25,56z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（3）()22221121124z x y x y x y ⎛⎫=+--+=-+-- ⎪⎝⎭，()22112x y ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭可看作(),x y 与11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭距离的平方， 如图可知min 11212222d +-==，所以2min min 11114848z d =-=-=-， 在点()3,3C 处取得最大值，()22max113131024z ⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭，所以1,108z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.5答案及解析： 答案：方法一(作差法) ()()a b a b b a+-+ a a b b a b b aa b +--=⋅()()a b a b ab--=2()()a b a b ab+-=. 因为20,()0,0a b a b ab +>-≥>，所以2()()0a b a b ab+-≥，当且仅当a b =时等号成立.所以a ba b b a+≤+， 当且仅当a b =时取等号. 方法二(作商法) ()a ba ab bb a a bab a b ++=++()()()a b a b ab ab a b ++-=+a b abab+-=2()a b abab -+=2()11a b ab-=+≥.当且仅当a b =时等号成立， 所以a ba b b a+≤+，当且仅当a b =时取等号. 方法三因为0,0a ba b b a+>+>， 所以2222()()()a b a b a b a b b a b a+-+=+-+2()()()()0a b a b b a a b a b b a ab--+-=-=-≤.当且仅当a b =时等号成立， 所以a ba b b a+≤+，当且仅当a b =时取等号.6答案及解析： 答案：（1）①当12x ≤-时，()21(1)2f x x x x =--+-=--， 由()2f x ≥解得4x ≤-；②当112x -<<时，()(21)(1)3f x x x x =++-=， 由()2f x ≥解得22133x x ≥∴≤<，； ③当1x ≥时，()(21)(1)2f x x x x =+--=+， 由()2f x ≥解得01x x ≥∴≥，．综上可得()2f x ≥的解集是2(,4][,)3-∞-⋃+∞．（2）()213f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4]，∴当[3,4]x ∈时，213x x m x +--≥-恒成立． 原式可变为213x x m x +--≥-，即4x m x -≤+，44x x m x ∴--≤-≤+，即424m x -≤≤+在[3,4]x ∈上恒成立，显然当3x =时，24x +取得最小值10， 即m 的取值范围是[4,10]-．7答案及解析：答案：（1）设DN 的长为(0)x x >米，则(4)AN x =+米， 23(4)3(4)MPNDN DC x x AM S AN AM AN AM xx++=∴=∴=⋅=，，， 由矩形AMPN 的面积大于50，得23(4)50x x+>，又0x >，得2326480x x -+>， 解得：803x <<或6x >，即DN 长的取值范围是8(0,)(6,)3⋃+∞. （2）矩形花坛AMPN 的面积为223(4)324484848324232448x x x y x x x x x x+++===++≥⋅+=，当且仅当483x x=，即4x =时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值48. 故DN 的长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为48平方米.8答案及解析： 答案：设生产A ，B 两种产品分别为吨，y 吨，利润为万元，依题意得310300,94360,45200,0,0.x y x y x y x y +≤+≤+⎧⎪≤≥⎨≥⎪⎪⎪⎩目标函数为712z x y =+.作出可行域，如图所示.当直线7120x y +=向右上方平行移动时，经过点M 时取最大值.解方程组310300,45200,x y x y +=+=⎧⎨⎩得20,24.x y ==⎧⎨⎩因此，点M 的坐标为()20,24，所以该企业生产A ,B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润.。
2020浙江高考数学二轮讲义：专题一第4讲不等式Word版含解析
第 4讲不等式不等式的解法[ 核心提炼 ]1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋ bx＋c>0( a≠ 0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋ c＝ 0(a≠0) 的根，最后依据相应二次函数图象与x 轴的地点关系，确立一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法f（ x）(1)g（x）>0(<0) ? f( x)g(x)>0(<0) ；(2)f（x）≥ 0(≤ 0)? f(x)g( x)≥ 0(≤0) 且 g(x)≠0.g（ x）[ 典型例题 ](1)已知函数 f(x)＝ (ax－ 1)(x＋ b)，若不等式 f(x)＞ 0 的解集是 (－ 1，3)，则不等式 f(－2x)＜ 0 的解集是 ()A. －∞，－32∪12，＋∞3 1B.－，C. －∞，－12∪32，＋∞1 3D.－，(2)不等式 (a－ 2)x2＋2(a－ 2)x－ 4<0 的解集为 R ，则实数a 的取值范围是 ________．【分析】(1)由 f(x)＞ 0，得 ax2＋ (ab－ 1)x－ b＞ 0，又其解集是 (－ 1， 3)，1－ ab＝ 2，a因此 a＜ 0，且b－a＝－ 3，1解得 a＝－ 1 或3(舍去 )，因此 a＝－ 1， b＝－ 3，因此 f(x)＝－ x2＋ 2x＋ 3，因此 f(－ 2x)＝－ 4x2－ 4x＋ 3，由－ 4x2－ 4x＋ 3＜0，得 4x2＋ 4x－3＞ 0，解得1x＞ 2或3x＜－ 2，应选 A.(2)当 a ＝ 2 时，不等式化为－ 4<0，恒建立； 当 a ≠ 2 时，a － 2<0由条件知，＝ 4（a － 2） 2＋ 16（ a － 2） <0解得－ 2< a<2.综上所述， a 的取值范围是 (－ 2， 2]．【答案 】 (1)A (2)( －2， 2]不等式的求解技巧(1)对于和函数相关的不等式，可先利用函数的单一性进行转变．(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，如有两个不相等的实根，则利用 “ 大于在两边，小于夹中间 ” 得出不等式的解集．(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类议论．[ 对点训练 ]x1．不等式 2x －1>1 的解集为 ( )A. 1， 1 B ． (－∞， 1)2C. －∞， 1∪ (1，＋∞ )D. 1，222分析： 选 A. 原不等式等价于 xx －（ 2x － 1） x － 1<0， － 1>0，即 >0，整理得2x － 1 2x － 1 2x － 11不等式等价于 (2x － 1)(x － 1)<0 ，解得 2<x<1.应选 A.2．(2019 ·北八校联考湖 )已知对于 x 的不等式 ax 2－ ax － 2a 2>1( a>0 ， a ≠1)的解集为 (－a ，1x 2 ＋ 2mx －m2a)，且函数 f(x)＝－1的定义域为 R ，则实数 m 的取值范围为 ________．a分析： 当 a>1 时，由题意可得 x 2－ ax － 2a 2>0 的解集为 (－ a ，2a)，这明显是不行能的．当1x 2＋ 2mx － m10<a<1 时，由题意可得 x 2－ax － 2a 2<0 的解集为 (－ a ，2a)，且 a≥ a ，即 x 2＋2mx －m ≥0 恒建立，故对于方程x 2＋ 2mx － m ＝ 0，有 ＝ 4m 2＋ 4m ≤ 0，解得－ 1≤ m ≤ 0.答案： [－1，0]绝对值不等式[ 核心提炼 ]1．含绝对值不等式的解法(1)|ax＋ b|≤c，|ax＋ b|≥ c 型不等式的解法①若 c>0，则 |ax＋ b|≤ c? － c≤ ax＋ b≤ c，|ax＋ b|≥ c? ax＋b≥ c，或 ax＋ b≤－ c，而后根据 a， b 的取值求解即可；②若 c<0，则 |ax＋ b|≤ c 的解集为 ?， |ax＋ b|≥ c 的解集为 R.(2)|x－ a|＋ |x－b|≥ c， |x－ a|＋ |x－ b|≤ c 型不等式的解法①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；②把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；③在所分区间上，依据绝对值的定义去掉绝对值符号，议论所得的不等式在这个区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集．2．绝对值不等式的性质(三角不等式 )(1)对绝对值三角不等式定理|a|－ |b|≤ |a±b|≤ |a|＋ |b|中等号建立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可加强为||a|－ |b||≤ |a±b|≤ |a|＋ |b|，它常常用于证明含绝对值的不等式．[ 典型例题 ](1)(2019 绍·兴市诸暨市高考二模)已知f(x)＝ x2＋ 3x，若 |x－ a|≤ 1，则以下不等式一定建立的是 ()A． |f(x) － f(a)|≤ 3|a|＋ 3B． |f( x)－ f(a)|≤ 2|a|＋ 4C． |f( x)－ f(a)|≤ |a|＋ 5D． |f(x) － f(a)|≤ 2(|a|＋ 1)2(2)(2019 ·新高考研究结盟第一次联考)已知函数f(x) ＝ |x2－a|＋ |x－ b|(a，b∈ R )，当 x∈ [ －2， 2]时，记 f(x)的最大值为M(a， b)，则 M( a，b)的最小值为 ________．【分析】(1)由于 |x－ a|≤ 1，因此 a－ 1≤ x≤ a＋ 1，由于 f(x)是二次函数，因此 f(x)在区间 [a－ 1， a＋ 1]上单一时， |f(x)－ f(a)|获得最大值为|f(a＋ 1)－ f(a)|或 |f(a－ 1)－f(a)|，而 |f(a＋ 1)－ f(a)|＝ |(a＋ 1)2＋ 3(a＋1) －a2－ 3a|＝ |2a＋ 4|≤ 2|a|＋ 4，|f(a － 1)－ f( a)|＝ |(a － 1)2＋ 3(a － 1)－ a 2－ 3a|＝ |－ 2a －2|＝ |2a ＋ 2|≤2|a|＋ 2.因此 |f(x)－ f(a)|≤2|a|＋ 4，应选 B.(2)法一：依据对称性， 不如设 b ≤ 0，x ∈ [0，2]，因此 f(x)＝ |x 2－ a|＋ x － b ，因此 M (a ，b)≥ |x 2－ a|＋ x －b ≥ |x 2－ a|＋ x.令 g(x)＝ |x 2－ a|＋ x ， x ∈ [0， 2]①当 a ≤ 0 时， g(x)＝ x 2＋ x － a ， g(x)max ＝ 6－a ≥ 6；－x 2 ＋x ＋ a ， x ∈ [0， a]，②当 0＜ a ＜4 时， g(x)＝x 2＋ x － a ， x ∈ [ a ， 2]123因此当 0＜ a ＜ 4时， g(x)max ＝ max{ a ，6－ a} ＝6－ a ＞ 4 ；当1≤ a ＜ 4 时，41g(x)max ＝ max 4＋ a ， 6－ a123≤ a ＜ 4，4＋ a ，8＝1236－ a ，4＜ a ＜ 8.25因此 g(x) max ≥ 8 .117③当 a ≥ 4 时， g(x)＝－ x 2＋ x ＋ a ， g(x)max ＝ 4＋ a ≥ 4 ；综合 ①②③ 得 M( a ， b) min ＝ 25 ，当且仅当 a ＝ 23 ， b ＝ 0 时取到． 8 8法二： f(x)＝max{| x 2＋ x － a － b|， |x 2－ x － a ＋ b|}，令 f 1(x) ＝|x 2＋ x － a － b|， f 2(x)＝ |x 2－ x －a＋ b|，g 1(x)＝ x 2＋ x － a －b ， g 2(x)＝x 2－ x － a ＋ b ，依据图象可知：f 1 (x)max1＝max |6－ a － b|，－ 4－ a － b，2 max＝ max |6－ a＋ b|，－1 － a＋ b.f (x) 41 1 25 因此 2f 1(x)max≥ |6－ a－b|＋－4－ a－ b ≥（ 6－a－ b）－－4－a－ b ＝4，1 1 25 同理： 2f2 (x)max≥ |6－a＋ b|＋－4－a＋ b ≥（ 6－ a＋ b）－－4－ a＋ b ＝4，123（ 6－ a－ b）＝－－4－ a－ b a＝当且仅当，即8 时取等号，1（ 6－ a＋ b）＝－－4－ a＋ b b＝ 025因此 M(a， b)min＝8 .25【答案】(1)B(2)(1)研究含有绝对值的函数问题时，依据绝对值的定义，分类议论去掉绝对值符号，将原函数转变为分段函数，而后利用数形联合解决是常用的思想方法．(2)对于求y＝ |x－ a|＋ |x－ b|或 y＝ |x－ a|－ |x－ b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如 y＝ |x－ a|＋ |x－ b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．[ 对点训练 ]1．(2019 ·波市六校结盟模拟宁)已知函数 f(x)＝|x＋ a|＋ |x－ 2|.当 a＝－ 4 时，则不等式 f(x) ≥6 的解集为 ________；若 f(x)≤ |x－ 3|的解集包括 [0， 1]，则实数 a 的取值范围是 ________．分析：当 a＝－ 4 时， f(x)≥ 6，即 |x－ 4|＋ |x－ 2|≥ 6，x≤ 2 2<x<4即或4－ x＋ x－ 2≥ 64－ x＋ 2－ x≥6x≥ 4或，x－4＋ x－ 2≥6解得 x≤ 0 或 x≥ 6.因此原不等式的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞)．由题可得f(x) ≤|x－ 3|在 [0， 1]上恒建立．即|x＋ a|＋ 2－ x≤ 3－ x 在 [0， 1]上恒建立，即－ 1－ x≤ a≤1－ x 在 [0，1] 上恒建立．即－ 1≤ a≤0.答案： (－∞， 0]∪ [6，＋∞ )[－ 1， 0]2．(2019 ·州学军中学高三模拟杭)已知 a 和 b 是随意非零实数．(1)求 |2a＋b|＋ |2a－ b|的最小值；|a|(2)若不等式 |2a＋ b|＋ |2a－ b|≥ |a|(|2＋ x|＋ |2－ x|)恒建立，务实数x 的取值范围．解： (1) 由于|2a＋ b|＋ |2a－ b| |2a＋ b＋2a－ b| |4a| |2a＋ b|＋ |2a－ b|≥|a| ＝|a|＝ 4，因此|a| 的最小值为|a|4.(2)不等式 |2a＋ b|＋ |2a－ b|≥ |a|(|2＋x|＋ |2－ x|)恒建立，即 |2＋ x|＋ |2－ x|≤|2a＋ b|＋ |2a－b||a|恒建立，故|2＋ x|＋ |2－ x|≤|2a＋b|＋|2a－b|.|a| min由(1) 可知，|2a＋ b|＋ |2a－ b|4，|a|的最小值为因此 x 的取值范围即为不等式|2＋x|＋ |2－ x|≤ 4 的解集．解不等式得－ 2≤ x≤ 2，故实数 x 的取值范围为 [ －2， 2]．简单的线性规划问题[ 核心提炼 ]1．平面地区确实定方法平面地区确实定方法是“直线定界、特别点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的地区的交集．2．线性目标函数z＝ ax＋by 最值确实定方法线性目标函数z＝ ax＋by 中的 z 不是直线ax＋ by＝ z 在 y 轴上的截距，把目标函数化为y＝－ax＋z可知z是直线 ax＋ by＝ z 在 y 轴上的截距，要依据 b 的符号确立目标函数在什么状况b bb下获得最大值、什么状况下获得最小值．[ 典型例题 ]x－3y＋ 4≥ 0，(1)(2019 高·考浙江卷 )若实数 x， y 知足拘束条件3x－ y－ 4≤ 0，则 z＝ 3x＋2y 的最x＋y≥ 0，大值是()A．－ 1 B． 1C． 10 D． 12x－ y≥ 0，(2)(2018 高·考浙江卷) 若 x ， y 知足拘束条件2x＋ y≤ 6，则 z＝ x ＋ 3y 的最小值是x＋ y≥ 2，____________ ，最大值是 ____________．(3)(2019 宁·波高考模拟)已知A(1， 1)， B(－ 2，1)， O 为坐标原点，若直线l： ax＋ by＝2与△ ABO 所围成地区 (包括界限 ) 没有公共点，则a－b 的取值范围为 ________．【分析】(1)作出可行域如图中暗影部分所示，数形联合可知，当直线z＝3x＋2y过点(2，2)时， z 获得最大值，z max＝ 6＋ 4＝ 10.应选 C.(2)由题可得，该拘束条件表示的平面地区是以(2， 2)， (1 ， 1)， (4，－ 2)为极点的三角形及其内部地区(图略 )．由线性规划的知识可知，目标函数z＝ x＋ 3y 在点 (2， 2)处获得最大值，在点 (4，－ 2)处获得最小值，则最小值z min＝ 4－ 6＝－ 2，最大值z max＝ 2＋ 6＝ 8.(3)A(1， 1)， B(－ 2， 1)， O 为坐标原点，若直线l： ax＋ by＝ 2 与△ ABO 所围成地区 (包括界限 )没有公共点，a＋ b＜ 2得不等式组，－ 2a＋ b＜ 2令 z＝a－ b，画出不等式组表示的平面地区，判断知，z＝ a－ b 在 M 获得最小值，a＋ b＝ 2，由－2a＋ b＝ 2解得 M(0， 2)，a－b 的最小值为－ 2.a－b 的取值范围是(－ 2，＋∞ )．故答案为 (－ 2，＋∞ )．【答案】(1)C (2) － 2 8(3)( － 2，＋∞ )解决线性规划问题应关注的三点(1)第一要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的极点 (或界限上的点)，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决．(2)画可行域时应注意地区能否包括界限．(3)对目标函数z＝ Ax＋ By 中 B 的符号，必定要注意 B 的正负与z 的最值的对应，要联合图形剖析．[ 对点训练 ]x－ 3≤01．(2019 嘉·兴市高考模拟 )已知实数 x， y 知足 y－ 1≥ 0 ，若 ax＋ y 的最大值为10，则x－ y＋ 1≥ 0实数 a＝( )A ． 4 B． 3C． 2 D． 1分析：选 C.画出知足条件的平面地区，如下图：x＝ 3由，解得A(3， 4)，x－y＋ 1＝ 0令 z＝ax＋ y，由于 z 的最大值为10，因此直线在y 轴上的截距的最大值为10，即直线过(0 ，10)，因此 z＝ ax＋ y 与可行域有交点，当 a＞ 0 时，直线经过 A 时 z 获得最大值．即 ax＋ y＝ 10，将 A(3， 4)代入得：3a＋ 4＝ 10，解得 a＝2，当 a≤ 0 时，直线经过 A 时 z 获得最大值，即 ax＋ y＝ 10，将 A(3， 4)代入得： 3a＋ 4＝ 10，解得： a＝ 2，与 a≤ 0 矛盾，综上 a＝ 2.2．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由地区x－ 2≤0，x＋ y≥ 0，中的点在直线x＋ y－ 2＝ 0 上的投影组成的线段记为AB，则|AB |＝ ( )x－ 3y＋4≥ 0A．2 2 B． 4C．3 2 D． 6分析：选 C.作出不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示，过点 C， D 分别作直线x＋y－ 2＝ 0 的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC 为矩形，又C(2，－ 2)，D (－ 1， 1)，2 2因此 |AB|＝ |CD |＝（2＋1）＋（－2－1）＝3 2.y－ x＋ 1≥03．(2019 温·州市高考模拟)若实数 x，y 知足x＋ y－ 2≤ 0，则 y 的最大值为y＋1________，x＋ 2x， y≥ 0的取值范围是________．y－ x＋1≥ 0分析：作出不等式组x＋ y－ 2≤ 0，对应的平面地区如图：x， y≥ 0可知 A 的纵坐标获得最大值： 2.y＋ 1由于 z＝，则z的几何意义为地区内的点到定点D(－2，x＋ 2－ 1)的斜率，由图象知 BD 的斜率最小， AD 的斜率最大，则z 的最大为 2＋ 1 3 0＋ 1＝ 2，最小为1＋ 20＋ 21＝ 3，13即 3≤ z ≤ 2，则 z ＝ y ＋ 11，3 ]．的取值范围是 [x ＋ 2 3 21 3答案： 2 [3，2]基本不等式及其应用[ 核心提炼 ]利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法例是： (1) 假如 x>0， y>0， xy ＝ p(定值 )，当 x ＝ y 时， x ＋y 有最小值 2 p(简记为：积定，和有最小值)； (2) 假如 x>0，y>0，x ＋ y ＝s(定值 )，1当 x ＝ y 时， xy 有最大值 4s 2(简记为：和定，积有最大值 )．[ 典型例题 ]a 4＋ 4b 4＋ 1(1) 若 a ， b ∈ R ， ab>0，则 ab 的最小值为 ________．(2)(2019 金·丽衢十二校高考二模 )设 A ＝ {( x ，y)|x 2 －a(2x ＋ y) ＋4a 2＝ 0} ，B ＝ {( x ，y)||y|≥ b|x|} ，对随意的非空实数 a ，均有 A? B 建立，则实数 b 的最大值为 ________．【分析 】 (1) 由于 ab ＞ 0，因此 a 4＋ 4b 4＋ 1 2 4a 4b 4＋ 14a 2b 2＋ 11≥21≥ ＝ ab＝ 4ab ＋ ab 4ab ·ababab＝ 4，a 2＝2b 2，a 4＋ 4b 4＋1当且仅当1 时取等号，故 ab的最小值是 4.ab ＝ 2221 2(2)由 x － a(2x ＋ y)＋ 4a ＝0 得 y ＝a x －2x ＋ 4a ，|y| x 4a则 |x|＝ |a ＋ x － 2|，当 ax ＞ 0 时， a x ＋4ax ≥ 2 4＝ 4，因此 |x a ＋ 4a x － 2|≥ |4－ 2|＝ 2，即 |y||x|≥ 2，x4a当 ax＜ 0 时，a＋x≤ －2 4＝－ 4，x 4a |y|≥6，因此 |a＋x－ 2|≥ |－ 4－ 2|＝ 6，即|x|由于对随意实数a，均有 A? B 建立，|y|即|y|≥ b|x|恒建立，即|x|≥ b 恒建立，因此 b≤ 2，故答案为 2.【答案】(1)4 (2)2利用不等式求最值的解题技巧(1)凑项：经过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若没法直接运用基本不等式求解，能够经过凑系数后获得和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，往常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分A开再利用不等式求最值．即化为y＝ m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，g（ x）而后运用基本不等式来求最值．(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，经过变形结构和或积为定值的代数式求其最值．[ 对点训练 ]1．(2019 温·州市瑞安市高考模拟)若 x＞ 0，y＞ 0，则x ＋y的最小值为 ________．x＋ 2y x分析：设y＝ t＞ 0，则x ＋y＝ 1 ＋ t＝ 11(2t＋ 1)－1≥ 2 11＋2t＋×－1＝x x＋ 2yx1＋ 2t 1＋ 2t 2 2 1＋ 2t 2212－2，2－ 1y当且仅当t＝2＝x时取等号．1故答案为：2－2.答案： 2－122．(2018 高·考江苏卷 )在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，∠ABC ＝ 120°，∠ ABC 的均分线交 AC 于点 D ，且 BD ＝1，则 4a ＋ c 的最小值为 ________．分析： 由于 ∠ ABC ＝ 120°，∠ABC 的均分线交 AC 于点 D ，因此∠ ABD ＝ ∠CBD ＝ 60°，由三角形的面积公式可得11 12 acsin 120°＝ asin 60 °＋ csin 60°，化简得 ac ＝ a ＋ c ，又 a>0，c>0，所221 1 1 ＋ 1 c 4a≥5＋2 c 4a 以 ＋ ＝ 1，则 4a ＋c ＝ (4a ＋ c)a c ＝5＋ ＋c · ＝9，当且仅当 c ＝ 2a 时取等号，a caa c故 4a ＋c 的最小值为 9.答案： 9专题加强训练1．(2019 ·华十校联考金 )不等式 (m － 2)(m ＋3)＜ 0 的一个充分不用要条件是 ( )A ．－ 3＜ m ＜0B ．－ 3＜ m ＜ 2C ．－ 3＜m ＜ 4D ．－ 1＜ m ＜ 3分析： 选 A. 由 (m － 2)(m ＋ 3)＜ 0 得－ 3＜m ＜ 2，即不等式建立的等价条件是－ 3＜ m ＜ 2，则不等式 (m － 2)(m ＋ 3)＜ 0 的一个充分不用要条件是 (－ 3， 2)的一个真子集， 则知足条件是－ 3＜ m ＜ 0.应选 A.2．已知对于 x 的不等式 (ax － 1)( x ＋1)<0 的解集是 (－∞，－1)∪ －1，＋∞ ，则 a ＝ ()2A ． 2B ．－ 21 1C ．－ 2D.21分析：选 B. 依据不等式与对应方程的关系知－1，－ 2是一元二次方程 ax 2＋ x(a － 1)－ 1＝01 1的两个根，因此－ 1× －2 ＝－ a ，因此 a ＝－ 2，应选 B.3．已知 x>0，y>0， lg 2 x＋lg 8 y＝ lg 2，则 1＋ 1的最小值是 ()x 3yA ． 2B ． 2 2C ． 4D ． 2 3分析： 选 C.由于 lg 2x ＋ lg 8 y ＝ lg 2 ，因此 x＋ 3y＝ 1，因此1x＋3y1＝1x＋3y1(x＋ 3y)＝ 2＋3yx＋3yx≥ 4，3y x当且仅当x ＝3y，1 1即 x＝2， y＝6时，取等号．4．若平面地区x＋ y－ 3≥ 0，2x－ y－ 3≤0，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间x－ 2y＋ 3≥0的距离的最小值是( )3 5A. 5B. 23 2C. 2D. 5x＋ y－ 3≥ 0分析：选 B.不等式组2x－ y－ 3≤0表示的平面地区如图中暗影部分所示，此中A(1， 2)、x－ 2y＋ 3≥0B(2， 1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点 A 与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，因此线段AB 的长度就是过A、B 两点的平行直线间的距离，易得 |AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，应选 B.2x2－ a5．(2019 金·丽衢十二校高三联考)若函数 f(x)＝x－1 (a<2)在区间 (1，＋∞ )上的最小值为6，则实数 a 的值为 ()3A ． 2 B.21C． 1 D.22x2－ a 2（ x－1）2＋ 4（ x－1）＋ 2－a－1)＋2－ a分析：选 B. f(x) ＝＝x－ 1 ＝ 2(x ＋x－ 1 x－ 12－ a4－ 2a＋ 4，当且仅当 2(x－ 1)＝2－a 2－ a4≥ 22（ x－ 1）·＋4＝2 ? x＝ 1＋2 时，等x－ 1 x－ 13号建立，因此 2 4－ 2a＋ 4＝ 6? a＝2，应选 B.x2－ 2x－3≤ 0，的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是 ( ) 6．若不等式组x2＋ 4x－（ 1＋ a）≤ 0A ． (－∞，－ 4] B． [－4，＋∞ )C． [－ 4， 20] D． [－ 4， 20)分析：选 B.不等式 x2－2x－ 3≤ 0 的解集为 [ － 1， 3]，x2－ 2x－ 3≤0，x2＋ 4x－ (a ＋ 1)≤ 0 的解集为会合假定的解集为空集，则不等式x2＋ 4x－（ a＋ 1）≤ 0{ x|x<－1 或 x>3} 的子集，由于函数 f(x)＝ x2＋ 4x－ (a＋1) 的图象的对称轴方程为x＝－ 2，因此必有 f(－ 1)＝－ 4－a>0? a<－ 4，则使x2－ 2x－3≤ 0，的解集不为空集的 a 的取值范围是x2＋ 4x－（ 1＋ a）≤ 0a≥ － 4.x－ 2y≥－ 2 7．(2019 浙·江“七彩阳光”结盟高三联考 )已知变量 x， y 知足拘束条件x－ y≤0 ，若x≥－ 4不等式 2x－ y＋ m2≥ 0 恒建立，则实数m 的取值范围为 ( )A．[－ 6， 6]B． (－∞，－6]∪[ 6，＋∞ )C． [－ 7， 7]D． (－∞，－7] ∪[ 7，＋∞ )x－ 2y≥ － 2分析：选 D. 作出拘束条件x－ y≤ 0 所对应的可行域 (如图中x≥ － 4暗影部分 )，令 z＝－ 2x＋ y，当直线经过点A(－ 4，－ 1)时， z 获得最大值，即 z max＝ (－ 2)× (－ 4)＋ (－ 1)＝ 7.因此 m 2≥ 7，即实数 m 的取值范围为 (－ ∞ ，－ 7]∪ [ 7，＋ ∞ )，应选 D. 8．已知 b>a>0， a ＋ b ＝ 1，则以下不等式中正确的选项是 ( )a －b1A ． log 3a>0B ．3 < 3b a≥ 6C ． log 2a ＋ log 2b<－ 2D ． 3 a ＋b 分析： 选 C.对于 A ，由 log 3 a>0 可得 log 3a>log 31，因此 a>1，又 b>a>0， a ＋ b ＝ 1，因此 a<1，二者矛盾，因此A 不正确；a b1ab对于B ，由3－<可得3－ <3－1，3因此 a － b<－1，可得 a ＋ 1<b ，这与 b>a>0， a ＋ b ＝ 1 矛盾，因此 B 不正确；1对于 C ，由 log 2 a ＋ log 2b<－ 2 可得 log 2(ab)<－2＝ log 24，1因此 ab<4，又 b>a>0 ，a ＋ b ＝ 1>2ab ，因此 ab<14，二者一致，因此 C 正确；对于 D ，由于 b>a>0， a ＋b ＝ 1，b a >3×2b ×a＝ 6，因此 D 不正确．应选 C.因此3 ＋baa b9．(2019 绍·兴市柯桥区高三期中 )已知 x ，y ∈ R ， ( )A ．若 |x －y 2|＋ |x 2＋ y|≤1，则 (x ＋1 132 )2＋ (y － )2≤22 B ．若 |x － y 2|＋ |x 2－ y|≤ 1，则 (x － 1)2＋ (y －1)2≤32 22 C ．若 |x ＋ y 2|＋ |x 2－ y|≤ 1，则 (x ＋1 132 )2＋ (y ＋ )2≤22D ．若 |x ＋y 2|＋ |x 2＋ y|≤1，则 (x －11 32 )2＋ (y ＋ )2≤221 1 )2≤ 3分析： 选 B.对于 A ， |x － y 2|＋ |x 2＋ y|≤ 1，由 (x ＋ ) 2＋ (y －化简得 x 2＋ x ＋ y 2－ y ≤ 1，222二者没有对应关系；对于B ，由 (x 2－ y)＋ (y 2－ x)≤ |x 2－ y|＋ |y 2－ x|＝ |x － y 2|＋ |x 2－ y|≤ 1，22121232 2因此 x －x ＋ y － y ≤1，即 (x － 2) ＋ (y － 2) ≤2，命题建立；对于 C ， |x ＋ y |＋ |x － y|≤ 1， 由 (x ＋ 1)2＋ (y ＋ 1)2≤ 3化简得 x 2＋x ＋ y 2＋ y ≤ 1，二者没有对应关系； 对于 D ，|x ＋ y 2 |＋|x 2＋y|≤1， 22 2121 2 322＋y ≤ 1，二者没有对应关系．应选B.化简 (x －) ＋ (y ＋ )≤得 x － x ＋ y2 2 210．若对于 x 的不等式 x 3－ 3x 2－ ax ＋ a ＋ 2≤0 在 x ∈ (－ ∞ ，1]上恒建立，则实数 a 的取值 范围是 ()A ．(－ ∞，－ 3]B ．[－3，＋ ∞)C ． (－ ∞ ，3]D ． [3，＋ ∞)分析： 选 A. 对于 x 的不等式 x 3－3x 2－ ax ＋ a ＋2≤ 0 在 x ∈ (－ ∞ ， 1]上恒建立，等价于 a(x － 1)≥ x 3－ 3x 2＋ 2＝ (x －1)(x 2－ 2x － 2)，当 x ＝ 1 时， 1－ 3－ a ＋a ＋ 2＝ 0≤0 建立，当 x ＜ 1 时， x －1＜ 0，即 a ≤ x 2－ 2x － 2，由于 y ＝ x 2－ 2x － 2＝ (x －1)2－ 3≥ － 3 恒建立，因此 a ≤ － 3，应选 A.11． (2019 ·州市高三高考模拟温 )若对于 x 的不等式 |x|＋ |x ＋ a|＜ b 的解集为 (－ 2， 1)，则实数对 (a ， b)＝ ________．分析： 由于不等式 |x|＋ |x ＋ a|＜ b 的解集为 (－2， 1)，2＋ |－2＋ a|＝ b因此 ，解得 a ＝ 1，b ＝ 3.1＋ |1＋a|＝ b 答案： (1， 3)2＋ 1的最小值是 ________，x － y的12．若实数 x ，y 知足 x ＞y ＞ 0，且 log 2x ＋ log 2y ＝ 1，则 x y x 2＋ y 2最大值为 ________．分析： 实数 x ， y 知足 x ＞y ＞ 0，且 log 2x ＋ log 2y ＝ 1，则 xy ＝ 2，2 1 2 1 2 1，即 x ＝ 2， y ＝ 1 时取等号，则 ＋ ≥ 2·＝ 2，当且仅当＝x yx yx y2 1故 x ＋ y 的最小值是 2，x － yx － yx － y1≤11 x 2＋ y2＝（x － y ） 2＋ 2xy ＝（ x － y ）2＋ 4 ＝4 4 ＝ 4，当且（ x － y ）＋2（ x － y ）x － y x － y仅当 x－y＝4，即 x－ y＝ 2 时取等号，x－ yx－ y 1 1故x2＋y2的最大值为4，故答案为2，4.答案： 2 14x≥ 0，则 z＝ 2x·1 y13．(2019 兰·州市高考实战模拟)若变量 x，y 知足拘束条件 y≥ 0 的23x＋ 4y≤12最大值为 ________．x≥ 0分析：作出不等式组y≥ 0表示的平面地区如图中暗影部3x＋ 4y≤ 12y1分所示．又z＝ 2x·＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝ x－ y 在点 (4 ，20)处 u 获得最大值，此时z 获得最大值且max24－0＝ 16. z ＝答案： 16－x2 － 1， x≤0 14．已知函数 f(x)＝，则对于 x 的不等式 f(f(x)) ≤3 的解集为 ________．－ x2＋x， x>0分析：令 f( t)≤ 3，若 t≤ 0，则 2－t－ 1≤ 3，2－t≤ 4，解得－ 2≤ t ≤0；若 t>0，则－ t2＋ t≤3，2 － x 2－1≥－2 － x ＋ x≥ －2t2－ t＋ 3≥0，解得 t>0，因此 t ≥－ 2，即原不等式等价于或，解得x≤ 0 x>0x≤ 2.答案： (－∞， 2]15． (2019 宁·波市九校联考 ) 已知 f(x)＝ |x＋1－ a|＋ |x－1－ a|＋ 2x－ 2a(x＞ 0)的最小值为3，x x 2 则实数 a＝ ________．分析： f(x)＝ |x＋1x－ a|＋ |x－1x－a|＋ 2x－ 2a≥|(x＋1x－ a)－ (x－1x－ a)|＋2x－ 2a2＝|x|＋ 2x－2a 2＝x＋ 2x－ 2a≥2 2x·2x－ 2a＝4－ 2a.2当且仅当x＝2x，即 x＝ 1 时，上式等号建立．3 5由 4－ 2a＝2，解得 a＝4.5答案：416． (2019 绍·兴市柯桥区高三模拟)若 |x2＋ |x－ a|＋3a|≤2 对 x∈ [－ 1，1] 恒建立，则实数 a 的取值范围为 ________．分析： |x2＋ |x－ a|＋ 3a|≤ 2 化为－ 2－ x2≤ |x－ a|＋ 3a≤ 2－ x2，画出图象，可知，其几何意义为极点为 (a， 3a)的 V 字型在 x∈ [－ 1，1]时，一直夹在 y＝－ 2－ x2，y＝2－ x2之间，如图1，图2所示，为两种临界状态，第一就是图 1 的临界状态，此时V 字形右侧界限 y＝x＋2a 与 y＝－ 2 － x2相切，联立直线方程和抛物线方程可得x2＋x＋ 2a＋ 2＝0，此时＝0? 1－4(2a＋ 2)＝ 0? a 7＝－8，而图 2 的临界状态明显 a＝ 0，综上得，实数 a 的取值范围为7.－， 087答案：－，017． (2019 ·州模拟温 )已知 a， b， c∈ R，若 |acos2x＋ bsin x＋ c|≤ 1 对 x∈ R 建立，则 |asin x ＋b|的最大值为 ________．分析：由题意，设t＝ sin x， t∈ [－ 1， 1]，则 |at2－ bt－ a－c|≤ 1 恒建立，不如设 t＝ 1，则 |b＋ c|≤ 1； t＝ 0，则 |a＋ c|≤ 1， t＝－ 1，则 |b－ c|≤ 1，若 a， b 同号，则 |asin x＋ b|的最大值为|a＋ b|＝ |a＋ c＋ b－ c|≤ |a＋ c|＋ |b－ c|≤ 2；若 a， b 异号，则 |asin x＋ b|的最大值为|a－ b|＝ |a＋ c－ b－ c|≤ |a＋ c|＋ |b＋ c|≤ 2；综上所述， |asin x＋ b|的最大值为2，故答案为 2.答案： 218． (2019 ·水市第二次教课质量检测丽) 已知函数f(x)＝4－ |ax－ 2|(a≠ 0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若当x∈ [0， 1]时，不等式f(x)≥ 1 恒建立，务实数 a 的取值范围．解： (1) 要使函数存心义，需4－ |ax－ 2|≥0，即|ax－ 2|≤ 4， |ax－ 2|≤ 4? －4≤ ax－ 2≤ 4? － 2≤ ax≤6.2 6当 a>0 时，函数 f(x)的定义域为 { x|－a≤ x≤a} ；6 2当 a<0 时，函数 f(x)的定义域为 { x|a≤ x≤ －a} ．(2)f(x)≥ 1? |ax－ 2|≤ 3，记 g(x)＝ |ax－ 2|，由于 x∈ [0， 1]，g（ 0）≤ 32≤ 3因此需且只要?? － 1≤ a≤ 5，g（ 1）≤ 3 |a－ 2|≤ 3又 a≠ 0，因此－ 1≤ a≤ 5 且 a≠0.|x＋ a|19． (2019 丽·水市高考数学模拟)已知函数 f(x)＝x2＋1(a∈ R)．(1)当 a＝ 1 时，解不等式 f(x)>1；b(2)对随意的b∈ (0， 1)，当 x∈ (1， 2)时， f(x)> x恒建立，求a 的取值范围．|x＋ 1|x2＋ 1<|x＋ 1|? x＋ 1≥0 x＋ 1<0? 0<x<1.解： (1) f(x)＝>1? 或x2＋ 1<－（ x＋1）x2＋ 1 x2＋ 1< x＋ 1故不等式的解集为 { x|0<x<1} ．|x＋a| b 1 1 1 b(2)f(x)＝x2＋1 >x? |x＋a|>b( x＋x)? x＋ a>b(x＋x)或 x＋a<－ b(x＋x)? a>(b－ 1)x＋x或 a<－b[( b＋1)x＋x] 对随意 x∈ (1， 2)恒建立．5因此 a≥ 2b－1 或 a≤－ (2b＋ 2)对随意 b∈ (0， 1)恒建立．9 因此 a≥ 1 或 a≤ －2.。
2020年浙江高考数学二轮复习练习：第2部分 必考补充专题 专题限时集训18 不等式与线性规划 Word版含答案
专题限时集训(十八) 不等式与线性规划(对应学生用书第153页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、基本不等式1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16B [由a ＋b ＝1a ＋1b，有ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ×2b＝2 2.]2．(2017·温州九校协作体高三期末联考)已知实数x ＞0，y ＞0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy的最小值为________．2＋22 [因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y ＝2＋2y x ＋xy≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y ，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．]3．(2014·浙江高考)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．63[因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2， 所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63. 所以a max ＝63.] 4．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．－12 26－6 [f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝0； 当x >1时，f (x )＝x ＋6x－6.令f ′(x )＝1－6x2＝0，解得x ＝6(负值舍去)．当1<x <6时，f ′(x )<0；当x >6时，f ′(x )>0， ∴f (x )的最小值为f (6)＝6＋66－6＝26－6.综上，f (x )的最小值是26－6.] 二、线性规划问题5．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)． 故选D.]6．(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.]7．(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2 C.322D. 5B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.]8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.] 9．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]10．(2015·浙江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．3 [满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) 【导学号：68334155】 A ．a 2＜b 2B.a b＜1 C ．a ＜1－bD.1a ＜1bC [因为a ＜b ＜0，所以a 2＞b 2，a b ＞1，1a ＞1b，a ＋b ＜1. 因此A ，B ，D 不正确，C 正确．]2．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2 D ．2 2A [由⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )，由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.]3．(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋czB [令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3. A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14； B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.]4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5D [作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D.]5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m ＞0)的最大值为1，则m的值是( ) 【导学号：68334156】 A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m ＞0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.]6．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14D [可行域由三条直线x ＝0，x ＋y ＝0，kx －y ＋1＝0所围成，因为x ＝0与x ＋y ＝0的夹角为π4，所以x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4或x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4.当x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，可知k ＝1，此时等腰三角形的直角边长为22，面积为14；当x＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，k ＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为12，所以选D.]7．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值是( ) 【导学号：68334157】 A ．0 B.98 C ．2D.94C [z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4yx ≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立．此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2，故选C.]8．设m ＞1，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1，且目标函数z ＝x ＋my 的最大值为2，则m 的取值为( ) A ．2 B ．1＋ 2 C ．3D ．2＋ 2B [因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域如图，直线y ＝mx 与直线x ＋y ＝1交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应的直线与直线y ＝mx垂直，且在B ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m2m ＋1＝2，又因为m ＞1，解得m ＝1＋ 2.] 二、填空题9．(2017·浙江省名校新高考联盟高三第三次联考)过P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是________．[22，5] [由题意得点P (－1,1)关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，则|PA |＋|PB |的取值范围等价于点P 1(－1，－1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0，y ≥0表示的平面区域内的点的连线的长度的范围，如图，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域(阴影区域，含边界)，由图易得点P 1(－1，－1)到直线x ＋y －2＝0的距离最小，最小值为|－1－1－2|12＋12＝22；点P 1(－1，－1)与点C (2,3)的距离最大，最大值为＋2＋＋2＝5，所以|PA |＋|PB |的取值范围为[22，5]．]10．(2017·萧山中学高三仿真模拟)已知实数x ，y 满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |且|x |≤4，则|3x －4y |的最大值为________．32 [∵实数x ，y 满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |，且|x |≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≥0，x －2y ＋4≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≤0，x －2y ＋4≤0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≤0，3x ＋4y －8≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≥0，3x ＋4y －8≤0，－4≤x ≤4.∴可行域为如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (－4,5)，B (－4,0)，C (0,2)，D (4,4)，E (4，－1)．设目标函数z ＝3x －4y ，则当目标函数z ＝3x －4y 经过A (－4,5)时取得最小值z min ＝－32；当目标函数z ＝3x －4y 经过E (4，－1)时取得最大值z max ＝16，则|z |＝|3x －4y |的最大值为32.]11．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.]12．已知正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，则b c ＋ca ＋b的最小值为________．2－12[因为正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ， 所以b c ＋c a ＋b ≥b c ＋c 2b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＋c 2b ＋c －12＝2b ＋c 2c ＋c 2b ＋c －12≥2－12. 当且仅当2b ＋c 2c ＝c2b ＋c时取等号．]13．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞13，则f (e x)＞0的解集为________．{x |x ＜－ln 3} [f (x )＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13，则由f (e x )＞0得－1＜e x ＜13， 解得x ＜－ln 3，即f (e x)＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}．] 14．(2017·宁波十校高三适应性考试 17)已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c >1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12ab －1·c ＋2c －1的最小值为________． 3 2 [由题意知，∵a 2＋12ab －1＝a 2＋a ＋b 22ab－1＝2a 2＋b 22ab ≥2(当且仅当a ＝2－1，b ＝2－2时，等号成立)，∴原式≥2c ＋2c －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1＋1c －1＋2≥22＋2＝32(当且仅当c ＝2时，等号成立)．] 15．(2016·舟山调研)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 7＋43 [由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴a ＝4b b －3，由a ＞0，得b ＞3.∴a ＋b ＝b ＋4b b －3＝b ＋b －＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a ＋b 的最小值为7＋4 3.]。
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专题强化训练
1．(2019·金华十校联考)不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是( ) A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4
D ．－1＜m ＜3
解析：选A.由(m －2)(m ＋3)＜0得－3＜m ＜2，即不等式成立的等价条件是－3＜m ＜2， 则不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是(－3，2)的一个真子集， 则满足条件是－3＜m ＜0. 故选A.
2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1
2，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－1
2
D.12
解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－1
2是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0
的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1
a
，所以a ＝－2，故选B. 3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋1
3y 的最小值是( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．2 3
解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， 所以x ＋3y ＝1，
所以1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x
3y ≥4， 当且仅当3y x ＝x
3y
，
即x ＝12，y ＝1
6
时，取等号．
4．若平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －3≥0，
2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间
的距离的最小值是( )
A.3
55
B.2
C.322
D.5
解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)、
B (2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A 与B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB |＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B.
5．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f (x )＝2x 2－a
x －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为
6，则实数a 的值为( )
A ．2 B.32 C ．1
D.12
解析：选 B.f (x )＝
2x 2－a x －1
＝
2（x －1）2＋4（x －1）＋2－a
x －1
＝2(x －1)＋
2－a x －1
＋
4≥2
2（x －1）·2－a
x －1＋4＝2
4－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－a
x －1
⇒x ＝1＋
2－a
2
时，等号成立，所以2
4－2a ＋4＝6⇒a ＝3
2
，故选B.
6．若不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，
x 2＋4x －（1＋a ）≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－4]
B ．[－4，＋∞)
C ．[－4，20]
D ．[－4，20)。