2015年第20届华杯赛中年级复赛A卷(√)
第二十届华杯赛解答
（B） 12 分
(24 ´ 60) ´ 66 = 1452 720 分钟，所以比标准 11
时间 24 小时对应的 24 ´ 60 = 1440 分钟多了 1452-1440=12 分钟，即慢了 12 分钟
6. 在右图的 6× 6 方格内, 每个方格中只能填 A, B, C, D, E, F 中的某个字母，要求每行、每列、每个 3 长方形的六个字母均不能重复．那么， 标有粗线的 2× 第四行除了首尾两个方格外， 中间四个方格填入的字母
【答案】630 【题型】几何：一半模型 【解析】
A A ①② F ③ D⑫ ④ ⑪ P ⑤ ⑩ ⑨ ⑧⑦ ⑥ C B E C
D P B E
F
S3 = S4 ， S5 = S6 ， S7 = S8 ， S9 = S10 ， S11 = S12 ； 过点 P 作 AB , AC , BC 的平行线， 则 S1 = S2 ，
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛 A 卷解析（小学高年级组）
总分：150 分时间：60 分钟
一、选择题． （每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅 有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内． ）
1.
现在从甲、 乙、 丙、 丁四个人中选出两个人参加一项活动． 规定： 如果甲去， 那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去．最后去 参加活动的两个人是（） ． （A）甲、乙 （B）乙、丙 （C）甲、丙 （D）乙、丁
1 1 2 所以 S阴影 =S白 = S△ABC = 2028 = 1014cm ，则 S△PCF = 1014 - 192 2 = 630cm2 2 2
9. 自然数 2015 最多可以表示成________个连续奇数的和．
2015年第二十届“华杯赛”决赛初一组试题.pdf
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初一组）（时间: 2015年4月11日10:00～11:30）一、选择题 (每小题10分, 共80分)1. 计算: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯10241108134122112048 = . 2. 一堆彩球只有红、黄两色. 先数出的50个球中有49个红球, 此后, 每数出8个球中都有7个红球, 恰好数完. 已数出的球中红球不少于90%. 这堆彩球最多有 个.3. 正整数a ,b ,c ,d 满足4332<<<d c b a , 当d c b a +++最小时, c = , d = .4. 圆形跑道上等距插着2015面旗子, 甲与乙同时同向从某面旗子的位置出发,当甲与乙再次同时回到出发点时, 甲跑了23圈, 乙跑了13圈. 不算起始点旗子位置, 则中间有 次甲正好在旗子位置追上乙.5. 现有2015张卡片, 每张上写有数字1+或1-. 如果每次指着其中的三张卡片问：“这三张卡片所写的数字的乘积是多少？”并得到正确回答. 那么, 至少问 次才能确定这2015张卡片所写的数字的乘积.6. 设a , b , c 为1到9中的三个不同整数, 则c b a abc ++的最大值是 , 最小值是 .（abc 是个三位数）7. 如右图, 正六边形中两个等边三角形的面积都为30平方厘米,那么正六边形的面积是 平方厘米.8. 从一副扑克牌中抽走一些牌, 在剩下的牌中至少要数出20张, 才能确保数出的牌中有两张同花色的牌的点数和为15. 那么最多抽走 张牌, 最少抽走 张牌. （J 、Q 、K 的点数分别为11, 12, 13, 大、小王的点数为0；一副扑克牌有54张牌, 其中52张是正牌, 另2张是副牌（大王和小王）. 52张正牌又均分为13张一组, 并以黑桃、红桃、草花、方块四种花色表示各组, 每组花色的牌包括从1至10（1通常表示为A ）以及J 、Q 、K 标示的13张牌）.二、解答下列各题（每小题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 算式20146422013531⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 的值被2015除的余数为多少？10. （1）右图共含有几个四边形? （2） 在右图的每个顶点处标上1或1-, 共有4个1和4个1-, 将每个四边形4个顶点处的数相乘, 再将所得的所有的积相加, 问：至多有多少个不同的和？11. 已知,2343111=++=-+ab c ac b bc a a c b ，,)(024222=---c b b c c b b 与c 同号, 且.c b 2≠ 求.444c b a ++12. 加工十个同样的木制玩具, 需用260毫米和370毫米长的标准木方分别为30根和40根. 仓库里有长度分别为900毫米、745毫米、1385毫米的三种标准木方, 用这三种标准木方锯出所需长度的木方, 每锯一次要损耗5毫米长木方. 问是否可以用三种木方, 每种木方选一些, 恰好锯出十个玩具所需的木方？如果可以, 要求锯的次数最少, 那么三种木方各选多少根？（说明：一根木方被锯一次要得到两个长度大于0的木方, 即不能从一端锯. ）三、解答下列各题（每小题15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 如图, △ABC 中, D 是BC 上一点且32::=DB CD , E 是AB 上一点且12::=EB AE , F 是CA 的延长线上一点且34::=AF CA . 若△DFE 的面积为1209, 求△ABC 的面积.14. 求使得n n 22+为完全平方数的自然数n .。
2015年华杯选拔解答
【答案】 39
8.
把 2015 写成连续 n 个非零自然数之和， 当 n 取最大值时， 将写成的和式中所有“ ”号 换成“ ”号后，其乘积的末尾有 个连续的 0 。
【答案】 14
二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程） 9. 在
1 2 2006 , , , 中，共有多少个最简分数？ 10 11 2015
a b c 是d 9
12. 如图， A 码头位于 B 码头的上游，某天早上小舟驾着游艇从 B 码头出发向上游驶去， 此时他发现沿江大道上每隔 6 分钟有一辆观光大巴与他迎面相遇。 当小舟在 A 码头折返 时，他又发现每隔 10 分钟追上一辆观光大巴。在回程中游艇出现故障，只能向 B 地漂 流，那么此时每隔几分钟会有一辆观光大巴追上小舟的游艇（假设船速、水速、车速以 及发车的时间间隔前后一致）？
是 3 的倍数.又因为 0 ~ 9 的总和是 45 ，是 3 的倍数，所以 e f g hij 也是 3 的倍数,进一 步 可 知 的 倍 数 , 又 因 为 a b c d 30 ， 而 342 c4 d e f g 1 h 0 i 2j 3 4 ，所以 5 a1 b1 .结合 a b c d 是 9 的倍数， 13 可以确定 a b c d 27 . 容易推出 a 3 ，对应 金牌种子 的最小值应为 3789 。 9873 3 下面给出一种对应的填法 。 4 5 6 102 13 【答案】 3789
SDEF 11 3 3 1 1 11 , DG : GC SDEF : SCEF : 11:18 。 1 42 7 SABC 7 7 6 42
A F D B
【答案】 11:18
2015年第二十届华杯赛初赛小高组试题A详解
3.
桌上 上有编号 1 至 20 的 20 张卡片，小明每次取 取出 2 张卡 卡片，要求一 一张卡片的 的编号是 ）张卡片． 另一 一张卡片的 的 2 倍多 2，则小明最多取出（
1
（A）12（B）Βιβλιοθήκη 4（C）16（D）18
【答案】A 【题型】倍数、枚举 【解析】由于有 2 倍多 2 的关系，所以 1、4、10 只能取其中两个，2、6、14 只能取其中两个，3、 8、18 只能取其中两个．即这里至少有 3 个数取不到，而 11、13、15、17、19 不满足 2 倍多 2 的关 系，也无法取到．合计至少有 8 个数取不到，取 12 个数为最多的情况.列举最多的一种情况：1、4； 2、6；3、8；5，12；7，16；9，20.取到了最多的 12 个数的情况．
10 6
8
5
可寻找到如图边长为 10 的正方形，共 4 个（可往右方和下方平移）构造弦图，大正方形的边长是 14，每一个边长为 14 的正方形内可以构成 2 个边长为 10 的正方形。 综上，可找到 385 + 4 × 2 = 393 个边长大于 5 的正方形．
6
（A） E , C , D, F （B） E , D, C , F （
标 四 到
C
）
2
D, F , C , E
（D） D, C , F , E
【答案】 】C 【考察知 知识点】数阵 阵图：数独 【分析】 】每行每列每 每个 3*2 的粗 粗线方格均必 必有 A、B、C、D、E、F 各一个，选 选择一个合适 适的位置， 尝试即可 可快速得出答 答案。以下提 提供一种解法 法：
A
A ①② F ③ D⑫ ④ ⑪ P ⑤ ⑩ ⑨ ⑧⑦ ⑥ C B E C
2015年华杯赛初赛试题答案及解析
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷B （小学中年级组）（ 时间: 2015年12月12日 15:00～16:00）一、选择题 (每小题 10 分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内. )1. “凑24点”游戏规则是: 从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张, （如果初练也可只用1～10这40张牌）任意抽取4张牌（称牌组）, 用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24. 每张牌必须用一次且只能用一次, 并不能用几张牌组成一个多位数, 如抽出的牌是3, 8, 8, 9, 那么算式为 38)89(⨯⨯-或3)889(⨯÷-等. 在下面4个选项中, 唯一无法凑出24点的是（ ）. （A ）1, 2, 3, 3 （B ）1, 5, 5, 5 （C ）2, 2, 2, 2 （D ）3, 3, 3, 32. 在右图的乘法算式中, 每个汉字代表0至9中的一个数字, 不同汉字代表不同数字, 当算式成立时, “好”字代表的数字是（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）63. 如右图, 边长分别为10厘米和7厘米的正方形部分重叠, 重叠部分的面积是9平方厘米. 图中两个阴影部分的面积相差（ ）平方厘米.（A ）51 （B ）60 （C ）42 （D ）94. 库里是美国NBA 勇士队当家球星, 在过去的10场比赛中已经得了333分的高分, 他在第11场得（ ）分就能使前11场的平均得分达到34分.（A ）35 （B ）40 （C ）41 （D ）475. 如右图, 木板上有10根钉子, 任意相邻的两根钉子距离都相等. 以这些钉子为顶点, 用橡皮筋可套出（ ）个正三角形.（A ）6 （B ）10（C ）13 （D ）156. 在桌面上, 将一个边长为1的正六边形纸片与一个边长为1的正三角形纸片拼接, 要求无重叠, 且拼接的边完全重合, 则得到的新图形的边数为（ ）.（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5二、填空题（每小题10分, 共40分）7. 计算: =⨯-⨯2016198620151987 .8. 学校打算组织同学们去秋游. 每辆大巴车有39个座位, 每辆公交车有27个座位, 大巴车比公交车少2辆. 如果所有学生和老师都乘坐大巴, 每辆大巴车上有2位老师, 则多出3个座位; 如果都乘坐公交车, 每辆公交车都坐满并且各有1位老师, 则多出3位老师. 那么共有 位老师, 名同学参加这次秋游.9. 于2015年10月29日闭幕的党的十八届五中全会确定了允许普遍二孩的政策. 笑笑的爸爸看到当天的新闻后跟笑笑说: 我们家今年的年龄总和是你年龄的7倍, 如果明年给你添一个弟弟或者妹妹, 我们家2020年的年龄总和就是你那时年龄的6倍. 那么笑笑今年 岁.10. 教育部于2015年9月21日公布了全国青少年校园足球特色学校名单, 笑笑所在的学校榜上有名. 为了更好地备战明年市里举行的小学生足球联赛, 近期他们学校的球队将和另3支球队进行一次足球友谊赛. 比赛采用单循环制（即每两队比赛一场）, 规定胜一场得3分, 负一场得0分, 平局两队各得1分; 以总得分高低确定名次, 若两支球队得分相同, 就参考净胜球、相互胜负关系等因素决定名次. 笑笑学校的球队要想稳获这次友谊赛的前两名, 至少要得 分. 试题答案和解析请扫下方二维码查看：。
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组b卷)
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：57.6×+28.8×﹣14.4×80+10．2．（10分）甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树棵．3．（10分）某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为．4．（10分）贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成个两两都是友国的三国联盟．5．（10分）由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是，最小的是．6．（10分）如图，三角形ABC的面积为1，DO：OB＝1：3，EO：OA＝4：5，则三角形DOE的面积为．17．（10分）三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有种可能数值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）8．（10分）将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．9．（10分）如图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120，求x和y．10．（10分）圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？11．（10分）两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）12．（15分）如图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM：MC＝1：2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G．若三角形FCG的面积与三角形2MED的面积之差为13cm2，求平行四边形ABCD的面积．13．（15分）设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？32015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：57.6×+28.8×﹣14.4×80+10．【分析】把算式中的28.8×变成57.6×，14.4×80变成57.6×20，然后根据乘法的分配律简算．【解答】解：57.6×+28.8×﹣14.4×80+10＝57.6×+57.6×﹣57.6×20+10＝57.6×（+﹣20）+10＝57.6×（20﹣20）+10＝57.6×0+10＝0+104＝102．（10分）甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树13 棵．【分析】根据题意，甲植树的棵数占总数的，乙占总数的，丙占总数的，因此丁占总数的1﹣﹣﹣＝，再根据分数乘法的意义进一步解决问题．【解答】解：60×（1﹣﹣﹣）＝60×（1﹣﹣﹣）＝60×＝13（棵）答：丁植树13棵．故答案为：13．3．（10分）某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为122 ．【分析】是2的倍数就是偶数，我们发现加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数．也就是这个数除以3，4，5，6都是余2的．属于同余问题．【解答】解：一个偶数除以3，4，5，6以后余数都是25那么这个三位数减去2得到3、4、5、6的公倍数．3，4，5，6的最小公倍数：3×4×5＝120，120+2＝122．故答案为122．4．（10分）贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成7 个两两都是友国的三国联盟．【分析】用A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7这7个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国关系．则每个国家连出2条虚线，4条实线．共7×2÷2＝7（条）虚线，其余为实线．首先说明这7个点必然由7条虚线依次连接为一个闭合回路．A2必与两个点连接虚线，不妨记为A1，A3，而A3必然再与一个点连接虚线，记为A4；A4虚线连接A5，否则剩下3个点互为敌国关系；A5虚线连接A6，否则剩下两个点无法由2条虚线连接；A6虚线连接A7，最后A7只能虚线连接A1．最终连线图如下．只要选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件，有135，136，146，246，247，257，357，一共7种．（为了直观我们用1，2，3，4，5，6，7分别代表A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7）．【解答】解：用A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7这7个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国关系．6，选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件，有135，136，146，246，247，257，357，一共7种．（为了直观我们用1，2，3，4，5，6，7分别代表A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7），所以对于一种这样的星球局势，共可以组成7个两两都是友国的三国联盟．故答案为：7．5．（10分）由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是9421 ，最小的是1249 ．【分析】4位不重复的非零的数字共能组成24个数字，按照位值原则展开求和，我们要想找到最大最小值，就需要找到这四位数字的和，按照数字大小规律即可求解．【解答】解：设四个互不相同的数字为a，b，c，d，字母a开头的，+++++＝6000a+200（b+c+d ）+20（b +c+d ）+2（b+c+d）＝6000a+222（b+c+d）同样b开头的+++++＝6000b+200（a+c+d）+207（a+c+d）+2（a+c+d）＝6000b+222（a+c+d）c 开头+++++＝6000c+200（b+c+d）+20（b+c+d）+2（b+c+d）＝6000c+222（b+c+d）d 开头：++++＝6000d+200（a+b+c）+20（a+b+c）+2（a+b+c）＝6000d+222（a+b+c）6000a+222（b+c+d）+6000b+222（a+c+d）+6000c+222（b+c+d）+6000d+222（a+b+c）＝6000（a+b+c+d）+222（3a+3b+3c+3d）＝6666（a+b+c+d）＝106656∴a+b+c+d＝16若要使这四位数最大千位数字尽量大，个位最小．同时保证数字不能重复，所以千位9，个位1，十位数字是2．百位为16﹣9﹣1﹣2＝4．所以最大为9421．最小就是数字前小后大即可，即1249．故答案为：9421，1249．6．（10分）如图，三角形ABC的面积为1，DO：OB＝1：3，EO：OA＝4：5，则三角形DOE的面积为．8【分析】不难发现当高相同的时候，面积的比等于底边的比，这就是直线间的比例关系的应用．可以根据份数法求出△DOE的份数占总三角形面积的份数即可．【解答】解：依题意可知如图：设三角形DOE的面积为4x，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为5x，12x，15x，再设三角形DCE的面积为y，在△DBC中和△ABC 中，有．得y ＝．则△DOE 的面积为．∵△ABC的面积为1．9∴△DOE 的面积为．故答案为：．7．（10分）三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有 4 种可能数值．【分析】假设三个数的个位分别为a、b、c，那么根据条件“任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字”可知这三个数可分为三种情况：（1）如果a、b、c都相等，则只能都为0；（2）如果a、b 、c中有两个相等；（3）．如果a、b、c都不相等；据此解答即可．【解答】解：设三个数的个位分别为a、b、c（1）如果a、b、c都相等，则只能都为0；（2）如果a、b、c中有两个相等，则有以下两种情况：①．a、a、c且a＜c，必有c+a＝10+，则c＝10，与c为数字矛盾；②．a、a、c且a＞c，则有c+a＝a，a+a＝10+，则a＝5，c＝0；（3）．如果a、b、c都不相等，设a＜b＜c，则c+b＝10+a，c+a＝10+，则c＝10，与c为数字矛盾；综上三个数的个位分别为0，0，0或0，5，5；（1）．如果都为0，则乘积末尾三位为000；10（2）．如果为0，5，5①．如果个位为0的数，末尾3位都为0，则乘积末尾三位为000；②．如果个位为0的数，末尾2位都为0，则乘积末尾三位为500或000；③．如果个位为0的数，末尾1位为0设末尾两位为c0，设另外两个末尾两位为a5，b5则×＝100ab+50（a+b）+，若（α+b）为奇数，则乘积的末两位为75；若（α+）为偶数，则乘积的末两位为25，再乘上c0，无论c为多少，末尾三位只有000，250，500，750这4种．综上所述，积的末尾三位有000，500，250，750这四种可能．故答案为：4．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）8．（10分）将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．【分析】因为数字交换不影响数字和，数字和是48，这个数是3的倍数，但不是9的倍数，所以不是完全平方数．【解答】解：不能得到完全平方数；因为数字交换不影响数字和，1234567891011的数字和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1＝48，某两位的数字交换后，数字和仍然是48，11这个数是3的倍数，但不是9的倍数，所以不是完全平方数．9．（10分）如图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120，求x和y．【分析】根据题意可的等量关系式：大长方体的体积﹣切掉的小长方体的体积＝余下部分的体积，然后根据长方体体积公式列出不定方程解答即可．【解答】解：根据题意可得，15×5×4﹣y×5×x＝120，化简可得：xy＝36，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，因为x，y为整数，且x＜4，y＜15，所以x＝3，y＝12．答：x＝3，y＝12．10．（10分）圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？12【分析】设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015．因为时间一定，速度比等于圈数比（即路程比），因为v甲：v乙＝23：13，设v甲＝23x，v乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，（23x﹣13x）t＝2015n，10x×t＝2015n，即甲追上乙时所花时间t ＝，则甲追上乙时，所走路程为23x ×；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，然后根据n＝2，4，6，8，10（最多多跑10圈）解答即可．【解答】解：设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015．因为v甲：v乙＝23：13，设v甲＝23x，v乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t，则（23x﹣13x）t＝2015n10x×t＝2015nt ＝，则甲追上乙时，所走路程为：23x ×，要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，所以n＝2，4，6，8，10（最多多跑23﹣13＝10圈）；即甲追上乙则需比乙多跑2，4，6，8，10圈时，正好在旗子位置追上，13综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次．答：甲正好在旗子位置追上乙5次．11．（10分）两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？【分析】为了便于说明，设赢的为甲，输的为乙．甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，所以甲第二局输第三局赢．由于每局最多相差2分获胜，所以甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得2+2＝4分，所以乙第二局至少赢甲4分及以上，所以只能以11分取胜，否则不和比赛规则．然后讨论第二局的可能比分即可．【解答】解：设赢的为甲，输的为乙．甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，所以甲第二局输第三局赢．甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得2+2＝4分，所以乙第二局至少赢甲4分及以上，所以只能以11分取胜．所以第二局的比分可以为：0：11，1：11，2：11，…7：11；共8种．（乙在第二局赢了多少分，甲都可以通过一、三局赢回多少分使两人总分相同，所以甲在第二局得分从0～7都可能；例如三局比分分别为20：18、0：11、11：2）答：第二局的比分共有8种可能．14三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）12．（15分）如图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM：MC＝1：2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G．若三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为13cm2，求平行四边形ABCD的面积．【分析】想求出平行四边形的面积，就需要找到这个面积差13对应的面积份数．需要将这两个三角形建立关系．首先要知道在DEMBC中是沙漏模型，BCFGM也是沙漏模型，两个平行四边形的同底等高的，是面积相等的2个平行四边形．△BCF是平行四边形ABCD面积的一半．【解答】解：连接BD根据沙漏模型的对应边成比例可知：∵DE∥BC∴15旗开得胜∴令S△DEM＝a则S△CEM＝S△BDM＝2a，S△CBM＝4a∴S△BCF＝S BCE＝2+4＝6a∵MB∥CF∴∴∴∵S△GCF﹣S△DEM＝13∴∴a＝5s∵S△BCD＝S△BDM+S△BCM＝2a+4a＝6a∴S▱ABCD＝2×S BCD＝2×6a＝12a＝12×5＝60cm2答：平行四边形的面积是60cm216旗开得胜13．（15分）设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？【分析】首先找出这些字的出现次数，注意重复的个数，然后表示出这11个数，再根据数字和为21，那么4个数字和就是84，在根据数字和一定时一个数字越大则另一个越小的关系找出最大值即可．【解答】解：经观察不难发现其中“一”，“言”，“举”，“知”，“行”，各出现两次，其它汉字只有一次．令这五个汉字所代表的数依次为a，b，c，d，e（均为正整数），设11个连续自然数为（x+1），（x+2），…（x+11），则（x+1）+（x+2）+…+（x+11）+a+b+c+d+e＝21×4，即11x+a+b+c+d+e＝18，则x＝0，且a+b+c+d+e＝1+2+3+4＝10时，e最大为8，11个数为1到11．可构造出“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”分别为“3，5，11，2”，“2，10，8，1”，“1，9，7，4”，“4，8，6，3”．综上所述：“行”可代表的数最大为8．17。
2015年全国高中数学联赛参考答案(A卷word版本)
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题份分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，线段DC 上的动点P 与CB 延长线上的动点Q 满=，则PQ PA ⋅的最小值为 ．答案34．解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解；(ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd ，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数，若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，则P 类数总量与Q 类数总量之差等于 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=． 三、解答题9．（本题满分16分）若实数c b a ,,满足cb ac b a 424,242=+=+，求c 的最小值． 解：将2,2,2abc分别记为,,x y z ，则,,0x y z >．由条件知，222,x y z x y z +=+=，故2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+．8分因此，结合平均值不等式可得，4221111(2)244y y z y y y y +==++≥⋅=12分 当212y y =，即y =时，zx求）．由于2log c z =，故c的最小值225log log 33=-．16分 10．（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji，求4321a a a a +++的值． 解：由条件可知，(14)i j a a i j ≤<≤是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，4321,,,a a a a 的绝对值互不相等，不妨设||||||||4321a a a a <<<，则||||(14)i j a a i j ≤<≤中最小的与次小的两个数分别是12||||a a 及13||||a a ，最大与次大的两个数分别是34||||a a 及24||||a a ，从而必须有121324341,81,3,24,a a a a a a a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 10 分 于是2341112113,,248a a a a a a a =-===-． 故2231412113{,}{,24}{2,}82a a a a a a =--=--，15分结合1a Q ∈，只可能114a =±．由此易知，123411,,4,642a a a a ==-==-或者123411,,4,642a a a a =-==-=．检验知这两组解均满足问题的条件． 故123494a a a a +++=±． 20 分 11．（本题满分20分）设21,F F 分别为椭圆1222=+y x 的左右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围．解：由条件知，点1F 、2F 的坐标分别为（-1, 0）和（l, 0) ．设直线l 的方程为y kx m =+，点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则12,x x 满足方程22()12x kx m ++=，即 222(21)4(22)0k x kmx m +++-=．由于点A 、B 不重合，且直线l 的斜率存在，故12,x x 是方程①的两个不同实根，因此有①的判别式22222(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆=-⋅+⋅-=+->，即2221k m +>．②由直线11,,BF l AF 的斜率1212,,11y y k x x ++依次成等差数列知，1212211y yk x x +=++，又1122,y kx m y kx m =+=+，所以122112()(1)()(1)2(1)(1)kx m x kx m x k x x +++++=++，化简并整理得，12()(2)0m k x x -++=．假如m k =，则直线l 的方程为y kx k =+，即 z 经过点1F （-1, 0)，不符合条件． 因此必有1220x x ++=，故由方程①及韦达定理知，1224()221kmx x k =-+=+，即12m k k=+．③ 由②、③知，222121()2k m k k +>=+，化简得2214k k>，这等价于||2k >． 反之，当,m k满足③及||2k >l 必不经过点1F （否则将导致m k =，与③矛盾）, 而此时,m k 满足②，故l 与椭圆有两个不同的交点A 、B ，同时也保证了1AF 、1BF 的斜率存在（否则12,x x 中的某一个为- l ，结合1220x x ++=知121x x ==-，与方程①有两个不同的实根矛盾）．10分点2F （l , 0）到直线l: y kx m =+的距离为211|2|(2)22d k kk ==+=+．注意到||2k >t =t ∈，上式可改写为 21313()()222t d t t t=⋅+=⋅+．考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在上上单调递减，故由④得，(1)f d f <<，即2)d ∈．20 分加试1．（本题满分40分）设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数，证明：可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε，使得))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i i n i i ni i a n a a ε．证法一：我们证明：2[]222111[]2()(1)()n n n n i i j i n i i i j a a a n a ====⎛⎫ ⎪+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，① 即对1,2,,[]2n i =，取1i ε=，对[]1,,2ni n =+，取1i ε=-符合要求．（这里，[]x 表示实数x 的整数部分．） 10分事实上，①的左边为2222[][][]222111[]1[]1[]122222n n n n n n i j i j i j n n n i i i j j j a a a a a a ====+=+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ []2221[]122222n n i j n i j n n a n a ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪≤+- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（柯西不等式）30分 []2221[]1212222n n i j n i j n n a a ==+⎛⎫⎛⎫⎛+⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用122n n n +⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦） []2221[]12(1)n n i j n i j n a n a ==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用[]x x ≤） 21(1)()ni i n a =≤+∑．所以 ① 得证，从而本题得证．证法二：首先，由于问题中12,,,n a a a 的对称性，可设12n a a a ≥≥≥．此外，若将12,,,n a a a 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的21)(∑=n i i a 不减，而右边的21ni i a=∑不变，并且这一手续不影响1i ε=±的选取，因此我们可进一步设120n a a a ≥≥≥≥． 10分引理：设120n a a a ≥≥≥≥，则1110(1)ni i i a a -=≤-≤∑．事实上，由于1(1,2,,1)i i a a i n +≥=-，故当n 是偶数时，1123411(1)()()()0ni i n n i a a a a a a a --=-=-+-++-≥∑，11232111(1)()()ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=------≤∑．当n 是奇数时，11234211(1)()()()0ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=-+-++-+≥∑，1123111(1)()()ni i n n i a a a a a a a --=-=-----≤∑．引理得证． 30 分回到原题，由柯西不等式及上面引理可知22122211111(1)(1)n n n ni i i i i i i i i a a n a a n a -====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，这就证明了结论． 40分证法三：加强命题：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅（2n ≥）是实数，证明：可以选取12,,,{1,1}n εεε⋅⋅⋅∈-，使得 2221111()()()()n nn i i i i i i i a a n a n ε===+≤+∑∑∑.证明 不妨设22212n a a a ≥≥⋅⋅⋅≥，以下分n 为奇数和n 为偶数两种情况证明.当n 为奇数时，取12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有12221112()[()()]n nni i jn i i j a a a -+===+-∑∑∑12221122[()+()]n ni jn i j a a -+===∑∑1222112112()+2()()22n n i j n i j n n a n a -+==--≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.1222112(1)()+(1)()n ni jn i j n a n a -+===-+∑∑ ①另外，由于22212n a a a≥≥⋅⋅⋅≥，易证有122211211(1)(1)n n i j n i j a a n n -+==+≥-∑∑，因此，由式①即得到1222112(1)()+(1)()n nijn i j n a n a -+==-+∑∑211()()n i i n a n =≤+∑，故n 为奇数时，原命题成立，而且由证明过程可知，当且仅当12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，且12n a a a ==⋅⋅⋅=时取等号.当n 为偶数时，取1221n εεε==⋅⋅⋅==，24221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有2222112()[()()]n nni i j n i i j a a a +===+-∑∑∑22222122[()+()]n ni j n i j a a +===∑∑2222122()+2()()22nn i j n i j n n a n a +==≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.222212[()+()]n nijn i j n a a +===∑∑22111()()()nn ii i i n a n a n ===≤+∑∑，故n 为偶数时，原命题也成立，而且由证明过程可知，当且仅当120n a a a ==⋅⋅⋅==时取等号，若12,,,n a a a ⋅⋅⋅不全为零，则取不到等号.综上，联赛加试题一的加强命题获证. 2．（本题满分40分）设{},,,,21n A A A S ⋅⋅⋅=其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ，满足对任意的S A A j i ∈,，均有S A A j i ∈ ，若2min 1≥=≤≤i ni A k ，证明：存在i ni A x 1=∈ ，使得x 属于n A A A ,,,21⋅⋅⋅中的至少kn个集合．证明：不妨设1||A k =．设在12,,,n A A A 中与1A 不相交的集合有s 个，重新记为12,,,s B B B ，设包含1A 的集合有t 个，重新记为12,,,t C C C ．由已知条件，1()i B A S ∈，即112(){,,,}i t B A C C C ∈，这样我们得到一个映射12121:{,,,}{,,,},()s t i i f B B B C C C f B B A →=． 显然f 是单映射，于是，s t ≤． 10 分设112{,,,}k A a a a =．在n A A A ,,,21⋅⋅⋅中除去12,,,s B B B ，12,,,t C C C 后，在剩下的n s t --个集合中，设包含i a 的集合有i x 个（1i k ≤≤），由于剩下的n s t --个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个i a ，从而12k x x x n s t +++≥--． 20 分不妨设11max i i k x x ≤≤=，则由上式知i n s tx k --≥，即在剩下的n s t --个集合中，包含1a的集合至少有n s tk--个．又由于),,2,1(1t i C A i ⋅⋅⋅=⊆，故12,,,t C C C 都包含1a ，因此包含1a 的集合个数至少为(1)n s t n s k t n s tt k k k---+---+=≥（利用2k ≥） nk ≥（利用s t ≤)． 40 分 3．（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于E ，连接PE ，延长交AB 于F ，证明：FCB ABC ∠=∠2．证法一：设CF 与圆Q 交于点L （异于C)，连接PB 、PC 、 BL 、KL ．注意此时C 、D 、L 、K 、E 、P 六点均在圆Ω上，结合A 、 B 、P 、C 四点共圆，可知∠FEB=∠DEP=180°-∠DCP=∠ABP=∠FBP ，因此△FB E ∽△FPB ，故FB 2=FE ·FP ．10分又由圆幂定理知，FE ·FP= FL ·FC ，所以FB 2=FL ·FC ． 从而△FBL ∽△FCB ．因此, ∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK, 即B 、K 、L 三点共线． 30 分再根据△FBL ∽△FCB 得，∠FCB=∠FBL=12∠ABC, 即∠ABC=2∠FCB ．证法二：设CF 与圆Ω交于点L （异于C)．对圆内接广义六边形DCLKPE 应用帕斯卡定理可知， DC 与KP 的交点A 、CL 与PE 的交点F 、LK 与ED 的交点了共线，因此B ’是AF 与ED 的交点，即B ’=B ．所以B 、K 、L 共线．10分根据A 、B 、P 、C 四点共圆及L 、K 、P 、C 四点共圆，得 ∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC,又由BK 平分∠ABC 知，∠FBL=12∠ABC ，从而 ∠ABC=2∠FCB ．4．（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn ． 解：对正整数m ，设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)()v m m S m =-，①这里()S m 表示正整数m 在二进制表示下的数码之和．由于1)1(2+-n k 不整除()!!kn n ，等价于2()!()(1)!kn v k n n ≤-，即22(()!)(!)kn v kn n v n -≥-，进而由①知，本题等价于求所有正整数k ，使得()()S kn S n ≥对任意正整数n 成立． 10分我们证明，所有符合条件的k 为2(0,1,2,)aa =．一方面，由于(2)()aS n S n =对任意正整数n 成立，故2ak =符合条件． 20 分另一方面，若k 不是2的方幂，设2,0,ak q a q =⋅≥是大于1的奇数．下面构造一个正整数n ，使得()()S kn S n <．因为()(2)()aS kn S q S qn <⋅=, 因此问题等价于我们选取q 的一个倍数m ，使得()()m S m S q <． 由（2，q ）=l ，熟知存在正整数u ，使得21(mod )uq ≡．（事实上，由欧拉定理知，u 可以取()q ϕ的．)设奇数q 的二进制表示为1212222,0,2t a a at a a a t +++=<<<≥．取1122222t t a a tu aa-+++++，则()S m t =，且2(21)0(mod )t a tu m q q =+-≡．我们有1(1)02121211212(122)12t t ttu uu t a a lu a u t ul m q q q q q -+-=---=++⋅=+⋅+++=+⋅∑由于2102u uq -<<，故正整数21u q -的二进制表示中的最高次幂小于u ，由此易知，对任意整数,(01)i j i j t ≤<≤-，数212t u iu a q +-⋅与212tu ju a q+-⋅的二进制表示中没有相同的项．又因为0i a >，故212(0,1,,1)tu lu a l t q +-⋅=-的二进制表示中均不包含1，故由②可知21()1()()u m S S t t S m q q-=+⋅>=, 因此上述选取的m 满足要求．综合上述的两个方面可知，所求的k 为2(0,1,2,)aa =．50分。
2015年第二十届华杯赛决赛小高组D试题
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14. “虚有其表”,“表里如一”,“一见如故”,“故弄玄虚”四个成语中每个汉 字代表 11 个非零连续自然数中的一个, 相同的汉字代表相同的数, 不同的汉 字代表不同的数, 且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”, 且各个成语中 四个汉字所代表的数的和都是 21. 则“弄”可以代表的数最大是多少？
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7. 一次数学竞赛有 A, B, C 三题, 参赛的 39 个人中, 每人至少答对了一道题. 在 答对 A 的人中, 只答对 A 的比还答对其它题目的多 5 人; 在没答对 A 的人中, 答对 B 的是答对 C 的 2 倍; 又知道只答对 A 的等于只答对 B 的与只答对 C 的人数之和. 那么答对 A 的最多有 人.
12. 当 n 取遍 1, 2, 3 ,… , 2015 中所有的数时, 形如 3n n3 的数中能够被 7 整除的 有多少个？
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 在右图中, ABCD 是平行四边形, AM = MB,
DN=CN, BE=EF=FC, 四边形 EFGH 的面积 是 1, 求平行四边形 ABCD 的面积.
10. 酒店有Leabharlann 100 个标准间, 房价为 400 元/天, 但入住率只有 50%. 若每降低 20 元 的房价, 则能增加 5 间入住. 求合适的房价, 使酒店收到的房费最高.
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11. 如图, 长方形 ABCD 的面积是 56 cm2. BE 3 cm, DF 2 cm. 请你回答：三角形 AEF 的面积是多 少？
2015年第二十届华杯赛小高组初赛详解
【题型】几何：一半模型 【解析】
帅
A F C作 AB , AC , BC 的平行线，则 S1 = S 2 ， S3 = S4 ， S5 = S6 ， S7 = S8 ， S9 = S10 ， S11 = S12 ；
1 1 2 所以 S阴影 =S白 = S△ABC = × 2028 = 1014cm ，则 S△PCF = 1014 − 192 × 2 = 630cm 2 2 2
余帅老师公众号：shuaiteacher
帅
第 3 页 兴趣是最好的老师
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二、填空题 (每小题 10 分，共 40 分)
1 1 1 29 41 55 7. 计算: 481 + 265 + 904 − 184 − 160 − 703 =________． 6 12 20 30 42 56
余
如图所示 示，第一列和 和第二行已经 经有 A，所以 以左上角 3*2 粗线方格的 A 只能填在第二列；因为 为第一列 3*2 粗线方格 和第二列 列已经有 A， 所 所以左下角 格的 A 只能填 填在第三列； 因为第五列和第四行已经 经有 A， 3*2 2 A A 所以右中 中位置的 粗线方格的 的 只能填在 在第四列； 因为 为第五行和第 第五列已经有 有 ， 右下角 3*2 所以右 粗线方格 格的 A 只能填 填在第六列；以此类推，可以填出所 所以的数.
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2015年第二十届华杯赛小高组初赛详解
0分 总分：100 时间 间：60 分钟
0 分，共 60 分．以下每题的 一、选 选择题． （每小题 10 以 的四个选项 项中，仅有 有一个 是正确 确的，请将 将表示正确 确答案的英 英文字母写在每题 题的圆括号 号内． ）
2015年第20届“华杯赛”少年数学邀请赛初赛试卷c(小高组)
【分析】通过分析： 如图：
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的和是质数，所以“杯”为 3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”为 2，剩下的 D 就是 6，；所 以四位数“相约华杯”是 4123，据此解答即可． 【解答】解：如图：
因为第三行存在 1．、3、4，所以 A 为 2，5，6 之一，而 3 与 A 的和是质数，所以 A 为 2．在 A 所在的长方形中，还剩下 1、4、5、6 没有使用． 而 3 与“相”的和是质数，所以“相”是 4． “相”与”“约”的和为质数，“约”为 1， “约”与”“月”的和为质数，“月”为 6， 剩下的 C 为 5．第三行只剩下数字 5，所以 B 为 5； 在 B 所在的长方形中，还剩下 2、3、6 没有使用． 而 4 与“杯”的和是质数，所以“杯”为 3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”为 2，剩下的 D 就是 6； 所以四位数“相约华杯”是 4123． 故答案为：4123． 【点评】解答本题的关键是充分利用相邻两格所填数的和是质数，一步步推理得出答案．
3．（10 分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱 捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、 丙、丁 4 位同学有如下对话： 甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款” 乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款” 丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款” 丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款” 已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（ ） A．甲，乙 B．丙，丁 C．甲，丙 D．乙，丁 【分析】因为有 2 位同学捐了款，所以根据： 丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱； 甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款； 乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款； 这恰好印证了丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款”是正确的． 据此解答即可． 【解答】解：根据分析可得： 丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱； 甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款； 乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款； 这恰好印证了丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款”是正确的，只有乙和丁捐了款．
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表
第20届华赛杯小学高年级组数学邀请赛试题(含答案)
个同学成绩最小，则第 2 个同学成绩取最大值
为：98，进而求出另三位同学的总成绩，进而
根据“总成绩÷总人数=平均分”能求出另三名同
学的平均分，继而分析、推导得出所求问题的
答案．
解答：
解：92.5×6﹣99﹣76=380（分），
由于最高分是 99 分，所以第二个的最好成绩
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点评：
故选：B．
点评：
本题主要考查了学生根据排列的知识和抽届
原理来解决问题的能力．
二、填空题：（每小题 10 分，满分 40 分） 7．（10 分）在每个格子中填入 1﹣6 中的一个，使得每行、每列及每个 2×3 长方形内（粗线 框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和 是质数，那么四位数“相约华杯”是 4123 ．
考点： 专题：
幻方． 菁优网版 权所有
传统应用题专题．
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分析： 解答： 点评：
通过分析： 如图：
因为第三行存在 1．、3、4，所以 A 为 2，5， 6 之一，而 3 与 A 的和是质数，所以 A 为 2．在 A 所在的长方形中，还剩下 1、4、5、6 没有 使用．而 3 与“相”的和是质数，所以“相”是 4．“相”与”“约”的和为质数，“约”为 1，“约” 与”“月”的和为质数，“月”为 6，剩下的 C 为 5． 第三行只剩下数字 5，所以 B 为 5；在 B 所在 的长方形中，还剩下 2、3、6 没有使用．而 4 与“杯”的和是质数，所以“杯”为 3，“杯” 与”“华”的和为质数，所以“华”为 2，剩下的 D 就是 6，；所以四位数“相约华杯”是 4123，据 此解答即可． 解：如图：
6．（10 分）一个由边长为 1 的小正方形组成的 n×n 的方格网，用白色或黑色对每个小正方
【小中组】第20届华杯赛决赛
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A ）卷【小中组】1. 森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子和大象中的两个动物去参加，如果派狮子去，那么也要派老虎取；如果不派豹子去，那么也不能派老虎去；要是豹子参加的话，大象可不愿意去，那么，最后能去参加比赛的是（ ）A. 狮子、老虎B.老虎、豹子C.狮子、豹子D.老虎、大象2. 小明有多张面额为1元，2元和5元的人民币，他想用其中不多于10张的人民币购买一只价格为18元的风筝，要求至少用两种面额的人民币，那么不同的付款方式有（ ）种. A.3 B.9 C.11 D.83. 如右图，在有1×1的正方形组成的网格中，写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是水平，要么是竖直的直线段，要么是连接1×1正方形相邻两边中点的线段，或者是1×1的正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是（ ） A.47 B.2147C.48D.21484. 新生入校后，合唱队，田径队，舞蹈队共招收学员100人，如果合唱队招收的人数比田径队多一倍，舞蹈队比合唱队多10人，那么舞蹈队招收（ ）人.（注：每人限加入一个队） A.30 B.42 C.46 D.525.一只旧钟的时针和分针每重合一次，需要经过标准时间66分钟，那么这只旧钟的24小时比标准时间的24小时（）A.快12分B.快6分C.慢6分D.慢12分6.一次考试共有6道选择题，评分规则如下：每人先给6分，答对一题加4分，答错一题减一分，不答得0分，现有51名同学参加考试，那么，至少有（）人得分相同.A.3B.4C.5D.67.计算：_____(=⨯+314-151000+++.⨯)-+-+)110(15(314360)360201201110)1000(8.角可以用它的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示，（如右图的AOB∠表示，∠，也可以用0顶点处只有一个角时），下面的三角形ABC中，οBCO∠ACO=∠AOCABOBAO，则_____CAO∠CBO,,==110∠,∠∠∠=∠CBO.=9.张叔叔和李叔叔的年龄和是56岁，当张叔叔的年龄是李叔叔现在年龄的一半时，李叔叔当时的年龄是张叔叔现在的年龄，那么张叔叔现在有______岁.10.妈妈决定假期带小花驾车去10个城市旅游，小花查完地图后惊奇地发现：10个城市的任意三个城市之间或者都开通了高速公路，或者只有两个城市间没有开通高速路，那么这10个城市间至少开通了______条高速公路.（注：两个城市间最多只有一条高速公路）第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A ）卷参考答案【小中组】1.解析：【知识点】逻辑推理假设派狮子去，那么老虎也去，那么豹子就不去，这样老虎也不能去，矛盾，A 排除； 假设派狮子去，那么老虎也去，C 排除； 不派豹子去，那么也不能派老虎去，D 排除； 故只能派老虎和豹子去，答案选B 2.解析：【知识点】计数，枚举 付款方式有以下几种：3×5+1×2+1×1=18,3×5+1×3=18,2×5+4×2=18,2×5+3×2+2×1=18,2×5+2×2+4×1=18, 2×5+1×2+6×1=18,2×5+8×1=18,1×5+6×2+1×1=18,1×5+5×2+3×1=18,1×5+4×2+5×1， 8×2+2×1=18；总共11种，答案选C 。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
K1 、 K2 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积 S ．
由于直线 CD 的方程为 x 3y 6 ，直线 GH 的方程为 3x y 6 ，故它们的交点 P 的
坐标为
3 2
,
3 2
．由对称性知，
S
8SCPG
8
1 4 2
3 2
解：由条件知，点 F1 、 F2 的坐标分别为 (1, 0) 和 (1, 0) ．
设直线 l 的方程为 y kx m ，点 A 、 B 的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2 ) ，则 x1, x2 满 足方程 x2 (kx m)2 1，即
2
(2k 2 1)x2 4kmx (2m2 2) 0 ．
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015年-中年级-华杯赛
华杯赛小中组初 ༽ 赛参考答案
题号 答案 题号 答案
1 B 9 24
第二十届华杯赛初赛试题 A（小中组）参考答案 2 3 4 5 6 7 8 C B C D A 1000000 10 40
题号 答案 题号 答案
1 61 9 84 本
第二十届华杯赛复赛试题 A（小中组）参考答案 2 3 4 5 360 4.7 37 4 10 11 12 15 种 3种 18 平方厘米
6. 一条河上有 A, B 两个码头, A 在上游, B 在下游. 甲、乙两人分别从 A, B 同时 出发, 划船相向而行, 4 小时后相遇. 如果甲、乙两人分别从 A, B 同时出发, 划船同向而行, 乙 16 小时后追上甲. 已知甲在静水中划船的速度为每小时 6 千米, 则乙在静水中划船每小时行驶________千米.
（A）快 12 分（B）快 6 分（C）慢 6 分（D）慢 12 分
6.
一次考试共有 6 道选择题，评分规则如下：每人先给 6 分，答对一题加 4 分，打错一题减 1 分，不答得 0 分．现有 51 名同学参加考试．那么，至少 有（ ）人得分相同．
（A）3（B）4（C）5（D）6
二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）
二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程）
9. 有一批作业, 王老师原计划每小时批改 6 本. 批改了 2 小时后, 他决定每小时 批改 8 本, 结果提前 3 小时批改完. 那么这批作业有多少本？
10. 用五种不同的颜色涂正方体的六个面 . 如果相邻的两个面不能涂同种颜色 , 则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法 才被认为是不同的）
7. 某个两位数是 2 的倍数, 加 1 是 3 的倍数, 加 2 是 4 的倍数, 加 3 是 5 的倍数, 那么这个两位数是________.
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组a卷)
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）4584 1.3751050.91919⨯+⨯．2．（10分）如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是2cm，这个图案的周长是cm．3．（10分）某项工程需要100天完成，开始由10个人用30天完成了全部工程的15，随后再增加10个人来完成这项工程，那么能提前天完成任务．4．（10分）王教授早上8点到达车站候车，登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称．列车8点35分出发，下午2点15分到达终点站．当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好3点整．那么王教授在列车上的时间共计分钟．5．（10分）由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是．6．（10分）如图所示，从长、宽、高分别为15cm，5cm，4cm的长方体中切割走一块长、宽、高分别为ycm，5cm，xcm的长方体(x，y为整数），余下部分的体积为3120cm，那么x y+=．7．（10分）一次数学竞赛有A，B，C三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题．在答对A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多5人；在没答对A的人中，答对B的是答对C的2倍；又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和．那么答对A的最多有人．8．（10分）甲，乙进行乒乓球比赛，三局两胜制．每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜；10平多得2分者胜．甲、乙二人得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有种情况．二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）两个自然数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120．求这两个数．10．（10分）酒店有100个标准间，房价为400元/天，但入住率只有50%．若每降低20元的房价，则能增加5间入住．求合适的房价，使酒店收到的房费最高．11．（10分）如图，长方形ABCD的面积是256cm．3=．请你回答：三DF cmBE cm=，2角形AEF的面积是多少？12．（10分）当N取遍1，2，3，⋯，2015中所有的数时，形如3+的数中能够被7整3n n除的有多少个？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图所示，ABCD是平行四边形，AM MB=，DN CN=，BE EF FC==，四边形EFGH的面积是1，求平行四边形ABCD的面积．14．（15分）“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”，且各个成语中四个汉字所代表的数的和都是21．则“弄”可以代表的数最大是多少？2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）4584 1.3751050.91919⨯+⨯．【解答】解：4584 1.3751050.91919⨯+⨯．160011200091981910=⨯+⨯220018001919=+400019=1021019=故答案为：10 210192．（10分）如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是2cm，这个图案的周长是24cm．【解答】解：2626⨯+⨯1212=+24()cm=答：这个图案的周长是24cm．故答案为：24．3．（10分）某项工程需要100天完成，开始由10个人用30天完成了全部工程的15，随后再增加10个人来完成这项工程，那么能提前10天完成任务．【解答】解：1110030(1)[(1030)(1010)]55---÷÷⨯⨯+ 4170575=-÷ 7060=-10=（天)答：能提前10天完成任务．故答案为：10．4．（10分）王教授早上8点到达车站候车，登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称．列车8点35分出发，下午2点15分到达终点站．当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好3点整．那么王教授在列车上的时间共计 360 分钟．【解答】解：8时整时分针与时针的夹角是120︒，240120(60.5)13÷+=（分)，王教授登上车的时间是：8时24013分； 下午2时15分时，分钟与时针的夹角是156(600.515)22.5⨯-+⨯=（度)，4522.5(60.5)13÷+=（分)，王教授下车的时间是：2时15分4513+分=下午2时24013分； 下午下午2时24013分化成24计时法是14时24013分 14时24013分8-时24013分6=小时 6小时360=分钟．故答案为：360．5．（10分）由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是 5321 ．【解答】解：设四个数字分别为a 、b 、c 、d ．根据题意可得以a 开头的组合有：abcd ，abdc ，acbd ，acdb ，adbc ，6adcb 个，则这六个四位数分别是：1000100101a b c d ⨯+⨯+⨯+⨯，1000100110a b c d ⨯+⨯+⨯+⨯，1000110100a b c d ⋯⨯+⨯+⨯+⨯，这6个数的和是6000222222222a b c d +++++；同理，以b 开头的6个四位数的和是2226000222222a b c d +++；以c 开头的6个四位数的和是2222226000222a b c d +++；以d 开头的6个四位数的和是2222222226000a b c d +++；则6666()73326a b c d +++=，即11a b c d +++=，分析可得a 、b 、c 、d 是1、2、3、5中的一个数字，所以组成的四位数中最大四位数是5321．故答案为：5321．6．（10分）如图所示，从长、宽、高分别为15cm ，5cm ，4cm 的长方体中切割走一块长、宽、高分别为ycm ，5cm ，xcm 的长方体(x ，y 为整数），余下部分的体积为3120cm ，那么x y += 15cm ．【解答】解：1554120⨯⨯-300120=-3180()cm =则5180xy =，即36xy =，因为x ，y 为整数，且04x <<，015y <<，所以x 为3cm ，y 为12cm ，15x y cm +=．故答案为：15．7．（10分）一次数学竞赛有A ，B ，C 三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题．在答对A 的人中，只答对A 的比还答对其它题目的多5人；在没答对A 的人中，答对B 的是答对C 的2倍；又知道只答对A 的等于只答对B 的与只答对C 的人数之和．那么答对A 的最多有 23 人．【解答】解：只答对A 的人数是3b a +，答对A 还答对其他题目的人数是35b a +-，所以有：3353239b a b a b a +++-++=，化简得：4944a b +=，因为a 、b 都为自然数，所以当2a =时，4b =；当11a =时，0b =，即24a b =⎧⎨=⎩或110a b =⎧⎨=⎩答对A 的人共335625b a b a b a +++-=+-，把a 、b 的最大值代入625b a +-中，最大值是：64225⨯+⨯-2445=+-23=（人)答：答对A 的人最多有23人．故答案为：23．8．（10分）甲，乙进行乒乓球比赛，三局两胜制．每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜；10平多得2分者胜．甲、乙二人得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有 8 种情况．【解答】解：甲、乙二人得分总和都是30分30311<⨯三局中其中一个人胜了两局，所以至少有两个分数不小于11，甲得分总和是：30:3011910=++乙对应的得分是：3071112:=++对应的比分是11:79:1110:12⎧⎪⎨⎪⎩，之后7、9依次减1，10和12依次加1:11:68;1111:13⎧⎪⎨⎪⎩、11:57:1112:14⎧⎪⎨⎪⎩、11:46:1113:15⎧⎪⎨⎪⎩、11:35:1114:16⎧⎪⎨⎪⎩、11:24:1115:17⎧⎪⎨⎪⎩、11:13:1116:18⎧⎪⎨⎪⎩、11:02:1117:19⎧⎪⎨⎪⎩上面8种都是乙取得了胜利，甲取得胜利对应的也是8种，但考虑不计比分先后顺序，故有8种情况，答：三局的比分共有8种情况．故答案为：8．二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）两个自然数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120．求这两个数．【解答】解：6672329=+，=⨯，由题意，假设23是它们的最大公约数，由于29245⨯=，245120所以两数分别是2423552⨯=；⨯=，523115假设29是它们的最大公约数，由于23158⨯=，⨯=；所以两数分别是1529435=+，158120⨯=；829232答：这两个数是115和552，或者232和435．10．（10分）酒店有100个标准间，房价为400元/天，但入住率只有50%．若每降低20元的房价，则能增加5间入住．求合适的房价，使酒店收到的房费最高．【解答】解：由题意分析得①房价为400元/天，入住房间为10050%50⨯=元；⨯=，所以收到的房费为：4005020000②房价为380元/天，入住房间为50555⨯=元；+=，所以收到的房费为：3805520900③房价为360元/天，入住房间为60，所以收到的房费为：3606021600⨯=元；④房价为340元/天，入住房间为65，所以收到的房费为：3406522100⨯=元；⑤房价为320元/天，入住房间为70，所以收到的房费为：3207022400⨯=元；⑥房价为300元/天，入住房间为75，所以收到的房费为：3007522500⨯=元；⑦房价为280元/天，入住房间为80，所以收到的房费为：2808022400⨯=元；⑧房价为260元/天，入住房间为85，所以收到的房费为：2608522100⨯=元；答：当房价为300元/天时，酒店受到的房费最高．11．（10分）如图，长方形ABCD的面积是256cm．3DF cm=．请你回答：三=，2BE cm角形AEF的面积是多少？【解答】解：据分析可知：四边形AGEF的面积为：56228÷=（平方厘米），则阴影部分的面积为：28232-⨯÷=-283=（平方厘米）．25答：三角形AEF的面积是25平方厘米．12．（10分）当N取遍1，2，3，⋯，2015中所有的数时，形如3+的数中能够被7整3n n除的有多少个？【解答】解：如图：3n除以7的余数以6为周期，3、2、6、4、5、1；3N除以除以7的余数以7为周期，1、1、6、1、6、6、0；则总周期为42:2015424741÷=⋯⨯+47662826=+=（个)288答：能够被7整除的有288个．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图所示，ABCD是平行四边形，AM MB=，DN CN==，四=，BE EF FC边形EFGH的面积是1，求平行四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，，作//EQ CD ，//FP CD ，分别交BN 与点Q 、P ， 因为13EQ EQ BE BM CN BC ===， 所以13EH OE HM BM ==； 因为BEM ∆的面积占平行四边形ABCD 的面积的：111132212⨯⨯=， 所以HEQ ∆的面积占平行四边形ABCD 的面积的：2131()12313⨯⨯+ 1311249=⨯⨯ 1144= 因为23FP FP ND CN ==， 所以BFP ∆的面积占BCN ∆的面积的：224()39=， 所以四边形EFPQ 的面积占平行四边形ABCD 的面积的：21141()[1()]2292⨯⨯⨯- 143494=⨯⨯ 112= 因为23FP FG ND GD ==， 所以FGP ∆的面积占平行四边形ABCD 的面积的：211312()()323223⨯⨯⨯⨯+13146529=⨯⨯⨯145=所以平行四边形ABCD的面积的：1111()1441245÷++9180=÷889=答：平行四边形ABCD的面积是889．14．（15分）“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”，且各个成语中四个汉字所代表的数的和都是21．则“弄”可以代表的数最大是多少？【解答】解：根据分析可知，表、一、故、如、虚”，五个重复数字之和为18，因为所有数是111--，重复数字只有以下几种可能：①1、2、3、4、8；②1、2、3、5、7；③1、2、4、5、6代入发现只有情况③符合情况，每个数都填入后，可得虚1=，故4=，弄、玄只能是9、7，弄最大是9．答：“弄”可以代表的数最大是9．。
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试卷(小中组a卷)
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试卷（小中组A卷）一、填空题（每小题3分，共80分）1．（3分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）=．2．（3分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于度．3．（3分）商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57元．若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了元．4．（3分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵．两班人数之和最多为．5．（3分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100支，第三天每支笔比前一天涨价3元后比前一天少卖出200支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是元．6．（3分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶千米．7．（3分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是．8．（3分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至8之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了2小时后，他决定每小时批改8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？10．（15分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）11．（15分）如图所示，有一个圆圈填了数字1．请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2．问共有几种不同的填法？12．（15分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共80分）1．（3分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）=61．【解答】解：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）=3752÷2÷39+5030÷10÷39=1876÷39+503÷39=（1876+503）÷39=2379÷39=61；故答案为：61．2．（3分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于360度．【解答】解：连接CD，则∠G+∠F+∠FEG=∠EDC+∠ECD+∠FEG=∠=180°，因为∠FEG=∠FEG所以∠G+∠F=∠EDC+∠ECD，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G=∠A+∠B+∠BCE+∠EDC+∠ECD+∠ADE=（4﹣2）×180°=360°．故∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G的度数是360°．故答案为：360．3．（3分）商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57元．若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了 4.7元．【解答】解：14.57元=1457分，1457=31×47；因为每张的售价不超过买入价格的2倍，所以47是张数，31分是售价，商店赚了：（31﹣21）×47=10×47=470（分）=4.7（元）答：商店赚了4.7元．故答案为：4.7．4．（3分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵．两班人数之和最多为37．【解答】解：设一班有a人，二班有b人，则：3a+5b=1153a+3b+2b=1153（a+b）+2b=115，要使两班人数之和最多，则：a+b最大，b尽可能的小，当b=1时，3（a+1）+2×1=1153（a+1）=115﹣23（a+1）=113a+1=113÷3113不是3的倍数，所以a+1不是整数，不符合题意；当b=2时，3（a+2）+2×2=1153（a+2）=115﹣43（a+2）=111a+2=37即：a+b=37．答：两班人数之和最多的是37人．故答案为：37．5．（3分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100支，第三天每支笔比前一天涨价3元后比前一天少卖出200支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是4元．【解答】解：设第一天每支笔售价x元，卖出n支，有化简可以得到，解得答：第一天每支笔售价是4元；故答案为：4．6．（3分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶10千米．【解答】解：设乙船的速度是每小时x千米，（x+6）×4=（x﹣6）×164x+24=16x﹣9612x=120x=10答：乙在静水中划船每小时行驶10千米．故答案为：10．7．（3分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是62．【解答】解：2、3、4、5的最小公倍数是：2×3×2×5=60，已知这个两位数是偶数，在60～70之间5的倍数是65，又知这个两位数加上3是5的倍数，所以这个两位数是65﹣3=62，答：这个两位数是62．故答案为：62．8．（3分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至8之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于7．【解答】解：由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，可得方程：（1）+（2）+（3）可得：3尽+心+2力+可+拔+2山+穷+水=19×3=57而1～8的和是36，则有2尽+1力+1山=57﹣36=21，与（1）比较得山﹣心=2．“尽”＞“山”＞“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有2（力+2）+力+1+力=21“力”为4，此时山=5，心=3，尽=6；（1）式满足：6+3+6+4=19；（3）式：5+穷+水+6=19穷水，水此时最大为7，穷为1，来推倒2式：（2）式：4+可+拔+5=19可拔，而现在只剩下2和8了，满足条件．此时水最大为7若水最大取8时，有但此时6（尽）、4（山）、5（力），不满足“尽”＞“山”＞“力”，所以不符合要求．故水最大为7．故答案为：7．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了2小时后，他决定每小时批改8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？【解答】解：设原计划x小时批改完，由题意得：6×2+8（x﹣3﹣2）=6x12+8x﹣40=6x8x﹣6x=282x=28x=14．6×14=84（本）；答：这批作业有84本．10．（15分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）【解答】解：（1）5种颜色取3种颜色，正方体的六个面两两对应，任意3种颜色都是一种染法．有=10种；（2）5种颜色取4种颜色，每4种颜色，先确定两种颜色染两组对面，剩下的两种颜色染一组对面，有=30种；（3）5种颜色取5种颜色，先确定1种颜色染一组对面，剩下的4种颜色（用a、b、c、d表示）有abcd、abcd、abdc，3种染色方法，有•3=15种；所以，共有10+30+15=55种染法．答：共有55种不同的涂色方法．11．（15分）如图所示，有一个圆圈填了数字1．请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2．问共有几种不同的填法？【解答】解：相邻两个圆圈内的数字的差至少为2，所以2只能填在d和e．（1）d处填2，2的周围不能有3．所以3只能填在a处.3的周围不能填4，4只能填在c和e，5、6不能在一起，所以5填在b.6和4可以在c和e交换，此时2种填法；（见中图）（2）e处填2，3填a或者b处．3填a处，4、5、6必有两个相邻，没有满足条件的填法；3填b处，4只能填入c处，5只能填入a处，6填入d处．1种填法；（见右图）故共2+1=3（种）填法．答：共有3种不同的填法．12．（15分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？【解答】解：如图，连结DG三角形DGC的面积：8×（8﹣6）÷2=8×2÷2=8（cm2）四边形ABGD的面积：8×8﹣8=64﹣8=56（cm2）三角形AED的面积：（8+6）×8÷2=14×8÷2=56（cm2）所以三角形DPG的面积等于三角形BEP的面积所以阴影部分面积：6×6÷2=36÷2=18（cm2）答：阴影部分面积是18cm2．。
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11. 如右图所示，有一个圆圈填了数字1. 请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数字，要求无重 复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2. 问共有几种不同的填法？
1
【答案】3 【考点】数阵图，封闭型数阵图 【难度】★★★★★ 【分析】设剩下五个圈分别为a、b、c、d、e（如下图），则2只能放在d、e中一个位置，分类讨论： 令 d = 2 ，则 b = 3 ， c = 5 ，d、e随意选4、6，所以有2中填法； 令 e = 2 ，则3在b、c中，若 b = 3 ，不管5放在a、b、c中哪一个位置都会和4、6中一个数字相邻，
A F G E D C B
3.
商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57 元．若每张的售价相同，且不超过买入价 格的两倍，则商店赚了________元．
【答案】4.7 【考点】质数与合数，分解质因数 【难度】★ 【分析】1457 售价不超过买入价格的两倍， 所以卖出价为3角1分， 卖出47件， 商店赚4.7元． = 31 × 47 ，
5.
某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100 支，第三天每支笔比前一天涨价3 元后比前一天少卖出200 支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是________ 元.
【答案】4 【考点】方程组解应用题，整数系数二元一次方程组解应用题 【难度】★
( x − 1)(n + 100) = nx x = 4 【分析】设第一天每只笔售价x元，卖出n件， ，解得 ． nx ( x − 1 + 3)(n + 100 − 200) = n = 300
6.
一条河上有A，B 两个码头，A 在上游，B 在下游. 甲、乙两人分别从A，B 同时出发，划船相向 而行，4 小时后相遇. 如果甲、乙两人分别从A，B 同时出发，划船同向而行，乙16 小时后追上 甲. 已知甲在静水中划船的速度为每小时6 千米，则乙在静水中划船每小时行驶________千米.
【答案】10 【考点】流水行船，流水行船中的相遇追及综合 【难度】★
4.
两个班植树， 一班每人植3 棵， 二班每人植5 棵， 共植树115 棵． 两班人数之和最多为________．
【答案】37
【考点】不定方程，和一定不定方程 【难度】★ 【分析】设一班有x人，二班有y人，则 3x + 5 y = 115 ，所以 ( x + y )max = 35 + 2 = 37 人．
6×2 + 9×8 = 84 （本）．
方法二：设王老师原计划批改x小时，则 6 x = 6 × 2 + 8 ( x − 5 ) ，解得： x = 14 ，所以有 14 × 6 = 84 本 作业本．
10. 用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的 涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的） 【答案】15 【考点】加乘原理，染色计数问题 【难度】★★★★★ 【分析】先选一个颜色涂2次，有5种选择方式，而且必须涂对面，不妨涂上、下两面，剩下4种颜色涂
D C G
F
P A B E
二. 简答题（每小题15分, 共60分, 要求写出简要过程） 9. 有一批作业，王老师原计划每小时批改6本．批改了2小时后，他决定每小时批改8本，结果提前3 小时批改完．那么这批作业有多少本？ 【答案】84 【考点】平均数问题，移多补少 【难度】★★ 【分析】方法一：提前3小时改完，意味着加速后批改了 6 × 3 ÷ (11 − 9) = 9 （小时），故作业本一共有：
= 1876 ÷ 39 + 503 ÷ 39 = 2379 ÷ 39 = 61
2.
下图中， ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠F + ∠G 等于________度．
A F G E D C B
【答案】360 【考点】图形角度，三角形内外角度 【难度】★★ 【分析】连接DC， ∠F + ∠G = ∠FDC + ∠GCD ，所以 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠F + ∠G =360Ο ．
不成立，若 c = 3 ，则 a = 4 ， d = 6 ， b = 5 ， 1种填法；所以一共有3种填法．
1 a
b
c
d
e
12. 边长分别为8 cm和6 cm的两个正方形ABCD与BEFG如右图并排放在一起. 连接DE交BG于P，则图 中阴影部分APEG的面积是多少?
D C G
F
P A B E
【答案】18 【考点】几何模型，等积变形 【难度】★★★ 【分析】连接DG、DB， S阴 =S∆GPE + S∆GPD = S∆GDE = S∆GBE = 6 × 6 ÷ 2 = 18 平方厘米．
第二十届华杯赛中年级决赛试题A卷
(时间：2015年 4月11日)
一. 填空题（每小题 10 分, 共80 分） 1.
计算: 3752 ÷ ( 39 × 2 ) + 5030 ÷ ( 39 × 10 ) =________．
【答案】61 【考点】整数计算，整数除法巧算之提取公因数 【难度】★★ 【分析】原式 = 3752 ÷ 39 ÷ 2 + 5030 ÷ 39 ÷ 10
【答案】7 【考点】最值问题，加减法中的最值构造 【难度】★
19 ，为了让“水”最大，其它三个数所代表的数应尽可能小． 【分析】因为 山 + 穷 + 水 + 尽 =
由题意知： 3尽 + 2山 + 2力+ 心 + 可 + 拔 + 穷 + 水 = 19 × 3 = 57 ，所以 2尽 + 山 + 力 = 57 − 36 = 21 ，再 由“尽”>“山”>“力”得： 尽最小为6， 此时山为5、 力为4， 要使“水”大， 则“穷”小， 令穷 = 1 ， 则水 = 7 ， 这时 心 = 3 、“可”和“拔”为2和8，因此“水”最大为7．
= a 【分析】设这个两位数为a，则a是2的倍数，除以3、4、5都余2，所以
+2 [3, 4,5]=
62 ．
8.
在三个词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至8之间的数字，相同的汉字 代表相同的数字， 不同的汉字代表不同的数字. 如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19， 且 “尽”>“山”>“力”，则“水”最大等于________.
= 16 ( x − 6 ) ，解得： x = 10 ． 【分析】设乙在静水中的速度为x千米每小时，则 4 ( x + 6 )
7.
某个两位数是2的倍数, 加1是3的倍数, 加2是4的倍数, 加3是5的倍数, 那么这个两位数是_______.
【答案】62 【考点】韩信点兵，同余类韩信点兵 【难度】★★★