信息安全数学基础4章4讲PPT课件

如, 1与4是模5的平方剩余，2与3是模5的平方非剩余，
所以有
(1) 1， (2) 1， ( 3) 1， (4) 1，(5) 0.
5
5
5
5
5
11
4.5 二次剩余-勒让德符号(1)(n)
n
p1 2
(mod
p);
p
1
1
p1
(2) ( ) 1, ( ) (1) 2 ;
p
p
(3)
a
a1(mod
p)
(
a p
)
(
a1 p
);
(4) ( a1a2 an ) ( a1 )( a2 ) ( an );
p
pp p
ab2 a (5) ( ) ( ), p b.
pp
12
4.5 二次剩余-勒让德符号
例： 求( 20 )与( 2) 37
( 20)
225 ()
(5)
51
1(mod 3)
3 33
2 7
通过引入勒让德符号， 本节给出了较方便的判别 方法。
阿德昂·利·埃·勒 让德（公元1752─公 元1833）,法国数学 家
10
4.5 二次剩余-勒让德符号
定理4.53 给定奇素数p, 对于整数n, 定义Legendre符号为
0， p n；
(
n p
)
1， n是p的平方剩余；
1，n是p的平方非剩余.
111
111
而 (1) 2 1(mod11); 2 2 1(mod11);
111
111
111
(3) 2 (4) 2 (5) 2 1(mod11);
∴ 模11的平方剩余为1，-2，3，4，5；
平方非剩余为-1，2，-3，-4，-5.
9
4.5 二次剩余-勒让德符号
利用欧拉判别条件虽然 可以判定 x2 a (mod p)的 解的存在性，但对较大的 质数模，实际运用很困难。
第四章 整除与同余
一 整数的整除 二 不定方程 三 整数的同余 四 同余方程求解 五 二次剩余
1
4.5 二次剩余-平方剩余
➢ 一般二次同余式的一般形式为 ax2 bx c 0 (mod m)。
该同余式可以化简为 x2 a(mod m),(a, m) 1
例.化简同余方程5x2 12x 3 0(mod 27)
且有：1 12(mod 7);2 32(mod 7);3 22(mod 7).
7
4.5 二次剩余-平方剩余判别
定理4.52 (欧拉判别条件) 若 (a, p) = 1，则 （1） a是模p的二次剩余的充要条件是
p1
a 2 1(mod p) (2) （2）a是模p的二次非剩余的充要条件是
p1
就是模p的简化剩余类中的全部二次剩余。
2
6
4.5 二次剩余-平方剩余判别
定理4.51 模p的简化系中，二次剩余与二次非剩余的
个数都是 p 1; 且模p的每个二次剩余与且仅与数列 2
12，22，， ( p 1)2
(4)
2
中的一个数同余。
例：取p 7,则其简化系为1, 2, 3.
模7的平方剩余为1，2，-3； 平方非剩余为 -1，-2，3.
7不是11的平方剩余.
15
4.5 二次剩余-勒让德符号
例：令 p=12611434787871653471 。
欧拉判别：( 6 ) 6( p1)/2(mod p),
p
上述定理： (6)
(
2
)(
3
)
(1)(
p2 1)/8
(
(1)
p1 )/ 2
[
k 1
3k p
]
p pp
16
4.5 二次剩余-勒让德符号
2 7
72 1
(1) 8
1
2是7的平方剩余；
由
2 11
112 1
(1) 8
1
2不是11的平方剩余.
14
4.5 二次剩余-勒让德符号
例：取p 11, n 5.
l
[ ni ]
5 5i []
00112 4
i1 p i1 11
5是11的平方剩余;
例：取p 11, n 7.
l ni 5 7i [ ] [ ] 01123 7 i1 p i1 11
欧拉猜测下面定理成立，但未能证明：
定理4.55 (二次互反律) 设p与q是不同的两奇素数，则
( )( ) (
q
)
(1)
p1 q 1
2 2(
p),
p
q
即
q p
p
p1 q 1
(1) 2 2 .
q
例：p=12611434787871653471
( 6 ) ( 2 )( 3 ) (1)( p21)/8 (1)( ( p1)(31)/4 p )
3
4.5 二次剩余-平方剩余
例.求m 5,7,11的平方剩余和平方非剩余.
x(m 5)
1,4 2,3
x2的余数(m 5) 1
4
∴ 模5的平方剩余为1,4；平方非剩余为2,3.
4
4.5 二次剩余-平方剩余
x(m 7)
1,6 2,5 3,4
x2的余数(m 7) 1
4
2
∴ 模7的平方剩余为1，2，4； 平方非剩余为 6，5，3.
71
22
8
1(mod 7)
13
4.5 二次剩余-勒让德符号
定理4.54 下面的结论成立：
(1)
2 p
(1) p281；即
2 p
1， 1，
当p 当p
1(mod 8)， 3(mod 8).
(2)
若n为奇数，(n,
p)
1,则
n p
(
l [ 1) i1
ni p
] ，其中l
p1. 2
例：由
a 2 1(mod p) (3)
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4.5 二次剩余-平方剩余判别
例：x2 a(mod11)
取模11的一个简化系为1, 2, 3, 4, 5.
可以验证：11121
1(mod11);
111
(2) 2
1(mod11);
111
111
111
3 2 1(mod11); 4 2 1(mod11);5 2 1(mod11).
2
4.5 二次剩余-平方剩余
定理4.49 ：设m 1是整数，a为整数，且(a, m) 1. 若 x2 a(mod m)有解，则a称为模m的平方剩余； 否则，称a为模m的平方非剩余。
例.求m 3的平方剩余和平方非剩余. 解：要使x2 a(mod 3)有解，且(a,3) 1. 只要求出x 2对模3的余数即可. 12 1(mod 3), 22 1(mod 3), ∴ 模3的平方剩余为1；平方非剩余为2(或-1).
x(m 11)
12 3 4 5
x2的余数(m 11) 1 4 2 5 3
∴ 模11的平方剩余为1，-2，3，4，5； 平方非剩余为-1，2，-3，-4，-5.
5
4.5 二次剩余-平方剩余判别
➢本节先讨论形如 x2 a(mod p), (a, p) 1, p为奇素数 (1)
的同余式的解。
定理4.50设p是奇素数 , 在模p的意义下,1, 22, , ( p 1)2