人教A版高中数学：选修2-3课本例题习题改编(含答案)

人教A 版选修2-3课本例题习题改编

1.原题（选修2-3第二十七页习题1.2A 组第四题）改编1 某节假日，附中校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法 （ ）A ．336 B ．408 C ．240 D ．264

解：方法数为：625224

6252242336,A A A A A A -+=选.A

改编2 某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生同

时排在“⨯⨯考点⨯⨯考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是 ( )A ．

276119 B ．272119 C ．136119 D ．138

119

解：若同学甲坐在四角的某一个位置，有4种坐法，此时同学乙的选择有21种；若同学甲坐在四边（不在角上）的某一个位置，有12种坐法，此时同学乙的选择有20种；若同学甲坐在中间（不在四边、角上）的某一个位置，有8种坐法，此时同学乙的选择有19种；故所求概率为4211220819119

,2423138

⨯+⨯+⨯=⨯答

案选.D

2.原题（选修2-3第二十七页习题 1.2A 组第九题）改编 1 在正方体

1111ABCD A B C D -的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成

直线，在这些直线中任取一条，它与对角线1BD 垂直的概率为_________． 解：如图，,,,,,,,,,,,E F G H I J K L M N P Q 分别为相应棱上的中点，容

易证明1BD ⊥正六边形EFGHIJ ，此时在正六边形上有2

615C =条，直

线与直线1BD 垂直；与直线1BD 垂直的平面还有平面ACB 、平面NPQ 、

平面KLM 、平面11A C B ，共有直线2

3412C ⨯=条．正方体1111ABCD A B C D -的各个顶点与各棱的中点

共20个点，任取2点连成直线数为22

20312(1)166C C -⨯-=条直线（每条棱上如直线,,AE ED AD 其实

为一条），故对角线1BD 垂直的概率为

151227

.166166

+= 改编2 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（A ）

175 （B ） 275 （C ）375 （D ）4

75

解：如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意

选两个点连成直线，共有22

661515225C C =⨯=种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有

图4

//,//,//,AC DB AD CB AE BF //,//,//AF BE CE FD CF ED 共12对，所以所求概率为124

22575

P =

=

，选D ．

3.原题（选修2-3第四十页复习参考题A 组第三题）改编1 设集合{1,2,3,4,5,6}S =，定义集合对

(,):,,A B A S B S A ⊆⊆中含有3个元素，B 中至少含有2个元素，且B 中最小的元素不小于A 中最大的

元素.记满足A

B S =的集合对(,)A B 的总个数为m ，满足A B ≠∅的集合对(,)A B 的总个数为n ，

则m

n 的值为

A.

B.

C.

D.

解：根据题意，m 的个数可以这样取：{1,2,3};{4,5,6},{3,4,5,6}A B ==，故2,m =同样得n 的个数为

22,故选.A

改编2 把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：(1,4,7)与(7,4,1)为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有 个．

解：分类讨论，当三个数时，有10个；四个数时，有2个；5个数时，有3个；6、10、15、30个数时，各有1个，共19个．

4.原题（选修2-3第四十一页复习参考题B 组第1题（3））改编 已知集合{

}{}1,2,3,1,2,3,4M N ==，定义映射:f M N →，且点()()()1,(1),2,(2),3,(3)A f B f C f ．若ABC △的外接圆圆心为D ，且

()DA DC DB R λλ+=∈，则满足条件的映射有（ ） A.12个； B.10个； C.6个； D.16

个；

解：设K 为AC 的中点．由()DA DC DB R λλ+=∈，知,,D B K 三点共线，结合题意知AB AC =，于

是(1)(3)(2)f f f =≠，这样满足条件的映射有22

4212C A =种．

5.原题（选修2-3第九十五页例1）改编 甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了 105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀，甲校：

乙校：

(I )计算,x y 的值;

(II)由以上统计数据填写右面22⨯列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5% 的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

(III)根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率；若把频率作为概率，现从乙校学生中任取3人，求优秀学生人数的分布列和数学期望;

附：

解 (I )6,7x y ==

(II)2

2

105(10302045) 6.109 5.024********

K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有

97.5% 的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

(III)甲校优秀率为

2

,11

乙校优秀率为 22,0,1,2,3,(3,)55

B ξξ=，00332227(0)()(1);55125P

C ξ==-=11

232254(1)()(1);55125P C ξ==-=

22132236

(2)()(1);

55125

P C ξ==-=33

03228(3)()(1);55125

P C ξ==-=

分布列：

期望：26()3.55

E ξ=⨯

= 甲校 乙校 总计 优秀 10 20 30 非优秀 45 30 75 总计

55

50

105

ξ

0 1 2 3

P

27

125 54125 36125 8125