三角形度量问题
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(3)∵ CB a 3 ， AC b 4
设向量 CB 与 CA 所成的角为
，则 180o C
7 4 7 CB AC CB AC cos ab cos(180o C ) ab cos C 3 4 ∴ 3
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
5．三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等. 条件 角角边 边边角 正弦定理或余弦定 理 边边边 边角边
适用定理 正弦定理
Baidu Nhomakorabea
余弦定理 余弦定理
其中“边边角”(abA)类型利用正弦定理求角时应判定三角形 的个数.
a≥b a<b 一解
A<90° a>bsinA a<bsinA a＝bsinA 两解 一解
A≥90° a<bsinA 无解 a>b a≤b
一解 无解
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
6.三角形形状判定方法：角的判定、边的判定、综合判定、余 弦定理判定； 其中余弦定理判定法，如果c是三角形的最大边，则有： a2＋b2＞c2⇔三角形ABC是锐角三角形 a2＋b2＜c2⇔三角形ABC是钝角三角形 a2＋b2＝c2⇔三角形ABC是直角三角形
0 C 90o .
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
解析：(1)
1 1 2 3 4sin C 2 2 ab sin C 2 sin C 由2 ，即 2 ，得 3
o
o C ，∴ sin( A B) sin(180 C ) sin C
∵ A B 180
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3．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC； b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 它们的变形形式有：cosA＝ 2bc ；cosB＝ 2ca ； a2＋b2－c2 cosC＝ . 2ab 4．三角形的面积公式： 1 1 1 1 S＝2ah＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB.
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
3．证明、计算与△ABC有关的问题，要注意利用正弦定理实 现角与边关系的互换，也可以利用余弦定理把边的关系转 化为角的关系．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
与三角形边角相关的问题
(2010年高考天津卷理科)在△ABC中，内角A、B、C的对 边分别是a、b、c，若a2－b2＝ 3 bc，sinC＝2 3 sinB，则A＝ ( )
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科） 正、余弦定理中边角关系
(2011 广州一模)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长 π 分别为 a 、 b 、 c ，已知 c ＝ 3 ， C ＝ ， a ＝ 2b ，则 b 的值为 3 ____________． π 【思路分析】 因为 c＝3，C＝3，a＝2b，可由余弦定理解决．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
1．解三角形的解题策略：一正二余，遇难则反．即一次式用 正弦定理，二次式用余弦定理．但上述只是一般原则，若 运用时遇到运算难题，则转移至另一定理(解三角形就是运 用两个定理) 2．在解三角形的问题时，首先应想到正、余弦定理，另外还 有A＋B＋C＝π，a＋b＞c，a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB 1 等．如sinA＝ ，则A＝30° 或150° 两解，需要进一步讨 2 论．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
1． （2012 肇庆一模）已知△ ABC 的面积为 2 2 ，内角 A, B, C 的对 边分别为 a, b, c ，已知 a 3, b 4, （1）求 sin( A B) 的值；
cos 2C 4 的值； （2）求 （3）求向量 CB, AC 的数量积 CB AC .
2
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2 7 2 14 3 3 9
∴ sin 2C 2sin C cos C 2
2 2 14 2 5 2 4 7 5 cos 2 C cos 2 C cos sin 2 C sin . ∴ 4 4 4 9 2 9 2 18
2 3
(2)由(1)得 sin C
2 3
2
2 7 2 o cos C 1 sin A 1 ∵ 0 C 90 ，∴ 3 3
∴
7 5 cos 2C 2cos 2 C 1 2 1 . 3 9
A．30° B．60° C．120° D．150° 【思路分析】 先用正弦定理将sinC＝2 3 sinB化为边的关
系，再用余弦定理求解．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
【解析】
由sinC＝2 3sinB结合正弦定理得：c＝2 3 b，所以
由于余弦定理得： b2＋c2－a2 b2＋c2－b2 3bc c2－ 3bc cosA＝ ＝cosA＝ ＝ ＝ 2bc 2bc 2bc 2 3b2－ 3b×2 3b 3 ＝ ，所以A＝30° 2 2b×2 3b 【名师点睛】 避免出现增根． 在三角形中求角最好使用求角的余弦，这样会
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
三角形度量问题
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
1．设△ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C. (1)角与角关系：A＋B＋C＝π； (2)边与边关系： a＋b>c， b＋c>a， c＋a>b， a－b<c， b－c<a， c－a>b. a b c 2．正弦定理： ＝ ＝ ＝2R(R 为外接圆半径)； sinA sinB sinC sinA a 它们的变形形式有：a＝2RsinA， ＝ 等． sinB b
设向量 CB 与 CA 所成的角为
，则 180o C
7 4 7 CB AC CB AC cos ab cos(180o C ) ab cos C 3 4 ∴ 3
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5．三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等. 条件 角角边 边边角 正弦定理或余弦定 理 边边边 边角边
适用定理 正弦定理
Baidu Nhomakorabea
余弦定理 余弦定理
其中“边边角”(abA)类型利用正弦定理求角时应判定三角形 的个数.
a≥b a<b 一解
A<90° a>bsinA a<bsinA a＝bsinA 两解 一解
A≥90° a<bsinA 无解 a>b a≤b
一解 无解
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6.三角形形状判定方法：角的判定、边的判定、综合判定、余 弦定理判定； 其中余弦定理判定法，如果c是三角形的最大边，则有： a2＋b2＞c2⇔三角形ABC是锐角三角形 a2＋b2＜c2⇔三角形ABC是钝角三角形 a2＋b2＝c2⇔三角形ABC是直角三角形
0 C 90o .
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解析：(1)
1 1 2 3 4sin C 2 2 ab sin C 2 sin C 由2 ，即 2 ，得 3
o
o C ，∴ sin( A B) sin(180 C ) sin C
∵ A B 180
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3．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC； b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 它们的变形形式有：cosA＝ 2bc ；cosB＝ 2ca ； a2＋b2－c2 cosC＝ . 2ab 4．三角形的面积公式： 1 1 1 1 S＝2ah＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB.
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3．证明、计算与△ABC有关的问题，要注意利用正弦定理实 现角与边关系的互换，也可以利用余弦定理把边的关系转 化为角的关系．
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与三角形边角相关的问题
(2010年高考天津卷理科)在△ABC中，内角A、B、C的对 边分别是a、b、c，若a2－b2＝ 3 bc，sinC＝2 3 sinB，则A＝ ( )
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科） 正、余弦定理中边角关系
(2011 广州一模)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长 π 分别为 a 、 b 、 c ，已知 c ＝ 3 ， C ＝ ， a ＝ 2b ，则 b 的值为 3 ____________． π 【思路分析】 因为 c＝3，C＝3，a＝2b，可由余弦定理解决．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
1．解三角形的解题策略：一正二余，遇难则反．即一次式用 正弦定理，二次式用余弦定理．但上述只是一般原则，若 运用时遇到运算难题，则转移至另一定理(解三角形就是运 用两个定理) 2．在解三角形的问题时，首先应想到正、余弦定理，另外还 有A＋B＋C＝π，a＋b＞c，a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB 1 等．如sinA＝ ，则A＝30° 或150° 两解，需要进一步讨 2 论．
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1． （2012 肇庆一模）已知△ ABC 的面积为 2 2 ，内角 A, B, C 的对 边分别为 a, b, c ，已知 a 3, b 4, （1）求 sin( A B) 的值；
cos 2C 4 的值； （2）求 （3）求向量 CB, AC 的数量积 CB AC .
2
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2 7 2 14 3 3 9
∴ sin 2C 2sin C cos C 2
2 2 14 2 5 2 4 7 5 cos 2 C cos 2 C cos sin 2 C sin . ∴ 4 4 4 9 2 9 2 18
2 3
(2)由(1)得 sin C
2 3
2
2 7 2 o cos C 1 sin A 1 ∵ 0 C 90 ，∴ 3 3
∴
7 5 cos 2C 2cos 2 C 1 2 1 . 3 9
A．30° B．60° C．120° D．150° 【思路分析】 先用正弦定理将sinC＝2 3 sinB化为边的关
系，再用余弦定理求解．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
【解析】
由sinC＝2 3sinB结合正弦定理得：c＝2 3 b，所以
由于余弦定理得： b2＋c2－a2 b2＋c2－b2 3bc c2－ 3bc cosA＝ ＝cosA＝ ＝ ＝ 2bc 2bc 2bc 2 3b2－ 3b×2 3b 3 ＝ ，所以A＝30° 2 2b×2 3b 【名师点睛】 避免出现增根． 在三角形中求角最好使用求角的余弦，这样会
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
三角形度量问题
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
1．设△ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C. (1)角与角关系：A＋B＋C＝π； (2)边与边关系： a＋b>c， b＋c>a， c＋a>b， a－b<c， b－c<a， c－a>b. a b c 2．正弦定理： ＝ ＝ ＝2R(R 为外接圆半径)； sinA sinB sinC sinA a 它们的变形形式有：a＝2RsinA， ＝ 等． sinB b