小波分析结课论文

小波分析结课论文基于正交滤波器组的Daubechies 小波设计及Quartus ll 仿真1.非平稳信号的局部变换信号s(t)和其频谱S(w)构成Fourier 变换对,由于Fourier 变换或反变换都属于全局变换，不能告知某种频率分量发生在那些时间内，因此用来不能描述信号的局部统计特性。

对于非平稳信号s(t)，应该采用局部变换来描述其随时间变化的统计特性。

并且信号的局部性能需要使用时域和频域是我二维联合表示，才能精确描述。

1.1用内积构造信号变换任何一种信号变换都可以写成该信号与某个选定的核函数之间的内积，因此可以用下面两种基本形式来构造。

信号s(t)的局部变换 = <取信号s(t)的局部，核函数无穷长> 或信号s(t)的局部变换 = <取信号s(t)的全部，核函数局域化>1.2小波变换1.2.1选用小波变换的原因三个信号局部变换的典型例子是短时Fourier 变换、Gabor 变换、小波变换，它们都是时频信号分析的线性变换。

而短时Fourier 变换和Gabor 变换都属于“加窗Fourier 变换”，都以固定的滑动窗对信号进行分析，可以表征信号的局部频率特性。

显然，这种时域固定等宽的滑动窗处理并不是对所有的信号都合适。

因为有较多的自然界信号在低频端应具有很高的频率分辨率，在高频端的频率分辨率可以比较低。

而从不相容原理的角度看，这类信号的高频分量应该具有高的时间分辨率，低频分量应该具有低的时间分辨率。

对这类非平稳信号的线性时频分析，应该在时频平面的不同位置具有不同的分辨率，小波变换就是这样一种多分辨（率）分析方法，其目的是既见森林——信号概貌，又见树木——信号细节，所以，小波分析被称为数学显微镜。

1.2.2连续小波变换的定义及参数含义平方可积分函数s(t)的连续小波变换定义为(,)()*()(),()s ab t b W T a b s t dt s t t aψψ∞-==〈〉⎰, a > 0其中小波变换的基函数()()ab t b t aψ-=是窗函数()t ψ的时间平移b 和尺度压缩a 的结果，乘以因子1/是因为要使变换结果归一化，a 是尺度参数，b 是平移参数。

对于一个给定的窗函数()t ψ，若a>1，则基函数相当于将窗函数拉伸，使窗口的时宽增大，窗函数的频率特性压缩，频率带宽变小；若a<1，则相当于将窗函数压缩，使窗口的时宽减小，窗函数的频率特性拉伸，频率带宽变大。

而的作用仅仅是使小波基函数滑动。

从时频网格的划分看，a 大对应于低频端，且频率分辨率高、时间分辨率低；反之，a 小对应于高频端，且频率分辨率低、时间分辨率高。

1.2.3小波应该满足的条件(1)容许条件()0t dt ψ∞-∞=⎰这一条件将使函数()t ψ符合“一小段波”的波形特征，是小波必须具备的最低条件。

(2)归一化条件此条件使小波具有单位能量。

(3) 完全重构条件(或恒等分辨条件)(4) 小波的Fourier 变换满足“稳定性条件”式中0＜A ≤B ＜∞1.2.4对偶小波简介若小波()t ψ满足上述的稳定性条件，则存在一个“对偶小波”~()t ψ，其Fourier 变换~()w ψ由下式给出:*~2()()|(2)|jj w w w ∞=-∞ψψ=ψ∑1.2.5连续小波的性质（易理解但阐述证明繁琐）① 线性② 平移不变性 ③ 伸缩共变性 ④ 自相似性 ⑤冗余性1.2.6离散小波变换及重构（小波逆变换）在使用小波变换重构信号时，需要对小波作离散化处理，采用离散化的小波变换。

这里的离散化都是针对连续的尺度参数a 和平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的。

令0j a a =和00j b ka b = ，则有离散小波变换()jk t ψ为()jkt ψ/200()j ja a t kb ψ--=-并且，离散化小波变换000(,)j j f W T a ka b 简记为(,)f W T j k ，并称*(,)()(),jk f jkjkc WT j k f t t dt f ψψ∞-∞===〈〉⎰为离散小波系数，简称小波系数。

实际数值计算时使用的信号重构公式为()()jk jkj k f t cc t ψ∞∞=-∞=-∞=∑∑c 是常数，取c=12小波分析 2.1小波级数表示任何一个平方可积分的实函数2()()f t L R ∈都具有一个小波级数表达式，即~()()jkjk j k f t c t ψ∞∞=-∞=-∞=∑∑式中小波系数为*(,)()(),jk f jkjkc WT j k f t t dt f ψψ∞-∞===〈〉⎰c jk 是平方可求和的序列，即2||jk j k c ∞∞=-∞=-∞<∞∑∑2.2对小波的各种希望从信号重构的精度角度考虑，正交基是信号重构最理想的基函数，所以更希望小波是正交小波。

为了使小波变换成为有用的信号处理工具，小波还须满足三个基本要求：1）小波是一般函数的积木块：小波能作为基函数，对一般函数进行小波级数展开； 2）小波具有时频聚集性：通常要求小波的大部分能量聚集在一个有限的区间内。

理想情况下，在该区间外，小波函数()t ψ的能量应等于零，即小波在频域应该是紧支撑函数。

但由不相容原理知，一个在频域紧支撑的函数，它在时域的支撑区将是无穷的。

因此，小波函数应该在时域是紧支撑的，这样在频域能够快速衰减；3）小波具有快速变换算法：为了使小波函数易于计算机实现，希望小波变换和Faurier 变换一样有快速算法。

在实际应用中，通常希望小波具有以下性质：①紧支撑：如果尺度函数和小波是紧支撑的，则滤波器H 和G 就是有限冲激响应的滤波器，它们在正交快速小波变换时的求和就是有限项的求和。

这显然有利于实现。

如果它们不是紧支撑的，也希望它们是快速衰减的，以使得滤波器H 和G 都可以用FIR ，滤波器合理近似。

②对称性：如果尺度函数和小波是对称的，则滤波器就具有广义的线性相位。

若波器不具有线性相位，则信号通过滤波器后，会发生相位的畸变。

因此，滤波器的线性相位要求在信号处理应用中是非常重要的。

③光滑性：小波的光滑性在压缩应用中起着重要的作用。

令小的系数c jk 为零，再将这些小系数所对应的分量jk jk c ψ从原函数中除去，我们就可以实现原函数的压缩。

如果原函数表示一幅图像，但小波不光滑，则压缩图像的误差就很容易用肉眼看出。

小波越光滑，滤波器的频率局域性就越好。

④正交性：我们知道，在信号的任何一种线性展开或逼近中，正交基是最佳的基函数。

因此，当使用正交的尺度函数时，能够提供最佳的信号逼近。

2.3线性独立基和基小波令()t ψ2()L R ∈，并且()jk t ψ是由()t ψ生成的小波，则{()jk t ψ}是2()L R 的Riesz 基，也等价于{()jk t ψ}是2()L R 的正合框架，还等价于{()jk t ψ}是2()L R 的一个框架，并且是一个线性无关族，即()0jk jkc jk t ψ=∑∑，意味着c jk ≡0，而且Riesz 基界和框架界相同。

至此就得到了基小波（母小波）()t ψ用作小波变换时所必须的三个条件： ①完全重构条件②基小波()t ψ的稳定条件③小波族{()jk t ψ}的线性独立条件，22||{}||jk A c 2||jk jkj k c ψ∞∞=-∞=-∞≤≤∑∑22||{}||jk B c 对于所有平方可求和的序列{c jk }恒成立，其中22||{}||jk c 2||jk j k c ∞∞=-∞=-∞=<∞∑∑，这样其实二维序列{,,}jkj k Z ψ∈是2()L R 内的一个Riesz 基，A 和B 分别是Riesz 基的下界和上界。

小波()t ψ2()L R ∈称为Riesz 小波（Riesz 基称作无条件基，通过Gram-Schmidt 标准正交化Riesz 基可以化成标准正交基），若由它按照/2()2(2)j j jk t t k ψψ=-, j,k ∈Z 生成的离散函数族{()jk t ψ}为Riesz 基。

2.4正交小波与双正交小波根据是否正交，小波可以分为正交小波、半正交小波、非正交小波和双正交小波。

（1）若其生成的离散小波族{()jk t ψ：j,k ∈Z }满足正交条件,()()jkmn j m k n ψψδδ〈〉=-- ，,,,j m k n Z ∀∈则Riesz 小波()t ψ称作正交小波。

（2）若()t ψ及其对偶~()t ψ生成的小波族()jk t ψ和~()jk t ψ是“双正交的”Riesz 基，即~,()()jkmn j m k n ψψδδ〈〉=-- ，,,,j m k n Z ∀∈则Riesz 小波()t ψ称作双正交小波。

上面定义的正交实际上是单个函数自身的正交，而双正交指两个函数之间的正交性。

注意，双正交小波并不涉及()t ψ和()jk t ψ自身的正交性。

正交小波一定是双正交小波，但是双正交小波不一定是正交小波。

2.5多分辨分析，尺度函数、小波函数的双尺度方程多分辨分析又叫多分辨逼近、多尺度分析，多分辩分析的生成元()t φ习惯称为尺度函数。

多分辨分析的主要目的是利用尺度函数构造所需要的小波。

在多分辨分析中，尺度函数()t φ和它的整数时间平移服从”单位分解”式()1,k t k t R φ∞=-∞-=∀∈∑还要满足尺度函数容许条件 (0)()1t dt φ∞-∞Φ==⎰跨尺度的尺度函数()t φ和(2)t φ的双尺度方程（也称伸缩方程或细化方程）为()()(2)k t g k t k φφ∞=-∞=-∑或等价写作()()()2k tg k t k φφ∞=-∞=-∑式中g(k)是生成尺度函数的滤波器G(w)的冲激响应。

()jw kk G w ∞-=-∞=∑可以证明G(w)是一个周期为2π的周期函数，滤波器G(w)是一个低通滤波器。

而基小波()t ψ与尺度函数(2)t φ相关，即满足小波函数的双尺度方程为()()(2)k t h k t k ψφ∞=-∞=-∑式中h(k)是生成小波函数的滤波器H(w)的冲激响应。

()jw kk H w ∞-=-∞=∑可以证明H(w)是一个周期为2π的周期函数，滤波器H(w)是一个高通滤波器。

标准正交尺度函数的构造定理：令V j (其中j ∈Z)是L 2空间的一多分辨逼近，则存在一个标准正交函数0()t V φ∈使得()jk t φ/22(2)j j t k φ=- , k ∈Z 必须是V j 内的一个标准正交基，其中()t φ为多分辨分析的尺度函数。

2.6正交多分辨分析的信号重构高通滤波器H 和低通滤波器G 组成一个滤波器组，使用其共轭滤波器组（G *，H *）对原始信号进行分解，然后用（G ，H ）重构信号，即得到正交多分辨分析的信号重构。