《选修4-5 不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)

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高中数学选修4-5《不等式选讲》练习题(含详解)

数学选修4-5 不等式选讲[基础训练A 组]一、选择题1．下列各式中，最小值等于2的是（）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+2．若,x y R ∈且满足32x y +=,则3271x y ++的最小值是（ )A ．B ．1+C ．6D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y +>>=++， 11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是( ）A ．AB = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >4．若,,x y a R +∈,且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ )A ．2B ．1 D ．125．函数46y x x =-+-的最小值为（ )A ．2B ．4 D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ )A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-二、填空题1．若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。

2．若0,0,0a b m n >>>>,则b a , a b , m a m b ++， nb n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________.4．设1010101111112212221A =++++++-,则A 与1的大小关系是_____________。

5．函数212()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________.三、解答题1．已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2．解不等式7340x x +--+>3．求证:221a b ab a b +≥++-4．证明：1)1...<+<数学选修4—5 不等式选讲[综合训练B 组]一、选择题1．设,a b c n N >>∈，且ca n cb b a -≥-+-11恒成立,则n 的最大值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2．若(,1)x ∈-∞,则函数22222x x y x -+=-有（）A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1-3．设P =，Q =R =，则,,P Q R 的大小顺序是（ )A ．P Q R >>B ．P R Q >>C ．Q P R >>D ．Q R P >>4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有( )A ．108M ≤ B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤二、填空题1．设0x >，则函数133y x x =--的最大值是__________。

选修4-5__不等式选讲_(1)

【规律方法总结】
1．运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件，切不可用似乎很显然的理
由代替不等式的性质．
2．解绝对值符号里是一次式的不等式，常用零点分段法，其一般步骤是： (1)令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，并把实数集分为若干个区间； (3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们
①|ax＋b|≤c，c<0，x∈∅；c≥0，－c≤ax＋b≤c；
－b－c≤ax≤c－b.a>0，x∈ ；a<0，x∈
②|ax＋b|≥c，c<0，x∈R；c≥0，ax＋b≥c或ax＋b≤－c. a>0，x∈ a<0，x∈ ；
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系
a＞b⇔a－b ＞ 0，a＜b⇔a－b ＜ 0，a＝b⇔a－b ＝ 0.
(4)解法一：当 x<－2 时，原不等式即 1－x－2－x<5，解得－3<x<－2；当－2≤x≤1 时，原不等式即 1－x＋2＋x<5，因为 3<5 恒成立，则－2≤x≤1；当 x>1 时，原不等式即 x－1＋2＋x<5，解得 1<x<2.综上，原不等式的解集为 {x|－3<x<2}．解法二：不等式|x－1|＋|x＋2|<5 的几何意义为数轴上到－2,1 两个点的距离之和小于 5 的点组成的集合，而－2,1 两个端点之间的距离为 3，由于分布在－2 与 1 之间以外的点到－2，1 的距离在－2,1 外部的距离要计算两次，而在－2,1 内部的距离则只计算一次，因 5－3 5－3 此只要找出－2 左边到－2 的距离等于＝1 的点－3，以及 1 右边到 1 的距离等于 2 2 ＝1 的点 2，这样就得到原不等式的解集为{x|－3<x<2}．

新课程标准数学选修4—5 不等式选讲课后习题答案(word版)

新课程标准数学选修4—5 不等式选讲课后习题解答第一讲不等式和绝对值不等式习题1.1 （P9）1、（1）假命题. 假如32>，但是3(1)2(1)⋅-<⋅-. （2）假命题. 假如32>，但是223020⋅=⋅. （3）假命题. 假如12->-，但是22(1)(2)-<-.（4）真命题. 因为c d <，所以c d ->-，因此a c a d ->-. 又a b >，所以a d b d ->-. 因此a c b d ->-. 2、因为22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=> 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+3、（1）因为a b >，10ab >，所以11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a>，即11a b <；（2）因为a b >，0c <，所以ac bc <. 因为c d <，0b >，所以bc bd <. 因此ac bd <.4、不能得出. 举反例如下：例如23->-，14->-，但是(2)(1)(3)(4)-⨯-<-⨯-.5、（1）因为,a b R +∈，a b ≠，所以22a b ≠，即b a a b ≠. 所以2b a a b +>.（2）因为0a b +>>，所以1a b <+所以122ab ab a b ⨯<=+2ab a b <+6、因为,,a b c 是不全相等的正数所以a b +≥b c +≥，c a +≥，以上不等式不可能全取等号.所以（1）()()()8a b b c c a abc +++>=（2）()()()a b b c c a +++++>所以a b c ++>7、因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c d cd +≥，222d a da +≥ 所以22222222()()()()2()a b b c c d d a ab bc cd da +++++++≥+++ 即2222a b c d ab bc cd da +++≥+++8、因为2211112a x a x +≥，2222222a x a x +≥，……，222n n n n a x a x +≥ 所以22222212121122()()2()n n n n a a a x x x a x a x a x +++++++≥+++即112222()n n a x a x a x ≥+++ ，所以11221n n a x a x a x +++≤9、因为2222222222(2)()()02244x y x y x y x y xy x y +++-++--==≥，所以222()22x y x y ++≥. 10222=≥=22≥11、因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，所以2222222223()2()()a b c a b c a b c ++=+++++222222222222()()()()222()()1a b b c c a a b c a b b c c a a b ca b c =++++++++≥+++++=++=所以22213a b c ++≥12、（1）因为,,a b c R +∈，所以3a b c b c a ++≥=，3b c a a b c ++≥= 所以()()9a b c b c ab c a a b c++++≥（2）因为,,a b c R +∈，所以0a b c ++≥>，2220a b c ++≥所以222()()9a b c a b c abc ++++≥= 13、设矩形两边分别为,a b ，对角线为定值d ，则222a b d +=∴222222()22()2a b a b ab a b d +=++≤+=∴a b +≤，2()a b +≤ ∴当且仅当a b =时，以上不等式取等号.∴当矩形为正方形时，周长取得最大值，最大值为因为22222a b d ab +≤=，当且仅当a b =时等号成立所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为22d14、因为222()2h r R +=，所以22244r h R +=.根据三个正数的算术—几何平均不等式，得2222422R r r h =++≥所以，球内接圆柱的体积2V r h π=≤当且仅当222r h =，即r =，h =时，V 取最大值. 15、因为222a b ab +≥，所以2212ab a b ≤+，即2212b a a b ⨯≤+. 由于220min{,}b h a a a b <=≤+，22220min{,}b bh a a b a b <=≤++所以22212b h a a b ≤⨯≤+，从而h ≤习题1.2 （P19）1、（1）()()22a b a b a b a b a a ++-≥++-==（2）2()2a b b a b b a b -+≥-+=+，所以2a b a b b +--≤2、证法一：2212112x xx x x x x x+++==≥=. 证法二：容易看出，无论0x >，还是0x <，均有11x x x x+=+所以112x x x x +=+≥3、（1）()()x a x b a x x b a x x b a b -+-=-+-≥-+-=- （2）因为()()a b x b b a x b b a x b x a -+-=-+-≥-+-=- 所以x a x b a b ---≤-另证：()()x a x b x a x b a b ---≤---=-4、（1）()()()()22A B a b A a B b A a B b εεε+-+=-+-≤-+-<+=（2）()()()()22A B a b A a b B A a b B A a B b εεε---=-+-≤-+-=-+-<+=5、4646(4)(6)2y x x x x x x =-+-=-+-≥-+-= 当且仅当(4)(6)0x x --≥，即[4,6]x ∈时，函数y 取最小值2.6、7、8、（1）5235x -<-< 228x -<< 14x -<<∴原不等式的解集为(1,4)-（2）251x -≤-或251x -≥ 24x ≤或26x ≥ 2x ≤或3x ≥∴原不等式的解集为(,2][3,)-∞+∞ （3）13132x -<+< 1422x -<<84x -<<∴原不等式的解集为(8,4)-（4）2418x -≥ 414x -≥414x -≤-或414x -≥ 43x ≤-或45x ≥ 34x ≤-或54x ≥ ∴原不等式的解集为35(,][,)44-∞-+∞（1）6341x -≤+<-或1346x <+≤ 1035x -≤<-或332x -≤≤ 10533x -≤<-或213x -≤≤ ∴原不等式的解集为1052[,)(1,]333--- （2）9523x -<-≤-或3529x ≤-<1428x -<-≤-或224x -≤-< 47x ≤<或21x -<≤ ∴原不等式的解集为(2,1][4,7)-（1）令30x -=，50x -=得3x =，5x = ①当3x <时354x x -+-+≥2x ≤∴2x ≤②当35x ≤<时 354x x --+≥9、(1,)a ∈+∞第二讲证明不等式的基本方法习题2.1 （P23）1、因为a b >，所以0a b ->. 因此33()a b ab a b ---222222()()()()()()()0a b a ab b ab a b a b a ab b ab a b a b =-++--=-++-=-+>所以33()a b ab a b ->-2、因为ad bc ≠，所以22222()()()a b c d ac bd ++-+（2）令20x -=，30x +=得2x =，3x =- ①当3x <-时234x x -+--≥ 52x ≤-∴3x <-②当32x -≤<时234x x -+++≥ 54≥ ∴32x -≤< ③当2x ≥时234x x -++≥32x ≥∴2x ≥∴原不等式的解集为R（3）令10x -=，20x -=得1x =，2x = ①当1x <时122x x -+-+<12x >∴112x << ②当12x ≤<时 122x x --+< 12< ∴12x ≤< ③当2x ≥时122x x -+-<52x <∴522x ≤<∴原不等式的解集为15(,)22222222222222()(2)()0a c a dbc bd a c a b c d b da dbc =+++-++=->所以22222()()()a b c d ac bd ++>+3、因为a b ≠，所以42242264()a a b b ab a b ++-+4224222222222222424()4()2()(2)(2)(2)()0a ab b a b ab a ba b a b a b a b a b a b a b =++-++=+-+⋅+=+-=->所以42242264()a a b b ab a b ++>+ 4、因为,,a b c 是正数，不妨设0a b c ≥≥>，则()1a b a b -≥，()1b c b c -≥，()1c a ca -≥因为0b c c aaa bc+++>，且222222()()(a b c a bcbcab ccaaba bc a babca bcbc a---------+++==≥所以222a b c b c c a a b a b c a b c +++≥ 习题2.2 （P25）1、因为222252(2)(2)(1)0a b a b a b ++--=-+-≥，所以2252(2)a b a b ++≥-.2、（1）因为2(1)()(1)(1)()()ab a b ab ac bc c a b a c b c ++++++=++++16c a b c ≥⨯= 所以2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥（2）因为3322()()()()()a b a b ab a b a ab b a b ab +-+=+-+-+222()(2)()()0a b a a b b a b a b =+-+=+-≥ 所以33()a b a b ab +≥+，33()b c b c bc +≥+，33()c a c a ca +≥+ 所以3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++ 3、略.4、要证明1110a b b c c a ++>---，即证明111a b b c a c+>--- 因为a b c >>，所以0a c a b ->->，从而110a b a c>>-- 又因为10b c >-，所以111a b b c a c +>---，所以1110a b b c c a ++>---5、要证2m m n +≥()2m nn m m n m n ++≥.因为2()()2m n m n m nm n mn ++++≥= 只需证2()m n n m mn m n +≥，即证22()m n n m mn m n +≥，只需证()1m n mn -≥，不妨设m n ≥，则0m n -≥所以()1m n mn -≥. 所以，原不等式成立.6、要证明()()f a f b a b -<-，即a b <-，即a b <-因为a b ≠，所以只需证a b +<∵a b a b +≤+<∴a b +<，从而原不等式成立.7、22log (1)log (1)[(log (1)log (1)][(log (1)log (1)]a a a a a a x x x x x x --+=-++--+21l o g (1)l o g 1a a x x x -=-+ 又因为01x <<，所以2011x <-<，1011xx-<<+. 所以21log (1)log 01a axx x -->+ 所以22log (1)log (1)0a a x x --+>，即22log (1)log (1)a a x x ->+ 从而log (1)log (1)a a x x ->+8、因为0n >，所以2244322n n n n n +=++≥= 9、因为22221(1)(1)0ab a b a b ---=-->，所以1ab a b ->-习题2.3 （P29）1、因为0,,1a b c <<，根据基本不等式2(1)10(1)()24a a a a -+<-≤= 2(1)10(1)()24b b b b -+<-≤=，2(1)10(1)()24c c c c -+<-≤= 所以31(1)(1)(1)()4a a b b c c -⨯-⨯-≤假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于14，则31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⨯-⨯->这与31(1)(1)(1)()4a ab bc c -⨯-⨯-≤矛盾. 所以(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于14.2、一方面，222211111111234233445(1)n n n ++++>++++⨯⨯⨯+1111111111()()()()233445121n n n =-+-+-++-=-++ 另一方面，222211111111234122334(1)n n n++++<++++⨯⨯⨯-111111111(1)()()()1223341n n n n n-=-+-+-++-=-=-所以，2222111111121234n n n n --<++++<+3、当1n =时，不等式1+++<1<.当2n ≥<<<<所以1<，<，<，……，<所以1(3+4、假设2211(1)(1)9x y--<. 由于,0x y>且1x y+=所以2222221111(1)(1)x yx y x y----=⨯2222(1)(1)(1)(1)(1)(1)111291x x y yx yx y y xx yx yx yx xx x+-+-=⨯++=⨯++=⨯+-=⨯<-得2(21)0x-<，这与2(21)0x-≥矛盾，所以2211(1)(1)9x y--≥5、因为2r h Vπ=（定值）所以，圆柱的表面积222S r rhππ=+22r rh rhπππ=++≥==当且仅当22r rh rhπππ==时，等号成立.所以，当2h r=，即h r==.6、2(1π第三讲柯西不等式与排序不等式习题3.1 （P36）1、函数定义域为[5,6]，且0y≥5y=≤当且仅当=13425x=时，函数有最大值5.2、三维柯西不等式2222222123123112233()()()a a ab b b a b a b a b++++≥++三维三角不等式2221)(z x+≥-3、因为22236x y+≤，所以2x y+≤≤.因此2x y+4、因为221a b+=，所以cos sin1a bθθ+≤=5、因为1a b+=，所以2212121212()()(()ax bx bx ax a b x x x x++≥=+=6、222()(14)(2)1x y x y++≥+=，即2215x y+≥当且仅当12,55x y==时，22x y+有最小值157、2119()(2)22a bb a++≥=当且仅当21ab=（,a b R+∈）时，函数有最小值928、12()()pf x qf x+=12()f px qx=+9、3sin3siny x x=+=+≤=当且仅当tan x=习题3.2 （P41）1、22111111()()39a b ca b c a b c++=++++≥==推广：若12,,,nx x x R+∈，且121nx x x+++=，则212111nnx x x+++≥.证：121212111111()()n n nx x x x x x x x x +++=++++++22n ≥+= 2、因为2222222222224()(1111)()a b c d a b c d +++=++++++ 222(1111)()11a b c d a b c d ≥⋅+⋅+⋅+⋅=+++==所以222214a b c d +++≥ 3、221212111()()n n x x x n x x x ++++++≥+= 4、2221112()a b b c c a a b b c c a ++=++++++++222111()()9a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c aa b c+++=+++++++++++++≥+===++上式中等号不成立，这是由于,,a b c 是互不相等的正数，所以111:::a b b c c a a b c a b a b c b c a b c c a+++≠≠+++++++++.5、因为22222222()(234)(234)10100x y z x y z ++++≥++==，所以22210029x y z ++≥.当且仅当203040,,292929x y z ===时，222x y z ++有最小值10029. 6、因为2221212()(1)111nnx x x n x x x +++++++222121212212()[(1)(1)(1)]111()1n n n n x x x x x x x x x x x x =++++++++++++≥+++=所以222121211111n n x x x x x x n +++≥++++ 习题3.3 （P45）1、由加法交换律及12,,,n c c c 的任意性，不妨假设12n a a a ≤≤≤ ，这不影响题意.由排序不等式，等222112212n n na c a c a c a a a +++≤+++ . 2、由于要证的式子中,,abc 是轮换对称的，所以不妨假设a b c ≤≤. 于是222a b c ≤≤.由排序不等式，得222222a a b b c c a b b c c a ++≥++222222a a b b c c a c b a c b ++≥++两式相加，得3332222()()()()a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 3、由于要证的式子中123,,a a a 是轮换对称的，所以不妨假设123a a a ≥≥. 于是123111a a a ≤≤，233112a a a a a a ≤≤ 由排序不等式，得122331233112231312312111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++≥⋅+⋅+⋅=++ 即122331231312a a a a a a a a a a a a ++≥++ 4、用柯西不等式证明如下：因为2222212123112231()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a -++++++++≥+++所以222212112231n n n n a a a aa a a a a a a -++++≥+++ .用排序不等式证明如下：设120n i i i a a a ≥≥≥> ，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列则12222ni i i a a a ≥≥≥ ，12111ni i i a a a ≤≤≤.由排序不等式知，反序和最小，从而12122222222121231111n nn n i i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a -++++≥⋅+⋅++⋅1212n i i i n a a a a a a =+++=+++所以222212112231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++习题4.1 （P50）1、（1）当1n =时，左边=1，右边=1，所以，左边=右边，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2135(21)k k ++++-= . 当1n k =+时，22135(21)2(1)12(1)1(1)k k k k k ++++-++-=++-=+ .所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，2135(21)n n ++++-=2、（1）当1n =时，左边=1，右边11(11)(211)16=⨯⨯+⨯+=，所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21149(1)(21)6k k k k ++++=++ . 当1n k =+时，2221149(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=++++ 21(1)(276)61(1)(2)[2(1)1]6k k k k k k =+++=++++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，21149(1)(21)6n n n n ++++=++3、（1）当1n =时，左边144=⨯=，右边2124=⨯=，所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1n k k =≥时，命题成立，即21427310(31)(1)k k k k ⨯+⨯+⨯+++=+ . 当1n k =+时，1427310(31)(1)[3(1)1]k k k k ⨯+⨯+⨯+++++++2(1)(1)[3(1)1]k k k k =+++++ 22(1)(44)(1)[(1)1]k k k k k =+++=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+4、（1）当1n =时，因为211211x y x y ⨯-⨯-+=+能被x y +整除，所以命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2121k k x y --+能被x y +整除. 当1n k =+时， 2(1)12(1)12121k k k k x y x y +-+-+++=+2122212122212212212212121222212121()()()()()k k k k k k k k k k k k x x y y x x x y x y y y x xyyy x x x y yy x y x------------=+=+-+=++-=+++-上式前后两部分都能被x y +整除，所以，当1n k =+时命题成立. 由（1）（2）知，2121n n x y --+能被x y +整除.5、凸n 边形有1(3)2n n -条对角线. 下面证明这个命题.（1）当3n =时，三角形没有对角线，即三角形有0条对角线，命题成立.（2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即凸k 边形有1(3)2k k -条对角线.当1n k =+时，凸(1)k +边形的对角线条数为2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，凸n 边形有1(3)2n n -条对角线.6、这样的n 条直线把平面分成的区域数目为1(1)2n nf n =++. 下面证明这个命题.（1）当1n =时，平面被分为112+=个区域，111(11)22f =++=，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即有1(1)2k kf k =++.当1n k =+时，第1k +条直线与前面k 条直线有k 个不同交点即，它被前面k 条直线截成1k +段，其中每一段都把它所在的原区域一分为二，也即使原区域数目增加1k +.于是11(1)1(1)(1)1(2)22k k k k f f k k k k ++=++=++++=++ 2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，对任意正整数n ，命题都成立. 习题4.2 （P53）1、（1）当3n =时，左边11(123)(1)1123=++++=，右边233111=+-=所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即211(12)(1)12k k k k++++++≥+- . 当1n k =+时，111(121)(1)21k k k k ++++++++++22222111111(12)(1)(12)(1)(1)2121111111111(1)(1)(1)2121211111111(1)(1)(1)21223413251221231(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++++++++++≥+-+++++++++++++++>+-+++++++++=+-+++>++=+++-所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对大于2的一切正整数成立. 2、（1）当17n ≥时，有42n n >.①当17n =时，17421310728352117=>=，命题成立. ②假设当(17)n k k =≥时，命题成立，即42k k > 当1n k =+时，14422221k kk k k k k k k k +=⋅>>+>++++=+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于17的正整数成立.（2）当3n ≥时，有1(1)n n n+<.①当3n =时，3164(1)3327+=<，命题成立. ②假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即1(1)k k k+<当1n k =+时，1111(1)(1)(1)111k k k k k ++=+++++ 11(1)(1)11(1)11k k k k k k <+++<++<+ 所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于3的正整数成立.3、（1）当2n =时，212122-<，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222111123k k k -+++<当1n k =+时，2222211111123(1)(1)k k k k k -++++<+++3232221(1)1(1)(1)1k k k k k k k k k k +-++-=<=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对任意大于1的正整数成立. 4、不妨设a b c <<，a b d =-，c b d =+.（1）当2n =时，2222222()()222a c b d b d b d b +=-++=+>，命题成立. （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即2k k k a c b +> 当1n k =+时，1111k k k k k k a c a ac ac c +++++=+-+1()()()2222()22()22k k k k k k kkkkkk k a a c c c a a a c d ca b d c b d b d cb d b d b b+=++-=++>+=-+>-+= 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.5、（1）当1n =时，212(11)22⨯+<<，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2(1)(1)22k k k k a ++<<. 当1n k =+时，2(1)(1)22k k k k a +++<+<21(1)(1)23(1)222k k k k k k a ++++++<<+ 21(1)(2)(2)22k k k k a ++++<<所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立.6、（1）当2n =时，12121212sin()sin cos cos sin sin sin αααααααα+=+<+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即1212sin()sin sin sin k k αααααα+++<+++当1n k =+时，121sin()k k αααα+++++121121121121sin()cos cos()sin sin()sin sin sin sin sin k k k k k k k k αααααααααααααααα++++=+++++++≤++++<++++所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.7、（1）当2n =时，2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222222212121122()()()k k k k a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当1n k =+时，22222222121121()()k k k k a a a a b b b b ++++++++++2222222222222222121212111211()()()()k k k k k k k k a a a b b b a a a b a b b b a b ++++=+++++++++++++++222112211122211221112112211()2()2()k k k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++≥+++++≥+++++=+++所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切不小于2的正整数成立即，222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ .8、（1）21212111()()n n a a a n a a a ++++++≥ （2）①当1n =时，21111a a ⋅=，命题成立. ②假设当(2n k k =≥时，命题成立，即21212111()()k ka a a k a a a ++++++≥ 当1n k =+时，1211211111()()k k k k a a a a a a a a ++++++++++12121121122221111111()()()()111(1)k k k k k ka a a a a a a a a a a a a a k k k ++=+++++++++++++++≥++≥++=+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切正整数成立。

选修4-5——不等式选讲知识点归纳

选修4-5——不等式选讲知识点概括选修 4-5 ——不等式选讲知识点
《选修 4－5不等式选讲》
1、绝对值不等式的性质
4、解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转变为不含绝对值的不等式，解法以下：(6)含有多个绝对值符号的不等式，如
| x a | | x b | c
或
| x a | | x b |c(c 0)
型不等
式有以下三种解法 :
方法 1：利用“零点分段法”求解，表现了分类议论的思想.
方法 2：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形联合
的思想.。

对于形如
| x a | | x b | c(c 0)
或
| x a | | x b | c( c0) 的不等式，利用实数绝对值的几何意
义求解较简易 . ，即不等式能够理解为数轴上到定点A(a )
、
B (b )
的距离之和大于（或小于） c 的点M ( x)的全体.
方法 3：经过结构函数f (x) | x a | | x b|
和
g( x )c , 利用函
数的图象求解 , 表现了函数与方程的思想
5、一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右端化为0，左端化为二次项系数大于零的不等式
ax2bx c 0 ( a0 )或ax2bx c 0 ( a0)
(2)确立对应方程ax2bx c0 的根；
(3)画出对应函数y ax2bx c 的图像的简图；
(4)由图像得出不等式的解集.
( a0 )的图象
两异根
x1x2有两相等实根无实数根( a0)的解集大于在两边
( a0)的解集小于夹中间。

不等式选讲大题及答案()

选修4-5：不等式选讲不等式选讲考点问题解答题：利用基本不等式等主要不等式和绝对值不等式定理，求解或证明有关不等式，包括求已知不等式的解集；根据已知条件列出并求解有关参数的不等式；通过证明有关不等式，解决与不等式有关的问题。

1.（2013全国I 24．）已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+。

（Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（Ⅱ）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围。

2.（2014全国I 24）若,0,0>>b a 且ab b a =+11（I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.3.（2015全国I 24. ）已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.4.（2013全国II 24．）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥． 5.（2014全国II 24.）设函数1()||||(0)f x x x a a a =++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.6.（2015全国II 24. ）设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,>（II ）>a b c d -<-的充要条件.选修4-5：不等式选讲答案1.1．解：（I ）当2()a f x =-时，不等式<g(x)化为21223x x x -+---<0.设函数y=21223x x x -+---，则15,212,1,236, 1.x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示从图像可知，当且仅当x (0,2)∈时，y <0，所以原不等式的解集是{}02x x <<；（II ）当)1,,()1.22a x f x a ⎡∈-=+⎢⎣ 不等式()f x ≤g(x)化为1+a ≤x+3.所以x ≥a-2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立，故22a a -≥-，即43a ≤，所以a 的范围 41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 2.解：（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==.故33a b +≥≥，且当a b ==.所以33a b +的最小值为……5分（II ）由（I）知，23a b +≥≥由于36>，从而不存在,a b ，使得236a b +=. ……10分 3. （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）……10分4．5.解：（I ）()f x 111()2x x a x x a a a a a =++-≥+--=+≥.所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-.当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a 。

高中数学选修4-5不等式选讲导学案及课后作业加答案

第一节不等式和绝对值不等式第一课时不等式基本性质一、知识要点1．实数大小的比较（1）数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的．在数轴上，右边的数总比左边的数．（2）如果a －b ＞0，则；如果a －b ＝0，则；如果a －b ＜0，则 . （3）比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的 2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：（1）如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即 . （2）如果a ＞b ，b ＞c ，那么 .即a ＞b ，b ＞c ⇒ . （3）如果a ＞b ，那么a ＋c > .（4）如果a ＞b ，c >0，那么ac bc ；如果a >b ，c <0，那么ac bc . （5）如果a ＞b ，d c >，那么d b c a +>+ （6）如果0,0>>>>d c b a ，那么bd ac > （7）如果a >b >0，那么a n b n (n ∈N ，n ≥2)．（8）如果a >b >0n ∈N ，n ≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：（1）等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c (或代数式)结果有三种：①c ＞0时得不等式；②c ＝0时得；③c <0时得不等式．（2）a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c >b ＋d ，即两个同向不等式可以相加，但不可以；而a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ，即已知的两个不等式同向且两边为时，可以相乘，但不可以．（3）性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为，并且n ∈N ，n ≥2，否则结论不成立．而当n 取正奇数时可放宽条件，a >b ⇒a n >b n (n ＝2k ＋1，k ∈N)，a >b ⇒n a >nb (n ＝2k ＋1，k ∈N ＋)．二、考点例题考点一实数大小的比较[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，试比较m 和n 的大小．方法规律小结比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等跟踪训练 1．已知a ，b ∈R ，比较44b a +与33ab b a +的大小．2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？考点二不等式的证明[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：e a －c >eb －d.方法规律小结进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．跟踪训练 1．判断下列命题的真假，并简述理由．（1）若a >b ，c >d ，则ac >bd ；（2）若a >b >0，c >d >0，则a c >bd ；（3）若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；（4）若a >b ，则a n ＞b n ，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．2．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b.考点三利用不等式的性质求范围[例3] （1）已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．（2）已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围．方法规律小结求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．跟踪训练 1．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋β2，α－β2的取值范围．2．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．三、课后作业1．设R d c b a ∈,,,，且d c b a >>,，则下列结论正确的是 ( ) A ．d b c a +>+ B ．d b c a ->- C ．bd ac > D ．cb d a > 2．下列不等式成立的是 ( )A ．log 32<log 25<log 23B ．log 32<log 23<log 25C ．log 23<log 32<log 25D ．log 23<log 25<log 32 3．设R b a ∈,,若0>-b a ，则下列不等式正确的是( )A ．0>-a bB ．033<+b a C ．022<-b a D ．0>+b a 4．若11<<<-βα，则下列各式中恒成立的是 ( )A ．02<-<-βαB ．12-<-<-βαC ．01<-<-βαD ．11<-<-βα 5．设11.->>>b a ，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11 C ．2b a > D ．b a 22>6．若0,0<<<<c d a b ，则下列不等式中必成立的是( ) A ．bd ac > B ．dbc a > C ．d b c a +>+ D ．a-c>b-d 7．已知3328,8460<<<<y x ，则y x -的取值范围是 . 8．已知c b a ,,为三角形的三边长，则2a 与ac ab +的大小关系是 . 9．若b a Rc b a >∈,,,，则下列不等式成立的是 (填上正确的序号). ①b a 11< ②22b a > ③1122+>+c b c a ④c b c a > 10．已知{}正实数∈b a ,且b a ≠,比较ba ab 22+与b a +的大小. 11．已知31<+<-b a 且42<-<b a ，求b a 32+的取值范围.12．实数z y x ,,满足122-=+-z y x x 且012=++y x ,试比较z y x ,,的大小.第二课时基本不等式一、知识要点1．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式（1）a 2＋b 2≥2)(2b a +；（2）ab ≤a 2＋b 22；（3）ab ≤(a ＋b 2)2；（4）(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；（5）(a ＋b )2≥4ab .二、考点例题[例1] 已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.方法规律小结用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．跟踪训练 1．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .考点二利用基本不等式求最值 [例2] （1）求当x >0时，f (x )＝2xx 2＋1的值域．（2）设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；（3）已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值方法规律小结在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：（1）首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；（2）其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；（3）利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．跟踪训练 1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( )A ．245B ．285C ．5D ．62．已知x >0，y >0且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值． 3．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，（1）求ab 的取值范围；（2）求a ＋b 的取值范围．考点三利用基本不等式解决实际问题[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完（1）将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？方法规律小结利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．跟踪训练 1．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x 件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？ 2．围建一个面积为3602m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)．（1）将y 表示为x 的函数；（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．三、课后作业1．设+∈R y x ,，且满足404=+y x ，则y x lg lg +的最大值为 ( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．22．设+∈R y x ,且5=+y x ，则yx33+的最小值为 ( ) A ．10 B ．6C ．4D ．183．等比数列{}n a 的各项均为正数，公比1≠q ，设7593,2a a Q a a P =+=，则P 与Q 的大小关系是 ( ) A ．Q P > B ．Q P < C ．Q P = D ．无法确定 4．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a 则 ( ) A ．21≤ab B ．21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a 5．已知在ABC ∆中，2,1==BC B ，则C 的最大值是 ( )A ．6π B ．2π C ．4π D ．3π 6．“1=a ”是“对任意正数12,≥+xax x ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 7．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .8．已知0,0>>b a ，且12=+b a ，则2242b a ab S --=的最大值为 . 9．已知0,0>>y x 且满足6=+y x ，则使不等式m yx ≥+91恒成立的实数m 的取值范围为 . 10．已知y x b a ,,,都是正数,且1=+b a ，求证:xy ay bx by ax ≥++))((11．已知y x R y x b a ,,,,,+∈为变量，b a ,为常数,且y x ybx a b a +=+=+,1,10的最小值为18，求b a , 12．(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由长方形休闲区1111D C B A 和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区1111D C B A 的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). （1）若设休闲区的长和宽的比x C B B A =1111,求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式.（2）要使公园所占面积最小,休闲区1111D C B A 的长和宽应如何设计?第三课时三个数的算术几何不等式一、知识要点1．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的不小于它们的．（1）不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的条件是：，而等号成立的条件是：当且仅当 .（2）定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .（3）三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”． 2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．二、考点例题考点一用平均不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3.方法规律小结（1）不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．（2）运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．跟踪训练 1. 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.2．已知n a a a ,,,21⋅⋅⋅都是正数，且121=⋅⋅⋅n a a a ，求证：n a a a n 3)2()2)(2(21≥+⋅⋅⋅++考点二用平均不等式求最值[例2] （1）求函数y ＝(x －1)2(3－2x )(1<x <32)的最大值．（2）求函数)1()1(42>-+=x x x y 的最小值．方法规律小结（1）利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．（2）应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．跟踪训练 1．设x >0，则f (x )＝4－x －12x 2的最大值为 ( )A ．4－22 B ．4－ 2 C ．不存在 D ．522．已知x ，y +∈R 且42=y x ，试求x ＋y 的最小值及达到最小值时x 、y 的值．考点三用平均不等式解应用题 [例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？方法规律小结本题获解的关键是在获得了k E =·sin θcos2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．跟踪训练 1．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．三、课后作业1．设+∈R z y x ,,且6=++z y x ，则lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( ) A ．(∞-,lg6] B ．(∞-,3lg2] C ．[lg6,+∞) D ．[3lg2,+∞)2．若实数y x ,满足0>xy ，且22=y x ，则2x xy +的最小值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43．若c b a ,,为正数，且1=++c b a ，则cb a 111++的最小值为 ( ) A ．9 B ．8 C ．3 D ．314．已知632=++z y x ，则zyx842++的最小值为 ( ) A ．3B ．2C ．12D ．125．当510≤≤x 时，函数)51(2x x y -=的最大值为 ( ) A ．251 B ．31 C ．6754 D ．无最大值6．设+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，若)11)(11)(11(---=cb a M ，则必有 ( )A ．810<≤MB ．181<≤M C ．81<≤M D ．8≥M7．若0,0>>y x 且42=xy ，则y x 2+的最小值为 . 8．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算,即2ba b a +=*,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是 .9．设正数c b a ,,满足1=++c b a ，则231,231,231+++c b a 的最小值为 . 10．求函数)250()25()(2<<-=x x x x f 的最大值.11．已知y x ,均为正数，且y x >求证：3221222+≥+-+y y xy x x12．如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.第四课时绝对值三角不等式一、知识要点绝对值三角不等式（1）定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当时，等号成立．几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：．②若a ，b 共线，当a 与b 时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 时，|a ＋b |<|a |＋|b |. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.（2）定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |； ②点B 不在A ，C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．二、考点例题考点一含绝对值不等式的判断与证明[例1] 已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .方法规律小结含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明跟踪训练 1．设a 、b 是满足ab <0的实数，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b |2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.考点二绝对值不等式三角形的应用[例2] （1）求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．（2）设a ∈R ，函数)11()(2≤≤--+=x a x ax x f ．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．方法规律小结（1）利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．（2）求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．跟踪训练 1．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________2．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．3．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．三、课后作业1．已知实数b a ,满足0<ab ，下列不等式成立的是 ( )A ．b a b a ->+B ．b a b a -<+C ．b a b a -<-D ．b a b a +<- 2．设1,1<-++b a b aB ．2<-++b a b aC ．2=-++b a b aD ．不能比较大小 3．若关于x 的不等式a x x <++-32的解集为∅,则实数a 的取值范围为( ) A ．(∞-,1] B ．(∞-,1) C ．(∞-,5] D ．(∞-,5)4．不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( ) A ．[1-,4] B ．(∞-,1-]∪[4,+∞) C ．(∞-,2-]∪[5,+∞) D ．[2-,5] 5．若不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 均成立,则实数a 的最大值是 ( ) A ．7 B ．9 C ．5 D ．116．对于实数y x ,，若12,11≤-≤-y x ，则12+-y x 的最大值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．77．已知13)(+=x x f ，若当b x <-1时，有),0(,,4)(+∞∈<-b a a x f ，则b a ,满足的关系为 . 8．若N n x ∈<,5，则下列不等式:①1lg 51lg+<+n n n n x ②1lg 51lg +<+n nn n x ③1lg 51lg+<+n n n n x ④1lg 51lg +<+n nn n x 其中能够成立的有 .(填序号) 9．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解,则实数a 的取值范围是 .10．已知函数41)(,23)(++-=--=x x g x x f ，若函数1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围.11．已知函数1,13)(2<-+-=a x x x x f .求证:)1)((2)()(+<-a f a f x f .12．两个加油站B A ,位于某城市东akm 和bkm 处(b a <),一卡车从该城市出发,由于某种原因,它需要往返B A ,两加油站,问它行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的?第五课时绝对值不等式的解法一、知识要点1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为或，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集 2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．二、考点例题考点一 c b ax ≤+和)0(>≥+c c b ax 型不等式的解法[例1] 解下列不等式：（1）|5x －2|≥8；（2）2≤|x －2|≤4.方法规律小结 |ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法：①当c >0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c . ②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |<c 的解集为∅. ③当c <0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅. 跟踪训练 1．解下列不等式：（1）|3－2x |<9；（2）|x －2x －2|>2x －3x －4；（3）|2x －3x －4|>x ＋1（4）213+<-x x （5）x x ->-213 （6） |2||1|x x -<+ （7）4|23|7x <-≤ （8）01222<---x x x2．已知{23}A x x a =-<，{B x x =≤10}，且A B ⊂≠，求实数a 的范围.考点二 c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法[例2] 解不等式|x －3|－|x ＋1|<1.方法规律小结 |x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况跟踪训练1．解不等式|x －2|－|x ＋7|≤3 2．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 3．解不等式512≥-+-x x 考点三含绝对值不等式恒成立的问题 [例3] 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|>m .（1）若不等式有解；（2）若不等式解集为R ；（3）若不等式解集为∅，分别求出m 的范围．方法规律小结问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )<a 恒成立⇔a x f <max )(，f (x )>a 恒成立⇔a x f >min )(跟踪训练 1．把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的范围．2．把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的范围．3．不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 4．已知关于x 的不等式|x +2|+|x -3|<a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是_________.课堂练习1．.1122>-x 2．01314<--x 3．423+≤-x x . 4．x x -≥+21. 5．1422<--x x 6．212+>-x x . 7．42≥-+x x8．.631≥++-x x 9．21<++x x 10．.24>--x x 11．已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值12．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）13．解关于x 的不等式：① 解关于x 的不等式31<-mx ；② a x <-+132)(R a ∈三、课后作业1．若11+>+x xx x ，则实数x 的取值范围是 ( ) A ．(1-,0) B ．[1-,0] C ．(∞-, 1-)∪(0,∞+) D ．(,∞-1-]∪[0,∞+ 2．若1>a ，则不等式1>+a x 的解集是 ( )A ．{}a x a x -<<-11B ．{}a x a x x ->-<11或 C ．∅ D ．R 3．已知集合{}{}312,0652>-=≤+-=x x B x x x A ，则B A 等于 ( ) A ．[]3,2 B ．[)3,2 C ．(]3,2 D ．)3,1(- 4．若规定bc ad dc b a -=，则不等式0111log2<x的解集为 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0, 2)D ．(0,1)∪(1,2)5．不等式a xax >-1的解集为M ，且M ∉2，则a 的取值范围为 ( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 6．已知)2(log ax y a -=在(0,1)上是增函数,则不等式3log 1log ->+x x a a 的解集为 ( ) A ．{}1-<x x B ．{}1<x x C ．{}11-≠<x x x 且 D ．{}1>x x7．设2,,>-∈b a R b a ，则关于实数x 的不等式2>-+-b x a x 的解集是 . 8．在实数范围内,不等式112≤--x |的解集为 .9．若关于x 的不等式0212<++-a x ax 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 10．已知R a ∈，设关于x 的不等式4232+≥++-x x a x 的解集为A （1）若1=a ，求A（2）若R A =，求a 的取值范围.11．已知实数b a ,满足：关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对一切R x ∈均成立. （1）请验证8,2-=-=b a 满足题意.（2）求出所有满足题意的实数b a ,，并说明理由.（3）若对一切2>x ，均有不等式15)2(2--+≥++m x m b ax x 成立,求实数m 的取值范围. 12．已知关于x 的不等式1+>ax a 的解集为{}0≤x x 的子集,求a 的取值范围.第二节证明不等式的基本方法第一课时比较法一、知识要点1．作差比较法（1）作差比较法的理论依据a －b >0⇔ ，a －b <0⇔ ，a －b ＝0⇔ . （2）作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等． 2．作商比较法（1）作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b >0，若，则a >b ；若则a b .（2）作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 符号；②作商；③变形整理；④判定；⑤得出结论．二、考点例题考点一作差比较法证明不等式[例1] 设△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，求证：2)()(4c b a ac bc ab ++>++方法规律小结（1）作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．（2）变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．（3）因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．跟踪训练 1．求证：)1(222--≥+b a b a2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，求证：)(2))((11+++≤++n n nnb ab a b a考点二作商比较法证明不等式 [例2] 设a >0，b >0，求证：2)(b a baab b a +≥方法规律小结当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．跟踪训练 1．设0>>b a ，求证：b a ba ba b a +->+-2222.2．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证422466b a b a b a +>+考点三比较法的实际应用[例3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？方法规律小结应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．跟踪训练5．某人乘出租车从A 地到B 地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？三、课后作业1．设m b a ,,都是正数,且b a <,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．1<++<m b m a b a B ．m b m a b a ++≥ C ．1≤++≤m b m a b a D ．bam b m a <++<12．“1>a ”是“11<a”的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设b a B b a A R b a +=+=∈+,,,，则B A ,的大小关系是 ( )A ．B A ≥ B ．B A ≤C ．B A >D ．B A <4．已知下列不等式：①x x 232>+;②322355b a b a b a +>+;③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．设0,0>>b a ，下列不等式中不正确的是 ( )A ．ab b a 222≥+ B ．2≥+b a a b C ．b a b a a b +≥+22D ．ba b a +≤+111 6．在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中，313311,0,0a a b a b a ≠>=>=则5a 与5b 的大小关系为 ( ) A ．55b a > B ．55b a < C ．55b a = D ．不确定 7．已知xc x b x a x -=+==<<11,1,2,10，则其中最大的是 . 8．若x 是正数，且23=-x x ，则x 与45的大小关系为 .9．设)0,0(2,2121>>+=+=b a ba Bb a A 则B A ,的大小关系为 .10．已知0,0>>b a ，求证：b a ab ba +≥+11．若n m b a ,,,都为正实数，且1=+n m 求证：b n a m nb ma +≥+12．已知函数b ax x x f ++=2)(，当q p ,满足1=+q p 时,证明：)()()(qy px f y qf x pf +≥+对于任意实数y x ,都成立的充要条件是10≤≤p .第二课时综合法与分析法一、知识要点1．综合法（1）证明的特点：综合法又叫顺推证法或法，是由和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推出所要证明的结论成立．（2）证明的框图表示：用P 表示已知条件或已有的不等式，用Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→……→Q n ⇒Q2．分析法（1）证明的特点：分析法又叫逆推证法或法，是从要证明的不等式出发，逐步寻找使它成立的条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个已知或明显成立的不等式为止．（2）证明过程的框图表示：用Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 1⇐P 3→……→得到一个明显成立的条件二、考点例题[例1] 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9.方法规律小结综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键跟踪训练 1．已知a ，b ，c ∈R ＋，证明不明式：a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．2．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca .考点二用分析法证明不等式[例2] 已知x >0，y >0，求证31332122)()(y x y x +>+方法规律小结（1）当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．（2）分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．跟踪训练 1．求证：3＋7<2 52．a ，b ∈R ＋，且2c >a ＋b .求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .考点三综合法和分析法的综合应用[例3] 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：a ＋1＋b ＋1≤ 6.方法规律小结（1）通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．（2）有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．跟踪训练1．已知a ，b ，c 都是正数，求证：2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 3－3abc . 三、课后作业。

第三讲不等式选讲(选修4-5)

第三讲不等式选讲(选修4－5)1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.当且仅当“a ＝1”时等号成立，所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. 2．(2014·辽宁高考)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞)，1－x ，x ∈(－∞，1).当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1. 所以f (x )≤1的解集为M ＝.(2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4，得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34. 因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤ x ≤ 34，故M ∩N ＝.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是 x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14.3．(2014·江苏高考)已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明：因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .4．(2013·福建高考)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32. 又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.1．绝对值不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c (c >0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c .(2)|ax ＋b |≥c (c >0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3．|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想． (2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．(3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想． 4．证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法． 5．二维形式的柯西不等式若a ，b ，c ，d ∈R ，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．热点一绝对值不等式的求解[例1] (2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． [师生共研] (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6， x ≤2，2， 2<x <4，2x －6， x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ， x ≤0，4x －2a ， 0<x <a ，2a ， x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法(1)若c >0，则|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的取值求解即可；(2)若c <0，则|ax＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法 (1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．1．已知函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，求不等式f (x )>5x ＋1的解集．解：由f (x )>5x ＋1化简可得|2x －a |>1，即2x －a >1或2x －a <－1，解得x <a －12或x >a ＋12，所以不等式f (x )>5x ＋1的解集为xx <a －12或x >a ＋12.热点二与绝对值不等式有关的参数范围问题(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[师生共研](1)当a＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x <4，2x －4，x ≥4，∴f (x )min ＝4.(2)f (x )≥4a ＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a≤4.当a <0时，上式成立；当a >0时，a ＋4a ≥2a ·4a ＝4，当且仅当a ＝4a ，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a ≤4成立．综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．1．解决含参数的绝对值不等式问题，常用以下两种方法： (1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f (x )的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．2．解答此类问题应熟记以下转化：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .2．已知函数f (x )＝|2x ＋3|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|m －1|的解集非空，求实数m 的取值范围．解：法一：(1)原不等式为：|2x ＋3|＋|2x －1|≤6，当x ≤－32时，原不等式可化为－4x －2≤6，即－2≤x ≤－32；当－32<x <12时，原不等式可化为4≤6，恒成立，即－32<x <12；当x ≥12时，原不等式可化为4x ＋2≤6，即12≤x ≤1， ∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤1}． (2)由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －2，x ≤－32，4，－32<x <12，可得函数y ＝f (x )的最小值为4，4x ＋2，x ≥12，∴|m －1|>4，解得：m <－3或m >5. 法二：(1)依据绝对值的几何意义得－4≤2x ≤2，故－2≤x ≤1， ∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤1}． (2)由绝对值的几何意义可知，f (x )min ＝4，∴|m －1|>4，解得：m <－3或m >5.热点三不等式的证明(1)求1x ＋1y ＋1z的最小值；(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2<9.[师生共研] (1)因为x ＋y ＋z ≥33xyz >0，1x ＋1y ＋1z ≥33xyz>0，所以(x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＋1y ＋1z取值最小值3. (2)x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2＋(x 2＋y 2)＋(y 2＋z 2)＋(z 2＋x 2)3≥x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )3＝(x ＋y ＋z )23＝3.又x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )<0，所以3≤x 2＋y 2＋z 2<9.不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法．其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式与柯西不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式．证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．3．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.证明：∵x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2(当x 1＝x 2＝x 3时取等号)， ∴x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.热点四不等式的综合应用[例4](2014·新课标全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．[师生共研](1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥4 3.由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.基本不等式和柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用基本不等式时应注意其条件“一正、二定、三相等”；运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑，构造出柯西不等式的形式．4．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－3|，f(x)的最小值为m.(1)求m的值；(2)当a＋2b＋3c＝m(a，b，c∈R)时，求a2＋b2＋c2的最小值．解：(1)法一：f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1.故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.法二：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－7，x≥4，1，3≤x＜4，7－2x，x<3.当x≥4时，f(x)≥1；当x<3时，f(x)＞1；当3≤x＜4时，f(x)＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.(2)(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2＝1，故a2＋b2＋c2≥114，当且仅当a＝114，b＝17，c ＝314时取等号．1．(2014·忻州模拟)已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．(1)求m＋n的值；(2)若|x－a|<m，求证：|x|<|a|＋1.解：(1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1得1≤x≤2，∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.(2)若|x－a|<1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|<|a|＋1.2．(2014·洛阳模拟)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若不等式f (x )≤|a －2|的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，当x ≤－1时，f (x )≥2不成立；当－1<x <2时，由f (x )≥2得，2x －1≥2，∴32≤x <2；当x ≥2时，f (x )≥2恒成立．∴不等式f (x )≥2的解集为⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(2)∵f (x )＝|x ＋1|－|x －2|≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|a －2|≥3， ∴a ≥5或a ≤－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞)． 3．(2014·福建高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3. 4．(2014·山西四校联考)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|. (1)求函数y ＝f (x )的最小值；(2)若f (x )≥ax ＋a 2－72恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎨⎧－x －4⎝⎛⎭⎫x <－12，3x －2⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤3，x ＋4(x >3)，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减，在－12，＋∞上单调递增．所以当x ＝－12时，y ＝f (x )取得最小值，此时f (x )min ＝－72.(2)由(1)及g (x )＝ax ＋a 2－72可知y ＝g (x )的图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，－72，由图象可知－1≤a ≤1.5．(2014·东北三校联考)已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1. (1)求证：|a ＋b ＋c |≤3；(2)若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)由柯西不等式得，(a ＋b ＋c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)＝3， ∴－3≤a ＋b ＋c ≤3， ∴|a ＋b ＋c |≤ 3.(2)(a －b ＋c )2≤[12＋(－1)2＋12](a 2＋b 2＋c 2)＝3，若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，则|x －1|＋|x ＋1|≥3，其解集为－∞，－32∪32，＋∞.故所求x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 6．(2014·昆明模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)若关于x 的不等式f (x )<|1－2a |的解集不是空集，求实数a 的取值范围；(2)若关于t 的一元二次方程t 2＋26t ＋f (m )＝0有实根，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4， ∴|1－2a |>4，∴a <－32或a >52，∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)Δ＝24－4(|2m ＋1|＋|2m －3|)≥0，即|2m ＋1|＋|2m －3|≤6，∴不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >32，(2m ＋1)＋(2m －3)≤6或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤m ≤32，(2m ＋1)－(2m －3)≤6或⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，－(2m ＋1)－(2m －3)≤6， ∴32<m ≤2或－12≤m ≤32或－1≤m <－12， ∴实数m 的取值范围是{m |－1≤m ≤2}．。

选修4-5[不等式选讲]知识点不等式选讲知识点

选修4-5[不等式选讲]知识点不等式选讲知识点高中数学选修4--5知识点①（对称性）b a②（传递性）a b,b c a c③（可加性）a b a c b c（同向可加性）a b,c d a c b d（异向可减性）a b,c d a c b d④（可积性）a b,c0ac bca b,c0ac bc⑤（同向正数可乘性）a b0,c d0ac bd （异向正数可除性）a b0,0c d ac bd⑥（平方法则）a b0an bn(n N,且n1)⑦（开方法则）a b0n N,且n1) ⑧（倒数法则）a b01a1b;a b011a b 2b22ab a，b R,（当且仅当a b时取""号）. ab a2①a b22.②（基本不等式）a b2a，b R,（当且仅当a b时取到等号）.2ab a b2.用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要留意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）a b c3(a、b、c R)（当且仅当a b c时取到等号）.④a2b2c2ab bc ca a，b R（当且仅当a b c时取到等号）.⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)（当且仅当a b c时取到等号）.⑥若ab0,则ba ab2（当仅当a=b时取等号）若ab0,则ba ab2（当仅当a=b时取等号）⑦ba b ma m1a nb n ab，（其中a b0，m0，n0)规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧当a0x a x2a2x a或x a;x a x2a2a x a. ⑨绝对值首鱼不等式a b a b a b.2a b①平均不等式：a1b12（a,b R，当且仅当a b时取""号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：222ab a b a b(a b)222; a2b2 2. ②幂平均不等式：a221a2...a2n1n(a1a2...an)2.③二维为形式的三角不等式：(x1,y1,x2,y2R).④二维表达方式的柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(ac bd)2(a,b,c,d R).当且仅当ad bc时，等号成立.⑤三维为形式的柯西不等式：(a221a2a23)(b21b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2.⑥一般形式的柯西不等式：(a21a22...a2n)(b21b22...b2n)(a1b1a2b2...anbn)2.⑦向量性质的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）：设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn 是b1,b2,...,bn的任一排列，则a1bn a2bn1...anb1a1c1a2c2...ancn a1b1a2b2...anbn.（反序和乱序和顺序和），当且仅当a1a2...an 或b1b2...bn时，反序和约等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有f(x1x2f(x1)f(x1x2f(x1)f(x2)则称f(x)为凸（或凹）函数. 2)2)2或f(x2) 2.4 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如(a1)2324(a12)2;②将分子或分母拉高（缩小），如11k2k(k1), 1k21k(k1),k N*,k1)等.5求一元二次不等式ax2bx c0(或0)(a0,b24ac0)解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：来判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.6、高次不等式的解法：穿根法. ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7f(x)g(x)0f(x)g(x)0f(x) （“或”时同理） g(x)0f(x)g(x)0g(x)08a(a0)f(x)0f(x)a2a(a0)f(x)0f(x)a2f(xg(x))0g(x)0或f(x)0f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)g(x)0g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)g(x)0 f(x)g(x)9、指数不等式的解法：⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)⑵当0a1时, af(x)ag(x)f(x)g(x) 规律：根据指数函数的性质转化.10f(x)0⑴当a1时, logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0⑵当0a1时, logaf(x)logag(x)g(x)0. f(x)g(x)11⑴定义法：a a(a0)a(a0). ⑵平方法：f(x)g(x)f2(x)g2(x). ⑶同解变形法，其同解定理有：①x a a x a(a0);②x a x a或x a(a0);③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0) 12 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13解形如ax2bx c0且不含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14⑴不等式ax bx c0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0; 2②当a0时2a0 0.⑵不等式ax bx c0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;②当a0时a0 0.⑶f(x)a恒成立f(x)max a;f(x)a恒成立f(x)max a;⑷f(x)a恒成立f(x)min a;f(x)a恒成立f(x)min a.15⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线Ax By C0的同一侧的所有一端点后的坐标代入Ax By C后所得的导数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)（如原点），由Ax0By0C的正负即可来判断出Ax By C0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据Ax By C0(或0)，观察B的符号与等式翘起开口的符号，若同号，Ax By C0(或0)则表示圆周上方的区域；若异号，则则表示圆周上方的区域.⑵二元一次不等式组所表示的那次投影区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数z Ax By(A,B为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By （x、y即为公共区域圆心的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将坐标系这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为既定目标函数z的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:Ax By0 ，平移直线l0（据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x,y)；第四步，将最优解(x,y)代入目标函数z Ax By即可求出最大值或最小值 .第二阶段中最优解的确定确定方法：利用z的几何意义：y Azzx,为直线的纵截距. BBB①若B0,则使目标函数z Ax By所表示直线的纵截距最大的角点直角处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；②若B0,则使目标函数z Ax By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.①“截距”型：z Ax By; ②“斜率”型：z yy b; 或z xx a22③“距离”型：z xy或zz(x a)2(yb)2或z在求该“三型”的首要目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使结构性问题简单化.。

选修4-5 不等式选讲

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2，解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解；当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立；当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2，解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]． 2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|，两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0，解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4.由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.考点二绝对值不等式性质的应用[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解] (1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法] 绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|≤|x ＋2 019－x ＋2 018|＝4 037，所以函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值为4 037. 2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三绝对值不等式的综合应用[典例] (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)． [解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||； ③利用零点分区间法． [题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，显然满足题意，当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－114，0. [课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6.解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立；当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]． 4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤0，12. (2)因为f (x )＝⎩⎨⎧(3＋a )x ＋2，x ≥13，(a －3)x ＋4，x <13，所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a －3≤0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>－x ；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a 2－2a 的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于f (x )＋x ＞0，不等式f (x )＋x >0可化为|x －2|＋x >|x ＋1|，当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1；当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1；当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3，综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <1或x >3}． (2)由不等式f (x )≤a 2－2a 可得|x －2|－|x ＋1|≤a 2－2a ，∵|x －2|－|x ＋1|≤|x －2－x －1|＝3，当且仅当x ∈(－∞，－1]时等号成立， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0，解得a ≤－1或a ≥3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|.(1)若a ＝2，求不等式f (x )＞x ＋2的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ＜－1，3，－1≤x ＜2，2x －1，x ≥2，不等式f (x )＞x ＋2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜2，3＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＞x ＋2，解得x ＜1或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．(2)∵f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，当(x －a )(x ＋1)≤0时取等号． ∴若关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，只需|a ＋1|＜2，解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，1≤3或 ⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]． (2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.第二节不等式的证明一、基础知识1．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．(3)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．考点一比较法证明不等式[典例] 已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2，得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2，得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2 ＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |. [题组训练]1．当p ，q 都是正数且p ＋q ＝1时，求证：(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2. 解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋q 2y 2＋2pqxy －(px 2＋qy 2) ＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立． 2．求证：当a >0，b >0时，a a b b≥(ab )+2a b .证明：∵a ab b(ab )+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b -2a b ，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b -2a b ＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，∴a a b b≥(ab )+2a b.考点二综合法证明不等式[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)∵(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，∴(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[解题技法] 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．[题组训练]1．设a ，b ，c ，d 均为正数，若a ＋b ＝c ＋d ，且ab >cd ，求证：a ＋b >c ＋d . 证明：因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd . 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此 a ＋b >c ＋d .2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6，解得－1<x <9，∴m ＝－1，n ＝9.(2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0， ∴⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16，当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，∴1x ＋1y ≥16，即x ＋y ≥16xy . 考点三分析法证明不等式[典例] (2019·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解] (1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2，得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)，即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论． (2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语． [题组训练]1．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，∴只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，即证2a 2－ab －b 2>0，即证(a －b )(2a ＋b )>0，即证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0， ∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立． 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )＞f (a )－f (－b )．解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2，此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |，即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[课时跟踪检测]1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B 为锐角．证明：要证∠B 为锐角，只需证cos B >0，所以只需证a 2＋c 2－b 2>0，即a 2＋c 2>b 2，因为a 2＋c 2≥2ac ，所以只需证2ac >b 2，由已知得2ac ＝b (a ＋c )．所以只需证b (a ＋c )>b 2，即a ＋c >b ，显然成立．所以∠B 为锐角．2．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4； (2)若a ，b 满足(1)中不等式，求证：2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.解：(1)当x <－3时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1－x －3＝－2x －4<4，解得x >－4，所以－4<x <－3；当－3≤x <－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1＋x ＋3＝2<4恒成立，所以－3≤x <－1；当x ≥－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝x ＋1＋x ＋3＝2x ＋4<4，解得x <0，所以－1≤x <0. 综上，不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4的解集为{x |－4<x <0}． (2)证明：因为4(a －b )2－(ab ＋2a ＋2b )2 ＝－(a 2b 2＋4a 2b ＋4ab 2＋16ab ) ＝－ab (b ＋4)(a ＋4)<0，所以4(a －b )2<(ab ＋2a ＋2b )2，所以2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.4．(2018·武昌调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求证：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x >2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}． (2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.5．(2019·西安质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，∴f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝(t －3)(t 2＋1)t ，∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴(t －3)(t 2＋1)t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .6．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9，x <32，－x ＋3，32≤x ≤2，5x －9，x >2.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知，f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115. (2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1，由基本不等式可知a ＋b2≤ a ＋b2＝ 14＝12，当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 7．已知函数f (x )＝|2x －1|－⎪⎪⎪⎪x ＋32. (1)求不等式f (x )<0的解集M ；(2)当a ，b ∈M 时，求证：3|a ＋b |<|ab ＋9|.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧52－x ，x <－32，－3x －12，－32≤x ≤12，x －52，x >12.当x <－32时，f (x )<0，即52－x <0，无解；当－32≤x ≤12时，f (x )<0，即－3x －12<0，得－16<x ≤12；当x >12时，f (x )<0，即x －52<0，得12<x <52.综上，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－16<x <52. (2)证明：要证3|a ＋b |<|ab ＋9|，只需证9(a 2＋b 2＋2ab )<a 2b 2＋18ab ＋81，即证a 2b 2－9a 2－9b 2＋81＞0，即证(a 2－9)(b 2－9)＞0.因为a ，b ∈M ，所以－16<a <52，－160，所以3|a ＋b |<|ab ＋9|.8．已知函数f (x )＝m －|x ＋4|(m >0)，且f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 都是正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)法一：依题意知f (x －2)＝m －|x ＋2|≥0，即|x ＋2|≤m ⇔－m －2≤x ≤－2＋m .由题意知不等式的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，－2＋m ＝－1，解得m ＝1.法二：因为不等式f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]，所以－3，－1为方程f (x －2)＝0的两根，即－3，－1为方程m －|x ＋2|＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －|－3＋2|＝0，m －|－1＋2|＝0，解得m ＝1.(2)证明：由(1)可知1a ＋12b ＋13c＝1(a ，b ，c >0)，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c2b ≥9，当且仅当a ＝2b ＝3c ，即a ＝3，b ＝32，c ＝1时取等号。

选修4-5 不等式经典练习(含解析)

选修4-5 不等式经典练习（含解析）知识点一：不等式的解法知识点二：绝对值三角不等式例1 已知函数()()6f x x m x m R =+--∈．（1）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）{}|1x x ≥；（2）[]13,1-. 【解析】试题解析：（1）当3m =时，()5f x ≥即635x x +--≥， ①当6x <-时，得95-≥，所以x φ∈；②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤； ③当3x >时，得95≥，成立，所以3x >．故不等式()5f x ≥的解集为{}|1x x ≥．（2）因为666x m x x m x m +--≤++-=+，由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，解得131m -≤≤，故m 的取值范围是[]13,1-．课堂练习：已知函数()13f x x x =-++．（1）解不等式()8f x ≥；（2）若不等式()23f x a a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|5,3x x x ≤≥或（2）()(),14,-∞-+∞【解析】试题解析：（1）()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-；当31x -≤≤时，()8f x ≥，不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥．所以不等式()8f x ≥的解集为{}|5,3x x x ≤≥或（2）∵()134f x x x =-++≥，∴()min 4f x =，又不等式()23f x a a<-的解集不是空集，所以，234a a ->，所以41a a ><-或，即实数a 的取值范围是()(),14,-∞-+∞例2．设函数()212f x x x =+--.（1）求不等式()2f x >的解集；（2）若()211,2x R f x t t ∀∈≥-恒成立,求实数t 的取值范围. 【答案】（1）{}|15x x x ><-或；（2）1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题解析：（1）由题意得()13,2131,223,2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪+≥⎪⎪⎩,当12x <-时,不等式化为32x -->,解得5x <-,5x ∴<-，当122x -≤<时,不等式化为312x ->,解得1,12x x >∴<<,当2x ≥时,不等式化为32x +>,解得1,2x x >-∴≥,综上,不等式的解集为{}|15x x x ><-或. （2）由（1）得()2min 51122f x t t =-≥-,解得152t ≤≤,综上,t 的取值范围为1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：解绝对值不等式，不等式恒成立．课堂练习：2.设函数()235f x x x =-+-．（1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围．【答案】（1）4|53x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或；（2）72a >. 【解析】试题分析：（1）运用分类整合的方法去掉绝对值求解；（2）借助题设条件和不等式恒成立的等价条件求解.试题解析:（1）由题意：()38,532,52383,2x x f x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩．①∴()4f x ≥解得：5x ≥或43x ≤，所以不等式的解集为：4|53x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或．（2）由题意：()min a f x >，由（1）式可知：5x ≥时，()37,52f x x ≥<<时()72f x >，32x ≤时，()72f x ≥， ∴()min 72f x =∴a 的范围为：72a >．考点：绝对值不等式及有关知识的运用．例3．已知函数()2f x x a x =++-. （1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若|4|)(-≤x x f 的解集包含[]1,2，求a 的取值范围. 【答案】（1）{x|x≤1，或x≥4}；（2）[－3，0]．【解析】试题分析：（1）当3a =-时，用分段函数的形式表示出函数)(x f 的解析式，并分三种情况对其进行讨论，得出相应的不等式的解集，最后可得出该不等式的解集即可；（2）首先将问题()4f x x ≥-的解集包含[]1,2转化为.当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|，进而转化为－2－a≤x≤2－a ，由集合间的包含关系可得出证明.试题解析：（1）当a ＝－3时，25,2,()1,2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}.（2）f （x ）≤|x－4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|⇔4－x －（2－x ）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a 的取值范围是[－3，0].考点：1.含绝对值的不等式的解法；2.集合的包含关系. 课堂练习：3.设()13f x x x =--+.（1）解不等式()2f x >；（2）若不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立, 求实数k 的取值范围. 【答案】（1）{}|2x x <-（2）1k ≤-【解析】试题解析：（1）()13f x x x =--+,所以当3x ≤-时,()1342,3f x x x x =-+++=>∴≤-, 满足原不等式；当31x -<<时,()1322f x x x x =-+--=--, 原不等式即为222x -->,解得2,32x x <-∴-<<-满足原不等式；当1x ≥时,()1342,1f x x x x =---=-<∴≥ 不满足原不等式综上原不等式的解集为{}|2x x <-.（2）当[]3,1x ∈--时,()1322f x x x x =-+--=--, 由于原不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立,221x kx ∴--≤+, 在[]3,1x ∈--上恒成立,[]()323,1k x x∴≤--∈--, 设()32g x x=--,易知()g x 在[]3,1x ∈--上为增函数,()[]()113,1,1g x x k ∴-≤≤∈--∴≤-.例4已知函数()|2||1|f x x x =+--．（Ⅰ）若()f x b ≥恒成立，求b 的取值范围;（Ⅱ）设()233()0ax x g x a x -+=>，若对()0,s ∀∈+∞， (),t ∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围．【答案】（I ）3b <-；（II ）[3,)+∞．【解析】试题解析：（I ）∵||2||1|||(2)(1)|3x x x x +--≤+--=，∴3|2||1|3x x -≤+--≤， ∴()f x 的值域为[]3,3-,故3b <-．（II ）若0,x>()3g x ≥，当且仅当23ax =时取得等号．又由（I ）知()f x 的最大值为3，若对(0,),(,)s t ∀∈+∞∀-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，即33≥，解得3a ≥，故实数a 的取值范围是[3,)+∞．考点：1、绝对值不等式的性质；2、恒成立问题．∴949m -≤+≤，∴135m -≤≤课堂练习4．已知函数()2f x x =-. （1）解不等式：()(21)6f x f x ++≥；（2）已知1(,0)a b a b +=>，且对于41,()()x R f x m f x a b∀∈---≤+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)[)(,1]3,-∞-+∞；(2)135m -≤≤.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用绝对值的定义分类求解；(2)借助题设条件运用绝对值的几何意义与基本不等式求解. 试题解析：（1）133,21()(21)|2||21|1,2233,2x x f x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，当12x <时，由336x -≥，解得1x ≤-；当122x ≤≤时，16x +≥不成立；当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥．所以不等式()6f x ≥的解集为[)(,1]3,-∞-+∞．（2）∵1,0)a b a b +=>（，∴41414)()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=（ ∴对于x R ∀∈，41()()f x m f x a b---≤+恒成立等价于：对x R ∀∈，229x m x -----≤，即max 229x m x ⎡-----⎤≤⎣⎦∵()222(2)=4x m x x m x m -----≤---+--课后作业：1.已知函数()|21||2|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若不等式|1|()3|2|m f x x +≥+-有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）(][),64,-∞-+∞【解析】试题解析：（Ⅰ）不等式()0f x >，即2+120x x -->，由不等式2+12x x >-两边平方化简得：()()3130x x -+> 解得：3x <-或13x >，所以不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.（Ⅱ）由条件知，不等式()1+32m f x x +≥-有解，即121+24m x x +≥+-有解.设()21+24g x x x =+-，则问题可转化为()min 1m g x +≥，而()21+2421245g x x x x x =+-≥+-+=，由15m +≥解得：6m ≤-或4m ≥ ，所以a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞.考点：绝对值不等式的解法2.设函数|2||12|)(+--=x x x f（Ⅰ）解不等式0)(>x f ；（Ⅱ）若0x R ∃∈，使得m m x f 42)(20<+，求实数m 的取值范围。

苏教版高中数学知识点整理★选修4-5_不等式选讲

选修4-5 不等式选讲一、不等式的基本性质 1.（对称性）a>b ⟺b>a2.（传递性）a>b ，b>c ⇒a>c3.（可加性）a>b ⇔a+c>b+c4.（同向可加性）a>b ，c>d ⇒a+c>b+d5.（异向可减性）a>b ，c<d ⇒a-c>b-d6.（可积性）a>b ，c>0⇒ac>bca>b ，c<0⇒ac<bc7.（同向正数可乘性）a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 8.（异向正数可除性）a>b>0,0<c<d ⇒a c <bd 9.（平方法则）a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ，且n>1) 10.（开方法则）a>b>0⇒ a n> b n(n ∈N ，且n>1) 11.（倒数法则）a>b>0⇒1a >1b二、几个重要不等式1.完全平方不等式：a 2+b 2≥2ab(a ，b ∈R)（当且仅当a=b 时取"" 号），变形公式：ab≤a 2+b 222.轮换不等式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca (a ，b ∈R)（当且仅当a=b=c 时取到等号）3.黄金不等式：a 3+b 3+c 3≥3abc (a,b,c>0)（当且仅当a=b=c 时取到等号）证明：a 3+b 3+c 3−3abc =12(a +b +c ) (a −b )2+(b −c )2+(c −a )2 ≥0 4.基本不等式：a +b 2≥ ab (a ，b ∈R +)（当且仅当a=b 时取到等号）；变形公式：a+b≥2 ab ，ab≤(a +b )22；5.倒数不等式：若ab>0，则ba +ab ≥2（当仅当a=b 时取等号）；若ab<0，则b a +ab ≤-2（当仅当a=b 时取等号）。

选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式

第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集(2)|ax＋①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类计论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|x －2|＞x －2的解集是________．解析：原不等式同解于x －2＜0，即x ＜2. 答案：x ＜22．已知|x －a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}，则实数a 等于________．解析：由|x －a |＜b 得a －b ＜x ＜a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4，解得a ＝3，b ＝1.答案：33．若不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为________．解析：据题意可得|8x ＋9|＜7⇒－2＜x ＜－14，故由{x |－2＜x ＜－14}是二次不等式的解集可知x 1＝－2，x 2＝－14是一元二次方程ax 2＋bx －2＝0的两根，根据根与系数关系可知x 1x 2＝－2a ＝12⇒a ＝－4，x 1＋x 2＝－b a ＝－94⇒b ＝－9.答案：a ＝－4，b ＝－94．不等式|2x －1|＜3的解集为________．解析：原不等式可化为－3＜2x －1＜3，解得－1＜x ＜2.故所求解集为{x |－1＜x ＜2}．答案：{x |－1＜x ＜2}5．(2011年陕西)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是______________.解析：令y ＝|x ＋1|＋|x －2|，由题意知应|a |≥y min ，而y ＝|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－x ＋2|＝3，∴a ≥3或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)例1 解不等式|x －1|＋|x ＋2|<5.【解析】法一：分别求|x －1|，|x ＋2|的零点，即1，－2. 由－2,1把数轴分成三部分：x ＜－2，－2≤x ≤1，x ＞1. 当x ＜－2时，原不等式即1－x －2－x ＜5，解得－3＜x ＜－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x ＜5，因为3＜5，恒成立，即－2≤x ≤1；当x ＞1时，原不等式即x －1＋2＋x ＜5，解得1＜x ＜2.综上，原不等式的解集为{x |－3＜x ＜2}．法二：不等式|x －1|＋|x ＋2|＜5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x |－3＜x ＜2}．【点评】含绝对值的不等式的解法应想法去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的方法求解．其方法有：(1)利用公式或平方法转化；(2)利用绝对值的定义转化；(3)利用数形结合思想转化；(4)利用“零点分段法”等．1．(2011年课标全国)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解析：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2 可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.例2 已知函数f (x )＝1＋x 2，设a ，b ∈R ，且a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.【证明】证法一：|f (a )－f (b )|<|a －b | ⇔|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b |⇔(1＋a 2－1＋b 2)2<(a －b )2⇔2＋a 2＋b 2－2(1＋a 2)(1＋b 2)<a 2＋b 2－2ab⇔1＋ab <(1＋a 2)(1＋b 2).①当ab ≤－1时，式①显然成立；当ab >－1时，式①⇔(1＋ab )2<(1＋a 2)(1＋b 2) ⇐2ab <a 2＋b 2.②∵a ≠b ，∴②式成立，故原不等式成立．证法二：当a ＝－b 时，原不等式显然成立；当a ≠－b 时，∵|1＋a 2－1＋b 2| ＝|(1＋a 2)－(1＋b 2)|1＋a 2＋1＋b 2<|a 2－b 2||a |＋|b |≤|(a ＋b )(a －b )||a ＋b |＝|a －b |，∴原不等式成立．证法三：设x ＝(1，a )，y ＝(1，b )，则|x |＝1＋a 2，|y |＝1＋b 2，x －y ＝(0，a －b )，|x －y |＝|a －b |，而||x |－|y ||≤|x －y |，∴|1＋a 2－1＋b 2|≤|a －b |，又a ≠b ，即|f (a )－f (b )|<|a －b |.证法四：设y ＝1＋x 2(x ∈R )，则y ＝1＋x 2表示双曲线y 2－x 2＝1上支的部分．其渐近线为y ＝±x ，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))为曲线y ＝1＋x 2上两不同的点．则|k AB |<1，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (b )－f (a )b －a <1.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.【点评】 (1)证法一用的是分析法；(2)证法二是综合法，其证明中用到的技巧有：①分子有理化，②不等式|a |＋|b |≥|a ＋b |，③放缩法；(3)证法三用的是构造向量，利用向量不等式；(4)证法四是数形结合思想．2．(2010年广东卷)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离ρ(A ，B )为ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.对于平面xOy 上给定的不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)若点C (x ，y )是平面xOy 上的点，试证明：ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )≥ρ(A ，B )； (2)在平面xOy 上是否存在点C (x ，y )，同时满足 ①ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝ρ(A ，B )；②ρ(A ，C )＝ρ(C ，B )．若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．解析：证明：∵ρ(A ，C )＝|x －x 1|＋|y －y 1|， ρ(C ，B )＝|x 2－x |＋|y 2－y |. ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，∴ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝|x －x 1|＋|y －y 1|＋|x 2－x |＋|y 2－y | ＝(|x －x 1|＋|x 2－x |)＋(|y －y 1|＋|y 2－y |) ≥|(x －x 1)＋(x 2－x )|＋|(y －y 1)＋(y 2－y )| ＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|＝ρ(A ，B )．(2)注意到点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)不同，下面分三种情形讨论． ①若x 1＝x 2，则y 1≠y 2，由条件②得 |x －x 1|＋|y －y 1|＝|x 2－x |＋|y 2－y |，即|y －y 1|＝|y －y 2|，∴y ＝y 1＋y 22.由条件①得|x －x 1|＋|y －y 1|＋|x 2－x |＋|y 2－y |＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.∴2|x －x 1|＋12|y 2－y 1|＋12|y 2－y 1|＝|y 2－y 1|，∴|x －x 1|＝0， ∵x ＝x 1.因此，所求的点C 为(x 1，y 1＋y 22)②若y 1＝y 2，则x 1≠x 2，类似于①，可得符合条件的点C 为(x 1＋x 22，y 1)．③当x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，不妨设x 1<x 2.(ⅰ)若y 1<y 2，则由(1)中的证明知，要使条件①成立，当且仅当(x －x 1)(x 2－x )≥0与(y －y 1)(y 2－y )≥0同时成立，故x 1≤x ≤x 2且y 1≤y ≤y 2.从而由条件②，得x ＋y ＝12(x 1＋x 2＋y 1＋y 2)．此时所求点C 的全体为M ＝⎩⎨⎧(x ，y )|x ＋y ＝12(x 1＋x 2＋y 1＋y 2)，x 1≤x ≤x 2}且y 1≤y ≤y 2.(ⅱ)若y 1>y 2，类似地由条件①可得x 1≤x ≤x 2且y 2≤y ≤y 1，从而由条件②得x －y ＝12(x 1＋x 2－y 1－y 2)．此时所求点的全体为N ＝⎩⎨⎧(x ，y )|x －y ＝12(x 1＋x 2－y 1－y 2)，x 1≤x ≤x 2}且y 2≤y ≤y 1.例3 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)设a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3. ①x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1f (x )≥3，的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32. ②当－1＜x ≤1时，不等式化为 1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ≤1，f (x )≥3的解集为∅.③当x ＞1时，不等式化为 x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f (x )≥3的解集为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 综上得，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件．若a ＜1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －(a ＋1)， x ≥1.即，f (x )的最小值为1－a . 若a ＞1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤1，a －1， 1＜x ＜a ，2x －(a ＋1)， x ≥a .即，f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1)∪[3，＋∞)．【点评】如果一个不等式中含有两个(或两个以上)的绝对值符号，应考虑用零点分段讨论法去掉绝对值符号，这时实质是将原不等式转化为n 个不等式组，把每个不等式组的解求出后，取它们的并集得到原不等式的解集．3．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在①的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x ＞2时，g (x )＞5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．法二：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．一、填空题 1．不等式⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是________．解析：由绝对值的意义知，原不等式同解于x －2x ＜0，即x (x －2)＜0，∴0＜x ＜2. 答案：(0,2)2．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足________．解析：由|x －a |＜1得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3. 答案：|a －b |≥33．已知不等式|x －m |＋|x |≥1的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：由绝对值不等式的几何意义知|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |，故|m |≥1，∴m ≥1或m ≤－1.答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)4．若关于x 的不等式|x ＋1|＋k ＜x 有解，则实数k 的取值范围是________．解析：∵|x ＋1|＋k ＜x ， ∴k ＜x －|x ＋1|.若不等式有解则需k ＜(x －|x ＋1|)max . 设f (x )＝x －|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≥－1，2x ＋1，x ＜－1.由解析式可以看出f (x )max ＝－1，∴k ＜－1. 答案：(－∞，－1)5．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________．解析：由|x －1|＋|x ＋a |≥|1－x ＋x ＋a |＝|a ＋1|知|a ＋1|≤8，故－9≤a ≤7，因此a 的最小值是－9.答案：－96．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|. ∴|a －2|≥1解之得a ≤1或a ≥3. 答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)7．不等式||x ＋3|－|x －3||＞3的解集为________．解析：由绝对值不等式的含义得到：x 到－3和3的距离之差的绝对值大于3，结合数轴不难得出x ＞32或x ＜－32，故x ∈{x |x ＞32或x ＜－32}．答案：{x |x ＞32或x ＜－32}8．(2011年江西)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．解析：法一：|x －1|≤1⇒0≤x ≤2，|y －2|≤1⇒1≤y ≤3，可得可行域如图(阴影部分)．∵|x －2y ＋1|＝5，|x －2y ＋1|5.其中z ＝|x －2y ＋1|5为点(x ，y )到直线x －2y ＋1＝0的距离．当(x ，y )为(0,3)时z 取得最大值|0－2×3＋1|5＝55. 故|x －2y ＋1|max ＝5.法二：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取最大值为5.答案：59．给出下列四个命题：①若log a (a 2＋4)≤log a (4a )＜0，则a 的取值范围是(1，＋∞)； ②函数f (x )＝log 2(x 2－5x ＋1)的单调递减区间为(－∞，52)；③不等式|x |＋|log 2 x |＞|x ＋log 2 x |的解集为(0,1)； ④若|a ＋b |＜－c (a ，b ，c ∈R )，则|a |＜|b |－c . 以上四个命题中，正确命题的序号为________．解析：对于①，由于a 2＋4≥4a且log a (a 2＋4)≤log a (4a )，∴0＜a ＜1，∴①错；对于②，由x 2－5x ＋1＞0，得x ＞5＋212或x ＜5－212，∴f (x )＝log 2(x 2－5x ＋1)的递减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，5－212，故②错；对于③，必有x ＞0且log 2 x ＜0， ∴0＜x ＜1故③正确．对于④，∵|a |－|b |≤|a ＋b |＜－c ， ∴|a |＜|b |－c ，故④正确．答案：③④ 三、解答题10．(2011年江苏)解不等式x ＋|2x －1|<3.解析：法一：原不等式可化为|2x －1|<3－x .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1<3－x 2x －1>x －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <43x >－2.∴原不等式的解集是{x |－2<x <43} 法二：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12. 所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <43. 11．(2011年福建)设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ：(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解析：(1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1，所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,00，故ab ＋1>a ＋b .12．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)试证明|1＋b |≤M ；(2)试证明M ≥12； (3)当M ＝12时，试求出f (x )的解析式．解析：证明：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴|1＋b | ≤M .(2)证明：依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|，又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |，∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2，∴M ≥12. (3)当M ＝12时，|f (0)|＝|b |≤12，－12≤b ≤12① 同理－12≤1＋a ＋b ≤12② －12≤1－a ＋b ≤12③ ②＋③得－32≤b ≤－12④ 由①④得b ＝－12，当b ＝－12时，分别代入②③得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a ≤00≤a ≤1⇒a ＝0，因此f (x )＝x 2－12.。

选修4-5不等式知识点

第1课时课时不等式的性质不等式的性质 [探索研究]1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 0>-Û>b a b a0=-Û=b a b a 0<-Û<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质（、不等式的基本性质（66个）： [参考习题]1、若a 、b 、x 、y ∈R ，则()()0x y a b x a y b +>+ìí-->î是x a y b>ìí>î成立的（成立的（））A. A. 充分不必要条件充分不必要条件充分不必要条件B. B. B. 必要不充分条件必要不充分条件必要不充分条件C. C. 充要条件充要条件充要条件D. D. D. 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件2、已知2()f x ax c =+，且4(1)1f -££-，1(2)5f -££，求f(3)f(3)的取值范围。

的取值范围。

3、已知a>0a>0，，2220a ab c -+=，2bc a >，试比较a 、b 、c 的大小。

的大小。

第2课时课时基本不等式基本不等式 [探索研究]1、定理1：如果R b a Î,，那么ab b a 222³+（当且仅当b a =时取“时取“==”） 2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab ba ³+2（当且仅当b a =时取“时取“==”） 3、已知x, y 都是正数。

则都是正数。

则（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2p ；（2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值214s[参考习题]1、当x 取什么值时，函数2294xx y +=有最小值？最小值是多少？有最小值？最小值是多少？ 2、求函数1622++-=x x x y （0³x ）的最小值。

选修4-5不等式选讲知识点详解+例题+习题含详细答案

选修4－5 不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解以下不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b ∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝〞成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝〞成立的条件是ab ≥0，左侧“＝〞成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝〞成立的条件是ab≤0，左侧“＝〞成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.3．根本不等式定理1：设a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，那么a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，那么(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)假设a i ，b i (i ∈N *)为实数，那么(∑i ＝1n a 2i )(∑i ＝1n b 2i )≥(∑i ＝1na ib i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，那么|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号打“√〞或“×〞)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．()(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．()(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .()(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.()(5)假设实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，那么x >0，y >0.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是()A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析]解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，应选A.解法二：令f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≥12，1－3x ，x <12，那么f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案]A 3．设|a |<1，|b |<1，那么|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是()A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比拟大小[解析]|a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.[答案]B4．假设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，那么a ＋b ＋c 的最大值为()A ．1B ． 2 C. 3 D ．2[解析](a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． ∴(a ＋b ＋c )2≤3. 故a ＋b ＋c 的最大值为 3.故应选C.[答案]C5．假设存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，那么实数a 的取值围是________．[解析]利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值围为－2≤a ≤4.[答案]－2≤a ≤4考点一含绝对值的不等式的解法解|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为假设干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成假设干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2021 ·卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是()A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2021·卷)假设关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，那么a ＝________.[解题指导]切入点：“脱掉〞绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进展分类讨论．[解析](1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．应选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a，与条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，故a ＝－3. [答案](1)A(2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)假设f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值围．[解](1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值围为[－3,0]．考点二利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它表达了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2021·卷)假设不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，那么实数k 的取值围是__________．[解题指导]切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析](1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174. 即实数a 的取值围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174.(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，那么原不等式等价于PA －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，那么y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．[答案](1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174(2)(－∞，－3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .对点训练(2021 ·一模)函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.(1)假设当g (x )≤5时，恒有f (x )≤6，求a 的最大值；(2)假设当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值围．[解](1)g (x )≤5⇔|2x －1|≤5⇔－5≤2x －1≤5⇔－2≤x ≤3；f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3.依题意有，a －3≤－2，a ≤1.故a 的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值围是[2，＋∞)．考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用根本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2021 ·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)假设ab>cd，那么a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①假设|a－b|<|c－d|，那么(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得a＋b>c＋d.②假设a＋b>c＋d，那么(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比拟法且与重要不等式、根本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2021·新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. [证明](1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. ———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择适宜的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用根本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析]|2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案](－1,2)2．假设不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，那么实数k ＝__________.[解析]∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案]23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析]当x ≤－12时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－23，此时－23<x ≤－12.当－12<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，此时－12<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <23，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－23<x <0，即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0. [答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 4．关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，那么实数k 的取值围是__________．[解析]∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案](－∞，1)5．(2021 ·统考)假设关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，那么实数a 的取值围是________．[解析]|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8. [答案](－∞，8]6．(2021 ·卷)假设函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，那么实数a ＝__________.[解析]当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a <x ≤－1，3x ＋1－2a ，x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >a ，f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案]－6或47．假设关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，那么实数a 的取值围是__________．[解析]∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1(x ≤－1)，3(－1<x <2)，2x －1(x ≥2)，∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解， ∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案](－∞，－3]∪[3，＋∞)8．关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，那么实数a 的取值围是__________．[解析]假设x －1<0，那么a ∈R ；假设x －1≥0，那么(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1>0，a ＋1>2x ，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a ＋1<2x ，对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案](－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，那么2a ＋2b ＋2c的最小值为__________．[解析]∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18， ∴2a ＋2b ＋2c ≥2，∴2a ＋2b ＋2c的最小值为2.[答案]210．(2021·卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，那么m 2＋n 2的最小值为________．[解析]由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴m 2＋n 2的最小值为 5. [答案] 511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________．[解析]∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |) ≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3. [答案]312．假设不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a，对任意的x ∈R 恒成立，那么实数a的取值围是________．[解析]只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a即可．由于||x ＋1|－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋4a 即可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋4a整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≥0，那么有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，实数a 的取值围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案](－∞，－4]∪[－1,0) 二、解答题13．不等式2|x －3|＋|x －4|<2a . (1)假设a ＝1，求不等式的解集；(2)假设不等式的解集不是空集，求a 的取值围． [解](1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，假设x ≥4，那么3x －10<2，x <4，∴舍去；假设3<x <4，那么x －2<2，∴3<x <4；假设x ≤3，那么10－3x <2，∴83<x ≤3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪83<x <4.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，那么 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －10，x ≥4，x －2，3<x <4，10－3x ，x ≤3.作出函数f (x )的图象，如下图．由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >12，即a 的取值围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.14．(2021 ·新课标全国卷Ⅰ)函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)假设f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值围． [解](1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值围为(2，＋∞)． 15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)假设a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值围． [解](1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)假设a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；假设a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；假设a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2， ∴a 的取值围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2021 ·卷)a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解](1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a2＋19b2＋c2≥87.当且仅当12a2＝13b3＝c1，即a＝87，b＝187，c＝27时等号成立．故14a2＋19b2＋c2的最小值为87.。

高中数学专题不等式选讲(选修4-5)

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考点一含绝对值不等式的解法及应用
[练通——即学即用]
1 1．(2018· 洛阳模拟)已知函数 f(x)＝ |x－a|(a∈R)． 3 1 (1)当 a＝2 时，解不等式|x－ |＋f(x)≥1； 3 1 1 1 (2)设不等式|x－ |＋f(x)≤x 的解集为 M，若[ ， ]⊆M，求实 3 3 2 数 a 的取值范围．
所以要使二次函数 y＝x2＋2x＋3 与函数 y＝f(x)的图象恒有公共点，只需 m－2≥2，即 m≥4.
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由 f(x)＞2 得不等式的解集为{x|－＜x＜ }． 2 2 2
(2)因为 y＝x ＋2x＋3＝(x＋1) ＋2，所以该函数在 x＝－1 处取得最小值 2，
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2．绝对值不等式的成立问题的求解模型 (1)分离参数：根据不等式将参数分离化为 a≥f(x)或 a≤f(x)形式； (2)转化最值：f(x)＞a 恒成立⇔f(x)min＞a；f(x)＜a 恒成立⇔ f(x)max＜a； f(x)＞a 有解⇔f(x)max＞a； f(x)＜a 有解⇔f(x)min＜a； f(x)＞a 无解⇔f(x)max≤a；f(x)＜a 无解⇔f(x)min≥a； (3)得结论.
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考点一含绝对值不等式的解法及应用
[规范解答] (1)当 a＝1 时，不等式 f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.① 当 x<－1 时，①式化为 x2－3x－4≤0，无解； (2 分) 当－1≤x≤1 时，①式化为 x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当 x>1 时，①式化为 x2＋x－4≤0，－1＋ 17 从而 1<x≤ . 2

选修4—5不等式选讲高考题及答案

1、解不等式311≥-++x x2、已知函数2)(-++=x a x x f .（1）当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（2）若4)(-≤x x f 的解集包含[]2,1，求a 的取值范围.3、若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 .4、若不等式24≤-kx 的解集为}31≤≤x x ，则实数=k .5、不等式121≥++x x 的实数解为 .6、已知函数m x x x f --++=21)(.（1）当5=m 时，求0)(>x f 的解集；（2）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围.7、已知函数a x x f -=)(.（1）若不等式3)(≤x f 的解集为{}51≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.8、已知函数a x x f -=)(，其中1>a .（1）当2=a 时，求不等式44)(--≥x x f 的解集；（2）已知关于x 的不等式2)(2)2(≤-+x f a x f 解集为{}21≤≤x x ，求a 的值.9、设函数x a x x f 3)(+-=，其中0>a .（1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；（2）若不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值.10、已知a 、b 、c ()+∞∈,0，其1=++c b a . 求证：（1）8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-c b a ；（2）3≤++c b a .11、设a 、b 、c ()+∞∈,0，其1=++ca bc ab .求证：（1）3≥++c b a ；（2）()c b a ab c ac b bc a ++≥++3.12、已知0>x ，0>y ，证明：()()xy y x y x 91122≥++++.13、已知函数2)(--=x m x f ，R m ∈，且0)2(≥+x f 的解集为[]1,1-.（1）求m 的值；（2）若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.14、若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为 .15、求函数x x y -+-=9453的最大值.1、解：①当x ≤－1时，原不等式可化为－(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－32. ②当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．③当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.[9分]综上，可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32. 2、解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．3、解析 ∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8，∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8.4、解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.5、解析 ∵|x ＋1||x ＋2|≥1，∴|x ＋1|≥|x ＋2|.∴x 2＋2x ＋1≥x 2＋4x ＋4，∴2x ＋3≤0.∴x ≤－32且x ≠－2.6、解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，－x －1－x ＋2>5，解得函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)不等式f (x )≥2即|x ＋1|＋|x －2|>m ＋2，∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2解集是R ，∴m ＋2≤3，m 的取值范围是(－∞，1]．7、解方法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．方法二 (1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．8、解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.9、解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

不等式选讲(选修4-5)

不等式选讲（选修4-5）目录(5．0不等式的性质.......................................) 5．1含有绝对值的不等式 (1)5．2不等式的证明 (9)5．3几个重要的不等式 (21)5．4数学归纳法 (30)5．5不等式的简单应用 (38)小结与复习 (48)复习参考题 (52)导言：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

5．1含有绝对值的不等式在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。

在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。

下面分别就这两类问题展开探讨。

1．含有绝对值的不等式的解法解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。

主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0;00;0x x x x x x ，如果，如果，如果含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。

设a 为正数。

绝对值不等式选修4-5 不等式选讲

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选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1n a 2i )(∑i ＝1n b 2i )≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥12，1－3x ，x <12，则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案] A3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是()A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小[解析] |a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.[答案]B4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为() A．1 B． 2C. 3 D．2[解析](a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．∴(a＋b＋c)2≤3.故a＋b＋c的最大值为 3.故应选C.[答案]C5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．[解析]利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为－2≤a≤4.[答案]－2≤a≤4考点一含绝对值的不等式的解法解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，则a＝________. [解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53<x <13，故a ＝－3. [答案] (1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．考点二利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. (2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎨⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．[答案] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174 (2)(－∞，－3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解](1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有，a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c －d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤1 3；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤1 3.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________． [解析] |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2. [答案] (－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________. [解析] ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. [答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－12时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－23，此时－23<x ≤－12.当－12<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，此时－12<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <23，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－23<x <0，即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，04．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案] (－∞，1)5．(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析] |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案] (－∞，8]6．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝⎩⎨⎧－3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a <x ≤－1，3x ＋1－2a ，x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎨⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >a ，f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a＝4.[答案] －6或47．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎨⎧－2x ＋1(x ≤－1)，3 (－1<x <2)，2x －1 (x ≥2)，∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解， ∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3. [答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以⎩⎨⎧ a －1>0，a ＋1>2x ，(舍去)或⎩⎨⎧a －1<0，a ＋1<2x ，对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案] (－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c 的最小值为__________． [解析] ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18， ∴2a ＋2b ＋2c ≥2，∴2a ＋2b ＋2c 的最小值为2. [答案] 210．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析] 由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴m 2＋n 2的最小值为 5. [答案]511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________． [解析] ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3. [答案] 312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a ，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a 即可．由于||x ＋1|－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋4a 即可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案] (－∞，－4]∪[－1,0) 二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a . (1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去；若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4；若x ≤3，则10－3x <2，∴83<x ≤3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪83<x <4.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则作出函数f (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >12，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2， ∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87.。