(2)由题意知a ＝2b ，a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 即2b 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 又c 2
＝b 2＋2bc ，
∴cos A ＝
22，A ＝45°，sin B ＝1
2
，B ＝30°，∴C ＝105°.
【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法
①代数法：根据大边对大角的性质、三角形角和公式、正弦函数的值域等判断．
②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．
【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值围是( )
A ．x ＞2
B ．x ＜2
C ．2＜x ＜2 2
D ．2＜x ＜2 3
(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________. 答案 (1)C (2)1
解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2，
又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×2
2
＜1，
可得x ＜22，
∴x 的取值围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得
BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，
化简得x 2
－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.
高频考点二 和三角形面积有关的问题
例2、(2015·)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a
2
＝12
c 2.
(1)求tan C 的值；
(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2
＝12c 2及正弦定理得
sin 2B －12＝12sin 2
C .
所以－cos2B ＝sin 2
C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝3
4
π，得
－cos2B ＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－C
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π－2C
＝sin2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2.
【感悟提升】
(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个
公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【变式探究】四边形ABCD 的角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；
(2)求四边形ABCD 的面积．
解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得
BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②
由①②得cos C ＝1
2，BD ＝7，
因为C 为三角形角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12
AB ·DA sin A ＋12
BC ·CD sin C
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin60° ＝2 3.
高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用
例3、(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c
b
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B
【举一反三】(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．
(1)求sin B sin C
；
(2)若AD ＝1，DC ＝
2
2
，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝1
2
AB ·AD sin∠BAD ，
S △ADC ＝12
AC ·AD sin∠CAD .
因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .
