8.8 氢原子的量子理论
氢原子的量子力学理论讲义
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
大学物理学电子教案 氢原子的量子理论简介
可容纳的电子数为
n1
Nn22l12n2
21
l0
01 sp
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
Nn
1K 2
2
2L 2 6
8
3 M 2 6 10
18
4 N 2 6 10 14
32
5 O 2 6 10 14 18
50
6 P 2 6 10 14 18 22
72
7 Q 2 6 10 14 18 22 26 98
例题：试确定基态氦原子中电子的量子数。
2、角动量量子化及角量子数
求解氢原子波函数的经度方程，可得氢原子中电子的角动量 是量子化的
L ll 1 h ll 1 l 0 ,1 ,2 , ,n 1 2
其中l 叫做轨道角动量量子数或角量子数。
讨论：
•波耳理论的L=nh/2，最小值为h/2；而量子力学得出角
动量的最小值为0。实验证明，量子力学得结论是正确的；
Rnl2r2d r n 2lrdr| n0 |2
径向概率密度为：
pnl
(r)
2 nl
(r)
1s 2s 3s
| n1 |2
2p
| n2 |2
4s r
3p
4p
r
3d 4d
r
15
19-10 多电子原子中的电子分布
一、电子自旋 自旋磁量子数
1、斯特恩－盖拉赫实验
银原子通过狭缝，经 过不均匀磁场后，打
在照相底板上。s 态
23
小结
• 氢原子的量子理论简介 • 氢原子的定态薛定谔方程 • 三个量子数 • 氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率
• 多电子原子中的电子分布 • 电子自旋 自旋磁量子数 • 四个量子数 • 多电子原子中的电子分布
氢原子量子理论
d 2u 2µ Ze2 l(l + 1) − 2 u=0 + 2 E+ 2 dr ℏ r r
于是化成了一维问题， 于是化成了一维问题，势V(r) 称为等效势， 称为等效势，它由离心势和库 仑势两部分组成。 仑势两部分组成。
l(l + 1)ℏ2 Ze2 V(r) = − 2 2µr r
θ r
r
y
1 ∂ 1 ∂2 Ze2 ℏ2 1 ∂ 2 ∂ ∂ ( ) (r )+ (sinθ )+ − ψ− ψ = Eψ r 2µ r 2 ∂r ∂r sinθ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ 2
x
ϕ 球 坐 标
ˆ ℏ2 L2 Ze ∂ 2 ∂ (r )+ − − 2 2µr 2 r ∂r 2µr ∂r
或： 1 ∂ 1 ∂2 ∂ (sinθ ) + 2 ]Y(θ ,ϕ) = λY(θ ,ϕ) −[ 2 sinθ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ
为使 Y(θ,ϕ) 在θ 变化的整个区域(0, π)内都是有限的， Y(θ 变化的整个区域(0, π)内都是有限的 内都是有限的， 则必须满足： 则必须满足： λ = ℓ（ℓ + 1), 其中 ℓ = 0, 1, 2, ...
ρ →∞
αeρ / 2 ρ
→∞
ρ →∞
令
最高幂次项的 νmax = nr
则
注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ ℓ + 1
bnr ≠ 0 所以
bnr ≠ 0 于是递推公式改写为 bnr +1 = 0
因为 分子
nr + l + 1− β = 0
量子数 取值
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
氢原子中的量子力学
氢原子中的量子力学量子力学是物理学中的基础理论之一，它在解释微观世界中的现象和规律方面发挥着重要作用。
氢原子作为量子力学研究的经典模型之一，对于理解量子力学的基本原理和应用具有重要意义。
本文将对氢原子中的量子力学进行探讨和分析。
1. 氢原子的结构在研究氢原子的量子力学前，我们需要了解氢原子的基本结构。
氢原子由一个质子和一个电子组成，其中质子带正电荷，电子带负电荷。
质子位于氢原子的中心，被一个电子绕着围绕。
氢原子的结构可以用量子力学的波函数来描述。
2. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的核心方程，用于描述微观粒子的行为。
对于氢原子来说，薛定谔方程可以写为：HΨ = EΨ其中H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
通过求解薛定谔方程，可以得到氢原子各个能级的波函数和能量。
3. 氢原子的能级和波函数根据薛定谔方程的求解结果，氢原子具有一系列离散的能级。
每个能级对应着不同的能量和波函数。
能级的能量大小与主量子数n有关，主量子数n越大，能级越高。
波函数则用于描述电子在不同能级上的空间分布。
4. 轨道角动量和磁量子数与经典力学不同，量子力学引入了轨道角动量概念。
在氢原子中，电子围绕质子运动形成了各种可能的轨道。
轨道角动量的大小由量子数l决定，而轨道的形状由量子数l和磁量子数m决定。
具体来说，轨道角动量大小为√(l(l+1))ħ，其中ħ为普朗克常数除以2π。
5. 能级跃迁和光谱氢原子的能级之间存在跃迁现象，当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，会吸收或辐射能量。
这种能级跃迁的现象在光谱研究中得到了广泛应用。
通过观察氢原子的光谱，我们可以了解到能级之间的能量差异和波长特性。
6. 精细结构与自旋在考虑相对论效应后，氢原子的能级结构发生了微小的变化，形成了精细结构。
精细结构与电子的自旋状态有关，自旋可以取两个值：向上和向下。
通过考虑自旋，我们可以得到更加精确的氢原子能级和波函数。
7. 氢原子的波函数叠加在量子力学中，波函数可以叠加，形成各种可能的状态。
量子力学中的氢原子结构分析
量子力学中的氢原子结构分析量子力学是一个让人感到神秘的学科，从微观角度研究原子和分子的行为和相互作用。
氢原子是量子力学中最简单的单电子原子，其结构对于研究其他多电子原子和分子具有重要意义。
本文将介绍氢原子结构的量子力学理论和现实应用。
1. 氢原子的波函数和能级量子力学中，波函数是用来描述粒子在空间中波动和存在的函数。
氢原子中电子的波函数可以用Schrodinger方程求解，得到如下公式：$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\phi)$其中，$n$为主量子数，$l$为角量子数，$m$为磁量子数，$r$为离子半径，$Y_{l,m}$为球谐函数。
氢原子的能级也可以根据波函数求得。
具体方法是计算氢原子中电子的哈密顿算符在波函数上的期望值，得到：$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2n^2}$其中，$m$为电子质量，$e$为电子电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数，$h$为普朗克常数。
这个公式称为Bohr模型，与实验值相比，精度较高，但仍会有误差。
2. 氢原子的谱线和光谱学氢原子发射光线的频率可以通过与氢原子内部能级的差值相对应。
这些频率形成了光谱线，分为巴尔末系（Balmer series）、洪特姆系（Lyman series）、帕舍尼亚系（Paschen series）等。
巴尔末系中电子从$n\geq3$的能级跃迁到$n=2$的电子能级，所产生的光谱线包括Bα、Bβ等。
这些线可以被用来确定物质的组成和温度等特征。
除了发光谱线，氢原子还可以吸收谱线。
在光谱学中，通过测量吸收谱线的强度和波长，可以确定物质的成分和性质。
而通过对氢原子谱线的研究和分析，可以深入了解物质和电磁辐射之间的相互作用。
3. 氢原子的电离和激发氢原子被电离（即，从基态跃迁到自由电子状态）所需要的能量称为氢原子的电离能。
氢原子的电离能是一个常见的物理量，被用来描述和比较物质的化学性质。
氢原子量子力学理论
由此得到三个量子数 n、l、m
确定氢原子定态波函数的三个量子数n、l、m
（1）主量子数 n
me e4 1 En , n 1, 2, 3, 2 2 2 2(4 0 ) n
（2）角量子数 l 对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1) 氢原子系统的轨道角动量 p l (l 1)
角量子数:
l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值
氢原子的基态波函数：
1 r a0 100 (r ) e a03 2 三个量子数n, l, m:
n：主量子数； l：角量子数； l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值 m：磁量子数； m 0, 1, 2,..., (l 1), 共2l 1个值
2 Wnl (r) Rnl (r)r 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电子的角分布
Wlm ( , ) | Ylm ( , ) |2
设在空间（r,θ ,φ ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, , )dV
Wnlm (r , , )r sin drd d | nlm (r , , ) | r sin drd d
氢原子的量子力学理论
1926年，Erwin Schrodinger给出了 一个微观粒子在势场U(r,t)低速时波函数满 足的方程，称为薛定谔方程
2 2 i (r , t ) U (r , t ) (r , t ) t 2m
玻恩给出了波函数的概率解释
氢原子是两体问题，可以通过坐标的选取化 为折合质量为m=memp/(me+mp)的单体问题， 从而给出其薛定谔方程。 氢原子中的电子在核电场中运动，其电势能为：
氢原子的量子理论
1)
R
0
(1) (2)
(3)
其中 m 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的
标准化条件，即可得到波函数 (r, , )
并且可得到： 能量量子化 角动量量子化 角动量空间量子化
三个量子数
1.能量量子化和主量子数
求解方程(3) ，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于
32 2022
1 n2
L l(l 1)
Lz m
对于给定的 n ，l 可以有n 个值
对于给定的 l ，m 可以有 2l+1 个值
对于给定的 n ，可能的波函数(状态)数量
n1
N (2l 1) n2 简并度
l 0
n 1, 2 , 3 ,
K, L, M, N, …… 壳层
l 0,1, 2 , , n 1
26.5.2.原子的壳层结构
原子中的电子 n , l , m , ms
壳层 n 1, 2,3, K, L, M, N, …… 壳层
次壳层 l 0, 1, 2 , , n 1 s, p, d, f, g, …… 次壳层
如：n = 3, l = 0, 1, 2 分别称为3s态,3p态,3d态
电子在原子内的分布 多电子原子系统中，核外电子在不同的壳层上
r 2 r r r 2 sin
r 2 (sin )2 2
同乘 r 2/RY,并且移项
1 R
d dr
(r 2
dR ) dr
K 2r2
Y
1 sin
(sin
Y
)
Y
1 (sin
)2
2Y
2
1 R
d dr
(r 2
《氢原子的量子理论》课件
2 自旋标度符号
解释自旋标度符号和自旋 的相对性质，以及它们在 波函数描述中的作用。
3 自旋磁量子数
探索氢原子自旋磁量子数 和简并度，及其对态的能 量和性质的影响。
结论
1 氢原子量子理论的应用
总结氢原子量子理论在原子物理和量子力学研究中的重要应用和意义。
2 未来研究方向
探讨氢原子量子理论未来可能的发展方向和研究领域。
讨论氢原子能级的计算方法和能量本征值的物理意义。
2
能级简并
解释氢原子能级简并现象的原因和如何计算简并度。
3
能量本征函数
介绍氢原子的能量本征函数及其在波函数中的应用。
氢原子的辐射
发射光谱
吸收光谱
探索氢原子的发射光谱现象，解 释辐射能级跃迁和光谱线的产生。
讲解氢原子的吸收光谱，如何分 析和应用能级的吸收特性。
3 社会意义
思考氢原子量子理论对社会和技术的影响，以及潜在的实际应用。
氢原子的波函数
讨论氢原子的波函数表达和 意义，以及如何计算和解释 波函数。
氢原子的波函数
1 主量子数
介绍氢原子主量子数及其在波函数中的作用和意义。
2 角量子数
解释氢原子角量子数的概念和用途，以及与轨道形状的关系。
3 磁量子数
探讨氢原子磁量子数的含义和作用，以及在磁场中的行为。
氢原子的能级
1
能量本征值
等相球面模型
介绍氢原子的等相球面模型，解 释电子在不同能级之间的跃迁规 律。
氢原子的旋磁量子数
1定则和跃迁的概率。
2 符号约定
解释氢原子量子数的符号约定，如何表示和计算旋磁量子数。
3 柯塞特定理
介绍柯塞特定理和它在解析解中的应用，以及旋转对称性的影响。
氢原子的量子力学模型概念
氢原子的量子力学模型概念在量子力学中，氢原子是一种重要的原子，描述它需要将它的物理原理应用到量子力学理论中。
氢原子的量子力学模型允许人们通过描述电子在能量状态下的运动，来推导出它的特性和性质。
本文将着重讨论氢原子模型的概念，用来解释氢原子在空间和动量空间的分布特性。
首先，要讨论氢原子的量子力学模型，就必须先知道原子的构成。
氢原子由一个质子和一个电子组成，它们由核周围的电磁力或强程度来绑定。
由于电子的电荷，它们会在电场的影响下产生动量。
此外，由于粒子的反离子性，它们在原子核周围会形成一个轨道系统。
因此，它们也会影响原子在空间上的分布特性。
其次，之后要讨论氢原子的量子力学模型，必须从氢原子能量状态开始。
根据量子力学的波函数原理，电子的能量状态表示其在空间的活动情况。
根据该原理，可以确定电子的能量状态，以及其对应的波函数。
当电子处于一定的能量状态时，它就会具有一定的动量特性；而当电子能量状态发生变化时，它们的波函数也会改变，从而影响其在空间和动量空间的分布特性。
再次，在探究氢原子模型的概念时，还需要关注能级在空间中的分布特性。
根据量子力学原理，电子所处的能级在空间中有一定的分布模式。
通常，电子会处于介于原子核和原子轨道的位置，即“环”的位置。
由于电子的运动轨迹有一定的循环特性，这个位置可以分解成电子轨道的半径和角度。
每个能级都有一定的半径，它们都按照一定的规律组合在原子核周围，从而构成空间分布模式。
最后，要解释氢原子模型的概念，就需要介绍动量空间的分布特性。
根据量子力学的精确的规律，可以将氢原子的运动状态分解成氢原子的动量k。
根据Schrdinger方程，氢原子的动量在空间中可以分解为两个分量，即有限的点动量和无限的连续动量。
连续动量k的分布特性取决于氢原子的总能量，而点动量k的分布特性则取决于电子在能量状态上的变化。
因此，要深入理解氢原子模型的概念，就要对电子在能量状态上的变化和它们在动量空间中的分布特性做出精确的说明与描述。
氢原子的量子力学描述
氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。
由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。
电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。
我们主要对一些重要的结论进行讨论。
()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。
n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。
量子力学：氢原子理论2
S N
P
e Pm L 2m B Fz Pmz z
m
应无偏转
• • •
轨道运动磁矩 不均匀磁场 (2l＋1)
基态银原子l＝0 L 0, LZ 0, PmZ 0
实验结果有两条偏转线。射线的偏转表明： 设自旋角量子数为S 即：
电子还应具有自旋角动量 写成 (2l＋1)
2
方程成立条件是两边同为一常数， 令：m
1 d 2 得： ml2 d 2
2 l
⑴
( )
1 2
e
iml
sin d 2 dR 2m 2 2 e (r ) 2 r sin ( E ) R dr dr 4 0 r
2 2
1 d d sin (sin ) ml2 d d
同一主壳层内有2n2个可能的量子态 简并度:
Z
l n 1 l 0
2 (2l 1) 2n 2
泡利不相容原理： 多电子的原子系统中，不可能有两个电子具 有相同的状态。也就是说，描述电子状态的两组 量子数（n1l1ml1ms1)和(n2l2ml2ms2)不完全相同的。 能量最小原理： 能量最小的状态是原子的最稳定的状态， 即原子的基态。电子在原子诸壳层中必须这样 分配，使得原子的能量为最小值。 电子的排布表达方法： 如：Z=18,氩 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 不正常，可容 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 5 Z=17 纳10个电子 Z=11 1s 2 2s 2 2 p 6 3s1 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 3d 6 4s 2 Z=26铁
L
l( l 1 )
l 0 ,1 ,2( n 1 )
氢原子与量子力学
氢原子与量子力学在自然界中，氢原子是最简单的原子之一，由一个质子和一个电子构成。
它的基本性质和行为可以通过量子力学来解释和理解。
量子力学是一种描述微观世界的物理学理论，它提供了解释原子和分子行为的理论框架。
量子力学告诉我们，原子的能量是离散的，即只能取具有特定数值的能量。
这个能量的分立性质可以通过考虑氢原子的波函数来解释。
波函数描述了一个粒子的性质，包括其位置和动量。
在氢原子中，电子围绕着质子运动，形成一个电子云。
根据量子力学的原理，电子不处于确定的轨道上，而是存在于一系列可能的状态中。
每个状态由一对整数（n，l）来描述，其中n代表主量子数，l代表角量子数。
主量子数定义了电子的能级，而角量子数定义了电子的轨道形状。
氢原子的波函数可以用数学方程式来描述，即薛定谔方程。
这个方程可以解出电子的波函数和相应的能级。
薛定谔方程给出了氢原子中电子分布的概率密度，即电子出现在各个位置的可能性。
根据薛定谔方程的解，氢原子的能级是离散的，即只能取特定的数值。
这些数值被称为能级，用整数表示。
能级从低到高依次排列，能级越高，电子的平均距离质子越远。
氢原子的能级之间的跃迁可以通过吸收或发射光子来观察到。
当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，它会吸收或释放特定频率的光子。
这种现象被称为光谱。
根据氢原子的能级结构，可以预测和解释氢原子的光谱线。
除了能级结构和光谱之外，量子力学还可以解释氢原子的其他性质。
例如，根据波函数，可以计算出电子的平均位置和动量，以及其不确定性。
不确定性原理指出，无法同时准确知道一个粒子的位置和动量。
此外，量子力学还可以描述氢原子的自旋。
自旋是电子的一种内禀性质，类似于一个带电的旋转。
自旋有两个可能的方向，即上旋和下旋。
根据量子力学的规则，自旋不能够同时具有确定的值，只能有一个或另一个。
综上所述，氢原子作为最简单的原子之一，可以通过量子力学来解释和理解其行为。
量子力学的波函数和薛定谔方程提供了描述和预测氢原子的能级结构和光谱的工具。
15-9 氢原子的量子理论简介
nl表示电子态 表示电子态
如 1s 2p
3 角动量空间量子化和磁量子数 角动量空间量子化和磁量子数 空间量子化 当原子置于外磁场中， 当原子置于外磁场中 ， 角动量 L 在空间 取向只能取一些特 定的方向， 在外磁场方 取向只能取一些 特 定的方向 ， L在外磁场方 向的投影必须满足量子化条件
Lz = ml ℏ
7Q 2(7s) 6(7p) 10(7d) 14(7f) 18(7g) 22(7h) 26(7i) 98
（二）能量最小原理 原子系统处于正常态时， 原子系统处于正常态时，每个电子总是尽先 占据能量最低的能级。 占据能量最低的能级。
1 s → 2 s → 2 p → 3 s → 3 p → 4 s → 3d → 4 p → 5 s → 4 d → 5 p → 6 s → 4 f → 5d → 6 p
z
LZ
h h Lz = 0, , − 2π 2π
ℏ = h / 2π
L= 2ℏ
z
L ħ o ħ
第十五章
量子物理
4
空间量子化示意图 (ℏ ) z
(ℏ ) z 1 0
(ℏ ) 3
z
2 1
0
2 1
0
−1
l =1
L = 2ℏ
−1 −2
l=2
L = 6ℏ
−1
−2 −3
l=3
L = 12ℏ 对于一个给定的 l =0， ml=0， ± 1， ± 2，... ± l， 取向。 这时 L 在空间可以有 (2l+1) 个可能取向。
s=1/2 对所有的电子是相同的,不能成为区别 对所有的电子是相同的, 电子态的参数。 电子态的参数。
（2）自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量 ）自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量: h S z = ms ms称为自旋磁量子数 2π
氢原子的量子力学描述
氢原子的量子力学描述氢原子是最简单的原子，也是量子力学的经典案例之一。
在量子力学的描述中，氢原子的性质可以通过薛定谔方程来研究。
本文将从波函数、能级、角动量等方面对氢原子的量子力学描述进行详细介绍。
我们来介绍氢原子的波函数。
波函数是描述粒子在空间中的概率幅的函数。
对于氢原子而言，其波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
波函数的模的平方表示了粒子存在于某一位置的概率密度。
对于氢原子而言，其波函数有一些特殊的解，分别对应不同的能级。
这些能级由主量子数n来标记，其中n=1,2,3...。
每个能级对应的波函数都具有特定的空间分布，这些分布在球坐标系中可以用球谐函数来描述。
接下来，我们来介绍氢原子的能级。
根据量子力学的理论，氢原子的能级可以通过求解薛定谔方程得到。
能级的大小由主量子数n来决定，能级越高，主量子数n的值越大。
每个能级都具有固定的能量，能量越高，能级越远离原子核。
而能级之间的能量差是不连续的，这就是量子力学的离散性质。
除了能级外，氢原子还具有角动量。
角动量是描述粒子旋转运动的物理量，对于氢原子而言，其角动量由轨道角动量和自旋角动量两部分组成。
轨道角动量是由电子围绕原子核运动而产生的，而自旋角动量是电子自身的固有性质。
氢原子的轨道角动量由量子数l来标记，其取值范围为0到n-1，其中n为主量子数。
自旋角动量由量子数s来标记，其取值为1/2。
这些角动量的取值对应着不同的能级和波函数，它们在氢原子的能级结构中起到重要的作用。
总的来说，氢原子的量子力学描述涉及到波函数、能级和角动量等方面。
波函数可以描述粒子在空间中的分布情况，能级则决定了粒子的能量和空间分布，而角动量则描述了粒子的旋转运动。
这些描述对于理解氢原子的性质和行为具有重要的意义，也为量子力学的发展提供了重要的范例。
通过对氢原子的量子力学描述的研究，我们可以更好地理解量子世界的奥秘。
[物理]26章氢原子的量子理论
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L y ih cos ctg sin L z ih
2
ˆ i r L
2 1 1 2 L h sin 2 2 sin sin
3
第26章 氢原子的量子理论
26.1 径向薛定谔方程
一 氢原子的薛定谔方程
e2 在氢原子中，电子的势能函数为： U (r ) 40 r 2
2 U (r ) r E r 2m 2
z
2
2m
2
e (E ) 0 40 r
z r cos
4
x r sin cos y r sin sin
r x y z
2 2 2
2
z r cos
r x sin cos x r
两边对x求偏导
z cos r
y tg x
两边对x求偏导
1 z r 1 cos cos 2 x sin r x r
r x2 y 2 z 2
x2 y 2 arctan z y 1 arctan x
x
y
x r sin cos
y r sin sin z r cos
可求出
Lx ih sin ctg cos
(1) (2)
2 1 d 2 dR 2m e l (l 1) 2 R 0 r 2 E 2 r dr dr 40 r r
(3)
其中 ml 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的 标准化条件，即可得到波函数 并且可得到： 能量量子化
8.8 氢原子的量子理论
L
2
l 0 , 1, 2 , 3, , n 1
O
l : ( 轨道 )角（副）量子数
例如，n =3 时， l = 0，1，2
l 0, l 1, l 2,
L0 L 2 L 6
氢原子的量子理论
二、量子化条件和三个量子数
3、角动量空间量子化和磁量子数
当置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取一些特定的方向，L 在外磁场方向（Z 轴）的投影也 满足量子化条件：
1、能量量子化和主量子数
me4 1
En ( 8 0 2h 2 ) n 2 ,
n 1, 2, 3, n：主量子数
E1
me4
8
2 0
h
2
13.6eV,
En
1 n2
E1
1 n2
13.6eV,
1）主量子数决定着氢原子能量的取值；
2）n=1，称为基态；n=2.3.4…… 称之为激发态；
3）与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解 结果，不是人为的假设，故这是一个自洽的理论体系。
r2
1
sin
(sin
)
r2
1
sin 2
2 2
2m 2
(E
e2 4πε0
r
)
0
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
分离变量法求解,设 : (r, , ) R (r ) Θ( )Φ( )
1 r2d drຫໍສະໝຸດ (r 2dR dr
)
2m 2
E
e2
4π 0r
r
2
R
0
1
sin
d sin θ dθ
dΘ dθ
ml2
sin 2
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L
2
l 0 , 1, 2 , 3, , n 1
O
l : ( 轨道 )角（副）量子数
例如，n =3 时， l = 0，1，2
l 0, l 1, l 2,
L0 L 2 L 6
氢原子的量子理论
二、量子化条件和三个量子数
3、角动量空间量子化和磁量子数
当置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取一些特定的方向，L 在外磁场方向（Z 轴）的投影也 满足量子化条件：
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子是自然界中最简单的原子系统，用薛定谔方
程求解氢原子中电子的能级和本征波函数，是量子力 学创立初期最令人信服的成就。
由于求解过程比较复杂，下面只介绍求解的思路和 步骤，列出结果并讨论物理意义。
原子核的质量比电子的质量大的多，在氢原子中
可近似认为原子核静止而电子运动，因此电子的能 量就代表整个氢原子的能量。
ml = 0
组量子数（n、l、m），有一确 1,
定的波函数描述一个确定的状态。 n = l = 1
2,
将概率密度的空间分布形象
ml = 0
ml =±1
化地作成象云一样的图象，空间 n = l = 2
任何一点上云的密度（图中表示 3,
为明亮程度）与概率密度成正比，
ml = 0
ml =±1
ml =±2
称为电子云图。
r2
1
2
1
sin 2
2 2
2m 2
(E
e2 4πε0
r
)
0
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
分离变量法求解,设 : (r, , ) R (r ) Θ( )Φ( )
1 r2
d dr
(r 2
dR dr
)
2m 2
E
e2
4π 0r
r
2
R
0
1
sin
d sin θ dθ
z
LZ
L
q
O
L z m l , m l 0, 1, 2, , l
ml : ( 轨道 ) 磁量子数 ( 2l+1) 个 磁量子数其决定了电子角动量在空间的可能取向
氢原子的量子理论
三、氢原子中电子的概率分布（电子云）
在氢原子中，求解薛定谔方程
得到的电子的波函数，对应每一 n = l = 0
所谓 “电子云”，并非表示一个电子同时占据云图 的整个空间，它只是表示在某点发现电子的概率密度。
氢原子的量子理论
二、量子化条件和三个量子数
2、角动量量子化和角量子数
电子绕核运动的( 轨道 )角动量的大小是量子化的： z
L l (l 1) h l (l 1)
L
2
l 0 , 1, 2 , 3, , n 1
O
l : ( 轨道 )角（副）量子数
1）当主量子数 n 确定后 , 角量子数可取 l=0，1，…..(n-1) ，
1、能量量子化和主量子数
me4 1
En ( 8 0 2h 2 ) n 2 ,
n 1, 2, 3, n：主量子数
E1
me4
8
2 0
h
2
13.6eV,
En
1 n2
E1
1 n2
13.6eV,
1）主量子数决定着氢原子能量的取值；
2）n=1，称为基态；n=2.3.4…… 称之为激发态；
3）与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解 结果，不是人为的假设，故这是一个自洽的理论体系。
电子受原子核的库仑力作用，势能函数为: （取无限远处为势能零点）
e
Ep
e2 4πε0r
r
e +
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
一般定态薛定谔方程：
2
2m 2
(
E
E
p
)
0
Ep
e2 4πε0r
定态薛定谔方程:
2
2m 2
(
E
e2 )
4πε0r
0
采用球极坐标:
定态薛定谔方程:
1 r2
r
(r2
r
)
dΘ dθ
ml2
sin 2
Θ 0
d 2Φ
d 2
ml
2Φ
0
式中：ml 和λ为引入的常数，解此三个方程，并考虑到 波函数应满足的条件，即可得到波函数 :
(r , , ) R (r )Θ( ) Φ ( )
氢原子的量子理论
二、量子化条件和三个量子数
（不深究繁琐的求解过程，着重讨论所得出的几点重要结论）
角动量共有n个分立的值
2）处于l = 0, 1, 2, 状态的电子分别称为s, p, d, 电子
3）与玻尔的假设
L
n h
2
有所区别，
实验证明，量子力学的结果更为准确。
氢原子的量子理论
二、量子化条件和三个量子数
2、角动量量子化和角量子数
电子绕核运动的( 轨道 )角动量的大小是量子化的： z
L l (l 1) h l (l 1)