浙江大学统计学假设检验
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第五章 假设检验
假设检验是统计学中最重要的概念之一，是统计 推断的核心，因此正确地理解假设检验的思想，掌 握假设检验的方法与步骤，对统计学的学习和应用 具有十分重要的意义。
第一节 假设检验的基本思想
一、小概率事件与假设检验
为了研究某一特定总体的特征，需要对总体中的每一个 体进行测量，然后计算出相应的参数。但是通常一个总体中 个体是无限多的，由于人力、物力和时间等因素的限制，在 绝大多数的情况下，研究者没有能力和必要对总体中的每一 个体进行测量，只能用随机抽样的方法，得到一个能够很好 地代表总体的样本，通过对样本指标的测量，以样本的特征 来推断总体的参数。由于这种估计存Βιβλιοθήκη Baidu抽样误差，可以根据 抽样误差的分布规律对抽样误差的大小进行估计。
三、两类错误
尽管假设检验帮助我们回答了μ与μ 0是否相等的问题，但它是 建立在小概率原理上的判断，无论接受无效假设 H0、拒绝备择 假设 H1，还是接受备择假设 H1、拒绝无效假设 H0都有可能犯错 误。统计学中将拒绝了正确的无效假设 H0称为Ⅰ类错误（ type Ⅰerror），犯Ⅰ类错误的概率用α表示，通常称之为检验水准
二、单、双侧检验
通常假设检验的目的是两总体是否相等，备择假设是 μ≠μ0，即μ可以大于μ 0，也可以小于μ 0，因此是双 侧检验。但是如果你从专业知识的角度判断μ不可能大 于μ0（或者是μ不可能小于μ 0），这就是单侧的检验， 此时备择假设为μ＜μ 0（或者是μ＞μ0）。
例如：要比较经常参加体育锻炼的中学男生心率是否 低于一般中学男生的心率，就属于单侧检验。因为根据 医学知识知道不会高于一般中学男生，因此在进行假设 检验时，应使用单侧检验。即 H0：μ=μ0经常参加体育 锻炼的中学男生心率与一般中学男生的心率相同， H1： μ＜μ0。经常参加体育锻炼的中学男生心率低于一般中 学男生的心率。
按照假设检验的思想用双侧检验对例 5-l提出的问题进行假设检验。
无效假设 H0：常年参加体育锻炼的中学男生的心率与一般的中学男 生相等，即μ=μ 0。
备择假设 H1：常年参加体育锻炼的中学男生的心率与一般的中学男 生不同，即μ≠μ 0。
将检验水准确定为α＝ 0.05。
由于在无效假设的前提下，可以认为样本是来自μ 0＝74次／分钟， 标准差σ＝ 6次／分的总体。此时构造统计量 u：
估计值X 。因此X 与μ0之间的差异（不相等）应有两种可能： 1.μ与μ0本身就不相等，所以导致了 X与μ0之间的差异； 2.μ与μ0相等仅因为用 X 去估计μ时存在抽样误差，所
以导致了 X 与μ0之间的差异。
因为均数有抽样误差，故当观察到样本均数 不X等于μ 0时，不
能下结论μ≠μ 0，到底μ与μ 0是否相等，需作统计推断。
样本是否属小概率事件，若属小概率事件，则拒绝该假设；若
不属小概率事件，则不拒绝该假设。关于μ与μ 0是否相等的研 究中，首先假设μ=μ 0，然后看在μ=μ 0的情况下实际观察到的 样本的情况是否属小概率事件。
先前的假设即：这个样本是从均数为μ 0的总体中抽出来的（μ ＝μ0）称为无效假设（ null hypothesis ）用H0表示，将 μ≠μ0称为备择假设（ alternative hypothesis ）用H1表示， 其意义是当无效假设 H0被拒绝后，应该接受的假设，所以称为备 择假设或对立假设。
u ? X ? ?0
(5 ? 1)
在无效假设成? 立/ 的n情况下， u服从标准正态分布 N（0，1），｜
u｜≥u0.05/2=1.96的概率为 0.05，故一次随机抽样“ |μ|≥1.96 ”属 于小概率事件，若实际样本出现“ |μ|≥1.96 ”则拒绝 H0。
可以想象如果一个事件发生的概率很小，那么在只进 行一次试验时，我们说这个事件是“不会发生的”。 从一般的常识就可以知道，这句话在大多数情况下是 正确的，但是它一定有犯错误的时候，因为发生的概 率再小也总是有可能发生的。这就是小概率原理。
例如现在买体育彩票中特等奖的概率是千万分之一左 右，如果你只买 1注，你是得不到特等奖的，这句话在 绝大多数情况下是正确的，但是它一定有犯错误的时 候，因为确实有人中了特等奖。
当要用抽样的方法研究一个未知总体的均数μ是否和一个已
知总体的均数μ 0相等时，通常是从未知总体中随机抽取一个样 本，对样本中的每一个体进行测量，得到相应的测量值（ X1，
X2，…，Xn），并计算出样本的均数 X ，可以用样本的均数 X
去估计未知总体的均数μ。此时要比较的是μ与μ 0是否相等， 但是由于μ是“无法”得到的，只能通过抽样的样本得到μ的
在统计学中约定，如果一个事件发生的概率P≤0.05 就把这个事件称之为小概率事件。
既然有两种可能造成 X与μ0之间的差异，无法确定μ是否等
于μ0，但是我们已经知道如果是采用随机抽样的方法得到的样 本，那么抽样误差的分布是存在一定规律的。假设检验的基本
思想是：先提出假设，然后在假设成立的前提下看实际拍到的
例5-1 已知一般中学男生的心率平均值为 74次／分 钟，标准差 6次／分钟，为了研究经常参加体育锻炼的 中学生心脏功能是否增强，在某地区中学中随机抽取常 年参加体育锻炼的男生 100名，得到心率平均值 65次／ 分钟。
这是一个未知总体与已知总体均数比较的问题。在 这个例子中我们把中学一般男生作为一个已知总体，该 总体心率的均数μ 0=74次／分钟，标准差σ＝ 6次／分。 将常年参加体育锻炼的中学男生作为一个未知总体，通 过随机抽样，得到该总体心率的均数μ的估计值 X ＝65 次／分钟，样本量 n＝100。试问：常年参加体育锻炼 的中学男生心率是否与一般中学男生相等？
（level of significance ），常取 α＝0.05；将接受了错误
的无效假设 H0称为Ⅱ类错误（type Ⅱ error）。犯Ⅱ类错误的 概率用β表示。在统计学中将 l－β称为检验效能（ power of
test），其意义是当两个总体存在差异时（即备择假设 Hc： μ≠μ 0成立时），所使用的统计检验能够发现这种差异（拒绝 无效假设 H0：μ=μ0）的能力，通常检验效能应该达到 0.8左右。
假设检验是统计学中最重要的概念之一，是统计 推断的核心，因此正确地理解假设检验的思想，掌 握假设检验的方法与步骤，对统计学的学习和应用 具有十分重要的意义。
第一节 假设检验的基本思想
一、小概率事件与假设检验
为了研究某一特定总体的特征，需要对总体中的每一个 体进行测量，然后计算出相应的参数。但是通常一个总体中 个体是无限多的，由于人力、物力和时间等因素的限制，在 绝大多数的情况下，研究者没有能力和必要对总体中的每一 个体进行测量，只能用随机抽样的方法，得到一个能够很好 地代表总体的样本，通过对样本指标的测量，以样本的特征 来推断总体的参数。由于这种估计存Βιβλιοθήκη Baidu抽样误差，可以根据 抽样误差的分布规律对抽样误差的大小进行估计。
三、两类错误
尽管假设检验帮助我们回答了μ与μ 0是否相等的问题，但它是 建立在小概率原理上的判断，无论接受无效假设 H0、拒绝备择 假设 H1，还是接受备择假设 H1、拒绝无效假设 H0都有可能犯错 误。统计学中将拒绝了正确的无效假设 H0称为Ⅰ类错误（ type Ⅰerror），犯Ⅰ类错误的概率用α表示，通常称之为检验水准
二、单、双侧检验
通常假设检验的目的是两总体是否相等，备择假设是 μ≠μ0，即μ可以大于μ 0，也可以小于μ 0，因此是双 侧检验。但是如果你从专业知识的角度判断μ不可能大 于μ0（或者是μ不可能小于μ 0），这就是单侧的检验， 此时备择假设为μ＜μ 0（或者是μ＞μ0）。
例如：要比较经常参加体育锻炼的中学男生心率是否 低于一般中学男生的心率，就属于单侧检验。因为根据 医学知识知道不会高于一般中学男生，因此在进行假设 检验时，应使用单侧检验。即 H0：μ=μ0经常参加体育 锻炼的中学男生心率与一般中学男生的心率相同， H1： μ＜μ0。经常参加体育锻炼的中学男生心率低于一般中 学男生的心率。
按照假设检验的思想用双侧检验对例 5-l提出的问题进行假设检验。
无效假设 H0：常年参加体育锻炼的中学男生的心率与一般的中学男 生相等，即μ=μ 0。
备择假设 H1：常年参加体育锻炼的中学男生的心率与一般的中学男 生不同，即μ≠μ 0。
将检验水准确定为α＝ 0.05。
由于在无效假设的前提下，可以认为样本是来自μ 0＝74次／分钟， 标准差σ＝ 6次／分的总体。此时构造统计量 u：
估计值X 。因此X 与μ0之间的差异（不相等）应有两种可能： 1.μ与μ0本身就不相等，所以导致了 X与μ0之间的差异； 2.μ与μ0相等仅因为用 X 去估计μ时存在抽样误差，所
以导致了 X 与μ0之间的差异。
因为均数有抽样误差，故当观察到样本均数 不X等于μ 0时，不
能下结论μ≠μ 0，到底μ与μ 0是否相等，需作统计推断。
样本是否属小概率事件，若属小概率事件，则拒绝该假设；若
不属小概率事件，则不拒绝该假设。关于μ与μ 0是否相等的研 究中，首先假设μ=μ 0，然后看在μ=μ 0的情况下实际观察到的 样本的情况是否属小概率事件。
先前的假设即：这个样本是从均数为μ 0的总体中抽出来的（μ ＝μ0）称为无效假设（ null hypothesis ）用H0表示，将 μ≠μ0称为备择假设（ alternative hypothesis ）用H1表示， 其意义是当无效假设 H0被拒绝后，应该接受的假设，所以称为备 择假设或对立假设。
u ? X ? ?0
(5 ? 1)
在无效假设成? 立/ 的n情况下， u服从标准正态分布 N（0，1），｜
u｜≥u0.05/2=1.96的概率为 0.05，故一次随机抽样“ |μ|≥1.96 ”属 于小概率事件，若实际样本出现“ |μ|≥1.96 ”则拒绝 H0。
可以想象如果一个事件发生的概率很小，那么在只进 行一次试验时，我们说这个事件是“不会发生的”。 从一般的常识就可以知道，这句话在大多数情况下是 正确的，但是它一定有犯错误的时候，因为发生的概 率再小也总是有可能发生的。这就是小概率原理。
例如现在买体育彩票中特等奖的概率是千万分之一左 右，如果你只买 1注，你是得不到特等奖的，这句话在 绝大多数情况下是正确的，但是它一定有犯错误的时 候，因为确实有人中了特等奖。
当要用抽样的方法研究一个未知总体的均数μ是否和一个已
知总体的均数μ 0相等时，通常是从未知总体中随机抽取一个样 本，对样本中的每一个体进行测量，得到相应的测量值（ X1，
X2，…，Xn），并计算出样本的均数 X ，可以用样本的均数 X
去估计未知总体的均数μ。此时要比较的是μ与μ 0是否相等， 但是由于μ是“无法”得到的，只能通过抽样的样本得到μ的
在统计学中约定，如果一个事件发生的概率P≤0.05 就把这个事件称之为小概率事件。
既然有两种可能造成 X与μ0之间的差异，无法确定μ是否等
于μ0，但是我们已经知道如果是采用随机抽样的方法得到的样 本，那么抽样误差的分布是存在一定规律的。假设检验的基本
思想是：先提出假设，然后在假设成立的前提下看实际拍到的
例5-1 已知一般中学男生的心率平均值为 74次／分 钟，标准差 6次／分钟，为了研究经常参加体育锻炼的 中学生心脏功能是否增强，在某地区中学中随机抽取常 年参加体育锻炼的男生 100名，得到心率平均值 65次／ 分钟。
这是一个未知总体与已知总体均数比较的问题。在 这个例子中我们把中学一般男生作为一个已知总体，该 总体心率的均数μ 0=74次／分钟，标准差σ＝ 6次／分。 将常年参加体育锻炼的中学男生作为一个未知总体，通 过随机抽样，得到该总体心率的均数μ的估计值 X ＝65 次／分钟，样本量 n＝100。试问：常年参加体育锻炼 的中学男生心率是否与一般中学男生相等？
（level of significance ），常取 α＝0.05；将接受了错误
的无效假设 H0称为Ⅱ类错误（type Ⅱ error）。犯Ⅱ类错误的 概率用β表示。在统计学中将 l－β称为检验效能（ power of
test），其意义是当两个总体存在差异时（即备择假设 Hc： μ≠μ 0成立时），所使用的统计检验能够发现这种差异（拒绝 无效假设 H0：μ=μ0）的能力，通常检验效能应该达到 0.8左右。