高三数学简单的线性规划问题PPT教学课件 (2)
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
苏教版高三数学复习课件6.2 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
变式1：(2010·南京市第九中学调研测试)不等式组
所表示的平面
区域的面积等于________．
解析：画出平面区域如图，由 得x=1，在x+3y=4中令x=0得y= 令x=0得y=4.∴平面区域的面积为 答案： ，在3x+y=4中 .
1．在可行域内求目标函数的最值，必须先准确地作出可行域，再作出目标函数 对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值． 2．最优解的确定方法 线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优 解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置 得到的；当b<0时，则是向下方平移．
③若适合，则该点 所在的一侧 即为不等式所表示的平面区域，否则，
直线的另一侧为不等式所表示的平面区域． (3)二元一次不等式组表示平面区域 不等式组中各个不等式表示平面区域的 公共 部分．
思考：不等式y≥kx＋b与y＞kx＋b所表示的平面区域有何不同？ 提示：不等式y≥kx＋b表示的平面区域包括边界直线，此时边界直线画成实线，而 y>kx＋b表示的平面区域不包括边界直线，此时边界直线画成虚线．
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收 益为z元，由题意得 目标函数为z＝3 000x＋2 000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所示的平面区域．即可行域，如图
所示，作直线l：3 000x+2 000y=0，即3x+2y=0.平移直线l，
从图中可知，当直线l过点M时，目标函数取得最大值．
平面区域相交，研究直线在y(或x)轴上截距的最大值或最小值，从而求某 些二元一次函数的最值． 2．解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要的 一环，故要重视画图；而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点
二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第2讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题, [学生用书P111])1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组) 表示区域 Ax ＋By ＋C >0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成的有序数对(x ，y )，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于变量x ，y 的函数解析式，如z ＝x ＋2y 线性目标函数 关于变量x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 1．辨明两个易误点(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)的形式；(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．2．求z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．1.教材习题改编 不等式x －2y ＋6<0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方C [解析] 画出x －2y ＋6<0的图象如图所示，可知该区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．故选C.2.教材习题改编 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．3B ．32C ．－32D ．－3A [解析] 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，知y ＝－2x ＋z ，当目标函数过点(2，－1)时直线在y 轴上的截距最大，为3.3．(2016·高考北京卷)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8C [解析] 依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，所以线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈[2，4]，即y ＝－2x ＋9，x ∈[2，4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈[2，4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在[2，4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.4．(2017·扬州模拟)点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．[解析] 因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.[答案] ⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 5．约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0表示的平面区域的面积为________．[解析]作出⎩⎨⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)，所以S 阴＝S △ABC ＝12×4×2＝4.[答案] 4二元一次不等式(组)表示的平面区域[学生用书P112][典例引领](1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得A (8，－2)． 由x ＋y －2＝0得B (0，2)．又|CD |＝2，故S 阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4.(2)不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (1)4 (2)(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞若本例(2)条件变为：若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．[解析] 如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件．[答案] [5，7)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[通关练习]1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )C [解析] (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y －2≤0y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为________．[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．[答案] －1求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)[学生用书P113]线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，属中档题．高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查主要有以下两个命题角度： (1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．(2)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】 (1)作出不等式组表示的平面区域， 如图中阴影部分所示，由图知当z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时， z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中， 解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B. 【答案】 (1)－10 (2)B利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)画出约束条件对应的可行域；(2)将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点； (3)将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值．[注意] 对于已知目标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代入目标函数．[题点通关]角度一 求线性目标函数的最值(范围)1．(2016·高考全国卷甲)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．[解析] 法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3，4)时，z min ＝3－2×4＝－5.法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得z min ＝－5.[答案] －5角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)2．(2017·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．[解析] 画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.[答案] 10线性规划的实际应用[学生用书P113][典例引领](2016·高考全国卷乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意，设产品A 生产x 件， 产品B 生产y 件， 利润z ＝2 100x ＋900y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000(2016·高考天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C甲 4 8 3 乙 5 5 10现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．, [学生用书P114])——数形结合思想求解非线性规划问题(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．【解析】 画出可行域如图阴影所示，因为 yx 表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，所以点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 所以A (1，3)． 所以yx的最大值为3.【答案】 3(1)本题在求y x 的取值范围时，利用数形结合思想，把yx转化为动点(x ，y )与定点(0，0)连线的斜率．解决这类问题时，需充分把握目标函数的几何含义，在几何含义的基础上加以处理．(2)常见代数式的几何意义： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离；② （x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；③yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率值； ④y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率值．1.(2016·高考山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.显然，当点P 与点A 重合时，|OP |2即x 2＋y 2取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.2．(2017·洛阳统考)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( )A ．32B ．43C ．2D ．4B [解析] 画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43., [学生用书P331(独立成册)])1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [解析] 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.2．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋2y ＋2≥0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1>0x －2y ＋2>0A [解析] 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0，0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0，0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3]B ．[－1，1]C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)D [解析] 直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D.4．(2017·大连双基测试)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y ≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2A [解析] 可行域如图，平移直线y ＝2x 至过点(5，3)时，z 取得最小值－7.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1C ．43D ．3B [解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2，0)，B (1－m ，1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m ，0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )(1＋m －2＋2m 3) ＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．6．(2017·河南省六市第一次联考)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3B [解析] 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A (2，3)时符合题意，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5，故选B.7．(2017·安徽安庆二模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0，z ＝x －2y ，则z 的取值范围是________．[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图，由图可知当z ＝x －2y 过点A 时，z 取得最大值； 当z ＝x －2y 过点B 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B (1，2)，则z min ＝1－2×2＝－3， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2，0)，则z max ＝2－2×0＝2， 故z ＝x －2y 的取值范围是[－3，2]． [答案] [－3，2]8．(2017·贵州黔东南州模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．[解析] 作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. [答案] 5 9．(2016·高考浙江卷改编)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________．[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1，1)，所以|AB |＝|CD |＝（2＋1）2＋（－2－1）2＝3 2.[答案] 3 210．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．[解析] 法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.[答案] －1或211．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． [解] (1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．12．(2017·江西高安中学联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5)C ．[0，5]D ．⎣⎡⎭⎫53，5B [解析] 作出可行域如图所示：易求得A ⎝⎛⎭⎫2，32，B ⎝⎛⎭⎫13，23，C (2，－1)，令μ＝2x －2y －1，则y ＝x －μ＋12，当直线y ＝x －μ＋12过点C (2，－1)时，μ有最大值5，过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，μ有最小值－53，因为可行域不包括x ＝2的边界，所以z ＝|2x －2y －1|的取值范围是[0，5)．故选B.13．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．[解] (1)法一：因为P A →＋PB →＋PC →＝0， 又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2.法二：因为P A →＋PB →＋PC →＝0， 则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，所以OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，所以|OP →|＝2 2. (2)因为OP →＝mAB →＋nAC →， 所以(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.14．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A ，B ，C 的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料 甲(吨) 乙(吨) 资源数量(吨) A 1 1 50 B 4 0 160 C 2 5 200如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？[解] 设工厂一周内安排生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，所获周利润为z 元．依据题意，得目标函数为z ＝300x ＋200y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ≤160，2x ＋5y ≤200，y ≥0，x ≥0.欲求目标函数z ＝300x ＋200y ＝100(3x ＋2y )的最大值，先画出约束条件表示的可行域， 如图中阴影部分所示，则点A (40，0)，B (40，10)，C ⎝⎛⎭⎫503，1003，D (0，40)．作直线3x ＋2y ＝0，当移动该直线过点B (40，10)时，3x ＋2y 取得最大值，则z ＝300x ＋200y 取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)． 故z max ＝300×40＋200×10＝14 000.所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14 000元．。
人教版高中数学必修五第3章 3.3 3.3.3 简单的线性规划问题(二) 课件
(x＋2)2＋y2＝1 上，那么|PQ|的最小值是( A )
A．1
B．2
2 C.
310－1
2 10 D. 3
2x＋5y≥10， 4．已知 x，y 满足约束条件2x－3y≥－6， 则 z＝x2＋y2
2x＋y≤10，
100 的最小值为______2_9_____．
题型3 非线性目标函数(面积)
|3x＋4y＋5| (3)
表示点
P(x，y)与_直__线__3_x＋__4_y_＋__5_＝__0_的距离．
5
题型1 非线性目标函数(斜率) 例1：求 z＝ yx＋＋11的最大值，其中 x，y 满足约束条件
思维突破：把所求问题看成区域上的点与点(－1，－1)连 线的斜率．
自主解答：作出不等式组表示的可行域如图 D18.
图D23
例 4：若不等式组xx≥ ＋03， y≥4， 3x＋y≤4
所表示的平面区域被直线
y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则 k 的值是( )
欢迎来到二)
1．进一步了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性 目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．
2．掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求目标函数的 最大值、最小值．
3．训练数形结合、化归等常用思想，培养和发展数学应用 意识．
非线性目标函数．
当把 z 看作常数时，它表示点(x，y)与点(－1，－1)所在直
线的斜率，点(x，y)在可行域内．因此当点(x，y)是点 A 时，斜
率 z 最大．
∵点 A 为直线 y＝11 与 y 轴的交点，
∴点 A 的坐标为(0,11)．
∴zmax＝101＋＋11＝12.
图 D18
对形如 z＝acxy＋＋db(ac≠0)型的目标函数，可先变 形为 z＝ac·yx－ －－ －badc的形式，将问题化为可行域内的点(x，y)与 －dc，－ba连线斜率的ac倍的范围、最值等．
简单的线性规划问题课件
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为[12，2]．
x＋y≤6 若变量 x、y 满足约束条件x－3y≤－2
x≥1
，则 z＝2x＋3y
的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
[答案] C
[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)． 作出直线 l：2x＋3y＝0. 平移直线 l 到 l′的位置，使直线 l 通过可行域中的 A 点(如 图) 这时直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴 上的截距为 z，随 z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截 距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0 0 ，得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx－＝41y＋3＝0 ，得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x，y)叫做 可行解 ； 由所有可行解组成的集合叫做 可行域 ；使目标函数取得最大值 或最小值的可行解叫做 最优解．
(2013·福建文，6)若变量 x、y 满足约束条件xx＋ ≥y1≤2 y≥0
，则 z
温故知新
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种 矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t．列 出满足生产条件的关系式，并画出平面区域．
简单的线性规划问题
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江苏省靖江市第一高级中学高中数学必修五苏教版课件：3.3.3 简单的线性规划问题(2)
一、问题情景
某校办工厂有方木料90m3,五合板600m2，正准备为外校新生加工 新桌椅和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2 ，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获 利润80元，出售一张书橱可获利润120元.
（1）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案。 方案一：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌300张，可获得利 润80×300=24000元，但方木料没有用完. 方案二：若只生产书橱，用完方木料，可生产450张书橱，可获得利 润120×450=54000元，但五合板没有用完.
学段
初中 高中
班级学生数 配备教师数
45
2
40
3
硬件建设 （万元）
26／班 54／班
教师年薪 （万元）
2／人 2／人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．若根据有关部门的规 定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元.因 生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个） 那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？
xN
y N
目标函数为： z 80x 120y
(3)如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能 够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？ 方案三、生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为56000元．
二、线性规划在实际中的应用
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完 成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、 物力、资金等资源来完成该项任务.
简单的线性规划问题
三、新知建构，典例分析
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
x2y 8
44
x y
16 12
象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件
x
0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又
y 0
称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最值的可行解叫做这个 问题的最优解
y4x z 3 28
z 28 是直线在y轴上
的截距，当截距最
5/7 M
小时，z的值最小。 3/7
3、移
如图可见，当直线z＝ 28x＋21y 经过可行 域上的点M时，纵截距 最小，即z最小。
o
3/7
y4x 3
/ 57 6/7 x
4、求 M点是两条直线的交点，解方程组
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
二、新课引入，任务驱动
1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：
“直线定界、特殊点定域”
2、二元一次不等式组表示的平面区域
各个不等式所表示的平面区域的公共部分
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能掌握简单的线性规 划问题的解法及步骤吗？
三、新知建构，典例分析
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
简单的线性规划问题(二)
3 ．在△ ABC 中，三顶点坐标为 A (2,4) ， B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部 及边界运动，则z＝x－y的最大，最小值分 别是 ( ) A．3,1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－1
解析：本题运用线性规划问题的图象解 法．只需画出约束条件对应的可行域，即 一个封闭的三角形区域(含边界)，再平移直 线x－y＝0使之经过可行域，观察图形，找 出动直线纵截距最大时和最小时经过的点， 然后计算可得答案． 答案：C
x－y＝－1， 解方程组 x＋y＝5，
得 A(2,3)，
所以 zmin＝2×2－3×3＝－5. 当直线经过点 B 时， 直线的纵截距最小， 此时 z 最大．
x－y＝3， 解方程组 x＋y＝1，
得 B(2，－1)，
所以 zmax＝2×2－3×(－1)＝7. 所以 2x－3y 的取值范围是[－5,7]
[点评] 对于线性规划中的最优整数解的问 题，当解方程组得到的解不是整数解时， 可用下面的方法求解： ①平移直线法：先在可行域内打网格，再 描整点，平移直线 l ，最先经过或最后经过 的整点坐标是整点最优解． ②检查优值法：当可行域内整点个数较少 时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求 值，经比较得出最优解． ③调整优值法：先求非整点最优解及最优 值，再借助不定方程知识调整最优值，最
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
高中数学人教A版必修5第三章3.3.2简单的线性规划问题(二)课件
学段 初中 高中
硬件建设 班级学生数 配备教师数 万元
45
2
26／班
40
3
54／班
教师年薪 万元
2／人 2／人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若 根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600 元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中 班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以 20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
2x+y=15 x+y=12 x+2y=18
x 27
x+3y=27
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12
B(3,9)和C(4,8)在直线上,且在可行域内, 整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略）
{2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
目标函数t = x+y
y 15
B(3,9)
9
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
x+y =0
2 1 0 12 78
x
18
27
作出直线 x+y=0，
2x+y=15
x+2y=18 x+3y=27
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移，
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
x
1 7
得M点的坐标为：
人教A版高中数学必修五课件3.3.2简单的线性规划问题2.pptx
5．已知线性目标函数 z＝3x＋2y，在线性约束条件
x＋y－3≥0 2x－y≤0 y≤a
下取得最大值时的最优解只有一个，则实数 a
的取值范围是________．
x＋y－3≥0
解析： 作出线性约束条件2x－y≤0
y≤a
表示的平面
区域，
如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目 标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行， 根据图形及直线的斜率，可得实数a的取值范 围是[2，＋∞)．
元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过 13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最 大利润是( )
• A．12万元
B．20万元
• C．25万元D．27万元
解析： 设该企业在一个生产周期内各生产甲、乙产品
x、y 吨，获得利润 z 万元，根据题意，得
3x＋y≤13
2x＋3y≤18 x≥0
• (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的 最大值和最小值．
• [注意] 画可行域时，要特别注意可行域各边 的斜率与目标函数直线的斜率的大小关系，以 便准确判断最优解．
• 2．最优解的确定
• 最优解的确定可有两种方法：
• (1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或 最后通过的顶点便是最优解．
交点 A(4,5)时，目标函数 z＝200x＋300y 取到最小值为 2 300
元，故所需租赁费最少为 2 300 元．
• 答案： 2300
• 2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨 甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产
品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可 获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万
规格类型 钢板类型
届高考数学一轮复习讲义课件：二元一次不等式与简单的线性规划问题(共59张PPT)
1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 在平面直角坐标系 中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域．我们把 直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画 不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直 线，则把边界直线画成实线． (2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致 可分为以下四种情况(如图所示)．
点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取 得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后) 通过的区域内的点便是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直 线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个 .
变式迁移 2
设 z＝2y－2x＋4，式中 x、y 满足条件00≤≤xy≤ ≤21， ， 2y－x≥1.
2．简单的线性规划问题 (1)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是： ①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的 平行直线系中的任意一条直线 l. ②平移：将直线 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． ③求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出 目标函数的最值． (2)关于线性规划的几点说明： ①最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多． ②对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标 函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界 上达到．
所以，原不等式组表示的区域如图所示．
题型二 线性目标函数的最值问题
例 2.已知 x，y 满足条件
35xx＋ ＋83yy＋ －16≤ 5≥00，， 2x－5y＋10≥0，
则 z＝x－y 的取值范围是________．
解析 先画出约束条件的可行域，如图所示，
简单的线性规划问题 课件
【解析】1.选A.根据题意画出约束条件确定的可行域， 如图所示：
因为z=-2x+y，则y=2x+z，可知过图中点A(1，1) 时，z=-2x+y取得最大值-1，故选A.
2.选C.作出可行域，如图：
ห้องสมุดไป่ตู้
因为目标函数z=x-y中y的系数-1<0，而直线y=x-z 表示斜率为1的一组直线，所以当它过点(2，0)时，在 y轴上的截距最小，此时z取得最大值2；当它过点(0， 1)时，在y轴上的截距最大，此时z取得最小值-1，所 以z=x-y的取值范围是[-1，2].
2.对目标函数z=Ax+By+C(A，B不全为0)的理解 当B≠0时，由z=Ax+By+C得y= A x z C .这样，二元一 次函数就可以视为斜率为- A ，B在y轴上B 截距为 z C ，且 随z变化的一组平行线.于是B，把求z的最大值和最B 小值 的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上 的截距的最大值和最小值的问题.
作出直线2x+4y=0，并平移至过点A处时z=2x+4y取得 最小值. 由方程组 x y得 0A，(3，-3)， 所以zmin=2x×33，+4×(-3)=-6. 答案：-6
【知识探究】 知识点 简单的线性规划问题 观察图形，回答下列问题：
问题1：目标函数与线性目标函数有何不同？ 问题2：可行域所表示的区域是怎样的图形？
直线l经过可行域内点C时，u最大，由 x
2y
4
0，
得 所以umax= ，所以
2y 3 0，
C(1，3 )， 2
5 6
(
y x
1 2
)max
5． 6
【方法技巧】非线性目标函数的最值的求解策略 (1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数可转化为点(x，y) 与点(a，b)距离的平方；特别地，z=x2+y2型的目标函 数表示可行域内的点到原点的距离的平方.
人教A版高中数学必修5精品课件3-3-2简单的线性规划问题
第30页
第三章 3.3 3.3.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【解析】 由－4≤f(1)≤－1，得－4≤a－c≤－1.
A．－7 C．－5
B．－6 D．－3
第18页
第三章 3.3 3.3.2 第一课时
高考调研
【解析】
新课标A版 ·数学 ·必修5
第19页
第三章 3.3 3.3.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而
目标函数可化为y＝
2 3
x－
z 3
，先画出l0：y＝
高考调研
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课后巩固
第35页
第三章 3.3 3.3.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
x＋2y≥2，
1．已知x、y满足3x≥x＋0y，≥1， 则z＝2x＋y(
)
y≥0，
A．有最大值1
B．有最小值1
C．有最大值4
D．有最小值4
答案 B
第36页
第三章 3.3 3.3.2 第一课时
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Байду номын сангаас
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第三章 不等式
第1页
第三章 不等式
高考调研
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3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第2页
第三章 不等式
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5 4
x x
4 9
y y
200 363
, ,
x
0,
y 0;
z=600x+1000y
作出以上不等式组所表示的平面区域，
即可行域.
讲授新课
y
10
O 10
x
讲授新课
y
10 x4y300
10
O 10
x
讲授新课
y
10 x4y300
10
O 10
5x4y200
x
讲授新课
y
10 x4y300 M
(3) 能画出它的可行性区域吗？ (4) 能求出它的最优解吗？ (5) 你能总结出解线性规划应用题的一般步
骤吗？
讲授新课
1. 效益最佳问题
例2.某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产 甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、 煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B 种矿石4t、煤9t. 每1t甲种产品的利润是600元 每1t乙种产品的利润是1000元. 工厂在 生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿 石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不 超过363t.甲、乙两种产品应各生产多少， 能使利润总额达到最大.
4x9y363
10
O 10
5x4y200
x
讲授新课
y
10 x4y300 M
4x9y363
10
O 10
5x4y200
x
பைடு நூலகம்
讲授新课
y
作直线l:600x+1000y=0, 即直线l:3x+5y=0.
10 x4y300 M
4x9y363
l:13 0 x5y05x4y200
O 10
x
讲授新课
y
把直线l向右上方平移至l1的
讲授新课
1. 效益最佳问题
将已知数据列成下表：
食物 碳水化合物 蛋白质 脂肪
(kg)
(kg)
(kg) (kg)
A
0.105
B
0.105
0.07 0.14 0.14 0.07
讲授新课
探究
(1) 如果设食用A食物xkg、食用B食物ykg， 则目标函数是什么？
(2) 总成本z随A、B食物的含量变化而变化， 是否任意变化，受什么因素制约？列出 约束条件.
讲授新课
y
16 2xy15
8
4 2
O2 8
x3y27
讲授新课
分析：将已知数据列成下表：
产品 甲产品
消耗量 资源
(1t)
A种矿石(t) 10
B种矿石(t) 5
煤(t)
4
利润(元) 600
乙产品 (1t)
4 4 9 1000
资源限额 (t)
300 200 363
讲授新课
建模: (1)确定变量及其目标函数： (2) 分析约束条件：
(3) 建立数学模型. (4) 求解.
O 10
x
讲授新课
例3.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料， 生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4t、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要 的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15 t.现库 存磷酸盐10t、硝酸盐66 t，在此基础上生 产这两种混合肥料.若生产1车皮甲种肥料， 产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥 料，产生的利润为5000元.那么分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的
讲授新课
建模: (1)确定变量及其目标函数：若设生 产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润额 为z元，则z=600x+1000y.
(2) 分析约束条件：
(3) 建立数学模型. (4) 求解.
讲授新课
建模: (1)确定变量及其目标函数：若设生 产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润额 为z元，则z=600x+1000y.
位置时，直线经过可行域上
的点M，且与原点距离最大.
此时z=600x+1000y取最大值.
l1
10 x4y300
M
4x9y363
l:13 0 x5y05x4y200
O 10
x
讲授新课
y
解方程组：45xx94yy3260,,30
得M的坐标(1为 2, 35).
l1
10 x4y300
M
4x9y363
l:13 0 x5y05x4y200
k等于 ( D )
A .2 B .9 C .310D .0
讲授新课
1. 效益最佳问题
例1.营养学家指出，成人良好的日常饮食 应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg 的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有 0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg 脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳 水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21 元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求, 同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B 多少kg?
规格类型 钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板 2
1
1
第二种钢板 1
2
3
今需要A、B、C三种成品分别是15、18、27块， 问各截这两种钢板多少块可得所需三种规格成
品，且使所用钢板张数最少.
讲授新课
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板
y张，则 2 x y 15 ,
x x
2 3
y y
18 27
3.3.2简单的线性规划 问题(二)
复习引入
x y 5 0,
问题 已知 x、y满足
x
3,
x y k 0,
且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数 k等于 ( )
A .2 B .9 C .310D .0
复习引入
x y 5 0,
问题 已知 x、y满足
x
3,
x y k 0,
且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数
利润？
讲授新课
练习
已知 x、y满足不等式组
2 x y 300 ,
x 2 y 250 ,
x
0,
y 0 ,
试求z＝300x＋900y取最大值时整点的坐标
及相应的z的最大值.
讲授新课
2.用量最省问题
例4.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三 种规格, 每张钢板可以同时截得三种规格的小 钢板的块数如下表所示：
(2) 分析约束条件：z值随甲、乙两种 产品的产量x、y变化而变化，但甲、乙两 种产品是否可以变化呢？它们受到哪些因 素的制约？怎样用数学语言表述这些制约 因素？
(3) 建立数学模型. (4) 求解.
讲授新课
解：设生产甲、乙两种产品分别为 xt、yt，利润总额为z元，那么
10 x 4 y 300 ,
, ,
x
0,
y 0 .
作出可行域：
目标函数为z＝x＋y
讲授新课
y 16
8
4 2
O2 8
18
28 x
讲授新课
y
16 2xy15
8
4 2
O2 8
18
28 x
讲授新课
y
16 2xy15
8
4 2
O2 8
18
28 x
x2y18
讲授新课
y
16 2xy15
8
4 2
O2 8
x3y27
18
28 x
x2y18