专题06 重温高考压轴题----函数零点问题集锦-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)

专题六重温高考压轴题----函数零点问题集锦

函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力.

【典型例题】

类型一已知零点个数，求参数的值或取值范围

例1.【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A. [–1，0）

B. [0，+∞）

C. [–1，+∞）

D. [1，+∞）

【答案】C

【解析】

画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.

例2.【2018年理数全国卷II】已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）当时，等价于．

设函数，则．

当时，，所以在单调递减．

而，故当时，，即．

（2）设函数．

在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．

（i）当时，，没有零点；

（ii）当时，．

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

故是在的最小值．

①若，即，在没有零点；

②若，即，在只有一个零点；

③若，即，由于，所以在有一个零点，

由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．

综上，在只有一个零点时，．

类型二利用导数确定函数零点的个数

例3.【2018年全国卷II文】已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）证明：只有一个零点．

【答案】（1）f （x ）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．

（2）f （x ）只有一个零点． 【解析】

（1）当a =3时，f （x ）=

，f ′（x ）=．令f ′（x ）=0解得x =或x =．当

x ∈（–∞，）∪（

，+∞）时，f ′（x ）>0；当x ∈（，）时，f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，

），（

，+∞）单调递增，在（

，

）单调递减．

（2）由于，所以等价于．

设=，则g ′（x ）=≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调

递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点． 又f （3a –1）=

，f （3a +1）=，故f （x ）有一个零点．

综上，f （x ）只有一个零点．

类型三 挖掘“隐零点”，证明不等式

例4.【2017课标II ，理】已知函数()2

ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥.

(1)求a ；

(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2

202e f x --<<.

【答案】(1)1a =；(2)证明略. 【解析】

（2）由（1）知 ()2

ln f x x x x x =--，()'22ln f x x x =--.

设()22ln h x x x =--，则()1'2h x x

=-. 当10,

2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，()'0h x < ；当1,2x ⎛⎫

∈+∞ ⎪⎝⎭

时，()'0h x > ，

所以()h x 在10,2⎛

⎫ ⎪⎝⎭

单调递减，在1,2⎛⎫

+∞

⎪⎝⎭

单调递增.

类型四 利用函数单调性，确定函数零点关系

例5.【2016高考新课标1理】已知函数2

()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；

（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 【答案】(I)(0,)+∞；（II ）见解析 【解析】

（Ⅰ）'()(1)e 2(1)(1)(e 2)x

x

f x x a x x a =-+-=-+． （i ）设0a =，则()(2)e x

f x x =-，()f x 只有一个零点．

（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增．

又(1)e f =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln

2

a

b <，则

223

()(2)(1)()022

a f

b b a b a b b >-+-=->，

故()f x 存在两个零点．

（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．

若e

2

a ≥-

，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞单调递增．又当1x ≤时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．

若e

2

a <-

，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．

综上，a 的取值范围为(0,)+∞．

（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．

由于222222(2)e (1)x f x x a x --=-+-，而22222()(2)e (1)0x f x x a x =-+-=，所以

222222(2)e (2)e x x f x x x --=---．

设2()e

(2)e x

x g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x g x x -=--．

所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<． 类型五 借助导函数零点，解答综合性问题

例6.【2016高考新课标2文】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞