高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆0061199
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高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一.基础题组
1.(重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1)若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直,那么a 的值等于( )
A .1
B .13-
C .2
3
-
D .2- 2.(文昌中学高三模拟考试、文、15)圆心在直线x -2y =0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程为________________.
3.(重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15)在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.
4.(重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16)若实数c b a ,,成等差数列,点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ,点)3,0(N ,则线段MN 长度的最小值是.
二.能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点(1,2)处的切线为l ,则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是( )
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14)已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。
若过点11,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点,圆心为C ,则当ACB ∠最小时,直线l 的方程为。
3.(武汉市部分学校 新高三调研、文、15)圆O 的半径为1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周逆时针滚动,点A 第一次回到点P 的位置,则点A 走过的路径的长度为_________.
三.拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7)过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线,则实数a 的取值范围为( )
A .3-<a 或1>a
B .2
3<
a C .13<<-a 或2
3
>
a D .3-<a 或231<<a
2.(大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7)一条光线从点(2,3)--射出,经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A .53-
或35-B .32-或23-C .54-或45-D .43-或3
4
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9)若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点,
PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线,B A ,是切点,若四边形PACB 面积的最小值是2,则=
k ( )
A. 3
B.
2
21
C. 22
D. 2 4.(云南师范大学附属中学月考、文、12)设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点,与圆C :
222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点,若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是
( )
A.(1,3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.(玉溪市第一中学高三月考、文、16)设m R ∈,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线
30mx y m --+=交于点(,)P x y ,则||||PA PB ⋅的最大值是
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.
【热点题型】
题型一函数零点的判断与求解
【例1】 (1)设f(x)=ex+x-4,则函数f(x)的零点位于区间()
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()
A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}
C.{2-7,1,3} D.{-2-7,1,3}
解析(1)∵f(x)=ex+x-4,∴f′(x)=ex+1>0,∴函数f(x)在R上单调递增,对于A项,f(-1)=e-1+(-1)-4=-5+e-1<0,f(0)=-3<0,f(-1)f(0)>0,A不正确;
同理可验证B,D不正确,对于C项,∵f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2)=e2+2-4=e2-2>0,f(1)f(2)<0.故f(x)的零点位于区间(1,2).
(2)当x≥0时,f(x)=x2-3x,令g(x)=x2-3x-x+3=0,得x1=3,x2=1.
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)2-3(-x),
∴-f(x)=x2+3x,∴f(x)=-x2-3x.
令g(x)=-x2-3x-x+3=0,
得x3=-2-7,x4=-2+7>0(舍),
∴函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合是{-2-7,1,3},故选D.
答案(1)C(2)D
【提分秘籍】
(1)确定函数的零点所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知,求函数的零点与求相应方程的根是等价的.对于求方程f(x)=g(x)的根,可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),函数F(x)的零点即方程f(x)=g(x)的根.
【举一反三】
已知函数f(x)=⎩
⎪⎨⎪⎧2x -1,x≤1,
1+log2x ,x >1,则函数f(x)的零点为()
A.12,0 B .-2,0 C.1
2 D .0
解析 当x≤1时,由f(x)=2x -1=0,解得x =0;当x >1时,由f(x)=1+log2x =0,解得x =1
2,又因为x >1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.
答案 D
题型二根据函数零点的存在情况,求参数的值
【例2】已知函数f(x)=-x2+2ex +m -1,g(x)=x +e2
x (x >0). (1)若y =g(x)-m 有零点,求m 的取值范围;
(2)确定m 的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 解 (1)法一 ∵g(x)=x +e2
x ≥2e2=2e ,
图1
等号成立的条件是x =e ,
故g(x)的值域是[2e ,+∞),因而只需m≥2e ,则y =g(x)-m 就有零点. 法二 作出g(x)=x +e2
x (x >0)的大致图象如图1. 可知若使y =g(x)-m 有零点,则只需m≥2e. (2)若g(x)-f(x)=0有两个相异实根,
即y =g(x)与y =f(x)的图象有两个不同的交点,
图2
在同一坐标系中,作出g(x)=x +e2
x (x >0)与f(x)=-x2+2ex +m -1的大致图象如图2. ∵f(x)=-x2+2ex +m -1=-(x -e)2+m -1+e2.
∴其图象的对称轴为x =e ,开口向下,最大值为m -1+e2.
故当m -1+e2>2e ,即m >-e2+2e +1时,y =g(x)与y =f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴m 的取值范围是(-e2+2e +1,+∞). 【提分秘籍】
函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.
【举一反三】
(1)函数f(x)=2x -2
x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是() A .(1,3) B .(1,2) C .(0,3) D .(0,2)
(2)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪
⎧|2x -1|,x <2,3x -1,x≥2,若方程f(x)-a =0有三个不同的实数根,则实数a 的取值范围
是()
A .(1,3)
B .(0,3)
C .(0,2)
D .(0,1)
答案 (1)C(2)D
题型三与二次函数有关的零点问题
【例3】是否存在这样的实数a ,使函数f(x)=x2+(3a -2)x +a -1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.
(2)当f(3)=0时,a =-1
5, 此时f(x)=x2-135x -6
5. 令f(x)=0,即x2-135x -6
5=0, 解得x =-2
5或x =3.
方程在[-1,3]上有两个实数根, 不合题意,故a≠-1
5.
综上所述,a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫-∞,-15∪(1,+∞).
【提分秘籍】
解决与二次函数有关的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组.
【举一反三】
已知f(x)=x2+(a2-1)x +(a -2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a 的取值范围. 解 法一 设方程x2+(a2-1)x +(a -2)=0的两根分别为x1,x2(x1<x2),则(x1-1)(x2-1)<0, ∴x1x2-(x1+x2)+1<0, 由根与系数的关系, 得(a -2)+(a2-1)+1<0,
即a2+a -2<0,∴-2<a <1.
法二 函数图象大致如图,则有f(1)<0,
即1+(a2-1)+a -2<0,∴-2<a <1. 故实数a 的取值范围是(-2,1). 【高考风向标】
【高考安徽,文14】在平面直角坐标系xOy 中,若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点,则a 的值为.
【答案】12
-
【解析】在同一直角坐标系内,作出12--==a x y a y 与的大致图像,如下图:
由题意,可知2
112-
=⇒-=a a 【高考湖北,文13】函数2π
()2sin sin()2
f x x x x =+-的零点个数为_________.
【答案】2.
【解析】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数等价于方程2π
2sin sin()02x x x +-=的根的个数,
即函数π
()2sin sin()2sinxcosx sin 2x 2
g x x x =+==与2h(x)x =的图像交点个数.于是,分别画出其函数图像
如下图所示,由图可知,函数()g x 与h(x)的图像有2个交点.
【高考湖南,文14】若函数()|22|x
f x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是_____. 【答案】02b <<
【解析】由函数()|22|x
f x b =--有两个零点,可得|22|x
b -=有两个不等的根,从而可得函数
|22|x y =-函数y b =的图象有两个交点,结合函数的图象可得,02b <<,故答案为:02b <<.
【高考山东,文10】设函数3,1()2,1x
x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩
,若5
(())46f f =,则b = ( ) (A )1 (B )78 (C )34 (D)1
2
【答案】D
【解析】由题意,555()3,662f b b =⨯-=-由5(())46f f =得,512
53()42
b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224b
b -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩,解
得1
2
b =
,故选D. (·北京卷)已知函数f(x)=6
x -log2x ,在下列区间中,包含f(x)的零点的区间是()
A .(0,1)
B .(1,2)
C .(2,4)
D .(4,+∞) 【答案】C
【解析】方法一:对于函数f(x)=6
x -log2x ,因为f(2)=2>0,f(4)=-0.5<0,根据零点的存在性定理知选C.
方法二:在同一坐标系中作出函数h(x)=6
x 与g(x)=log2x 的大致图像,如图所示,可得f(x)的零点所在的区间为(2,4).
(·浙江卷)已知函数f(x)=x3+ax2+bx +c ,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则() A .c≤3 B .3<c≤6 C .6<c≤9 D .c >9 【答案】C
【解析】由f(-1)=f(-2)=f(-3)得⎩⎪⎨⎪⎧-1+a -b +c =-8+4a -2b +c ,-8+4a -2b +c =-27+9a -3b +c ⇒
⎩⎪⎨⎪⎧-7+3a -b =0,19-5a +b =0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧a =6,
b =11, 则f(x)=x3+6x2+11x +
c ,而0<f(-1)≤3,故0<-6+c≤3,∴6<c≤9,故选C.
(·重庆卷)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1x +1-3,x ∈(-1,0],
x ,x ∈(0,1],且g(x)=f(x)-mx -m 在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()
A.⎝⎛⎦⎤-94
,-2∪⎝⎛⎦⎤0,12 B.
⎝⎛⎦⎤-114,-2∪⎝⎛⎦⎤0,12
C.⎝⎛⎦⎤-94,-2∪⎝⎛⎦⎤0,23
D.⎝⎛⎦⎤-114,-2∪⎝⎛⎦
⎤0,23
【答案】A
(·福建卷)函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x2-2,x≤0,
2x -6+ln x ,x >0的零点个数是________.
【答案】2
【解析】当x≤0时,f(x)=x2-2, 令x2-2=0,得x =2(舍)或x =-2, 即在区间(-∞,0)上,函数只有一个零点. 当x>0时,f(x)=2x -6+ln x , 令2x -6+ln x =0,得ln x =6-2x.
作出函数y =ln x 与y =6-2x 在区间(0,+∞)上的图像,
则两函数图像只有一个交点,即函数f(x)=2x -6+ln x(x>0)只有一个零点. 综上可知,函数f(x)的零点的个数是2.
(·湖北卷)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x ,则函数g(x)=f(x)-x +3的零点的集合为()
A .{1,3}
B .{-3,-1,1,3}
C .{2-7,1,3}
D .{-2-7,1,3} 【答案】D
【解析】设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-3x . 求函数g(x)=f(x)-x +3的零点等价于求方程f(x)=-3+x 的解.
当x≥0时,x2-3x =-3+x ,解得x1=3,x2=1; 当x<0时,-x2-3x =-3+x ,解得x3=-2-7.故选D.
(·江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f(x)=⎪⎪⎪
⎪x2-2x +12.若函数
y =f(x)-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是________.
【答案】.⎝⎛⎭
⎫0,12
(·江西卷)已知函数f(x)=⎩
⎪⎨⎪⎧a·
2x ,x≥0,2-x ,x<0(a ∈R).若f[f(-1)]=1,则a =() A.14 B.1
2 C .1 D .2 【答案】A
【解析】因为f(-1)=21=2,f(2)=a·22=4a =1,所以a =1
4.
(·浙江卷)设函数f(x)=⎩
⎪⎨⎪⎧x2+2x +2,x≤0,-x2,x >0.若f(f(a))=2,则a =________.
【答案】2
【解析】令t =f(a),若f(t)=2,则t2+2t +2=2 满足条件,此时t =0或t =-2,所以f(a)=0或f(a)=-2,只有-a2=-2满足条件,故a = 2.
(·全国卷)函数f(x)=ax3+3x 2+3x(a≠0). (1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.
【解析】解:(1)f′(x)=3ax2+6x +3,f′(x)=0的判别式Δ=36(1-a).
(i)若a≥1,则f′(x)≥0,且f′(x)=0当且仅当a =1,x =-1时成立.故此时f(x)在R 上是增函数. (ii)由于a≠0,故当a <1时,f′(x)=0有两个根; x1=-1+1-a a ,x2=-1-1-a a
. 若0<a <1,则当x ∈(-∞,x2)或x ∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)分别在(-∞,x2),(x1,+∞)是增函数;
当x ∈(x2,x1)时,f′(x)<0,故f(x)在(x2,x1)是减函数.
若a <0,则当x ∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时,f′(x)<0,故f(x)分别在(-∞,x1),(x2,+∞)是减函数; 当x ∈(x1,x2)时f′(x)>0,故f(x)在(x1,x2)是增函数.
(2)当a >0,x >0时,f′(x)=3ax2+6x +3>0,故当a >0时,f(x)在区间(1,2)是增函数. 当a <0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0,解得-5
4≤a <0.
综上,a 的取值范围是⎣⎡⎭
⎫-54,0∪(0,+∞). (·天津卷)已知函数f(x)=⎩
⎪⎨⎪⎧|x2+5x +4|,x≤0,
2|x -2|,x >0.若函数y =f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a 的取值
范围为________.
【答案】(1,2)
【解析】在同一坐标系内分别作出y =f(x)与y =a|x|的图像,如图所示,当y =a|x|与y =f(x)的图像相
切时,联立⎩
⎪⎨⎪⎧-ax =-x2-5x -4,
a>0,整理得x2+(5-a)x +4=0,则Δ=(5-a)2-4×1×4=0,解得a =1或a =
9(舍去),∴当y =a|x|与y =f(x)的图像有四个交点时,有1<a<2.
【高考押题】
1.函数f(x)=2x +x3-2在区间(0,2)内的零点个数是 () A .0
B .1
C .2
D .3
解析 因为函数y =2x ,y =x3在R 上均为增函数,故函数f(x)=2x +x3-2在R 上为增函数,又f(0)<0,f(2)>0,故函数f(x)=2x +x 3-2在区间(0,2)内只有一个零点,故选B.
答案 B
2.函数y =ln(x +1)与y =1
x 的图象交点的横坐标所在区间为() A .(0,1)
B .(1,2)
C .(2,3)
D .(3,4)
解析 函数y =ln(x +1)与y =1x 的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x +1)-1
x 的零点,∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 3-1
2>0,∴f(x)的零点所在区间为(1,2).
答案 B
3.若a <b <c ,则函数f(x)=(x -a)(x -b)+(x -b)(x -c)+(x -c)(x -a)的两个零点分别位于区间 () A .(a ,b)和(b ,c)内
B .(-∞,a)和(a ,b)内
C .(b ,c)和(c ,+∞)内
D .(-∞,a)和(c ,+∞)内
解析 依题意,注意到f(a)=(a -b)(a -c)>0,f(b)=(b -c)·(b -a)<0,f(c)=(c -b)(c -a)>0,因此由零点的存在性定理知函数f(x)的零点位于区间(a ,b)和(b ,c)内,故选A.
答案 A
4.若函数f(x)=3ax +1-2a 在区间(-1,1)内存在一个零点,则a 的取值范围是 ()
A.⎝⎛⎭
⎫15,+∞ B .(-∞,-1)∪⎝⎛⎭
⎫15,+∞
C.⎝⎛⎭
⎫-1,15
D .(-∞,-1)
解析 当a =0时,f(x)=1与x 轴无交点,不合题意,所以a≠0;函数f(x)=3ax +1-2a 在区间(-1,1)内是单调函数,所以f(-1)·f(1)<0,即(5a -1)(a +1)>0,解得a <-1或a >1
5.
答案 B
5.已知函数f(x)=x +2x ,g(x)=x +ln x ,h(x)=x -x -1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是
()
A .x2<x1<x3
B .x1<x2<x3
C .x1<x3<x2
D .x3<x2<x1
解析 依据零点的意义,转化为函数y =x 分别和y =-2x ,y =-ln x ,y =x +1的交点的横坐标大小
问题,作出草图,易得x1<0<x2<1<x3.
答案 B
6.函数f (x)=x -ln(x +1)-1的零点个数是________.
解析 函数f(x)=x -ln(x +1)-1的零点个数,即为函数y =ln(x +1)与y =x -1图象的交点个数. 在同一坐标系内分别作出函数y =ln(x +1)与y =x -1的图象,如图,
由图可知函数f(x)=x -ln(x +1)-1的零点个数是2. 答案 2
7.函数f(x)=3x -7+ln x 的零点位于区间(n ,n +1)(n ∈N)内,则n =________.
8.已知函数f(x)=⎩
⎪⎨⎪⎧2x -1,x >0,
-x2-2x ,x≤0,若函数g(x)=f(x)-m 有3个零点,则实数m 的取值范围是
________.
解析 画出f(x)=⎩
⎪⎨⎪⎧2x -1,x >0,
-x2-2x ,x≤0的图象,如图.
由函数g(x)=f(x)-m 有3个零点,结合图象得:0<m <1,即m ∈(0,1). 答案 (0,1)
9.若关于x 的方程22x +2xa +a +1=0有实根,求实数a 的取值范围. 解 法一 (换元法)
设t =2x(t>0),则原方程可变为t2+at +a +1=0,(*) 原方程有实根,即方程(*)有正根. 令f(t)=t2+at +a +1.
法二 (分离变量法)
由方程,解得a =-22x +1
2x +1,设t =2x(t>0),
则a =-t2+1t +1=-⎝⎛⎭⎫t +2t +1-1
=2-⎣⎡⎦
⎤(t +1)+2t +1,其中t +1>1,
由基本不等式,得(t +1)+2
t +1≥22,当且仅当t =2-1时取等号,故a≤2-2 2.
综上,a 的取值范围是(-∞,2-22].
10.已知关于x 的二次方程x2+2mx +2m +1=0有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的取值范围.
解 由条件,抛物线f(x)=x2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所
示,得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)=2m +1<0,
f (-1)=2>0,f (1)=4m +2<0,f (2)=6m +5>0
⇒
⎩⎪⎨⎪⎧
m<-12,
m ∈R ,m<-12
,m>-56
.即-56<m<-1
2. 故
m
的取值范围是
⎝⎛⎭⎫-56
,-12.高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【热点题型】
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =2CD ,M ,N 分别为CD ,BC 的中点,若AB →=λAM →+μAN →
,则λ+μ等于( )
A.15
B.25
C.35
D.45
(2)如图,在△ABC 中,AN →=13NC →,P 是BN 上的一点,若AP →=mAB →
+211AC →,则实数m 的值为________.
【提分秘籍】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
【举一反三】
已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且CD →=2DB →,CD →=rAB →+sAC →
,则r +s 的值是( ) A.23B.43 C .-3D .0
题型二平面向量的坐标运算
例2 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB →=a ,BC →=b ,CA →=c ,且CM →=3c ,CN →
=-2b ,
(1)求3a +b -3c ;
(2)求满足a =mb +nc 的实数m ,n ; (3)求M 、N 的坐标及向量MN →
的坐标. 【提分秘籍】
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【举一反三】
(1)已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量12a -3
2b 等于( ) A .(-2,-1) B .(-2,1) C .(-1,0) D .(-1,2)
(2)已知A(7,1)、B(1,4),直线y =12ax 与线段AB 交于C ,且AC →=2CB →
,则实数a =________. 题型三向量共线的坐标表示
例3 (1)已知平面向量a =(1,2),b =(-2,m),且a ∥b ,则2a +3b =________. (2)(·陕西)设0<θ<π
2,向量a =(sin2θ,c osθ),b =(cosθ,1),若a ∥b ,则tanθ=________. 【提分秘籍】
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a =(x1,y1),b =(x2,y2),则a ∥b 的充要条件是x1y2-x2y1=0;②若a ∥b(b≠0),则a =λb.
(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.
【举一反三】
(1)已知梯形ABCD ,其中AB ∥CD ,且DC =2AB ,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D 的坐标为________.
(2)△ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若p =(a +c ,b),q =(b -a ,c -a),且p ∥q ,则角C =________.
【高考风向标】
1.【高考新课标1,文2】已知点(0,1),(3,2)A B ,向量(4,3)AC =--,则向量BC =( )
(A )(7,4)--(B )(7,4)(C )(1,4)-(D )(1,4)
1.(·重庆卷) 已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b)⊥c ,则实数k =( )
A .-9
2 B .0 C .
3 D.15
2
2.(·福建卷) 在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( ) A .e1=(0,0),e2=(1,2) B .e1=(-1,2),e2=(5,-2) C .e1=(3,5),e2=(6,10) D .e1=(2,-3),e2=(-2,3)
3.(·山东卷) 已知向量a =(m ,cos 2x),b =(sin 2x ,n),函数f(x)=a·b ,且y =f(x)的图像过点
⎝⎛⎭⎫π12,3和点⎝⎛⎭
⎫2π3,-2. (1)求m ,n 的值;
(2)将y =f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y =g(x)的图像,若y =g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y =g(x)的单调递增区间.
4.(·陕西卷) 设0<θ<π
2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ=________. 5.(·陕西卷) 在直角坐标系xOy 中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x ,y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上.
(1)若PA →+PB →+PC →=0,求|OP →|;
(2)设OP →=mAB →+nAC →
(m ,n ∈R),用x ,y 表示m -n ,并求m -n 的最大值.
6.(·安徽卷) 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A ,B 满足|OA →|=|OB →|=OA →·OB →
=2,则点集{P|OP →=λOA →+μOB →
,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A .2 2
B .2 3
C .4 2
D .4 3
7.(·湖南卷) 已知a ,b 是单位向量,a·b =0,若向量c 满足|c -a -b|=1,则|c|的取值范围是( )
A .[2-1,2+1]
B .[2-1,2+2]
C .[1,2+1]
D .1,2+2
8.(·北京卷) 向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若c =λa +μb(λ,μ∈R),则λ
μ=________.
图1-3
9.(·辽宁卷) 已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫3
5,-45 B.⎝⎛⎭
⎫45,-35 C.⎝⎛⎭⎫-35,45 D.⎝⎛⎭
⎫-45,35 10.(·天津卷) 在平行四边形ABCD 中,AD =1,∠BAD =60°,E 为CD 的中点,若AC →·BE →=1,则AB 的长为________.
11.(·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE →·BD →=________.
12.(·重庆卷) 如图1-9所示,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =22,过左焦点F1作x 轴的垂线交椭圆于A ,A′两点,|AA′|=4.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ,P′,过P ,P′作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外,若PQ ⊥P′Q ,求圆Q 的标准方程.
图1-9
13.(·重庆卷) 在平面上,AB1→⊥AB2→,|OB1|=|OB2→|=1,AP →=AB1→+AB2→.若|OP →|<12,则|OA →
|的取值范围是( )
A.⎝
⎛
⎦⎥⎤0,
52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52,72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52,2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72,2
【高考押题】
1.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量A B →
同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫3
5,-45B.⎝⎛⎭
⎫45,-35 C.⎝⎛⎭⎫-35,45D.⎝⎛⎭
⎫-45,35 2.在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP →=2PC →,点Q 是AC 的中点,若PA →=(4,3),PQ →=(1,5),则BC →
等于( )
A .(-2,7)
B .(-6,21)
C .(2,-7)
D .(6,-21)
3.已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若λ为实数,(a +λb)∥c ,则λ等于( ) A.14B.1
2C .1D .2
4.已知△ABC 和点M 满足MA →+MB →+MC →=0.若存在实数m ,使得AB →+AC →=mAM →
成立,则m 等于( )
A .2
B .3
C .4
D .5
5.如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP →=xOA →+yOB →,且BP →=2PA →
,则( )
A .x =23,y =13
B .x =13,y =23
C .x =14,y =34
D .x =34,y =14
6.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共线,则1a +1b 的值为________.
7.已知向量OA →=(1,-3),OB →=(2,-1),OC →=(k +1,k -2),若A ,B ,C 三点能构成三角形,则实
数k 应满足的条件是________.
8.已知A(-3,0),B(0,3),O 为坐标原点,C 在第二象限,且∠AOC =30°,OC →=λOA →+OB →,则实数
λ的值为________.
9.已知A(1,1)、B(3,-1)、C(a ,b).
(1)若A 、B 、C 三点共线,求a 、b 的关系式;
(2)若AC →=2AB →,求点C 的坐标.
10.已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP →=OA →+tAB →,试问:
(1)t 为何值时,P 在x 轴上?在y 轴上?在第三象限?
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形,若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.高考模拟复习试卷试题模拟卷。