Chapter 5 线性方程组的迭代法 例题

9．已知线性方程组
x3 5 x 4 7, 10 x1 x 8 x 3x 11, 1 2 3 3x1 2 x 2 8 x3 x 4 23, x1 2 x 2 2 x3 7 x 4 17
考查利用雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式解该线性方程组时的收敛性。 解：由于所给线性方程组的系数矩阵
（1）
雅可比迭代
（2）
取初值 x1 x2 x3 0 ，代入右端后从左端得到 x1 1.4, x2 0.5, x3 1.4 ，再将这组值 代入右端计算，可得 x1 1.11, x2 1.20, x3 1.11。 高斯—塞德尔迭代
( k 1) (k ) (k ) x1 0.3x2 0.1x3 1.4 ( k 1) ( k 1) (k ) 0.2 x1 0.3x3 0.5 x2 ( k 1) ( k 1) ( k 1) x 0.1x1 0.3x2 1.4 3
1 5 10 0 8 3 0 1 A 3 2 8 1 1 2 2 7
是一个严格对角占优阵，所以雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式均收敛。
10x1 3x2 x3 14 10．用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代求解 2 x1 10x2 3x3 5 ，取初值 x1 x2 x3 0 ， x 3x 10x 14 2 3 3
写出用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法解该方程组的迭代公式。 9．已知线性方程组
x3 5 x 4 7, 10 x1 x 8 x 3x 11, 1 2 3 3x1 2 x 2 8 x3 x 4 23, x1 2 x 2 2 x3 7 x 4 17
用 Gauss-Seidel 迭代法解该方程组的迭代公式为：
( k 1) (k ) (k ) x1 14 2 x 2 3x3 , (1) ( k 1) 1 ( k 1) (k ) (18 2 x1 2 x3 ), (2) x2 5 ( k 1) 1 ( k 1) ( k 1) x3 (20 3x1 x2 ), (3) 5
( k 1) x3
。
3．若线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔 迭代 。 4．线性方程组 Ax=b 中令 A=D+L+U，其中 D 是 A 的对角部分构成的矩阵，L 和 U 分别 是 A 的严格下和上三角矩阵，则 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵是 。
迭代两次。
例题答案：
1．
0 2.5 2.5 0
( k 1) ( k 1) 2 x1 2 x2 5
2．
3．收敛 4． ( D L)1U 5．x(1)=(5/4, -17/10, 23/20)T 6．A 7．D 8．有线性方程组
x1 2 x 2 3x3 14, 2 x1 5 x 2 2 x3 18, 3x x 5 x 20, 2 3 1 (1) (2) (3)
Cholesky 分解。
10x1 x2 4 x3 1 ）时，线性方程组 x1 7 x2 3x3 0 的迭代法一定收敛。 2 x 5 x ax 1 2 3 1
A
a7
B
a6
C
a 6
D
a 7
8．有线性方程组
x1 2 x 2 3x3 14, 2 x1 5 x 2 2 x3 18, 3x x 5 x 20, 2 3 1 (1) (2) (3)
aii 0, i 1,, n ，则 Ax=b 化为 x D1( L U ) x D1b
（1）
若记 B1 D1( L U )，f1 D1b
（2） （3）
则方程组（1）的迭代形式可写作 x (k 1) B1 x (k ) f1 (k 0,1,2,) 则（2） 、 （3）称 A 雅可比迭代 7．当 a 满足（ （ ） B 高斯-塞德尔迭代 C LU 分解 D
Chapter 5 线性方程组的迭代法 例题：
1．对于方程组
2 x1 5 x2 1 ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是 10x1 4 x2 3
。
x1 2 x2 2 x3 1 2 ． 利 用 高 斯 - 塞 尔 德 迭 代 法 解 线 性 方 程 组 x1 x2 x3 3 的迭代格式中， 2 x 2 x 5 x 0 2 3 1
考查利用雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式解该线性方程组时的收敛性。
10x1 3x2 x3 14 10．用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代求解 2 x1 10x2 3x3 5 ，取初值 x1 x2 x3 0 ， x 3x 10x 14 2 3 3
（3）
用这两种方法计算的结果为： k 0 1 2 xT(雅可比) (0, 0, 0) (1.4, 0.5, 1.4) (1.11, 1.20, 1.11) xT(高斯-塞德尔) (0, 0, 0) (1.4, 0.78, 1.026) (0.9234, 0.99248, 1.1092)
写出用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法解该方程组的迭代公式； 解：用 Jacobi 迭代法解该方程组的迭代公式为：
( k 1) (k ) (k ) x1 14 2 x 2 3x3 , ( k 1) 1 (k ) (k ) (18 2 x1 2 ຫໍສະໝຸດ Baidu3 ), x2 5 ( k 1) 1 (k ) (k ) x3 (20 3x1 x 2 ), 5 (1) (2) (3)
4 x1 x2 x3 5 5．取 x =(1，1，1) ，用 Gauss-Seidel 方法求解方程组 2 x1 5 x2 2 x3 4 ，迭代一次所 x x 3x 3 3 1 2
(0) T
得结果为：
。
6 ．将 A 分解为 A=D+L+U ，其中 D diag(a11, a22 ,, ann ) ，若对角阵 D 非奇异（即
迭代两次。 解：将方程组改写为
x1 0.3x2 0.1x3 1.4 x2 0.2 x1 0.3x3 0.5 x 0.1x 0.3x 1.4 1 2 3
( k 1) (k ) (k ) x1 0.3x2 0.1x3 1.4 ( k 1) (k ) (k ) 0.2 x1 0.3x3 0.5 x2 ( k 1) (k ) (k ) x 0.1x1 0.3x2 1.4 3