相关系数PPT课件
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《线性相关关系》课件
04
CATALOGUE
多元线性回归分析
多元线性回归模型
定义
多元线性回归模型是用来 描述因变量与两个或两个 以上的自变量之间的线性 关系的模型。
公式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
假设
误差项 ε 满足独立同分布 ，且均值为0，方差恒定。
最小二乘法估计参数
线性相关关系强调的是变量之间的关 联程度和变化趋势，而不是确定性的 数学关系；函数关系则强调变量之间 的确定性和规律性。在线性相关关系 中，两个变量的值可以相互影响，而 在函数关系中，一个变量的值是由另 一个变量的值确定的。
在某些情况下，线性相关关系可以转 化为函数关系，例如通过最小二乘法 拟合直线。但是，线性相关关系更广 泛，它可以包括非线性的情况，即两 个变量之间存在曲线或其他非线性关 系。
模型检验
在建立回归模型后，需要对模型进行检验，以确保其有效 性。常见的检验包括残差分析、回归系数检验和整体模型 显著性检验等。
预测
使用回归模型可以对未来的数据进行预测。通过将自变量 代入模型中，可以计算出对应的因变量的预测值。
注意事项
在使用回归模型进行预测时，需要考虑模型的适用范围和 局限性，以及数据的变化趋势和异常值对预测结果的影响 。
变量进行变换等。
05
CATALOGUE
线性相关关系的应用实例
经济学中的线性相关关系分析
总结词
在经济学中，线性相关关系被广泛应用于市场分析、经济预测和政策制定等方面。
详细描述
经济学家通过研究不同经济指标之间的线性相关关系，可以深入了解经济运行规律，预测未来经济趋势，为政策 制定提供科学依据。例如，研究国内生产总值（GDP）与失业率之间的关系，可以分析经济周期和政策效果。
高中数学相关系数52页ppt课件
之间在数量上的变化关系有的是属于因果关系（一种现象
是另一种现象的原因，另一种现象是这种现象的结果）， 有的却不能直接作出因果关系的解释。当一个或几个相互
联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一个变量的值
虽然不确定，但它仍然按某种规律在一定范围内变化，变 量间的这种关系，被称为相关关系，如图5-0（b）。
（a）,即一个变量增加（或减少），另一个变量也增加
（或减少）。
图5-4（a） 正相关
负相关：若散布点主要位于二、四象限，如图 5-4（b）,即一个变量增加（或减少），另一个变
量也减少（或增加）。
图5-4（b） 负相关
零相关：散布点的变化无一定规律。如 图5-4（c）。
图5-4（c）零相关
四、相关系数
r是一个比值
r1=0.25,r2=0.5,r3=0.75，不能认为r1=r3-r2 或r2=2r1。 （3）相关系数受变量取值区间大小及观测值 个数的影响较大。
变量的取值区间越大，观测值个数越多，相关
系数受抽样误差的影响越小，结果就越可靠，如
二、计算方法 （一）基本公式计算法 步骤：
2、负相关：两个变量中，一个变量增大，
另一个变量对应值也随之减少；或一个变
量值减小，另一个变量对应值也随之增大，
两列变量变化方向相反。如学生学习能力
水平与其解题时间的关系；运动员赛跑与
所用时间之间的相关；学生学习能力与识
记所用时间之间的相关等。
3、零相关。两变量值的变化方向无规律。如
学生的身高与学生成绩的变化关系。
图5-1
散布图
相关散布图的用途： 1、判断相关是否直线式。 当两变量之间呈曲线趋势，其相关散布 图呈弯月状，说明两变量之间是非线性关 系，如图5-2(a)。
《相关性分析》PPT课件
例2:Minitab的对话窗口
Correlations: Oxygen purity %, Hydrocarbon %
Pearson correlation of Oxygen purity % and Hydrocarbo n % = 0.937 P-Value = 0.000
结论是什么？
H0:p=0(无相关性) Ha:p≠0(有相关性）
例1 10-6
相关系数:R
相关系数(R)有时又称为皮尔森成果，用来测定两个变量之间的关 度。 属性 ◆R值取范围从-1.0到+1.0，即-1 ≤ R ≤ 1 。 ◆R<0意味着一个负线性相关，即是Y随着X的增加而减少。 ◆R>0意味和一个正线性相关，即是Y随着X的增加而增加。 ◆R=-1意味着一个完全负线性关系。 ◆R=1意味着一个完全正线性关系。 ◆R=0意味着无线性关系。
错误III：因果归属 相关并不意味着因果，仅仅是两个变量间存在的关系。
错误IV:曲解数据 掩饰真实的相关或者创造虚假的相关
数据实际上是来自不同的数据来源。 10-12
错误V:过多的集中于R 过多的集中于相关系数
上图有相关系数R≈0.7
错误V(续)
通常，人们过于把R（或R2）值作为一个“好”的相关的依据。前面 形说明了将数据图表化是多么重要。 但是当图表（和接下来的诊断）展示一个合法的线性关系或数学模 ，我们可以做出如下结论： ◆R2>0.4:相关性明确存在(n>25时) ◆R2>0.7:我们可以使用该关系，但必须慎重(n>9时) ◆R2>0.9:可使用的关系存在 ◆R2>0.95：关系良好
例1
某黑带想了解一化学蒸馏过程中氧气的纯度(Y)与冷凝器中的炭氢 合物的%之间的关系。 ◆数据在Oxygen purity. mtw ◆请做出散点图Oxygen purity (Y) v s Hydrocarbon %(x)
[课件]相关性分析PPT
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SPSS的运行方式
SPSS主要有3种运行方式。 1．批处理方式 2．完全窗口菜单运行方式 3．程序运行方式
SPSS的数据编辑窗口
SPSS主界面主要有两个，一个是SPSS数据 编辑窗口，另一个是SPSS输出窗口。 数据编辑窗口由标题栏、菜单栏、工具栏、 编辑栏、变量名栏、内容区、窗口切换标 签页和状态栏组成，如图1-2所示。
实现步骤
6.2.3 结果和讨论
outline
• 线性相关（linear Correlation)
• 秩相关（rank correlation) • 分类变量的关联性分析
秩相关
也称等级相关,最常用的Spearman秩相关。
资料类型 不服从正态分布的资料 总体分布未知的资料 等级资料
该窗口下方有两个标签：“Data View”（数据视图 ）和“Variable View”（变量视图）。 如果使用过电子表格，如Microsoft Excel等，那么 数据编辑窗口中“Data View”所对应表格许多功 能应该已经熟悉。但是它和一般的电子表格处理 软件还有以下区别。
（1） 一个列对应一个变量，即每一列代表一个变 量（Variable）或一个被观测量的特征。例如问 卷上的每一项就是一个变量。 （2） 行是观测，即每一行代表一个个体、一个观 测、一个样品，在SPSS中称为事件（Case）。 例如，问卷上的每一个人就是一个观测。
χ² 检验
χ² 检验 秩和检验
Logistic回归分析
测量级别 类-类 (类-序)
相关 系数 λ
取值范 围 [0.1]
PRE意义 λ
检验方 法 χ2
SPSS程序 crosstabs Crosstabs/ correlation crosstabs/ Oneway/ means crosstabs/ correlation /linear
北师大版选择性必修第一册第七章2.12.2相关系数 成对数据的线性相关性分析课件(26张)
第二组样本点的两个变量之间负相关,因此r2<0,则有r1>0>r2,故选A.
)
数学
探究点二
成对数据的线性相关性
[问题2] 两个变量Y与X的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的
相关系数r如表,其中拟合效果最好的模型是哪一个?
模型
模型1
模型2
模型3
模型4
相关系数r
0.15
0.48
0.96
0.50
∑ ( -)(-)
最小二乘估计公式分别为 b̂ ==
∑ ( -)
=
, â =- b̂ .
数学
∑ ( -)( -) .
解:(2)计算 b̂ ==
∑ ( -)
=
≈0.219,
=
â =- b̂ ≈3-0.219×11=0.591,
所以 Y 关于 X 的线性回归方程为 Y=0.219X+0.591.
令 Y=0.219X+0.591>6,解得 x>24.699≈24.70,
即实现产品销量超 6 万件,预测至少需要投入促销费用 24.70 万元.
数学
变式训练2-1:为分析人体肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响,在肥胖人
群中随机抽出8人,他们的体质指数BMI值、总胆固醇TC指标值(单位:mmol/L)、
提示:模型3.
知识点2:样本的线性相关系数满足|r|值越接近1,两个随机变量之间的线
性相关 程度越强
,|r|值越接近0,说明两个随机变量之间的线性相关
程度越弱
.我们认为两个变量存在着很强的线性相关关系,这时求线性
回归方程有必要也有意义.
)
数学
探究点二
成对数据的线性相关性
[问题2] 两个变量Y与X的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的
相关系数r如表,其中拟合效果最好的模型是哪一个?
模型
模型1
模型2
模型3
模型4
相关系数r
0.15
0.48
0.96
0.50
∑ ( -)(-)
最小二乘估计公式分别为 b̂ ==
∑ ( -)
=
, â =- b̂ .
数学
∑ ( -)( -) .
解:(2)计算 b̂ ==
∑ ( -)
=
≈0.219,
=
â =- b̂ ≈3-0.219×11=0.591,
所以 Y 关于 X 的线性回归方程为 Y=0.219X+0.591.
令 Y=0.219X+0.591>6,解得 x>24.699≈24.70,
即实现产品销量超 6 万件,预测至少需要投入促销费用 24.70 万元.
数学
变式训练2-1:为分析人体肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响,在肥胖人
群中随机抽出8人,他们的体质指数BMI值、总胆固醇TC指标值(单位:mmol/L)、
提示:模型3.
知识点2:样本的线性相关系数满足|r|值越接近1,两个随机变量之间的线
性相关 程度越强
,|r|值越接近0,说明两个随机变量之间的线性相关
程度越弱
.我们认为两个变量存在着很强的线性相关关系,这时求线性
回归方程有必要也有意义.
统计学第7章相关与回归分析PPT课件
预测GDP增长
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
最新心理统计学04—相关系数ppt课件
• 应用：比较几种不同观测值在各自数据分布中的相对位置，
对不同测验的观测值求总和来比较相对位置。
• 公式：
Z XX S
Z分数的性质
• Z分数没有单位，可以看做是以平均数为中点，标准差为 组距的次数分布。这是它可以进行几个不同观测值在各自 总体中位置的比较的原因。
80 语文成绩Z分数
100
比率智商Z分数
•5
18 18 19 3
6 17 14 12 2
7 19 15 20 1
8 20 13 10 2
9 22 11 21 1
相关系数类型
指标 R1,2 R1,3
R1,4
R1,5
数值 .970 -.970 .028 -.827
相关系数计算
• 编号
名称
使用条件
1 积差相关（r） 数据成对，连续变量（正态），线性相关
Z分数的性质
Z分数的平均数为0，标准差为1，不同Z分数可比较或累加
Z X 1 X X 2 X .. .X .N . X . N X N X 0
NS
NS
SZ2
(XiX0)2
S
N
2
(XiX)
N•S2
S2 S2 1
N
N
Z分数的性质
• Z分数的平均数为0，标准差为1，不同Z分数可比较或累加
• 定义：比较多个标准差的抽象对差异量数 • 应用条件：多个样本使用不同的观测工具测量不同特质；
水平差异较大的两个样本使用同一种观测工具 测量同一种特质。
• 公式： CV S 100% X
例4：使用同一份智力测验量表测得20周岁成人的平均数是101分，标准 差是3.76分，40周岁成人的平均分是105分，标准差是3.86分，问这两个 年龄段的测验分数中哪个分散程度更大？ 解：CV20=（3.76÷101）×100%=3.72
8.1.2样本的相关系数PPT课件(人教版)
第八章 成对数据的统计分析
8.1.2样本的相关系数
学业标准
学科素养
1．了解两随机变量间的样本的相关系 1．通过利用散点图判断变量间的线
数的含义，了解样本相关系数与“标 性相关程度大小培养直观想象能力．
准化”处理后的成对数据两分两向量 2．通过利用相关系数 r 判断变量间的
夹角关系。
线性相关程度大小培养数学分析能
+xn'
yn'）=
1 n
x'
•
y'
1 n
|x'|
|y'|
cos
| x' | x1'2 x2'2
xn'2
( x1 x)2 ( x2 x)2
sx
sx
( xn x)2 sx
(x1 x)2 (x2 x)2 sx
(xn x)2
n
(xi x)2
i1
n,同理可得 | y' | n
成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由
这些点组成了统计图叫做散点图
一、温故知新
3.变量相关关系的分类 正相关和负相关 线性相关和非线性相关
4.两个变量之间相关关系的确定 (1).经验作出推断
(2).通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构
建适当的模型，再利用模型进行估计或推断
二、自主探究
n
xi - xyi - y
n
xiyi - nxy
r=
i=1
=
i=1
n
2n
2
xi x
yi y
n xi2 - nx2 n yi2 - ny2
i=1
i=1
i=1
8.1.2样本的相关系数
学业标准
学科素养
1．了解两随机变量间的样本的相关系 1．通过利用散点图判断变量间的线
数的含义，了解样本相关系数与“标 性相关程度大小培养直观想象能力．
准化”处理后的成对数据两分两向量 2．通过利用相关系数 r 判断变量间的
夹角关系。
线性相关程度大小培养数学分析能
+xn'
yn'）=
1 n
x'
•
y'
1 n
|x'|
|y'|
cos
| x' | x1'2 x2'2
xn'2
( x1 x)2 ( x2 x)2
sx
sx
( xn x)2 sx
(x1 x)2 (x2 x)2 sx
(xn x)2
n
(xi x)2
i1
n,同理可得 | y' | n
成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由
这些点组成了统计图叫做散点图
一、温故知新
3.变量相关关系的分类 正相关和负相关 线性相关和非线性相关
4.两个变量之间相关关系的确定 (1).经验作出推断
(2).通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构
建适当的模型，再利用模型进行估计或推断
二、自主探究
n
xi - xyi - y
n
xiyi - nxy
r=
i=1
=
i=1
n
2n
2
xi x
yi y
n xi2 - nx2 n yi2 - ny2
i=1
i=1
i=1
心理统计学课件第五章相关系数优选演示PPT
曼积相差关 相。关，又叫积矩相关，是英国统计学家皮尔逊在20世纪初提出的一种计算相关的方法，故而也被称为皮尔逊相关法，是求直线相
S关t是的连最续基变本量的的方标法准。差
三、散点图
通过点的散布形状和疏密程度来显示两个 变量的相关趋势和相关程度，能够对原始 数据间的关系作出直观而有效的预测和解 释。
取值情况： 为R的离差平方和，K为等级变量的列数或评价者数目；
S用t是它连们续所变占量等的级标位准置差的平均数作为它们的等级 当适两用变 于量两均列为以真上正等的级二变分量变。量时，描述这两个变量之间的相关，称为
相关。
-1.00≦r ≦1.00 p为与Rq的是离二差分平称方名和变，量K两为个等值级各变自量所的占列的数比或率评，价p者+q数=1目；
A因素
A
非A
B因素 B
a
非B c
a+c
b
a+b
d
c+d
b+d
4、例题5-14
复习：
适用条件 一列为等比或等距的测量数据，另一列是按性质划分的类别，欲求这样两列变量的直线相关，称之为质量相关。
当两变量均为真正的二分变量时，描述这两个变量之间的相关，称为 相关。
积差相关，又叫积矩相关，是英国统计学家皮尔逊在20世纪初提出的一种计算相关的方法，故而也被称为皮尔逊相关法，是求直线相
公式 关的最基本的方法。
用 D指它二们列所成占对等变级量位的置等的级平差均数数作为它们的等级
两列变量间相关程度的数字表示形式，或 当D指多二个列变成量对值变以量等的级等顺级序差表数示时，这几个变量之间的一致性程度，称为肯德尔和谐系数。
为两二列分 变称量名均变是量由的测一量个得值到对的应连的续连变续量变量的平均数 D为指二二分列称成名对变变量量的的一等个级值差对数应的连续变量的平均数
8.1.2样本相关系数课件(人教版)
i＝1 10
xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73 796.
i＝1
所以 r＝ 116 5847－3 71906×－11007×.8210477.83×846－8 10×682≈0.750 6. 由此可看出这 10 名学生的两次数学成绩具有线性相关关系．
据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系； 当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上.
学以致用：
1.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确
的是( A )
A．r2<r4<0<r3<r1 C．r4<r2<0<r3<r1
B．r4<r2<0<r1< r3 D．r2<r4<0<r1<r3
物理成绩 80
75
70
65
60
55
50
40
50
60
散点图中点的位置散布在从左下角到右上 角的区域。此时一个变量会随着另一个变 量的增大而增大，称它们成正相关。
数学成绩
70
80
90
热饮杯数
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
温度
40
-10
0
10
20
30
40
点的位置散布在从左上角到右下角的区域。此时一个变量会随着另 一个变量的增大而减小，称它们成负相关。
1.相关关系
温故知新：
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个 的程度，这种关系称为相关关系.
xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73 796.
i＝1
所以 r＝ 116 5847－3 71906×－11007×.8210477.83×846－8 10×682≈0.750 6. 由此可看出这 10 名学生的两次数学成绩具有线性相关关系．
据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系； 当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上.
学以致用：
1.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确
的是( A )
A．r2<r4<0<r3<r1 C．r4<r2<0<r3<r1
B．r4<r2<0<r1< r3 D．r2<r4<0<r1<r3
物理成绩 80
75
70
65
60
55
50
40
50
60
散点图中点的位置散布在从左下角到右上 角的区域。此时一个变量会随着另一个变 量的增大而增大，称它们成正相关。
数学成绩
70
80
90
热饮杯数
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
温度
40
-10
0
10
20
30
40
点的位置散布在从左上角到右下角的区域。此时一个变量会随着另 一个变量的增大而减小，称它们成负相关。
1.相关关系
温故知新：
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个 的程度，这种关系称为相关关系.
3.1.2相关系数ppt课件
相关系数
相关关系的测度
（相关系数取值及其意义）
完全负相关 无线性相关 完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
小结
＊ 线性相关系数r：
r
x y
i 1 i
n
i
nx y yi2 ny 2
i 1 n
，其中 1 r 1 。
x nx
2 i ＝1 i＝1
xiyi＝1 222.6
i＝1
6
xiyi－6 x y
i＝1
6
(1)r＝
≈－0.949 8. 6 6 x2－6 x 2 y2－6 y 2 i i i＝1 i＝1
由|r|＞0.75，可知变量 y 和 x 存在很强的线性相关关系．
《名师一号》P64和P65
课后反思：（1）相关系数可以用来判断线 性相关程度的强弱，对于数据较大或不易 做散点图时效果特别明显；（2）本节课重 点是探讨相关系数的原理及其应用，可以 利用必修3中学过的最小二乘法原理给学生 讲解，核心是让学生明了学习相关系数的 意义所在；（3）本节课在最后应该设置一 道例题，让学生先利用相关系数公式验证， 然后再求出线性回归直线方程，这样教学 效果较好。
负相关
正相关
思考交流
对于课本P73给出的例题，变量的线性相关系数r 如何求？ 我们知道，相关系数的计算公式为：
r
x y
i 1 i
n
i
nx y yi2 ny 2
i 1
n
n n
xi2 nx 2
i 1
n
n
要求r，只需求出相关的量： xi yi ， x ， yi2 ，
样本相关系数课件
解析
由样本相关系数r1＝0.785 9>0知x与y正相关，
由样本相关系数r2＝－0.956 8<0知u，v负相关.
又|r1|<|r2|，
∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强.
例2.有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收入得总和)与商品销售额
得10年数据，如表所示.
画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收
Lxy
1
x1 - x
n
y
1
Lxy
100 x1 - 100 x
n
100 Lxy
1
- y x2 - x
y - y 100 x
1
y
2 - 100 x
2
-y
y
2 - y
xn - x
y
n
100 xn - 100 x
数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是( C )
A.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
例3.在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，
如表所示.
体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？
解：根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图，分别如图(1)和(2)所示，
两个散点图都呈现出线性相关的特征.
由样本相关系数r1＝0.785 9>0知x与y正相关，
由样本相关系数r2＝－0.956 8<0知u，v负相关.
又|r1|<|r2|，
∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强.
例2.有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收入得总和)与商品销售额
得10年数据，如表所示.
画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收
Lxy
1
x1 - x
n
y
1
Lxy
100 x1 - 100 x
n
100 Lxy
1
- y x2 - x
y - y 100 x
1
y
2 - 100 x
2
-y
y
2 - y
xn - x
y
n
100 xn - 100 x
数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是( C )
A.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
例3.在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，
如表所示.
体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？
解：根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图，分别如图(1)和(2)所示，
两个散点图都呈现出线性相关的特征.
相关系数PPT课件
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2、协方差的定义 (X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差。
说明：
Cov(X,Y) =E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
⑴ 协方差为X,Y偏差[ X-E(X)] 与[Y-E(Y) ] 乘积的数学期望
(2) Cov(X,Y)>0，正相关；Cov(X,Y)<0, 负相关。=0，不相关
2 2
0.5,
0.4
x1*
0.5 0.4 0.3* 0.5 0.3 0.5 2* 0.4 0.3* 0.5
0.704
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(3) Cov(aX, bY) =E{[aX-E(aX)][bY-bE(Y) ]} =E{ab [X-E(X)][Y-E(Y) ]} = ab cov(X, Y)
(4) Cov(X1+X2, Y)=E{[X1+X2 -E(X1+X2)][Y-E(Y) ]} =E{[X1 -E(X1)][Y-E(Y) ]}+E{[ X2 -E(X2)] [Y-E(Y) ]}} =Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
(3) 当X，Y相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X).
(4) 离散型 : COV ( X ,Y )
[xi E( X )][y j E(Y )] pij
ij
连续型 : COV (X ,Y ) [x E(X )][y E(Y )]f (x, y)dxdy
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x12
2 1
(1
x1
)2
2 2
2x1(1
x1 )1 2
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求D( P )
2、协方差的定义 (X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差。
说明：
Cov(X,Y) =E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
⑴ 协方差为X,Y偏差[ X-E(X)] 与[Y-E(Y) ] 乘积的数学期望
(2) Cov(X,Y)>0，正相关；Cov(X,Y)<0, 负相关。=0，不相关
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(3) Cov(aX, bY) =E{[aX-E(aX)][bY-bE(Y) ]} =E{ab [X-E(X)][Y-E(Y) ]} = ab cov(X, Y)
(4) Cov(X1+X2, Y)=E{[X1+X2 -E(X1+X2)][Y-E(Y) ]} =E{[X1 -E(X1)][Y-E(Y) ]}+E{[ X2 -E(X2)] [Y-E(Y) ]}} =Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
(3) 当X，Y相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X).
(4) 离散型 : COV ( X ,Y )
[xi E( X )][y j E(Y )] pij
ij
连续型 : COV (X ,Y ) [x E(X )][y E(Y )]f (x, y)dxdy
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求D( P )
第五章相关系数.精选PPT
少于30对。 相关系数的选用与解释
相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形式，或者说是用来表示相关关系强度的指标。 φ相关适用的资料是除四分相关之外的四格表资料。
• （3）两列变量各自总体的分布都是正态 如果两变量是线性关系，则可以用偏相关和部分相关进行控制，表示这两个变量间纯净的相关度。
斯皮尔曼等级相关的概念与适用资料
第五章相关系数
优选第五章相关系数
第五章 相关系数
相关、相关系数与散点图 积差相关 等级相关 质与量相关 品质相关 相关系数的选用与解释
第一节 相关、相关系数与散点图
一、什么是相关
事物之间的相互关系 （1）因果关系：一种现象是另一种现象的原因，而另
一种现象是结果。数学上的函数关系。 （2）共变关系：表面上看来有联系的两种事物都与第
N
N
83891 1725 485
10
298525 1725 2 23609 485 2
10
10
0 .7919
• 答：这10名学生的身高与体重的相关系数为0.7919
• （2）差法公式
三、散点图
在直角坐标系中，以 X、Y 二列变量中的一列变 量（如X 变量）为横坐标，以另一列变量（如Y 变 量）为纵坐标，把每对数据Xi、Yi当做同一个平面 上的个点（Xi、Yi），一一描绘在XOY坐标系中， 产生的图形就称为散点图。
散点图通过点的散布形状和疏密程度来显示两 个变量的相关趋势和相关程度，能够对原始数据间 的关系做出直观而有效的预测和解释。
相关系数的取值介于-1.00至+1.00之间，常用小 数形式表示。它只是一个比率，不代表相关的百分数， 更不是相关量的相等单位的度量。
如何理解相关系数? 相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形式。 （1）相关系数的取值在-1.00和+1.00之间； （2）相关系数的绝对值表示两个变量之间的相 关强度，绝对值越接近1表示相关越强，越接近0 表示相关越弱； （3）相关系数的正负号表示相关的方向，相关 系数为正的表示正相关，相关系数为负的表示负 相关； （4）相关系数可以比较大小，但不能进行加减 乘除运算。
相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形式，或者说是用来表示相关关系强度的指标。 φ相关适用的资料是除四分相关之外的四格表资料。
• （3）两列变量各自总体的分布都是正态 如果两变量是线性关系，则可以用偏相关和部分相关进行控制，表示这两个变量间纯净的相关度。
斯皮尔曼等级相关的概念与适用资料
第五章相关系数
优选第五章相关系数
第五章 相关系数
相关、相关系数与散点图 积差相关 等级相关 质与量相关 品质相关 相关系数的选用与解释
第一节 相关、相关系数与散点图
一、什么是相关
事物之间的相互关系 （1）因果关系：一种现象是另一种现象的原因，而另
一种现象是结果。数学上的函数关系。 （2）共变关系：表面上看来有联系的两种事物都与第
N
N
83891 1725 485
10
298525 1725 2 23609 485 2
10
10
0 .7919
• 答：这10名学生的身高与体重的相关系数为0.7919
• （2）差法公式
三、散点图
在直角坐标系中，以 X、Y 二列变量中的一列变 量（如X 变量）为横坐标，以另一列变量（如Y 变 量）为纵坐标，把每对数据Xi、Yi当做同一个平面 上的个点（Xi、Yi），一一描绘在XOY坐标系中， 产生的图形就称为散点图。
散点图通过点的散布形状和疏密程度来显示两 个变量的相关趋势和相关程度，能够对原始数据间 的关系做出直观而有效的预测和解释。
相关系数的取值介于-1.00至+1.00之间，常用小 数形式表示。它只是一个比率，不代表相关的百分数， 更不是相关量的相等单位的度量。
如何理解相关系数? 相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形式。 （1）相关系数的取值在-1.00和+1.00之间； （2）相关系数的绝对值表示两个变量之间的相 关强度，绝对值越接近1表示相关越强，越接近0 表示相关越弱； （3）相关系数的正负号表示相关的方向，相关 系数为正的表示正相关，相关系数为负的表示负 相关； （4）相关系数可以比较大小，但不能进行加减 乘除运算。
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80000
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0 1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
年
1999
2000
2001Байду номын сангаас
2002
2003
函 ybxa 回归模型： y数bx . ae
可以提供 选择模型的准则
11
函数模型与回归模型之间的差别
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值 由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分 y的变化。
建构数学
相关系数
• 1.计算公式
n
(xi - x)(yi - y)
r=
i=1
n
n
(xi - x)2 (yi - y)2
i=1
i=1
• 2．相关系数的性质
n
__
xiyi nxy
i1
n i1
xi2
n
_
x
2
n i1
yi2
n
_
y
2
• (1)|r|≤1．
• (2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0， 相关程度越弱．
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程， 并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系，因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。
nx .
)(yi2 ny
)
5
i1
i1
问题4：对于线性相关的两个变量用 什么方法来刻划之间的关系呢？
2、最小二乘估计
①最小二乘估计下的线性回归方程：
yˆ bˆx aˆ
n
(xi X )( yi Y )
bˆ i1 n
(X i X )2
i 1
n
xi yi n x y
i 1
n
xi2
2
nx
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，
并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。
根据最小二乘法估计 a$和 b$就是未知参数a和b的最好估计，
制表 i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
xi
yi xi yi xi2
x
n
， y ， . x i2 i = 1
探究P4： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如
果不是，你能解析一下原因吗？
答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg， 但一般可以认为她的体重. 在60.316kg左右。 14
xi2 n x
i 1
.
7
3、线性回归模型
yabx
其中a+bx是确定性函数， 是随机误差
注： 产生的主要原因：
(1)所用确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)观测误差。
.
8
案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据 如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
n
， x iy i 13 . i = 1
n
于是有b=
xi yi n x y
i 1
n
xi2
2
nx
0.849
aybx85.712
i 1
所以回归方程是 $ y0.849x85.712
所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报 其体重为
$ y 0 .8 4 9 7 2 8 5 .7 1 2 6 0 .3 1 6 ( k g )
对r进行 显著性检验
相关系数r的绝对值与1接近到什么程度才表明利用
线性回归模型比较合理呢.?
2
相关关系的测度
（相关系数取值及其意义）
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0 -0.5 0 +0.5 +1.0
r
负相关程度增加 正相关程度增加
.
3
①.求相关系数r的步骤：
(1)计算平均数 x , y
n
(2)计算 x i 与y i 的积,求 x i y i
1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，
可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；
2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；
3、身高 y 的观测误差。
.
10
计算可得r=0.798，所以可以线性相关求回归方程。
函数模型与回归模型之间的差别
GDP
120000
中国GDP散点图
100000
• 注:b 与 r 同号
• 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相 关程度怎样呢？
.
1
n
相关系数 r=
i=1(xi - x)(yi - y)
n i=1(xi
-x)2×i=n1(yi
-y)2
ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，
r∈[-1,-0.75]--负相关很强;
r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
i 1
aˆYbˆX.
6
②.求线性回归方程的步骤：
(1)计算平均数 x , y
n
(2)计算 x i 与y i 的积,求 x i y i
n
n
(3)计算
x
2 i
,
y
2 i
i1
(4)将上述i1有关i结1 果代入公式，求b、a
，写出回归直线方程．
n
xi yi n x y
b i1 n
2 a yb x
在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。
－ ∵回归直线恒过点 ( x ，，y 故) 称
－ 为( x样，本y 点) 的中心。
.
12
案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据 如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
3、从散点图还看到，样本点散布在某一条 直线的附近，而不是在一条直线上，所以 不能用一.次函数y=bx+a描述它们关系9。
我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e， 其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
思考P3产生随机误差项e 的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）：
n
n
i1
(3)计算
x
2 i
,
y
2 i
i 1
i 1
(4)将上述有关结果代入公式，求r
r
n
xi yi nxy
i1
n
2 n
2
(xi2 nx )(yi2 ny )
i1
. i1
4
②练习2：已知变量X,Y满足下表，
求相关系数r
x
1
2
3
y
1
3
8
XiYi Xi2
yi2
n
r
xi yi nxy
i1
n
2 n
2
(xi2