同济大讲义学微积分第三版课件第三章第六节

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同济版 高等数学(上册) 第三章课件5

同济版 高等数学(上册) 第三章课件5
第三章 一元函数积分学及其应用
Advanced mathematics
第三章
一元函数积分学及其应用
高等数学
人民邮电出版社
1
第三章
内容导航
第三章 一元函数积分学及其应用
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的换元法与分部法
第三节 有理函数的不定积分
第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的几何应用和物理应用 第八节 反常积分
(3)部分量 U 的近似值可表示为 f x x . 即 U f x x .
那么就可考虑用定积分来表示这个量 U
17
一、平面图形的面积
通常写出这个量 U 的积分表达式的步骤为:
第三章 一元函数积分学及其应用
(1)根据问题的具体情况,选取一个变量(比如 x )作为积分变量,并确 定它的变化区间(比如 a, b ) ;
A(8,4) x y 4
y2 S y 4 dy 2 2
4
y2 1 3 ( 4y y ) 2 6
4 2
18 .
O -2
4 B (2, -2)
x
上述两种解法中,显然第二种解法较为简便,在 求平面图形的面积时,应注意对公式的适当选择.
图3-27
根据定积分的几何意义,可以求出下面几种类型的平面图形的面积. (1)由曲线 y f ( x) ,直线 x a , x b 及 x 轴所围成的平面图形的面积.
① 若 f ( x) 0 ,则其面积为: S f ( x)dx (见图 3-19);
a
b
② 若 f ( x) 0 ,则其面积为: S f ( x)dx (见图 3-20);

教学课件微积分第三版

教学课件微积分第三版
称函数值f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值,
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作

同济版 高等数学(上册) 第三章课件1

同济版 高等数学(上册) 第三章课件1

f x dx F x C .
式, x 称为积分变量, F x 是 f x 的一个原函数.
不定积分的概念
其中 , 符号 称为 积分号 , 称 f x 为 被积函数 , f x dx 称为 被积表达
6
二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
由定义知, 求函数 f ( x) 的不定积分, 就是求 f ( x) 的全体原函数.在 f ( x )dx 中, 积分号 表示对函数 f ( x) 施行求原函数的运算, 故求
x4 dx ; 例6 求不定积分: (6) 2 1 x
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式
4 x4 x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 1 2 d x = d x dx dx x 1 1 x2 2 1 x2 2 1 x 1 x x3 x arctanx C . = 3

9
二、不定积分
1 例3 求 dx ( x 1dx ). x 1 解 当 x 0 时, (ln x) ; x
第三章 一元函数积分学及其应用
1 1 (1) . 当 x 0 时, 即 x 0 时, [ln( x)] x x 1 1 故 ln x 为 在 (0, ) 上的一个原函数 , ln( x) 为 在 (, 0) 上的一个原函 x x 数. 故当 x 0 时, ln x 为 1 的一个原函数, 从而 x 1 x dx ln x C ( x 0) .
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)函数积分学及其应用
按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.

《高等数学》同济六版教学课件★第3章微分中值定理与导数的应用2

《高等数学》同济六版教学课件★第3章微分中值定理与导数的应用2
(或 x )
f ( x) b lim x [ k ]0 x x x
f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
x (或 x )
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例2. 求曲线
3
的渐近线.
y
3 O 1
y x2
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性. y
2) y x 2 2 x , y 2 x 2 ,
令 y 0 , 令 y 0 ,
3)
1 O 1
2 3
x ( , 0) y y y x 1 3 y 2 2 3
0 0
(0 ,1)
1
0
4 3
(极大) (拐点)
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x y y y
0 0
1 2π
(0 , 1)
1
0
1 2πe
(1, ) 源自(极大)(拐点)
4) 求渐近线
y
1 2π
lim y 0
x
y
1 e 2π
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6)绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
x 1 1 5 y x 4 4
y
2 1
( x 3) 2 y 4( x 1)
O1 2 3 5 5 y1 x 4 4
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘

同济高等数学(第六版)第三章PPT D3 3泰勒公式

同济高等数学(第六版)第三章PPT D3 3泰勒公式


Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( n1) ( n1) pn ( x) 0 , Rn ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 , 总误差限为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6. 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
6
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例2. 用近似公式
3 6 10 Rn (1) (n 1) ! 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 1 1 e 11 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
f ( x0 )( x x0 ) 2
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2. 余项估计
令 Rn ( x) f ( x) pn ( x) (称为余项) , 则有
Rn ( x) ( x x0 ) n1 (1 ) Rn Rn ( x) Rn ( x0 ) (1 在 x0 与 x 之间) n n1 (n 1)(1 x0 ) ( x x0 ) 0 (1 ) Rn ( 2 ) Rn Rn ( x0 ) ( 2 在 x0 与 n (n 1)(1 x0 ) 0 (n 1)n( 2 x0 ) n1 1 之间)
(n) ( n 1) R ( x ) R ( ) n 0 n ( 在 x0 与 xn 之间) (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !

微积分(第三版)课件:多元函数微积分

微积分(第三版)课件:多元函数微积分

轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z,所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标,n个实数
称为 中的一个点,也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为

间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言:多元函数是多元函数微积分学研究的 对象,同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广,它与一元函数相关内容类似且 密切相关,在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
(2)以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
(3)以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下,含两个变量的方程为柱 面方程,并且方程中缺少哪个变量,该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域:连通的开集称为开区域,简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域:对于平面点集E,如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ,使 ,则称E为有界区域, 否则称E为无界区域.

同济高等数学(第六版)第三章PPT D3_2洛必达法则

同济高等数学(第六版)第三章PPT   D3_2洛必达法则
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2)
x 0 x100
lim
1

1 x2
e
1 解: 令t 2 , 则 x
原式 = lim t
t 50 t
e
t 50 lim t t e
(用洛必达法则)
lim
50 t 49 e
t
t
(继续用洛必达法则)
lim
50 ! e
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x 例4. 求 lim x (n 0 , 0) . x e (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
n
x k x n x k 1
从而
由(1)
x n x k 1 xk x x x e e e k k 1 x x lim x lim x 0 x e x e xn lim x 0 x e
1 2t 2 1 t 1 原式 lim t 0 t2
lim
t 0

(1 2 t )
1 2
(1 t ) 2t
1 2

lim
t 0
(1 2t )
3 2
1 (1 t ) 2 2
3 2
1 4
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作业 P138 1 (6),(7),(9),(12),(13),(16),
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洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为下列过程之一:
x a ,
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
x ,

同济大学微积分课件 PPT

同济大学微积分课件 PPT
1,1 1,.
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意:无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的,可以询问和交流
可以互相讨论下,但要小声点
邻域:
设a , 是实数,且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合:
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数,
y
tan
x

2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]

同济微积分课件

同济微积分课件

5 y 4 y 2 y 126 x 5 0, ⑶ 20 y y
将 x 0, y 0, y
1 2
代入⑶得,
y 0 0.
例11 计算由摆线的参数方程
x a t sin t , y a 1 cos t
解 当 t 1时,曲线上相应的点的坐标为 1, 2 ,曲线
在该点的切线斜率为
k
故切线方程为 即
dy dx
t 1

1 2t 1
t 1
3,
y 2 3( x 1),
y 3 x 1.
法线方程为 即
y2
1 3
x 1 ,
7
y x . 3 3
1
三、相关变化率
了这种对应关系. 这类关系的特点是:对自变量
x的
每一个取值,都可以通过表达式确定一个唯一的因变量
y 的值. 用这种方式表达的函数称为显函数.
但某种情况下,这种对应关系是 通过一个方程
F ( x, y ) 0 来确定的. 通过方程可以确定 x 和 y 的对应
关系,但这个关系不能象显函数那样用一个显式方程来 表示. 例如方程
设 x x (t ) 与 y y (t ) 都是可导函数,且变量 x 与 y dy dx 之间存在某种联系,从而变化率 与 之间也存在 dt dt 一定关系,这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.
例6 一梯子长10 m,上端靠着墙,下端着地,梯子顺 墙下滑.当梯子下端离墙 6 m 时, 沿着地面以2 m / s 的 速度离墙,问这时梯子上端下滑的速度是多少?
但在某些情况下,并不能把隐函数转化成显函数.例
如由
y 5 3 x 2 y 2 5 x 4 12 ,

同济第三版-高数-(8.6) 第六节 微分法在几何上的应用

同济第三版-高数-(8.6) 第六节 微分法在几何上的应用

设:M0 ↔ t 0 , M ↔ t 0 + t,则当 M →M0 时,
t → 0, x, y , z → 0 . 改写割线方程:
x x0 y y0 z z0 . x y z t t t y z . x 由于 lim t 0 , lim t 0 , lim t0 t 0 t t 0 t t 0 t



M0

a , a , 2 2
a 2

t0 . 2
T M0 x t , yt , z t
由参数方程易求得 在点 M0 处的切向量为
t
0
a a t 1 cos t , sin t , a sin 2 2 2 t 2 a sin t, a cos t, a cos t 2 2 2 2 t 2
故对割线方程取极限有
x x0 y y0 z z0 , y z lim x lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
则割线方程转化为切线方程 y y0 x x 0 L: z z0 . t0 t0 t0
a , 0, 2 a 2 a 2 , 0, 1 . 2 2 2 求得曲线 在点 M0 处的切线及法平面方程为 z a x a y a 2 , 2 2 L M0 : 0 1 2





M0 :
2 xza 0 .
化空间曲线方程为参数式一般是比较困难的,常

曲线 在点 M0 处的切线及法平面方程分别为
y y0 x x 0 L: z z0 1 x0 x0 y y0 x x 0 L: z z0 1 dy dz d x x x d x x x

《高等数学(一)微积分》讲义

《高等数学(一)微积分》讲义
f −1 : f (D) → D
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 (1.概念回顾 2、极限的求法,)
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2(π

2 x)=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x(π − 2x)
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x

cos
lxi→mπ(π −
2xx )=
1 -4
lim
x→π

sin −2
x =

1 8
2
2
2
13/69
注:使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5:
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9

解:
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0.
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点:设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ,
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x 0
0
lim
x tet2dt
x0
0
xex2
0
2 xet2dt
lim 0
2ex2 lim
2.
x0 x
x0 1
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理2 如果函数 f Ca,b, 函数F x 是 f x 的一个
原函数, 则
b
a
f
xdx
FbFa.

证 因F x 与x x f xdx都是 f x 的原函数, a
值得提出的是: 该问题是否具有一般意义, 即: 若函
数 f x 存在原函数F x , 那么函数 f x 在区间 a , b 上 的定积分是否可以表达为它的原函数在区间 a , b 上的
增量, 即:
abfxdxFbFa,
在第三目中我们将详细讨论这个问题. 首先我们讨论积分上限函数及其导数.
x
x
f
t dt
x f x x f x .
注意到, 当xx,xa就是定理1的形式.
例2 设 Fx x2sint2dt,求F x . x
解 由求导公式得
Fx2xsinx4 1 sinx.
2x
例3
求由
yetdt
x
costdt0确定的隐函数
y
对x
0
0
的导数.
解 方程两边对 x 求导, 则有

x F x Ca x b , ⑶
在上式中, 令 x a, 则有
aFaC,
又由于 aaafxdx0,可得CFa,代入⑶
式, 则有
axfxdxFxFa,
在上式中令 x b , 则有
abfxdxFbFa.
定理2建立了定积分与原函数之间的关系, 同时又为定 积分的计算提供了方法.
上面定理中的⑵又经常写成
k 1
k 1
令 m 1kaxnxk0, 则有
a bfxd xli m 0kn 1fk xkF bF a.
又由于 f x 可积, 由定积分的定义, 得
精品jing
同济大学微积分第三版课件第三章第六节
本节要点
本节通过积分上限函数, 证明了连续函数的原函数的 存在性, 更进一步地得到微积分基本公式——牛顿—莱 伯尼茨式
abfxdxFbFa,
其中Fx为 f x的一个原函数.
一、问题的提出
在上一节中, 我们看到: 物体在时间间隔 T1,T2 内经 过的路程为速度函数在区间 T1,T2 上的定积分
例如 fxx,x0,1, 则
x1x2 x0,1,
2
在下图中, 红色三角形面积 y
即为函数 f x x 在 0 , x 中
y=x
中的定积分, 可见它是变元 x
的函数, 面积函数为
sx 1 x2.
2
x
O
x1
x
定理1 如果函数 f Ca,b, 则积分上限函数
x
x
a
f
tdt
在 a , b 上可导, 并且其导函数为
用微分中值定理, 得
F x k F x k 1 F k x k x k 1 f k x k x k 1 ,
其中 k x k 1 ,x k,k 1 ,2 , ,n ,记 xk xk xk1,
则有
n
n
fk x k F x k F x k 1 F b F a ,
x
a
f
xdxFxba.
值得注意的是: 定理2的条件可降低为:
定理 设 f Ra,b, 并在 a , b 上存在原函数F x ,

a bfxd x F x b aF b F a .
证 在 a , b 插入n 1 个分点,
a x 0 x 1 x 2 x n b ,
从而把区间 a , b 分成n 个小区间, 在区间 xi1, xi 上使
二、积分上限函数及其导数
设函数 fx C a ,b , x a ,b ,则 f x 在部分区间
a , x 上可积, 由此积分 y
x
a
f
t
d t
定义了区间 a , b 上的函数,
记为 x , 即
y f x
x
O ax
xa xftdt axb.
bx
这个函数称为积分上限函数或为变上限函数.
限函数
x
x
a
f
tdt
是 f x 的一个原函数.
例1 设Fx xet2dt, 求 F x . 0
解 由求导公式, 得
Fxex2,Fx2xex2.
定理1的更一般形式是:
定理 设函数 f t 在某区间 I 上连续, 函数x及x
是 a , b 上的可导函数, 且 a,bI,a,bI,则
T2 v t d t , T1
但是, 这段路程又可视为位置函数 s t 在区间 T1,T2 上
的增量sT2sT1, 即
TT12vtdtsT2sT1,
又st vt, 即位移函数是速度函数的原函数, 所以上
述关系表示为速度函数 v t 在区间 T1,T2 上的定积分等 于v t 的原函数s t 在区间 T1,T2 上的增量.
x 0 是函数的极小值点. 又f 0 0, 故当 x 0 时 函数有极小值 f 0 0.
例5 求 lim
x et2d t 2
0
.
x 0 x t e t 2 d t 0
解 原式是0 型. 由罗必达法则, 原式为 0
x e t2 d t 2
2 x et2dt ex2
l i m
xddxax f tdt f x a x b.
证 若 x a,b, 取 x 的增量 x 并 y y f x
使得 xxa,b, 则
xx xxftdt, x a o a x xx b x
由此得到函数的增量
x x x
xxftdtxftdt
a
a
xx f tdt. x
由积分中值定理, 得
eyycosx0,

y cos x . ey
例4 当 x 为何值时, 函数f x xtet2dt有极值? 0
解 为求极值, 先求函数 f x 的驻点. 因
fx x e x 2,fx 0 x 0 .
显然有: x 0 f x 0 ; x 0 f x 0 ,所以
f x,
其中 介于 x 与 x x之间, 故 f , 又由于
f x 为连续函数, 故
x
所以,
limffx,
x0
limlimffx.
x x 0
x 0
此说明函数 x 可导, 且有x f x.
若 x a或 b, 则以上的极限分别改为 x0或
x0就得到 fa与 fb.
定理1证明了连续函数的原函数的存在性. 并且积分上
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