初中数学专题辅导系列

初中数学专题辅导系列

1．数学新课程“活动型”中考题评析

“活动型”中考试题已成为一大亮点，充分体现了新课标的数学学习理念：数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。本文以数学新课程中考试题为例，分类评析，供备考的师生参考，并与们交流。

一、游戏型

游戏蕴涵了许多数学理论，做游戏本身就是对思维的一种挑战，也是一个非常有趣的过程。这有助于培养学生对数学的积极情感体验。

例1、扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两，且各堆牌的 数相同；

第二步：从左边一堆拿出两，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一，放入中间一堆；

第四步：左边一堆有几牌，就从中间一堆拿几牌放入左边一堆。

这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的数，你认为中间一堆牌现有的数是 （省课程改革实验区初中毕业生学业考试15试题） 评析：这是一道有趣的情景题， 小明象魔术师般神奇地说出了准确

数,这其中的奥秘是什么？激起学

生的思维，把具体问题数学化，用

字母a 表示各堆牌相同的数，

列表分析：如右表，得中间牌数为

5。在这一过程中学生经历“从具体

事物 学生个性化的符号表示 学会数学地表示”这一逐步化、形式化的过程，从而发展学生的“符号感”。

例2、小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为 奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚 得1分。这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由。若不

公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？ 甲 乙 （省市初级中学学业水平考试16试题）

评析：游戏本身就是一种随机事件，每次游戏就是一次实验。对游戏规则公平性的研究，实际上是事件发生可能性的一种应用。一种游戏规则公平与否直接与这个游戏的方式有关。在很大程度上，游戏将有助于学生对随机事件的理解。另一方面，对游戏公平性的研究，将有利于培养学生公平、公正的态度，有助于学生形成正确的世界观。本题要求学生先将两个转盘所转到的数字求积（如右表），从表中可以得到：

P 积为奇数 =62, P 积为偶数 =64. ∴ 小明的积分为64262=⨯，

小刚的积分为6

4

164=⨯。因此，游戏对双方公平。

二、实践活动型

“实践与综合应用”是新数学课程中一个全新的容，要求学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以培养学生的创新意识与实践能力。

例1、新安商厦对销量较大的A 、B 、C 三种品牌的洗衣粉进行了问卷调查，发放问卷270份（问卷由单选和多选题组成）。对收回的238份问卷进行了整理，部分数据如下： 一、最近一次购买各品牌洗衣粉用户的比例 二、用户对各品牌洗衣粉满意情况汇总表： （如图）：

根据上述信息回答下列问题：

（1）A 品牌洗衣粉的主要竞争优势是什么？你是怎样看出来的？ （2）广告对用户选择品牌有影响吗？请简要说明理由。

（3）你对厂家有何建议？（２００４年省初中毕业、升学考试２２题）

评析：能用精炼的语言表述自己的观点是新课程中考题的新亮点。本题主要是考查学生的统计分析与推断能力，并要求学生作出合理解释。解答参考：（1）A 品牌洗衣粉主要竞争优势是质量。可从以下看出：①对Ａ品牌洗衣粉的质量满意的用户最多；②对Ａ品牌洗衣粉的广告、价格满意的用户不是最多。（２）广告对用户选择品牌有影响，可从以下看出：①对Ｂ、Ｃ品牌洗衣粉质量、价格满意的用户数相差不大；②对Ｂ品牌洗衣粉的广告满意的用户数多于Ｃ品牌，且相差较大；③购买Ｂ品牌洗衣粉的用户比例高于Ｃ品牌８.４５％ 。 （３）① 要重视质量；② 在保证质量的前提下，要关注广告和价格。

例２、在一次实践活动中，某课题学习小组用

测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案 （如图①所示）： Ｅ

(1) 在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE = α; Ａ ① Ｎ

(2) 量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN = m ； M （3）量出测倾器的高度AC = h.

根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.

如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度 （如图②）的方案.

（1）在图②中画出你测量小山高度MN 的示意图（标上适当的字母）； ② N （2）写出你设计的方案.（2004年省市初级中学学业水平考试17题）

评析：本题不新，它来源于课本的课题实践，主要考查学生对直角三角形边与角关系的应用，是历年常考的一类题。本题新，新在考查学生的方案设计，而不要求计算过程。这体现了新课标要求学生懂得算理而避免繁杂的计算，而且可以考察教师是否真正落实课题实践

活动的学习。这道题要求学生经历“自学——模仿——创造”的过程 ，因为AN 的 M 距离是不能直接测量的。略解如下：（1）正确画出示意图：

（2）① 在测点A 处安置测倾器，测得此时山顶M 的仰角∠MCE = α；

② 在测点A 与小山之间的B 处安置测倾器（A 、B 与 C D E N 在同一条直线上），测得此时山顶M 的仰角∠MDE = β； ③ 量出测倾器的高度AC = BD = h ，以及测点A 、B 之 A B N 间的距离AB = m 。根据上述数据即可求出小山的高度MN.

三、动手做（Hands on ）的活动

“实验操做探究型”问题是今年实验区中考题的又一特色，它要求学生观察一件物体或一种现象，或者说操作某些学具，让学生在研究所观察的物体或现象的过程中进行发现、猜想、证明，并从中体会学习数学的快乐，有助于发展学生的合情推理能力以及培养学生的创新精神。

例：如图1，⊙1O 和⊙2O 切于点P .C 是 ⊙1O 上任一点（与点P 不重合）.

实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C 上， 一条直角边经过点1O ，另一直角边所在直线交⊙2O

于点A 、B ，直线P A 、PB 分别交⊙1O 于点E 、F ，连结CE （图2是实验操作备用图）. 图1 图2 探究：

（1）你发现弧CE 、弧CF 有什么关系？用你学过的知识证明你的发现； （2）你发现线段CE 、PE 、BF 有怎样的比例关系？证明你的发现. （市毕业升学统一考试26题） 解析：

探究（1）结论：CE = CF .

证法一：过点P 作两圆外公切线MN ，连结EF .

∵ MN 为两圆的公切线 ∴ ∠NPB = ∠PEF = ∠A ∴ EF // AB

又∵1O C ⊥ AB ∴ 1O C ⊥ EF 又∵1O C 为⊙1O 的半径 ∴ CE = CF . 证法二：过点P 作两圆外公切线MN ，连结CP . ∵1O C ⊥ AB ， 1O C 为⊙1O 的半径 ∴ AB 切⊙1O 于C

∴ ∠BCP = ∠CEP ∵ MN 为两圆的公切线 ∴ ∠MPA = ∠B = ∠PCE ∴ ∠CPE = ∠CPB ∴ CE = CF .

探究（2）结论：PE BF CE ⋅=2

证法一：过点P 作两圆外公切线MN ，连结CP 、CF . ∵ AB 切⊙1O 于C ∴ ∠BCF = ∠CPB

N

N N