(精选3份合集)2020届广东广雅中学高考数学模拟试卷
(精选3份合集)2020届广东省广雅中学高考数学模拟试卷
A、①点溶液中溶质为等物质的量浓度的CH3COONa和CH3COOH，混合溶液中存在物料守恒，根据物料守恒得c(CH3COO﹣)+c(CH3COOH)＝2c(Na+)，故A错误；
B、任何电解质溶液中都存在电荷守恒，根据电荷守恒得c(Na+)+c(H+)＝c(OH﹣)+c(CH3COO﹣)，所以滴定过程中①②③任一点都存在电荷守恒c(Na+)+c(H+)＝c(OH﹣)+c(CH3COO﹣)，故B正确；
B.图中交点时没有达到平衡状态，A的消耗速率大于A的生成速率，故B错误；
C. 12s时达到平衡状态，B、C转化量之比等于化学计量数之比，所以b∶c =(0.5mol/L-0.3mol/L )×2L∶0.8mol=1:2，故C正确；
D.由题意可知，3molA与1molB完全反应生成2molC时放出QkJ的热量，12s内，A的物质的量减少（0.8mol/L-0.2mol/L）×2L=1.2mol，则放出的热量为0.4QkJ，故D错误。
C．化学计量数之比b ∶c = 1∶2
D．12s内反应放出0.2QkJ热量
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
某温度下，在2L恒容密闭容器中投入一定量的A、B发生反应：3A(g)+bB(g) cC(g) ∆H=－QkJ·mol－1（Q＞0），12s时达到平衡，生成C的物质的量为0.8mol，
A．由图像可知A的浓度变化=0.8mol/L-0.5mol/L=0.3mol/L，反应速率 = = =0.15 mol·L－1·s－1，所求为0~2s的平均速率，不是2s时的速率，故A错误；
D.d点为加入20mLNaOH溶液，此时溶液的体积为原体积的2倍，故含氮微粒的总浓度为原来的1/2，即0.1000mol/L。根据物料守恒则有c(NH4+)+c(NH3·H2O)=0.100 0 mol·L-1，故D正确。
2020年广东省高考数学一模试卷
高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A={x|x-1＜2}，B={x|1＜2＜16}，则A∩B=（）A.（-∞，8）B.（-∞，3）C.（0，8）D.（0，3）2.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）3.A. B. C. D.双曲线9x-16y=1的焦点坐标为（）A.（±，0）B.（0，）C.（±5，0）D.（0，±5）4.若sin（）=，则c os2α=（）5.A. B. C. D.已知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当x∈[-2，1]时，f（x）=x-2x-4，则关于x的不等式f（x）＜-1的解集为（）A.（-∞，-1）B.（-∞，3）C.（-1，3）D.（-1，+∞）6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.3π4π6π8π7.执行如图的程序框图，依次输入x=17，x=19，x=20，x=21，1234 x=23，则输出的S值及其统计意义分别是（）5A.S=4，即5个数据的方差为4B. C. D.S=4，即5个数据的标准差为4S=20，即5个数据的方差为20S=20，即5个数据的标准差为20x2228. △ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知 cos C + cos A=1，则 cosB 的取值范围为（）A.（）B. [）C.（ ，1）D. [，1）9.已知 A ，B ，C 三点不共线，且点 O 满足 16 -12 -3 = ，则（）A.C.=12 +3=-12 +3B.D.=12 -3=-12 -310. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段 AB 分为两 线段 AC ，CB ，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一段 CB 的比例中项，即满足= =≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点.在△ABC 中，若点 P ，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点， △在ABC 内任取一点 M ， 则点 M 落 △在APQ 内的概率为（ ）A. B.-2C. D.11. 已知 F 为抛物线 C ：x =4y 的焦点，直线 y = x +1 与曲线 C 相交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，则 S =（ ）A. B. C. D.212. 函数 f （x ）=（kx-2）ln x ，g （x ）=2ln x -x ，若 f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解 集中恰有两个整数，则 k 的取值范围为（ ）A. [1-， -）B. （1-， - ]C.[ -，2-）D.（ -，2-]二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知函数 f （x ）=14. 设 x ，y 满足约束条件，则 f （f （2））=______．，则 z =2x +y 的最大值为______．15. 在三棱锥 P -ABC 中，AP ，AB ，AC 两两垂直，且 AP =AB=AC =的内切球的表面积为______．，则三棱锥 P -ABC16. 已知函数 f （x ）=sin （ωx + ）+ （ω＞0），点 P ，Q ，R 是直线 y =m （m ＞0）与函数 f （x ）的图象自左至右的某三个相邻交点，且 2|PQ |=|QR|= ，则 ω+m =______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 设数列{a n }的前 n 项和为 S ，S =1-a （n ∈N *）．（1）求数列{a }的通项公式；n2△OABn n n（2）设b=log a，求数列{}的前n项和T．n2n n18. 在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4，AC=2（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．，∠EAD=30°．19. 某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间/分等候人数y/人102311251226132914281531调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x，y），（x，y），……，（x，y），其回归直线=x+1122n n的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=．20. 已知点（1， ），（）都在椭圆 C ：（1）求椭圆 C 的方程；=1（a ＞b ＞0）上．（2）过点 M （0，1）的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 P ，Q （异于顶点），记椭圆 与 y 轴的两个交点分别为 A ，A ，若直线 A P 与 A Q 交于点 S ，证明：点 S 恒在直1 2 1 2线 y =4 上．21. 已知函数 f （x ）=e -2ax （a ∈R ） （1）若曲线 y =f （x ）在 x =0 处的切线与直线 x +2y -2=0 垂直，求该切线方程；（2）当 a ＞0 时，证明 f （x ）≥-4a +4a22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ 为参数）已知点1Q （4，0），点 P 是曲线 C 上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点，lx 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点 M 的轨迹 C 的极坐标方程；2（2）已知直线 l ：y =kx 与曲线 C 交于 A ，B 两点，若 =3 ，求 k 的值．223. 已知函数 f （x ）=|x +a |+2|x-1|（a ＞0）．（1）求 f （x ）的最小值；（2）若不等式 f （x ）-5＜0 的解集为（m ，n ），且 n-m = ，求 a 的值．x 2答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合 A ={x |x -1＜2}=（-∞，3），B ={x |1＜2 ＜16}=（0，4） ∴A ∩B =（0，3）．故选：D ．由 A 与 B ，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.【答案】B【解析】解：∵z =的虚部为 ． ∴z ==，故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：双曲线 9x -16y =1 的标准方程为： ，可得 a = ，b = ，c == ，所以双曲线的焦点坐标为（± ，0）．故选：A ．直接利用双曲线的方程求解 a ，b ，c 得到焦点坐标即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题． 利用诱导公式求得 cos α 的值，再利用二倍角公式求得 cos2α 的值． 【解答】解：sin （）=-cos α= ，则 cos2α=2cos α-1=- ，故选：B ．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．根据 条件可得出 f （-1）=-1，根据 f （x ）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由 f （x ）＜-1 得出 f （x ）＜f （-1），从而得到 x ＞-1，即得出原不等式的解集． 【解答】解：∵x ∈[-2，1]时，f （x ）=x -2x -4； ∴f （-1）=-1；x2 2 2 2∵f （x ）在（-∞，+∞）上单调递减； ∴由 f （x ）＜-1 得，f （x ）＜f （-1）； ∴x ＞-1；∴不等式 f （x ）＜-1 的解集为（-1，+∞）． 故选：D ． 6.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个 半圆柱，底面的半径是 1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为 1，高是 2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A ．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是 1， 高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为 1，高是 2，根据体积公 式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本 题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目． 7.【答案】A【解析】解：根据程序框图，输出的 S 是 x =17，x =19，x =20，x =21，x =23 这 5 个数1 2 3 4 5据的方差，∵ = （17+19+20+21+23）=20，∴由方差的公式 S = [（17-20） +（19-20） +（20-20） +（21-20） +（23-20） ]=4． 故选：A ．根据程序框图，输出的 S 是 x =17，x =19，x =20，x =21，x =23 这 5 个数据的方差，先1 2 3 4 5求这 5 个数的均值，然后代入方差公式计算即可．本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个 求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵ cos C + cos A =1，∴由余弦定理可得： •+ •=1，化简可得：b=ac ，由余弦定理可得；cos B=∴ ≤cos B ＜1，即：cos B ∈[=，1）．≥= ，故选：D ．由余弦定理化简已知等式可得 b =ac ，由余弦定理，基本不等式可求 c os B ≥ ，结合余弦 函数的性质即可得解．本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和 计算能力，属于基础题．222222 29.【答案】A【解析】解：由题意，可知：对于 A ：= =，整理上式，可得：16 -12 -3 = ，这与题干中条件相符合， 故选：A ．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答 案． 本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题． 10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题． 先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ =，CP =，所以 PQ =BQ +CP -BC =（）a ，S：S=PQ ：BC =（-2）a ：a = -2，则 △在ABC 内任取一点 M ，则点 M 落 △在APQ 内的概率为 【解答】解：设 BC =a ，由点 P ，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，=，得解．所以 BQ=，CP =所以 PQ =BQ +CP -BC =（，）a ， ：S △S APQ△ABC=PQ ：BC =（ -2）a ：a = -2，由几何概型中的面积型可得：△在ABC 内任取一点 M ，则点 M 落 △在APQ 内的概率为=，故选 B ．11.【答案】C【解析】解：抛物线 C ：x =4y 的焦点（0，1），设 A （x ，y ），B （x ，y ），1 12 2由，整理得：x -2x -4=0，由韦达定理可知：x +x =2，y +y =31 2 1 2由抛物线的性质可知：|AB |=p+y +y =2+3=5，1 2点 O 到直线 y = x +1 的距离 d ，d = ．∴则△OAB 的面积 S ，S = •|AB |•d =．故选：C ．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，△APQ △ABC22利用韦达定理求得x+x，由抛物线的性质可知|AB|=p+y +y，利用点到直线的距离公式1212求得O到直线y=x+1的距离d，根据三角形的面积公式S=•|AB|•d，即可求得△则OAB的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．将不等式f（x）＜g（x）转化为kx＜4-，设h（x）=4-，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使（f x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x＞1时，ln x＞0，由f（x）＜g（x）得（kx-2）ln x＜2ln x-x，即kx-2＜2-，即kx＜4-，设h（x）=4-，则h'（x）=-=-，由h'（x）＞0得-（ln x-1）＞0得ln x＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h'（x）＜0得-（ln x-1）＜0得ln x＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x=e时，h（x）取得极大值h（e）=4-=4-e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→-∞，h（3）=4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线y=kx过A，B点时对应的斜率k==-A ，k==1-B，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x=2，和x=3，即直线y=kx的斜率k满足k≤k<k，B A即1-≤k< -，即实数k的取值范围是[1-故选：A．，-)，13.【答案】2【解析】解：f（2）=ln2，∴f（f（2））=f（ln2）=e ln2=2．故答案为：2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y-z=0过点A时，z=2x+y取得最大值为2×3+1=7．故答案为：7．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r=．∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【解析】解：函数 f （x ）=sin （ωx + ）+ （ω＞0），由 2|PQ |=|QR |= ，解得|PQ |= ， ∴T =|PQ |+|QR |=π，∴ω= =2，设 P （x ，m ），则 Q （ -x ，m ），R （T +x ，m ），0 0 0∴|PQ |= -2x 0，|QR |= +2x ， 0∴2（ -2x 0）= +2x ， 0解得 x = = ， 0∴m =sin （2× ）+ = + =1，∴ω+m =2+1=3．故答案为：3．根据题意求出函数 f （x ）的最小正周期 T ，得出 ω 的值，再求出 m 的值，即可求出 ω+m 的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a }的前 n 项和为 S ，S =1-a （n ∈N *）①．当 n =1 时，解得：，当 n ≥2 时，S =1-a ．②n -1 n -1①-②得：2a =a ，n n -1所以： （常数），故：数列{a }是以 为首项， 为公比的等比数列．n则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b =log a =-n ． n 2 n所以：b =-（n +1），n +1则：，故：=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应 用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：因为 AD =2，DC =4，AC =2 ，所以 AD+DC =AC ，n n n n2 2 2所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE=2，AD=2，AB=2，∠EAD=30°．可得E到底面ABCD的距离为：2sin60°=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F-BCH的体积，可得=4=．【解析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：间隔时间（x分钟）等候人数（y人）1226132914281531因为，，所以，，所以．当x=10时，当x=11时，，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由 1.4x +9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为 18 分钟．【解析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间． 本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得得 a=4，b =2，故椭圆 C 的方程为 + =1．，解证明：（2）易知直线 l的斜率存在且不为 0，设过 点 M （0，1）的直线 l 方程为 y =kx +1，（k ≠0），P （x ，y ），Q （x ，y ），1 12 2由，消 y 可得（k +2）x +2kx -3=0，∴x +x =- 1 2，x x =-1 2，∵A1 （0，2），A （0，-2）， 2∴直线 AP 的方程为 y = 1x +2=•x +2=（k -）x +2，则直线 A Q 的方程为 y=2x -2=（k + ）-2，由，消 x 可得=，整理可得y == = +4= +4=4，直线 A P 与 A Q 交于点 S ，则点 S 恒在直线 y =4 上12【解析】（1）由题意可得，解得 a =4，b =2 得椭圆方程，（2）先设出直线 l 整理可得 y =的方程，再分别求出直线 A P 的方程，直线 A Q 的方程，联立，消 x1 2，根据韦达定理化简整理可得直线 y =4本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求 解能力，属于中档题21.【答案】（1）解：f ′（x ）=e -2a ，又∵曲线 y =f （x ）在 x =0 处的切线与直线 x +2y -2=02 2 2 2 2 2x垂直，∴f ′（0）=2即 f ′（0）=1-2a =2，解得：a =- ，∴f （x ）=e +x ，则 f （0）=1． ∴切线方程为 y =2x +1；（2）证明：f ′（x ）=e -2a ，由 f ′（x ）=e -2a =0，解得 x =ln2a ． ∴当 x ∈（-∞，ln2a ）时，f ′（x ）＜0，当 x ∈（ln2a ，+∞）时，f ′（x ）＞0． ∴f （x ）在（-∞，ln2a ）上单调递减，在（ln2a ，+∞）上单调递增． ∴f （x ） =f （ln2a ）=e -2a ln2a =2a -2a ln2a ． min令 g （a ）=2a -2a ln2a +4a -4a =4a -2a -2a ln2a =2a (2a -1-la 2a )（a ＞0）． 要证 g （a ）≥0，即证 2a -1-ln2a ≥0，令 h （a ）=2a -1-ln2a ，则 h ′（a ）=2- =，当 a ∈（0， ）时，h ′（a ）＜0，当 a ∈（ ，+∞）时，h ′（a ）＞0，∴h （a ）≥h （ ）=0，即 2a -1-ln2a ≥0．∴f （x ）≥-4a +4a ．【解析】（1）求出函数的导数，计算 f ′（0），得到关于 a 的方程，求得 a ，得到函 数解析式，求得 f （0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明 f （x ）≥-4a +4a 转化为证 f （x ）的最小值大于等于-4a +4a ，即证 a -1-ln2a ≥0， 令 h （a ）=a -1-ln2a ，求其最小值大于等于 0 即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中 档题．22. 【答案】解：（1）消去 θ 得曲线C 的普通方程为：x +y =4， 1设 M （x ，y ）则 P （2x -4，2y ）在曲线 C 上，所以（2x -4） +（2y ） =4， 1即（x -2） +y =1，即 x +y -4x +3=0， C 轨迹的极坐标方程为： 2 ρ -4ρcosθ+3=0．（2）当 k ＞0 时，如图：取 AB 的中 点 M ，连 CM ，CA ，在直角三角形 CMA 中，CM =CA - （ AB ） =1- AB ，①在直角三角形 CMO 中，CM =OC -OM =4-（ AB ） =4- AB ，②由①②得 AB = ，∴OM = ，CM =，k = = =．当 k ＜0 时，同理可得 k =-．x x x ln2a 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2综上得k=±．【解析】（1）消去θ得曲线C的普通方程为：x+y=4；设出M的坐标后利用中点公1式得到P的坐标后代入C德轨迹C的直角坐标方程，再化成极坐标方程；12（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM，OM后可得斜率．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23. =【答案】解：（1）f（x），∴x=1时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）-5＜0的解集为（a-3，-），∴- -a+3=-=，∴a=3符合，当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集为（- -1，-），∴-++1=≠．综上可得a=3．【解析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．22。
2020年广东省高考数学一模试卷(文科)(附答案详解)
2020年广东省高考数学一模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A，B均为全集U={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A={1,2,3,4}，则满足A∩∁U B={1,2}的集合B可以是()A. {1,2,3,4}B. {1,2,7}C. {3,4,5,6}D. {1,2,3}2.复数z=4+3i3−4i(i为虚数单位)的虚部为()A. −1B. 2C. 5D. 13.已知向量a⃗=(12,−1)向量b⃗ 满足2a⃗+b⃗ =(−1,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=()A. −3B. 3C. 1D. 24.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为()A. x24+y22=1 B. x22+y2=1 C. x23+y22=1 D. x24+y23=15.如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t(0<t≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则y=f(t)的大致图象为()A.B.C.D.6.若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为()A. −19B. −59C. 19D. 597.甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为()A. 14B. 13C. 16D. 1368.某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为()A. 1920003cm3 B. 1600003cm3 C. 160003cm3 D. 640003cm39.执行如图的程序框图，若输出A的值为70169，则输入i的值为()A. 4B. 5C. 6D. 710.已知O是坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为()A. √5+12B. √5−12C. √5−1D. √5+111.在△ABC中，已知A=60°，D是边BC上一点，且BD=2DC，AD=2，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 32√3 C. 2√3 D. 52√312.已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，f(1)=0，且当x∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx>0，则不等式f(x)<0的解集为()A. (−1,0)∪(1,π2) B. (−1,0)∪(0,1)C. (−π2,−1)∪(1,π2) D. (−π2,−1)∪(0,1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)=mx2lnx，若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+2020=0平行，则m=______．14. 若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z =2x +y 的最大值为______．15. 如图，已知三棱锥P −ABC 满足PA =PB =PC =AB =2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为______．16. 函数f(x)=sinπx +acosπx 满足f(x)=f(13−x)，x ∈[0,32]，方程f(x)−m =0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }为单调递增的等差数列，设其前n 项和为S n ，S 5=−20，且a 3，a 5+1，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值及取得最小值时n 的值．18. 某城市2018年抽样100户居民的月均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组，得到如表频率分布表： 分组频数频率[160,180) n 1 0.04 [180,200) 19 f 1 [200,220) n 2 0.22 [220,240) 25 0.25 [240,260) 15 0.15 [260,280) 10 f 2 [280,300]50.05(1)求表中n 1，n 2，f 1，f 2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m ； (2)该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u(单位：千瓦时)作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u 与年份t 的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x =t −2014，y =u −195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u 关于t 的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数． 附：回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．19. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C 的中点，且AB =1，AA 1=2． (1)证明：CD//平面A 1EB ； (2)求点A 1到平面BDE 的距离．20.动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1，x2是方程x2+2mx−4=0的两根．(1)若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；(2)证明：当动圆C过点M(0,1)时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．21.已知函数f(x)=e x+(m−e)x−mx2．(1)当m=0时，求函数f(x)的极值；(2)当m<0时，证明：在(0,1)上f(x)存在唯一零点．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1.若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q的轨迹为C2．(1)求C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．|x+3|−2(k∈R)．23.已知函数f(x)=|x−k|+12(1)当k=1时，解不等式f(x)≤1；(2)若f(x)≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A，B均为全集U={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A={1,2,3,4}，要满足A∩∁U B={1,2}；则1，2∉B，故符合条件的选项为C．故选：C．根据题意得出1，2∉B，即可判断结论．本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z=4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i的虚部是1，故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：向量a⃗=(12,−1)，向量b⃗ 满足2a⃗+b⃗ =(−1,m)，设b⃗ =(x,y)，则(1+x,−2+y)=(−1,m)，∴1+x=−1，且−2+y=m，求得x=−2，m=y−2．若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =x2−y=−1−y=0，故y=−1，∴m=y−2=−3，故选：A．由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得m的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由AF2BF1是正方形可得b=c，再由AF2BF1的面积为4可得12⋅2c⋅2b=4，即bc=2，又a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=2，所以椭圆的方程为：x24+y22=1；故选：A．由四边形AF2BF1是正方形且面积为4可得b，c的值，再由a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的面积．本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：当0<x<1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD，不合适，当1≤x≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A，故选：B．根据面积的变换趋势与t的关系进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t的关系是解决本题的关键．难度不大．6.【答案】B【解析】解：∵sin(π+α)=√23，∴可得sinα=−√23，∴sin(2α−π2)=−cos2α=2sin2α−1=2×(−√23)2−1=−59．故选：B．由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，基本事件总数n=C42=6，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率p=16．故选：C．基本事件总数n=C42=6，由此能求出甲、乙两人选的2本恰好相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，正方体AC1的棱长为40cm，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm3．又正方体的体积为V=40×40×40=64000cm3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm3，故选：B．由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解．本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．9.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得A=12，k=1满足条件1≤i，执行循环体，A=25，k=2满足条件2≤i，执行循环体，A=512，k=3满足条件3≤i，执行循环体，A=1229，k=4满足条件4≤i，执行循环体，A=2970，k=5满足条件5≤i，执行循环体，A=70169，k=6由题意，此时不满足条件6≤i，退出循环，输出A的值为70169，可得输入i的值为5．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】A【解析】解：由题意可知：|AF|=b2a，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，可得c=b2a =c2−a2a，e=e2−1，e>1解得e=√5+12．故选：A．由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：因为在△ABC 中，已知A =60°，D 是边BC 上一点，且BD =2DC ，AD =2， ；∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2×13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2； 即：4=19c 2+49bc ⋅cos60°+49b 2⇒36=c 2+2bc +4b 2≥2√c 2⋅4b 2+2bc =6bc ； ∴bc ≤6，(当且仅当2b =c 时等号成立)； ∵S △ABC =12bcsinA ≤12×6×√32=3√32． 即△ABC 面积的最大值为：3√32． 故选：B ．先根据向量的三角形法则得到AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；对其两边平方，求出bc 的取值范围即可求得结论．本题考查△ABC 的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．12.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法，等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=f(x)sinx ，g′(x)=[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx ，当x ∈(0,π2)时，根据f(x)+f′(x)tanx >0，可得函数g(x)单调递增．又g(1)=0，判断g(x)在(0,π2)上的正负情况，根据f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，可得g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数．进而得出不等式f(x)<0的解集． 【解答】解：令g(x)=f(x)sinx ，g′(x)=f(x)cosx +f′(x)sinx =[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx ，当x ∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx >0，∴g′(x)>0，即函数g(x)单调递增． 又g(1)=0，∴x ∈(0,1)时，g(x)=f(x)sinx <0，又sinx >0，所以f(x)<0． x ∈(1,π2)时，g(x)=f(x)sinx >0，又sinx >0，所以f(x)>0． x =0时，f(0)=0，舍去． ∵f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数， ∴g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数． 则g(x)在(−π2,0)上单调递减，且g(−1)=0，故x ∈(−π2,−1)时，g(x)=f(x)sinx >0，又sinx <0，所以f(x)<0． x ∈(−1,0)时，g(x)=f(x)sinx <0，又sinx <0，所以f(x)>0． ∴不等式f(x)<0的解集为(−π2,−1)∪(0,1)． 故选：D ．13.【答案】−13【解析】解：f′(x)=m(2xlnx +x)，又曲线y =f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex +y +2020=0平行， ∴f′(e)=3em =−e ，解得m =−13． 故答案为：−13．求出f(x)的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020=0平行，得f′(e)=−e ，列出关于m 的方程，解出m 的值．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14.【答案】7【解析】解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分 由{x =2x −y =−1，得A(2,3)目标函数z=2x+y可看做斜率为−2的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=2×2+3=7．故答案为：7．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．15.【答案】3227√3π【解析】解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA=PB=PC=AB=2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP=OA=R，在△OAD中，R2=r2+(PD−R)2，即R2=1+(√3−R)2，解得：R=2√3=2√33，所以外接球的体积V=4π3R3=32√327π，故答案为：32√327π.因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA=PB=PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．16.【答案】√3≤m<2或−2<m≤−1【解析】解：函数f(x)=sinπx+acosπx满足f(x)=f(13−x)，则函数的对称轴为x=16，当x=16时，函数f(x)取得最值，即±√1+a 2=sin π6+acos π6，整理得a 2−2√3a +3=0，解得a =√3， 所以f(x)=sinπx +√3cosπx =2sin(πx +π3). 由于x ∈[0,32]，所以π3≤πx +π3≤3π2+π3=11π6，根据函数的图象，当√3≤m <2或−2<m ≤−1时，函数的f(x)的图象与y =m 有两个交点，即方程f(x)−m =0恰有两个不等的实根， 故答案为：√3≤m <2或−2<m ≤−1．首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数f(x)的图象和函数y =m 的交点，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17.【答案】解：(1){a n }为单调递增的等差数列，设公差为d ，d >0，由S 5=−20，可得5a 1+10d =−20，即a 1+2d =−4，①由a 3，a 5+1，a 9成等比数列，可得a 3a 9=(a 5+1)2，即(a 1+2d)(a 1+8d)=(a 1+4d +1)2，化为2a 1d =2a 1+1+8d ，② 由①②解得d =12，a 1=−5， 则a n =−5+12(n −1)=12(n −11)； (2)S n =12n(−5+n−112)=14(n 2−21n)=14[(n −212)2−4414]，由于n 为正整数，可得n =10或11时，S n 取得最小值−552．【解析】(1)设等差数列的公差为d ，d >0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；(2)由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意n 为正整数，可得所求最值． 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)n 1=100×0.04=4；n 2=100×0.22=22；f 1=19100=0.19；f 2=10100=0.1．设样本频率分布表的中位数为a ，则0.04+0.19+0.22+0.25×120×(a −20)=0.5，解得a =224，由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数m 为224千瓦时． (2)①数据预处理如下表：②由①可知，x −=0,y −=−21−11+0+19+295=3.2，∴b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2=(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29(−4)2+(−2)2+22+42=26040=6.5，a ̂=y −−b ̂x −=3.2−6.5×0=3.2，∴y 关于x 的线性回归方程为y ̂=6.5x +3.2，∵x =t −2014，y =u −195，∴u −195=6.5(t −2014)+3.2， 故u 关于t 的线性回归方程为u =6.5t −12892.8，当t =2020时，u =6.5×2020−12892.8=237.2(千瓦时)． 故预测2020年该市居民月均用电量的中位数为237.2千瓦时．【解析】(1)根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出n 1，n 2，f 1，f 2的值；设样本的中位数为a ，根据中位数的性质可列出关于a 的方程，解之即可得解；(2)①根据折线图中的数据和x =t −2014，y =u −195，算出每组数据对应的x 和y 值即可；②由①中的数据，可求出x −,y −，再根据a ̂,b ̂的参考公式，求出这两个系数后可得y 关于x 的线性回归方程，再把t 和u 代入化简即可得u 关于t 的线性回归方程；令t =2020，算出u 的值就是所求．本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：取A 1B 的中点F ，连接EF ，DF ，∵D ，F 分别是AB ，A 1B 的中点，∴DF//A 1A ，DF =12A 1A ， ∵A 1A//C 1C ，A 1A =C 1C ，E 是C 1C 的中点，∴DF//EC ，DF =EC ，可得四边形CDEF 为平行四边形，则CD//EF ． ∵CD ⊄平面A 1EB ，EF ⊂平面A 1EB ， ∴CD//平面A 1EB ；(2)解：∵△ABC 是正三角形，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ， ∵ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴A 1A ⊥平面ABC ，则A 1A ⊥CD ． ∵A 1A ∩AB =A ，∴CD ⊥平面A 1ABB 1， 又由(1)知，CD//EF ，∴EF ⊥平面A 1ABB 1，∵AB =1，AA 1=2，∴CD =√32，则S △A 1BD =12×2×12=12．∴V E−A 1BD =13S △A 1BD ⋅EF =13×12×√32=√312．在Rt △CDE 中，DE =√CD 2+CE 2=√72． ∵AB ⊥CD ，AB ⊥CE ，CD ∩CE =C ， ∴AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ． ∴S △BDE =12×12×√72=√78． 设点A 1到平面BDE 的距离为d ，由V A 1−BDE =V E−A 1BD ，得13S △BDE ⋅d =√312，即13×√78=√312，则d =2√217．【解析】(1)取A 1B 的中点F ，连接EF ，DF ，由三角形中位线定理可得DF//A 1A ，DF =12A 1A ，再由已知得到DF//EC ，DF =EC ，得四边形CDEF 为平行四边形，则CD//EF.由直线与平面平行的判定可得CD//平面A 1EB ；(2)证明CD ⊥平面A 1ABB 1，又由(1)知，CD//EF ，得到EF ⊥平面A 1ABB 1，再证明AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ，分别求出平面BDE 与平面A 1BD 的体积，然后利用等体积法求点A1到平面BDE的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20.【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2+2mx−4=0的两根，∴x1+x2=−2m，x1x2=−4．∵动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且线段AB是动圆C的直径，∴动圆C的圆心C的坐标为(−m,0)，半径为|AB|2=|x2−x1|2=√(x1+x2)2−4x1x22=√m2+4．∴动圆C的方程为(x+m)2+y2=m2+4；(2)证明：设动圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵动圆C与y轴交于M(0,1)，N(0,y1)，令y=0则x2+Dx+F=0，由题意可知D=2m，F=−4，又动圆C过点M(0,1)，∴1+E−4=0，解得E=3．令x=0，则y2+3y−4=0，解得y=1或y=−4，∴y1=−4.∴动圆C在y轴上截得弦长为|y1−1|=5．故动圆C在y轴上截得弦长为定值．【解析】(1)由韦达定理可得到x1+x2=−2m，x1x2=−4，从而求得圆心与半径，进而求得动圆C的方程；(2)先设出动圆C的方程，再由题设条件解决D、E、F的值，进而求出动圆C在y轴上截得弦长．本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题．21.【答案】解：(1)当m=0时，f(x)=e x−ex，f′(x)=e x−e，又f′(x)是增函数，且f′(1)=0，∴当x>1时，f′(x)>0，当x<1时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=0，无极大值；(2)证明：f′(x)=e x−2mx+m−e，令g(x)=f′(x)=e x−2mx+m−e，则g′(x)=e x−2m，当m<0时，则g′(x)>0，故g(x)=f′(x)在(0,1)上单调递增，又g(0)=f′(0)=1+m−e<0，g(1)=f′(1)=−m>0，∴存在x0∈(0,1)，使得g(x0)=f′(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，当x ∈(x 0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 又∵f(0)=1，f(1)=0， ∴f(x)在(0,1)上存在唯一零点．【解析】(1)将m =0带入，求导得f′(x)=e x −e ，再求出函数f(x)的单调性，进而求得极值；(2)求导得f′(x)=e x −2mx +m −e ，令g(x)=f′(x)，对函数g(x)求导后，可知g(x)=f′(x)在(0,1)上单调递增，而g(0)<0，g(1)>0，进而函数f(x)在(0,1)上的单调性，再运用零点存在性定理可得证．本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1．若P 为曲线C 1上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q 的轨迹为C 2．设P(ρ1,θ)，Q(ρ,θ)，则：ρ1cosθ−2ρ1sinθ=1，即ρ1=1cosθ−2sinθ， 由于|OP|⋅|OQ|=2，所以ρ=2cosθ−4sinθ，整理得ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+(y +2)2=5(原点除外)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1转换为直角坐标方程为：x −2y −1=0． 曲线C 2的圆心为(1,−2)，半径为√5， 所以圆心到直线C 1的距离d =√1+(−2)2=√5．所以|MN|=2√(√5)2−(√5)2=√5．由于点O 到C 1的距离d 2=√12+(−2)2=√5 所以S △OMN =12×|MN|×d 2=12√5√5=35．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当k =1时，不等式f(x)≤1即为|x −1|+12|x +3|≤3，等价为{x ≥1x −1+12x +32≤3或{−3<x <11−x +12x +32≤3或{x ≤−31−x −12x −32≤3，解得1≤x ≤53或−1≤x <1或x ∈⌀， 则原不等式的解集为[−1,53]；(2)f(x)≥x 对于任意的实数x 恒成立，即为|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立． 当x ≤−2时，|x −k|+12|x +3|≥0≥x +2恒成立； 当x >−2时，|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立等价为|x −k|+x+32≥x +2，即|x −k|≥x+12恒成立，当−2<x ≤−1时，|x −k|≥x+12恒成立；当x >−1时，|x −k|≥x+12恒成立等价为x −k ≥x+12或x −k ≤−x+12恒成立．即x ≥2k +1或x ≤23(k −12)恒成立， 则2k +1≤−1解得k ≤−1， 所以k 的取值范围是(−∞,−1]．【解析】(1)由题意可得|x −1|+12|x +3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立．讨论x ≤−2恒成立，x >−2时，可得|x −k|≥x+12恒成立，讨论−2<x ≤−1，x >−1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2024年广雅中学高三数学考前模拟试卷附答案解析
2024年广雅中学高三数学考前模拟试卷（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的．1．若集合{}2,1,4,8A =-，{},B xy x A y A =∈∈，则B 中元素的最小值为（）A ．16-B ．8-C ．2-D ．322．已知tan =3θ，则πcos cos 22π4θθθ⎛⎫+ ⎪⎝-⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．65B ．35-C ．65-D ．353．已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC OA AB =+= ，，则向量AB 在向量BC 上的投影向量为（）A ．14BCB ．34BCC ．14BC-D ．34BC-4．已知数列{}n a 的各项均为正数，{}n b 满足21n n n a b b +=，112n n n a a b +++=，则下列结论正确的是（）A ．{}n b 是等差数列B ．{}n b 是等比数列C．是等差数列D．是等比数列5．过点(),P a b 作圆221x y +=的切线PA ，A 为切点，1PA =，则2+a b 的最大值是（）ABCD6．在正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =1AA 的长为2，则此正三棱台的体积为（）A ．212B ．74C ．214D ．727．已知函数e 2xy =的图象与函数ln(2)y x =的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（）A．22B．24C．ln 2)2+D)1ln 2-8．已知点A ，B ，C 都在双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>上，且点A ，B 关于原点对称，90CAB ∠=︒.过A 作垂直于x 轴的直线分别交Γ，BC 于点M ，N .若3AN AM =，则双曲线Γ的离心率是（）ABC ．2D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的是（）A ．已知随机事件A ，B 满足3()5P B =，2()5P AB =，则2()3|P A B =B ．已知随机变量~(3,4)N ξ，若21ξη=+，则()1D η=C ．若样本数据131x +，231x +，…，1031x +的平均数为10，则数据12345678910,,,,,,,,,x x x x x x x x x x 的平均数为3D ．随机变量X 服从二项分布()4,B p ，若方差()34D X =，则()3164P X ==10．已知复数12,z z ，则下列命题正确的是（）A ．若12=z z ，则12=±z z B ．若21z z =，则2121z z z =C ．若1z 是非零复数，且2112z z z =，则12z z =D ．若1z 是非零复数，则1110z z +≠11．已知数列{}n a 满足：212n n n a a a λ+=++*()N n ∈，其中R λ∈，下列说法正确的有（）A ．当152,4a λ==时，1n a n ≥+B ．当1,4λ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，数列{}n a 是递增数列C ．当2λ=-时，若数列{}n a 是递增数列，则()()1,31,a ∞∞∈--⋃+D ．当13,0a λ==时，1211112223na a a +++<+++ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在()23101(1)(1)(1)x x x x ++++++++ 的展开式中，含3x 项的系数为．（用数字作答）13．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .F ，交C 于点A ，交准线l 于点B （A ，B 在x 轴的两侧），若|16|AB =，则抛物线C 的方程为.14．如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在锐角ABC 中，角、、A B C 所对边的边长分别为a b c 、、，且2sin 0b A =.(1)求角B ；(2)求sin sin A C +的取值范围.16．如图，在圆锥DO 中，D 为圆锥顶点，AB 为圆锥底面的直径，O 为底面圆的圆心，C 为底面圆周上一点，四边形OAED 为矩形．(1)求证：平面BCD ⊥平面ACE ；(2)若AE =2AC =，BC =ADE 和平面CDE 夹角的余弦值.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(-．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设过点()4,0P -且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．问：在x 轴上是否存在定点Q ，使直线QA 的斜率1k 与QB 的斜率2k 的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．18．某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （m>2且*m N ∈）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．19．设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.1．A【分析】根据题意，由集合的概念，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，()min 2816xy =-⨯=-，所以B 中元素的最小值为16-.故选：A 2．A【分析】利用诱导公式与和角公式化简所求式得2sin cos sin θθθ+，构造分母22sin cos θθ+，分子分母同除以2cos θ，化弦为切，代入即得.【详解】由πcos cos 2sin cos 22πsin cos 4θθθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭=-⎛⎫ ⎪⎝⎭-sin (cos sin )(cos sin )sin cos θθθθθθθ-+-=-222222sin cos sin tan tan 6sin cos sin sin cos tan 15θθθθθθθθθθθ++=+===++.故选：A.3．C【分析】根据条件作图可得为ABO 等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为2AO AB AC =+，所以ABC 外接圆圆心O 为BC 的中点，即BC为外接圆的直径，如图，又AB AO = ，所以ABO 为等边三角形，则60ABC ∠=，故cos 60AB BC =，所以向量AB在向量BC 上的投影向量为：2222·cos120·cos 60··1·4AB BC BC BC BC AB BC BC BC BC BC BC BC︒-︒===-．故选：C ．4．C【分析】分析可知数列{}n b=法判断可得出结论．【详解】因为数列{}n a 各项为正数，{}n b 满足21n n n a b b =＋，112n n n a a b +++=，故对任意的*N n ∈，1102n n n a a b +++=>，则210n n n a b b +=>，所以数列{}n b 12n b +==由等差中项法可知，数列是等差数列．故选：C.5．D【分析】根据题意可得222a b +=，三角换元令a θ=，b θ=，[)0,2πθ∈，利用三角恒变换求出最大值.【详解】根据题意，设圆221x y +=的圆心为O ，则222112PO PA OA =+=+=，222a b ∴+=，令a θ=，b θ，[)0,2πθ∈，则()2a b θθθϕ+=++，其中1tan 2ϕ=，所以2+a b .故选：D.6．C【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积．【详解】正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =11A B =所以ABC 的面积为12111A B C △的面积为12⨯设O ，1O 分别是ABC ，111A B C △的中心，设D ，1D 分别是BC ，11B C 的中点，A ∴，O ，D 三点共线，1A ，1O ，1D 三点共线，π3sin322AD AB =⨯⨯=，1111πsin 332A D A B =⨯=，1132OD AD ∴==，1111113O D A D ==，12DD ===，过D 作11DE A D ⊥，垂足为E ，则1//DE OO，DE === ∴∴三棱台的体积为121(344V =+=．故选：C ．7．D【分析】首先得到函数e 2xy =的图象与函数ln(2)y x =的图象关于直线y x =对称，则问题转化为点P 到直线y x =距离最小值的2倍，求出过点P 的切线恰与y x =平行时切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得.【详解】设(),P a b 为函数e 2x y =图象上任意一点，则e2a b =，(),P a b 关于直线y x =的对称点为(),Q b a ，又ln(2)ln e a y b a ===，即点(),Q b a 在函数ln(2)y x =的图象上，所以函数e 2xy =的图象与函数ln(2)y x =的图象关于直线y x =对称，所以这P ，Q 两点之间距离的最小值等于点P 到直线y x =距离最小值的2倍，由e 2x y =，则e 2xy '=，函数e 2x y =在点00(,)P x y 处的切线斜率为0e 2x k =，令0e12x k ==，解得0ln 2x =，01y =，所以点P 到直线y x =距离的最小值为)1ln 22d -==，所以这P ，Q两点之间距离的最小值为)21ln 2d =-.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是得到两函数关于y x =对称，再将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值.8．B【分析】设()()0000,,,A x y B x y --，由3AN AM = 且AM x ⊥轴得()00,5N x y -，注意到22CB CA b k k a⋅=，也就是221BN ABb k k a ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，而002BNy k x =-，00AB y k x =，即222b a =，由此结合离心率公式即可求解.【详解】不妨设()()0000,,,A x y B x y --，由3AN AM =且AM x ⊥轴，所以()00,M x y -，所以()()()0000,30,20,6N N x x y y y y --=-=-，从而00,5N N x x y y ==-，即()00,5N x y -，设点(),C x y ，且它在双曲线上，()()222222222022000222220000CB CAb b x a x a y y y y y y b a a k k x x x x x x x x a---+--⋅=⋅===+---，即221BN ABb k k a ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，其中()00000052BN y y y k x x x ---==---，00AB y k x =，从而222b a =，2213b e a=+=故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是得到221BN AB b k k a⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，002BN y k x =-，00AB y k x =，由此即可顺利得解.9．BC【分析】由条件概率的公式可得A 错误；由正态分布的方差公式和方差的性质可得B 正确；由平均数的计算公式可得C 正确；由二项分布的性质可判断D 错误.【详解】A ：由条件概率的公式可得()()()2|3P AB P A B P B ==，所以21()133|P A B =-=，故A 错误；B ：因为随机变量~(3,4)N ξ，所以()4D ξ=，又21ξη=+，所以1122ηξ=-，所以()21()12D D ηξ⎛⎫=⨯⎪⎝⎭= ，故B 正确；C ：因为样本数据131x +，231x +，…，1031x +的平均数为10，所以()12101210310313131101010x x x x x x ++++++++++== ，化简可得121030x x x +++= ，所以12345678910,,,,,,,,,x x x x x x x x x x 的平均数为12103031010x x x +++== ，故C 正确；D ：由题意可得()3414p p -=，解得14p =或34，则()31413271C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭或()3143131C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故D 错误；故选：BC.10．BC【分析】对于A 项，可以举反例说明；对于B 项，可以设1i z a b =+，则2i z a b =-，代入等式两边验证即可判定；对于C 项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D 项，可通过举反例1i z =对结论进行否定.【详解】对于A 项，若11i z =+，2z =，显然满足12=z z ，但12=±z z ，故A 项错误；对于B 项，设()1i ,R z a b a b =+∈，则2i z a b =-，2212(i)(i)=z z a b a b a b =+-+，故2212||z z a b =+而2221||z a b =+，故B 项正确；对于C 项，由2112z z z =可得：2112112()0z z z z z z =--=，因1z 是非零复数，故120z z -=，即12z z =，故C 项正确；对于D 项，当1i z =时，1z 是非零复数，但1111i i i 0iz z ==-++=，故D 项错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据221511042n n n n n a a a a a +⎛⎫-=++=++> ⎪⎝⎭可得11n n a a +>+，即可迭代求解A ，根据14λ=，112a =-时，可得{}n a 为常数列，即可判断B ；根据二次函数的单调性，证出当2λ=-时10n n a a +->，从而判断出数列{}n a 的单调性，10n n a a -->建立关于1a 的一元二次不等式，解出首项1a 的取值范围，判断出C 项的正误；当0λ=，13a =时，根据递推关系证出123(2)n n a a ++≥+，从而可得1232n n a a ++≥+，由此推导出*131(N )253n n n a ≤⨯∈+，进而利用等比数列的求和公式证出12111322210na a a ++⋯+≤+++，从而判断出D项的正误．【详解】对于A ，当54λ=时，2215111042n n n n n a a a a a +⎛⎫-=++=++≥> ⎪⎝⎭，又12a =，故11n n a a +>+，所以1211211n n n a a a a n n -->+>+>>+-+ =，故A 项正确．对于B ，因为22111()24n n n n n a a a a a λλ+-=++=++-且1,4λ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，所以10n n a a +-≥，当14λ=，112a =-时，22211111,,()2220n n n n n a a a a a a a ++⇒⇒-=+==-==-，此时数列{}n a 是常数列，故B 项错误；对于C,由于数列{}n a 是递增数列,当2n ≥时，故10n n a a -->，2211111(22)(22)()(2)0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-----=+--+-=-++>，故120n n a a -++>，所以2121020a a a a ->⎧⎨++>⎩，即()()211121112202220a a a a a a ⎧+-->⎪⎨+-++>⎪⎩，解得11a >或13a <-，故C 项正确；对于D,当0λ=时，2212(1)1n nn n a a a a +=+=+-，结合13a =，可知2214111a a =-=>，232133a a =->，⋯，结合111()(2)n n n n n n a a a a a a +---=-++，可知{}n a 是递增数列，13n a a ≥=，则12(2)3(2)n n n n a a a a ++=+≥+，即1232n n a a ++≥+，所以1121212223(2)222n n n n n a a a n a a a ----+++⨯⨯⨯≥≥+++ ，即11523(2)3(2)3n n n a a n -+≥+=⨯≥，所以131(2)253n nn a ≤⨯≥+，当1n =时，1111312553a =≤⨯+，所以*131(N )253n n n a ≤⨯∈+，可得2111(1)1311133133()125333510313nn n i i a =-≤+++=⨯<<+-∑ ，故D 项正确；故选：ACD ．【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式（1）转化为()()211n n n n a a a a +++---=常数，则数列{}1n n a a +-是等差数列．（2）转化为111n na a +-=常数，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．（3）转化为111n n a c a c +-=++常数，则数列1n a c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列．（4=常数，则数列是等差数列．（5）转化为221n n a a +-=常数，则数列{}2n a 是等差数列．（6）转化为1log log b n b n a a +-=常数，则数列{}log b n a 是等差数列．12．330【分析】写出含有3x 项的系数，再利用二项式系数的性质化简可得结果.【详解】展开式中含有3x 项的系数为33333333434567891011C C C C C C C C C 330+++++++==，故答案为：330.13．28y x=【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得到直线l 的方程，从而求出B 点坐标，再联立直线与抛物线方程，求出A 点坐标，再由距离公式得到方程，解得即可.【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，依题意直线l的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，令2p x =-可得y =，即,2p B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，消去y 得2322p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得16x p =或32x p =，又A ，B 在x 轴的两侧，所以32A x p =，则A y =，所以32A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以16AB ==，解得4p =或4p =-（舍去），所以抛物线C 的方程为28y x =.故答案为：28y x=14．2【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，显然90AEB ∠= ，由点O 为线段,AB CD 的中点，得两个半圆步道及直道,CE DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称，则11,22AC x BC x =-=+，又CE AB ⊥，则Rt ACE ∽Rt ECB V ，有2CE AC BC =⋅，即有DF CE ==()ππf x x x ==，102x <<，求导得()πf x '=，由()0f x '=，得x =当2π02π4x <<+时，()0f x '>，函数()f x 递增，当2π122π4x <<+时，()0f x '<，函数()f x 递减，因此当2π2π4x =+时，222max 22πππ4()14()22π42π4f x +=-+=++，所以步道的最大长度为2π42+百米.故答案为：2π42+15．(1)π3(2)3(3]2.【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果；（2）根据ABC 为锐角三角形求出ππ(,)62A ∈，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-，根据正弦函数性质可得结果.【详解】（1）2sin 30b A a = ，2sin sin 3sin 0A B A ∴=，又 π0,,sin 02A A ⎛⎫∈∴≠ ⎪⎝⎭，3πsin 0,2B B ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，∴π3B =.（2）由（1）可知，π3B =，且ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，A ∴ππ(,)62∈，则2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-33sin 22A A =π3sin()6A =+，因为ππ2π363A <+<，sin sin A C ∴+3(3]2∈.16．(1)证明见解析(2)105【分析】（1）依题意可得BC AC ⊥，⊥AE 平面ABC ，从而得到AE BC ⊥，即可证明BC ⊥平面ACE ，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，通过求解法向量的夹角余弦值来求解平面ADE 和平面CDE 夹角的余弦值；【详解】（1）∵AB 为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，∴BC AC ⊥．∵四边形OAED 为矩形，OD ⊥平面ABC ，∴//AE OD ，⊥AE 平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴AE BC ⊥，又∵AE AC A = ，AE ⊂平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴BC ⊥平面ACE ．又BC ⊂平面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ACE ．（2）以C 为坐标原点，AC ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，过点C 且与OD 平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A -，(1,D -，(E -，(AE =，()1,ED =，(CE =- ．设平面ADE 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1100AE n ED n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100x ==⎪⎩，令11y =，得1x =)1n = ．设平面CDE 的法向量为()2222,,n x y z = ，则2200CE n ED n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222200x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令21y =，得2x =，2z =2n =，所以121212cos ,n n n n n n ⋅=== ，所以平面ADE 和平面CDE17．(1)22186x y +=；(2)存在，且该定点为()Q ±【分析】（1）结合离心率的定义，将(-代入椭圆方程计算即可得；（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理表示交点横坐标的关系后，结合斜率公式表示出斜率之积后可得203240x -=时，12k k ，计算即可得解.【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，所以12c a =，即2a c =，所以b =，所以椭圆C 的方程为2222143x y c c +=，因为椭圆C过点(-，所以2243143c c +=，解得22c =，故2248a c ==，2236b c ==，所以椭圆C 的标准方程为22186x y +=；（2）假设存在定点()0,0Q x ．设()11,A x y ，()22,B x y ，易知直线l 的斜率显然存在，且不为0，设其方程为()4y k x =+，联立椭圆方程与直线方程，得()221864x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理，得()2222343264240k x k x k +++-=，所以21223234k x x k +=-+，2122642434k x x k -=+，由()()()2222Δ3243464240k k k =-+->，解得234k <，且0k ≠，所以()()()()2121212121221020102012120041644k x x x x k x k x y y k k x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+++++⎣⎦=⋅=⋅=-----++222222222222220000022642412816343424642432643243243434k k k k k k k k k k x k x x x x k k ⎡⎤--+⎢⎥++⎣⎦==-+++-+⋅+++2200022432464324x x x k =-+++，则当203240x -=时，12k k为定值，此时0x =±所以存在定点()Q ±，使直线QA 的斜率1k 与QB 的斜率2k的积为定值．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.18．(1)310(2)（i ）2432m p m m =++；（ii ）3m =时，()max 216625g p =．【分析】（1）由古典概型结合组合数公式即可求得答案；（2）（i ）由古典概型结合对立事件的概率公式即可求得答案；（ii ）由n 次独立重复试验的概率公式结合导数知识即可求解.【详解】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3:5:2，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：310310⨯=，510510⨯=，210210⨯=，故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率2273410C C 3C 10P ==．（2）（i ）从2m +人中任选2人，有22C m +种选法，其中购票类型相同的有222C C m +种选法，则询问的某组被标为B 的概率22222222C C 2411C 3232m m m m m p m m m m ++-+=-=-++++．（ii ）由题意，5组中恰有3组被标为B 的概率332323455()C (1)10(12)10(2)g p p p p p p p p p =-=-+=-+，所以2342()10(385)10(1)(53)g p p p p p p p '=-+=--，01p <<，所以当30,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，函数()g p 单调递增，当3,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，函数()g p 单调递减，所以当35p =时，()g p 取得最大值，且最大值为3235333216C 1555625g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由243325m p m m ==++，>2m 且*m N ∈，得3m =．当3m =时，5组中恰有3组被标为B 的概率最大，且()g p 的最大值为216625．19．(1)1a =；(2)证明见解析；(3)01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2x F x x k x =+--，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【详解】（1）解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.（2）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +-=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+-，则()e sin x g x x '=-，令()()e sin x h x g x x =-'=，则()e cos x h x x '=-，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =->-=-≥'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10x g x x =>'->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+-<+-=-+≤所以，当0x <时，()0g x <，即此时无零点综上可得，()e cos 2x g x x =+-仅有一个零点，得证.（3）当()0,x ∞∈+时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +-->恒成立，令()e cos sin 2x F x x k x =+--，则()e sin cos x F x x k x =-'-，由（Ⅱ）可知，()0,x ∞∈+时e sin 1x x ->，所以()e sin cos 1cos x F x x k x k x '=-->-，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x -≤≤，所以cos k k x k -≤≤，即11cos 1k k x k -≤-≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'--≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2x F x x k x =+--在()0,x ∞∈+时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +-->，（2）当1k >时，由()e sin cos x F x x k x =-'-可知()010F k ='-<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +-->恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.。
2020年广东省高考数学一模试卷(文科) (含解析)
2020年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．13．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A．﹣3B．3C．1D．24．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为（）A．x24+y22=1B．x22+y2=1C．x23+y22=1D．x24+y23=15．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则y＝f（t）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（ ）A ．−19B ．−59C ．19D ．597．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（ ）A ．14B ．13C ．16D ．1368．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 39．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√5−12C ．√5−1D ．√5+111．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．32√3C ．2√3D ．52√312．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ ．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 ．15．如图，已知三棱锥P ﹣ABC 满足PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为 ．16．函数f（x）＝sinπx+a cosπx满足f（x）＝f（13−x），x∈[0，32]，方程f（x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．20．动圆C与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1，x2是方程x2+2mx﹣4＝0的两根．（1）若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；（2）证明：当动圆C过点M（0，1）时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．21．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）当m＜0时，证明：在（0，1）上f（x）存在唯一零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}【分析】根据题意得出1，2∉B，即可判断结论．解：∵集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，要满足A∩∁U B＝{1，2}；则1，2∉B，故符合条件的选项为C．故选：C．【点评】本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．1【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵z=4+3i3−4i=(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i的虚部是1，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A ．﹣3B ．3C ．1D ．2【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得m 的值．解：向量a →=(12，−1)，向量b →满足2a →+b →=（﹣1，m ），设b →=（ x ，y ），则（1+x ，﹣2+y ）＝（﹣1，m ），∴1+x ＝﹣1，且﹣2+y ＝m ， 求得x ＝﹣2，m ＝y ﹣2．若a →⊥b →，则a →⋅b →=x 2−y ＝﹣1﹣y ＝0，故y ＝﹣1，∴m ＝y ﹣2＝﹣3， 故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，若四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4，则椭圆C 的方程为（ ） A ．x 24+y 22=1B ．x 22+y 2=1C ．x 23+y 22=1D ．x 24+y 23=1【分析】由四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4可得b ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出a 的值，进而求出椭圆的面积． 解：由AF 2BF 1是正方形可得b ＝c ，再由AF 2BF 1的面积为4可得12•2c •2b ＝4，即bc ＝2，又a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为：x 24+y 22=1；故选：A ．【点评】本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题． 5．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据面积的变换趋势与t 的关系进行判断即可．解：当0＜x ＜1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD ，不合适， 当1≤x ≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A ， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t 的关系是解决本题的关键．难度不大．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（ ）A．−19B．−59C．19D．59【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．解：∵sin(π+α)=√23，∴可得sinα=−√23，∴sin(2α−π2)=−cos2α＝2sin2α﹣1＝2×（−√23）2﹣1=−59．故选：B．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（）A．14B．13C．16D．136【分析】基本事件总数n=C42=6，由此能求出甲、乙两人选的2本恰好相同的概率．解：甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，基本事件总数n=C42=6，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率p=1 6．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．8．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为（）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 3【分析】由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解． 解：如图，正方体AC 1 的棱长为40cm ，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm 3．又正方体的体积为V ＝40×40×40＝64000cm 3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3， 故选：B ．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．9．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得A=12，k＝1满足条件1≤i，执行循环体，A=25，k＝2满足条件2≤i，执行循环体，A=512，k＝3满足条件3≤i，执行循环体，A=1229，k＝4满足条件4≤i，执行循环体，A=2970，k＝5满足条件5≤i，执行循环体，A=70 169，k＝6由题意，此时不满足条件6≤i，退出循环，输出A的值为70 169，可得输入i的值为5．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知O是坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．√5+12B．√5−12C．√5−1D．√5+1【分析】由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解：由题意可知：|AF |=b 2a，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，可得c =b 2a =c 2−a 2a，e ＝e 2﹣1，e ＞1解得e =√5+12．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．11．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．32√3 C ．2√3D ．52√3【分析】先根据向量的三角形法则得到AD →=13AB →+23AC →；对其两边平方，求出bc 的取值范围即可求得结论．解：因为在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，；∴AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23（AC →−AB →）=13AB →+23AC →；∴AD →2=19AB →2+2×13AB →×23AC →+49AC →2；即：4=19c 2+49bc •cos60°+49b 2⇒36＝c 2+2bc +4b 2≥2√c 2⋅4b 2+2bc ＝6bc ；∴bc ≤6，（当且仅当2b ＝c 时等号成立）；∵S △ABC =12bc sin A ≤12×6×√32=3√32． 即△ABC 面积的最大值为：3√32．故选：B ．【点评】本题考查△ABC 的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．12．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）【分析】令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，根据f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，可得函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，可得x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0．x ＝0时，f （0）＝0，舍去．根据f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，可得g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．进而得出不等式f （x ）＜0的解集．解：令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝f （x ）cos x +f ′（x ）sin x ＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，∴g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，∴x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0． x ＝0时，f （0）＝0，舍去．∵f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，∴g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．∴不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：B ．【点评】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ −13．【分析】求出f （x ）的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020＝0平行，得f ′（e ）＝﹣e ，列出关于m 的方程，解出m 的值． 解：f ′（x ）＝m （2xlnx +x ），又曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，∴f ′（e ）＝3em ＝﹣e ，解得m =−13．故答案为：−13．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 7 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分由{x =2x −y =−1，得A （2，3） 目标函数z ＝2x +y 可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大z 越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大＝2×2+3＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．15．如图，已知三棱锥P﹣ABC满足PA＝PB＝PC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为3227√3π．【分析】因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA＝PB ＝PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA＝PB＝PC＝AB＝2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP＝OA＝R，在△OAD 中，R 2＝r 2+（PD ﹣R ）2， 即R 2＝1+（√3−R ）2，解得：R =2√3=2√33， 所以外接球的体积V =4π3R 3=32√327π， 故答案为：32√327π．【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．16．函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），x ∈[0，32]，方程f （x ）﹣m ＝0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为 √3≤m ＜2或﹣2＜m ≤﹣1 ． 【分析】首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数f （x ）的图象和函数y ＝m 的交点，进一步求出结果．解：函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），则函数的对称轴为x =16，当x =16时，函数f （x ）取得最值，即±√1+a 2=sin π6+acos π6，整理得a 2−2√3a +3=0，解得a =√3， 所以f （x ）＝sin πx +√3cosπx =2sin （πx +π3）． 由于x ∈[0，32]，所以π3≤πx +π3≤3π2+π3=11π6，根据函数的图象，当√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1时，函数的f（x）的图象与y＝m有两个交点，即方程f （x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，故答案为：√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．【分析】（1）设等差数列的公差为d，d＞0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意n为正整数，可得所求最值．解：（1）{a n}为单调递增的等差数列，设公差为d，d＞0，由S5＝﹣20，可得5a1+10d＝﹣20，即a1+2d＝﹣4，①由a3，a5+1，a9成等比数列，可得a3a9＝（a5+1）2，即（a1+2d）（a1+8d）＝（a1+4d+1）2，化为2a1d＝2a1+1+8d，②由①②解得d=12，a1＝﹣5，则a n＝﹣5+12（n﹣1）=12（n﹣11）；（2）S n=12n（﹣5+n−112）=14（n2﹣21n）=14[（n−212）2−4414]，由于n为正整数，可得n＝10或11时，S n取得最小值−55 2．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【分析】（1）根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出n1，n2，f1，f2的值；设样本的中位数为a，根据中位数的性质可列出关于a的方程，解之即可得解；（2）①根据折线图中的数据和x＝t﹣2014，y＝u﹣195，算出每组数据对应的x和y值即可；②由①中的数据，可求出x，y，再根据a，b的参考公式，求出这两个系数后可得y关于x的线性回归方程，再把t和u代入化简即可得u关于t的线性回归方程；令t＝2020，算出u的值就是所求．解：（1）n1＝100×0.04＝4；n2＝100×0.22＝22；f1=19100=0.19；f2=10100=0.1．设样本频率分布表的中位数为a，则0.04+0.19+0.22+0.25×120×(a−20)=0.5，解得a＝224，由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数m为224千瓦时．（2）①数据预处理如下表：x＝t﹣2014﹣4﹣2024 y＝u﹣195﹣21﹣1101929②由①可知，x=0，y=−21−11+0+19+295=3.2，∴b=∑n i=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2=(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29(−4)2+(−2)2+22+42=26040=6.5，a=y−b x=3.2−6.5×0=3.2，∴y关于x的线性回归方程为y=6.5x+3.2，∵x＝t﹣2014，y＝u﹣195，∴u﹣195＝6.5（t﹣2014）+3.2，故u关于t的线性回归方程为u＝6.5t﹣12892.8，当t＝2020时，u＝6.5×2020﹣12892.8＝237.2（千瓦时）．故预测2020年该市居民月均用电量的中位数为237.2千瓦时．【点评】本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．【分析】（1）取A1B的中点F，连接EF，DF，由三角形中位线定理可得DF∥A1A，DF=12A1A，再由已知得到DF∥EC，DF＝EC，得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．由直线与平面平行的判定可得CD∥平面A1EB；（2）证明CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，得到EF⊥平面A1ABB1，再证明AB⊥平面CDE，得AB⊥DE，则BD⊥DE，分别求出平面BDE与平面A1BD的体积，然后利用等体积法求点A1到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：取A1B的中点F，连接EF，DF，∵D，F分别是AB，A1B的中点，∴DF∥A1A，DF=12A1A，∵A1A∥C1C，A1A＝C1C，E是C1C的中点，∴DF∥EC，DF＝EC，可得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．∵CD⊄平面A1EB，EF⊂平面A1EB，∴CD∥平面A1EB；（2）解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，则A1A⊥CD．∵A1A∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面A1ABB1，∵AB ＝1，AA 1＝2，∴CD =√32，则S △A 1BD =12×2×12=12．∴V E−A1BD=13S △A 1BD ⋅EF =13×12×√32=√312． 在Rt △CDE 中，DE =√CD 2+CE 2=√72．∵AB ⊥CD ，AB ⊥CE ，CD ∩CE ＝C ， ∴AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ．∴S △BDE =12×12×√72=√78．设点A 1到平面BDE 的距离为d ，由V A 1−BDE =V E−A 1BD ，得13S △BDE ⋅d =√312，即13×√78=√312，则d =2√217．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20．动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根．（1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点M （0，1）时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值． 【分析】（1）由韦达定理可得到x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4，从而求得圆心与半径，进而求得动圆C 的方程；（2）先设出动圆C 的方程，再由题设条件解决D 、E 、F 的值，进而求出动圆C 在y 轴上截得弦长．解：（1）∵x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根，∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4． ∵动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且线段AB 是动圆C 的直径， ∴动圆C 的圆心C 的坐标为（﹣m ，0），半径为|AB|2=|x 2−x 1|2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 22=√m +4．∴动圆C 的方程为（x +m ）2+y 2＝m 2+4；（2）证明：设动圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，∵动圆C 与y 轴交于M （0，1），N （0，y 1），令y ＝0则x 2+Dx +F ＝0，由题意可知D ＝2m ，F ＝﹣4，又动圆C 过点M （0，1），∴1+E ﹣4＝0，解得E ＝3．令x ＝0，则y 2+3y ﹣4＝0，解得y ＝1或y ＝﹣4，∴y 1＝﹣4．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为|y 1﹣1|＝5．故动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点评】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题． 21．已知函数f （x ）＝e x +（m ﹣e ）x ﹣mx 2． （1）当m ＝0时，求函数f （x ）的极值；（2）当m ＜0时，证明：在（0，1）上f （x ）存在唯一零点．【分析】（1）将m ＝0带入，求导得f ′（x ）＝e x ﹣e ，再求出函数f （x ）的单调性，进而求得极值；（2）求导得f ′（x ）＝e x ﹣2mx +m ﹣e ，令g （x ）＝f ′（x ），对函数g （x ）求导后，可知g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，而g（0）＜0，g（1）＞0，进而函数f （x）在（0，1）上的单调性，再运用零点存在性定理可得证．解：（1）当m＝0时，f（x）＝e x﹣ex，f′（x）＝e x﹣e，又f′（x）是增函数，且f′（1）＝0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝0，无极大值；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，则g′（x）＝e x﹣2m，当m＜0时，则g′（x）＞0，故g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，又g（0）＝f′（0）＝1+m﹣e＜0，g（1）＝f′（1）＝﹣m＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，又∵f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上存在唯一零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q 的轨迹为C2．设P（ρ1，θ），Q（ρ，θ），则：ρ1cosθ﹣2ρ1sinθ＝1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由于|OP|•|OQ|＝2，所以ρ＝2cosθ﹣4sinθ，整理得ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝5（原点除外）．（2）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣1＝0．曲线C2的圆心为（1，﹣2），半径为√5，所以圆心到直线C1的距离d=√1+(−2)=5．所以|MN|=2√(√5)2−(4√5)2=6√5．由于点O到C1的距离d2=|−1|√1+(−2)=1√5所以S△OMN=12×|MN|×d2=12×6√51√5=35．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣1|+12|x+3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．讨论x≤﹣2恒成立，x＞﹣2时，可得|x﹣k|≥x+12恒成立，讨论﹣2＜x≤﹣1，x＞﹣1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．解：（1）当k＝1时，不等式f（x）≤1即为|x﹣1|+12|x+3|≤3，等价为{x≥1x−1+12x+32≤3或{−3＜x＜11−x+12x+32≤3或{x≤−31−x−12x−32≤3，解得1≤x≤53或﹣1≤x＜1或x∈∅，则原不等式的解集为[﹣1，53 ]；（2）f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，即为|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．当x≤﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥0≥x+2恒成立；当x＞﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立等价为|x﹣k|+x+32≥x+2，即|x﹣k|≥x+12恒成立，当﹣2＜x≤﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立；当x＞﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立等价为x﹣k≥x+12或x﹣k≤−x+12恒成立．即x≥2k+1或x≤23（k−12）恒成立，则2k+1≤﹣1解得k≤﹣1，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
广东省阳江市广雅中学2020年高二数学文模拟试卷含解析
广东省阳江市广雅中学2020年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域是A. B. C. D.参考答案：D2. 用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数中恰有一个偶数”,正确的假设为（）Ａ．都是奇数Ｂ．都是偶数Ｃ．中至少有两个偶数Ｄ．中至少有两个偶数或都是奇数参考答案：D3. 命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，参考答案：D4. 用秦九韶算法计算多项式在时的值时，需做加法与乘法的次数和是（）A．12 B．11 C．10 D．9参考答案：A 5. 有一学校高中部有学生2000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，10，25 B．20，15，15 C．10，10，30 D．10，20，20参考答案：B【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为800×=20，600×=15，600×=15，故选B．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．6. 已知等比数列{a n}的公比，则的值为（）A. 2B. 8C.D. 1参考答案：C【分析】利用等比数列的公比,可得，可得解.【详解】因为等比数列的公比,所以,故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式,属于基础题.7. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.参考答案：B略8. 已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则+（+）等于（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】直接根据G是CD的中点，可得（），从而可以计算化简计算得出结果．【解答】解：因为G是CD的中点；∴（），∴+（+）==．故选：C．9. 下列说法正确的是（）A．归纳推理，演绎推理都是合情合理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．归纳推理得到的结论一定是正确的D．合情推理得到的结论不一定正确参考答案：D【考点】F5：演绎推理的意义．【分析】根据演绎推理和合情推理的定义判断即可．【解答】解：合情推理包含归纳推理和类比推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确，故选：D10. 下列命题正确的是A. “”是“”的必要不充分条件B. 命题“若，则”的否命题为“若则”C. 若为假命题，则均为假命题D. 对于命题：，使得，则：均有参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积等于．参考答案：12. 下面算法的输出的结果是（1） (2） (3）参考答案：（1）2006 (2） 9 (3）813. 已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y 的最大值为．参考答案：1【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y 得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A（1，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x﹣2y，得z=1∴目标函数z=x﹣2y的最大值是1．故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14. 过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，若弦中点为，则．参考答案：15. 以下属于基本算法语句的是。
2020-2021学年广东省广州市广雅中学高三数学文模拟试卷含解析
2020-2021学年广东省广州市广雅中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是A. (－1,+∞)B. [－1,1)C. (－∞,1)D. (－1,1]参考答案：D2. 设集合，则（）A． B．C．D．参考答案：A3. 设实数满足约束条件目标函数的取值范围为( )A． B． C． D．参考答案：D略4. 下列命题中，正确的个数是（）①②已知m为直线，为平面，若“”是“”的充分不必要条件.③.④对于两个分类变量X，Y，随机变量K2的观测值k越大，则认为这两个变量有关系的把握越大.A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】对每个选项逐一进行判断,得到答案【详解】①中,则无意义③中应为.故选B【点睛】本题考查了命题的判断,充分必要条件,命题的否定以及相关性,综合性比较大.5. 将函数f（x）=cos2ωx的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在上为减函数，则正实数ω的最大值为（）A．B．1 C．D．3参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用诱导公式，正弦函数的单调性，求得实数ω的最大值．【解答】解：将函数f（x）=cos2ωx的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=cos2ω（x﹣）=cos（2ωx﹣）=﹣sin2ωx的图象，若y=g（x）在上为减函数，则sin2ωx在上为增函数，∴2ω?（﹣）≥﹣，且2ω?≤，求得ω≤1，故正实数ω的最大值为1，故选：B6. 在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )A．B．C．D．参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；转化思想；直线与圆．分析：化圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．7. 已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值………（）．.恒为正数恒为负数.恒为0 .可正可负参考答案：AT T T同理，，，…，，又T，以上各式相加，得. 选A.8. 已知等比数列满足，且，则当时，（）A. B. C.D.参考答案：C略9. 若不重合的四点，满足，，则实数的值为A. B. C.D.参考答案：B，，，所以m-2=1,所以m=310. 某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（）A． B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则的值为．参考答案：12. 对于，以点为中点的弦所在的直线方程是_____．参考答案：试题分析：，圆心为（1,0），故所求直线的斜率为，直线方程为即考点：直线方程13. 已知不等式的解集为,不等式的解集为,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是_______________参考答案：略14. 直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，2），则b﹣a= ．参考答案：5【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据曲线y=x3+ax+b过点（1，2）得出a、b的关系式，再根据切线过点（1，2）求出k，然后求出x=1处的导数并求出a，从而得到b，即可得到b﹣a的值．【解答】解：∵y=x3+ax+b过点（1，2），∴a+b=1，∵直线y=kx+1过点（1，2），∴k+1=2，即k=1，又∵y′=3x2+a，∴k=y′|x=1=3+a=1，即a=﹣2，∴b=1﹣a=3，∴b﹣a=3+2=5．故答案为：5．15. 已知函数的图象过点（1,1）,那的反函数的图象一定经过点_____参考答案：（1，3）16. 的展开式中含x2项的系数是参考答案：5略17. 如图，设，且．当时，定义平面坐标系为–仿射坐标系，在–仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的序号有．①设，则；②、，若，则；③、，若的夹角为，则；④、，若，则．参考答案：②、③试题分析：对于①，，，①错误；对于②，由，故②正确；对于③，，的夹角为，根据夹角公式得故即则；③正确对于④，∴④错误；所以正确的是②、③．考点：命题真假的判断及应用和向量坐标运算.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年广东省广州市高考数学模拟试卷(文科)
2020年广东省广州市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数(1)z i i =+，则||(z =)A ．12B ．22C ．1D ．22．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{1B =-，0，1}，P A B = ，则P 的子集共有()A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个3．（5分）设向量(,1)a m = ，(2,1)b =- ，且a b ⊥ ，则(m =)A ．2-B ．12-C ．12D ．24．（5分）已知{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为()A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（5分）已知命题:p x R ∀∈，210x x -+<；命题:q x R ∃∈，23x x >，则下列命题中为真命题的是()A ．p q∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q⌝∧⌝6．（5分）已知偶函数()f x 满足2()(0)f x x x x=->，则{|(2)1}(x f x +>=)A ．{|4x x <-或0}x >B ．{|0x x <或4}x >C ．{|2x x <-或2}x >D ．{|2x x <-或4}x >7．（5分）如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点，点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将||OP OP -' 表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0，]π上的图象大致为()A ．B ．C ．D ．8．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为()A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(102)π+D ．(112)π+9．（5分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为()A ．1211e er R e e ++--B ．111e er R e e ++--C ．1211e er R e e-+++D ．111e er R e e-+++10．（5分）已知函数()1f x x alnx =--存在极值点，且()0f x 恰好有唯一整数解，则实数a 的取值范围是()A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．1(0,2ln D ．1(2ln ，)+∞11．（5分）已知1F ，2F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若||2AB =2ABF ∆的内切圆的半径为()A．3B．3C．3D．312．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题：①1EF B C ⊥；②直线FG 与直线1A D 所成角为60︒；③过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B EFG -的体积为56．其中，正确命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则f （4）=．14．（5分）设x ，y 满足约束条件1302x x y ⎧⎨+⎩，则2z x y =-的最小值为．15．（5分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为．16．（5分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=，数列2{}n n a a +-的前n 项和n T =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm ，得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)；（2）已知尺寸在[63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．18．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2222sin sin sin sin sin 3A C A CB +-=．（1）求sin B 的值；（2）若2b =，ABC ∆的面积为ABC ∆的周长．19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，2AC ==．（1）求证：AC PB ⊥；（2）求点C 到平面PAB 的距离．20．（12分）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB =-．（1）判断点(0,1)D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程．21．（12分）已知函数()xbe f x alnx x=-，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=．（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0()222f x ln <-．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，且||AB =sin α的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知0a >，0b >，且1a b +=．（1）求12a b+的最小值；（2）证明：22212ab b a b +<++．2020年广东省广州市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数(1)z i i =+，则||(z =)A ．12B．2C ．1D【解答】解：(1)1z i i i =+=-+，||z ∴==故选：D ．2．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{1B =-，0，1}，P A B = ，则P 的子集共有()A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【解答】解： 集合{0A =，1，2，3}，{1B =-，0，1}，{0P A B ∴== ，1}，P ∴的子集共有224=．故选：B ．3．（5分）设向量(,1)a m = ，(2,1)b =- ，且a b ⊥ ，则(m =)A ．2-B ．12-C ．12D ．2【解答】解： 向量(,1)a m =，(2,1)b =- ，且a b ⊥ ，∴210a b m =-=，解得12m =，∴实数12m =．故选：C ．4．（5分）已知{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，∴111125(3)57a d a d a d a d +=⎧⎨+-+++=⎩，解得11a =，2d =．∴数列{}n a 的公差为2．故选：D ．5．（5分）已知命题:p x R ∀∈，210x x -+<；命题:q x R ∃∈，23x x >，则下列命题中为真命题的是()A ．p q∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q⌝∧⌝【解答】解：22131()024x x x -+=-+>恒成立，故命题:p x R ∀∈，210x x -+<为假命题，当1x =-时，23x x >，成立，即命题:q x R ∃∈，23x x >，为真命题，则p q ⌝∧为真，其余为假命题，故选：B ．6．（5分）已知偶函数()f x 满足2()(0)f x x x x=->，则{|(2)1}(x f x +>=)A ．{|4x x <-或0}x >B ．{|0x x <或4}x >C ．{|2x x <-或2}x >D ．{|2x x <-或4}x >【解答】解：偶函数()f x 满足2()(0)f x x x x=->，在(0,)+∞递增，且f （2）1=，故(2)1f x +>，即|2|2x +>，解得{|0x x >或者4}x <-，故选：A ．7．（5分）如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点，点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将||OP OP -' 表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0，]π上的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：设PP '的中点为M ，则||||2||OP OP P P PM '-'==，当[0x ∈，]2π时，在Rt OMP ∆中，||1OP =，OPM POA x ∠=∠=，所以||cos ||PM x OP =，所以||cos PM x =，||2cos OP OP x -'= ，即()2cos f x x =，[0x ∈，]2π．从四个选项可知，只有选项A 正确，故选：A ．8．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为()A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(102)π+D ．(112)π+【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，几何体的表面积为：144223(102)2ππππ+⨯⨯⨯=+．故选：C ．9．（5分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为()A ．1211e er R e e ++--B ．111e er R e e ++--C ．1211e er R e e-+++D ．111e er R e e-+++【解答】解：椭圆的离心率：(0,1)ce a=∈，(c 为半焦距；a 为长半轴），只要求出椭圆的c 和a ，即可确定卫星远地点离地面的距离，设卫星近地点，远地点离地面距离分别为m ，n ，由题意，结合图形可知，a c r R -=+，远地点离地面的距离为：n a c R =+-，m a c R =--，1r Ra e +=-，()1r R ec e+=-，所以远地点离地面的距离为：()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+----．故选：A ．10．（5分）已知函数()1f x x alnx =--存在极值点，且()0f x 恰好有唯一整数解，则实数a 的取值范围是()A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．1(0,2ln D ．1(2ln ，)+∞【解答】解：函数的定义域为(0,)+∞，且()1a x af x x x-'=-=，又函数()f x 存在极值点，即()y f x ='有变号零点，故0a >，故函数()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，注意到f （1）0=，0x →时，()0f x >，①当01a < 时，显然()0f x 恰好有唯一整数解1x =，满足题意；②当1a >时，只需满足f （2）0>，即120aln ->，解得12a ln <；综上，实数a 的取值范围为1(0,)2ln ．故选：C ．11．（5分）已知1F ，2F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若||AB =2ABF ∆的内切圆的半径为()A ．3B ．3C ．3D ．3【解答】解：由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a ==，再由1b =，可得a =2212x y -=，所以1(F 0)，2F 0)，所以2121122ABF S AB F F === 三角形2ABF 的周长为2211(2)(2)42C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+=设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r === ，所以=r =，故选：B ．12．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题：①1EF B C ⊥；②直线FG 与直线1A D 所成角为60︒；③过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B EFG -的体积为56．其中，正确命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确；过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以③不正确；三棱锥B EFG -的体积为：123115(22131)232223G EBM V -+=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=．123115(22131)132226F EBM V -+=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56．④正确；故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则f （4）=2．【解答】解：由题意可知，函数()y f x =与函数2x y =互为反函数，2()log f x x ∴=，f ∴（4）2log 42==，故答案为：2．14．（5分）设x ，y 满足约束条件1302x x y ⎧⎨+⎩，则2z x y =-的最小值为1-．【解答】解：由约束条件得到如图可行域，由目标函数2z x y =-得到1122y x z =-；当直线经过A 时，直线在y 轴的截距最大，使得z 最小，由12x x y =⎧⎨+=⎩得到(1,1)A ，所以z 的最小值为1211-⨯=-；故答案为：1-．15．（5分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为29．【解答】解：设分为甲乙两队；则甲队的人任选的话有：11339⨯=种情况，乙队去选时有：11224⨯=种情况；故共有9436⨯=种情况；若1A 和1B 两人组成一队，在甲队时，乙队有11224⨯=种情况；在乙队时，甲队有11224⨯=种情况；故共有448+=种情况；所以：1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为：82369=．故答案为：29．16．（5分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=18-，数列2{}n n a a +-的前n 项和n T =．【解答】解：（1）由于数列{}n a 满足1122n n n S a --=，①当2n 时，112122n n n S a ----=②，①-②得：11211222n n n n n a a a ----+=-，整理得1121122n n n n a a ---+=-，所以43321111122848a a +=-=-=-．（2）由于1121122n n n n a a ---+=-，故2111122n n n na a ++++=-③，所以111122n n n n a a +-+=-④，③-④得：211121222n n n n n a a ++--=-+，所以21032111121121121()()(222222222n n n n T +-=-++-++⋯+-+，23112011111111111()2()(222222222n n n +-=++⋯+-⨯++⋯++++⋯+，11111(1(1)142222()2()()111111222n n n⨯-⨯--=-⨯+---，11122n +=-．故答案为：（1）18-，（2）11122n +-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm ，得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)；（2）已知尺寸在[63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：(0.0750.225)0.50.15+⨯=，0.150.750.50.525+⨯=，所以中位数在[63.0，63.5)内，设为a ，则0.15(63.0)0.750.5a +-⨯=，解得63.47a ≈，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5)上的频率为(0.7500.6500.200)0.50.8++⨯=，且10.80.2-=，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2．18．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2222sin sin sin sin sin 3A C A CB +-=．（1）求sin B 的值；（2）若2b =，ABC ∆的面积为ABC ∆的周长．【解答】解：（1）因为2222sin sin sin sin sin 3A C A CB +-=．由正弦定理可得，22223a cb ac +-=，由余弦定理可得，1cos 3B =，故22sin 3B =；（2）1sin 26ABC S ac B ∆=== ，所以3ac =，因为22223a cb ac +-=，所以28()448123a c ac +=+=+=，所以2a c b ++=+．19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，2AC ==．（1）求证：AC PB ⊥；（2）求点C 到平面PAB 的距离．【解答】（1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．在PAC ∆中，PA PC = ，O 为AC 的中点，PO AC ∴⊥，在BAC ∆中，BA BC = ，O 为AC 的中点，BO AC ∴⊥，OP OB O = ，OP ，OB ⊂平面OPB ，AC ∴⊥平面OPB ，PB ⊂ 平面POB ，AC BP ∴⊥；（2）解：在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =，在等腰三角形APC 中，由120APC ∠=︒，得3PO =，又3PB =，222PO BO PB ∴+=，即PO BO ⊥，又PO AC ⊥，AC OB O = ，PO ∴⊥平面ABC ，求解三角形可得PA =，又AB =12PAB S ∆==设点C 到平面PAB 的距离为h ，由P ABC C PAB V V --=，得11132236⨯=⨯，解得h =，故点C 到平面PAB．20．（12分）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB =-．（1）判断点(0,1)D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得顶点(0,3)P -，由题意可得直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：4y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 联立直线与抛物线的方程：2134y kx by x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，整理可得：244(3)0x kx b --+=，△21616(3)0k b =++>，即230k b ++>，124x x k+=，124(3)x x b =-+，2222222121212()4(3)412y y k x x kb x x b k b k b b b k =+++=-+++=-，21212()242y y k x x b k b +=++=+，因为1(PA PB x =，123)(y x +，222221212123)3()94(3)123(42)923y x x y y y y b b k k b b b +=++++=-++-+++=+-，而4PA PB =-，所以2234b b +-=-，解得1b =-，m 满足判别式大于0，即直线方程为1y kx =-，所以恒过(0,1)-可得点(0,1)D -在直线AB 上．（2）因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点，设线段PA 的中点为F ，线段PB 的中点为为E ，因为(0,3)P -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 所以1(2x F ，13)2y -，2(2x E ，23)2y -，113PA y k x +=，223PB y k x +=，所以线段PA 的中垂线的方程为：11113()232y x xy x y --=--+，因为A 在抛物线上，所以211134y x +=，PA 的中垂线的方程为：211143(82x x y x x -+=--，即211418x y x x =-+-，同理可得线段PB 的中垂线的方程为：222418x y x x =-+-，联立两个方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，解得1212221212()3288M x x x x x x x x x y +⎧=-⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩，由（1）可得124x x k +=，124(3)8x x b =-+=-，所以8432M kx k -⨯=-=，22221212122()288M x x x x x x y k +++===，即点2(,2)M k k ，所以212M M x y =，即点M 的轨迹方程为：212x y =．21．（12分）已知函数()xbe f x alnx x=-，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=．（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0()222f x ln <-．【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x-'=-，则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=，又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x -+'=，令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1x x e x x =∈-，则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-，故()h x 在(1,2)上单调递增，由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--，0()222f x ln ∴<-．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，且||AB =sin α的值．【解答】解：（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；由曲线2C 的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ，可得y =，即221(0)2y x y += ．（2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数）代入2212y x +=，得22(1cos )2sin 10t t αα++-=．∴1222sin 1t t cos αα-+=+，12211t t cos α-=+．12||||AB t t ∴=-===．解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足△0>．sin 0α∴=．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知0a >，0b >，且1a b +=．（1）求12a b+的最小值；（2）证明：22212ab b a b +<++．【解答】解：（1）12122()(333a b a b a b a b b a +=++=+++=+ ，当且仅当“b =”时取等号，故12a b+的最小值为3+；（2）证明：2222222224122)155ab bab b ab b b b a b ab b a +++===++++++，当且仅当1,22a b ==时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++。
最新2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷(一)(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省文数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|12}A x x =-<，{|2,}xB y y x A ==∈，则AB =（ ）A. (,8)-∞B. (,3)-∞C. (0,8)D. (0,3)【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求两集合的交集即可．【详解】在集合A 中12x -< ，得x ＜3，即A ＝（-∞，3）， 在集合B 中y ＝2x 在（-∞，3）递增，所以0＜y ＜8，即B ＝（0，8）， 则A ∩B ＝（0，3）． 故选D ．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，也考查了指数函数的值域，属于基础题．2.复数51i z i i=--（i 为虚数单位）的虚部为（ ）A. 12-B.12C. 12i -D.12i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【详解】51i z i i=-=-()()()5111i i i i i +--+ =111222i i i --=-- ，所以z 的虚部为12-． 故选A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题． 3.双曲线229161x y -=的焦点坐标为（ ）A. 5(,0)12±B. 5(0,)12±C. (5,0)±D. (0,5)±【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线229161x y -=化成标准方程，可得219a =，2116b =，即可得焦点坐标．【详解】将双曲线229161x y -=化成标准方程为：22111916x y -= ，得219a =，2116b =，所以2221125916144c a b =+=+= ，所以512c = ，又该双曲线的焦点在x 轴上，所以焦点坐标为5,012⎛⎫± ⎪⎝⎭． 故选A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题． 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2834a a +=，438S =，则1a =（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，首项为1a ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可． 【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，首项为1a ，由28a a 34+=，4S 38=， 得2a 1+8d ＝34，4a 1+12×4×3d ＝38，解得d ＝3，15a = 故选B ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想以及运算能力，属于基础题．5.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且当[2,1]x ∈-时，2()24f x x x =--，则关于x 的不等式()1f x <-的解集为（ ）A. (,1)-∞-B. (,3)-∞C. (1,3)-D. (1,)-+∞【答案】D 【解析】【分析】由于()f x 是单调递减的函数，所以解决问题的关键是找到()1f x =-时x 的值，通过x 的值以及单调性即可写出()1f x <-的解集. 【详解】当[]2,1x ∈-时，由()224f x x x =--=1-，得1x =-或3x =（舍）， 又因为函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减， 所以()1f x <-的解集为()1,-+∞. 故选D【点睛】已知函数()f x 是单调增（或减）函数，求解()f x a <（或a >）的关键是找到()f x a =时x 的值，然后利用单调性即可写出解集.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积．【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为12⨯23＝4． 故选B ．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题．7.设x 1＝18，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是（ ）A. S ＝2，这5个数据的方差B. S ＝2，这5个数据的平均数C. S ＝10，这5个数据的方差D. S ＝10，这5个数据的平均数【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图，得输出的S 是5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可． 【详解】根据程序框图，输出的S 是x 1＝18，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝22这5个数据的方差，因为1819202122205x ++++==，∴由方差的公式S ＝()()()()()2222211820192020202120222025⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦．故选A ．【点睛】本题通过循环结构的程序框图考查了均值和方差，属于基础题． 8.已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230OA OB OC --=，则（ ） A. 123OA AB AC =+ B. 123OA AB AC =- C. 123OA AB AC =-+ D. 123OA AB AC =--【答案】A 【解析】【分析】运用向量的减法运算，把已知等式中的向量,,OB OC OA 换为AB AC ，表示OA ，整理后可求结果． 【详解】已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA 12OB 3OC 0--=，所以16OA 12OB 3OC --=12OA 12OB 3OA? 3OC -+- +OA =12OA OB （-）3+ （OA OC -）+OA =0，所以123OA AB AC =+ , 故选A【点睛】本题考查了向量减法的运算，也考查了向量的线性表示，属于中档题． 9.在数列{a n }中，若a 1＝﹣2，a n +1＝a n +n •2n ，则a n ＝（ ） A. （n ﹣2）•2nB. 1﹣12nC.23（1﹣14n ）D.23（1﹣12n ） 【答案】A 【解析】 【分析】利用累加法和错位相减法求数列的通项公式． 【详解】∵a n+1＝a n +n •2n ，∴a n+1﹣a n ＝n •2n ，且a 1＝﹣2∴a n ﹣a 1＝a n ﹣a n ﹣1+a n ﹣1﹣a n ﹣2+…+a 2﹣a 1＝（n ﹣1）•2n ﹣1+…+2•22+1•21，① ∴2（a n ﹣a 1）＝（n ﹣1）•2n +（n ﹣2）•2n ﹣1+…+2•23+1•22，②①-①得﹣（a n ﹣a 1）＝﹣（n ﹣1）•2n +2n ﹣1+2n ﹣2+…+23+22+2 ＝﹣（n ﹣1）•2n +()121212n --=-﹣（n ﹣1）•2n﹣2+2n，∴a n ﹣a 1＝（n ﹣1）•2n +2﹣2n ，所以a n ＝（n ﹣2）•2n 故选A ．【点睛】本题考查了数列递推式求通项公式，利用了累加法和错位相减法，属于中档题．10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE≤AF≤AE 的概率约为（ ）（参考）A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可得：AC ＝5 2.236≈，由图易得：0.764≤AF ≤1.236，由几何概型可得概率约为1.2360.7642-＝0.236．【详解】由勾股定理可得：AC ＝5 2.236≈，由图可知：BC ＝CD ＝1，AD ＝AE ＝51-≈1.236，BE ≈2﹣1.236＝0.764，则：0.764≤AF ≤1.236，由几何概型可得：使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为＝1.2360.7642-=0.236，故选A ．【点睛】本题考查了勾股定理、几何概型求概率的问题，属于基础题．11.已知函数f （x ）＝sin （ωx+φ）+12（ω≥0，|φ|＜π）的图象与直线y ＝c （12＜c ＜32）的三个相邻交点的横坐标为2，6，18，若a ＝f （lg 12），b ＝f （lg2），则以下关系式正确的是（ ）A. a+b ＝0B. a ﹣b ＝0C. a+b ＝1D. a ﹣b ＝1【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质得出函数f （x ）的周期及对称轴，解出f （x ）的解析式，利用正弦函数的奇偶性，结合lg12与lg2的关系即可判断． 【详解】由正弦函数的性质可知f （x ）的周期T ＝18﹣2＝16，∴ω＝2=168ππ，f （x ）的对称轴为x ＝2+62＝4．且f （4）＝11sin 4cos 822πϕϕ⎛⎫⨯++=+ ⎪⎝⎭ ，因为|φ|＜π，φ＝0．∴f （x ）＝sin x 8π+12．∵lg 12＝﹣lg2．∴a ＝sin （1lg 82π⨯）+12，b ＝sin （﹣1lg 82π⨯）+12＝﹣sin （1lg 82π⨯）+12，∴a+b ＝1． 故选C ．【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质，对数的运算性质，函数奇偶性的应用，属于中档题． 12.已知函数f （x ）＝（kx+12）e x ﹣2x ，若f （x ）＜0的解集中有且只有一个正整数，则实数k 的取值范围为 （ ）A. [221-e 4 ，21-e 2） B. （221-e 4，21-e 2] C. [322121--e 6e 4，）D. [32121--e 6e 2，）【答案】A 【解析】 【分析】把f （x ）＜0转化为（kx+12）e x＜2x ，即kx+12＜2x x e ，令g （x ）＝2x x e，利用导数研究g （x ）的单调性，数形结合得答案．【详解】由f （x ）＜0的解集中有且只有一个正整数，得（kx+12）e x ＜2x ，即kx+12＜2x xe有且只有一个正整数，令g （x ）＝2x x e ，则g′（x ）＝()22122x x x xx e xe e e--=，当x∈（﹣∞，1）时，g ′（x ）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x ）＜0．∴g（x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．作出函数g （x ）与y ＝kx+12的图象如图所示，y ＝kx+12的图象过定点P （0，12），A （1，2e ），B （2，24e），∵21212102PAe k e -==-- ，2241212204PB e k e -==--．∴实数k 的取值范围为[221-e 4 ，21-e 2）．故选A ．【点睛】本题考查函数零点的判定，利用导数研究其单调性与最值，考查转化思想和数形结合的方法，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.6(2)+x y 的展开式中， 24x y 的系数为__________．【答案】60 【解析】 【分析】利用二项式展开式通项确定满足条件的系数．【详解】二项式（2x+y ）6的展开式中，展开式的含x 2y 4的项为()244246260C x y x y =，所以含x 2y 4的项的系数是60. 故答案为60．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，属于基础题．14.设,x y 满足约束条件32110,210,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为__________．【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，由目标函数变型得y ＝﹣2x+z ，根据可行域找出最大值即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z ，由图象可知当直线y ＝﹣2x+z 经过点B 时，截距最大，即z 最大． 解方程组32110210x y x y +-=⎧⎨--=⎩ 得x ＝3，y ＝1，即B （3，1）．∴z 的最大值为2×3+1＝7． 故答案为7．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查数形结合思想，属于中档题．15.已知三棱锥P ﹣ABC 的棱AP 、AB 、AC 3P 为球心,以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于_____ 【答案】32π 【解析】 【分析】根据数形结合和弧长公式求解即可.【详解】如图所示，Rt PAC ∆，Rt PAB ∆为等腰直角三角形，且AP AB AC ==3以顶点P 为球心,以2为半径作一个球与Rt PAC ∆的,PC AC 分别交于,M N ,得AN ＝1，APN ∠=6π，所以12NPM π∠=，∴12MN π=×26π=，同理6GH π=， 122HN ππ=⨯=.GM 是以顶点P 为圆心,以2为半径的圆周长的16 ,所以22263GM ππ⨯==，球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于293662362ππππππ+++== ． 故答案为32π ．【点睛】本题考查球面距离及相关计算、正方体的几何性质，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于中档题．16.已知F 为抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点，曲线1C 是以F 为圆心，4p为半径的圆，直线23630x y p -+=与曲线C ，1C 从左至右依次相交于,,,P Q R S ，则RS PQ=___．【答案】215【解析】 【分析】由直线23630x y p -+=过焦点F ，得|RS|＝|SF|﹣4p ＝S y +2p ﹣4p ＝S y +4p ，|PQ|＝|PF|﹣4p ＝P y +2p﹣4p ＝P y +4p，求出S ，P 的纵坐标代入即可. 【详解】222212203023630x py y py p x y p ⎧=⎪⇒-+=⎨-+=⎪⎩ ，因为直线23630x y p -+=与曲线C ，1C 从左至右依次相交于,,,P Q R S ，所以6s p y =，32p y p = .由直线23630x y p -+=过抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点F ，所以|RS|＝|SF|﹣4p ＝S y +2p ﹣4p ＝S y +4p ，|PQ|＝|PF|﹣4p ＝P y +2p ﹣4p＝P y +4p ，44p SF RS p PQ PF -=- =3721244556412p p p p +==+ . 故答案为215【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 3sin c A c A b a +=+.（1）求C ；（2）若D 在边BC 上，且3BD DC =，11cos 14B =，∆3ABC S =AD . 【答案】（1）3C π=；（2）19AD =.【解析】 【分析】（1）由正弦定理和辅助角公式化简求解即可；（2）由正弦定理和三角形的面积求得ABC ∆的a ，b ，c ，在ADC ∆中，由余弦定理得AD . 【详解】（1）在ABC ∆中，因为cos 3sin c A c A b a +=+， 所以sin cos 3sin sin sin sin C A C A B A =+. 又A B C π++=，所以()sin sin B A C =+， 所以()sin cos 3sin sin sin sin C A C A A C A =++，则sin cos 3sin sin C A C A + sin cos cos sin sin A C A C A =++， 3sin sin sin cos sin C A A C A =+.因为sin 0A ≠3sin cos 1C C =+，即1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因为0C π<<，所以3C π=.（2）因为11cos 14B =，所以53sin 14B =， 所以()53111343sin sin 214A BC =+=+=.所以::sin :sin :sin 8:5:7a b c A B C ==，不妨设8a t =，5b t =，7c t =.因为∆103ABC S =，所以138510322ABC S t t ∆=⨯⨯⨯=，解得1t =， 即8a =，5b =，7c =，因为3BD DC =，所以6BD =，2DC =. 在ADC ∆中，由余弦定理得2222cos 19AD CD CA CD CA C =+-⋅⋅=， 所以19AD =.【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，也考查了三角形的面积公式和辅助角公式的化简，属于中档题. 18.已知五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，2224CD DE AD AB ====，25AC =，且二面角F AB C --的大小为30.（1）证明：AB ⊥平面ADE ；（2）求二面角E BC F --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（211217【解析】 【分析】（1）先证E F 平面ABCD ，由线面平行的性质定理得EF AB ，所以CD AB ；由线面垂直的判定定理得CD ⊥平面ADE ，从而得A B ⊥平面ADE ； （2）以O 为坐标原点，以OA 所在直线为x 轴，过O 平行于DC 的直线为y 轴，OE 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，【详解】（1）在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，所以EF CD ，CD DE ⊥. 因为EF ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以EF 平面ABCD ， 因为EF ⊂平面ABFE ，平面ABFE ⋂平面ABCD AB =，所以EF AB ，又EF CD ，故CD AB .因为4CD =，2AD =，25AC =CD AD ⊥，因为AD DE D ⋂=，所以CD ⊥平面ADE ，又CD AB ，所以AB ⊥平面ADE .（2）过点E作EO AD⊥，垂足为O，以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，过O平行于DC的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面EBC，平面BCF的法向量，利用向量法求解即可.则(3E，()3,2,0B，()1,4,0C，(3F，()2,2,0BC=-，(3CF=-，(1,3CE=--，设平面EBC的一个法向量为()111,,n x y z=，则0,0,BC nCE n⎧⋅=⎨⋅=⎩即11111220,430x yx y z-+=⎧⎪⎨--=⎪⎩，不妨令13x=()3,3,5n=.设平面BCF的一个法向量为()222,,m x y z=，则0,0,BC mCF m⎧⋅=⎨⋅=⎩即2222220,30,x yx z-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩不妨令23x=，则()3,3,1m=，则1111217cos,317n m==⨯.由图知二面角E BC F--为锐角，所以二面角E BC F--11217【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和线面垂直的判定定理，利用向量法解二面角的问题，属于中档题.19.已知点2)，23)2都在椭圆C：22221(0)y xa ba b+=>>上.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(0,1)M的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q（异于顶点），记椭圆C与y轴的两个交点分别为1A，2A，若直线1A P与2A Q交于点S，证明：点S恒在直线4y=上.【答案】（1）22142y x +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）把点(，⎝代入椭圆方程22221(0)y x a b a b +=>>，得,a b 即可；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立221,421,y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得12222k x x k -+=+，12232x x k -=+，联立直线1A P 和直线2A Q 的方程，得()()()()21122222y x y y x y +-=-+，把韦达定理代入化简即可.【详解】（1）由题意得2222211,311,2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得224,2.a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆C 的方程为22142y x +=.（2）由题意可设直线l 的方程为1y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立221,421,y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()222230k x kx ++-=. 所以12222k x x k -+=+，12232x x k -=+， 则()121223kx x x x =+.①由题意不妨设()10,2A ，()20,2A -，则直线1AP 的方程为()1122x x y y =--， 直线2A Q 的方程为()2222x x y y =++. 联立()()11222,22,2x x y y x x y y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=+⎪+⎩整理得()()()()21122222y x y y x y +-=-+，所以()1212123462x x y kx x x x +=+-.把①代入上式，得()1212123462x x y kx x x x +=+- ()121212662124x x x x x x =++-=+，当213x x ≠-时，可得4y =，当213x x =-时，易求12111A P A Q kx k k x -==，即12A P A Q 不符合题意. 综上，故点S 恒在直线4y =上.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，也考查了韦达定理的应用，属于中档题. 20.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. （1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X 元，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）910；（2）见解析. 【解析】 【分析】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X 元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X 的数学期望．【详解】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）. （1）事件M 表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.()()111121211212P M P A B A B B A A B A A B B =+++ ()()()()111121211212P A B P A B B P A A B P A A B B =+++ 434131431413954544554554410=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为400，600，800，1000，1200.()()33433400545P X P A B ===⨯=，()()334343600P X P A B B A A B ==+ 41314327544554100=⨯⨯+⨯⨯=，()()3434334343800P X P A A B B A B B A A B ==++ 14134115544544=⨯⨯⨯+⨯⨯ 11311554100+⨯⨯=，()()343434341000P X P A A B B A A B B ==+ 14111113755445544400=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()()34341111112005544400P X P A A B B ===⨯⨯⨯=. 则X 的分布列为：故327114006008005100100EX =⨯+⨯+⨯ 7110001200510.5400400+⨯+⨯=(元). 【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.21.已知函数()()()xf x x a e a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，()()ln F x f x x x =-+，记函数()y F x =在(1,14)上的最大值为m ，证明：43m -<<-. 【答案】（1）单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可； （2）对()F x 求导，得()()11xF x x e x ⎛⎫=--⎝'⎪⎭，因为114x <<，所以10x -<，令()1xg x e x=-，求导得()g x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∃ 01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，进而得()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减；所以()()00max 0212m F x F x x x ===--，令()212G x x x=-- ，求导得()G x 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，进而求得m 的范围.【详解】（1）因为()()xf x x a e =-，所以()()1xf x x a e =-+'，当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞. （2）当2a =时，()()2ln xF x x e x x =--+，则()()()11111xx F x x e x e x x ⎛⎫=--+=-- ⎝'⎪⎭， 当114x <<时，10x -<，令()1x g x e x=-， 则()210xg x e x =+>'，所以()g x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为121202g e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110g e =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即01x e x =，即00ln x x =-.故当01,4x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x <，此时()0F x '>； 当()0,1x x ∈时，()0g x >，此时()0F x '<. 即()F x 在01,4x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减. 则()()()00000max 2ln xm F x F x x e x x ===--+ ()00000012212x x x x x x =-⨯--=--. 令()212G x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()22221220x G x x x-=-=>'. 所以()G x 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()142G x G ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，()()13G x G <=-.故43m -<<-成立.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =，求k 的值. 【答案】（1）24cos 30ρρθ-+=；（2）k =±【解析】 【分析】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y ，且()4,0Q ，由M 为PQ 中点，得x=2cos θ+，y= sin θ，整理得()2221x y -+=，化为极坐标即可；（2）把直线l ：y kx =化成极坐标方程为θα=，设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =，得43OA OB =，即1243ρρ=， 联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩，得7cos 8α=，代入2221tan 1cos k αα==-即可. 【详解】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y .且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点，所以2cos 42,22sin ,2x cos y sin θθθθ+⎧==+⎪⎪⎨⎪==⎪⎩整理得()2221x y -+=.即22430x y x +-+=， 化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.（2）设直线l ：y kx =的极坐标方程为θα=.设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =，所以43OA OB =，即1243ρρ=.联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩整理得24cos 30ραρ-⋅+=.则1212124,3,43,cos ρραρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得7cos 8α=.所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则157k =±.【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹的方法，极坐标方程的应用，属于中档题. 23.已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+2|x +1|． （1）当a ＝2时，解不等式f （x ）＞4．（2）若不等式f （x ）＜3x +4的解集是{x |x ＞2}，求a 的值． 【答案】（1）{x |x ＜﹣43，或 x ＞0}；（2）6a =. 【解析】 分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可． （2）由题意可得，x ＝2是方程f （x ）＝3x+4的解，即|2﹣a|+6＝6+4，求得a ＝6，或 a ＝﹣2．检验可得结论．【详解】（1）当a ＝2时，不等式f （x ）＞4，即|x ﹣2|+2|x+1|＞4， ∴①，或 ②，或 ③．解①求得x＜﹣，解②求得x＞0，解③求得x≥2，故原不等式的解集为{x|x＜﹣，或x＞0}．（2）不等式f（x）＜3x+4，即|x﹣a|+2|x+1|＜3x+4，∵不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，故x＝2是方程f（x）＝3x+4的解，即|2﹣a|+6＝6+4，求得a＝6，或a＝﹣2．当a＝6时，求得f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，满足题意；当a＝﹣2时，求得f（x）＜3x+4的解集不是{x|x＞2}，不满足题意，故a＝﹣2应该舍去．综上可得，a＝6．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．行程问题一、填空。
2020年广东省高考数学(理科)模拟试卷(3)
递增区间是（
）
A ．[2????-
?6?， 2???+?
?? 6 ](??∈??)
B． [2????-
?3?，2???+?
2?? 3 ](??∈??)
因为abacabacadbc作anbc于n则n为bc的中点且an12????????若四面体abcd的体积的最大值时则dn面abc则外接球的球心在dn上设为o设外接球的半径为r连接oa则oaodrvdabc13?12bc?an?dn16?2an?an?ron13an2?ron13oa2on2ron13ronronron16ron2r2onron16????????????2?????2????????????????????3316?4????33当且仅当2r2onron即r3on时取等号因为三棱锥的最大体积为16所以16?4????3316可得r34所以外接球的表面积为s4r24?????9169????4故选
1）为圆心的圆是△ OAB 的内切圆，则圆 E 的半径为
．
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
17．（ 12 分）设数列 { an} 是公差为 d（ d≠0）的等差数列， 数列 { bn} 满足 bn＝an+1an+2﹣a ?2?，
n∈N* ．
第 2页（共 18页）
（ 1）求证数列 { bn} 是等差数列；
三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
第 1页（共 18页）
2 的等边
4 √3 A．
3 8．（ 5 分）已知菱形
B ．4√3
2 √3 C．
3
D． 2√3
→→
ABCD 边长为 1，∠ BAD ＝ 60°，则 ?????????= （ ）
【2020精品高考提分卷】广东省高考 数学模拟试题及答案(一)
广东省2020年高考数学模拟试题及答案（一）（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i2．设集合{}{}{}20,1,2,3,4,5,1,2,3,|540U A B x Z x x ===∈-+≥，则()U AB =A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}23. 下列说法中正确的是A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题C.命题“存在000,1x x ex ∈≤+R ”的否定为：“对,1xx e x ∀∈>+R ”D.直线l 不在平面α内，则“l 上有两个不同的点到α的距离相等”是“//l α”的充要条件 4．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝A. 35- B.35 5．已知α是第四象限角，且1sin cos 5αα+=，则tan 2α=A．13B．13- C．12D．12-6. 已知数列}{na为等比数列，274=+aa，865-=⋅aa，则101aa+的值为A. 7B.5C.7- D.5-7. 设不等式组-20+20x yx yx≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为Ω.则A. 原点O在Ω内B.Ω的面积是1C.Ω内的点到y轴的距离有最大值D.若点P(x0,y0) ∈Ω，则x0+y0≠08．如右图是寻找“徽数”的程序框图．其中“S MOD 10”表示自然数S被10除所得的余数，“S\10”表示自然数S被10除所得的商．则根据上述程序框图，输出的“徽数”S为A．18 B．16 C．14 D．129. 已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行翻折，使BDC∠为直角，则过A B C D，，，四点的球的表面积为A．3π B．4π C.5π D．6π10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p311．根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是A ．2日和5日B ．5日和6日C ．6日和11日D ．2日和11日 12．椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F 的周长为6且面积的最大值为3，则椭圆的标准方程为A. 22143y x +=B. 22132y x +=C. 2212x y +=D. 2214x y +=二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设集合{}22(,)|(3sin )(3cos )1,A x y x y R ααα=+++=∈，{}(,)|34100B x y x y =++=，记P AB =，则点集P 所表示的轨迹长度为 。
2020年广东省高考文科数学模拟试卷及答案解析
4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b＞1；②a+b＝2；③a+b＞2；④a2+b2＞2．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．③
5．函数y＝ 的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．从编号为001，002，…，400的400个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（ ）
A． B． C． D．
11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a2﹣c2＝3b，且sinB＝8cosAsinC，则边b＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．已知F是椭圆 ＝1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，若|PF|＝ |AF|，则该椭圆的离心率是（ ）
五．解答题（共1小题）
23．（1）解不等式：|x﹣1|+|x+3|＞6；
（2）若a＞0，b＞0，a+b＝2，证明：（ ﹣1）（ ﹣1）≥9
2020年广东省高考文科数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．设z＝ ，则|z|＝（ ）
A． B．2C． D．3
【分析】利用商的模等于模的商求解．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，DC＝2AD＝2AB＝2∠DAB＝∠ADC＝90°，PB＝ ，△PDC为等边三角形．
（1）证明：PD⊥BC；
（2）求点B到平面PCD的距离．
20．（12分）已知函数f（x）＝aex﹣sinx+1其中a∈R，e为自然对数的底数．
2020年广东省高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年广东省高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【20套精选试卷合集】广东广雅中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
高考模拟数学试卷一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1. 已知集合{}4,3,2,1=A ,集合{}6,5,4,3=B ,集合B A C ⋂=，则集合C 的真子集．．．的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.已知复数1z i =+，则下列命题中正确的个数是（ ）①2z = ②1z i =- ； ③的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 命题“[]1,0∈∀m ，21≥+xx ”的否定形式是（ ） A. []1,0∈∀m ，21<+x x B. []1,0∈∃m ，21≥+xx C. ()()+∞∞-∈∃,00, m ,21≥+x x D. []1,0∈∃m ，21<+xx 4．已知ABC ∆中，=A 6π，=B 4π，a 1=，则b 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．25．在区间（0，4）上任取一实数x ，则22<x 的概率是（ ） A ．43B ．21 C ．31 D ．416. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是（ ）A ． 0B ． 3-C ．23D ．3 7.{}n a 是公差不为0的等差数列，满足27262524a a a a +=+，则该数列的前10项和10S =（ ）A ．10-B ．5-C ．0D ．58.已知()222,03,0x x f x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，若()2f a =，则a 的取值为（ ）A ．2B ． -1或2 C. 1±或2 D ．1或29.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与圆()()11322=-+-y x 相切，则此双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 5C.3 D.210. 某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球3面上，则该球面的表面 积为（ ） A ． 4πB ．283πC ．443πD ． 20π11．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()m n N m od ≡，例如()3m od 211≡．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） A ．21B ．22C ．23D ．2412.若函数()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极大值，则a 的取值范围是（ ）A ． 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C. ()1,2 D ．()2,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13、已知平面向量→a =（k ，3），→b =（1，4），若→→⊥b a ，则实数k ＝ .14．设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为22243，则C = .15. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .16．设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->++--≤⎪⎭⎫⎝⎛-=1,3234311,2log 22x x x x x x f ，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[]1,2-，则实数m 的取值范围为 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11=a ，且421,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足n an n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本题满分12分）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（Ⅰ）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率； （Ⅱ）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ 附： ()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，()20P K k ≥ 0．10 0．05 0．025 0．010 0k2．7063．8415．0246．63518.（本题满分12分）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=AB=BC=2，且点O 为AC 中点． （Ⅰ）证明：A 1O ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥C 1﹣ABC 的体积． 19.（本题满分12分）已知直线01034:=++y x l ，半径为2的圆C 与l相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,1M 的直线与圆C 交于B A ,两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 21.（本题满分12分） 已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈ （Ⅰ）若()f x 存在极值点1，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 存在两个不同的零点，求证：2ea >（e 为自然对数的底数，ln 20.6931=） 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），射线OM 的极坐标方程为34πθ=． （Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()13++-=x x x f ，()a a x x x g -+-+=1.（Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 一、选择题二、填空题13. ____-12_________ 14. _____6π_____________ 15.______91_________ 16. ______[]1-8-，___________ 三、解答题17．(本题满分12分)解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，由题设，，…（2分）即（1+d ）2=1+3d ，解得d=0或d=1…（4分） 又∵d ≠0，∴d=1，可以求得a n =n…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得，=（1+2+3+…+n ）+（2+22+ (2)）=…（12分）18.解：（Ⅰ）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为4035，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为87； （Ⅱ）()22401412684038412020221811K ⋅⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯ ，故没有95%以上的把握认为二者有关. 19.证明：（Ⅰ）∵AA 1=A 1C ，且O 为AC 的中点， ∴A 1O ⊥AC ，…（2分） 又∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ， 平面AA 1C 1C ∩平面ABC=AC …（4分） 且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，题号 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CC DADBCBABCC积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计221840∴A 1O ⊥平面ABC …（6分）（Ⅱ）∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离…（8分） 由（Ⅰ）知A 1O ⊥平面ABC 且，…（9分）∴三棱锥C 1﹣ABC 的体积：…（12分）20.解：（Ⅰ）设圆心5(,0)()2C a a >-，则4102055a a a +=⇒==-或（舍去）． ·················· 2分 所以圆C 的标准方程为224x y +=． ···················· 4分 （Ⅱ）当直线AB x ⊥轴，在x 轴正半轴上任一点，都可使x 轴平分ANB ∠； ··· 5分 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为(1)y k x =-，1122(,0),(,),(,),N t A x y B x y ··········· 6分 联立圆C 的方程和直线AB 的方程得，2222224,(1)240(1)x y k x k x k y k x ⎧+=⇒+-+-=⎨=-⎩， ················ 7分 故2212122224,11k k x x x x k k -+==++， ····················· 8分 若x 轴平分ANB ∠，则12121212(1)(1)00AN BN y y k x k x k k x t x t x t x t--=-⇒+=⇒+=---- 221212222(4)2(1)2(1)()2020411k k t x x t x x t t t k k -+⇒-+++=⇒-+=⇒=++.当点N 的坐标为(4,0)时，能使得ANM BNM ∠=∠成立． ············ 12 21.解：(1) ()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a . ····················· （4分） (2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ， 当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为增函减数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a整理得1ln 12>-a a ，令1()ln 12h a a a =+-，11()02h a a '=+>，()h a 在定义域内单调递增，()()(ln 1)(ln 1)(ln 2)224224e e e e e eh h e e ⋅=+-+-=-， 由ln 20.6931, 2.71828e ≈≈知ln 204e -<，故2ea >成立. （12分）22.解（1）∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=， 圆C 的普通方程为22220x y x y ++-=， ∴22cos 2sin 0ρρθρθ+-=， ∴圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.1x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）消去t 后得1y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为1sin cos θθρ-=.（2）当34πθ=时，3||sin()44OP ππ=-=，∴点P的极坐标为3)4π，||2OQ ==，所以点Q的极坐标为3)4π，故线段PQ， 23.解：（1）()22,34,1322,1x x f x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-+≤-⎩，当3x ≥时，226x -≥解得4x ≥，当13x -<<时，46≥无解，当1x ≤-时，226x -+≥解得2x ≤-. ∴()6f x ≥的解集为{}|24x x x ≤-≥或.（2）由已知311x x x x a a -++≥+-+-恒成立， ∴3x x a a -++≥-恒成立，又3333x x a x x a a a -++≥---=--=+， ∴3a a +≥-，解得32a ≥-，3,2a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，不等式()()f x g x ≥恒成立.高考模拟数学试卷数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}2,ln A x =，{},B x y =，若{}0A B =，则y 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．e D ．1e2．设复数11iz i-=+，则z 为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3. 计算sin 47cos17cos47cos73︒︒-︒︒的结果为（ ） A.21 B. 33C.22D.23 4. 61()x x-展开式中的常数项为( )A. -20B. 20C. -15D.155. 三位男同学和三位女同学站成一排，要求任何两位男同学都不相邻，则不同的排法总数为（ ） A.720B.144C.36D.126.曲线()sin f x x =，()cos f x x =与直线0x =，2x π=所围成的平面区域的面积为（ ）A ．20(sin cos )x x dx π-⎰ B ．402(sin cos )x x dx π-⎰C ．424cos +sin xdx xdx πππ⎰⎰ D ．402(cos sin )x x dx π-⎰7. 已知函数()sin()(R,0,0,||)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><的图象（部分）如图所示，则ωϕ，分别为（ ） A. ,3πωπϕ==B. 2,3πωπϕ==C. ,6πωπϕ==D. 2,6πωπϕ==8．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足(1)(1)f x f x +=-，且]1,0[∈x 时，7()8f x x =-，则方程1)21()(||-=x x f 在区间[3,3]-零点的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为（ ） A ．1 B ．1或3 C ．2 D ．2或6 10．如图是用模拟方法估计椭圆1422=+y x 面积的程序框图，S 表示估计 的结果，则图中空白处应 该填入（ ） A ．250NS = B ．125NS =C ．250MS =D ．125M S =11．定义在R 上的函数()f x 满足(3)1f =，(2)3f -=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，且()f x '有且只有一个零点，若非负实数,a b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围是（ ） A.4[,3]5 B.4(0,][3,)5+∞ C.4[,5]5D.4(0,][5,)5+∞ 12．等腰Rt △ACB ,2AB =,2ACB π∠=．以直线AC 为轴旋转一周得到一个圆锥，D 为圆锥底面一点，BD CD ⊥，CH AD ⊥于点H ,M 为AB 中点，则当三棱锥C HAM -的体积最大时，CD 的长为 ( ) A ．53 B ．253 C ．63 D ．263第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上） 13．已知△ABC 三个内角A 、B 、C ，且sin :sin :sin 2:3:4A B C =， 则cos C 的值为 .14．如图，格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线开始0,0,1M N i ===产生0~2之间的两个随机数分别赋值给i i y x ,1422≤+i i y x 是否1+=i i1+=M M 1+=N N 2000>i否是输出S 结束画出了某多面体的三视图，则该多面体的体15．已知双曲线C ：22221y x a b-=(0,0)a b >>，P 为x 轴上一动点，经过P 的直线2(0)y x m m =+≠与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为 ．16． 设R a ∈，对于0x ∀>，函数()(1)[ln(1)1]f x ax x =-+-恒为非负数，则a 的取值所组成的集合为 .三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,11+0n n n n a a a a ++-=． （Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．18．(本小题满分12分)某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[]21,7,22.3（单位：cm ）之间的零件，把零件尺寸在)1.22,9.21[的记为一等品，尺寸在)2.22,1.22[)9.21,8.21[ 的记为二等品，尺寸在]3.22,2.22[)8.21,7.21[ 的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：()21122122121+2++1+2-=n n n n n n n n n χ，（Ⅱ）以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为/cm/cm30元、20元、15元，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由.19．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为2，D 为11A C 中点． （Ⅰ）求证；1BC ∥平面1AB D ； （Ⅱ）求二面角A 1－AB 1－D 的大小．20. （本小题满分12分）设离心率12e =的椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，P 是x 轴正半轴上一点，以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点，且该圆和直线30x ++=相切，过点P 的直线与椭圆M 相交于相异两点A 、C . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若相异两点A B 、关于x 轴对称，直线BC 交x 轴与点Q ，求QA QC ⋅的取值范围．21.（本小题满分12分）D已知R m ∈，函数2()2x f x mx e =-． （Ⅰ）当2m =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 有两极值点,()a b a b <，（ⅰ）求m 的取值范围；（ⅱ）求证：()2e f a -<<-．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知圆上的AC BD =，过C 点的圆的 切线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）证明：ACE BCD ∠=∠； （Ⅱ）若9,1BE CD ==，求BC 的长.23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），P 是2C 上的点，线段OP 的中点在1C 上． (Ⅰ)求1C 和2C 的公共弦长；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P 的一个极坐标.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知512)(-+-=ax x x f (a 是常数，a ∈R) （Ⅰ）当a=1时求不等式0)(≥x f 的解集．（Ⅱ）如果函数)(x f y =恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．数学（理科） 参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．A ；2．D ；3. A ；4. D ；5. B ；6.D ；7．C ；8.A ；9．B ；10．D ；11．A ；12．C ． 二．填空题13．14-；14．16；15．2；16．11e ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭. 三.解答题17．解：（Ⅰ）∵11+0n n n n a a a a ++-=，∴1110n n n nn n a a a a a a ++++-=，∴1111n na a +-=， ·························· 3分 111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列． ········ 4分 11(1)1n n n a =+-⨯=，1n a n=． ··················· 6分 （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知2=2nn nn a ．12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯． ························································ ① 23+12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯． ···················································· ②······························································································· 9分由①-②得121=2+2++22n n n S n +--⨯．∴1=(1)22n n S n +-+． ······························································· 12分法二：令212n n n b n c c +==-，令()2nn c An B =+， ∴11()2()22n n nn n n b c c An A B An B n ++=-=++-+=．∴12A B ==-，． ···································································· 9分 ∴122132111n n n n b b b c c c c c c c c +++++=-+-++-=-1(12)2(12)2=(1)22n n n n +=+----+． ··································· 12分18．解：（Ⅰ）22⨯列联表如下2分841.302.290110100100)50604050(20022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ，所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关． ······································································································ 4分（Ⅱ）由题知运用甲工艺生产单件产品的利润X 的分布列为242.0153.0205.0=⨯+⨯+，X 的方差为392.0)2415(3.0)2420(5.0)2430(222=⨯-+⨯-+⨯-=DX . ·· 7分乙工艺生产单件产品的利润Y 的分布列为Y 30 20 15 P0.60.10.3Y 的数学期望为5.243.0151.0206.030=⨯+⨯+⨯=EY ，Y 的方差为25.473.0)5.2415(1.0)5.2420(6.0)5.2430(222=⨯-+⨯-+⨯-=DY . ···· 10分答案一：由上述结果可以看出EY EX <，即乙工艺的平均利润大，所以以后应该选择乙工艺. 答案二：由上述结果可以看出DY DX <，即甲工艺波动小，虽然EY EX <，但相差不大，所以以后选择甲工艺. ······························ 12分19．解：（Ⅰ）如图，连结A 1B 与AB 1交于E ，连结DE ，则E 为A 1B 的中点，∴BC 1∥DE ，DE ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D ,∴1BC ∥平面1AB D ． ········································································ 6分（Ⅱ）过D 作DF ⊥A 1B 1于F ，由正三棱柱的性质，AA 1⊥DF ，∴DF ⊥平面ABB 1A 1， 连结EF ，DE ，在正三角形A 1B 1C 1中， ∵D 是A 1C 1的中点，∴11132B D A B =＝3， ······································ 8分 又在直角三角形AA 1D 中，∵AD ＝AA 21＋A 1D 2＝3，∴AD ＝B 1D ． ∴DE ⊥AB 1，∴可得EF ⊥AB 1，则∠DEF 为二面角A 1－AB 1－D 的平面角． ········································ 10分 可求得32DF =， ∵△B 1FE ∽△B 1AA 1，得32EF =，∴∠DEF ＝π4，即为所求． ·································································· 12分（2）解法（二）（空间向量法）建立如图所示空间直角坐标系，则A （0，－1,0），B 1（0，1）， C 1），A 1（0，－1），D12-）． 8分 ∴AB 1＝（0，1），B 1D，－32,0）． 设n 1＝（x ，y ，z ）是平面AB 1D 的一个法向量，则可得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1＝0n 1·B 1D ＝0，即20,30.22y x y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩． ∴n 1＝（－3，1，－2）． ······························································ 10分 又平面ABB 1A 1的一个法向量n 2＝OC,0,0）， 设n 1与n 2的夹角是θ，则 cosθ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝22． 又可知二面角A 1－AB 1－D 是锐角．∴二面角A 1－AB 1－D 的大小是π4． ··························································· 12分20. 解：（Ⅰ）设以1||PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点N ， ∴1||NF a =，∵12e =，∴2a c =， ∴13NF P π∠=， 1||2PF a =． ····································································· 2分∴2(,0)F c 是以|1PF |为直径的圆的圆心，∵该圆和直线30x ++=相切，∴2c =1,2,c a b ===∴椭圆M 的方程为：22143x y +=． ····························································· 4分 （Ⅱ）设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -，法一：设直线PA 的方程为(3)y k x =-，联立方程组22143(3).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 化简整理得2222(43)2436120k x k x k +-+-=， 由2222(24)4(34)(3612)0k k k ∆=-⋅+⋅->得2305k <<． ································· 6分 则22121222243612,4343k k x x x x k k -+==++．直线BC 的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则22221221121221212272247223()44343==2463643k k y x y x x x x x k k x k y y x x k --+-+++==++--+． ∴Q 点坐标为4(,0)3． ··············································································· 8分2121212124444()()()()(3)(3)3333QA QC x x y y x x k x x ⋅=--+=--+--=2221212416(1)(3)()939k x x k x x k +-++++=2222222361242416(1)(3)9433439k k k k k k k -+⋅-+⋅++++ =222191216235105439361612k k k -+=-++． ···························································· 10分 ∵2305k << ∴205(,)93QA QC ⋅∈-. ················· 12分 法二：设直线方程为3x my =+．由2231.43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)18150m y my +++=， 由22(18)415(34)0m m ∆=-⋅⋅+>得253m >． ················································· 6分 12212218,3415.34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩直线BC 的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则212211212122152(3)(3)24343=3+=18334my my y my my y m x m y y y y m ++++==+++-+． ∴Q 点坐标为4(,0)3． ··············································································· 8分121212124444()()()()3333QA QC x x y y my my y y ⋅=--+=+++=21212525(1)()39m y y m y y ++++=2221551825(1)()343349m m m m m +⋅+⋅-+++=23520349m -+．································ 10分∵253m >， ∴205(,)93QA QC ⋅∈-．综上，205(,)93QA QC ⋅∈-． ······················ 12分 21.解：（Ⅰ）2m =时，2()22x f x x e =-，()422(2)x x f x x e x e '=-=-．令()2x g x x e =-，()2x g x e '=-， ································································ 2分 当(,ln 2)x ∈-∞时，()0g x '>，(ln 2,)x ∈+∞时，()0g x '< ∴()(ln 2)2ln 220g x g =-<≤．∴()0f x '<．∴()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减函数． ··········· 4分 （Ⅱ）若()f x 有两个极值点,()a b a b <，则,a b 是方程()220x f x mx e '=-=的两不等实根．解法一：∵0x =显然不是方程的根，∴xe m x =有两不等实根． ·························· 6分令()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x -'=当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(,0)h x ∈-∞(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，要使xe m x=有两不等实根，应满足(1)m h e >=，∴m 的取值范围是(,)e +∞．（注意：直接得()h x 在(,1)-∞上单调递减，(1,)+∞上单调递增扣2分）． ················· 8分 ∵2()2a f a ma e =-，且()220a f a ma e '=-=2()22(2)a a a a a e f a a e a e e e a a=⋅-=⋅-=-，∵(0)20h =-<，()h x 在区间(0,ln )m 上单调递增，(1)2()0h m e =->，∴(0,1)a ∈ 设()(2)(01)x x e x x ϕ=-<< ，则()(1)0x x e x ϕ'=-<，()x ϕ在(0,1)上单调递减∴(1)()(0)f f a f << 即()2e f a -<<-． ······················································ 12分 解法二：()()22x h x f x mx e '==-，则,a b 是方程()0h x =的两不等实根． ∵()2()x h x m e '=-，当0m ≤时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞+∞上单调递减，()0h x =不可能有两不等实根 当0m >时，由()0h x '=得ln x m =，当(,ln )x m ∈-∞时，()0h x '>，(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '<∴当max ()(ln )2(ln )0h x h m m m m ==->，即m e >时，()0h x =有两不等实根∴m 的取值范围是(,)e +∞． ······················· 8分 ∵2()2a f a ma e =-，且()220a f a ma e '=-=2()22(2)a a a a a e f a a e a e e e a a=⋅-=⋅-=-，∵(0)20h =-<，()h x 在区间(0,ln )m 上单调递增，(1)2()0h m e =->，∴(0,1)a ∈设()(2)(01)x x e x x ϕ=-<< ，则()(1)0x x e x ϕ'=-<，()x ϕ在(0,1)上单调递减∴(1)()(0)f f a f << 即()2e f a -<<-． ······················································ 12分解：（Ⅰ）证明,AC BD ABC BCD =∴∠=∠． ··············································· 2分 又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠． ······················ 5分 （Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠，由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠ ·································································· 7分 ∴△BEC ∽△CBD ，∴CD BCBC EB=，∴BC =3． ······································ 10分 23．解：(Ⅰ)曲线1C 的一般方程为4)2(22=-+y x ，曲线2C 的一般方程为4)2(22=+-y x ． ·················································· 2分 两圆的公共弦所在直线为x y =，)0,2(到该直线距离为2，所以公共弦长为2222222=-． ·················· 5分 （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θρsin 4=，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=． ························································ 7分 设),(θρM ，则),2(θρP ，两点分别代入1C 和2C 解得554=ρ， θ不妨取锐角55arcsin， 所以)55arcsin ,558(P ． ····································································· 10分 24．解：（Ⅰ）136(),2()14().2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩∴0)(≥x f 的解为{}42-≤≥x x x 或 ． ·················· 5分 （Ⅱ）由0)(=x f 得,=-12x 5+-ax ． ················· 7分 令12-=x y ,5+-=ax y ,作出它们的图象，可以知道，当22<<-a 时， 这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数)(x f y =有两个不同的零点． ················· 10分。
2020年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
5．如果函数 （ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为 ，则ω的值为（ ）
A．3B．6C．12D．24
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值．
【解答】解：函数 （ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为 ，
∴T=2× = ，
A． B．﹣ C． D．
9．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+xn=10，则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=（ ）
A．n+10B．n+20C．2n+10D．2n+20
10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
15．已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且 ，则双曲线C的离心率为．
16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC， ，CD=5，BD=2AD，则AD的长为．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．
A．1B．2C．3D．4
12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）
A．8+8 +4 B．8+8 +2 C．2+2 + D． + +
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为．
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2021届新高考化学模拟试卷一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．常温下用NaOH溶液滴定H2C2O4溶液的过程中，溶液中一lg+224c(H)c(H C O)和一lgc(HC2O42－)[或－lg+-24c(H)c(HC O)和－1gc(C2O42－)]的关系如图所示。
下列说法正确的是A．K a1(H2C2O4)数量级为10－1B．曲线N表示－lg+224c(H)c(H C O)和－lg c(HC2O4－)的关系C．向NaHC2O4溶液中加NaOH至c(HC2O4－)和c(C2O42－)相等，此时溶液pH约为5D．在NaHC2O4溶液中C(Na+)＞c(HC2O4－)＞c(H2C2O4)＞c(C2O42－)【答案】C【解析】【详解】H2CO4为弱酸，第一步电离平衡常数>第二步电离平衡常数，即()()()()()()2242422424c H c HC O c H c C Oc H C O c HC O+-+-->则()()()()()()2242422424lg lgc H c HC O c H c C Oc H C O c HC O+-+-->则()()()()()()2242422424lg lg lg lgc H c Hc HC O c C Oc H C O c HC O++-----<--，因此曲线M表示()()224lgc Hc H C O+-和-1gc(HC2O4-)的关系，曲线N表示()()24lgc Hc HC O+--和-1gc(C2O42-)的关系，选项B错误；根据上述分析，因为()()()24224lg lg2c Hc HC Oc H C O+---=，则()()()()24-21224224=10ac H c HC OK H C Oc H C O+-=，数量级为10－2，选项A 错误； 根据A 的分析，()()()()224-5222424=10a c H c C O K H C O c HC O +--=，向NaHC 2O 4溶液中加NaOH 至c(HC 2O 4－)和c(C 2O 42－)相等，()()-52224=10a K H C O c H +=，此时溶液pH 约为5，选项C 正确；根据A 的分析，K a1(H 2C 2O 4)=10-2，则NaHC 2O 4的水解平衡常数()()122224122410,wa a K K H C O K H C O -=<，说明以电离为主，溶液显酸性，则c(Na +)>c(HC 2O 4-)>c(C 2O 42-)>c(H 2C 2O 4)，选项D 错误； 答案选C 。
2．某高铬型钒渣含Fe 2O 3、Fe 3O 4、SiO 2、Al 2O 3、V 2O 5、Cr 2O 3等物质，从中分离提取钒和铬的工艺流程如图所示：回答下列问题:（1）“焙烧”时V 2O 5、Cr 2O 3转化为NaVO 3和Na 2CrO 4，SiO 2、Al 2O 3转化为________和_______。
（2）滤渣1中主要含______。
滤渣2的主要成分是Fe (OH )3和Al (OH )3，对应调pH 应不低于______。
（常温下，当溶液中离子浓度小于1×10-5mol/L 时认为沉淀完全， K sp [Fe (OH )3]=4.0×10-38、K sp [Al (OH )3]=1.0×10-33）。
（3）“沉钒”时的离子方程式是_______，NH 4VO 3煅烧过程中的化学方程式是______。
（4）“还原”时溶液的pH 在2.5左右，反应的离子方程式是________。
（5）已知:25 °C 时，H 2C 2O 4的电离常数K a1=5.9×10-2，K a2=6. 4×10-5，则25° C 时，0.1 mol·L -1NaHC 2O 4溶液中各离子浓度由大到小的顺序为_____，向0.1 mol· L -1H 2C 2O 4溶液中加入一定的NaOH 固体，当溶液的pH= 2.5时，溶液中c (C 2O 42-) ：c (H 2C 2O 4)=_______（保留两位有效数字）。
【答案】Na 2SiO 3 NaAlO 2 H 2SiO 3 4.7 NH 4++VO 3-=NH 4VO 3↓ 2NH 4VO 3高温V 2O 5+2NH 3↑+H 2O ↑ 3C 2O 42-+2CrO 42-+16H += 2Cr 3++6CO 2↑+8H 2O c(Na +)＞c(HC 2O 4-)＞c(H +)＞C 2O 42-＞c(OH -) 0.38 【解析】 【分析】“焙烧”时，Fe 2O 3、Fe 3O 4不和Na 2CO 3、O 2反应，V 2O 5、Cr 2O 3和Na 2CO 3、O 2反应转化为NaVO 3、Na 2CrO 4，SiO 2、Al 2O 3和Na 2CO 3反应转化成Na 2SiO 3、NaAlO 2；“酸浸”时，Na 2SiO 3和硫酸反应生成H 2SiO 3沉淀，滤渣1主要成分是硅酸，同时AlO 2-转化成Al 3+，铁的两种氧化物溶于酸得到Fe 2+和Fe 3+；“调pH ”时，将铝元素、铁元素转化为Al(OH)3和Fe(OH)3沉淀，滤渣2主要成分为Al(OH)3和Fe(OH)3； “沉钒”时，NH 4+和VO 3-形成NH 4VO 3沉淀，NH 4VO 3沉淀煅烧得V 2O 5；“还原”时，用Na 2C 2O 4将CrO 42-还原成Cr 3+，调合适的pH 将Cr 3+转化为Cr(OH)3沉淀，Cr(OH)3沉淀煅烧得到Cr 2O 3，据以上分析解答。
【详解】(1) 高温时，氧化铝和碳酸钠反应生成偏铝酸钠和二氧化碳，二氧化硅和碳酸钠反应生成硅酸钠和二氧化碳，即SiO 2、Al 2O 3转化为Na 2SiO 3和NaAlO 2，故答案为：Na 2SiO 3；NaAlO 2；(2)由分析可知，滤渣1主要为H 2SiO 3，K sp [Fe(OH)3]=4.0×10-38，Fe 3+浓度小于1×10-5mol/L 时认为沉淀完全，Fe 3+浓度为1×10-5mol/L 时，c 3(OH -)×1×10-5mol/L=4.0×10-38，c 3(OH -)=4.0×10-33，c 3(H +)=-143-12-33(10)25010410=⨯⨯，c(H +10-4≈6×10-4，pH≈4-lg6＜4。
Al 3+浓度为1×10-5mol/L 时，c 3(OH -)×1×10-5mol/L=1.0×10-33，c 3(OH -)=1.0×10-28，c 3(H +)=-143-14-1528(10)11.010.010=1010-⨯=⨯⨯，c(H +)=1-531010⨯，pH=-lg(1-531010⨯)=5- lg(1310)≈4.7＞4，综上所述，要使A 3+和Fe 3+完全沉淀，pH 不低于4.7，故答案为：H 2SiO 3；4.7；(3)“沉钒”时，NH 4+和VO 3-形成NH 4VO 3沉淀，离子方程式为：NH 4++VO 3-=NH 4VO 3↓，NH 4VO 3沉淀煅烧得到V 2O 5，元素化合价没变化，根据原子守恒可知，产物含有H 2O 和NH 3，方程式为：2NH 4VO 3高温V 2O 5+2NH 3↑+H 2O ↑，故答案为：NH 4++VO 3-=NH 4VO 3↓；2NH 4VO 3高温V 2O 5+2NH 3↑+H 2O ↑；(4) “还原”时，C 2O 42-将CrO 42-还原成Cr 3+，pH 在2.5左右，溶液为酸性，C 2O 42-被氧化为CO 2，结合电子得失守恒、原子守恒可得离子方程式为：3C 2O 42-+2CrO 42-+16H += 2Cr 3++6CO 2↑+8H 2O ，故答案为：3C 2O 42-+2CrO 42-+16H += 2Cr 3++6CO 2↑+8H 2O ；(5) HC 2O 4-会水解、电离，所以，c(Na +)＞c(HC 2O 4-)，HC 2O 4-的电离常数= K a2=6. 4×10-5，HC 2O 4-的水解常数K h =w a1K K =-14-2105.910⨯≈1.7×10-13，电离常数＞＞水解常数，加之水电离也能产生一定的H +，所以c(H +)＞C 2O 42-＞c(OH -)。
水解和电离都是微弱的，所以，c (HC 2O 4-)＞c (H +)＞c(C 2O 42-)＞c (OH -)，综上所述：c(Na +)＞c (HC 2O 4-)＞c (H +)＞c(C 2O 42-)＞c (OH -)。
H 2C 2O 4ƒH ++HC 2O 4-，K a1=+-24224c(H )c(HC O )c(H C O )⨯，HC 2O 4-ƒH ++C 2O 42-，K a2=+2-24-24c(H )c(C O )c(HC O )⨯，K a1×K a2=+-24224c(H )c(HC O )c(H C O )⨯×+2-24-24c(H )c(C O )c(HC O )⨯=+2-242422(H )c(C O )c(H C O )c ⨯。
pH=2.5，则c(H +)=10-2.5，所以，2-24+224a1a22c(C O )=c(H C O ))c (H K K ⨯=2 2.5525.910 6. 41)0(10---⨯⨯⨯=0.38（保留两位有效数字），即c (C 2O 42- ):c(H 2C 2O 4)=0.38，故答案为：c(Na +)＞c (HC 2O 4-)＞c (H +)＞c(C 2O 42-)＞c (OH -)；0.38；(5)二酸弱酸H2X：2-+2a1a22c(X)=c(H X))c(HK K。
3．下列各项反应对应的图像正确的是( )A．图甲为25℃时，向亚硫酸溶液中通入氯气B．图乙为向NaAlO2溶液中通入HCl气体C．图丙为向少量氯化铁溶液中加入铁粉D．图丁为向BaSO4饱和溶液中加入硫酸钠【答案】C【解析】【详解】A．亚硫酸为酸性，其pH小于7，与图象不符，发生Cl2+H2SO3+H2O=2Cl-+4H++SO42-后，随着氯气的通入，pH会降低，直到亚硫酸反应完全，pH不变，故A错误；B．NaAlO2溶液中通入HCl气体，发生H++AlO2-+H2O=Al(OH)3↓、Al(OH)3+3H+=Al3++3H2O，图中上升与下降段对应的横坐标长度之比应为1：3，故B错误；C．向少量氯化铁溶液中加入铁粉，发生Fe+2FeCl3=3FeCl2，则Fe元素的质量增加，Cl元素的质量不变，所以Cl的质量分数减小，至反应结束不再变化，故C正确；D．BaSO4饱和溶液中，存在溶解平衡，加硫酸钠，硫酸根离子浓度增大，溶解平衡逆向移动，溶解度减小，故D错误；故答案为C。