山西省五校联考2019届高三第三次五校联考数学(理)Word版含解析

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2019年5月2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)

理科数学第 1页（共 10页）22019 年第三次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析1. 【答案】D【解析】由 A = {x | x 2 < 2} = {x | - < x < 2} ，B = {x | y = x + 1} = {x | x ≥ -1} ，得 A B = {x | -1 ≤ x < 2} ，故选 D ．2. 【答案】A【解析】因为 z = 3 - i= (3 - i)(1 + 2i)=3 + 2 - i + 6i= 1 + i ，所以复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1) ，故选 A ． 3．【答案】B1 - 2i (1 - 2i)(1 + 2i) 5【解析】由三视图得，该几何体是棱长为 3 的正方体截去一个棱长为 1 的正方体，如图所示，所以该几何体的表面积与棱长为 3 的正方体的表面积相等，即所求表面积为 S = 6 ⨯ 32 = 54 ．故选 B ．4．【答案】C【解析】2016 年，2017 年，2018 年容易题分值分别为 40，55，96，逐年增加，①正确；近三年中档题分值所占比例最高的年份是 2016 年，②错误；2018 年的容易题与中档题的分值之和为 96+42=138， 138 = 0.92 > 90% ，③正确，故选 C ．1505. 【答案】B【解析】(x - 2)( 2 + 1)5 的展开式中的常数项为 x ⨯ C 4 ⨯ 2⨯14 - 2 ⨯15 = 10 - 2 = 8 ，故选 B ．x 6. 【答案】Dn 2 - 1n 2 + 1 5xn 2 - 1n 2 + 1n 2 n 2 【解析】A ，当 n 为偶数时， , 2 2 不是整数，所以 n , , 2 2 不是勾股数；B ，n 2+ ( )2 ≠ ( 2 2+ 1)2 ，12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D ABCBDBDBCAC理科数学第 2页（共 10页）3 3 2n 2 n 2 n 2 - 2 n 2 + 2 n 2 - 2 n 2+ 2 所以 n , , + 1不是勾股数；C ， n 2 + ( )2 ≠ ( )2 ，所以 n , , 不是勾股数；D ，当 n 2 2 n 2 n 2 4 4 n 2 n 2 4 4n 2 n 2 为偶数时， n ,7. 【答案】B- 1, 4 4 + 1 都是整数，且 n 2 + ( -1)2 = ( 4 4 + 1)2，所以 n , - 1, 4 4+ 1 是勾股数，故选 D ．【解析】模拟运行该程序：x =1，y =1，z =11，满足循环条件；x =1，y =11，z =21，满足循环条件；x =11， y =21，z =131，满足循环条件；x =21，y =131，z =341，不满足循环条件，终止循环，输出 z 的值为 341，观察 A 、B 、C 、D 四个选项，可知只有 B 选项符合题意，故选 B ．8. 【答案】D【解析】由题意得 a 2 = 1⨯ a = a + 6 ，所以 a = 3 （负值舍去），所以 a = 3 + 2 = 5 ，因为数列141121, a , a , b , b , b , , b , 成等比数列，设其公比为 q ，则 q = a 1 = 3 ，所以b = 35 = 243 ，所以 b 3 = 243，1 4 123 n故选 D ．1 3 a 5 9. 【答案】B【解析】设双曲线C 的焦距为2c (c > 0) ，则由△OPF 为等边三角形，得 c P ( ,3c ) ，代入双曲线 C 的方c 2 3c 2 2 23e 2程得 - = 4 ，即e 2 - = 4 ，解得e = + 1 （或 e = - 1 ，舍去），故选 B ． a 2 b 2 e 2 - 110. 【答案】C【解析】解法一：如图，连接 D 1 A ， AC ， D 1C ，易证平面 ACD 1 平面 EFG ，因为 D 1 P 与平面 EFG 没有公共点，所以直线 D 1 P 平面 EFG ，所以点 P 在直线 AC 上，所以当 P 为 AC 中点时，线段 D 1 P 的长度最小，最小值为，故选 C ．解法二：如图，连接 D 1C ， AC ，因为直线 D 1 P 与平面 EFG 没有公共点，所以直线 D 1 P 平面 EFG ．延长 EF ，与 DC 的延长线交于点 H ，连接GH ，则 D 1C GH ，AC EF ，所以点 P 在直线 AC 上，易得6理科数学第 3页（共 10页）当 P 为 AC 中点时，线段 D 1 P 的长度最小，最小值为，故选 C ．11. 【答案】A【解析】由 f (a ) = 1, f (a + 2) = 0 得函数 f (x ) 的图象关于直线 x = a 对称，且关于点(a + 2, 0) 对称，由存在不相等的实数 x 1 , x 2 ∈(a , a + 2) 使得 f (x 1 ) = f (x 2 ) 成立，可得 f (x ) 在(a , a + 2) 上不单调，所以区间 (a , a + 2)的长度不小于 3T （其中T 为函数 f (x ) 的最小正周期），即 2 ≥ 3 ⨯ 2π ，即ω≥ 3π，故选 A ．4 12. 【答案】C4 ω 4【解析】由(a + 1)x - ln x + b - 2 ≤ 0 ，得ln x ≥ (a + 1)x + b - 2 ，若存在唯一实数 x 0 ，使得 f (x 0 ) ≤ 0 ，则直线 y = (a +1)x + b - 2 与曲线 y = ln x 相切，设切点为 P (t , ln t ) ，则切线方程为 y - ln t = 1(x - t ) ，即ty = 1 x + ln t - 1 ，所以 a + 1 = 1 ，b - 2 = ln t - 1 ，所以 a + b = 1 + ln t ，设 g (t ) = 1 + ln t (t > 0) ，则 g'(t ) =t - 1， t t t t t 2所以 g (t ) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增，所以 g (t ) ≥ g (1) = 1，所以 a + b 的取值范围是[1, +∞) ，故选 C ． 13．【答案】[-1,5]【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由 z = 2x - y +1得 y = 2x - z + 1，平移直线 y = 2x ，可知直线 y = 2x - z + 1过点 A (2, 0) 时 z 取到最大值， z max = 2 ⨯ 2 - 0 + 1 = 5 ，过点 B (0, 2) 时 z 取到最小值， z min = 0 - 2 + 1 = -1 ，所以 z = 2x - y + 1的取值范围是[-1,5] ．6理科数学第 4页（共 10页）( , 14．【答案】 - 12【解析】由| a ⋅ b |=| a | ⋅ | b | 可知向量 a , b 共线，所以cos α+ 2 sin α= 0 ，所以tan α= - 1．215．【答案】( 1, +∞) 21 1 1⎧ 1 , n 为奇数【解析】由 a = 1 且 a - = ，得 a = ， a = , a = 1 ，，∴ a = ⎪ 2 ，因为数2 n +12 1 23 2 4n ⎨ ⎪⎩ 1, n 为偶数列{b } 是递增数列，当 n 为奇数时，b - b = 1 + λ> 0 ，∴ λ> - 1 ，当 n 为偶数时，b - b = - 1+ λ> 0 ，n n +1 n 2 2 n +1 n2∴ λ> 1 ，综上，实数λ的取值范围是 1+∞) ．2 2 16．【答案】(4, 4)【解析】由题意知直线 OA 的斜率为正，设直线 OA 的斜率为 k (k > 0) ，则直线 OA 的方程为 y = kx ， ⎧ y 2 = 4x 4 4 16 16 ⎧ y 2 = 4x 直线 MN 的方程为 y = k (x -1) ，联立⎨ ，得 A ( , ) ，所以| OA |2= + ；联立⎨ ，⎩ y = kx k 2k k 4 k 2 ⎩ y = k (x - 1)2 2 2 22k 2 + 4 4 消去 y ，整理得 k x - (2k + 4)x + k = 0 ，设 M (x 1 , y 1 ), N (x 2 , y 2 ) ，则 x 1 +x 2 =k 2 =2+ k2 ， x 1 x 2 = 1 ， | MF | ⋅ | NF |= (1 + k 2 ) | x -1| ⋅ | x -1| = (1 + k 2 ) | x x - (x + x ) + 1| = 4(1 + 1 ) ．因为1成 1 2 1 2 1 2| MF |, | OA |,| NF | k 2 2等比数列，所以| MF | ⋅ | NF |= 1 | OA |2 ，即 4(1 + 4 1 ) = 4 k 2 k 4 + 4 ，所以 k 4= 1 ，解得 k = 1 ，故点 A 的坐标k 2 为(4, 4) ．17．（本小题满分 12 分）【解析】解法一：（1）由 AB = AC 可得∠BAC = π - 2C ， ∴ cos ∠BAC = -cos 2C = 2 sin 2 C - 1 = 2 ⨯ ( 2 5 )2 - 1 = 3．（2 分）5 5 ∵ AB = AC = AE + EC = 5 + 2 = 7 ，∴ BE 2 = AB 2 + AE 2 - 2AB ⋅ AE cos ∠BAE = 49 + 25 - 42 = 32 ，∴ BE = 4 ．（6 分）（2）由（1）知， cos ∠BAE = 3 ，∴ sin ∠BAE = 4，5 5∴ S △ABE= 1 AB ⋅ AE ⋅ sin ∠BAE = 1 ⨯ 7 ⨯ 5⨯ 4 = 14 ．（12 分） 2 2 5 解法二：（1）如图，取 BC 的中点 D ，连接 AD ，交 BE 于点 F ．a - a 2 n n 2理科数学第 5页（共 10页）22 ⨯ 7 ⨯ 4 2由题意得 AD ⊥ BC ，∵ AC = AE + EC = 5 + 2 = 7 ， sin C = 2 5 ，∴ cos C =5 ，55∴ CD = AC ⋅ cos C = 7 ⨯5 = 7 5 ，∴ BC = 2CD = 14 5，（3 分） 5 5 5∴ BE 2 = BC 2 + EC 2 - 2BC ⋅ EC ⋅ cos C = 196 + 22 - 2 ⨯ 14 5 ⨯ 2 ⨯ 5= 32 ，∴ BE = 4．（6 分） 5 5 5（2）由（1）知 BE = 4 ，AB 2 + BE 2 - AE 249 + 32 - 25 ∴ cos ∠ABE = = = 2 AB ⋅ BE ，（9 分） 2 ∴ sin ∠ABE = 2 ，2 ∴ S= 1 AB ⋅ BE ⋅ sin ∠ABE = 1 ⨯ 7 ⨯ 4 2 ⨯ 2= 14 ．（12 分） △ABE2 2 218．（本小题满分 12 分）【解析】（1）如图，作 PO ⊥ AC 于 O ，连接 BO ，由 PA = BA ， ∠PAC = ∠BAC ， AO = AO ，可得△PAO ≌△BAO ，所以∠AOB = ∠AOP = 90︒ ，所以OB ⊥ AC ，（3 分）又 PO BO = O ，所以 AC ⊥ 平面 PBO ，因为 PB ⊂ 平面 PBO ，所以 PB ⊥ AC ．（6 分）2 2理科数学第 6页（共 10页）3 6 3 2 72 7 144 ⎧⎪n ⋅ （2）由 PA = AB = 2 ， ∠PAC = ∠BAC = 60︒ ，可得OP = OB = 2sin 60︒ = ， OA = 2 cos 60︒ = 1 ，又 PB = ，所以OP 2 + OB 2 = PB 2 ，所以OP ⊥ OB ，所以OA ,OB ,OP 两两垂直，分别以OA ,OB ,OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O - xyz （如图），则 O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (0，3, 0), C (-3, 0, 0) ， P (0, 0, 3) ，AB = (-1, 3, 0) ， BC = (-3, - 3, 0) ，BP = (0, - 3, 3) ，BC = 0⎪⎧ -3x -3y = 0 设平面 BCP 的法向量为 n = (x , y , z ) ，则⎨，即⎨ ， ⎪⎩n ⋅ BP = 0 ⎪⎩- 3y + 3z = 0取 x = -1 ，则 y = 3, z = ，所以n = (-1, 3, 3) 是平面 BCP 的一个法向量，（10 分）设直线 AB 与平面 PBC 所成角为θ，则sin θ=| cos AB , n | AB ⋅ n | |= =| AB | ⋅ | n | =4= ， 7所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为19．（本小题满分 12 分）．（12 分）【解析】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128 + 135= 131.5 ，乙校学生数学成绩的中2位数为128 + 129= 128.5 ，所以这 40 份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的2 中位数高．（2 分）（2）由题意，作出 2 ⨯ 2 列联表如下：甲校乙校合计数学成绩优秀 10 7 17 数学成绩不优秀10 13 23 合计20204040 ⨯ (10 ⨯13 -10 ⨯ 7)2计算得 K 2的观测值 k = ≈ 0.9207 < 2.706 ，20 ⨯ 20 ⨯17 ⨯ 23所以没有 90 0 0 的把握认为数学成绩在 100 分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（8 分）（3）因为 X ~ N (110,144) ，所以μ= 110 ，σ== 12 ，| -1⨯ (-1) + 3 ⨯ 3 + 0 ⨯ 3 |(-1)2 + ( 3)2 + 02 ⨯ (-1)2 + ( 3)2 + ( 3)2 2 77理科数学第 7页（共 10页）(1, ) (1, ) ⎨ x PM PN ⎩所以 P (86 < X ≤ 134) = 0.9544 ，所以 P ( X > 134) =1 - 0.9544= 0.0228 ， 2由题意可知ξ~ B (3, 0.0228) ，所以 E ξ= 3⨯ 0.0228 = 0.0684 ．（12 分）20．（本小题满分 12 分）【解析】（1）由 e = 1（其中 e 为椭圆C2圆 x 2 + y 2 - 2x - 3y = 0 的圆心为 3 ，由 3 在椭圆 C 上，得 1 + 9= 1 ，即3a 2 = 1 ，2 = 4b 2 ，⎧3a 2 = 4b 2 联立⎪ 2 2⎧⎪a 2= 4 ，解得⎨， a 24b 2 ⎨ 1 ⎪⎩a 2 + 9 = 1 4b 2⎪⎩b 2= 3 x 2 + y 2 =故椭圆 C 的标准方程为 4 3⎧ y = mx + n 1 ．（4 分）（2）联立⎪ 2 + y 2 ，消去 y ，整理得(3 + 4m 2 )x 2 + 8mnx + 4n 2 -12 = 0 ， = 1 ⎪⎩ 4 3因为直线 y = mx + n 与椭圆 C 只有一个公共点 M ，所以∆= 64m 2 n 2 - 4(3 + 4m 2 )(4n 2 -12) = 0 ，即 n 2 = 3 + 4m 2 ，（6 分）设点 M 的坐标为(x , y ) ，则 x = - 4mn = - 4m , y = mx + n = 3 ，即 M (-4m 3，（8 分） M M M3 + 4m 2 n M Mn n , n )假设 x 轴上存在点 P (t , 0) ，使得以 MN 为直径的圆恒过点 P ，4m 3因为 N (4, 4m + n ) ，所以 PM = (- - t , ) ， PN = (4 - t , 4m + n ) ，n n则 ⋅ = (- 4m - t )(4 - t ) + 3 (4m + n ) = t 2 - 4t + 3 + 4m (t - 1) = 0 恒成立，n n n⎧t = 1所以⎨t 2 - 4t + 3 = 0 ，所以t = 1 ，即在 x 轴上存在点 P (1, 0) ，使得以 MN 为直径的圆恒过点 P ．（12 分）21．（本小题满分 12 分）【解析】（1）若 a = 2 ，则 g (x ) = x 2 - 2x ln x + 2 + x ln x = x 2 - x ln x + 2 ，所以 g' (x ) = 2x - ln x - 1 ，（2 分）因为函数 g (x ) 的图象在 x = t 处的切线的斜率 k = g' (t ) = 2t - ln t - 1 = 1 ，即 2t - ln t - 2 = 0 ，设ϕ(t ) = 2t - ln t - 2(t > 1 ) ，则ϕ' (t ) = 2 - 1> 0 ，2 t理科数学第 8页（共 10页）⎩ 所以ϕ(t ) 在( 1 ，+∞) 上是增函数，又ϕ(1) = 0 ，2所以 2t - ln t - 2 = 0 有唯一实数解t = 1 ，（2 分）因为 g (1) = 3 ，把(1, 3) 代入 y = x + b 得b = 2 ．（4 分）（2） ∀x ∈[1, e] ， f (x ) > -1 ，即 x - a ln x + a + 1> 0 ． x设 h (x ) = x - a ln x + a + 1，则 h (x ) 在[1, e]上的最小值 h (x ) x因为 h' (x ) = 1 - a - a + 1 = (x + 1)(x - a - 1)，（5 分）min> 0 ，x x 2 x 2①当 a + 1 ≤ 1即a ≤ 0 时，在区间[1, e] 上， h'(x ) ≥ 0 ，所以 h (x ) 单调递增，所以 h (x )min = h (1) = 2 + a > 0 ，所以-2 < a ≤ 0 ．（7 分）②当1 < a + 1 < e ，即0 < a < e - 1 时， x ∈[1, a + 1] 时 h'(x ) ≤ 0 ， h (x ) 单调递减， x ∈[a + 1, e] 时 h'(x ) ≥ 0 ， h (x ) 单调递增，所以 h (x )min = h (a + 1) = 2 + a - a ln(a + 1) ，由1 < a + 1 < e 可得0 < a ln(a + 1) < a ，所以 h (a + 1) > 2 > 0 ，满足题意．（9 分）③当 a + 1 ≥ e 即 a ≥ e - 1 时，在区间[1, e] 上， h'(x ) ≤ 0 ，所以 h (x ) 单调递减， a + 1e 2 + 1 e 2 + 1 所以 h (x )min = h (e) = e +e 2+ 1- a > 0 ，解得 a < e ，因为 > e -1， e -1 e -1所以e -1 ≤ a < e -1．（11 分） e 2 +1综上可得实数 a 的取值范围是(-2, ) ．（12 分）e -1 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）将ρcos θ= x ， ρ2 = x 2 + y 2 代入ρ2 - 2 | ρcos θ|= 3 ，得曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 | x |= 3 ，即(| x | -1)2 + y 2 = 4 ，（3 分）所以曲线 C 表示圆弧(x -1)2 + y 2 = 4(x ≥ 0) 及圆弧(x + 1)2 + y 2 = 4(x < 0) ．（5 分）⎧x = a - 2t （2）由⎨ y = 2t消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 x + y - a = 0 ，当直线 l 与圆弧(x -1)2 + y 2 = 4(x ≥ 0) 相切时（如图），得|1 + 0 - a |= 2 ， 2解得 a = 2 + 1 或 a = -2 + 1 （舍去）；（8 分）2 2理科数学第 9页（共 10页）2f (x ) ⎨x > 1 ⎩当直线 l 与圆弧(x + 1)2 + y 2 = 4(x < 0) 相切时，得| -1 + 0 - a |= 2 ， 2解得 a = 2 - 1 （舍去）或 a = -2 - 1，所以当-2 - 1 < a < 2 + 1 时直线l 与曲线C 有 2 个公共点，故 a 的取值范围为(-2 -1, 2 2 + 1) ．（10 分）23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲【解析】（1）当 a = 0 时， f (x ) =| 2x - 2 | + | x + 1| ，由题意， x ≠ 0 ， ①当 x < 0 时， f (x ) ≥ 3 | x | ⇔ f (x ) ≥ -3 ⇔| 2x - 2 | + | x + 1|> -3 ，该不等式恒成立；（3 分） x②当 x > 0 时， f (x ) ≥3 | x | ⇔| 2x - 2 | + | x + 1|≥ 3 ，x⇔ ⎧2x - 2 + x + 1 ≥ 3 ⎩ ⇔ x ≥ 4 ．3⎧-2x + 2 + x + 1 ≥ 3或⎨0 < x ≤ 1 综上可得 x < 0 或 x ≥ 4 ，故不等式 f (x ) ≥ 3 | x |的解集为(-∞, 0) [ 4 , +∞) ．（5 分）3 x 3（2）因为| 2x - 2 | + | x + 1| = 2 | x -1| + | x + 1| ≥| x - 1| + | x + 1| ≥| (x - 1) - (x + 1) | =2，当且仅当 x = 1 时等号成立，所以| 2x - 2 | + | x + 1| -a ≥ 2 - a ．（8 分）所以要使函数 y = 的值域为[0, +∞) ，应满足 2 - a ≤ 0 ，即 a ≥ 2 ，所以实数 a 的取值范围是[2, +∞) ．（10 分）2 2 2 2理科数学第10页（共10页）。

2019届山西省太原市第五中学高三下学期阶段性检测(4月)数学(理)试题解析

绝密★启用前2019届山西省太原市第五中学高三下学期阶段性检测（4月）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{|250}x xA x =-<，集合(){}2lg 2B x y x x ==--，则集合A B =U （）A ．(,1)(2,)-∞-+∞UB ．(2,)+∞C ．(2,)+∞ D ．(,1)(0,)-∞-+∞U答案：D求解出指数不等式250x x -<的解集作为A ，对数型函数()2lg 2y x x =--的定义域作为集合B ，由此求解出A B U 的结果. 解析：因为25x x <，所以215x⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()0,x ∈+∞，所以()0,A =+∞，又因为220x x -->，所以()(),12,x ∈-∞-+∞U ，所以()(),12,B =-∞-⋃+∞，所以()(),10,A B =-∞-+∞U U . 故选：C. 点评：本题考查利用指数函数单调性解不等式、对数型函数的定义域、集合的交集运算，难度较易.对数型函数求解定义域注意利用对数式的真数大于零去求解. 2．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p答案：C 因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.3．下列函数中，与函数||3x y =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（） A ．1||y x =- B ．33x x y -=-C ．0.5log y x =D ．sin ||y x =答案：C先分析||3x y =-的奇偶性以及在(),0-∞上的单调性，由此根据选项再逐项判断即可.解析：因为()||3x y f x ==-的定义域为R 关于原点对称，且()()33xxf x f x --=-=-=，所以()f x 是偶函数，当()0,x ∈+∞时，()3xf x =-为减函数；A ．因为()1||y f x x ==-的定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称，且()()11f x f x x x-=-=-=-，所以()f x 是偶函数，当()0,x ∈+∞时，()1f x x=-为增函数，不符合； B ．因为()33xxy f x -==-的定义域为R 关于原点对称，且()()()3333x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，不符合；C ．因为()0.5log y f x x ==的定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称，且()()0.50.5log log f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数，当()0,x ∈+∞时，()0.5log f x x =为减函数，符合； D ．因为()sin ||y f x x ==的定义域为R 关于原点对称，且()()sin sin f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数，且()0,x ∈+∞是，()sin f x x =，此时()f x 不是单调减函数，不符合. 故选：C. 点评：本题考查根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，难度一般.注意分析函数的奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称. 4．设11452797,,log 979a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A ．b a c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<答案：B由题意可得1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，157()9b -=，所以构造函数7f x)9x⎛⎫= ⎪⎝⎭（，由于f(x)是R 上的单调递减函数，11045-<-<,所以a>b>1,227log log 109c =<=,0c <,所以选B.5．在等比数列{}n a 中，“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A根据“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”与“81a =-”的互相推出情况，判断出是何种条件. 解析：因为4124123,1a a a a +=-=，所以4120,0a a <<，所以等比数列中4840a a q =<，所以81a ==-；又因为在常数列1n a =-中，81a =-，但是412,a a 不是所给方程的两根．所以在等比数列{}n a 中，“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =-”的充分不必要条件. 故选：A. 点评：本题考查数列与充分、必要条件的综合应用，难度一般.在等比数列{}n a 中，若()*2,,,,m n p q c m n p q c N +=+=∈，则有2m n p q c a a a a a ==.6．若(12)n x x -的展开式中3x 的系数为80，其中n 为正整数，则(12)nx x-的展开式中各项系数的绝对值之和为（） A ．32 B ．81C ．243D ．256答案：C由题意得44(2)805n C n -=∴=，()12nx x-的展开式中各项系数的绝对值之和为5(12)2431+=，选C.7．若tan()74πα+=，则2cos 2sin 2αα+=（）A ．6425 B ．4825C ．1D ．1625答案：A先计算出tan α的值，然后构造齐次式，将分子分母同除以2cos α即可计算出结果. 解析：因为tan()74πα+=，所以tan 171tan A A +=-，所以3tan 4α=，又222222314cos 4sin cos 14tan 644cos 2sin 2sin cos tan 125314ααααααααα+⨯+++====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以264cos 2sin 225αα+=. 故选：A. 点评：本题考查两角和的正切公式与同角三角函数的基本关系的综合应用，难度一般.已知tan α，求解22sin cos m n αα+的值，可变形为求解222222sin cos tan sin cos tan 1m n m n αααααα++=++的结果；求解sin cos sin cos n n n na b c d αααα++的值，可变形为求解tan tan n n a b c dαα++的结果.8．已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝222x x -B ．f (x )＝2cos xx C ．f (x )＝－2cos xxD ．f (x )＝cos xx答案：D由函数的图象可知函数是奇函数，排除2cosxf x x =（）， x π=时，2222022x f x x ππ--==（）＜， 210cos f x πππ==（）＞，不满足题意；10cos f x πππ==-（）＜，因为cosx f x x =（）是奇函数2x π=±，时，20xsinx cosx f x f x x--='=（），（）所以函数的解析式可能是D ．22122x xf x x x -==-（），函数是奇函数，零点为：2x =± ，当0202x f x x ∈（，），（）＞，＞时，0f x （）＜，当x →+∞ 时，y →-∞ ，所以排除A ，故选D ．9．若x ，y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-答案：D试题分析：作出不等式组20{200x y kx y y +-≥-+≥≥，所表示的平面区域，如下图：由图可知：由于直线20kx y -+=过定点(0,2)，只需它还过点(4,0)即可，4020k ∴-+=，解得：12k =-．故选D ．【考点】线性规划．10．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．33B ．23C ．22D ．1答案：C试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得：02000223222263OM y k y p y pp y p ==≤=++，当且仅当22002,2y p y p ==时取等号，故选C ．【考点】1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．11．已知点、、分别是正方体的棱、、的中点，点、、、分别在线段、、、上，则以、、、为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：C 试题分析：当重合、重合、重合、重合时，三棱锥的俯视图为;当是所在线段的中点时，三棱锥的俯视图为;当是所在线段的非端点位置，而重合时，三棱锥的俯视图为,故选【考点】1.三视图；2.几何体的特征. 12．关于函数2()ln f x x x=+,下列说法正确的是（）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>A ．(1)(2)(3)(4)B ．(2)(4)C ．(2)(3)D ．(3)(4)答案：B依次判断各个选项：（1）利用导数与极值的关系可知2x =是()f x 的极小值点，则（1）错误；（2）利用导数研究()y f x x =-的单调性，结合零点存在定理判断可知（2）正确；（3）采用分离变量的方式，通过求解()22ln x xg x x+=的单调性和极限，可判断出0k ≤，则（3）错误；（4）构造函数()()()22x f x f x μ=--+，通过导数可求得()0x μ<，从而可确定22x x =-时，12x x >+，从而证得结论，知（4）正确.解析：（1）()22212x f x x x x-'=-+= 当()0,2x ∈时，()0f x '<，此时()f x 单调递减当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增可知2x =是()f x 的极小值点，可知（1）错误（2）()2221x x y f x x-+-''=-= 220x x -+-<Q 0y '∴<，即()y f x x =-在()0,∞+上单调递减又()112110f -=-=>；()22ln 10f e e e e e e=+-=+-< 则()01,x e ∃∈，使得()000y f x x =-=由函数单调性可知()y f x x =-有且只有1个零点，可知（2）正确（3）若()f x kx >在()0,x ∈+∞上恒成立，则()22ln 2ln x f x x x x k x x x ++<==令()22ln x x g x x +=，则()3ln 4x x x g x x --'= 令()ln 4h x x x x =--，则()1ln 1ln h x x x '=--=-()0,1x ∴∈时，()0h x '>；()1,x ∈+∞时，()0h x '< ()()11ln1430h x h ∴≤=--=-< ()0g x ∴'<即()g x 在()0,∞+上单调递减又0x →时，()0g x → 0k ∴≤∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，可知（3）错误（4）由（1）可知，()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增令()()()24222ln 42x xx f x f x x xμ+=--+=+--，()0,2x ∈ 则()()()()()()()()22222222222444222241648242444x x xx x x x x x x x x xx x μ--⋅-++---'=+⋅=+=-+-----()0x μ'∴<，即()x μ在()0,2上单调递减 ()()00x μμ∴<=即()()22f x f x -<+12x x >Q ，令22x x =-，由()()12f x f x =，即()()120f x f x -=12x x ∴>+124x x ∴+>，可知（4）正确综上所述，说法正确的为：（2）（4）本题正确选项：B 点评：本题考查导数在函数中的应用问题，涉及到求解函数单调性和极值、判断函数零点个数、恒成立问题的求解和零点偏移的问题.关键是能够根据求解内容的不同，构造出不同的函数，通过函数的最值、单调性来进行综合判断.本题对于学生导数运算能力和分析能力要求较高，属于难题.二、填空题13．已知非零向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r r ，向量,a b r r 的夹角为120o，且||2||b a =r r ，则向量a r 与c r的夹角为．答案：90︒ 试题分析：由a b c ++=r r r r 可得2()||||cos120a c b a a c a b a a c a b +=-⇒⋅+=-⋅⇒+⋅=-⋅︒r r r r r r r r r r r r r221||||2||()||02a a c a a a a c ⇒+⋅=-⨯⨯-=⇒⋅=r r r r r r r r ，因为,a c r r 为非零向量，所以a c ⊥r r ，即,90a c <>=︒r r.【考点】1.平面向量的数量积；2.两向量垂直的条件.14．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆(()2211x y +-=相切，则此双曲线的离心率为___．答案：2求出双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程：b y x a =±，利用渐近线与圆(()2211x y +-=相切列方程即可求解。

2019届高三数学第三次联考试题理(含解析)

2019届高三数学第三次联考试题理（含解析）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可【详解】故选B【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则集合可以为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合A,再依次验证选项即可.【详解】因为，可以依次验证选项，得到当时，.故答案为D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题目. 3.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：由此表估计这100名小学生身高的中位数为（）（结果保留4位有效数字）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.4.将函数f（x）=cos（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g （x）的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由伸缩变换确定g(x),再求周期公式计算即可【详解】由题,∴T==故选B【点睛】本题考查三角函数伸缩变换，准确记忆变换原则是关键，是基础题.5.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e=.故选B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.6.若函数f（x）=有最大值，则a取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.故选B.【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.7.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A. 32B. 40C.D.【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题8.设x，y满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案．【详解】如图，作出约束条件表示的可行域.由图可知，当直线经过点时.z取得最大值；当直线经过点时，z取得最小值.故，故选A．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题．9.若存在等比数列，使得，则公比的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将原式表示为的关系式，看做关于的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可.【详解】由题设数列的公比为q(q≠0),则,整理得=0,当时，易知q=-1，符合题意；但q≠0,当≠0时，，解得故q的最大值为故选D【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，准确转化为的二次方程是关键，是中档题.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，则异面直线AC1与BE所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取靠近的四等分点F，连接则∥BE,连接AF,∴∠A或其补角为所求,在A中利用余弦定理即可求解.【详解】取靠近的四等分点F，连接则∥BE,连接AF,∴∠A或其补角为所求，设正方体的边长为4，则∠A故选D【点睛】本题考查异面直线所成的角，作平行线找角是基本思路，准确计算是关键，是基础题.11.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nSn的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可.【详解】∵解得∴设当0<x<7时，当x>7时，,故最小值为f(7)=-343.故选A.【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键，是中档题.12.已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P为C 上一点，且P在第一象限．记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当2k1+k2取得最小值时，△PAB的重心坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设A（，0），B（，0），P（x，y），得到＝2，利用基本不等式求解最值，得到P的坐标，进而得到△PAB重心坐标.【详解】解：设A（，0），B（，0），P（x，y）由题意，，，∴2，2+≥24，当且仅当2k1＝时取等号，此时＝1，PA的方程为y＝x+1，，PB的方程为y＝2联立方程：，解得P∴重心坐标为故选B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.的展开式的第项为_______．【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题展开式的第2项为故答案为【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题.14.在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（-2，0），，则点D的坐标为______．【答案】【解析】先求再求进而求D即可【详解】由题,故D(6,1)故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，准确计算是关键，是基础题15.若函数则_____．【答案】6【解析】【分析】确定,再由对数的运算性质代入求值即可【详解】由题-故答案为6【点睛】本题考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题.16.过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则__________．【答案】【解析】由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t 的方程求出t值即可求解【详解】设切点坐标为即,解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即2a+6,解得故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，转化两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，.（1）求；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得a,b值，再由余弦定理求c边即可求解.【详解】（1）∵，∴，∴.（2）设的内角的对边分别为.∵，∴，∵，∴，.由余弦定理可得，则，的周长为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c边是关键，是基础题.18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售；不低于100箱通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4．（1）甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位各自达成的成交价相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件650箱，求购买总价X的数学期望．【答案】（1）0.76；（2）120640元.【解析】【分析】（1）先求甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率，再由对立事件得概率即可求解；（2）先写出在折扣优惠中每箱零件的价格为的取值，再列分布列求解即可【详解】（1）因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为，所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率.（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为元，则或188.的分布列为1840.6则.从而购买总价的数学期望为元.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，对立事件的概率，是基础题.19.已知是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．（2）若直线与交于，两点，且，求线段垂直平分线在轴上的截距．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去，根据韦达定理求解出，从而可得中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.【详解】（1）是抛物线上一点根据题意可得：，，，，依次成等比数列（2）由，消可得，设的中点，线段的垂直平分线的斜率为故其直线方程为当时，【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.20.如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=1．（1）证明：平面ADEF⊥平面ABF．（2）若AF⊥平面ABCD，二面角A-BC-E为30°，三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，求二面角A-CD-O的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】证明平面即可证明平面平面（2）由题确定二面角的平面角为，进而推出为线段的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系由空间向量的线面角公式求解即可【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，又，，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，又，则平面，从而，又，所以二面角的平面角为.以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，，.因为三棱锥的外接球的球心为，所以为线段的中点，则的坐标为，.设平面的法向量为，则，即令，得.易知平面的一个法向量为，则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，空间向量计算线面角，第二问确定球心O的位置是关键，是中档题.21.已知函数f（x）的导函数f（x）满足（x+xlnx）f（x）＞f （x）对x∈（1，+∞）恒成立．（1）判断函数g（x）=在（1，+∞）上的单调性，并说明理由；（2）若f（x）=ex+mx，求m的取值范围．【答案】（1）在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）对求导利用已知条件即可判断单调性；（2）将代入条件，转化为恒陈立，求，讨论的正负求解即可【详解】（1）由，，得.，则，故在上单调递增.（2）∵，∴，即.设函数，，∵，∴，为增函数，则.当，即时，，则在上单调递增，从而.当，即时，则，，若，；若，.从而，这与对恒成立矛盾，故不合题意.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查导数与函数的单调性问题，不等式恒成立问题，明确第二问分类讨论的标准是关键，是中档题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）若与相交于两点，，求；（2）圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径．【答案】（1）6；（2）13.【解析】【分析】（1）将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，利用求解得到结果；（2）写出的普通方程并假设圆的直角坐标方程，利用弦长为建立与的关系，再结合圆心到直线距离公式得到方程，解方程求得，即为圆的半径.【详解】（1）由，得将代入，得设两点对应的参数分别为，则故（2）直线的普通方程为设圆的方程为圆心到直线的距离为因为，所以解得：或（舍）则圆的半径为【点睛】本题考查直线参数方程中参数的几何意义、极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程.解决直线参数方程问题中距离之和或积的关键，是明确直线参数方程标准形式中的参数的几何意义，将距离问题转化为韦达定理的形式.23.设函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（2）零点分段分情况证明再由绝对值不等式证明即可【详解】（1）∵，∴，即，当时，显然不合；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）证明：当时，；当时，，则；当时，，则.∵，∴.∵，∴.故.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，证明不等式，熟练运算是关键，是中档题2019届高三数学第三次联考试题理（含解析）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可【详解】故选B【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则集合可以为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合A,再依次验证选项即可.【详解】因为，可以依次验证选项，得到当时，.故答案为D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题目.3.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：由此表估计这100名小学生身高的中位数为（）（结果保留4位有效数字）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.4.将函数f（x）=cos（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由伸缩变换确定g(x),再求周期公式计算即可【详解】由题,∴T==故选B【点睛】本题考查三角函数伸缩变换，准确记忆变换原则是关键，是基础题.5.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e=.故选B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.6.若函数f（x）=有最大值，则a取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.故选B.【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.7.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A. 32B. 40C.D.【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题8.设x，y满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案．【详解】如图，作出约束条件表示的可行域.由图可知，当直线经过点时.z取得最大值；当直线经过点时，z取得最小值.故，故选A．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题．9.若存在等比数列，使得，则公比的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将原式表示为的关系式，看做关于的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可.【详解】由题设数列的公比为q(q≠0),则,整理得=0,当时，易知q=-1，符合题意；但q≠0,当≠0时，，解得故q的最大值为故选D【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，准确转化为的二次方程是关键，是中档题.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，则异面直线AC1与BE所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取靠近的四等分点F，连接则∥BE,连接AF,∴∠A或其补角为所求,在A 中利用余弦定理即可求解.【详解】取靠近的四等分点F，连接则∥BE,连接AF,∴∠A或其补角为所求，设正方体的边长为4，则∠A故选D【点睛】本题考查异面直线所成的角，作平行线找角是基本思路，准确计算是关键，是基础题.11.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nSn的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可.【详解】∵解得∴设当0<x<7时，当x>7时，,故最小值为f(7)=-343.故选A.【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键，是中档题.12.已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P为C上一点，且P在第一象限．记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当2k1+k2取得最小值时，△PAB的重心坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设A（，0），B（，0），P（x，y），得到＝2，利用基本不等式求解最值，得到P 的坐标，进而得到△PAB重心坐标.【详解】解：设A（，0），B（，0），P（x，y）由题意，，，∴2，2+≥24，当且仅当2k1＝时取等号，此时＝1，PA的方程为y＝x+1，，PB的方程为y＝2联立方程：，解得P∴重心坐标为故选B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.的展开式的第项为_______．【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题展开式的第2项为故答案为【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题.14.在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（-2，0），，则点D的坐标为______．【答案】【解析】【分析】先求再求进而求D即可【详解】由题,故D(6,1)故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，准确计算是关键，是基础题15.若函数则_____．【答案】6【解析】【分析】确定,再由对数的运算性质代入求值即可【详解】由题-故答案为6【点睛】本题考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题.16.过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则__________．【答案】【解析】【分析】由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t的方程求出t值即可求解【详解】设切点坐标为即,解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即2a+6,解得故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，转化两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，.（1）求；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得a,b值，再由余弦定理求c边即可求解.【详解】（1）∵，∴，∴.（2）设的内角的对边分别为.∵，∴，∵，∴，.由余弦定理可得，则，的周长为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c边是关键，是基础题.18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售；不低于100箱通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4．（1）甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位各自达成的成交价相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件650箱，求购买总价X的数学期望．【答案】（1）0.76；（2）120640元.【解析】【分析】（1）先求甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率，再由对立事件得概率即可求解；（2）先写出在折扣优惠中每箱零件的价格为的取值，再列分布列求解即可【详解】（1）因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为，所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率.（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为元，则或188.的分布列为1840.6则.从而购买总价的数学期望为元.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，对立事件的概率，是基础题.19.已知是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．（2）若直线与交于，两点，且，求线段垂直平分线在轴上的截距．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去，根据韦达定理求解出，从而可得中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.【详解】（1）是抛物线上一点根据题意可得：，，，，依次成等比数列（2）由，消可得，设的中点，线段的垂直平分线的斜率为故其直线方程为当时，【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.20.如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=1．（1）证明：平面ADEF⊥平面ABF．（2）若AF⊥平面ABCD，二面角A-BC-E为30°，三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，求二面角A-CD-O的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】证明平面即可证明平面平面（2）由题确定二面角的平面角为，进而推出为线段的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系由空间向量的线面角公式求解即可【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，又，，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，又，则平面，从而，又，所以二面角的平面角为.以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，，.因为三棱锥的外接球的球心为，所以为线段的中点，则的坐标为，.设平面的法向量为，则，即令，得.易知平面的一个法向量为，则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，空间向量计算线面角，第二问确定球心O的位置是关键，是中档题.21.已知函数f（x）的导函数f（x）满足（x+xlnx）f（x）＞f（x）对x∈（1，+∞）恒成立．（1）判断函数g（x）=在（1，+∞）上的单调性，并说明理由；（2）若f（x）=ex+mx，求m的取值范围．【答案】（1）在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）对求导利用已知条件即可判断单调性；（2）将代入条件，转化为恒陈立，求，讨论的正负求解即可【详解】（1）由，，得.，则，故在上单调递增.（2）∵，∴，即.设函数，，∵，∴，为增函数，则.当，即时，，则在上单调递增，从而.当，即时，则，，若，；若，.从而，这与对恒成立矛盾，故不合题意.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查导数与函数的单调性问题，不等式恒成立问题，明确第二问分类讨论的标准是关键，是中档题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.。

山西省等五校2020届高三第三次五校联考数学理试题

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合{}2|340A x x x =+->，集合{}|23B x x =-<≤，且M AB =，则有（） A ．1M -∈ B ． 0M ∈ C ． 1M ∈ D ．2M ∈ 2.在ABC ∆中，0,120a A ==，则角B 的大小为（）A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ．90°3.已知等比数列{}n a 共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是（） A ．32B ．C ．2 D． 4.已知命题2:4,log 2p x x ∀≥≥；命题:q 在ABC ∆中，若3A π>，则sin A >．则下列命题为真命题的是（）A ． p q ∧B ． ()p q ∧⌝C ． ()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨5.已知非零向量a b 、满足23,22a b b a b =-=+，则a 与b 的夹角的余弦值为（） A ．23 B ． 34 C ．13 D ．146.已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()()ln 2f x x x x x =-++，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为（）A ． 23y x =+B ． 23y x =-C ． 23y x =-+D ．23y x =--7.实数,x y 满足1030270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，若2x y m -≥恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ． (],3-∞-B ．(],4-∞-C ． (],6-∞D ．[]0,68.如图，在ABC ∆中，,3,1AD AB BC BD AD ⊥==，则AC AD 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（） A ． 25-B ．25C ． 210-D ．21010.已知,x y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为（） A ．53 B ． 103 C ． 32D ．3 11.函数()()21616log x x f x x -=-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．12.设函数()3236222x x f x e x x x ae x ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，若不等式()0f x ≤在[)2,-+∞上有解，则实数a 的最小值为（） A ． 312e -- B ．322e -- C ． 3142e -- D ．11e-- 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上）13.已知函数()35sin ,021log ,06x x f x x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则(f f ⎡⎤=⎣⎦__________．14.设,x y R ∈，向量()()(),2,1,,2,6a x b y c ===-，且,b//c a c ⊥，则a b +=__________．15.已知函数()sin 2y k kx πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭与函数26y kx k =-+的部分图像如图所示，则ϕ=____________．16.已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142,n n S S n n n N -++=≥∈，若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是_____________ .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，设角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,sin cos 4sin cos 0b C A c A B -=．（1）求证：tan 4tan B A =；（2）若()tan 3,3,b 5A B c +=-==，求a 的值． 18.（本小题满分12分）已知公比小于1的等比数列{}n a 的前n 项和为1231,,722n S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21log 1n n b S +=-，若13352121111521n n b b b b b b -++++=，求n ． 19.（本小题满分12分）已知函数()2cos 24sin sin 24x f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭．（1）将函数()2f x 的图像向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像，若,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()g x 的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，且满足()2,2sin ,0,2b f A b A B π⎛⎫==+=∈ ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积．20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且对任意正整数n ，满足1220n n a S ++-=．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）设2n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21. (本小题满分12分）设:p 函数()33axf x x e =在区间(]0,2上单调递增；:q 函数()2ln ag x ax x x=-+在其定义域上存在极值．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 22.（本小题满分12分）已知函数()22ln ,0f x x ax a x a =++≤．（1）若当2a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()()1212f x e a >+，求a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题136π- 16. ()3,5 三、解答题17．解：（1）∵sin cos 4sin cos 0b C A c A B -=，∴sin cos 4sin cos b C A c A B =，．．．．．．．．．．．1分由正弦定理，得sin sin cos 4sin sin cos B C A C A B =，即sin cos 4sin cos B A A B =．．．．．．．．．．3分 ∵A 为锐角，∴34tan ,cos 45A A ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴22242cos 259253105a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即a =．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，∵2372a S =，∴213522a a a =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分则22520q q -+=，解得12q =或2q =（舍去），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分故1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）∵11111112211212n n n S +++⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()21log 11n n b S n +=-=--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴()()21211111122241n n b b n n n n -+⎛⎫==- ⎪---+⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 1335212111111111111114223141n n b b b b b b n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，．．．．．．．11分由11514121n ⎛⎫-=⎪+⎝⎭，得20n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：()2cos 24sin sin 24x f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭ 1cos 2cos 2x 4sinx 2x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 12sin x =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（1）平移可得()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当12x π=时，()min 0g x =；当512x π=时，()max 3g x =．．．．．．．．．．．．．6分 ∴所求值域为[]0,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（22sin b A =2sin sin A B A =，．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴sin B =，∵02B π<<，∴3B π=，由()1f A =+得sin A =a b =<，∴4A π=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分由正弦定理得：a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴11sin 222ABC S ab C ∆===．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）因为1220n n a S ++-=，所以，当2n ≥时，1220n n a S -+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分两式相减得112220n n n a a S +--+-=，即111220,2n n n n n a a a a a ++-+==．．．．．．．．．．．．．3分又当1n =时，212122220a S a a +-=+-=，所以211122a a ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以{}n a 是以首项11a =，公比12q =的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，214n n n nb na -==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分则22123114444n n n n nT ---=+++++，① 3231442444n n n n nT ---=+++++，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②—①得321111354444n n n n nT ---=++++-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 11634334n n -+=-⨯，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以，数列{}n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）因为()()2333233331axax ax f x x e ax e x e ax '=+=+，所以()()23310axf x x eax '=+≥对(]0,2x ∈恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因为2330ax x e >，所以10ax +≥对(]0,2x ∈恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分所以max 112a x ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，即a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）对于()()22222,2ln ,a a ax x aq g x ax x g x a x x x x ++'=-+=++=，．．．．．．．．．5分若()()0,0,a g x g x '≥>在定义域内单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题意；．．．．．．6分若0a <，则10a->，由2440a ∆=->，解得10a -<<．所以，若q 为真命题，则10a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以命题p 与q 一真一假，①p 真q 假时，1201a a a ⎧≥-⎪⎨⎪≥≤-⎩或，解得0a ≥， ②p 假q 真时，1210a a ⎧<-⎪⎨⎪-<<⎩，解得112a -<<-综上所述，a 的取值范围为[)11,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）由题意得()0,x ∈+∞，当2a =-时，()()2224242ln ,x x f x x x x f x x --'=--==，．．．．2分 ∴当(0,1x ∈+时，()0f x'<，当()1x ∈++∞时，()0f x '>，．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴()f x 的单调减区间是(0,1+，单调增区间是()1++∞．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）①当0a =时，()20f x x =>，显然符合题意；②当0a <时，()222x ax af x x++'=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分对于22220,480x ax a a a ++=∆=->，∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在()00,x ∈+∞，使得200220x ax a ++=，即()00f x '=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()()220000000000min 2ln ln ln 222a a a f x f x x ax a x x ax ax a x ax a x ⎛⎫==++=+++-+=-+ ⎪⎝⎭， ∵()()1212f x e a >+，∴0212ln 21x x e -+<+，即00ln 1x x e +<+，由于()ln g x x x =+在()0,+∞上是增函数， ∴00x e <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由200220x ax a ++=得20221x a x =-+，设()2221x h x x =-+，则()()2244021x x h x x +'=-<+，∴ 函数()2221x h x x =-+在()0,e 上单调递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴220022,02121x e x e ⎛⎫-∈- ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上所述，实数a 的取值范围22,021e e ⎛⎤-⎥+⎝⎦……………………………12分。

2019届山西省五地市高三上学期期末联考数学(理)试题(解析版)

2019届山西省五地市高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题 1．若复数z 满足221zi =+（）1﹣i ，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】直接计算复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．【详解】由题意可知，212zi i=-， (1)1z i i i ∴=-=+，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，∴复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故选：A ．【点睛】本题考查了复数的代数形式的运算及其几何意义，是基础题．2．已知集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣3≤0}，N ＝{x ||x |（x ﹣2）＞0}，全集U ＝R ，则下列关于集合M ，N 叙述正确的是（） A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝NC ．（∁U M ）∩N ＝∅D ．N ⊆（∁U M ）【答案】D【解析】可以求出集合M ，N ，然后进行交集、并集和补集的运算，从而判断出每个选项的正误．【详解】Q 3{|1},{|2}2M x xN x x =-=>剟，U =R ， {|1U C M x x ∴=<-或3}2x >∴3,|12M N M N x x x ⎧⎫=∅=-≤≤>⎨⎬⎩⎭I U 或2，(){|2}U M N x x N =>=I ð，()U N M ⊆ð．故选：D ．【点睛】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的混合运算，子集、空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．3．双曲线2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的一个顶点到一条浙近线的距离等于243a c，则双曲线的离心率为（） A ．54BC ．53D【答案】C【解析】先求解双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式，可求离心率. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为by x a=±，不妨设一个顶点为(,0)a ，243c a =，22222169b a b a c =+，因为222b c a =-，代入解得53e =. 故答案为：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据题意构建,,a b c 的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知等差数列{a n }，a 1＝2，若a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列，则S 10＝（） A ．852B ．132C ．﹣70或852D ．﹣16或132【答案】A【解析】先a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列求出等差数列的公差，结合求和公式可得. 【详解】设等差数列的公差为d ，因为a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列，所以()()231628a a a +=+，()()2242510d d +=+，解得12d =或2d =-，当2d =-时，320a +=与等比数列不符，舍去；当12d =时，10109185102222S ⨯=⨯+⨯=；故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合，等差数列的求和的关键是确定基本量，侧重考查数学运算的核心素养.5．已知实数,x y 满足约束条件121x y x y y a +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数3z x y =-的最大值为2，则a的值为（） A ．-1 B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由约束条件作出可行域如图所示，其中(1,)A a a --，1(,)2a B a +，(0,1)C -，目标函数3z x y =-可化为3y x z =-，当直线过点B 时z 最大，所以3(1)22a a +-=，解得1a =，故选:C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b <<【答案】A【解析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系．【详解】解：因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2(ln2)＜1，∴c ＜a ＜b ．故选A ．【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．1433B ．1333C ．43D ．33【答案】C【解析】先通过三视图还原几何体，再利用棱锥的体积公式求解. 【详解】根据三视图可知，该几何体可由一个大正四棱锥挖去一个小正四棱锥而得，如图所示，2233332⎛⎫-=⎪⎝⎭几何体的体积为22132133314333⨯-⨯= 故选C. 【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的体积，一般步骤是根据三视图还原出原几何体的形状，得出几何体中各量的大小，再求几何体的体积. 注意三视图中正视图与侧视图能够反映几何体的高.8．函数f （x ）101101x x -=+（）lgx 2的图象大致为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】结合所给函数的性质及特殊值可求. 【详解】因为()22()101110()()lg ()lg 101110x x x xf x f x x x --+==----=-+，所以()f x 为奇函数，排除选项C ；当10x =时，(10)2f ≈，排除选项D ；当0.1x =时，(0.1)0f ≈，排除选项A. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，利用函数性质结合特殊值是常用求解方法，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养. 9．已知角α4π+的终边与单位圆x 2+y 2＝1交于P （x 0，13），则sin 2α等于（） A ．19B ．79-C ．23-D ．13【答案】B【解析】先根据三角函数的定义求解sin()4πα+，然后利用倍角公式可得.【详解】因为角4πα+的终边与单位圆x 2+y 2＝1交于P （x 0，13），所以1sin()43πα+=，即2sin cos αα+=，212sin cos 9αα+=，所以7sin 29α=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，熟记倍角公式和基本关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-【答案】D【解析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案．【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-．故选：D ．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题．11．已知抛物线()2:80C y ax a =>的焦点F 与双曲线()22:102x y D a a a-=>+的焦点重合，过点F 的直线与抛物线C 交于点,A B ，则2AF BF +的最小值为（） A．3+B．6+C ．7D ．10【答案】B【解析】由双曲线方程求出焦点坐标，设AB 的方程为：2x my =+，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合基本不等式求||2||AF BF +的最小值．【详解】由题意得，2a =1a =，则(2,0)F ，设AB 的方程为：2x my =+，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，得28160y my --=．设211(,)8y A y ，22(8y B ，2)y ，则1216y y =-． 222212122||2||22(2)6888y y y y AF BF +∴+=+++=+66+=+…当且仅当22122y y =，即12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质、考查直线与抛物线位置关系的应用、基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．12．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 是线段A 1C 的中点，则△ADE 在翻折过程中，下列命题：①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ③点M 的运动轨迹是一个圆； ④存在某个位置，使得MB ⊥面A 1DE . 正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】利用翻折过程中的不变关系进行逐个验证. 【详解】取CD 的中点F ，连接,MF BF ，则1//,//MF A D BF DE ，所以平面//BMF 平面1A DE ，所以//MB 平面1A DE ，故④不正确；不妨设2AB a =，因为11=A D A E ，所以14A DE MFB π∠=∠=，11=22aMF A D =是定值，=2BF DE a =也是定值，由余弦定理可知MB 也是定值，故①正确，③不正确，因为M 在以B 为球心的球面上；由题意可得=2DE CE a =，2CD a =，所以222CD DE CE =+，即DE CE ⊥;若②成立，可得DE ⊥平面1A EC ，此时1DE A E ⊥，矛盾，故②不成立；故选：A.【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，翻折问题的处理要明确，翻折过程中哪些量发生变化是关键，侧重考查直观想象的核心素养.二、填空题13．已知向量a =r （x ，2），b =r （﹣2，1），若a r 与2a b -r r 共线，则b a=r r _____. 【答案】12. 【解析】根据平面向量共线定理列方程求出x 的值，再计算||||b a r r 的值．【详解】向量(,2)a x =r，(2,1)b =-r ，则2(22,3)a b x -=+rr ，又a r与2a b -rr共线，所以32(22)0x x -+=，4x =-，所以2a b =r r ，即12b a =r r ，所以||1||2b a =rr ．故答案为：12．【点睛】本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．14．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，其前n 项和为S n ，且S 2＝6，S 4＝30，数列{b n }满足b n ＝log 2a n 2﹣1，则数列{11n n b b +}前n 项和T n ＝_____.【答案】21nn +. 【解析】先根据S 2＝6，S 4＝30，求出n a ，然后可求n b ，利用裂项求和可得n T . 【详解】因为S 2＝6，S 4＝30，所以234422124a a S S q S a a +-===+，因为0q >，所以2q =；由2121(1)6S a a a q =+=+=得12a =，所以2nn a =；22log 121n n b a n =-=-，()()111111()212122121n n b b n n n n +==--+-+，所以11111111(1)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++L . 故答案为：21nn +. 【点睛】本题主要考查数列的求和，求和问题一般是根据通项公式的特点选择合适的求和方法，侧重考查数学运算的核心素养.15．一个五位自然数12345a a a a a 数称为“跳跃数”，如果同时有12233445a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＞＜＜＞或12233445a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＞＜＞＜（例如13284，40329都是“跳跃数”，而12345，54371，94333都不是“跳跃数”），则由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，4不相邻的“跳跃数”共有_____个. 【答案】14【解析】根据1，4不相邻及“跳跃数”的特点分类进行求解. 【详解】若为“M ”型：①第二位和第四位是4、5时，4、5的排法有2种，则1只有1种排法，2、3安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数； ②第二位和第四位是3、5时，3、5的排法有2种，则4只有1种排法，1、2安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数；若为“W ”型：③第二位和第四位是1、2时，1、2的排法有2种，则4只有1种排法，3、5安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数；④第二位和第四位是1、3时，1、3的排法有2种，此时只有2个跳跃数；则一共有4+4+4+2＝14个跳跃数；故答案为：14. 【点睛】本题主要考查排列问题，限制条件较多的排列问题一般是先分类再分步处理，注意要优先考虑特殊元素和特殊位置，侧重考查逻辑推理的核心素养.三、解答题16．已知函数()xae f x x =，[]1,2x ∈，且[]12,1,2x x ∀∈，12x x ≠，()()12121f x f x x x <--恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】24e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】先由()()12121f x f x x x <--恒成立，得到()()1122120---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦<-f x x f x x x x 恒成立，令()()g x f x x =-，得到()()12120g x g x x x -<-在[]1,2x ∈上恒成立，所以函数()()g x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，对函数求导，得到()2110--≤x ae x x在[]1,2x ∈上恒成立，推出()21≤-x x a x e 在(]1,2x ∈上恒成立，令()2()1=-x x h x x e，用导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果. 【详解】因为[]12,1,2x x ∀∈，12x x ≠，()()12121f x f x x x <--恒成立，即()()121210--<-f x f x x x 恒成立，即()()1122120---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦<-f x x f x x x x 恒成立，令()()g x f x x =-，则()()12120g x g x x x -<-在[]1,2x ∈上恒成立，即函数()()g x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，又()221()()111--''=-=-=-x x xae x axe ae g x f x x x，因此()2110--≤x ae x x在[]1,2x ∈上恒成立，当1x =时，不等式可化为10-≤显然成立；当(]1,2x ∈时，不等式()2110--≤x ae x x 可化为()21≤-x x a x e ，令()2()1=-x x h x x e，则()()()()23322222222(1)22()0111--+---+-'===<---x xxxxx x x x x e x e x x xh x x ex ex e在区间(]1,2x ∈上恒成立，所以函数()2()1=-x x h x x e 在区间(]1,2x ∈上单调递减，因此min 24()(2)==h x h e ，所以24≤a e ，即实数a 的取值范围是24e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，. 【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数，熟记导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.17．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，cos cos 0c A C +=，3tan(20192)4A π+=. （1）求tan C 的值；（2）若C 为钝角且c =△ABC 的周长的取值范围. 【答案】（1）（2）（2【解析】（1）先根据条件求解tan A ，然后结合正弦定理可得tan C ；（2）求解角C ，结合正弦定理表示出三角形的周长，结合角的范围可得周长的取值范围. 【详解】（1）因为3tan(20192)4A π+=，所以22tan 3tan 21tan 4A A A ==-.A ∈（0，π）.解得1tan 3A =或tan 3A =-. 因为cos 33cos 0c A a C +=，所以sin cos 33sin cos 0C A A C +=，所以tan 33tan 3C A =-=-或93.（2）若C 为钝角，所以tan 3C =-，C ∈（0，π）. 所以23C π=. 又3c =，所以A +B 3π=，322sin sin sin 3a b A B π===. 所以2sin ,2sin a A b B ==.△ABC 的周长＝2sin 2sin 3A B ++2sin 2sin()33A A π=+-+2sin()33A π=++A ∈（0，3π），A 3π+∈（3π，23π），所以3sin()(,1]3A π+∈. 所以△ABC 的周长的范围为(23,23]+. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理求解三角形，三角形中的范围问题一般是转换为角的表达式，然后根据角的范围求解，侧重考查数学运算的核心素养.18．如图所示的多面体ABCDEF 满足：正方形ABCD 与正三角形FBC 所在的两个平面互相垂直，FB ∥AE 且FB ＝2EA ．（1）证明：平面EFD ⊥平面ABFE ；（2）求二面角E ﹣FD ﹣C 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）155-【解析】（1）先证明AB ⊥平面BCF ，然后可得平面EFD ⊥平面ABFE ；（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，然后利用向量的夹角公式可求. 【详解】（1）由题可得，因为ABCD 是正方形且三角形FBC 是正三角形，所以BC ∥AD ，BC ＝AD ，FB ＝BC 且∠FBC ＝60°，又因为EA ∥FB ，2EA ＝FB ，所以∠EAD ＝60°，在三角形EAD 中，根据余弦定理可得：ED ⊥AE.因为平面ABCD ⊥平面FBC ，AB ⊥BC ，平面ABCD ∩平面FBC ＝BC ，且AB ⊆平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCF ，因为BC ∥AD, E A ∥FB ，FB ∩BC ＝B ，且FB 、BC ⊆平面FCB ，EA 、AD ⊆平面EAD ，所以平面EAD ∥平面FBC ，所以AB ⊥平面EAD ，又因为ED ⊆平面EAD ，所以AB ⊥ED ，综上：ED ⊥AE ，ED ⊥AB ，EA ∩AB ＝A 且EA 、AB ⊆平面ABFE ，所以DE ⊥平面ABFE ，又DE ⊆平面DEF ，所以平面EFD ⊥平面ABFE.（2）如图，分别取BC 和AD 的中点O ，G ，连接OF ，OG ，因为BO ＝OC 且三角形FBC 为正三角形，所以FO ⊥BC ，因为AG ＝GD ，BO ＝OC ，所以OG ∥AB ，由（1）可得，AB ⊥平面FBC ，则OG ⊥平面FBC ，故OF 、OB 、OG 两两垂直，分别以OB 、OG 、OF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC ＝4，则(()0023200F C -，，，，，，()(240143D E ---，，，，，设平面DEF 的法向量为()111n x y z =r ，，，平面DCF 的法向量为()222m x y z =u r，，，则00DF n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v⇒1111124030x y x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩⇒(11n =r，，，则00DF m DC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u uv r⇒222224040x y y ⎧++=⎪⎨=⎪⎩⇒)1m =-ur ，，所以cos 5n m n m n m ⋅===r u rr u r r u r ，又二面角E ﹣FD ﹣C 是钝二面角，所以二面角E ﹣FD ﹣C的余弦值为. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明及二面角的求解，空间向量是求解二面角的最有效工具，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养.19．2022年北京冬季奥运会即第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4至2月20日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学学生中抽取了120人进行调查，经统计男生与女生的人数之比为11：13，男生中有30人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人表示对冰壶运动没有兴趣.（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰壶有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望和方差.附：参考公式22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（）（）（）（）（），其中n ＝a +b +c +d.临界值表：【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”（2）详见解析【解析】（1）先根据比例关系求解男女同学的人数，完成表格，求解观测值得出结论；（2）根据二项分布的特点求解分布列和期望、方差.【详解】（1）因为男生与女生的人数之比为11：13，且总人数为120，所以男生共有55人，女生共有65人；表格如下：根据表格求出K22120301525509606.713 6.63555654080143⨯-⨯==≈⨯⨯⨯（）＞，故有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”.（2）由列表可知，对冰壶有兴趣的学生频率为8021203=，将其视为概率，由题意X～B（5，2），E（X）＝np210533=⨯=，D（x）＝npq21105339=⨯⨯=.【点睛】本题主要考查独立性检验和随机变量的分布列、期望和方差，利用特殊分布的公式能简化求解过程，侧重考查数据处理的核心素养.20．已知椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率e 2=，且点P ，1）在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，点M （s ，t ）（t ＞0）是椭圆C 上的动点，直线AM 与y 轴交于点D ，点E 是y 轴上一点，EF ⊥DF ，EA 与椭圆C 交于点G ，若△AMG 的面积为，求直线AM 的方程.【答案】（1）22142x y +=（2）x ﹣2＝0【解析】（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，可以求解方程；（2）设出直线方程，联立方程组，结合三角形的面积为可得直线斜率，从而可得方程. 【详解】（1）由题意得e 2c a ==，22211a b +=，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程：22142x y +=.（2）由（1）得左焦点F （0），A （2，0），设直线AM ：y ＝k （x ﹣2），由题意得D （0，﹣2k ），∴k DF==，∵EF ⊥DF ，∴k EF=∴直线EF 的方程：x = 令x ＝0，则y 1k=，所以点E （0，1k ），所以k EA 1122kk==--，所以直线EA ：x ＝﹣2ky +2，联立与椭圆的方程整理得：∴y 22842412k kk k ==++，x 222412k k-=+，所以点G （222412k k -+，2412k k +）；联立直线AM 与椭圆的方程整理得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣4＝0，解得：x 1＝2，x 2224212k k-=+，∴y 22412k k =-+，所以点M （224212k k -+，2412k k -+），所以点M ，G 关于原点对称，即直线MG 过原点，∴S △AMG 12OA =⋅⋅2|y M |22881221212k k k k =⋅⋅=++，由题意得：2812k k=+，解得：k =，由点M （s ，t ）（t ＞0）得，k 2=-AM 为：y 2=-（x ﹣2），即直线AM ：x +﹣2＝0.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，明确三角形面积的转换方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 21．已知2()e ,()e ax x f x x g x ==.（1）若()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a ≥；（2）(0,1).【解析】（1）利用等价转化，求解2ln x xy x+=的最大值即可；（2）把()()f x g x =的解的情况等价转化为2ln x xa x+=有两解，结合图象变化趋势可求. 【详解】（1）因为2()e ,()e ax x f x x g x ==.若x ≤0时，f （x ）≤0，g （x ）＞0，f （x ）≤g （x ）恒成立；若x ＞0，f （x ）≤g （x ）恒成立等价为2e e x ax x ≤，即2ln x x x a +≤，即有max 2ln ()x xa x+≥，设2ln ()x x h x x +=， 312ln ()x xh x x--'=，令2()12ln ,()10u x x x u x x'=--=--<，可得()u x 在x ＞0递减，当x ＞1时，()(1)0u x u <=，即()0h x '<，()h x 在x ＞1递减；当0＜x ＜1时，()(1)0u x u >=，即()0h x '>，()h x 在0＜x ＜1递增，则()h x 在x ＝1处取得极大值，且为最大值1，max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥.（2）若x ≤0时，()0,()0f x g x ≤>，()()f x g x =无解；当x ＞0时，()()f x g x =恒成立等价为2e e x x a x =，即2ln x x x a +=，即有2ln x xa x +=有两解，设2ln ()x xh x x +=，由（1）可知()h x 在x ＝1处取得极大值，且为最大值1，max ()(1)1h x h ==，且x →+∞，()0h x →，当,()x h x →-∞→-∞，可得0＜a ＜1时，关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的解，故a 的范围是(0,1). 【点睛】本题主要考查恒成立问题及利用导数研究函数的性质，恒成立问题一般转化为最值问题，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.22．在平面直角坐标系xOy 中.直线1的参数方程为112x y a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ. （1）若曲线C 关于直线l 对称，求a 的值；（2）若A 、B 为曲线C 上两点.且∠AOB 3π=，求|OA |+|OB |的最大值.【答案】（1）a ＝0（2）【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及极径的应用求出结果．【详解】（1）直线1的参数方程为112x y a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.转换为直角坐标方程为x 10--=.曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，整理得ρ2＝2ρcosθ，转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝2x ，转换为（x ﹣1）2+y 2＝1.由于曲线关于直线l 对称，所以圆心（1，0）在直线l 上，故a ＝0.（2）由点A 、B 在圆ρ＝2cosθ上，且∠AOB 3π=，所以设∠AOx ＝α，02πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，3BOx π∠α=-，则：|OA |+|OB |＝2cos 233cosππααα+-=+≤（）（），当且仅当6πα=时，等号成立.故OA |+|OB |的最大值为【点睛】本题主要考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +2|. （1）若a ＝1.解不等式f （x ）≤x 2﹣1；（2）若a ＞0，b ＞0，c ＞0.且f （x ）的最小值为4﹣b ﹣c .求证：112a b c+≥+. 【答案】（1）{x |x ≤﹣2或x≥1（2）证明见解析【解析】（1）对绝对值函数进行分段讨论，解不等式即可；（2）求出()f x 的最小值，得到2a b c ++=，利用柯西不等式证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|+|x +2|212321211x x x x x --≤-⎧⎪=-⎨⎪+≥⎩，，＜＜，，当x ≤﹣2时，﹣2x ﹣1≤x 2﹣1，得x 2+2x ≥0，所以x ≤﹣2；当﹣2＜x ＜1时，3≤x 2﹣1，得x 2≥4，无解当x≥1时，由2x+1≤x2﹣1，得x2﹣2x﹣2≥0，得x≥1综上，不等式的解集为{x|x≤﹣2或x≥1；（2）证明：因为f（x）＝|x﹣a|+|x+2|≥|x﹣a﹣x﹣2|＝|a+2|＝a+2＝4﹣b﹣c，得a+b+c＝2，所以11a b c+=+21111(1122a b ca b c+++≥+=+)[(）]（）2，当且仅当a+b＝c＝1时成立，故原命题得证.【点睛】考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．第 21 页共 21 页。

2019年高三年级五校联考数学试题卷

2019年高三年级五校联考数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页,满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：台体的体积公式1()11223Vh S S S S =++ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2其中R 表示球的半径，h 表示台体的高球的体积公式V =43πR3其中R 表示球的半径第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|3},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B = （）A ．{|03}x x <<B ．{|03}x x ≤≤C ．{|03}x x <≤D ．{|03}x x ≤<2.若复数z 满足i z z 232+=+,其中i 为虚数单位,则z =( )A ．i 21-B. i 21+C. i 21--D. i 21+-3.已知直线02:,01)2(:21=++=+++ay x l y a ax l ，其中R a ∈，则“3-=a ”是“21l l ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最小值为（）A ．12B ．11C ．8D ．－1 5. 为了得到函数)62sin(π+=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）A ．向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D.向左平移3π个单位6．已知双曲线221y x m-=的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若120FM F M ⋅=，则m 的值为（）A ．1BC ．2D ．37. 62)2(xx x +-的展开式中，6x 的系数为（）A ．240B ．241C ．-239D ．－2408．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（） A ．[,]43ππB. [,]42ππC. [,]62ππD. [,]63ππ9.设函数a x a x x f --+=2)(，若存在唯一的整数0x 使得0)(0<x f ，则实数a 的取值范围是（） A ．]4735,36(- B ． ]2515,36(- C ． ]23,222(- D ． ]2515,222(-- 10.设R a a a a ∈4321,,,，且13241=-a a a a ，记++++=242322214321),,,(a a a a a a a a f 4231a a a a +，则),,,(4321a a a a f 的最小值为（）A.1B. 3C. 2D.32第Ⅱ卷非选择题部分(共110分)二、填空题:（本大题共7小题,前4小题每题6分,后3小题每题4分,共36分）． 11．抛物线2(0)y ax a =>上的点03(,)2P y 到焦点F 的距离为2，则a =_____________；POF ∆的面积为____________.12．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是____ ___,体积是___ ___. 13.在ABC ∆中，︒===60,2,3A AC AB ，AC AB m AG +=，则||AG 的最小值为 ___ ，又若BC AG ⊥，则=m ___.14. 从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中，不放回地每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束.则第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率是 __；若记试验次数为X ，则X 的数学期望()E X ＝ ___.15. 已知数列{}{},n n a b 满足112,1a b ==，),2(1323113132*1111N n n b a b b a a n n n n n n ∈≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=---- 则=-+))((2017201710081008b a b a ___.16. 已知圆3)1(:22=++y x C ，设EF 为直线42:+=x y l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ,2π≥∠EQF ,则EF 的最小值是 ___.17. 设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为___.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. （本题满分14分）已知函数)sin 3)(cos cos 3(sin )(x x x x x f -+=.（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若]2,0[,56)(00π∈=x x f ，求02cos x 的值.19. （本题满分15分）如图①，在矩形ABCD 中，1,2==BC AB ，E 是CD 的中点，将三角形ADE 沿AE 翻折到图②的位置，使得平面D AE '⊥平面ABC . (Ⅰ)在线段D B '上确定点F ，使得//CF 平面D AE '，并证明； (Ⅱ)求D AE '∆与D BC '∆所在平面构成的锐二面角的正切值.20.（本题满分15分）已知函数2()22ln ()f x x x a x a R =-++∈．（1）若1a =，求函数在(1,1)A 处的切线方程；（2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：252ln 2()4f x ->.21．（本题满分15分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>经过不同的三点5513(,),2424A B C --(C 在第三象限），线段BC 的中点在直线OA 上．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程及点C 的坐标；（Ⅱ）设点P 是椭圆Γ上的动点（异于点,,)A B C 且直线,PB PC 分别交直线OA 于,M N 两点，问||||OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．22．（本题满分15分）已知数列{}n a 中，满足1111,,22n n a a a ++==记n S 为n a 前n 项和．（I ）证明：1n n a a +>；（Ⅱ）证明：123cos-⋅=n n a π（Ⅲ）证明：22754n S n π+>-.2017年高三年级五校联考数学参考答案一、选择题 DBACA DCDBB10. 解：设n m n m f a a n a a m ⋅++=⇒==224321||||),(),,(，记||||cos n m =θ则⇒=-==-==∆21||21cos 1||||21sin ||||2132412a a a a n m n m S θθ 3sin cos sin 2||||2sin 1||||≥+=⋅+≥⇒=θθθθn m n m f n m （利用三角函数的有界性）二、填空题11. 2；4 12.16+，320 13. 3 ；61 14.21； 426515.20163201716. )35(2+ 17.522max +=k 17.解：不妨设y x ≥，令m t t m y t m x km <≤-=+==0,,,2，则原不等式化为2242214)1()1)(1(m m m t m m t m t m t m t m --≥⇒+≥-+-+++恒成立，由520142224+≤⇒≤--m mm m ， 5222+≤=∴m k三．解答题18.解：（1）)sin 3)(cos cos 3(sin )(x x x x x f -+=＝)322sin(2π+x …………4分所以，函数)(x f 的单调递增区间为：)](12,127[Z k k k ∈--ππππ…………7分（2）56)322sin(2)(00=+=πx x f ， 53)322sin(0=+∴πx ，…………9分又]2,0[0π∈x ，54)322cos(0-=+∴πx ， …………11分103342353)21()54(]32)322cos[(2cos 00+=⨯+-⨯-=-+=∴ππx x ……14分19.(Ⅰ)点F 是线段'BD 中点时，//CF 平面'AED .证明：记AE ，BC 的延长线交于点M ，因为2AB EC =，所以点C 是BM 的中点，所以'//CF MD .而'MD 在平面'AED 内，CF 在平面'AED 外，所以//CF 平面'AED .……………………7分(Ⅱ)在矩形ABCD 中，2,1AB CD ==，BE AE ⊥，因为平面'AED ⊥平面ABC ，且交线是AE ，所以AE ⊥平面'AED .在平面'AED 内作EN ⊥'MD ，连接BN ，则BN ⊥'MD .所以BNE ∠就是'D AE ∆与'BCD ∆所在平面构成的锐二面角的平面角. 因为5EN =,2BE = 所以2tan 1015BE BNE EN∠===分 20.解：（1）当1a =时，2()22ln f x x x x =-++，'1()22f x x x=-+，'(1)1f =，所以在(1,1)A 处的切线方程为'1(1)(1)y f x -=-，化简得0x y -=。

山西省五校联考2019届高三上学期第五次联考数学试卷(文科)Word版含解析

山西省五校联考2019届高三上学期第五次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x2＜16，x∈N}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{0，1，2，3，4} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}2．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．变量x，y之间的一组相关数据如表所示：若x，y之间的线性回归方程为=x+12.28，则的值为（）A．﹣0.92 B．﹣0.94 C．﹣0.96 D．﹣0.984．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，则•（﹣）等于（）A．﹣7 B．1 C．7 D．255．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（）A．3盏灯B．192盏灯C．195盏灯D．200盏灯6．执行如图所示的程序框图，若输出的k=8，则输入的k为（）A．0 B．1 C．2 D．37．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8（+1）+πB．8（+1）+2π C．8（+1）一π D．8（+l）8．将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（）A．f（x）=﹣sin 2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称C．f（）=D．f（x）的图象关于（1，0）对称9）的9．已知奇函数f（x）满足f（x﹣2）=f（x），当0＜x＜l时，f（x）=2x，则f（log2值为（）A．9 B．﹣C．﹣D．10．已知B（m，2b）是双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOB=60°，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±11．已知三棱锥A﹣BCD内接与球O，且，若三棱锥A﹣BCD体积的最大值为，则球O 的表面积为（） A ．16πB ．25πC ．36πD ．64π12．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递减，若不等式2f （﹣ax+lnx+1）+f （ax ﹣lnx ﹣1）≥3f （l ）对x ∈[1，3]恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[2，e]B ．[，+∞）C ．[，e]D ．[，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．） 13．抛物线x 2=一10y 的焦点在直线2mx+my+1=0上，则m= ．14．若x 、y 满足约束条件，则4x+y 的最大值为．15．若α∈（0，），且cos2α=sin （α+），则tan α= ．16．已知函数f （x ）满足f （x+1）=﹣x 2﹣4x+l ，函数g （x ）=有两个零点，则m 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ccos A=（2b ﹣a ）cosC ．（1）求角C ；（2）若A=，△ABC 的面积为，D 为AB 的中点，求sin ∠BCD ．18．（12分）为调查了解某高等院校毕业生参加T 作后，从事的T 作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”？参考公式：k2=（n=a+b+c+d）．附表：（2）求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率，并估计该校近3年毕业的2000名大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数；（3）若从工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙，女生丙、丁，让他们两两进行一次10分钟的职业交流，该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录，然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站，试求选取的视频恰为异性交流视频的概率．19．（12分）已知等差数列{an }的公差d＞0，且a1•a6=11，a3+a4=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F，M，S分别为棱PB，AD，AB，CD的中点，G为线段EM的中点，且PA=AB=2AD=4，N为SM上一点，且NG ∥平面CEF．（1）确定N的位置，并求线段NG的长；（2）平面CEF与PA交于点K，求三棱锥B﹣CKN的体积．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣ax2+ax+a，g（x）=f（x）+（a﹣3）x．（1）求证：曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，4）；（2）若g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，但不是最大值，求实数a的取值范围．22．（12分）设点F为椭圆的左焦点，直线y=x被椭圆C截得弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）圆与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于P，Q两点AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|PF|•|QF|的取值范围．山西省五校联考2019届高三上学期第五次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x2＜16，x∈N}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{0，1，2，3，4} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式得出B，根据交集的运算写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x2＜16，x∈N}={x|﹣4＜x＜4，x∈N}，则A∩B={0，1，2，3}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与集合的基本运算问题，是基础题．2．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．变量x，y之间的一组相关数据如表所示：若x，y之间的线性回归方程为=x+12.28，则的值为（）A．﹣0.92 B．﹣0.94 C．﹣0.96 D．﹣0.98【考点】线性回归方程．【分析】求出样本的中心点，代入回归方程求出的值即可．【解答】解：由题意得：=5.5， =7，故样本中心点是（5.5，7），故7=5.5+12.28，解得： =﹣0.96，故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的性质，本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中心点，线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据，本题是一个基础题．4．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，则•（﹣）等于（）A．﹣7 B．1 C．7 D．25【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用已知结合向量加法的三角形法则化简求值．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，∴•（﹣）===．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加法与减法的三角形法则，是基础的计算题．5．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（）A．3盏灯B．192盏灯C．195盏灯D．200盏灯【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意设顶层的灯数为a1，由等比数列的前n项和公式求出首项a1=3，从而能求出第7项的值，由此能求出塔的顶层和底层共有几盏灯．【解答】解：由题意设顶层的灯数为a1，则有=381，解得a1=3，∴=3×26=192，∴a1+a7=195．故选：C．【点评】本题考查等比数列的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．执行如图所示的程序框图，若输出的k=8，则输入的k为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，可得这6次循环中k的值是以a为首项，1为公差的等差数列，根据输出的k=8，得出结论．【解答】解：设输入k的值为a，则第一次循环，n=5，继续循环，第二次循环n=3×5+1=16，继续循环，第三次循环n=8，继续循环，直到第6次循环，n=1，结束循环，在这6次循环中k的值是以a为首项，1为公差的等差数列，输出的k=8，∴8=a+6，∴a=2，故选C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，属于基础题．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8（+1）+πB．8（+1）+2π C．8（+1）一π D．8（+l）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽均为2，高为的长方体挖去一个圆锥，其中圆锥的母线长为2，由此可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得几何体是一个长宽均为2，高为的长方体挖去一个圆锥，其中圆锥的母线长为2，则该几何体的表面积为2=8（）+π，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．8．将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（）A．f（x）=﹣sin 2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称C．f（）=D．f（x）的图象关于（1，0）对称【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式，再利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数y=cos （2x+）的图象向左平移个单位后，得到f （x ）=cos[2（x+）+]=cos （2x+）=﹣sin （2x+）的图象，故排除A ；当x=﹣时，f （x ）=1，为函数的最大值，故f （x ）的图象关于x=﹣对称，故B 正确；由于f （）=﹣2sin=﹣2sin=﹣1，故排除C ；当x=1时，f （x ）=﹣sin （2+）≠0，故D 错误，故选：B ．【点评】本题主要考查诱导公式，y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于基础题．9．已知奇函数f （x ）满足f （x ﹣2）=f （x ），当0＜x ＜l 时，f （x ）=2x ，则f （log 29）的值为（）A ．9B ．﹣C ．﹣D ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出函数的周期，利用x ∈（0，1]时，f （x ）=2x ，即可求f （log 29）的值．【解答】解：∵奇函数f （x ）满足f （x ﹣2）=f （x ）， ∴∴函数的周期T=2．∴f （log 29）=f （﹣4+log 29）=f （log 2）=﹣f （log 2）．∵0＜log 2＜1，∴f （log 2）=，∴f （log 29）=﹣故选C ．【点评】本题考查了函数周期的求法，对数的基本运用，属于中档题．10．已知B（m，2b）是双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOB=60°，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知，B（m，2b）是双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，代入可得m=a，利用tan60°=，解得=，从而求得此双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意得，B（m，2b）是双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，代入可得m= a∵A为右顶点，O为坐标原点，∠AOB=60°，∴tan60°=，∴=，∴此双曲线的渐近线方程是 y=±x，故选C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，利用tan60°=是解题的关键．11．已知三棱锥A﹣BCD内接与球O，且，若三棱锥A﹣BCD体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．16πB．25πC．36πD．64π【考点】球的体积和表面积．【分析】确定S=3，利用三棱锥A﹣BCD体积的最大值为，可得A到平面BCD的最大△BCD距离为4，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：∵，=3，∴S△BCD∵三棱锥A﹣BCD体积的最大值为，∴A到平面BCD的最大距离为4，设球的半径为R，则（）2=4×（2R﹣4），∴2R=5，∴球O的表面积为4πR2=25π．故选B．【点评】本题考查球的半径，考查表面积的计算，确定A到平面BCD的最大距离为4是关键．12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式2f（﹣ax+lnx+1）+f（ax ﹣lnx﹣1）≥3f（l）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，e] B．[，+∞）C．[，e] D．[，]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．即a≥且a≤对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得a的范围．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若不等式2f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥3f（l）对x∈[1，3]恒成立，即f（ax﹣lnx﹣1）≥f（1）对x∈[1，3]恒成立．∴﹣1≤ax﹣lnx﹣1≤1 对x∈[1，3]恒成立，即0≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]恒成立，即a≥且a≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=，则 g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）=．max令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）=．min综上所述，a∈[，]．故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．）13．抛物线x2=一10y的焦点在直线2mx+my+1=0上，则m= 0.4 ．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】抛物线x2=一10y的焦点坐标为（0，﹣2.5），代入直线2mx+my+1=0，可得结论．【解答】解：抛物线x2=一10y的焦点坐标为（0，﹣2.5），代入直线2mx+my+1=0，可得﹣2.5m+1=0，∴m=0.4．故答案为0.4．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的性质，比较基础．14．若x、y满足约束条件，则4x+y的最大值为16 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线y=﹣4x+z经过点A时，直线y=﹣4x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（4，0），代入目标函数z=4x+y得z=16．即目标函数z=4x+y的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．若α∈（0，），且cos2α=sin（α+），则tanα= ．【考点】三角函数的化简求值；二倍角的余弦．【分析】根据三角函数的恒等变换，利用同角的三角函数关系，即可得出tanα的值．【解答】解：，且，∴cos2α﹣sin2α=sin（α+），∴（cosα+cosα）（cosα﹣sinα）=•（sinα+cosα），∴cosα﹣sinα=，两边平方，得sin2α﹣2sinαcosα+cos2α=，∴sinαcosα=，∴==，整理得3tan2α﹣10tanα+3=0，解得tanα=或tanα=3，cosα＞sinα，∴tanα＜1，∴tanα=．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换以及同角的三角函数关系，是基础题．16．已知函数f（x）满足f（x+1）=﹣x2﹣4x+l，函数g（x）=有两个零点，则m的取值范围为[﹣2，0）∪[4，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数的关系式求出函数的解析式，求出函数的最值，画出函数的图象，通过m 与1比较，讨论函数的解得个数，求解即可．【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣x2﹣4x+l，可得函数f（x）=﹣x2﹣2x+4，函数的最大值为：f（﹣1）=5，当f（x）=x时，x=1或﹣4，故函数y=f（x）与直线y=x的两个交点分别为（1，1）（﹣4，﹣4），当f（x）=4时，x=0或﹣2，由题意可知m≠1，当m＜1时，直线y=4与y=x（x＞m）有一个公共点，故直线y=4与y=f（x）（x≤m）有且只有一个公共点，故﹣2≤m＜0．当m＞1时，直线y=4与y=f（x）（x≤m）有2个公共点，故直线y=4与y=x（x＞m）无公共点，故m≥4．综上，m的取值范围是：[﹣2，0）∪[4，+∞）．故答案为：[﹣2，0）∪[4，+∞）．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用考查数形结合以及分类讨论思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2017春•东莞市校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A=（2b﹣a）cosC．（1）求角C；（2）若A=，△ABC的面积为，D为AB的中点，求sin∠BCD．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得：2sinBccosC=sinB，由sinB≠0，可求cosC=，结合C的范围可求C的值．（2）利用三角形内角和定理可求B，利用三角形面积公式可求a，在△DBC中，利用余弦定理可求CD，在△DBC中，由正弦定理可得sin∠BCD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，∵ ccos A=（2b﹣a）cosC，可得：2bccosC=（ccosA+acosC），∴由正弦定理可得：2sinBccosC=（sinCcosA+sinAcosC）=sinB，∵sinB≠0，∴cosC=，∵0＜C＜π，∴C=…6分（2）∵A=，C=，可得：△ABC为等腰三角形，B=，=a2sinB==，∴S△ABC∴a=2，∴在△DBC中，由余弦定理可得：CD2=DB2+BC2﹣2DB•BCcosB=7，可得：CD=，在△DBC中，由正弦定理可得：，即： =，∴sin∠BCD=…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2016秋•山西月考）为调查了解某高等院校毕业生参加T作后，从事的T作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”？参考公式：k2=（n=a+b+c+d）．附表：（2）求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率，并估计该校近3年毕业的2000名大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数；（3）若从工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙，女生丙、丁，让他们两两进行一次10分钟的职业交流，该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录，然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站，试求选取的视频恰为异性交流视频的概率．【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用公式，求出k2，与临界值比较，即可得出结论；（2）这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率==，即可得出结论；（3）利用列举法确定基本事件，再求出概率．【解答】解：（1）由题意，k2=≈2.051＜3.841，∴不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”；（2）这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率==，由此估计该校近3年毕业的2000名大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数为×2000=1625；（3）两两进行一次10分钟的职业交流的所有结果为（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），6个基本事件，其中异性交流有4个基本事件，故概率为=．【点评】本题考查独立性检验知识的运用，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2017•抚顺一模）已知等差数列{an }的公差d＞0，且a1•a6=11，a3+a4=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．（2）利用“累加求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵a1•a6=11，a3+a4=12=a1+a6．∴a1，a6是x2﹣12x+11=0方程的两根，且a1＜a6，解得a1=1，a6=11．∴11﹣1=5d，即d=2，∴an=2n﹣1．（2）=﹣．=++…+∴数列{}的前n项和Tn=﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•山西月考）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F，M，S分别为棱PB，AD，AB，CD的中点，G为线段EM的中点，且PA=AB=2AD=4，N为SM上一点，且NG∥平面CEF．（1）确定N的位置，并求线段NG的长；（2）平面CEF与PA交于点K，求三棱锥B﹣CKN的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）设CF与SM交于点O，连结OE，则N为OM的中点．从而EM∥PA，进而EM⊥底面ABCD，由此能求出NG的长．（2）延长CF交BA的延长线于点Q，连结EQ，则点K为PA与QE的交点，由题意△AKQ∽△MEQ，由此能求出三棱锥B﹣CKN的体积．【解答】解：（1）设CF与SM交于点O，连结OE，则N为OM的中点．证明如下：∵NG∥平面CEF，且平面CEF∩平面MOE=EO，∴NG∥OE，又G为线段EM的中点，则N为OM的中点，∵E为棱PB的中点，∴EM∥PA，又PA⊥底面ABCD，∴EM⊥底面ABCD，则EM ⊥OM ，∵OM=，EM=2，∴NG===．（2）延长CF 交BA 的延长线于点Q ， ∵AF ∥BC ，且BC=2AF ，∴A 为QB 的中点，连结EQ ，则点K 为PA 与QE 的交点，由题意△AKQ ∽△MEQ ，∴，∴AK=，∵△BCN 的面积为，∴三棱锥B ﹣CKN 的体积V B ﹣CKN =V K ﹣BCN =．【点评】本题考查点的位置的确定，考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（12分）（2016秋•山西月考）已知a ∈R ，函数f （x ）=x 3﹣ax 2+ax+a ，g （x ）=f （x ）+（a ﹣3）x ．（1）求证：曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线过点（2，4）；（2）若g （1）是g （x ）在区间（0，3]上的极大值，但不是最大值，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f ′（1），f （1），求出求出方程，从而求出定点即可；（2）求出g （x ）的导数，根据g （1）是g （x ）在区间（0，3]上的极大值，不是最大值，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】（1）证明：∵f'（x ）=3x 2﹣2ax+a ，∴f'（1）=3﹣a ，∵f（1）=a+1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（a+1）=（3﹣a）（x ﹣1），即a（x﹣2）=3x﹣y﹣2，令x=2，则y=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过定点（2，4）；（2）解：g'（x）=f'（x）+a﹣3=3x2﹣2ax+2a﹣3=（x﹣1）[3x﹣（2a﹣3）]，令g'（x）=0得x=1或x=，∵g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，∴＞1，∴a＞3，令g'（x）＞0，得x＜1或x＞，g（x）递增；令g'（x）＜0，得1＜x＜，g（x）递减，∵g（1）不是g（x）在区间（0，3]上的最大值，∴g（x）在区间（0，3]上的最大值为g（3）=18﹣2a，∴g（3）=18﹣2a＞g（1）=2a﹣2，∴a＜5，又a＞3，∴3＜a＜5．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22．（12分）（2016秋•山西月考）设点F为椭圆的左焦点，直线y=x被椭圆C截得弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）圆与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于P，Q两点AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|PF|•|QF|的取值范围．【考点】圆锥曲线的范围问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由，得，解得m=1，即可求出椭圆C的方程．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用中点坐标公式以及平方差法，求解，得到直线AB 的方程，代入椭圆C 的方程并整理得，求出直线FM 的斜率，设FM ：y=k （x+1），利用，消去y ，设P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．【解答】解：（1）由，得，故，解得m=1，故椭圆C 的方程为．（3分）（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，又，（4分）所以，则（x 1﹣x 2）﹣（y 1﹣y 2）=0，故，则直线AB 的方程为，即，代入椭圆C 的方程并整理得，则，故直线FM 的斜率，（7分）设FM ：y=k （x+1），由，得（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，设P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），则有，（8分）又，所以=，（10分）因为，所以，即|PF|•|QF|的取值范围是．（12分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。

山西省太原市第五中学2019届高三上学期12月阶段检测数学(理)试卷(含答案)

太原五中2018—2019学年度第一学期阶段性检测高三数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合22{|0},{|210},M x x x N x x ax M N =-<=--<⊆，则实数a 的范围为A. (],1-∞B. [1,)+∞C.()0,1D. ()1,0- 2. 设复数z 满足()12z i -= (其中i 为虚数单位),则下列说法正确的是（）A ．2z =B ．复数z 的虚部是iC ．1z i =-+D ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若954S =，则249a a a ++=（）A ．9B ．15C ．18D ．364．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（） A. 140种B. 70种C. 35种D. 84种5．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）A ．2＋2πB ．2＋3πC ．4＋3πD ．4＋2π6．已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A.79B.13C.59D.23xyoπ2xyoπ2xyoπ27.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于（）A. 2 B. 3C. 4D. 58.设函数6cos y x =与5tan y x =的图象在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x = 的图象于点B ，则线段AB 的长度为（） A 5B 35C ．1459D ．59．已知实数,x y 满足2211x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，则2x y +的取值范围是（）A ．[1,2]B ．[1,)+∞C ．5]D ．5]10．函数211sin 2xxy +=])43,0()0,43[(ππ⋃-∈x 的图像大致是（） xyoπ2A. B. C. D.11．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆22221x y a b+=)0(>>b a 上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（） A ．51(0,)2- B ．51,1)2C ．31(,1)2 D ．31(0,)212．已知函数xx x f ln )(=，关于x 的不等式0)()(2>-x af x f 有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（） A ．)22ln ,55ln [B ．)33ln ,55ln [C ．]22ln ,55ln (D ．]33ln ,55ln (第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知向量，的夹角为ο60，1||=a ，3||=b ，则=-|5|b a . 14.已知命题p ：2,20x R x x m ∃∈++≤，命题q ：幂函数131)(+-=m xx f 在()+∞,0是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是________． 15.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3,BC AB ==E 在线段 BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________．16.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1,21,4543)(x x x x f x ，则满足())(2)(t f t f f =的t 的取值范围是_________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，)cos (63C a c b b S ABC -+=∆. （1）求A ；（2）若2a =，求ABC ∆周长的最大值.18、（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，记)2*+∈+=N n a a b n n n （.（1）证明:⎩⎨⎧=)(4)(,2是偶数时，是奇数时n n n b n ；（2）若)(2*∈=N n c nn ，求数列{}n n c b 的前n 2项的和n S 2.19、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1．（1）证明：BC DC ⊥1；（2）求二面角11C BD A --的大小．20、（本小题满分12分）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,3(1-F ,椭圆C 与直线022=-+y x 交于B A ,两点，线段AB 中点为)21,1(M . （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过点)1,0(N 且与C 相交于F E ,两点.若直线NE 与直线NF 的斜率的和为1-，证明：l 过定点.21、（本小题满分12分）已知函数1()ln f x x a xx=-+)R a ∈（有两个极值点12,x x ，（1）求实数a 的取值范围；（2）若x a x f x g )2()()(--=，证明：当21x x >时，)()(21x g x g <．请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为为参数）t t y t a x (,211,2⎪⎩⎪⎨⎧+=-=．（1）若1-=a 时，求C 与l 的交点坐标；（2）若8=a 时，求曲线C 上的点到l 距离的最大值．23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】已知函数2121)(++-=x x x f . （1）求2)(<x f 的解集M ；（2）证明：当a ，M b ∈时，11<++abba ．太原五中2018-2019学年度第一学期阶段性检测答案高三数学（理）2018.12一、选择题(每小题5分，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13.19 14. )3,2(]1,(⋃-∞15. ]4,2[ππ 16.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=313t t t 或三、解答题(本大题6小题，共70分) 17.(本小题满分12分）解：（1）)cos (63sin 21C a c b b C ab S ABC -+==∆∴C a c b C a cos sin 3-+= ∴c A c C a +=cos sin 3∴C A C A C sin cos sin sin sin 3+= ∴1cos sin 3+=A A ∴21)6sin(=-πA 又∵πππ6566<-<-A ∴66ππ=-A 3π=∴A . （2）由余弦定理得：bc c b -+=224，∴4)2(343)22++⨯≤+=+c b bc c b （ ∴4)(412≤+c b ， ∴16)(2≤+c b ∴4≤+c b ( 当且仅当c b =时取等号） ∴6≤++c b a ∴c b a ==时，周长最大为6.18.(本小题满分12分）解：（1）当n 为奇数时，;212,122121=+∴+=+-=-++++n n n n n n a a n a a n a a 当n 为偶数时，.412-,122121n a a n a a n a a n n n n n n =+∴+=-=+++++⎩⎨⎧=∴.,4,2为偶数时为奇数时，n n n b n（2）nn n n S 2126543212282222422216222822⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-Λ)223222(8)2222(226421253n n n ⋅++⨯+⨯++++++=-ΛΛ)223222(814)1442642n n n ⋅++⨯+⨯+++--=ΛΛ（ nn T 2642223222⋅++⨯+⨯+=Λ记 nn n n n T n T 434)14(94,22222)41(222642⋅+--=⋅-++++=-+Λ*+∈⋅+--=N n n S n n n,432)14(92022.19.(本小题满分12分）解:（1）在Rt DAC ∆中，AD AC =得：45ADC ︒∠=，同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=，得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥.（2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H ，1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O⇒⊥面1A BD ，1OH BD C HBD ⊥⇒⊥得：点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角.设AC a =，则12C O =，111230C D C O C DO ︒==⇒∠=，所以二面角11C BD A --的大小为30︒.（另解：利用空间向量求二面角）. 20．(本小题满分12分）解：（1）设),(11y x A ，),(22y x B ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x 得：021*******2=--⋅+++x x y y x x y y a b ， ∴0)21(1221222=-⋅⨯⨯+a b ，且3=c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=3412222b a a b ， ∴⎩⎨⎧==1422b a ∴椭圆C 的方程为：1422=+y x . （2）当l 斜率存在时，设l ：)1(≠+=m m kx y ，),(11y x E ，),(22y x F ，则由1-=+NF NE k k 即1112211-=-+-x y x y 得：1112211-=-++-+x m kx x m kx ∴0))(1()12(2121=+-++x x m x x k联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x mkx y 得：0448)41(222=-+++m kmx x k ，由0>∆得：1422+<k m ∴221418k km x x +-=+，22214144k m x x +-=∴=+-++))(1()12(2121x x m x x k 0418)1(4144)12(222=+--++-+kkmm k m k ∵1≠m ∴012=++m k ∴12--=k m （当且仅当1->m 时，0>∆） ∴l ：1)2(12--=--=x k k kx y ，所以l 恒过)1,2(-点.当l 斜率不存在时，设l ：m x =，),(1y m E ，),(1y m F -，则121111-=-=--+-=+mm y m y k k NF NE ， ∴2=m 此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．综上直线l 恒过)1,2(-点. 21．(本小题满分10分）解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.函数()f x 在),0(+∞有两个极值点等价于函数12+-=ax x y 在),0(+∞上有两个零点，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆>04022a a ， ∴2>a . （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，当021>>x x 时，则11>x .由于111212121212121211ln 22ln ln 2ln ln 11)()(x x x ax x x x a x x x x a x x x x x f x f -+-=--+-=--+--=--，所以2)()(2121-<--a x x x f x f 等价于0ln 21111<+-x x x . 设函数1()2ln g x x x x=-+，)1(>x ，则 0)1(211)(222<--=+--='x x x x x g 恒成立，∴()g x 在),1(+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <. ∴0ln 21111<+-x x x ，即2)()(2121-<--a x x x f x f . 从而2211)2()()2()(x a x f x a x f --<--成立，即)()(21x g x g <. 22．(本小题满分10分）解：（1）当1-=a 时，直线l 的方程为034=-+y x ．曲线C 的标准方程是：1922=+y x ，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1903422y x y x ，解得：⎩⎨⎧==03y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=25242521y x ，则C 与l 交点坐标是)0,3(和)2524,2521(-．（2）当8=a 时，直线l 一般式方程为：0124=-+y x ．设曲线C 上点)sin ,cos 3(θθP ，则则P 到l 距离1712)sin(51712sin 4cos 3-+=-+=ϕθθθd ，其中43tan =ϕ，当1)sin(-=+ϕθ时，17max =d ．23．(本小题满分10分）解：（1）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -< 解得211-≤<-x ；当1122x -<<时，21)(<=x f ；当12x ≥时，由()2f x < 得22,x < 解得121<≤x . 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<. （2）由（1）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，可得ab b a +<+1，所以11<++abba .。